Convoluci´ on entre espacios L

Convoluci´ on entre espacios L

(R

)

1. Desigualdad de H¨older. Sean p, p^∗ > 1 tales que ¹_p + _p¹∗ = 1, y sean f ∈ L^p(Rⁿ), g ∈ L^q(Rⁿ). Entonces f g ∈ L¹(Rⁿ) y

kf gk₁ ≤ kf k_pkgk_p^∗.

2. Desigualdad de H¨older generalizada: ejemplo. kf ghk₁ ≤ kf k₃kgk₄khk¹²

5 . Demostraci´on. Queremos aplicar la desigualdad de H¨older a las funciones f g y h:

kf gk₁ ≤ kf gk¹²

7 khk¹²

5 . Vamos a demostar que kf gk¹²

7 ≤ kf k₃kgk₄. Notemos que

|f |¹²⁷ = |f |^3
4₇

, |g|¹²⁷ = |g|^4
3₇ . Por lo tanto,

kf gk¹²12⁷ 7

= k|f |¹²⁷ |g|¹²⁷ k₁ = k |f |^3
4₇

|g|^4
3₇

k₁ ≤ k|f |³k₁⁴⁷k|g|⁴k₁³⁷ = kf k

12 7

3 kgk₄¹²⁷ . 3. Desigualdad de H¨older generalizada. Sean r ≥ 2, p₁, . . . , p_r > 1 tales que _p¹

1 +

· · · +_p¹

r = 1, y sean fk∈ L^pk(Rⁿ), 1 ≤ k ≤ r. Entonces f1. . . fr ∈ L¹(Rⁿ) y kf₁· · · f_rk₁ ≤ kf₁k_p1 · · · kf_rk_pr.

Demostraci´on. La idea de la demostraci´on: por inducci´on. Apliquemos la desigualdad de H¨older a las funciones f₁· · · f_r−1 y f_r:

kf₁· · · f_r−1· f_rk₁ ≤ kf₁· · · f_rk_p^∗_rkf_rk_pr, donde p^∗_r definido por 1

p^∗_r + 1 p_r = 1.

Nos falta probar que

kf₁· · · f_r−1k_p^∗_r ≤ kf₁k_p1 · · · kf_r−1k_pr−1. (1) Definamos q1, . . . , qr−1 por qk := pk/p^∗_r. Entonces

1

q₁ + · · · + 1

q_r−1 = p^∗_r 1

p₁ + · · · + 1 p_r−1



= p^∗_r

 1 − 1

p_r



= 1.

Consideremos kf1· · · fr−1k^p_p^∗r∗

r:

r−1

Y

k=1

f_k

p^∗_r

p^∗_r

=

r−1

Y

k=1

|f_k|^p∗r 1

=

r−1

Y

k=1

(|f_k|^pk)^1/qk 1

.

Usemos la hip´otesis de la inducci´on:

r−1

Y

k=1

(|f_k|^pk)^1/qk 1

≤

r−1

Y

k=1

(|f_k|^pk)^1/qk qk

=

r−1

Y

k=1

k|f_k|^pkk^1/q₁ ^k

=

r−1

Y

k=1

k|f_k|^pkk^1/p₁ ^k

!p^∗_r

=

r−1

Y

k=1

kf_kk_pk

!p^∗_r

,

y la desigualdad (1) esta verificada.

4. Teorema. Sean p, q ≥ 1 tales que ¹_p + ¹_q > 1. Definamos r por ¹_r := ¹_p + ¹_q − 1. Sean f ∈ L^p(Rⁿ), g ∈ L^q(Rⁿ). Entonces:

1. Para casi todos x ∈ Rⁿ la funci´on y 7→ f (x − y)g(y) es integrable.

2. f ∗ g ∈ L^r(Rⁿ).

3. f ∗ g = g ∗ f c.t.p.

4. kf ∗ gkr ≤ kf kpkgkq (desigualdad de Young).

Demostraci´on. 1. Caso p > 1, q > 1. Escribamos

|f (x − y)| |g(y)| = (|f (x − y)|^p|g(y)|^q)^1r (|f (x − y)|^p)^1p−1r (|g(y)|^q)^1q−1r .

Definamos β y γ por: _β¹ = ¹_p−¹_r, _γ¹ = ¹_q−¹_r. Entonces ¹_r+_β¹+¹_γ = 1, y por la desigualdad de H¨older generalizada,

Z

Rⁿ

|f (x − y)| |g(y)| dy

≤



 Z

Rⁿ

|f (x − y)|^p|g(y)|^qdy





1/r

 Z

Rⁿ

|f (x − y)|^p





1 p−¹

r 

 Z

Rⁿ

|g(y)|^q





1 q−¹

r

≤ ((|f |^p∗ |g|^q)(x))^1r kf k¹⁻

p

p rkgk¹⁻

q

q r. De all´ı,

|(f ∗ g)(x)|^r≤ (|f |^p∗ |g|^q)(x) kf k^r−p_p kgk^r−q_q , y

kf ∗ gk^r_r = k|f ∗ g|^rk₁ ≤ k|f |^p∗ |g|^qk₁kf k^r−p_p kgk^r−q_q

≤ kf k^p_pkgk^q_qkf k^r−p_p kgk^r−q_q = kf k^r_pkgk^r_q. 2. El caso p = 1. En este caso r = q,

|f (x − y)| |g(y)| = (|f (x − y)||g(y)|^q)^1q (|f (x − y)|)^1−1q .

Integremos por y y apliquemos la desigualdad de H¨older:

(|f | ∗ |g|)(x) ≤ ((|f | ∗ |g|^q)(x))^1/q kf k¹⁻

1 q

1 . De all´ı

(|f | ∗ |g|)(x))^q ≤ (|f | ∗ |g|^q)(x)kf k^q−1₁ . Ahora integremos con respecto a x:

k|f | ∗ |g|k^q_q = kf k₁kgk^q_qkf k^q−1₁ = kf k^q₁kgk^q_q.

5. Tarea. Considerar el caso p > 1, q = 1.

6. Corolario. La aplicaci´on (f, g) 7→ f ∗ g es una aplicaci´on bilineal continua de L^p(Rⁿ) × L^q(Rⁿ) en L^r(Rⁿ).

7. El caso g = 1 (convoluci´on como operador lineal acotado en L^p(Rⁿ)). Si f ∈ L^p(Rⁿ) y g ∈ L¹(Rⁿ), entonces f ∗ g ∈ L^p(Rⁿ) y kf ∗ gk_p ≤ kf k_pkgk₁.

Ahora queremos considerar el caso ¹_p+¹_q = 1, i.e. q = p^∗. En este caso debemos poner r = ∞.

8. Lema. Sean 1 ≤ p < ∞, f ∈ L^p(Rⁿ). Entonces la aplicaci´on Rⁿ → L^p(Rⁿ), definida por t 7→ f_t, donde f_t(x) = f (x − t), es continua.

Idea de la demostraci´on. Primero, probar la afirmaci´on para funciones continuas de so- porte compacto. En el caso general, aproximar (en el sentido de L^p la funci´on f por funciones continuas de soporte compacto.

9. Proposici´on. Sea 1 ≤ p ≤ ∞. Sean f ∈ L^p(Rⁿ) y g ∈ L^p∗(Rⁿ). Entonces para todo x ∈ Rⁿ (no, como antes, para casi todo) existe

(f ∗ g)(x) :=

Z

Rⁿ

f (x − y)g(y) dy.

Se tiene f ∗ g = g ∗ f , f ∗ g es una funci´on medible acotada y kf ∗ gk∞≤ kf k_pkgk_p^∗.

La funci´on f ∗ g es uniformemente continua.

Demostraci´on. Para probar que k(f ∗ g)(x)k ≤ kf k_pkgk_p^∗, apliquemos la desigualdad de H¨older a las funciones y 7→ f (x − y), y 7→ g(y).

Demostremos que f ∗ g es uniformemente continua.

|(f ∗ g)(x1) − (f ∗ g)(x2)| ≤ kf kpkgx1 − gx2kp^∗,

donde g_t(y) := g(t + y). Se sabe que t 7→ g_t es una aplicaci´on uniformemente continua de Rⁿ en L^p∗.

10. Lema. Sea f ∈ L^p(Rⁿ), p ≥ 1. Entonces l´ım

M →∞

Z

|x|>M

|f (x)|^pdx = 0.

Demostraci´on. Usar el teorema de Lebesgue.

11. Proposici´on. Sean p ∈ (1, +∞), f ∈ L^p(Rⁿ), g ∈ L^p∗(Rⁿ). Entonces

x→∞l´ım(f ∗ g)(x) = 0.

Demostraci´on. Para M > 0, usando la desigualdad de H¨older, obtenemos:

|(f ∗ g)(x)| ≤ Z

|y|≤M

|f (x − y)g(y)| dy + Z

|y|>M

|f (x − y)g(y)| dy

≤ kgk_p^∗





 Z

|y|≤M

|f (x − y)|^pdy







1/p

+ kf k_p





 Z

|y|>M

|g(y)|^p∗dy







1/p^∗

.

Elegimos M > 0 y R > 0 tales que





 Z

|y|>M

|g(y)|^p∗dy







1/p^∗

< ε,





 Z

|z|>M

|f (z)|^pdz







1/p

< ε.

Entonces para x > M + R se tiene |(f ∗ g)(x)| ≤ ε(kf k_p+ kgk_p^∗).

12. Proposici´on. Sean f ∈ L¹(Rⁿ) y g ∈ L^∞(Rⁿ) tal que l´ımx→∞g(x) = 0. Entonces l´ım_x→∞(f ∗ g)(x) = 0.

Demostraci´on. Como en la proposici´on anterior, usando la disigualdad:

|(f ∗ g)(x)| ≤ kgk∞

Z

|y|≤M

|f (x − y)| dy + kf k1 sup

|y|>M

|g(y)|.

13. Lema. La funci´on f : R → R,

f (t) :=

(e^−1/t, t > 0, 0, t ≤ 0;

es de clase C^∞(R).

14. Proposici´on (existen funciones de clase C^∞ de soporte compacto). Por ejemplo,

f (x) :=

(exp

−_1−|x|¹ 2



, |x| < 1;

0, |x| ≥ 1.

15. Proposici´on. Sea p ∈ [1, +∞], f ∈ L^p(Rⁿ) y g : Rⁿ → K una funci´on de clase C^r de soporte compacto, r ≥ 1. Entonces f ∗ g es una funci´on de clase C^∞. Si adem´as D := ∂_α1...αk, donde k ≤ r y α₁, . . . , α_k∈ [1, n], entonces

D(f ∗ g) = f ∗ Dg.