Resolución de problemas inversos utilizando homogeneización de amplitud pequeña para problemas dinámicos
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(2) c MMXII, J UAN J OS É U RIBE M ELLA ⃝. II.
(3) PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS INVERSOS UTILIZANDO HOMOGENEIZACIÓN DE AMPLITUD PEQUEÑA PARA PROBLEMAS DINÁMICOS. JUAN JOSÉ URIBE MELLA. Miembros del Comité: SERGIO GUTIÉRREZ CID HERNÁN SANTA MARÍA OYANEDEL JOAQUÍN MURA MARDONES DIEGO CELENTANO.
(4) Tesis presentada a la Dirección de Investigación y Postgrado como parte de los requisitos para optar al grado de Magister en Ciencias de la Ingenierı́a. Santiago de Chile, Marzo 2012 c MMXII, J UAN J OS É U RIBE M ELLA ⃝ IV.
(5) A mi familia.
(6) AGRADECIMIENTOS. Son muchos los que me han ayudado a realizar este trabajo y estoy profundamente agradecido de cada uno de ellos, pero quisiera destacar especialmente al profesor Sergio Gutiérrez, por su guı́a continua en el desarrollo de mi tesis de magı́ster, por su preocupación y calidad humana. Nunca escatimó un minuto de su tiempo a la hora de contestar mis dudas o para resolver problemas. También quisiera agradecer a Joaquı́n Mura por su excelente disposición a ayudar en el desarrollo de este trabajo, sin su colaboración muchos de los resultados de este trabajo no se habrı́an alcanzado. También quiero agradecer a los profesores Hernán Santa Marı́a, Diego Celentano y nuevamente a Joaquı́n Mura por su disposición a ser parte del comité de defensa de mi tesis. Finalmente quisiera agradecer el financiamiento proporcionado por el proyecto Fondecyt Regular 1090334, el cual me ayudó a realizar mi tesis de magı́ster.. VI.
(7) Índice general. AGRADECIMIENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. VI. Índice de figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. IX. Índice de cuadros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XIV. RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XV. ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. XVI. Capı́tulo 1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.1. Definición del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Descripción de la metodologı́a a utilizar . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Capı́tulo 2. Implementación de algoritmos de resolución de problemas inversos . .. 5. 2.1. Obtención de gradiente para la resolución de problemas inversos para el problema dinámico de difusión de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.1. Aproximación asintótica de amplitud pequeña . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.1.2. Procedimiento de optimización para obtención de la inclusión . . . . .. 10. 2.2. Obtención de gradiente para la resolución de problemas inversos para el caso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.2.1. Aproximación asintótica de amplitud pequeña . . . . . . . . . . . . .. 17. 2.2.2. Procedimiento de optimización para obtención de la inclusión . . . . .. 22. de la ecuación de onda escalar. 2.3. Obtención de gradiente para la resolución de problemas inversos para el caso de propagación de ondas en medios elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.3.1. Aproximación asintótica de amplitud pequeña . . . . . . . . . . . . .. 29. 2.3.2. Procedimiento de optimización para obtención de la inclusión . . . . .. 34 VII.
(8) Capı́tulo 3. Implementación computacional y resultados . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.1. Implementación computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.1.1. Algoritmo de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.1.2. Solución numérica para problemas no estacionarios . . . . . . . . . .. 43. 3.1.3. Resolución de ecuaciones diferenciales parciales mediante elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.2. Resultados numéricos del algoritmo de resolución de problemas inversos .. 47. 3.2.1. Resultados para el caso de difusión de calor no estacionaria . . . . . .. 47. 3.2.2. Método Adaptativo para la detección de inclusiones . . . . . . . . . .. 66. 3.2.3. Ejemplos numéricos para la ubicación de la inclusión utilizando el método adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 3.2.4. Resultados para el caso de propagación de ondas en una membrana . .. 81. 3.2.5. Resultados para el caso de propagación de ondas en medios elásticos . 100 3.2.6. Implementación de método de impacto adaptativo para propagación de ondas en medios elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.7. Resultados para el caso de propagación de ondas en medios elásticos utilizando el algoritmo adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Capı́tulo 4. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130. VIII.
(9) Índice de figuras. 2.1.Vista esquemática de problema a resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 3.1.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.2.Resultados obtenidos en Gutiérrez y Mura (2008) para la inclusión del ejemplo 1 con η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. 3.3.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 1 considerando η =-0.9 . . . . .. 53. 3.4.Historia de convergencia y de fr obtenida en Gutiérrez y Mura (2008) para ejemplo 1 considerando η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 3.5.Valor del parámetro Ψ para η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 3.6.Valor del parámetro Ψ obtenido en Gutiérrez y Mura (2008) para η =-0.9 . . . .. 55. 3.7.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 3.8.Resultados obtenidos en Gutiérrez y Mura (2008) para la inclusión del ejemplo 2 con η =-0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.9.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 2 considerando η =-0.5 . . . . .. 57. 3.10.Valor del parámetro Ψ obtenido para η =-0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 3.11.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 3.12.Resultados obtenidos en Gutiérrez y Mura (2008) para la inclusión del ejemplo 3 con η =-0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.13.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 3 considerando η =-0.5. 59. . . . .. 60. 3.14.Valor del parámetro Ψ obtenido para η =-0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 3.15.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 3.16.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 4 considerando η =-0.9. 63. . . . .. IX.
(10) 3.17.Resultados obtenidos en Gutiérrez y Mura (2008) para la inclusión del ejemplo 4 con η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 64. 3.18.Valor del parámetro Ψ para ejemplo 4 considerando η =-0.9 . . . . . . . . . .. 64. 3.19.Resultados obtenidos para nueva fuente de calor con η =-0.9 . . . . . . . . .. 65. 3.20.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 4 considerando nueva fuente de calor y η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65. 3.21.Valor del parámetro Ψ para ejemplo 4 considerando nueva fuente de calor y η =-0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. 3.22.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . .. 71. 3.23.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 1 considerando método adaptativo, η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 72. 3.24.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . .. 72. 3.25.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 2 considerando método adaptativo, η =-0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. 3.26.Solución entregada por el método para 5 pasos adaptativos η=-0.9 . . . . . . .. 74. 3.27.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 2 considerando método de 5 pasos adaptativos, η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. 3.28.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . .. 75. 3.29.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 3 considerando método adaptativo, η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 76. 3.30.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . .. 76. 3.31.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 4 considerando método adaptativo, η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77. 3.32.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . .. 78 X.
(11) 3.33.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 5 considerando método adaptativo, η =-0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 3.34.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . .. 80. 3.35.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 6 considerando método adaptativo, η =-0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. 3.36.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 3.37.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 1, η =-0.5 . . . . . . . . . .. 83. 3.38.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 3.39.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 2, η =-0.1 . . . . . . . . . . .. 85. 3.40.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87. 3.41.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 3, η =-0.9 . . . . . . . . . .. 87. 3.42.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 89. 3.43.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 4, η =-0.5 . . . . . . . . . .. 89. 3.44.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. 3.45.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 5, η =-0.1 . . . . . . . . . . .. 91. 3.46.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. 3.47.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 6, η =-0.9 . . . . . . . . . . .. 93. 3.48.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94. 3.49.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 7, η =-0.1 . . . . . . . . . . .. 94. 3.50.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96. 3.51.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 8, η =-0.5 . . . . . . . . . .. 96. 3.52.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 8, η =-0.1 . . . . . . . . . .. 97. 3.53.Solución que entrega el método para 70 iteraciones, η =-0.1 . . . . . . . . . .. 97. 3.54. Historia de convergencia de función objetivo y fr para mayor número de iteraciones , η =-0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98 XI.
(12) 3.55.Solución que entrega el método para distribución inicial distinta, η =-0.1 . . .. 99. 3.56. Historia de convergencia de función objetivo y fr para distribución inicial distinta , η =-0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.57.Vista esquemática de los ejemplos a considerar . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.58.Inclusión y solución para ∆t = 10−1 , 10−2 , 10−3 , 10−4 , 5 × 10−5 y 10−5 segundos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102. 3.59.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.60.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 1, η =-0.5 . . . . . . . . . . . 106 3.61.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.62.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 2, η =-0.1 . . . . . . . . . . . 108 3.63.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.64.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 3, η =-0.1 . . . . . . . . . . . 110 3.65.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.66.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 4, η =-0.5 . . . . . . . . . . . 112 3.67.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.68.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 5, η =-0.1 . . . . . . . . . . . 114 3.69.Inclusión y solución para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.70.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 6, η =-0.5 . . . . . . . . . . . 116 3.71.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . 122 3.72.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 1, η =-0.5 . . . . . . . . . . . 123 3.73.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . 124 3.74.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 2, η =-0.5 . . . . . . . . . . . 125 3.75.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . 126 3.76.Historia de convergencia y de fr para ejemplo 3, η =-0.5 . . . . . . . . . . . 127 3.77.Inclusión y solución del método adaptativo para η =-0.1, -0.5 y -0.9 . . . . . . 128 XII.
(13) 3.78.Historia de convergencia y de fr para el ejemplo 4, η =-0.1 . . . . . . . . . . 129. XIII.
(14) Índice de cuadros. 3.1.Posición del centro de los impactos para cada paso adaptativo para el ejemplo 1 122 3.2.Posición del centro de los impactos para cada paso adaptativo para el ejemplo 2 124 3.3.Posición del centro de los impactos para cada paso adaptativo para el ejemplo 3 126 3.4. Posición del centro de los impactos para cada paso adaptativo para el ejemplo 4 129. XIV.
(15) RESUMEN. En este trabajo se presenta la resolución de problemas inversos para la detección de defectos en un medio continuo utilizando problemas fı́sicos no estacionarios, bajo la suposición de contraste pequeño del valor de un coeficiente fı́sico relevante entre un material base (o matriz) y un defecto. A esto se le llama suposición de amplitud pequeña, contraste pequeño o razón de aspectos pequeña. Siguiendo la idea desarrollada en Allaire y Gutiérrez (2007) para problemas de diseño óptimo, se desarrolla una expansión asintótica de segundo orden con respecto a la razón de aspecto, lo cual permite simplificar el problema inverso al considerarlo como un problema de optimización. A partir de lo anterior, se desarrolla un algoritmo de tipo gradiente que permite reducir la diferencia en el intervalo de tiempo considerado entre las mediciones en el borde del dominio, obtenida desde un problema real con cierta distribución de defecto, con respecto a aquellas obtenidas a partir de una suposición de la localización de la inclusión. Por medio del uso de modelos fı́sicos no estacionarios, se puede obtener mayor información de la ubicación de la inclusión que en el caso de modelos estacionarios, estudiados en (Gutiérrez y Mura, 2008), (Gutiérrez y Mura, 2010) y (Mura y Gutiérrez, 2011), ya que se trabaja con un modelo fı́sico más completo. Se desarrollan los casos de difusión de calor dinámica, propagación de ondas en una membrana y propagación de ondas en medios elásticos.. Palabras Claves: Homogeneización, Problemas inversos. XV.
(16) ABSTRACT. This work is concerned with the resolution of inverse problems for the detection of defects in a continuum medium using non-steady physical problems, under the assumption of small contrast on the value of a relevant physical coefficient, between a matrix material and a defect. This is called the small amplitude, small contrast or small aspect ratio assumption. Following the idea developed by Allaire and Gutiérrez (2007) for optimal design problems, we develop a second order asymptotic expansion with respect to the aspect ratio, which allows us to simplify the inverse problem, considering it as an optimization problem. According to this, we can develop a gradient type algorithm, which allows us to reduce in the considered time interval the difference between boundary values, which are obtained from a real physical problem with certain defect distribution, and the values obtained from an assumption on the localization of the defect. By the use of non steady physical problems, we can improve the location recovery in relation with the case of steady problems as it was studied by Gutiérrez and Mura (2008, 2010 and 2011). We develop the cases of non-steady heat diffusion, wave propagation in membranes and wave propagation in elastic media.. Keywords: Homogenization, Inverse Problems. XVI.
(17) Capı́tulo 1. INTRODUCCIÓN. 1.1. Definición del problema En este trabajo se aborda la resolución de problemas inversos, los cuales consisten en obtener propiedades fı́sicas de objetos en base a mediciones experimentales que sean sensibles a la composición del medio. Existe una amplia gama de aplicaciones para los problemas inversos, sin embargo, en este trabajo sólo se aborda el problema de la detección de inclusiones en medios continuos, defectos que se representan a través de cambios en las propiedades fı́sicas relevantes del problema considerado. Otras aplicaciones, especı́ficamente en el caso de la elasticidad lineal, se pueden ver en (Uhlmann, 1998) y también en (Bonnet y Constantinescu, 2005) para otras aplicaciones fuera de la elasticidad lineal. Desafortunadamente, no existe una forma teórica única de relacionar las mediciones experimentales de un medio y las propiedades de éste usando la información del modelo fı́sico del problema, por lo que no se puede asegurar que determinada solución a un problema inverso sea exactamente la distribución de las propiedades del medio que se busquen, aunque se generen las mismas mediciones experimentales utilizadas como datos para el problema. Para demostrar la unicidad de problemas inversos para casos especı́ficos más sencillos que los abordados en este trabajo y también la no existencia de unicidad para casos más generales, hay una gran cantidad de literatura disponible, ver (Calderón, 1980), (Sylvester y Uhlmann, 1987) y (Greenleaf, Lassas, y Uhlmann, 2003). Dado lo anterior, se aborda el problema inverso como un problema de optimización, en que se minimiza una función objetivo que corresponde a la diferencia entre las mediciones experimentales y los valores determinados de la solución del problema inverso. Para efectos de este trabajo la función objetivo no sólo considera las mediciones en el borde del dominio, sino que también considera un intervalo de tiempo en el cual esas mediciones se realizan y por lo tanto considera la naturaleza no estacionaria del problema fı́sico 1.
(18) considerado para obtener los resultados experimentales. El minimizar dicha función corresponde a encontrar una inclusión que podrı́a recrear con mejor exactitud las mediciones experimentales. Para lo anterior se utilizan técnicas de optimización estructural, especı́ficamente la homogeneización de amplitud pequeña, desarrollada por Allaire y Gutiérrez (2007), la cual ya fue utilizada para la resolución de problemas inversos en Gutiérrez y Mura (2008), (Gutiérrez y Mura, 2010) y (Mura y Gutiérrez, 2011) en el caso de problemas fı́sicos estacionarios. Con las técnicas mencionadas anteriormente se implementa un algoritmo de resolución de problemas inversos que logra obtener un mejor desempeño con respecto a los casos desarrollados por Gutiérrez y Mura (2008) y Mura y Gutiérrez (2011), debido a que el uso de problemas no estacionarios nos entrega mayor cantidad de datos experimentales sobre la probeta y corresponde a un modelo fı́sico más completo para la propiedad del medio continuo que se busca. Se considera la naturaleza no estacionaria de los problemas fı́sicos a través de probar los casos de problemas de difusión dinámica de calor, propagación de ondas en membranas (ecuación de onda escalar) y propagación de ondas en medios elásticos. Cabe destacar que en este trabajo, los problemas fı́sicos no estacionarios se abordan desde la variable temporal del problema y no se trabaja en el dominio de la frecuencia, como se hizo en (Kurpinar y Karchevsky, 2004) para el caso de resolución de problemas inversos en medios elásticos estratificados. Para el caso de la propagación de ondas en membranas y medios elásticos ya se abordó el problema de diseño óptimo usando homogeneización de amplitud pequeña en (Allaire y Kelly, 2011).. 1.2. Descripción de la metodologı́a a utilizar Se aborda el problema inverso como un problema de optimización, en el cual buscamos minimizar una función objetivo que utiliza los datos provenientes de un ensayo 2.
(19) experimental simulado computacionalmente y aquellos provenientes de hacer una suposición de la ubicación del defecto dentro del medio considerado. Para efectos de esta investigación, utilizamos datos provenientes de ensayos numéricos, debido a la ausencia de mediciones experimentales reales para los problemas que se consideran. Los ensayos experimentales simulados provienen de la resolución de un modelo de elementos finitos del problema fı́sico considerado, modelo en el cual se conocerán las propiedades y ubicación del defecto que se quiere encontrar. La idea fundamental es seleccionar una función objetivo tal que al minimizarla, la supuesta localización del defecto coincida con la posición real del mismo. Con la función objetivo y utilizando homogeneización de amplitud pequeña, implementamos un algoritmo de optimización, basado en un método del gradiente, el cual permite modificar la suposición de la posición del defecto hasta llegar a la distribución real, suposición que, en principio debiera generar el óptimo de la función objetivo, lo cual no ocurre como veremos en los resultados pero se entrega una buena aproximación. Lo anterior se implementa primero en problemas de difusión de calor no estacionarios, los cuales presentan una mayor simplicidad matemática con respecto a otros problemas fı́sicos, pero conservan similitudes con problemas más complejos. Mediante los problemas de difusión de calor se ve la factibilidad del uso de problemas fı́sicos no estacionarios y se prueba el desempeño del método con respecto al uso de problemas estacionarios. Una vez probada la factibilidad del uso de problemas no estacionarios de difusión de calor en la resolución de problemas inversos, se procede a la implementación del método para el caso de problemas de propagación de ondas, primero analizando el caso de la ecuación escalar para el caso de una membrana y posteriormente se implementa el caso de propagación de ondas en medios elásticos.. 3.
(20) 1.3. Hipótesis La hipótesis que se busca probar es que los problemas no estacionarios contienen un grado mayor de información con respecto a un defecto, representado por una variación de alguna propiedad fı́sica del medio, que en el caso de información proveniente de problemas estacionarios, lo cual incide en un mejor desempeño del método implementado.. 4.
(21) Capı́tulo 2. IMPLEMENTACIÓN DE ALGORITMO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS INVERSOS UTILIZANDO HOMOGENEIZACIÓN DE AMPLITUD PEQUEÑA 2.1. Obtención de gradiente para la resolución de problemas inversos para el problema dinámico de difusión de calor Se analiza el problema no estacionario de difusión de calor, solo mediante conducción, es decir no hay convección ni radiación de calor. A través de la ecuación diferencial parcial que modela la evolución de la temperatura en el tiempo y en el espacio producto de una fuente de calor variable en el tiempo. Utilizando estas ecuaciones diferenciales y las herramientas de homogeneización, se desarrolla un método de detección de inclusiones o defectos en el dominio.. 2.1.1. Aproximación asintótica de amplitud pequeña Se utiliza la aproximación de amplitud pequeña introducida en Allaire y Gutiérrez (2007) la cual es la base del algoritmo de diseño óptimo que se desarrolla. Se sigue la notación usada en el trabajo citado. Si se considera la mezcla de dos fases de conductividades caracterizadas por dos tensores simétricos definidos positivos, A0 y A1 . Además se denota por η a la amplitud (también llamada contraste o razón de aspecto) entre los dos materiales. Considerando lo anterior, se tiene que. A1 = (1 + η)A0 . El rango de valores que puede tomar η está restringido por (−1, +∞) pero de ahora en adelante se supone que η es un parámetro de valor absoluto pequeño, i.e. |η| ≪ 1. Se considera solamente el caso de inclusiones bien definidas del material con tensor de conductividad A1 en un material base con conductividad A0 , se denota por χr a la función 5.
(22) caracterı́stica de la región que está ocupada con fase A1 , donde el superı́ndice r quiere decir “real”: 1 si en x hay material de conductividad A1 χr (x) = 0 e.o.c. El tensor de conductividad queda definido entonces por. Ar (x) = (1 − χr (x))A0 + χr (x)A1 = (1 + ηχr (x))A0 . Para un conjunto abierto Ω ⊂ RN con un borde suave por pedazos, ∂Ω, se considera el siguiente problema con condiciones de borde y valor inicial ∂ur c − div(Ar ∇ur ) = f ∂t ur = 0 ur (0, x) = 0. en en en. Ω × (0, T ) ∂Ω × (0, T ) Ω.. (2.1). Este problema considera que se conoce completamente la ubicación de la inclusión, además se considera que la capacidad calórica del material, c, es constante en todo el dominio e igual tanto para el material base como para la inclusión. La solución de (2.1) es la distribución real de temperatura bajo el modelo utilizado. Si ahora se divide el borde del dominio en dos partes (ver figura 2.1): ΓD , donde se mantiene las condiciones Dirichlet del problema y ΓN donde se usa una condición de Neumann. Luego ∂Ω = ΓD ∪ ΓN y si se denomina n a la normal unitaria externa a ∂Ω, se tiene que el flujo de calor real a través de ΓN está dado por. g = Ar ∇ur · n.. 6.
(23) El objetivo es encontrar la posición de la inclusión, o sea encontrar χr , usando solamente las mediciones del borde del dominio, las cuales son temperatura cero en ΓD y flujo g sobre ΓN . Para lo anterior se propone minimizar la siguiente función objetivo ∫. T. ∫ u2 ds dt.. J(χ) = 0. ΓN. Con u ∈ H 1 (Ω) la solución del siguiente problema. n. 0. A. W GN. GD. A. 1. F IGURA 2.1. Vista esquemática de problema a resolver. ∂u c − div(A∇u) = f ∂t u = 0. en en. A∇u · n = g. en. u(0, x) = 0. en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω.. (2.2). 7.
(24) Donde se tiene que A(x) = (1 − χ(x))A0 + χ(x)A1 = (1 + ηχ(x))A0 , tensor de conductividad que está basado en una suposición χ de la verdadera función caracterı́stica χr . Sea Θ ∈ (0, 1) la fracción de volumen de la inclusión con respecto al medio completo, la que se supone conocida. Se denota por |Ω| al volumen del medio completo Ω, el volumen de la inclusión es Θ|Ω| y el del material base es (1 − Θ)|Ω|. Luego se define un conjunto de diseños admisibles. Uad =. . χ ∈ L∞ (Ω; {0, 1})s.a.. ∫. χ(x)dx = Θ|Ω| . . (2.3). Ω. Donde L∞ (Ω; {0, 1}) representa al conjunto de funciones medibles definidas en Ω y que tomen valores 0 ó 1. Se quiere encontrar χ a través de resolver el siguiente problema de diseño óptimo ı́nf J(χ).. χ∈Uad. (2.4). Suponiendo que la amplitud entre el material de la base y el defecto es pequeña, se desarrolla una expasión de Taylor de segundo orden del campo de temperaturas y de la función objetivo. Como la matriz A en (2.2) es una función afı́n de η, la solución u ∈ H 1 (Ω) es analı́tica con respecto a η y por lo tanto se puede escribir u = u0 + ηu1 + η 2 u2 + o(η 2 ). (2.5). Reemplazando lo anterior en (2.2) e igualando los términos de igual potencia de η, se llega a tres problemas para u0 , u1 , u2 :. 8.
(25) ∂u0 c − div(A0 ∇u0 ) = f ∂t u0 = 0. en en. A∇u0 · n = g. en. u0 (0, x) = 0. en. ∂u1 c − div(A0 ∇u1 ) = div(χA0 ∇u0 ) ∂t u1 = 0 A∇u1 · n = −χA ∇u0 · n 0. u1 (0, x) = 0. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω.. en en en en. ∂u2 c − div(A0 ∇u2 ) = div(χA0 ∇u1 ) ∂t u2 = 0 A ∇u2 · n = −χA ∇u1 · n 0. 0. u2 (0, x) = 0. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω.. en en en en. (2.6). (2.7). (2.8). Luego, se tiene un procedimiento para obtener los campos de temperatura u0 , u1 , u2 y se debe ver como éstos participan en la función objetivo. Reemplazando (2.5) en la expresión de la función objetivo, se tiene: ∫. T. ∫. J(χ) = ∫ +η. ∫. 2. ΓN. (u21 0. T. ∫. ∫ u20 ds. u ds dt = 0. T. ∫ 2. 0. T. dt + 2η. u0 u1 ds dt 0. ΓN. ∫ ΓN. (2.9). 2. + 2u0 u2 )ds dt + o(η ).. ΓN. Luego, se propone resolver el siguiente problema de optimización en reemplazo de lo propuesto en (2.4) ı́nf Jsa (χ).. χ∈Uad. (2.10). 9.
(26) Donde ∫. ∫. T. ∫ u20 ds. Jsa (χ) = 0. ∫. ∫. T. dt + 2η. u0 u1 ds dt + η 0. ΓN. ∫. T. (u21 + 2u0 u2 )ds dt.. 2 0. ΓN. ΓN. Luego se debe proceder a hacer una relajación de (2.10) para poder tener una noción de derivada y ası́ se puede desarrollar un algoritmo de optimización para obtener la resolución del problema inverso.. 2.1.2. Procedimiento de optimización para obtención de la inclusión La relajación de (2.10) es. Proposición. ∗ mı́n Jsa (θ, ν).. (2.11). ∗ (θ,ν)∈Uad. Donde ∗ Jsa (θ, ν). ∫. T. ∫. ∫ u20 ds. = 0. T. ∫. dt + 2η. ΓN. ∫ u0 u1 ds dt + η. 0. T. ∫. 2. (u21 + 2u0 u2 )ds dt. (2.12) 0. ΓN. ΓN. Y además se tiene que u0 , u1 , u2 son soluciones de (2.6), (2.14) y (2.15) respectiva∗ mente y Uad está definido por:. ∗ Uad. ∫ = (θ, ν) ∈ L∞ (Ω; [0, 1]) × P(Ω, S N −1 ) s.a. θ(x)dx = Θ|Ω| . . (2.13). Ω. Donde L∞ (Ω; [0, 1]) representa el conjunto de las funciones medibles definidas en Ω y tomando valores en el intervalo [0,1] y P(Ω, S N −1 ) es el conjunto de medidas de probabilidad sobre la esfera unitaria S N −1 indexada por los puntos en Ω. El rol de L∞ (Ω; [0, 1]) es permitir que todo lı́mite de sucesiones en L∞ (Ω; {0, 1}) en el sentido de la topologı́a débil −⋆, pertenezca a L∞ (Ω; [0, 1]). Luego, para una sucesión 10.
(27) {χn } se dice que χn converge débil −⋆ a θ, lo que se denota por χn ⇀ θ, si para todo ϕ ∈ L1 (Ω) (el espacio de funciones integrables en Ω), se tiene que ∫ lı́m. ∫ χn ϕdx =. n→∞ Ω. θϕdx. Ω. Esto corresponde a una manera robusta de forzar que χn tienda a θ “en promedio”. Por otra parte, el rol de ν es que para cada punto x ∈ Ω se asocia una medida de probabilidad ν(x, ·) en S N −1 , la cual representa la descomposición de Fourier de la microestructura usada en x. Esta es la llamada medida-H, introducida en Tartar (1990). Ahora si denotamos u1(n) y u2(n) a las soluciones de (2.7) y (2.8), donde χ fue reemplazado por χn , el cual pertenece a una sucesión χn ⇀ θ. Luego de lo desarrollado en Allaire y Gutiérrez (2007), se tiene que, extrayendo subsucesiones, u1(n) ⇀ u1 y u2(n) ⇀ u2 , donde la noción de convergencia débil es ligeramente diferente, luego las ecuaciones en el lı́mite son: ∂u1 c − div(A0 ∇u1 ) = div(θA0 ∇u0 ) ∂t u1 = 0 A0 ∇u1 · n = −θA0 ∇u0 · n u1 (0, x) = 0. en en en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω.. ∂u2 c − div(A0 ∇u2 ) = div(θA0 ∇u1 ) − div(θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 ) ∂t u2 = 0 A0 ∇u2 · n = −θA0 ∇u1 · n + θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · n u2 (0, x) = 0. en en en en. (2.14). Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω. (2.15). 11.
(28) Donde M es el siguiente tensor obtenido en Tartar (1990) ∫ ξ⊗ξ M= ν(x, dξ). A0 ξ · ξ S N −1. ∗ Para simplificar la fórmula para Jsa (θ, ν) dada en (2.12), la cual depende de ν solamente. a través de u2 , se introduce un estado adjunto p0 , el cual es solución de ∂p0 −c − div(A0 ∇p0 ) = 0 ∂t p0 = 0. en en. 0. A ∇p0 · n = 2u0. en. p0 (T, x) = 0. en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω.. (2.16). Es importante notar que en la ecuación (2.16) se tiene un cambio de signo en la derivada temporal con respecto a los problemas (2.6), (2.14) y (2.15). Adicionalmente a lo anterior, hay un cambio en las condiciones temporales del problema, que se transforman de condiciones iniciales a condiciones finales del campo del estado adjunto, lo cual tiene como objeto eliminar términos en el desarrollo de las expresiones para el gradiente. Lo anterior conduce a que los problemas adjuntos (más adelante se introducirá otro estado adjunto) se resuelvan numéricamente de forma distinta al resto de los problemas, lo cual se detalla en la sección de resultados. ∗ La idea es que a través de este estado adjunto se puede eliminar u2 en Jsa (θ, ν). Si se. multiplica (2.16) por u2 y se integra por partes y a su vez se multiplica (2.15) por p0 y se integra por partes, se tiene:. 12.
(29) ∫. ) ∫ ( ∫ ∫ T∫ T ∂p0 ∂u2 0 c + div(A ∇p0 ) u2 dx dt = c (p0 u2 ) dx − cp0 dx dt ∂t ∂t 0 0 Ω Ω ∫ T∫ ∫ ΩT ∫ + A0 ∇p0 · ∇u2 dx dt A0 ∇p0 · nu2 ds dt −. T. 0= 0. 0. ∫. T. =− 0. ∫. ∫. T. =− 0. 0. Ω ) ∫ T∫ ∫ ( ΓN ∫ T∫ ∂u2 p0 c dx dt + 2u0 u2 ds dt − p0 A0 ∇u2 · n ds dt ∂t 0 0 Ω ΓN ∫ T ∫ ΓN + p0 div(A0 ∇u2 ) dx dt 0. (. ) p0 (div(θA ∇u1 ) − div(θ(1 − θ)A M A ∇u0 ) dx dt + 0. ∫. Ω. T. ∫. + ∫. T. ∫. =. 0. 0. ∫. T. ∫. 0. 2u0 u2 ds dt 0. ΓN. ( ) p0 (θA0 ∇u1 · n − θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · n ds dt ∫. ΓN. T. ∫. 2u0 u2 ds dt + 0. Ω. 0. ΓN. ( ) ∇p0 · (θA0 ∇u1 − θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 dx dt. Ω. Por lo tanto, se obtiene la siguiente relación ∫. T. ∫. ∫. T. ∫. 2u0 u2 ds dt = − 0. ΓN. 0. (. ) θA0 ∇u1 · ∇p0 − θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · ∇p0 dx dt.. Ω. ∗ Luego la función objetivo Jsa (θ, ν) es afı́n con respecto a ν, la que depende de la. microestructura usada en ese punto del dominio. Como se quiere minimizar la función objetivo, lo indicado es minimizar con respecto a ν, pero dado que el problema original no posee microestructura, la elección de ν se hace de manera de castigar la presencia de ésta, por tanto, se debe realizar una maximización en el conjunto convexo P(Ω, S N −1 ), y cualquier maximizante ν ∗ puede ser reemplazado por una masa de Dirac concentrada en una dirección χ∗ que, para el caso isotrópico A0 = αI, maximice en S N −1 la siguiente. 13.
(30) función: 1 A0 ξ. ·ξ. A0 ∇u0 · ξ A0 ∇p0 · ξ.. Donde se considera que el material base con el material del defecto se mezclan mediante una laminación infinitesimal sucesiva en una dirección ξ. La cual, en el caso isotrópico A0 = αI, se convierte en α∇u0 · ξ ∇p0 · ξ. Se denota por H(t, x) el valor de este máximo.. H(t, x) =. máx α∇u0 · ξ ∇p0 · ξ. ξ ∈ S N −1. Es importante notar que H(t, x) no depende de θ, pero al depender de u0 y p0 varı́a en el tiempo por lo que se calcula para cada paso de tiempo. Además, reemplazar un maximizante ν ∗ por la masa de Dirac concentrada en ξ ∗ no altera a θ, u0 , u1 y p0 . Ası́ se puede restringir la maximización de ν a un subconjunto de P(Ω, S N −1 ) hecho de masas de Dirac del tipo ν(x, ξ) = δ(ξ − ξ 0 (x)). Después de la eliminación de la medida ν, i.e. incorporar la masa de Dirac óptima concentrada en ξ ∗ (x), se obtiene una función objetivo que sólo depende de θ. También se elimina u1 en el término de primer orden de la función objetivo. Para lo anterior, nuevamente se utiliza el estado adjunto p0 : se multiplica (2.16) por u1 y se integra por partes, se hace lo mismo con (2.14) multiplicada por p0 , se obtiene ∫. T. ∫. ∫. T. ∫ θA0 ∇u0 · ∇p0 dx dt.. 2uo u1 ds dt = − 0. ΓN. 0. Ω. 14.
(31) Por lo tanto se tiene que ∫ T∫ ∫ ∗ 2 Jsa (θ) = u0 ds dt − η 0. ∫ −η. T. T. ∫ θA ∇u0 · ∇p0 dx dt + η 0. 0. ∫. ΓN. ∫. θA ∇u1 · ∇p0 dx dt + η. 2. 0. 0. ∫. Ω. T. ∫ u21 ds dt. 0. ∫. ΓN. (2.17). θ(1 − θ)H(t, x)dx dt.. 2 0. Ω. T. 2. Ω. ∗ Luego simplemente se debe calcular la derivada de Jsa con respecto a θ.. Lema. ∗ La función objetivo Jsa (θ) es Fréchet diferenciable y su derivada en la direc-. ción s ∈ L∞ (Ω) está dada por ∫ T∫ ∫ T∫ ∗ ∂Jsa ∂u1 0 2 (s) = −η sA ∇u0 · ∇p0 dx dt + η 2u1 (s)ds dt ∂θ ∂θ 0 0 Ω ΓN ∫ T∫ ∫ T∫ ∂u1 −η 2 sA0 ∇u1 · ∇p0 dx dt − η 2 θA0 ∇ (s) · ∇p0 dx dt ∂θ 0 0 Ω Ω ∫ T∫ +η 2 s(1 − 2θ)H(t, x)dx dt. 0. Donde z =. Ω. ∂u1 (s) es la solución de ∂θ. ∂z c − div(A0 ∇z) = div(sA0 ∇u0 ) ∂t z = 0 A0 ∇z · n = −sA0 ∇u0 · n z(0, x) = 0. en en en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω.. (2.18). 15.
(32) Si p1 es otro estado adjunto, definido como la solución de ∂p1 −c − div(A0 ∇p1 ) = div(θA0 ∇p0 ) ∂t p1 = 0 A0 ∇p1 · n = 2(u1 − θu0 ). Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω.. en en en. p1 (T, x) = 0. en. (2.19). Luego, usando (2.18) y (2.19), se pueden desarrollar los términos del gradiente de la función objetivo en que z está involurado: ∫. T. ∫. ∫. 0. ∫. ΓN. T. − T. =2 0. ∫. θA ∇z · ∇p0 dx dt = 2 ∫. Ω. T. u1 z ds dt 0. ∫. θzA0 ∇p0 · n ds dt + 0. T. 0. 0. ∫. ∫. ∫. u1 z ds dt −. 2. ∫. T. ΓN. zdiv(θA0 ∇p0 ) dx dt 0. ) ∂p1 0 + div(A ∇p1 ) dx dt u1 z ds dt − 2 θzu0 ds dt − z ∂t 0 0 ΓN ΓN ) ∫ T∫ ∫ ( Ω T ∫ T ∂z =2 z(u1 − θu0 ) ds dt − (zp1 ) − p1 dt ds ∂t 0 0 0 Ω ∫ΓNT ∫ ∫ T∫ − zA0 ∇z · n ds dt + A0 ∇p1 · ∇z dx dt. ∫. ∫. T. ∫. = 0. Ω. ∫. ΓN. 0. T. ∫. ∫. ∫ ΩT ∫. (. 0. Ω ∫ T∫ T ∂z 0 p1 A ∇z · n ds dt − p1 dx dt + p1 div(A0 ∇z) dx dt ∂t 0 0 ΓN Ω ∫ T∫ ∫ T∫ = p1 div(sA0 ∇u0 ) dx dt + p1 A0 ∇z · n ds dt 0. ΓN. ∫. 0. Ω. ∫. T. ΓN. ∫ sA0 ∇u0 · ∇p1 dx dt.. = 0. Ω. Por lo tanto el gradiente de la función objetivo es. 16.
(33) ∫ T∫ ∫ T∫ ∗ ∂Jsa 0 2 (s) = −η sA ∇u0 · ∇p0 dx dt − η sA0 ∇u0 · ∇p1 sdx dt ∂θ 0 0 Ω Ω ∫ T∫ ∫ T∫ −η 2 sA0 ∇u1 · ∇p0 dxdt + η 2 s(1 − 2θ)H(t, x)dx dt. 0. Ω. 0. Ω. ∗ Se observa entonces que el cálculo de la función objetivo Jsa usando la expresión de. (2.17) requiere tener calculados u0 , p0 , H y u1 . Las primeras dos funciones son calculadas sólo una vez, ya que no dependen de θ, luego se procede a encontrar H, lo cual también se hace una sola vez. En las iteraciones posteriores sólo se recalcula u1 . Los cálculos del ∗ gradiente de Jsa solamente requieren el cálculo adicional de p1 .. 2.2. Obtención de gradiente para la resolución de problemas inversos para el caso de la ecuación de onda escalar Se analiza el problema de propagación de ondas en una membrana. A través de la ecuación diferencial parcial de este problema, la cual modela el desplazamiento transversal de la membrana en el tiempo, y mediante las técnicas de homogeneización ya vistas para el caso del problema de difusión de calor, se implementa un método para la detección de inclusiones en la membrana. Si bien los cálculos matemáticos que se desarrollan a continuación consisten en el mismo procedimiento desarrollado para el caso de difusión de calor, se debe tener en cuenta que la ecuación diferencial que gobierna al problema fı́sico es distinta, ya que posee una doble derivada en el tiempo y por lo tanto, pese a la similitud de los cálculos, se necesita realizar todo el desarrollo nuevamente ya que la segunda derivada en el tiempo introduce diferencias importantes. 2.2.1. Aproximación asintótica de amplitud pequeña Al igual que en el caso de difusión de calor, se usa la aproximación de amplitud pequeña desarrollada en Allaire y Gutiérrez (2007). 17.
(34) Si se considera la mezcla de dos fases de rigidez de membrana caracterizadas por dos tensores simétricos definidos positivos, A0 y A1 . Además se denota por η a la amplitud (también llamada contraste o razón de aspecto) entre los dos materiales. Considerando lo anterior, se tiene que. A1 = (1 + η)A0 . El rango de valores que puede tomar η está restringido por (−1, +∞) pero de ahora en adelante se supone que η es un parámetro de valor absoluto pequeño, i.e. |η| ≪ 1. Se considera solamente el caso de inclusiones bien definidas del material con tensor de rigidez A1 en un material base con rigidez A0 , se denota por χr a la función caracterı́stica de la región que está ocupada con fase A1 , donde el superı́ndice r quiere decir “real”: 1 si en x hay material de tensor de rigidez A1 χr (x) = 0 e.o.c. El tensor de rigidez queda definido entonces por. Ar (x) = (1 − χr (x))A0 + χr (x)A1 = (1 + ηχr (x))A0 . Para un conjunto abierto Ω ⊂ RN con un borde suave, ∂Ω, se considera el siguiente problema con condiciones de borde ∂ 2 ur ρ 2 − div(Ar ∇ur ) = ∂t ur =. f. en. 0. en. ur (0, x) = ū0 ∂ur (0, x) = v0 ∂t. en en. Ω × (0, T ) ∂Ω × (0, T ) Ω Ω.. (2.20). 18.
(35) Este problema considera conocida completamente la ubicación de la inclusión, además se considera que la densidad de la membrana, ρ, es constante en todo el dominio e igual tanto para el material base como para la inclusión. La solución de (2.20) es el campo real de desplazamientos transversales. Si ahora se divide el borde del dominio en dos partes: ΓD , donde se mantienen las condiciones Dirichlet del problema y ΓN donde se usa una condición de Neumann. Luego ∂Ω = ΓD ∪ΓN y si llamamos n a la normal unitaria externa a ∂Ω, se tiene que el flujo real de tensiones a través de ΓN está dado por. g = Ar ∇ur · n. El objetivo es encontrar la posición de la inclusión, o sea encontrar χr , usando solamente las mediciones del borde del dominio, las cuales son: desplazamiento nulo en ΓD y flujo de tensiones g sobre ΓN . Para lo anterior se propone minimizar la siguiente función objetivo ∫. T. ∫ u2 ds dt.. J(χ) = 0. ΓN. Con u ∈ H 1 (Ω) la solución del siguiente problema ∂2u ρ 2 − div(A∇u) = ∂t u =. f. en. 0. en. g. en. u(0, x) = ū0 ∂u (0, x) = v0 ∂t. en. A∇u · n =. en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.21). Donde se tiene que A(x) = (1 − χ(x))A0 + χ(x)A1 = (1 + ηχ(x))A0 , tensor de rigidez que está basado en una suposición χ de la verdadera función caracterı́stica χr .. 19.
(36) Sea, al igual que en el caso de difusión de calor, Θ ∈ (0, 1) la fracción de volumen de la inclusión con respecto al medio completo, la que se supone conocida. Denotando por |Ω| al volumen del medio completo Ω, el volumen de la inclusión es Θ|Ω| y el del material base es (1 − Θ)|Ω|. Luego se define un conjunto de diseños admisibles. Uad =. . χ ∈ L∞ (Ω; {0, 1})s.a.. ∫. χ(x)dx = Θ|Ω| . . (2.22). Ω. Donde L∞ (Ω; {0, 1}) representa al conjunto de funciones medibles definidas en Ω y que tomen valores 0 ó 1. Se quiere encontrar χ a través de resolver el siguiente problema de diseño óptimo ı́nf J(χ).. (2.23). χ∈Uad. Si se supone que la amplitud entre el material de la base y el defecto es pequeña, se desarrolla una expasión de Taylor de segundo orden del campo de desplazamientos y de la función objetivo. Como la matriz A en (2.21) es una función afı́n de η, la solución de u ∈ H 1 (Ω) es analı́tica con respecto a η y por lo tanto se puede escribir. u = u0 + ηu1 + η 2 u2 + o(η 2 ). (2.24). Reemplazando lo anterior en (2.21) e igualando los términos de igual potencia de η, se llega a tres problemas para u0 , u1 , u2 : ∂ 2 u0 ρ 2 − div(A0 ∇u0 ) = ∂t u0 =. f. en. 0. en. g. en. u0 (0, x) = ū0 ∂u0 (0, x) = v0 ∂t. en. A∇u0 · n =. en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.25). 20.
(37) ∂ 2 u1 ρ 2 − div(A0 ∇u1 ) = div(χA0 ∇u0 ) ∂t u1 = 0. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. en en. A∇u1 · n = −χA0 ∇u0 · n. en. u1 (0, x) = 0 ∂u1 (0, x) = 0 ∂t. en en. ∂ 2 u2 ρ 2 − div(A0 ∇u2 ) = div(χA0 ∇u1 ) ∂t u2 = 0 A0 ∇u2 · n = −χA0 ∇u1 · n u2 (0, x) = 0 ∂u2 (0, x) = 0 ∂t. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. en en en en en. (2.26). (2.27). Luego, se tiene un procedimiento para obtener los campos de desplazamientos u0 , u1 , u2 y se debe ver como éstos participan en la función objetivo. Reemplazando (2.24) en la expresión de la función objetivo se tiene: ∫. T. ∫. J(χ) = ∫ +η. ∫. 2. ΓN. (u21 0. T. ∫. ∫ u20 ds. u ds dt = 0. T. ∫ 2. 0. T. ∫. dt + 2η. u0 u1 ds dt 0. ΓN. ΓN. (2.28). 2. + 2u0 u2 )ds dt + o(η ).. ΓN. Luego, se propone resolver el siguiente problema de optimización en reemplazo de lo propuesto en (2.23). ı́nf Jsa (χ).. χ∈Uad. (2.29). 21.
(38) Donde ∫. ∫. T. ∫ u20 ds. Jsa (χ) = 0. ∫. T. dt + 2η. ∫ u0 u1 ds dt + η. 0. ΓN. ∫. T. 2. (u21 + 2u0 u2 )ds dt. 0. ΓN. ΓN. Luego se procede a hacer una relajación de (2.29) para poder tener una noción de derivada y ası́ desarrollar un algoritmo de optimización para obtener la resolución.. 2.2.2. Procedimiento de optimización para obtención de la inclusión La relajación de (2.29) es. Proposición. ∗ mı́n ∗ Jsa (θ, ν).. (2.30). (θ,ν)∈Uad. Donde. ∗ Jsa (θ, ν). ∫. T. ∫. ∫ u20 ds. = 0. ΓN. T. ∫. dt + 2η. ∫ u0 u1 ds dt + η. 0. T. ∫. 2. (u21 + 2u0 u2 )ds dt. (2.31) 0. ΓN. ΓN. Y además se tiene que u0 , u1 , u2 son soluciones de (2.25), (2.33) y (2.34) respectivamente y Uad está definido, al igual que en el caso de difusión de calor, por:. ∗ Uad. ∫ = (θ, ν) ∈ L∞ (Ω; [0, 1]) × P(Ω, S N −1 ) s.a. θ(x)dx = Θ|Ω| . . (2.32). Ω. Luego, se denota por u1(n) y u2(n) a las soluciones de (2.26) y (2.27), donde χ fue reemplazado por χn , el cual pertenece a una sucesión χn ⇀ θ. Luego, de lo desarrollado en Allaire y Gutiérrez (2007), se tiene que, extrayendo subsucesiones, u1(n) ⇀ u1 y u2(n) ⇀ 22.
(39) u2 , donde la noción de convergencia débil es ligeramente diferente que en el caso de χn , luego las ecuaciones en el lı́mite son:. ∂ 2 u1 ρ 2 − div(A0 ∇u1 ) = div(θA0 ∇u0 ) ∂t u1 = 0 A0 ∇u1 · n = −θA0 ∇u0 · n u1 (0, x) = 0 ∂u1 (0, x) = 0 ∂t. en en en en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. ∂ 2 u2 ρ 2 − div(A0 ∇u2 ) = div(θA0 ∇u1 ) − div(θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 ) ∂t u2 = 0 A0 ∇u2 · n = −θA0 ∇u1 · n + θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · n u2 (0, x) = 0 ∂u2 (0, x) = 0 ∂t. (2.33). en en en en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω. (2.34). Donde M es el mismo tensor utilizado para el caso de difusión de calor obtenido en Tartar (1990). La razón para utilizar el mismo tensor es que si bien ambos tensores representan fı́sicamente propiedades distintas, la forma de los tensores es la misma. ∫ M= S N −1. ξ⊗ξ ν(x, dξ). A0 ξ · ξ. ∗ (θ, ν) dada en (2.31), la cual depende de ν solaPara simplificar la fórmula para Jsa. mente a través de u2 , se introduce un estado adjunto p0 , el cual es solución de. 23.
(40) ∂ 2 p0 ρ 2 − div(A0 ∇p0 ) = 0 ∂t p0 = 0. en en. A0 ∇p0 · n = 2u0. en. p0 (T, x) = 0 ∂p0 (T, x) = 0 ∂t. en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.35). A diferencia de lo que ocurre en el caso de difusión de calor, la ecuación diferencial (2.35), que gobierna al estado adjunto p0 , no presenta un cambio de signo en el término de la derivada temporal. Este cambio de signo con respecto al caso de difusión de calor (ver (2.16)) es necesario para poder desarrollar los cálculos que siguen y es debido a la segunda derivada temporal que introduce la ecuación de onda al problema. Hay que tener en cuenta que el estado adjunto p0 no tiene un significado fı́sico y que solamente es un campo auxiliar que nos sirve para simplificar las expresión de la función objetivo. Lo que no cambia con respecto al problema de difusión de calor, son las condiciones de borde temporales del problema, que nuevamente se transforman de condiciones iniciales a condiciones finales del campo del estado adjunto, lo cual se hace por requerimientos del problema. ∗ La idea es que a través de este estado adjunto se pueda eliminar u2 en Jsa (θ, ν). Si. se multiplica (2.35) por u2 y se integra por partes, considerando la ecuación (2.34) y las condiciones de borde de (2.34) y (2.35), se tiene:. 24.
(41) )T ) ∫ ( 2 ∫ ( ∂ p0 ∂p0 0 ρ 2 − div(A ∇p0 ) u2 dx dt = ρ u2 0= dx ∂t ∂t 0 0 Ω Ω ∫ ) ∫ T∫ ∫ T∫ ( T ∫ ∂p0 ∂u2 0 dx dt − − A ∇p0 · nu2 ds dt + ρ A0 ∇p0 · ∇u2 dx dt ∂t ∂t 0 0 0 Ω ( )T ) ∫ ∂Ω ∫ ∫ ΩT ∫ ∫ ( T ∂ 2 u2 ∂u2 ρp0 2 dx dt − dx + 2u0 u2 ds dt ρ p0 =− ∂t ∂t 0 0 0 Ω ΓN Ω ∫ T∫ ∫ T∫ ( ) p0 div A0 ∇u2 dx dt + p0 A0 ∇u2 · n ds dt − ∫. T. 0. ∫. T. ∫. =−. ∫. ∫. ΓN T ∫. + 0. T. ∫. = ∫. T. ∫. −. 0. 0. (. 0. Ω. ( ( ) ( )) p0 div θA0 ∇u1 − div θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · n dx dt ∫. Ω. T. ∫. 0. ∫. ΓN T ∫. 2u0 u2 ds dt − 0. ( 2 ) ( 0 ) ∂ u2 p0 ρ 2 − div A ∇u2 dx dt ∂t. ΓN. ΓN T ∫. =−. ∫. Ω. ) p0 −θA0 ∇u1 · n + θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · n ds dt. 2u0 u2 ds dt + ∫. T. 2u0 u2 ds dt + 0. ∫. 0. ∂Ω. 0. ΓN. ( ) p0 −θA0 ∇u1 · n + θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · n ds dt (. ) θA0 ∇u1 · ∇p0 − θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · ∇p0 dx dt.. Ω. Por lo tanto, se obtiene la siguiente relación ∫. T. ∫. ∫. T. ∫. 2uo u2 ds dt = − 0. ΓN. 0. (. ) (θA0 ∇u1 · ∇p0 − θ(1 − θ)A0 M A0 ∇u0 · ∇p0 dx dt.. Ω. ∗ (θ, ν) es afı́n con respecto a ν, la que depende de la Luego la función objetivo Jsa. microestructura usada en ese punto del dominio. Como se quiere minimizar la función objetivo, lo indicado es minimizar con respecto a ν, pero dado que el problema original no posee microestructura, la elección de ν se hace de manera de castigar la presencia. 25.
(42) de ésta, por tanto, al igual que en el problema de difusión de calor, se debe realizar una maximización en el conjunto convexo P(Ω, S N −1 ), y cualquier maximizante ν ∗ puede ser reemplazado por una masa de Dirac concentrada en una dirección ξ ∗ que maximice en S N −1 la siguiente función: 1 A0 ξ. ·ξ. A0 ∇u0 · ξ A0 ∇p0 · ξ.. La cual, en el caso de una membrana con rigidez isotrópica A0 = αI, se convierte en. α∇u0 · ξ ∇p0 · ξ. Sea. H(t, x) =. máx α∇u0 · ξ ∇p0 · ξ. ξ ∈ S N −1. Es importante notar que H(t, x), al igual que en el caso de difusión de calor, no depende de θ, pero al depender de u0 y p0 varı́a en el tiempo por lo que se calcula para cada paso de tiempo. Además, reemplazar un maximizante ν ∗ por la masa de Dirac concentrada en ξ ∗ no altera a θ, u0 , u1 y p0 . Ası́ se restringe la maximización de ν a un subconjunto de P(Ω, S N −1 ) hecho de masas de Dirac del tipo ν(x, ξ) = δ(ξ − ξ 0 (x)). Después de la eliminación de la medida ν, i.e., incorporar la masa de Dirac óptima concentrada en ξ ∗ (x), se obtiene una función objetivo que sólo depende de θ. También se elimina u1 en el término de primer orden de la función objetivo. Para lo anterior, nuevamente se utiliza el estado adjunto p0 : se multiplica (2.35) por u1 , se integra por partes y se utilizan las condiciones de borde de las ecuaciones (2.35) y (2.33) , se obtiene. 26.
(43) ∫. T. ∫. ∫. T. ∫. 2u0 u1 ds dt = − 0. θA0 ∇u0 · ∇p0 dx dt. 0. ΓN. Ω. Por lo tanto se tiene que. ∗ Jsa (θ). ∫. T. ∫. = 0. ∫ −η. ∫ u20 ds. T. T. ∫. dt − η. ∫ θA ∇u0 ∇p0 dx dt + η 0. 0. ∫. ΓN. θA ∇u1 ∇p0 dx dt + η. 2. 0. 0. ∫. Ω. ∫ u21 ds dt. 0. ΓN. (2.36). θ(1 − θ)H(t, x)dx dt.. 2 0. Ω. T. ∫. T. 2. Ω. ∗ Luego simplemente se calcula la derivada de Jsa con respecto a θ.. Lema. ∗ La función objetivo Jsa (θ) es Fréchet diferenciable y su derivada en la direc-. ción s ∈ L∞ (Ω) está dada por ∫ T∫ ∫ T∫ ∗ ∂Jsa ∂u1 0 2 (s) = −η (s)ds dt sA ∇u0 · ∇p0 dx dt + η 2u1 ∂θ ∂θ 0 0 Ω ΓN ∫ T∫ ∫ T∫ ∂u1 −η 2 (s) · ∇p0 dx dt sA0 ∇u1 · ∇p0 dx dt − η 2 θA0 ∇ ∂θ 0 0 Ω Ω ∫ T∫ +η 2 s(1 − 2θ)H(t, x)dx dt. 0. Donde z =. Ω. ∂u1 (s) es la solución de ∂θ. 27.
(44) ∂ 2z ρ 2 − div(A0 ∇z) = div(sA0 ∇u0 ) ∂t z = 0 A0 ∇z · n = −sA0 ∇u0 · n z(0, x) = 0 ∂z (0, x) = 0 ∂t. en en en en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.37). Si p1 es otro estado adjunto, definido como la solución de. ∂ 2 p1 ρ 2 − div(A0 ∇p1 ) = div(θA0 ∇p0 ) ∂t p1 = 0. en en. A0 ∇p1 · n = 2(u1 − θu0 ). en. p1 (T, x) = 0 ∂p1 (T, x) = 0 ∂t. en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.38). Se tiene, haciendo un desarrollo análogo al realizado para difusión de calor, la siguiente expresión para el gradiente de la función objetivo: ∫ T∫ ∫ T∫ ∗ ∂Jsa 0 2 (s) = −η sA ∇u0 ∇p0 dx dt − η sA0 ∇u0 ∇p1 sdx dt ∂θ 0 0 Ω Ω ∫ T∫ ∫ T∫ −η 2 sA0 ∇u1 ∇p0 dxdt + η 2 s(1 − 2θ)H(t, x)dx dt. 0. Ω. 0. Ω. ∗ usando la expresión Se puede notar entonces que el cálculo de la función objetivo Jsa. de (2.36) requiere tener calculados u0 , p0 , H y u1 . Las primeras dos funciones son calculadas sólo una vez, ya que no dependen de θ, luego se procede a encontrar H, lo cual también se hace una sola vez. En las iteraciones posteriores sólo se necesita recalcular u1 . ∗ solamente requieren el cálculo adicional de p1 . Los cálculos del gradiente de Jsa. 28.
(45) 2.3. Obtención de gradiente para la resolución de problemas inversos para el caso de propagación de ondas en medios elásticos En esta sección se desarrolla un método de detección de defectos para el problema fı́sico de propagación de ondas en medios elásticos, lo anterior se realiza a través de la ecuación diferencial parcial de este problema, la cual modela la evolución del campo de desplazamientos de un medio elástico en el tiempo y con los datos experimentales de un ensayo sobre una probeta determinada. Al igual que en los dos problemas fı́sicos estudiados anteriormente, el procedimiento para el desarrollo del método de resolución de problemas inversos es el mismo, sin embargo al cambiar la naturaleza de la ecuación diferencial que gobierna al problema, se debe desarrollar por completo el procedimiento de obtención de un gradiente para la función objetivo.. 2.3.1. Aproximación asintótica de amplitud pequeña Al igual que en los problemas anteriores, se usará la aproximación de amplitud pequeña desarrollada en Allaire y Gutiérrez (2007). Se considera la mezcla de dos fases de materiales elásticos caracterizadas por dos tensores elásticos simétricos definidos positivos, C0 y C1 . Además se denota por η a la amplitud (también llamada contraste o razón de aspecto) entre los dos materiales. Considerando lo anterior, se tiene que. C1 = (1 + η)C0 . El rango de valores que puede tomar η está restringido por (−1, +∞) pero de ahora en adelante se supone que η es un parámetro de valor absoluto pequeño, i.e. |η| ≪ 1. Se considera solamente el caso de inclusiones bien definidas del material con tensor de elasticidad C1 en un material base con tensor de elasticidad C0 , se denota por χr a la 29.
(46) función caracterı́stica de la región que está ocupada con fase C1 , donde el superı́ndice r quiere decir “real”: 1 si en x hay material de tensor de elasticidad C1 χr (x) = 0 e.o.c. El tensor de elasticidad queda definido entonces por. Cr (x) = (1 − χr (x))C0 + χr (x)C1 = (1 + ηχr (x))C0 . Para un conjunto abierto Ω ⊂ RN con un borde suave, ∂Ω = ΓD ∪ ΓN , se considera el siguiente problema con condiciones de borde ∂ 2 ur ρ 2 − div(Cr ε(ur )) = ∂t ur =. f. en. 0. en. g. en. ur (0, x) = ū0 ∂ur (0, x) = v0 ∂t. en. Cr ε(ur )n =. en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.39). Donde. ε(ur ) =. ) 1( r ∇u + ∇(ur )T . 2. Este problema considera que se conoce completamente la ubicación de la inclusión, además se considera que la densidad del sólido, ρ, es constante en todo el dominio e igual tanto para el material base como para la inclusión. La solución de (2.39) es el campo real de desplazamientos del sólido. Se considera un subconjunto del borde con condiciones de. 30.
(47) Neumann, ΓN , al cual se llamará Γ, borde en el cual se toman mediciones de los desplazamientos del sólido. Considerando lo anterior y como se busca detectar la inclusión de material con tensor de elasticidad C1 , se propone minimizar la siguiente función objetivo ∫. T. ∫ ∥u − ur ∥2 ds dt.. J(χ) = 0. Γ. N. Con u ∈ (H 1 (Ω)) la solución del siguiente problema ∂2u ρ 2 − div(Cε(u)) = ∂t u =. f. en. 0. en. g. en. u(0, x) = ū0 ∂u (0, x) = v0 ∂t. en. Cε(u)n =. en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.40). Donde se tiene que C(x) = (1 − χ(x))C0 + χ(x)C1 = (1 + ηχ(x))C0 , tensor de elasticidad que está basado en una suposición χ de la verdadera función caracterı́stica χr . Sea Θ ∈ (0, 1) la fracción de volumen de la inclusión con respecto al medio completo, la que se supone conocida. Denotando por |Ω| al volumen del medio completo Ω, el volumen de la inclusión es Θ|Ω| y el del material base es (1 − Θ)|Ω|. Luego se define un conjunto de diseños admisibles. Uad =. . χ ∈ L∞ (Ω; {0, 1})s.a.. ∫. χ(x)dx = Θ|Ω| . . (2.41). Ω. Donde L∞ (Ω; {0, 1}) representa al conjunto de funciones medibles definidas en Ω y que toman valores 0 ó 1. Se quiere encontrar χ a través de resolver el siguiente problema de diseño óptimo. 31.
(48) ı́nf J(χ).. (2.42). χ∈Uad. Suponiendo que la amplitud entre el material de la base y el defecto es pequeña, se desarrolla una expasión de Taylor de segundo orden del campo de desplazamientos y de la función objetivo. Como la matriz C en (2.40) es una función afı́n de η, la solución de N. u ∈ (H 1 (Ω)) es analı́tica con respecto a η y por lo tanto se puede escribir. u = u0 + ηu1 + η 2 u2 + o(η 2 ). (2.43). Reemplazando lo anterior en (2.40) e igualando los términos de igual potencia de η, se llega a tres ecuaciones para u0 , u1 , u2 : ∂ 2 u0 ρ 2 − div(C0 ε(u0 )) = ∂t u0 =. f. en. 0. en. g. en. u0 (0, x) = ū0 ∂u0 (0, x) = v0 ∂t. en. C0 ε(u0 )n =. en. ∂ 2 u1 ρ 2 − div(C0 ε(u1 )) = div(χC0 ε(u0 )) ∂t u1 = 0. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. en en. C0 ε(u1 )n = −χC0 ε(u0 )n. en. u1 (0, x) = 0 ∂u1 (0, x) = 0 ∂t. en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. (2.44). (2.45). 32.
(49) ∂ 2 u2 ρ 2 − div(C0 ε(u2 )) = div(χC0 ε(u1 )) ∂t u2 = 0. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. en en. C0 ε(u2 )n = −χC0 ε(u1 )n. en. u2 (0, x) = 0 ∂u2 (0, x) = 0 ∂t. en en. (2.46). Luego, se tiene un procedimiento para obtener los campos de desplazamientos u0 , u1 , u2 y se debe ver como éstos participan en la función objetivo. Reemplazando (2.43) en la expresión de la función objetivo, se tiene: ∫. T. ∫. ∫. T. ∫. J(χ) =. ∫. ΓN. T. T. ∫. ∥u0 − u ∥ ds dt + 2η. u ds dt = 0. ∫. (u0 − ur ) · u1 ds dt. r 2. 2. 0. ∫. 0. Γ. Γ. (u1 · u1 + 2(u0 − ur ) · u2 )ds dt + o(η 2 ).. +η 2 0. Γ. (2.47) Luego, se propone resolver el siguiente problema de optimización en reemplazo de lo propuesto en (2.42). ı́nf Jsa (χ).. (2.48). χ∈Uad. Donde ∫. T. ∫. ∫. T. ∫. ∥u0 − u ∥ ds dt + 2η. (u0 − ur ) · u1 ds dt. r 2. Jsa (χ) = 0. +η. Γ∫. T. ∫. 0. Γ. (u1 · u1 + 2(u0 − u ) · u2 )ds dt. r. 2 0. Γ. 33.
(50) Luego se procede a hacer una relajación de (2.48) para poder tener una noción de derivada y ası́ se desarrolla un algoritmo de optimización para obtener la resolución del problema inverso.. 2.3.2. Procedimiento de optimización para obtención de la inclusión La relajación de (2.48) es. Proposición. ∗ mı́n Jsa (θ, ν).. (2.49). ∗ (θ,ν)∈Uad. Donde. ∗ Jsa (θ, ν). ∫. T. ∫. ∫. T. ∫. ∥u0 − u ∥ ds dt + 2η. (u0 − ur ) · u1 ds dt. r 2. = 0. Γ ∫. T. 0. ∫. Γ. (2.50). (u1 · u1 + 2(u0 − ur ) · u2 )ds dt.. +η 2 0. Γ. Y además se tiene que u0 , u1 , u2 son soluciones de (2.44), (2.52) y (2.53) respectiva∗ mente y Uad está definido, al igual que en los problemas abordados en secciones anteriores,. por:. ∗ Uad. ∫ ∞ N −1 = (θ, ν) ∈ L (Ω; [0, 1]) × P(Ω, S ) s.a. θ(x)dx = Θ|Ω| . . (2.51). Ω. Por otra parte, al igual que en los dos problemas fı́sicos abordados anteriormente, ν es la H-medida, la cual representa una medida de probabilidad de la descomposición de Fourier de la microestructura en cada punto x. Ahora se denota u1(n) y u2(n) a las soluciones de (2.45) y (2.46), donde χ fue reemplazado por χn , el cual pertenece a una sucesión χn ⇀ θ. Luego según lo visto en Allaire 34.
(51) y Gutiérrez (2007), se tiene que, extrayendo subsucesiones, u1(n) ⇀ u1 y u2(n) ⇀ u2 . Las ecuaciones en el lı́mite son:. ∂ 2 u1 ρ 2 − div(C0 ε(u1 )) = div(θC0 ε(u0 )) ∂t u1 = 0. en en. C0 ε(u1 )n = −θC0 ε(u0 )n. en. u1 (0, x) = 0 ∂u1 (0, x) = 0 ∂t. en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω.. ∂ 2 u2 ρ 2 − div(C0 ε(u2 )) = div(θC0 ε(u1 )) − div(θ(1 − θ)C0 M C0 ε(u0 )) ∂t u2 = 0. (2.52). en en. C0 ε(u2 )n = −θC0 ε(u1 )n + θ(1 − θ)C0 M C0 ε(u0 )n. en. u2 (0, x) = 0 ∂u2 (0, x) = 0 ∂t. en en. Ω × (0, T ) ΓD × (0, T ) ΓN × (0, T ) Ω Ω. (2.53). Donde M , en este caso, es distinto al utilizado en los problemas de difusión de calor y el de la membrana. Utilizando el resultado de Tartar (1990), se tiene que para el caso de elasticidad M corresponde a ∫ M (x)A : B = S N −1. (. Aξ · Bξ (λ0 + µ0 )(Aξ · ξ)(Bξ · ξ) − µ0 µ0 (2µ0 + λ0 ). ) ν(x, dξ).. Donde A y B son matrices simétricas de dimensión N × N arbitrarias, µ0 y λ0 corresponden a los parámetros de Lamé del material base, que caracterizan al tensor C0 . ∗ (θ, ν) dada en (2.50), la cual depende de ν solaPara simplificar la fórmula para Jsa. mente a través de u2 , se introduce un estado adjunto p0 , el cual es solución de 35.
(52) ∂ 2 p0 ρ 2 − div(C0 ε(p0 )) = 0 ∂t p0 = 0. en. Ω × (0, T ). en. ΓD × (0, T ). C0 ε(p0 )n = 0. en. ΓN \ Γ × (0, T ). C0 ε(p0 )n = 2(u0 − ur ). en. Γ × (0, T ). p0 (T, x) = 0 ∂p0 (T, x) = 0 ∂t. en. Ω. en. Ω.. . (2.54). Al igual de lo que ocurrı́a con los problemas de difusión de calor y de propagación de ondas en una membrana, las condiciones temporales del problema se transforman de condiciones iniciales a condiciones finales del campo del estado adjunto, lo cual se hace por requerimientos del problema. ∗ La idea es que a través de este estado adjunto se pueda eliminar u2 en Jsa (θ, ν). Si. se multiplica (2.54) por u2 e se integra por partes, considerando la ecuación (2.53) y las condiciones de borde de (2.53) y (2.54), se tiene: ) )T ∫ ( ∫ ( 2 ∂p0 ∂ p0 0 0= u2 ρ 2 − div(C ε(p0 )) u2 dx dt = ρ dx ∂t ∂t 0 0 Ω∫ Ω ) ∫ T∫ ∫ ( T ∫ ∂p0 ∂u2 0 dx dt − ρ C ε(p0 ) · nu2 ds dt + C0 ε(p0 ) : ε(u2 ) dx dt ∂t ∂t 0 0 ∫. ∫ − 0. T. Ω. T. ∂Ω. Ω. 36.
(53) )T ) ∫ T∫ ∫ ( ∫ T∫ ( ∂u2 ∂ 2 u2 ρ p0 ρp0 2 dx dt − 2(u0 − ur ) · u2 ds dt = dx + ∂t ∂t 0 0 0 Ω Ω Γ ∫ T∫ ∫ T∫ ( 0 ) 0 + p0 C ε(u2 ) · n ds dt − p0 div C ε(u2 ) dx dt ∫. T. 0. ∫. =−. ∫. ∂Ω. T. ∫. 0. Ω(. 2(u0 − u ) · u2 ds dt + r. 0. Γ∫. (. ∫. T. ∫. ( ) p0 −θC0 ε(u1 ) · n + θ(1 − θ)C0 M C0 ε(u0 ) · n ds dt. + 0. ∫. ∂Ω. T. ∫. − ∫. T. ∫. + 0. 2(u0 − ur ) · u2 ds dt 0. ∫. =− T. Ω. ( ( ) ( )) p0 div θC0 ε(u1 ) − div θ(1 − θ)C0 M C0 ε(u0 ) · n dx dt. ∫Ω T ∫. ∫. dx dt. ∂Ω. = 0. ). ) p0 −θC0 ε(u1 ) · n + θ(1 − θ)C0 M C0 ε(u0 ) · n ds dt. + 0. p0 0. ∫. T. ( ) ∂ 2 u2 ρ 2 − div C0 ε(u2 ) ∂t. ∫. Γ. T. ∫. 2(u0 − u ) · u2 ds dt − r. 0. (. θC0 ε(u1 ) : ε(p0 ) 0. Γ. Ω. ) θC0 ε(u1 ) : ε(p0 ) − θ(1 − θ)C0 M C0 ε(u0 ) : ε(p0 ) dx dt.. Ω. Por lo tanto, se obtiene la siguiente relación ∫. T. ∫. ∫. T. ∫. 2(u0 − u ) · u2 ds dt = − r. 0. ∫. T. Γ ∫. + 0. θC0 ε(u1 ) : ε(p0 ) dx dt 0. (. Ω. ) θC ε(u1 ) : ε(p0 ) − θ(1 − θ)C0 M C0 ε(u0 ) : ε(p0 ) dx dt. 0. Ω. Luego, la función objetivo Jsa (θ, ν) es afı́n con respecto a ν, la que depende de la micro estructura usada en ese punto del dominio. Utilizando el mismo argumento que en los casos de difusión de calor y propagación de ondas en una membrana, maximizamos el término de la función objetivo relacionado con la microestructura, luego, la elección de ν 37.
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