Algoritmos para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz no singular

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(1)U N I V E R S I D A D D E S O N O RA U N I D A D REGIONAL S U R DIVISIÓN DE CIENCIAS E I N G E N I E R Í A DEPARTAMENTO DE FÍSICA, MATEMÁTICAS E INGENIERÍA. "El saber de mis hijos. hará mi grandeza".. A L G O R I T M O S PARA E L C Á L C U L O DE. LA RAÍZ C U A D R A D A D E U N A MATRIZ. NO S I N G U L A R. TRABAJO DE T E S I S. Q U E PARA O B T E N E R EL TÍTULO D E :. INGENIERO. INDUSTRIAL. Y. DE. SISTEMAS. PRESENTAN:. LUCERO. JOSEFINA. CARLOS. ADOLFO. NAVOJOA, SONORA. CASTILLO. HUERTA. GARCIA. RIVERA. NOVIEMBRE DEL 2 0 1 5.

(2) Universidad de Sonora Repositorio Institucional UNISON. Excepto si se señala otra cosa, la licencia del ítem se describe como openAccess.

(3) UNIVERSIDAD DE SONORA UNIDAD REGIONAL SUR. ,. ,. DIVISION DE CIENCIAS E INGENIERIA EL. SABER. HAR.\. J.11. DE. MIS. HIJOS. Departamento de Física, Matemáticas e Ingeniería. GRANDEZA. Navojoa, Sonora a 1 3 de noviembre de 2 0 1 5. Ing. Ma. del Rosario Castrejón Lemus Jefe de Departamento de Física, Matemáticas e Ingeniería Unidad Regional Sur P R E S E N T E :. Por este. conducto,. hago. de. su conocimiento. que estamos. de. acuerdo. que. se realice el. examen profesional de. LUCERO JOSEFINA CASTILLO GARCIA. CARLOS ADOLFO HUERTA RIVERA. el día Lunes 23. de noviembre de 2 0 1 5 en la Sala. de Juntas del edificio B. a las. horas.. A T E N T A M E N T E. MIEMBROS DEL JURADO. NOMBRE PRESIDENTE. C.DR. ALFREDO MENDOZA MEXIA, 22769. SECRETARIO. M.C.. RAFAEL. VERDUGO. MIRANDA,. 30492 VOCAL. DR.. IGNACIO YOCUPICIO VILLEGAS,. 24188 SUPLENTE. M.A. MA. DEL ROSARIO CASTREJON LEMUS, 26925. Blvd .. Lázaro Cárdenas No. 100 Col. Feo. Villa C.P. 85880, Navojoa, Sonora. e mail: [email protected]. Tel. (642) 42 5 99 53, Ext.. 7012. 12:00.

(4) AGRADECIMIENTOS. Lucero:. A Dios por tanto amor que me refleja en bendiciones, por permitirme cumplir mi primer gran. meta en la vida.. A mi. familia,. Espinoza. especialmente. a mis. padres Miguel. Castillo. Castro. y Rosa Idalia. García. por darme los medios necesarios para llegar a este día, todo el apoyo y cariño, por. educarme de manera adecuada para ser Jo que hoy soy, sin ustedes no podría haberlo logrado.. A m i gran compañero Carlos Adolfo Huerta Rivera,. que este sea el primer logro juntos, de. muchos que compartiremos en la vida.. A la Universidad de Sonora y a m i s maestros, en especial al C. D. Alfredo Mendoza Mexía. director de este trabajo de tesis, por el apoyo a Jo largo de mi carrera, las enseñanzas, apoyos y. oportunidades brindadas.. GRACIAS..

(5) 11. AGRADECIMIENTOS. Carlos:. A Dios por estar vivo y tener salud y permitirme llegar a este día.. A mi abuela Dolores Jacobo Escalante por atenderme toda mi vida.. A mis tíos y tías por su apoyo recibido de una u otra forma, motivándome o financiándome en. la necesidad.. A. mi. hermano. Cesar. Andrés. Huerta. Rivera. por. ser. mi. hermano. y. entretenerme. en. la. existencia.. A mi novia Lucero por arrastrarme en cosas necesarias.. Al C. D. Alfredo Mendoza Mexía por sus enseñanzas y su apoyo en. tesis además de ser una inspiración a seguir aprendiendo.. la elaboración de esta.

(6) 111. DEDICATORIAS. Lucero:. A mi familia, ya que sin ellos nada de esto sería posible. A mi madre Rosa Idalia García Espinoza, por siempre apoyarme y estar a mi lado en todo. momento, todos mis triunfos son también tuyos TE AMO MAMI. A mi padre Miguel Castillo Castro por darme los medios necesarios para cumplir esta meta,. espero hacerte sentir orgulloso, TE AMO. A mis hermanos Miguel y Gabriel, por que pase lo que pase siempre estamos juntos LOS. QUIERO MUCHO. Carlos:. A mi abuela Dolores Jacobo Escalante. MUCHO ABUELA.. por cuidar de mí todos estos años, TE QUIERO.

(7) IV. ÍNDICE. Agradecimientos. Dedicatorias. 111. Índice. IV. Introducción. Antecedentes. 2. Definición del problema. 4. Justificación. 5. Objetivo principal. 6. CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA MATRICIAL. 7. 1 . 1. 1.2. 7. Matrices. Operaciones básicas. 1.2.1. Igualdad de. con. matrices. matrices. 1.2.2. Suma de matrices. 1.2.3. Multiplicación. 1.2.4. Resta de. 1.2.5. Multiplicación. 8. 8. por un. escalar. matrices. 1 . 2 . 6 Transposición de matrices. 1 . 2 . 7 Traza de. una matriz. 1.3. Determinante de. 1.4. Matriz. 1.5. Matrices. una matriz. inversa. cuadradas. 8. 8. matrices. de. 8. 9. 9. 10. 10. 1 1. especiales. 13.

(8) V. 1.5.1. Matriz. diagonal. 13. 1.5.2. Matriz. identidad. 13. 1 .5 .3. Matriz escalar. 1.5.4. Matriz triangular. 1.5.5. Matriz triangular superior. 14. 1.5.6. Matriz. nula. 14. 1.5.7. Matriz. simétrica. 14. 1.5.8. Matriz. idempotente. 14. 1.5.9. Matriz ortogonal. 1 .6. Autovalores. de. 1 . 7. Diagonalización. 13. 1 3. inferior. 14. 14. una matriz. 1 5. de matrices. CAPÍTULO 2 FORMA CANÓNICA DE JORDAN PARA CARACTERIZAR LA RAIZ. CUADRADA DE UNA MATRIZ. 2.1. Existencia. de. raíces. 2.2. Forma canónica de Jordan. 17. cuadradas. de. matrices. 17. 1 8. 2.3 El número de raíces cuadradas de una matriz. 22. CAPÍTULO 3 LOS MÉTODOS DE NEWTON PARA EL CASO MATRICIAL. 3.1. El. método. de. Newton. para. el. cálculo. de. la. raíz. cuadrada. principal. de. una. 28. matriz. 28. singular. 3.2. A n á l i s i s de convergencia del. 3 .3. Análisis. de estabilidad. método simplificado de. numérica del. método. 30. Newton. simplificado. de. Newton. 34.

(9) VI. CAPÍTULO. 4. ALGUNOS. ALGORITMOS. PARA. EL. CÁLCULO. DE. LA. CUADRADA PRINCIPAL DE UNA MATRIZ NO SINGULAR. 4 . 1 Un. método. simplificado. de. Newton. para. calcular. la. raíz. 38. cuadrada. de. una. matriz. 38. simétrica definida positiva (IASMN). 4.1.1. RAÍZ. Iteración alternativa simplificada del método de Newton para el cálculo de raíces. cuadradas principales de matrices reales simétricas definidas positivas. 39. 4 . 1 . 2 Análisis de convergencia del (IASMN). 40. 4 . 1 . 3 Análisis de estabilidad numérica del (IASMN). 43. 4 . 1 . 4 Factor de escala para la (IASMN). 46. 4.2 Un método simplificado de Newton con factorizaciones sucesivas para el cálculo de la. raíz cuadrada principal de una matriz no singular (MSNFSRC). 47. 4 . 2 . 1 El método simplificado de Newton. 47. 4.2.2 El método simplificado de Newton con factorizaciones sucesivas para el cálculo. 48. de la raíz cuadrada de una matriz. 4.2.3 Análisis de convergencia del (MSNFSRC). 49. 4.2.4 Análisis de estabilidad numérica del (MSNFSRC). 50. 4.2.5 Factor de escala para el (MSNFSRC). 52. 4.3 Un. método. simplificado. de. Newton. acoplado. para. el. cálculo. de. la. raíz. cuadrada. principal de una matriz no singular (MSNARC) propuesta original. 53. 4 . 3 . 1 Análisis de convergencia del (MSNARC). 53. 4 . 3 . 2 Análisis de estabilidad numérica del (MSNARC). 55. CAPÍTULO 5 EXPERIMENTOS NUMÉRICOS. 60.

(10) VII. LISTA DE TABLAS. '. TABLA. DESCRIPCIÓN. PAGINA. 5.1. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No. l. 61. 5.2. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No.2. 62. 5.3. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No.3. 63. 5.4. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No.4. 64.

(11) VIII. LISTA DE GRÁFICAS. GRÁFICA. DESCRIPCION. PAGINA. 5.1. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No. l. 61. 5.2. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No.2. 62. 5.3. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No.3. 63. 5.4. Comportamiento de la convergencia. para el experimento No.4. 64.

(12) INTRODUCCIÓN. En. este trabajo de tesis. se. presenta. una. modificación. novedosa al. método. simplificado. de. Newton que elimina su inestabilidad numérica para el cálculo de la raíz cuadrada principal. de'. una. matriz. no. singular.. computacionalmente. El. sencillo. algoritmo. de. que. se. obtiene. es. atractivo. por. ser. implementar, robusto, computacionalmente económico,. convergente, y para propósitos prácticos, numéricamente estable.. En el primer capítulo de esta tesis se tratan temas relacionados con el álgebra matricial como:. operaciones. elementales. entre. matrices,. tipos. de. matrices,. la. inversa. de. una. matriz,. transpuesta de una matriz, determinante de una matriz y valores propios de una matriz.. En. el. segundo. capítulo. se. tratan. temas. relacionados. con. la. raíz. cuadrada. de. una. matriz. cuadrada no singular, existencia de la raíz cuadrada de una matriz, la representación canónica. de Jordan de una matriz, y el número de raíces cuadradas de una matriz.. En. el. tercer. Newton. capítulo. se. analizan. las. variantes. más. actuales. y. relevantes. del. Método. de. (MN) para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz cuadrada no singular y se. presenta una modificación obteniendo el Método Simplificado de Newton (MSN) del cual se. estudia su convergencia y estabilidad numérica.. En. el. cuarto. capítulo se. presentan. algunos algoritmos. para el cálculo. de. la. raíz cuadrada. principal de una matriz no singular, como es el (LASMN) (Iteración alternativa simplificada. del. Método. de. Newton),. y. el. (MSNFSRC). (Método. Simplificado. de. Newton. con. factorizaciones sucesivas para el cálculo de la raíz cuadrada), y se analiza de su convergencia. y estabilidad. numérica,. además. se. propone el. Método. Simplificado. de Newton. Acoplado. para el cálculo de la raíz cuadrada principal de una matriz no singular (MSNARC) y se hace. un análisis de su. convergencia y estabilidad. computacionalmente. sencillo. de. numérica,. implementar,. este. robusto,. algoritmo. es atractivo por ser. económico,. convergente. y. numéricamente estable para cualquier matriz no singular.. Por último, en el quinto capítulo se presentan una serie de experimentos numéricos donde se. compara el desempeño del (MSNARC) con respecto a los métodos tratados..

(13) 2. ANTECEDENTES Para la elaboración de los antecedentes, se revisaron los siguientes libros y artículos [5], [6],. [3], [25], [17], [8], [28], [27] y [29]. El estudio de raíces cuadradas de matrices comenzó con Cayley [5], cuando en. 1958 en uno. de sus primeros artículos sobre teoría de matrices publicó fórmulas para el cálculo de raíces. cuadradas de matrices de 2 x 2 y de 3. X. 3. Más tarde proporcionó más detalles sobre ambos. casos, todo lo anterior motivado por una pregunta de Tait que fue "¿cómo calcular la raíz. cuadrada de un tensor?" [6].. Un método natural para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz cuadrada no singular es. el Método de Newton (MN), pero este algoritmo presenta el problema que en cada iteración. se resuelve una ecuación matricial de Sylvester. lo. cual. requiere. la. utilización. del. método .de. para matrices densas XH. Bartels-Stewart. [3]. con. el. +. HX = A - X. consiguiente. 2 ,. alto. costo computacional lo cual lo hace poco atractivo.. Simplificando al (MN), surgen dos. Newton. (MSN). presentan. que. son. muy buenas. Xk+1. iteraciones que representan el. =. 0.5(Xk. +. y. Xk1 A). propiedades de convergencia,. Yk+i. pero su. =. Método Simplificado de. 0.5(Y k. estabilidad. +. AYk1). ambas. numérica es. pobre. Esta inestabilidad fue notada primeramente por Laasonen [25], quien en. 1 9 5 8 afirmó. sin demostrarlo que para matrices con valores propios reales positivos, que el (MSN). proceso. iterativo. es. llevado. a cabo. indefinidamente,. no. es. estable. cuando el. condición de la matriz en cuestión excede el valor de nueve". Higham [ 1 7 ] , en. muy. "si el. número. de. 1 9 8 6 realizó. un análisis rigurosamente matemático de la estabilidad numérica del (MSN) y probó lo que. Laasonen había observado.. Además. del. (MN). y. del. (MSN),. existen. otros. métodos. que. son. convergentes. y. numéricamente estables para calcular la raíz cuadrada de una matriz no singular, como por. ejemplo Denman y beavers [8], en. 1 9 7 6 presentaron un. cálculo de la raíz cuadrada de una matriz no singular.. método de reducción cíclica. Long [27], en el 2 0 0 8. incorporación de búsqueda. lineal exacta, y Mendoza. par de iteraciones acopladas para el. Meini (28], en el 2004. desarrolló el. desarrolló el algoritmo de Newton con. [29], en el 2 0 1 O desarrolló el. método. (IASMN) para el cálculo de raíces cuadradas de matrices simétricas positivas definidas..

(14) 3. La rica variedad de métodos para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz no singular,. junto con el análisis de su convergencia y estabilidad numérica, son en la actualidad temas de. estudio e investigación de gran interés.. La. raíz. cuadrada. utilizada,. una. mostrándose. simétricas.. ejemplo:. de. más. El cálculo de. en. la. matriz. es. una. de. comúnmente. en. las. el. funciones. contexto. la raíz cuadrada de una. modelación. de. de. matrices. matrices. matriz desempeña. estocástica de acuíferos, en. comúnmente. positivas. un. la generación. más. papel. sintética. definidas. especial,. por. de variables. aleatorias, en el cálculo de la función signo matricial, en el problema general de los valores. propios. definidos,. en. la. descomposición. polar de. una. matriz. y en. el. cálculo. de. la. media. geométrica. Todo lo anterior la convierte en una útil herramienta computacional y teórica. La. necesidad del cálculo de la raíz cuadrada de matrices surge a partir de problemas de la ciencia. y. la. ingeniería,. funciones. de. como,. por. matrices, en. en robótica, entre otros.. ejemplo:. en. la solución. la. de. modelación. estocástica,. ecuaciones diferenciales,. en. en. la. construcción. control. de. automático,.

(15) 4. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. Algunos métodos actuales para calcular la raíz cuadrada de una matriz (como por ejemplo el. Método. de. limitantes. (MSN). es. Newton. (MN). y. o características que. convergente. y. el. Método. los hacen. Simplificado. de. Newton. (MSN)). poco versátiles y atractivos, como. numéricamente. estable. bajo. ciertas. condiciones. tienen. ciertas. por ejemplo el. muy. restrictivas,. como por ejemplo la condición de estabilidad numérica para el cálculo de la raíz cuadrada de. una matriz definida positiva es que su número de condición debe ser menor que nueve, esto. representa. una. convergente. fuerte. y numéricamente. computacionalmente. singular d e n x n,. atractivo.. restricción. se. muy. de. cual. estable. costoso,. debe. lo. ya. para. que. resolver. un. hace. prohibitivo. cualquier. matriz. para calcular. sistema. lineal. la. su. no. uso.. El. (MN). aunque. es. singular,. en. contraparte. es. raíz cuadrada. de. una. no. cual. lo. 2. de n. x n. matriz. 2,. lo. hace. poco.

(16) s. JUSTIFICACIÓN. Los. métodos. presentan. actuales. ciertas. para. el. cálculo. limitaciones,. por. de. la. ejemplo. raíz. el. cuadrada. Método. de. de. una. matriz. Newton. definida. (MN). a. positiva,. pesar. de. ser. convergente y numéricamente estable presenta un alto costo computacional, ya que al resolver 2. una matriz de tamaño n x n la convierte en una de n. simplificando. Newton. al. (MSN). estabilidad. (MN). surgen. ambas. numérica. dos. presentan. es. muy. iteraciones. muy. pobre,. que. buenas. por. tal. x n. 2 ,. lo cual lo vuelve poco atractivo,. representan. propiedades. motivo. el. de. Método. Simplificado. convergencia,. Mendoza. [29]. pero. realiza. de. su. ciertas. modificaciones al (MSN) obteniendo el (MSNFSRC) el cual es convergente y numéricamente. estable para fines prácticos.. Nos podemos dar cuenta de la rica variedad de métodos que existen para el cálculo de la raíz. cuadrada de una matriz no singular, las cuestiones fundamentales relacionadas con el análisis. de su convergencia y estabilidad numérica siguen hoy en día vigentes. Sigue habiendo mucho. trabajo por hacer, ya que en la actualidad lo anteriormente mencionado son temas de estudio e. investigación de gran interés.. Por todo lo anterior se presenta como propuesta un nuevo método el cual es. atractivo por ser. computacionalmente. convergente. sencillo. de. implementar,. robusto,. económico,. numéricamente estable para cualquier matriz definida positiva denominado (MSNARC).. y.

(17) 6. OBJETIVO PRINCIPAL. Este trabajo de tesis, tiene como objetivo exponer y analizar. los diferentes. métodos. para el. cálculo de la raíz cuadrada principal de una matriz no singular, y la propuesta de un nuevo. método que es convergente y numéricamente estable..

(18) 7. CAPÍTULO 1 ÁLGEBRA MATRICIAL. Para la elaboración de este capítulo, se revisaron los siguientes libros [2} y [l}. En. ingeniería el álgebra matricial es utilizada en el. por ejemplo,. en. el. control. de. recursos. humanos. planteamiento y solución. y materiales. en. un. de problemas,. sistema. orientado. a. la. optimización del uso de estos.. El cálculo de matrices nos ayuda a solucionar problemas de la ciencia e ingeniería, tales como:. la. modelación. estocástica. de. acuíferos,. en. la. construcción. de. funciones. de. matrices,. en. la. solución de ecuaciones diferenciales, en control automático, en robótica, entre otros.. A continuación,. se. abordarán. conceptos. básicos del. algebra. matricial, que. serán. necesarios. para la comprensión del cálculo de la raíz cuadrada de matrices tema de la presente tesis.. 1 . 1 Matrices. Una. matriz A de. orden m x n es. un. conjunto. de. elementos a; (i 1. 1, . . . , m; j. =. 1, ... , n). la. fila i -. dispuestos en m filas y n columnas. Las. matrices. esima y. de. se. la. subíndices, ªiJ·. 1, 2 ... , m y j =. representan. por. letras. columna j - esima se. De. aquí,. un. modo. mayúsculas en. representa. abreviado. de. por. negrita A.. una. escribir. letra. una. 1, 2 . . . , n. El orden o dimensión de la matriz m. filas y de columnas,. El. elemento. minúscula. matriz. x. la matriz A se denomina cuadrada cuando m. de. con. es A =. un. [aiJ]. par. de. para i =. n nos indica el número de. =. n y rectangular si m. *. n.. Los. elementos. de. una. matriz. matrices de números reales,. pueden. a¡. 1. E R.. ser. números. de. cualquier. clase.. Se. consideran. aquí.

(19) 8. Por ejemplo, la matriz. s. A=(� es una matriz rectangular de orden 3. 1.2. 7. 4. 2. 1. 11. 4; el elemento de la fila 3 y columna 3 es l l .. X. Operaciones básicas con matrices. 1.2.1 Igualdad de matrices. matrices A = [a¡¡] y B = [b¡¡]. Dos. todo i. =. 1, 2, . . . , m y j. =. del. mismo. orden m. x. n son. iguales. si a ¡ ¡ =. b¡¡. para. 1, 2, . . . , n.. 1.2.2 Suma de matrices. La. suma de dos. [e¡¡) de orden m. matrices A = [a¡¡] y B. x. +. n tal que C¡¡ = a¡¡. =. [b¡¡] del. mismo. b¡¡ para todo i. =. orden m. x. n es. =. 1, 2 . . . , m y j. una. matriz C. =. 1, 2, ... , n.. La suma de matrices cumple las propiedades. + B. =. Conmutativa: A. b). Asociativa: (A. c). Existencia de elemento neutro o matriz nula O = (O]: A. d). Existencia de matriz opuesta: A. 1.2.3. +. B). B. + A. a). + C. =. A. +. (B. + (-A). +. C). =. + O = O +. A. A. O. Multiplicación por un escalar. El producto de una matriz A =. [a¡¡] por un. escalar A es una matriz B. =. [b¡¡]. =. [Aa¡¡], esto. es, se multiplican todos los elementos de la matriz por el escalar.. 1.2.4. La. Resta de matrices. resta. [e¡¡). de. de. dos. matrices A = [a¡¡] y B. orden m. x. n tal. =. [b¡¡] del. que e¡¡ = a¡¡ - b¡¡. para. mismo. todo. i. orden m. =. x. n es. 1, 2 . . . , m y j. una. =. matriz C. =. 1, 2, . . . , n la.

(20) 9. operación resta puede definirse también a partir de la suma de matrices y la multiplicación de. una matriz por un escalar.. 1.2.5 Multiplicación de matrices. Sean. A =. [a1¡] y B. =. [b¡¡] dos. matrices. de. órdenes. m. x. n y n. x. p,. respectivamente. (el. número de columnas de A es igual al número de filas de 8). El producto de A y B, AB, es una. matriz C. =. [e¡¡] de orden m. x p tal que <t¡. =. L�=l a1kbk¡ para. i. =. 1, 2 ... , m y j. =. l, 2 ... , n. Observe que el elemento c1¡ es el producto escalar de la fila i- esima de A por la columna j. esima de B.. La multiplicación de matrices cumple con las propiedades:. a). Asociativa: (AB)C = A(BC). b). Distributiva: A x (8 + C). =. A. x 8 + A X C. La multiplicación de matrices no cumple la propiedad conmutativa la propiedad conmutativa. AB*AB. 1.2.6 Trasposición de matrices. La. matriz. traspuesta. de. una. matriz A de. orden m. x. n es. la. matriz A' de. orden n. x. m se. obtiene permutando las filas por las columnas. a12. a,,. La trasposición de matrices cumple las siguientes propiedades:. a). Reflexiva: (A')'. b). (A. + B)'. =. =. A'+. A,. B',. matrices traspuestas.. la. traspuesta. de. la. suma. de. dos. matrices. es. la. suma. de. las.

(21) 10. e). (AB)' =. B'A',. la. traspuesta. del. producto. traspuestas en orden invertido. Esta. más matrices: (ABC)'. =. (A(BC))'. de. dos. matrices. es. el. producto. de. las. propiedad puede extenderse al producto de tres o. =. (BC)'A'. =. C'B'A'. L2.7 Traza de una matriz. La traza de una matriz cuadrada A. = [ aij]. de orden m. X. m es la suma de los elementos de la. diagonal principal. m. tr (A). =. ª12. + ªzz + . . · + ªmn = L a ¡ ¡ 1=1. Es claro que se cumplen las siguientes pro�iedades:. a). tr (A) = tr(A'). b). tr ( A + B). e). tr (AB) = tr(BA). =. tr(A). +. tr(B). L3 Determinante de una matriz. Dada una matriz A. por. IAI. o det(A),. de orden n, se define el determinante de A, que se notara indistintamente. como. la. suma de. los n! productos. signados. d e n factores que. se. obtienen. considerando los elementos de la matriz, de forma que cada producto contenga un elemento y. solo uno de cada fila y cada columna de A.. Analíticamente esto significa que:. n!. IAI. =. 5. ¿(-l). •a1¡,ªzj, ... anJn. k. Dónde:. •. U1 ,jz,. ... ,jn} es. una. de. las n!. permutaciones. números naturales { 1 , 2, 3, . . . , n } .. de. los. elementos. del. conjunto. de.

(22) 1 1. •. Sk. es. el. número. Uvh, .... permutación. El. determinante. de. una. de. trasposiciones. ,jn}. en. matriz cuadrada. el. A. o. orden. de. cambios. ( 1 ,. 2,. necesarios. 3, . . . ,. para. reordenar. la. n).. puede calcularse por expansión de. sus. menores. m. ¿. =. IAI. a¡¡(-li+ilMiil. }=1. Sea. =. A. n - 1. que. dice. que. de. de. orden. matriz. Sea. la. de. matriz. la. la. cuadrada. determinante es. (1.2). m x n y. eliminar. determinante. una. su. matriz. obtiene. al. 1. singular si. Ejemplo. se. a¡. elemento. Se. una. [a¡¡]. A. fila. i y. matriz. es. sea. M. la. m¡¡]. columna. M¡1 y. singular. distinto de cero,. IAI. = [. 11. cofactor. si. *. j. su. la. submatriz de. de. A.. del. Se. denomina. elemento. determinante. es. m - 1. orden. ªii. cero,. a. menor. la. IAI. x. del. cantidad. =. O,. y. no. O.. A. 1 1. A=(!. �). 1. El. A. determinante de. IAI. =. es. 1. 1. 3. 1. 1. o = 31�. 3. 1. 2. �I. =. =. (3. x -. 2). - (O. x -. 2). +. (2. x. O). -6. 1.4 Matriz inversa. Sean. A y B. condiciones,. dos. B e s. matrices. cuadradas. la. inversa. matriz. de. de. orden. n. A, (B = A-. de. 1) ,. y. forma. que. AB. recíprocamente,. = A. BA. es. = la. I;. en. inversa. estas. de. 8,.

(23) 12. Conocer si el valor de. IAI. es cero o no permite determinar no solo la existencia de la inversa. de A, sino que, en caso de que exista A-. de. 1. es posible también obtener su expresión en función. IAI.. Algunas propiedades de la matriz inversa son las siguientes:. 1.. La matriz inversa es única 1)-1. 2.. (A-. 3.. (AB)-. 1. = =. A, la inversa de la inversa es la matriz original. B-lA-1,. la. inversa. del. producto. es. el. producto. de. las. inversas. en. orden. inverso. 1. 4.. (A')-. = (A-. 1) ',. la inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa, esto es, el_. operador transposición y el operador inversión son intercambiables.. La inversa de una matriz A se calcula del siguiente modo. 1. A-. 1. =. -adj(A) IAI. Donde adj(A) es la matriz adjunta o traspuesta de la matriz de cofactores de A. A21 adj(A). =. (A11 A12. A22. A31) An. A13. A23. A33. Ejemplo ( 1 . 3 ) Dada la matriz A. 1 3 A. =. (. �1). �. o Con un determinante. IAI. =. 99, para hallar su inversa, en primer lugar se calcula. adj(A) que. es:. I�. ;I. -1�. -;11. -;11. I�. -7 adj(A). =. -1�. -;11. ;I. I!. -1¿. =. ( 2 6 1 31. -;11. -9. I�. �I. -1!. �I. I�. �I. 3. la) 12.

(24) 13. Por tanto. -7. 31 3. 1.5 Matrices cuadradas especiales. 1.5.1 Matriz diagonal. Es. una. matriz. cuadrada A. =. [a¡¡]. de. orden m. =. diagonal principal son iguales a cero, a¡¡. O Vi. x. m cuyos. elementos. situados. fuera. de. la. * j,. o. a,,. O. A =. (ª11. o. Escribimos una matriz diagonal como A. =. o. diag(a 11, a 22,. •.. ,. ªmm)·. 1.5.2 Matriz identidad. Es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales a uno, se. denota por lm-. o 1. o. 1.5.3 Matriz escalar. Es una matriz diagonal cuyos elementos de. la diagonal. principal son. todos. iguales a A E R.. Veremos que una matriz escalar es el producto de un numero A por una matriz identidad, Mm·. 1.5.4 Matriz triangular inferior. Es una matriz cuadrada cuyos elementos por encima de la diagonal principal son todos nulos,. a;¡=. ov. < j..

(25) 14. o ª22. ªf'. A =. (ª11. .:J. ªm1. 1.5.5 Matriz triangular superior. Es una matriz cuadrada cuyos elementos por debajo de la diagonal principal son todos nulos,. a,. 1. =. O'v'i > j.. o. 1.5.6 Matriz nula. Es una matriz (cuadrada o rectangular) cuyos elementos son todos iguales acero, se denota por. o.. 1.5. 7 Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada de orden m A. a. = [ a,1]. cuyos elementos satisfacen. . Una matriz simétrica es igual a su traspuesta,. A = A'.. 1,. 1.5.8 Matriz idcmpotcntc. 2. Es una matriz cuadrada que cumple A. =. AA. =. A.. 1.5.9 Matriz ortogonal. Es una matriz cuadrada que cumple AA'. =. Im.. 1.6 Autovalores de una matriz. Sea A una matriz cuadrada de orden m. La ecuación característica de A es:. la condición. a,1. =.

(26) 15. IA. = o. - ..U I. Que es una ecuación polinomial en A de orden m. Ejemplo ( 1 . 4 ) La ecuación característica de la matriz A = (;. 2 1. = (1 - ?c). 2. i). es:. 2. -. 4 = A. 2?c - 3 =. -. o. 1 - ?c. Los autovalores de la matriz A son las raíces ?c1 = -1. Las. raíces Av .... , }.,,¡. de. la. ecuación. característica. y ?c. 2. I A -. = 3. ..U I. = O s e. denominan. autovalores,. valores propios, raíces características o raíces latentes de la matriz A.. Los autovalores de una matriz simétrica pertenecen al cuerpo de los números reales.. l. 7 Diagonalización de matrices. Una. matriz. cuadrada A = [a¡¡]. de. orden. m es. diagonalizable. cuando. existe. una. matriz. cuadrada P = [P¡¡] de orden m no singular tal que. Donde D = [d¡¡] es una matriz diagonal de orden m.. Si una matriz cuadrada A de orden m es diagonalizable, entonces los elementos de la diagonal. principal. de. D. son. los. autovalores. Ai, ... , }.,,¡. de. A ,. y. las. columnas. correspondientes autovectores p,, . . . , Pm·. Una matriz cuadrada A con autovalores distintos es siempre diagonalizable.. Si la matriz A es simétrica, A = A' entonces p-l. =. P' y A = PDP'. La descomposición espectral de una matriz simétrica A de orden m es. de. P ,. son. los.

(27) 16. m. A. L jI;_ p ; p ' ;. =. i=l. 11 En donde D = {A. 1/2. 1. .... "m. 1/2}. La descomposición de Cholesky de una matriz definida positiva A de orden m e s. A=T'T. En donde T. =. es una matriz triangular superior.. Los elementos de la primera columna de la matriz T pueden obtenerse mediante las reacciones. j. =. 2, ... , m. Y los elementos de las siguientes columnas. i -1. tii. =. ªª - I. i. t�i. =. 2, . . .. ,m. k=1. i. =. 2, . . . , m. =. i. + 1, . . . , m.

(28) 17. CAPÍTULO 2 FORMA CANÓNICA DE JORDAN PARA. CARACTERIZAR LA RAÍZ CUADRADA DE UNA MATRIZ. 2.1.. Existencia de raíces cuadradas de matrices. Para la elaboración de este capítulo, se revisaron los libros y. artículos [14], [24], [JO], [13}. y [18].. Dada una matriz A n x n con elementos complejos A E en x n , una solución X E en x n de la. ecuación. cuadrática matricial.. =X. 2. F(X). - A = O. 1. (2.1). 2. es una raíz cuadrada de A , y la raíz cuadrada particular A 1. 1. (A f. 2)2. =. A. y. ReJ.k(A. 1. 1. 2). >. es definida por:. O para toda k. donde J.k(A) es un valor propio de A.. Cualquier. entonces. solución. estamos. de. en. (2.1). el. proporciona. plano. complejo. una. raíz. además. de A E e n x n .. cuadrada. es. bien. sabido. que. la. Cuando n. raíz. =. cuadrada. 1,. de. cualquier número complejo existe. Todo número complejo diferente de cero tiene dos raíces. cuadradas distintas.. A diferencia de. la raíz cuadrada de un. escalar,. la raíz cuadrada de. una. matriz A E en x n puede no existir.. Por ejemplo, la matriz singular:. A = ( �. �). no tiene raíz cuadrada. Sin embargo la matriz singular:. A=(�. Tiene raíces cuadradas X 1 = A = (�. por. lo. tanto. resolver. y. la existencia. abordar.. Para. de. la. �). y. �). X2 = - A = ( - 1 O. raíz cuadrada de. caracterizar. las. raíces. una. matriz. cuadradas. no es. de. �). un. una. tema tan. matriz,. sencillo. de. primeramente,.

(29) 18. presentaremos. la. forma. canónica. de. Jordan,. la. cual. puede. ser. usada. para. obtener. las. condiciones de existencia de una raíz cuadrada de una matriz no singular.. 2.2. La forma canónica de Jordan. Sea. una. m1, m2,. matriz A E (nxn con p valores. . . . , mp. propios. distintos ili,. il.2,. ..•. ,. ilp de. multiplicidades. de modo que. m1. +. m2. + ··· +. mp. =. n.. Entonces existe una matriz P no singular de tal manera que. A. =. 1. PJP-. E cnxn,. (2.2). Donde. 1. J. = di�g(Ji,lz, ... ,Jp), I,. = ] ¡ ( il ; ). =. 1 ) E cm,xm,.. l. (2.3). il¡. (il. il¡. Además también se cumple que:. f(A). =. PfU)P-1 E cnxn. (2.4). Los]¡ (il.1) son los llamados bloques de Jordan y están dispuestos en diagonal. La forma (2.3) es llamada la forma canónica de Jordan de A.. El bloque de Jordan]¡(il¡) de tamaño k x k y valor propio il¡ es la matriz cuadrada k. tiene el. numero il¡ en. la diagonal. principal;. El número. I. en. la supradiagonal. número O en los restantes t é rm i n o s .. Por ejemplo, el bloque de Jordan de tamaño 3. X. 3 y valor propio 5 es. 1. 5. [�. El bloque de Jordan de tamaño 2. X. o. !]. 2 y valor propio -4 es. 1 ] [-4. O. -4. El bloque de Jordan de tamaño 1 x 1 y valor propio 8 es [8]. X. k que. principal; y el.

(30) 19. Cuando un bloque de Jordan de tamaño k x. k presenta una multiplicidad geométrica I y una. multiplicidad algebraica k, A1 será su único valor propio.. Un. suprabloque de Jordan. de tamaño m x m y valor propio A1 es. una matriz cuadrada m. x. m formada por:. •. Uno o más bloques. propio A. 1,. de Jordan de diversos o iguales tamaños, todo con el mismo valor. ubicados diagonalmente (es decir, tales. que. la diagonal. principal. de cada. bloque' es parte de la diagonal principal del suprabloque). •. Ceros en los restantes términos del suprabloque. Por ejemplo, un suprabloque de Jordan de tamaño. bloques de Jordan de. 6 x 6 de valor. propio. 7, formado por tres. tamaños 2 X 2, 3 X 3 y 1 x 1 respectivamente es:. 7. 1. O. o. o o. o. 7. O. o. o o. o. O. 7. 1. o o. o. o o. 7. 1. O. o. o o. o. 7. O. o. o o. o. O. 7. Una matriz cuadrada n x n es una forma canónica de Jordan si está formada por:. Por. •. Uno o más supra bloques de Jordan, ubicados diagonalmente.. •. Ceros en los restantes términos de la matriz.. ejemplo,. una. forma. canónica. de. Jordan. con. un. supra. bloque 2 x 2 fonnado. por. dos. bloques de valor propio 7, un suprabloque 3 x 3 formado por dos bloques de valor propio cero. y un supra bloque 1. x. 1 de valor propio 3, es:. [TI. o o. o. o. o. o o. [z] o. o. o o. o. o. o o. º·. o. o. o. o. 1. o. o. o. o. o o. o. o. o. o. o Ll]. O.

(31) 20. Véase que en este ejemplo la matriz tiene valores propios il1 = 7 con multiplicidad algebraica. 2. y. geométrica. 2,. il2. =. O con. multiplicidad. algebraica. 3. y. geométrica. y il. 2,. 3. =. 3 con. multiplicada algebraica 1 y geométrica l .. Una forma canónica de Jordan tiene como valores propios a los números de la diagonal, con. multiplicidad algebraica igual a la cantidad de veces en que esta repetido en la diagonal (o sea. igual al tamaño del suprabloque respectivo), y multiplicidad geométrica igual a la cantidad de. bloques que forman el respectivo suprabloque.. En particular la forma de Jordanes diagonal (es decir, todos sus términos fuera de la diagonal. principal son nulos) si y solo si los bloques de Jordan tienen todos tamaño 1 x 1, y esto ocurre. si. y. solo. si. la. cantidad. de. bloques. que. forman. cada. suprabloque. es. igual. al. tamaño. del. suprabloque, o sea, la multiplicidad geométrica es igual a la algebraica para todo valor propio.. El. teorema. fundamental. de. matriz cuadrada, mediante. las. 1111. formas. canónicas. de. Jordan,. dice. cambio. de base, se puede llevar a. esencialmente. 11110. que. "toda. forma canánica de. Jordan ''.. Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces existe una matriz. Jordan,. y una. matriz P invertible. (o sea no. singular),. J que es una forma canónica de. ambas n x n con. términos complejos,. tales que:. A = p¡p-1. Como se mencionó anteriormente, la matriz/ es llamada/arma canónica de Jordan de A.. La. matriz P se llama matriz de cambio de hase de Jordan. La forma canónica de Jordan J y la matriz P de cambio de base de Jordan para la matriz dada. A no son únicas.. En efecto, permutando. los suprabloques de. J, o los bloques dentro de cada. suprabloque, se obtiene otra forma canónica de Jordan para A.. El. siguiente teorema permite. en. muchos. casos,. calcular la. forma canónica de Jordan. de A,. mediante el cálculo de los valores propios de A y de la dimensión de sus subespacios propios.. Sea A una. matriz n x n. y. sean il,. ... , iln sus valores. algebraicas m,. . . . , mk y multiplicidades geométricas. propios. r1,. .•. ,. diferentes,. con. multiplicidades. rk respectivamente.. Entonces la forma canónica de Jordan de A tiene k suprabloques, cada uno de valor propio il¡,. tamaño. m¡. x m; , y formado por r¡ bloques..

(32) 21. Por ejemplo, sea la matriz. A:. o -1. A -. -. -1. [-1. o. o. o. o. La forma canónica de Jordan de A será:. El. con. polinomio. característico. de A. det(A - ).I) = -(1 - 4)(1 + 1). =. multiplicidades algebraicas respectivas m1. por dos. suprabloques:. uno. de. valor. 1 y m2. =. propio 4 y tamaño 1. 3.. X. 3. J va a estar formada. Entonces. 1,. 11 = 4 y 12 = -1. �. y otro. de. valor. propio. -1. y. tamaño 3 x 3. Para determinar completamente la matriz/ necesitamos saber cuantos bloques. forman el suprabloque de tamaño 3 x 3, o sea la multiplicidad geométrica r2 del valor propio - 1 . Para ello hallemos el subespacio propio.. Subespacio propio del valor propio - 1 = n - rango(A. Luego. entonces,. el. suprabloque 3. x. 3 de. valor. Entonces estos dos bloques tendrán tamaños 1. números naturales mayores. x. 1 y 2. dada A ya. es. -1,. x. 4 - 2. esta. =. 2. formado. 2, ya que. por. dos. bloques.. 1 y 2 son los únicos dos. o. -1. o. o. -1. o matriz. =. o iguales que 1 que suman 3. Entonces:. J = [!. la. l). propio. o. Si. +. una. forma. canonica. o de. Jordan,. es. necesario. determinar J y P tales que A = PJ r : ' . En efecto basta tomar J = A y P =. hacer cálculos. para. I. Las siguientes propiedades de la forma canónica de Jordan pueden deducirse en forma sencilla. de los resultados ya vistos.. 1.. La forma canónica de Jordan es diagonal. si y solo si. las multiplicidades geométricas. son iguales a las algebraicas para todo valor propio de A, esto sucede si y solo si A es. diagonalizable. 2.. Si A es diagonalizable entonces su forma canonica de Jordan es la matriz que tiene en. la diagonal. los valores propios de A repetidos tantas. algebraicas, y ceros en todos los demás términos. veces como sus multiplicidades.

(33) 22. 3.. Si. 2 x 2 y. matriz A es. la. tiene. un. solo. valor. propio. doble A1. con. ¡J. 1. geométrica igual a 1 , entonces su forma canonica de J o r d a n e s. J. multiplicidad. = [�. Existen procedimientos, que no veremos en general, para encontrar una matriz P de cambio de. base Jordan: es decir una matriz invertible P tal que. 2.3.. El. 1. A = p¡p-. El número de raíces cuadradas de una matriz. siguiente. determina. teorema. cuáles. Teorema: Si A. de. caracteriza. ellas. las. raíces. corresponden. a. cuadradas. de. una. matriz. funciones. de. matrices. cuadrada. en. el. compleja. sentido. de. y. (2.4). E cnxn es una matriz no singular con la descomposición de Jordan. A = p¡p-l. =. Pdiag(h,.h,, ···,hr)p-l. (2.5). r. Donde. J'r. E. cnxn, r es. el. número. de. bloques. de. Jordan,. ¿ n;. =. n que es el número de. k=I. valores. propios y s e s. el. número de valores. propios diferentes de A.. Entonces. si (s s; r) se. verifica lo siguiente:. Que la matriz A. tiene precisamente. zs. raíces cuadradas que son funciones de A en el sentido. de(2.4). Ahora sabemos que cualquier matriz A E icnxn no singular tiene raíz cuadrada, eso. significa. que la ecuación ( 2 . 1 ) tiene solución. Sin embargo, el número de raíces cuadradas varía de 2 al. i n fi n i t o .. Por. ejemplo analicemos. la. matriz. A =. De. (2.5). La. forma. canónica. de. Jordan. tanto utilizando la función de Matlab. tenemos. (Zs. 10) 22. de A será:. diag(h,./.a.,, .... ,J;.J. =. 1. Q- AQ,. por. lo. [Q, J]=jordan(A) con una aproximación de 3 decimales.

(34) 23. Como. puede. observarse. o sea r. Jordan. =. 2 ,. la. forma. además. canónica de Jordan. tiene. 2. cumple que (s :;; r) entonces A tiene 2. valores 2. =. de A está compuesta. propios. diferentes. o. sea s. =. de 2 bloques. 2,. dado. que. de. se. 4 raíces cuadradas que con una aproximación de 3. decimales son las siguientes;. 567 Xi,. =. X2. ±. (1. 2.611. 1.741). !). 4.178. Analicemos otro ejemplo, calculemos las raíces cuadradas de la matriz. A =. 3 (-1. -3. De (2.5) La forma canónica de Jordan de A será:. o = diag(h,.h,, ... ,];.,) = [�. J. 2. o. Como. puede observarse. Jordan. o. sea r. =. 2 ,. la. forma. además. canónica de Jordan. tiene. 2. cumple que (s :;; r) entonces A tiene 2. valores 2. �]. de A está compuesta. propios. diferentes. o. sea s. =. de 2 bloques. 2,. dado. que. de. se. = 4 raíces cuadradas que con una aproximación de 3. decimales son las siguientes;. -1.606 X 1,. X2. =. :¡:. 1.607 (-0.192 -1.242. -19.607. -1.242) X3,X4 = :¡:. 1.234. 3.021. 1.000. -1.243. Por último desarrollaremos detalladamente paso. 19.607 (-18.192 -7.243. 7.243. -7.243. -1. por paso el siguiente ejemplo y calculemos. las raíces cuadradas de la matriz A.. -323. -323. -326. -325. -259. 261. 261. -260. -237. 237. 238. -237. 322. A =. 325 (. 322) 326. Primero obtendremos el polinomio característico de A de la siguiente manera. IA. -. M. -7.243). 21.021. I. =. o.

(35) 24. - 3 2 6 - Jc. -325. 326. 261. 2 6 1 - Jc. -260. 237. 238. - 2 3 7 - Je. (322 - Je). 323. 325. - 3 2 6 - Jc. 326. -259. 261. -260. 237. - 2 3 7 - Jc. -237. + 323. -322. 325. -325. 326. -259. 2 6 1 - Jc. -260. -237. 238. - 2 3 7 - Jc. 325. - 3 2 6 - Jc. -325. -259. 261. 2 6 1 - Jc. -237. 237. 238. = O. Desarrollando y simplificando tendremos el polinomio característico de A :. (Je - 5). =. Por lo tanto Jc1 multiplicidad. propios. del. =. =. Jc4. a cuatro. lo. Jc2. igual. valor. Jc3. propio. =. 5. = O. o sea el único valor propio de A es cinco. cual. A; = 5. 4. nos. para. indica. que. determinar. tendremos. de. compuesta la forma canónica de Jordan de la matriz A.. que. cuantos. checar. bloques. y aparece con. los. de. subespacios. Jordan. estará. El número de bloques lo proporciona. la siguiente fórmula.. No. De bloques= tamaño de A - rango (A - 5/). -323. -323. -331. -325. -259. 261. 256. -260. -237. 237. 238. -242. 317 (A_. 5/). 325. =. 322) 326. (. El. rango. se. define. independientes,. en. como. este. caso. el. número. utilizando. de. la. columnas. o. renglones. función rank(A - 5/). de. que. son. Matlab,. se. linealmente. obtiene. un. valor del rango igual a 3, por lo tanto el número de bloques de Jordan será: (4-3)= 1 , entonces. la forma canónica de Jordan tendrá la siguiente forma.. J =. 1 S. O 1. O. O. 5. 1. o. o. o. s. (5. Dado que r. =. 1 ys. =. º). O. O. 1. 1 por lo tanto el número de raíces cuadradas sera 2. Aplicando (2.4). ,/A =. Pfj. p-1. =. 2..

(36) 25. Ahora. se. tienen. dos. problemas:. el. primero. es. calcular. la. raíz. cuadrada. JJ. de. que. puede. decirse que es relativamente sencillo, y el segundo que es calcular P. Las columnas de P serán. los vectores propios de A. Calcularemos primero. Como es sabido,. Jj.. la raíz cuadrada de una matriz triangular superior, también será otra matriz 2. diagonal superior, por lo tanto debe existir una matriz triangular superior X tal que X. (1. X12. X13. X22. Xz3. Xz4. o. X33. X34. o. o. X44. 1 X12. =. X24. _. Ü. 5. 1. Ü. o. X33. X34. -. Ü. o. 5. Ü. o. o. X44. Ü. o. o. =. x22. =. x33. x44. 1. ""). =. .Js. =. X23. X34. ; Xl3. 2..fs. X22. ('. 1. =. (X33. -1. !). luego. -1. -X12X23. = -- = +. X23. 1. = Xu. X13. "")C. Desarrollando tendremos que: x11. o. X12. X22. Ü. =I.. +. Xu). -1. =. =. 40..fs. X24. 1. ---+---X12X24 X14. = (X11. +. 2 .Js . 40../s. X13X34. +. = 2.Js. X44). 1. -1. 2,/s. 40,/s. - 400,/s. 1. -1. 2,/s. 40,/s. .Js. JJ =. Por lo tanto:. 400../s. 1. .Js. o. 1. 40../s. 2.Js. =. Ahora calcularemos P. 1. o. o. .Js 2,/s. o. Una. fonna. sencilla. de. o. obtener. los. o. .Js. (n - 1 ). vectores. propios. sin. resolver. un. sistema. de. ecuaciones lineales se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada matriz. cuadrada. satisface. su. propio. polinomio. característico.. Así,. si ili,. propios de A se cumple que. (A - il 1 /)(A - il2/) . . . (A - An/) = O, por lo que los vectores columna de. (A - il. 2. /). .... (A - iln/). son vectores propios de il1. Por lo tanto el polinomio característico de A tiene la forma. (il1. -. 5)(il 2. -. S)(il3 - S)(il 4. -. 5) = O. il 2,. .•. ,. iln son. los. valores.

(37) 26. Aplicando el teorema de Cayley Hamilton la primer columna del producto. (A - 5/)(A - 5/)(A - 5/). Nos proporciona la primera columna de P. Desarrollando tendremos:. =. (A - 5/)(A - 5/)(A - 5/). 5922. -9198. -9828. .!t;;. -6570. -7020. 6048) 4320. 2. 5548. 5928. -3648. -5170. 8030. 8580. -5280. (. La columna en negritas es la primer columna (v1) de P, luego tenemos 2857. -3467. -3468. -2977. -3012. -1962. 2462. 2488. -1952. -2392. 2868. 2858. -2368. =. (A - 5/)(A - 5/). 2363 (. 2832) 2352. La columna en negritas es la segunda columna (v2) de P, continuando tenemos -323. -323. -331. -325. -259. 261. 256. -260. -237. 237. 238. -242. 317 (A_. ) = 5/. 325 (. 322) 326. La columna en negritas es la tercer columna (v3) de P, continuando tenemos que se deben de cumplir las siguientes relaciones para matrices con 4 valores propios.. (A - ,l1 /)v2 = v1. Ya hemos calculado. Vi,. v2 y v3, y como tenemos 4 valores propios iguales, por lo tanto:. El símbolo"\" significa el proceso de eliminación gaussiana, sustituyendo valores tenemos.. v.=. 317. -323. �323. 325. -331. -325. -259. 261. 256. -260. -237. 237. 238. -242. (. 326 322 ). 1 325 317 \. -259 -237. Finalmente la forma que tendrá la matriz de transformación P es:. p. =. 5922. 2857. 4230. 2363. 317 325. -3572. -1962. -259. O. -5170. -:-2392. -237. O. 1) O. (. Bien, ahora ya estamos en condiciones de calcular la. -vif. = P.jj. -vA. p-1. O 11]. l =. O O.

(38) 27. Sustituyendo valores y ejecutando operaciones con una aproximación de 4 decimales se llega. a que. ..JA. =. 47.7982. -43.7464. -44.4396. +. 50.9823. -45.8394. -46.8456. 51.4296. -. -39.9720. 37.0382. 38.2904. -40.3923. -32.0317. 29.9074. 30.8577. -31.3049. (. 47.1005). Como puede verse, el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz utilizando la forma canónica. de Jordan no es una tarea sencilla, además la forma canónica de Jordan es muy sensible a la. propagación de pequeños errores y su cálculo. implica un costo computacional considerable,. por lo tanto este método no es atractivo para el cálculo de raíces cuadradas de matrices, sólo es. útil. para. su. caracterización.. Debido. a. lo. anteriormente. cálculo de raíces cuadradas de matrices, son. siguientes capítulos de este trabajo de tesis.. expuesto,. los métodos. lo. más. iterativos que. adecuado. para. se estudiarán en. el. los.

(39) 28. CAPÍTULO 3 LOS MÉTODOS DE NEWTON PARA EL CASO. MATRICIAL. 3.1. El método. de Newton. para el cálculo de la. raíz cuadrada. principal de. una. matriz singular. Para la elaboración de este capítulo, se revisaron los siguientes artículos y libros [14}, [18},. [30} [26} [19} y [7}. El. Método. de. Newton. (MN). es. uno. de. los. métodos. numéricos. más. poderosos. y. bien. conocidos para resolver un sistema no lineal f(x) = O . Para una función escalar f, el (MN). está definido por la siguiente iteración. f'(xk). *. k = O, 1, 2, .... O,. (3.1). Una aproximación natural al calcular una raíz cuadrada de una matriz A es aplicar el (MN),. consideremos una función general F: icnxn --> icnxn para dar solución a F(X) = O. propone una solución inicial X0. y el siguiente proceso iterativo (30].. F' denota la derivada de Fréchet de F [26], como se define en (3.3). donde. F(Xk. el (MN). +. Donde. H) - F(Xk) = F'(Xk)H. llw(Xk,H)II. --> O. +. cuando. w(Xk, H). IIHII. para toda. IIHII. <. E,. para algun E > O. (3.3). --> O. IIHII. Expandiendo F (X+ H) en series de Taylor a primer orden se tiene. 1. F(X. +. H) = F(X). +. F'(X)H. F'(X)H = F(X. 2. Para F(X) = X. -. A. tenemos que. +. +. z F"(X)H. 2. H) - F(X). + ···. (3.4).

(40) 29. F(X + H). F(X. +. 2. H) - (X. -A). =. ( X + H). =. F(X. +. 2 -. A. H) - F(X). =. XH. +. HX. +. 2. 2,. H. H. O. ..... Y comparando con (3.4) vemos que. F'(X)H. =. XH. +. (3.5). HX. De (3 .2) se tiene. (3.6). Donde. H¿. = Xk+1 - X k .. Combinando ( 3 . 5 ) y (3.6) se obtiene el (MN) para el cálculo de la. raíz cuadrada de una matriz no singular A. k. El teorema de convergencia local estándar para el (MN) [30]. suficientemente. pequeño. y. la. transformación. lineal F' (X). =. 0,1,2, .... (3.7). dice que, siempre. sea. no. singular. IIX. la. -. Xoll. sea. iteración. de. Newton (3.7) converge cuadráticamente a una raíz cuadrada de A.. Para calcular la raíz cuadrada de. cabo. con. la. ayuda. del. A nos obliga a resolver (3. 7) para H k> esto se puede llevar a. operador vec que. para A se. define. como vec(A) (que. significa. apilamiento de las columnas de A una debajo de otra iniciando de izquierda a derecha),. con. el. producto. de. Kronecker A © B = (aijB).. utilizando la propiedad vec(AXB). =. Aplicando. el. operador. vec. a. el. junto. (3.7). y. (B" © A)vec(X) [7] y [ 1 9 ] se obtiene. (I © X + X-. 181 l)vec(H). = vec(A - X. 2).. (3.8). El sistema lineal (3.8) puede ser resuelto utilizando cualquier método estándar, siempre que la 2. matriz de coeficientes sea no singular. Sin embargo (3.8) es un sistema lineal de n. x n. 2 ,. lo. que implica un alto costo computacional para su solución que de acuerdo a [ 1 8 ] , es del orden. de 2n6i9 log. 2. p,. 1 :,; i9 :,; 2 operaciones aritmeticas por iteración, lo cual hace poco atractivo. al (MN) para el cálculo de la raíz cuadrada. una matriz no singular..

(41) 30. Una. consideración. razonable. para. simplificar. (3.7). es. que. el. producto XkHk conmute,. es. decir. Entonces la iteración (3. 7) puede ser escrita como. Obteniéndose. dos. nuevas. iteraciones. conocidas. k. =. 0,1,2, .... como. el. Método. Simplificado. de. Newton. (MSN). Y0. =. o. A,. Y0. =. l. }. (3.9) Yk+i = O.S(Y k. Z0. =. A,. o. +. Yj/ A). =. Z0. l. }. (3.10) Zk+i = O.S(Zk. +. AZj/). 3.2 Análisis de convergencia del Método Simplificado de Newton (MSN). Teorema. l.. Sea An =. A¡, {Re(A¡) > O,. O. <. A I I A l l ¡;:. IJd. 1. una. matriz. no. singular. con. valores. propios. 5 1} el (MSN) en la forma ( 3 . 1 1 ) converge cuadráticamente a una. raíz cuadrada principal Y de An siempre que ·. 11. Y - Y O II sea lo suficientemente pequeño y Y¡;-'. 1¡. -1¡. sea no singular. Es decir Y =. Partiendo del (MSN). normalizada. ..J7fn. =. -1AIIAIIF. 2. o sea. (3 .9) y considerando que An. -1A. E cnxn. =. YIIAIIF. 2.. es una matriz no singular. (3.11). Se analizara su convergencia a través de la forma canónica de Jordan An. 1. p- AnP. obteniendo. =. 1. PJP-. o bien]=. la diagonalización de ( 3 . 1 1 ) de la siguiente manera.. De acuerdo con la forma canónica de Jordan para una matriz An no singular, existe una matriz. de paso P no singular de tal manera:.

(42) 31. r. = p-. 1. AnP. =. diag[Ai,Az, .... T e s una matriz diagonal cuyos elementos. (ila. n ?:. , Jc i J ,. •. z. i. (3.12). son los valores propios de A n .. Aplicando la representación (3 . 1 2 ) se tiene que:. P. p _ D. -1y k+l. -. k+1. _ d· -. Lag. [dk+1 1. dk+1 ,. 2. 1. dk+1] , ... ,. 1. 1. - tr:» - d . [ P -1y-1p k k Lag k • k. dl. i. 1 • • • 1. di. k d¡. l. Sustituyendo las matrices diagonales equivalentes en ( 3 . 1 1 ). Suponiendo que se trata de una matriz A de 3 x 3. o o. [(d})-1. l. 1. o. +. Cd�r. o. d}. o. o. Desacoplando se tiene que. dk+l 2. =. �(é 2. 2. + il2) é 2. Lo anterior puede representarse de la siguiente manera. (3.13).

(43) 32. Manipulando algebraicamente (3 . 1 3 ) se tiene. (3.14). (3.15). Dividiendo (3 . 1 5 ) por (3. 1 4 ) se tiene que. 2 1. df(dr+ )-At _ (d1). -,li. Para k = 0,1,2, .... 2. d1(df"). (3.16). - (dr) +A¡. (3.17). df =. Sustituyendo como valor inicial. 1 en (3 . 1 7 ) se obtiene. 1. =. G(,J¡). Para calcular. df. se sustituye. df. +. (3.18). Ji. en ( 3 . 1 3 ) y se obtiene. d1 = � '. Sustituyendo. ( 1 - Ji) 1. (1. +. A¡). 2. =. 1. 1. +. A¡. (3.19). 2. (3.19) en (3 . 1 7 ) se obtiene. G ( dk ¡ , A¡. 1. 2. ) -. - (1 - Ji). 2. (3.20). l+6A¡+A¡. Para calcular. dt. se sustituye (3.19) en ( 3 . 1 3 ) y se obtiene. 2. d¡. Sustituyendo. _. 1 (. -. 2. 2J¡. 1. + A¡). 1 + k +2 -. (3.21). ,. (3.21) en ( 3 . 1 7 ) se obtiene. (3.22). Para calcular. dt. se sustituye (3.21) en ( 3 . 1 3 ) y se obtiene.

(44) 33. 1 d3 = 2. l. 2k. 2,1. +. l. 2. + 1 + A¡. ZA¡. �. Sustituyendo. 1 (. ��--'��+. 1. + -1¡. 1. +. ,1·) (3.23). l. 2 -. 2. (3.23) en (3 . 1 7 ) se obtiene. (3 .24). Analizando las ecuaciones desde (3 . 1 8 ) a (3.24) se observa que presenta un comportamiento. que se ajusta a la siguiente expresión. (3.25). Donde P(A¡) es un polinomio de grado 2k que representa un número complejo cuyo. módulo. es mayor que la unidad.. Igualando. (3.17). con. (3.25) se obtiene la siguiente relación. 2. J. (dk) i. Esta. relación. por. su. forma. 1. -. i. _. ( df}2 +. A¡. -. nos. permitirá. (1 _. ,_.)C2•) (-) '. probar. (3.26). P(A¡). que df =. J}:¡,. cuando k --. oo,. limites en ambos lados. (dnz-A¡. =. lim k;oo. Desarrollando. (df}2 +. A¡. lim k;oo. lc1. _,_.)C2•)_1_1 '. P(A¡). aplicando.

(45) 34. Debido a las características de An. O. <. 11 -. Ad �. 1 además. IP(�,)I. <. 1. para toda i,. por lo. tanto. (3.27). La expresión (3.27) será verdadera si y solo si. (df/. = A¡. cuando. k =«. oo, lo cual implica que:. d1 = F,. cuando k --+ oo. (3 .28). = ..fi. cuando k --+ oo. (3.29). z- 1. cuando k --+ oo. (3 .30). Acoplando (3.28). Dk. luego tenemos que. ZDkz-. 1. = z,fi. Yk = Y = {An =. v'AIIAll;. 112. cuando k =+ oo. (3. .3. 1). finalmente. De esta manera queda demostrado que el (MSN) es convergente.. 3.3 Análisis de estabilidad numérica del (MSN). Por conveniencia se trabajará con la forma (3. Si. Yk. . 1 1 ). del (MSN):. representa la k-ésima iteración perturbada con. (Higham,. la matriz de perturbaciones. /:,.k. entonces. 1 9 8 7 ) ( 14).. (3.32). (3.33).

(46) 35. Perturbaremos. perturbación. (3.11). en. la. con. (3.33),. (k+ 1 )-ésima. para. analizar. iteración. cómo. perturbada. se. comporta. la. representada. propagación. por. la. Considerando que no se introducen nuevos errores de redondeo en el cálculo de. de. esta. matriz. Í'.+1. Yk+1. se tiene. .. que. (3.34). Desarrollando. (3.35). Restando (3 . 1 1 ) de (3 . 3 5 ) se obtiene el error. llk+l. (3.36). Diagonal izando (3 .36) se tiene que. (3.37). (3.38). p-1y-1p _ k. -. v-1 _ k. p-1 AP =. -. T. d. iag. [ 1 1 k•k dl d2. = diag[il.i,il. 2 ,. 1 " · 1. •••. 1 ] k. (3.39). d¡. , il. ¡ ]. (3.40). Sustituyendo en (3.36) desde (3.37) hasta (3.40) se tiene. (3.41).

(47) 36. Simplificando (3 .4 l). Como quedó demostrado en el análisis de convergencia. Si k ---> oo, d� =. ,{f:¡. y dl =. fJ:¡ por. "k. 1. 8k+1 - Óij. 2. •. Dónde debe cumplirse que. �. 1 1 -. lo tanto. _. G'.il. <. il1. (. 1 -. (il.). 1). 2. para asegurar la no amplificación de los errores. 1. 1. y por ende la convergencia del (MSN). Se tiene que. max. Gi)'. =. K2(An)�. donde K2(An) es. '. el número de condición de An. (3.42). Resolviendo (3 .42). 1. 2 ;::: -1. +. K 2 (An)2;::: -2. 1. 3 ;::: K (An)l;::: -1 2. 9 ;::: K. De. acuerdo. a. (3.43). el. (MSN). es. 2. (3.43). ( A n ) ;::: 1. numéricamente. condición mayor igual que l pero menor igual que 9.. estable. para. matrices. con. número. de.

(48) 37. Lo anterior representa una fuerte restricción que hace poco atractivo al (MSN) para el cálculo. de la raíz cuadrada principal de una matriz no singular..

(49) 38. CAPÍTULO 4 ALGUNOS ALGORITMOS EXISTENTES PARA EL. CÁLCULO DE LA RAÍZ CUADRADA PRINCIPAL DE UNA MATRIZ. NO SINGULAR.. Para la elaboración de este capítulo, se revisaron los siguientes artículos y libros [17}, [8],. [28}, {27], [29}, [14}, [13}, [19}, [23}, [32}, [12}, [11}, [15}, [25}, [4}, [16}, [22}, [21}, [20},. [9}, [31} y {33}.. 4.1. Un. método. simplificado. de. Newton. para. calcular. la. raíz. cuadrada. de. una. matríz real simétrica definida positiva (IASMN). Este. algoritmo. fue. desarrollado. por. el. C.. D.. Alfredo. Mendoza. Mexía,. Maestro. de. tiempo. completo del Departamento de Física Matemáticas e Ingeniería de la Universidad de Sonora. Unidad Regional Sur.. Este trabajo de investigación original fue publicado por la Revista Internacional de Métodos. Numéricos. de. la. Universidad. Politécnica. de. Catalunya. de. España. en. marzo. del. 2 0 1 O.. A. continuación, se reproducen las secciones más importantes.. Un. método. usual. para. calcular. la. raíz. cuadrada. de. una. matriz. es. el. Método. de. Newton. (MN)[23)[1 l ) , además de este método existen muchos otros, por ejemplo: H i g h a m [ l 5 ] analizó. el comportamiento de un conjunto de métodos para calcular la raíz cuadrada de matrices en. general,. contemplando. también. el. caso. hermitiano.. Para. el. cálculo. de. raíces. cuadradas. de. matrices en general, Meini[28] desarrolló el método de reducción cíclica y, más recientemente,. Long[27] desarrolló el algoritmo de Newton con incorporación de búsqueda lineal exacta.. El. problema. problemas de. acuíferos,. en. de. calcular. la ciencia. la. la. raíz. y la. cuadrada. ingeniería. construcción. de. de. [12],. funciones. una. matriz. se. por ejemplo:. de. matrices,. puede. en. la. en. encontrar. modelación. la. solución. a. menudo. en. estocástica de. de. ecuaciones. diferenciales, en control automático, en robótica, entre otros. La teoría de existencia de la raíz. cuadrada de una matriz y del. trabajo se desarrolla una. para. calcular. la. raíz. número de raíces está bien documentada en. iteración. cuadrada. [ 19],[ 14].. alternativa simplificada del Método de Newton. de. una. matriz. real. simétrica. definida. computacionalmente económica, convergente y numéricamente estable.. En este. (IASMN). positiva. que. es.

(50) 39. 4.1.1. Iteración alternativa simplificada del método de Newton (IASMN). cálculo. de. raíces. cuadradas. principales. de. matrices. reales. simétricas. para el. definidas. positivas.. Sea. q' Aq >. A. o. e R=". para. una matriz real simétrica definida positiva, es decir,. todo. vector. q ,;. O. en. R". ,. además. todos. los. valores. satisface qué. propios. A = A'. de. A. y. son. positivos[23].. La matriz real simétrica definida positiva. X e R"'" es una raíz cuadrada de. A. si satisface. la siguiente ecuación cuadrática matricial. 2. F{X)=X. Por simetría de. (4.1). -A=O. X se tiene que. X=X'. (4.2). X ( X) = X ' ( X ). (4.3). Sustituyendo (4.3) en ( 4 . 1 ). (4.4). F(X)=X'X-A=O. Construyamos las iteraciones del MN a partir de (4.4). /1111 [F( X + H J - F ( I". XJ]=. XT. n. +. n" X. (4.5). f->'. de la siguiente expresión. jF( X + H ) - F ( X ) lim. F'(XJHI. =0. I. H->0. Donde. F'. representa. la derivada de Fréchet [32] de F , se tiene que. F'(X)H= F(X. +. H) - F ( X ). (4.6).

(51) 40. La perturbación. H•. se define por. (4.7). Combinando (4.7) con. (4.4), (4.5) y (4.6) se llega a las iteraciones del MN. Dado X. 0. =. 1'. a I;. a > O [5]. 1'. x.H.. +. 1'. H.x. = A - x . x . (4.8). x•• = 1. X• +H•. Para k = 0,1,2, . . .. 4.1.2 Análisis de convergencia del (IASMN). Teorema. l.. A. Sea. E. R""". suficientemente pequeño. una. y la. matriz. real. simétrica. transformación. lineal. definida positiva,. F' ( X J es. no. si. singular. -x,¡. es. entonces. lo. las. iteraciones (x,) proporcionadas por (4.8) convergen a X cuando k -+ oo .. De acuerdo con (4.7) las iteraciones (4.8) se representan por. x[(x,.,-x.)+(x,.,-x.Yx. =A-x[x,. (4.9). Desarrollando (4.9) y simplificando. (4.10). Para k = O , la solución inicial en ( 4 . 1 0 ) es. X0 =al.,. con. xlx, +xf x, = x,f x¿. Donde. X 0. y (x; X +A). productos. consiguiente. 11. x] x,. x,. y. y. X¡. son. X¡ X0. matrices. también. reales. a z- Il , entonces. simétricas. representan. (4.11). +A. definidas. matrices. reales. positivas,. definidas. son también matrices reales definidas positivas.. Por las características de. A ,. existe una matriz Q no singular. tal que. entonces. positivas,. los. por.

(52) 41. (4.12). Donde. ..t, ,... ,,1.,. son los valores propios de la matriz. 1. Q- X Q 1. A .. También se tiene que. = D1 = diag( df , ... ¡l!). (4.13). (4.14). (4.15). Diagonalizando y simplificando (4 . 1 1 ) se tiene. (4.16). Como puede verse. Es. fácil. DI. comprobar. es una matriz diagonal, utilizando el proceso inverso veremos que. que. x,,. además. de. ser. una. matriz. real. definida. positiva,. también. es. simétrica.. De. nuevo. encuentra. que. en. D. 2. (4.10). hacemos. también. será. k = I. y,. diagonal. utilizando. y,. que. X. 2. el. ,. es. mismo. una. procedimiento. matriz. real. para. simétrica. k=O. se. definida. positiva, y así sucesivamente, por lo tanto, generalizando se tiene. (4.17). La ecuación (4 . 1 7 ) representa esencialmente n iteraciones escalares desacopladas de Newton. para las raíces cuadradas. JI;,. 1 :5. i :5.. 11,. o sea. a:" = 1. l_(dk 1. t. +. �J d� '. 1 5. i :5. n '. (4.18).

(53) ,. 42. Utilizando la siguiente iteración escalar [ 1 3 ]. (4.19). (4.20). Zo - '>fa)i'". Zk+J - '>fa Zk+l. Para. z0 y a. positivos se tiene que. + J;. lrl. < 1,. [. 2"'. =r. (4.21). Z o + '>fa. entonces:. (4.22). Debido a que los valores propios. m i s m a forma de a y de. z. 0. -<;. y los. valores de la solución. inicial. df •I = a > O tienen. la. respectivamente, entonces se cumple que:. lim. o,. =. JI =. diag(. lT). (4.23). k--->0>. Por lo tanto,. lim QDk Q-1. =. lim Xk. k--t«J. La lASMN, se obtiene a partir de (4 . 1 7 ). =. Q.JEQ-1. = .JA =. X.. (4.24). k-t«J. de la siguiente manera. (4.25). (4.26).

(54) 43. Utilizando en (4.26) la eliminación gaussiana ( \ ) e n lugar de la inversa por ser más eficaz en. cuanto al tiempo de ejecución y exactitud numérica, se llega a la IASMN para calcular la raíz. cuadrada. X de. una. matriz. A. real. simétrica. definida. positiva,. la. cual. tiene. la. siguiente. expresión.. DadoX0=aln,a>0. xk.,. =. t(xk. +. [5]. x; \ A). (4.27). Para k = 0,1,2, . . .. Corolario.. Sea A e R'�". (4.24) es de la forma X0. una matriz real simétrica definida positiva,. =. a 1. con. si la solución inicial en. a > O, entonces todas las iteraciones {x,) proporcionadas. por (4.24) son reales simétricas definidas positivas.. 4.1.3 Análisis de estabilidad numérica de la (IASMN). Por conveniencia en la IASMN se utilizará la inversa en Jugar de la eliminación gaussiana, es. decir:. (4.28). Si. x,. representa la k-ésima. iteración perturbada con. la matriz de perturbaciones Ll,. entonces. [27]. x, .. x,. (4.29). Perturbaremos (4.28) con. ( k + l J-ésinur. (4.29),. para. analizar la. propagación de estas. iteración perturbada representada por la matriz. introducen nuevos errores de redondeo en el cálculo de. f(,.,. x,.,.. perturbaciones. en. la. Considerando que no se. se tiene. (4.30).

(55) 44. Utilizando. una. considerando que. aproximación. �r. I. de. pnmer. orden. en. senes. de. Taylor. para. (x[ +A[j' y. es una cantidad muy pequeña [ 1 2 ]. (4.31). Sustituyendo (4.3 1 ) en (4.30) y desarrollando. (4.32). Restando (4.28) a (4.32). (4.33). Utilizando la notación (4 . 1 2 ) para diagonal izar (4 . 3 3 ). (4.34). Por lo tanto tenemos que. D[ = D, =diag(df). Lik =. ot. (4.35). � =OJ;. Expresando a (4.34) como. II. iteraciones desacopladas. 5 �•+1. -». Si la matriz. A. =. J; , J -» - dJ df A¡ +. , ( �·. 2. a(h" t""k �. 1t2). l -5:. i , j -5. 1 1 .. está bien condicionada y el número de iteraciones. la matriz de perturbaciones Ll,. conserva su simetría, es decir,. (4.36). k tiende a infinito entonces. Llf = Ll,. y como consecuencia. (4.3 7).

(56) 45. Rescribiendo (4.36). (4.38). Factorizando. t5�+l =. Lt5�(1-----3:i._)+o(l::r,r) 1. / 1. d�d�. 'l. J. Si. k ----> "'. entonces se tiene que. dJ = ;.)j. +. eJ,. (4.39). •·. '. dt = ,i)' + e t ,. co11. et y eJ. ----> O. Rescribiendo (4.39). (4.40). t si.js». Para asegurar la estabilidad numérica de (4.25), y por ende la de la IASMN se debe de cumplir. que. ,l.{'. J. ,1-. JI. (4 . 4 1 ). !, J. ,l_/1. 1. El. número. de. condición. [ 17]. de. A. es. k,(A)= •. 1. _,L. 1. "1. =-. 1 5. i , j S n. ,. por. lo. tanto,. A.;. Rescribiendo (4 . 4 1 ). (4.42). Resolviendo (4.42) para. k2 (A). se obtienen dos res ultad os. k. 1(. A ) '?:. l. (4.43).

(57) 46. k. 1. 1 ( A ) '?! -. (4.44). 9. Dado que la matriz. condición. (4.43).. que se. Con. A. es real simétrica definida positiva, el mínimo valor para el número de. espera es. esto se. la. unidad,. demuestra que. la. por. lo. tanto,. IASMN. es,. el. resultado. correcto. para propósitos. para este. prácticos,. caso es. numéricamente. estable para números de condición mayores que la unidad, siempre y cuando este número de. condición no represente un mal condicionamiento.. 4.1.4 Factor de escala para la (IASMN). Con. la. finalidad. iteraciones. de. disminuir. el. tiempo. de. convergencia. de. la. lASMN,. cada. una. de. las. x, será multiplicada por un factor de escala ª • > O , de tal manera que se minimice. 2. T. �]. para. -akXkXkjF. El valor de e,. k = 0 , 1 , 2 , .... (4.45). qu e minimiza (4.42) está dado por. _ �traza( A). ª• -. ak > O. para. k. El costo computacional de calcular el factor de escala a,. Entonces la lASMN. =. 0,1,2, .... (4.46). 1. k F. puede considerarse despreciable.. con factor de escala tiene la siguiente expresión. Daao X. O. =/ n. _ �traza( A). a, -. x,.,. ª•>o. ! k. =. (4.47). F. f(a,x, +(a,x,Y. \A). k = 0 , 1 , 2 , .... Debido a que la IASMN es convergente, entonces el. lima,. ,_,�. =. 1.

(58) 47. 4.2. Un. método. simplificado. de. Newton. con. factorizaciones. sucesivas. para. el. cálculo de la raiz cuadrada principal de una matriz no singular (MSNFSRC).. Este. algoritmo. fue. desarrollado. por el. C.. D.. Alfredo. Mendoza. Mexía,. Maestro. de. tiempo. completo del Departamento de Física Matemáticas e Ingeniería de la Universidad de Sonora. Unidad Regional Sur.. Este trabajo de investigación original fue publicado en línea en el año 2 0 1 2 por la Revista de. Ingeniería y Medio Ambiente de. la. División. de Ciencias e Ingeniería de. la. Universidad. de. Sonora Unidad Regional Sur. A continuación, se reproducen las secciones más importantes.. El. método. de. Newton. (MN). para calcular. la. raíz. cuadrada. de. una. matriz. se. ha estudiado. durante casi cincuenta años y actualmente esta metodología ya está bien comprendida. Desde. que. Laasonen. ciertos. [25]. casos. variantes del. estables,. era. demostró sus. numéricamente. método de Newton. entre. propiedades de convergencia,. los. que. podemos. inestable,. y han. varios. autores. demostrado que. destacar. por. ejemplo. han. son. a. y también observó que. obtenido. un. para. conjunto. de. convergentes y numéricamente. Denman. y. Beavers. [8],. Hammarling [4], Higham [ 1 7 ] , [ 1 4 ] , [ 1 6 ] , [ 1 5 ] , He [ l l ] , lannazzo [22], Meini [28],. Bjorck. y. Long [27]. y Mendoza y Gómez [29].. El. problema. problemas. de. acuíferos,. en. de. calcular. la ciencia. la. la. raíz. y la. cuadrada. ingeniería. construcción. de. de. [12],. funciones. una. matriz. se. por ejemplo:. de. puede. en. matrices,. la. en. encontrar. modelación. la. solución. a menudo. en. estocástica. de. de. ecuaciones. diferenciales, en control automático, en robótica, entre otros. La teoría de existencia de la raíz. cuadrada de una matriz y del número de raíces está bien documentada en [ 1 9 ] , [ 1 4 ] .. En. este. trabajo. de. investigación. se. desarrolla. un. método. simplificado. de. Newton. con. factorizaciones sucesivas para el cálculo de la raíz cuadrada de una matriz (MSNFSRC). Al. introducir la variante de. inestabilidad. numérica. ir factorizando sucesivamente a la matriz en cuestión, se elimina la. del. método. simplificado. de. Newton. (MSN).. El. algoritmo. que. se. obtiene es atractivo por ser computacionalmente sencillo de implementar, -robusto, económico,. convergente y, para propósitos prácticos, numéricamente estable.. 4.2.1.. El método simplificado de Newton. Una simplificación razonable a las iteraciones del método de Newton (MN) es suponer que el. producto HkXk conmuta [ 1 7 ] , es decir,.

(59) 48. e4.48). Sustituyendo (4.48) en (3.7) se obtiene el bien conocido par de iteraciones simplificadas del. método de Newton (25), (4), ( 2 1 ) , (20), (9), ( 3 1 ] .. xk+1. Yk+l. =. e4.49). l(xk +x¡;:1A). = �(Yk + AYj;:1). (4.50). Las iteraciones (4.49) y (4.50) en caso de converger, lo hacen en forma cuadrática hacia una. raíz cuadrada de A.. En. Higham demuestra. (25). que (4.49) es numéricamente. inestable para. números de condición de A mayores que nueve, haciendo esto extensivo para (4.50).. 4.2.2.. El. método. simplificado. de. Newton. con. factorizaciones. sucesivas. para. el. cálculo de la raiz cuadrada de una matriz. Para desarrollar el algoritmo se utilizará la ecuación (4.49),. matriz. factorizando sucesivamente a la. A. Con lo anterior se e l i m i n a la inestabilidad numérica de (4.49).. De hecho la inestabilidad numérica de (4.49) demostrada en ( 1 7 ] se debe principalmente a la. pre. o post. multiplicación. de. la. inversa de Xk por. la. matriz A.. Por otro. lado,. dado que. Xk. conmuta con A [22], la iteración (4.49) puede reescribirse como. e4.51). Aplicando. la. metodología. tratada. en. [ 17]. se. puede. probar. que. (4 . 5 1 ). es. convergente. numéricamente estable, pero evidentemente (4 . 5 1 ) no nos es útil, ya que involucra a. el. problema en cuestión, pero se puede utilizar un argumento similar que es el. cada (k. +. 1)-ésima. iteración descomponer a la matriz A. como el. y. ,/A que es. siguiente: en. producto de dos. matrices. Bk y Ck, de tal manera que se cumpla lo siguiente:. e4.52) En otras palabras B¿ y Ck conmutan, con esto se garantiza que Xk conmute con. cual implica que. Bk y C k , lo.

(60) 49. =. xk+1. xk+i. + s,. ;(xk. = ;(xk. +. (4.54). x¡;1Bk ck). problema se reduce a encontrar en cada (k. Ahora el. (4.53). x¡/ck). +. 1)-ésima iteración. Ck que satisfagan a (4.52); lo anterior se resuelve de la siguiente manera: Dado 80. In,. X. 0. =. In y habiéndose. realizado. Ck. =. Xk. (k. +. 1)-ésima iteración se cumple con (4.52).. y. por. Utilizando en. consiguiente Bk. (4.53). =. a partir. de. 2Xk+t - Xk,. la eliminación. (4.53). con. gaussiana (\) en. la (k. lo. +. 1)-ésima. anterior. lugar de. la. se. =. iteración,. garantiza. matriz. 8k y. las matrices. que. C0. A,. =. se. hace. en. cada. inversa por ser más. eficiente en tiempo de ejecución y exactitud numérica, se obtiene el MSNFSRC para calcular. la raíz cuadrada de. la matriz A. Con. la finalidad de reducir el tiempo de convergencia. MSNFSRC se utiliza un factor de escala ak .. Dado80=A,. del. El algoritmo es el siguiente.. C0=In. y. X. 0. =In. traza(A) (no sim.). traza(XD. Jtraza(A) ak. =. IIXk. IIF. . (sim.). fori=O:w. (4.55) xk. = akxk. =. Xk+1 Ck. �(Xk. +. Bk(Xk \Ck)). =Xk. Bk+1. = 2Xk+1 - Xk. ck+l. = e,. end xk+l = xk. 4.2.3.. Análisis de convergencia del (MSNFSRC). Teorema. (,l,. = Bk = ck = x = ..fA. E C,. Sea A E. J.. l ,l ; I. >. cnxn. O, Re2,. >. una matriz no singular y diagonalizable con. O,. n � i � 1}.. Si. {X0 =. et;. (J. >. O}. ,. valores propios A¡,. IIX. -. Xoll. es. lo. suficientemente pequeño y Xj;1 es no singular, entonces el proceso iterativo (4.55) converge a. X. =. B. =. C=. ..fíi. cuando k .... oo, es decir.