Unidad 4
CIRCUITOS EN CORRIENTE ALTERNA Las fuentes de voltaje o de corriente pueden ser:
(a) De corriente continua (cc) también conocida a veces como corriente directa (dc)
(b) Función del tiempo
(b1) onda diente de sierra
(b2) Onda cuadrada
(b3) Onda triangular
(b4) tren de pulsos
(b5) Onda sinusoidal, conocida también como corriente alterna, ac.
Todas las fuentes denotadas con b, de b1 a b5 son periódicas
Una señal periódica se define cuando
En donde n = 1, 2, 3, . . . y T es periodo o duración de una onda completa en unidades de tiempo.
En la industria eléctrica: generación, transporte y distribución de energía, que es ampliamente usada para el movimiento de máquinas y utensilios, es la onda sinusoidal (corriente alterna).
v(t) i(t)
Propiedades de las sinusoides
f(t ) = A cos(ωt + φ )
En la ecuación anterior, A es la amplitud, en voltios si representa a un voltaje o en amperios si se trata de una corriente.
ω es la frecuencia angular en radianes/segundo (rad/s), φ es el ángulo de fase en radianes o en grados.
Si aplicamos la propiedad de periodicidad:
f(t ) = A cos(ωt + φ ) con n = 1.
Para que lo anterior se cumpla: ωT = 2π de donde
T en unidades de tiempo y es el período de la onda o ciclo.
El recíproco del período es el número de ciclos producidos en la unidad de tiempo, así
f es la frecuencia en hertzios, Hz
La relación entre la frecuencia angular y la frecuencia en hertzios es
La frecuencia de la corriente alterna en El Salvador, y en muchos países de América, incluyendo USA es de 60 Hz.
Debido a que las ondas pueden eventualmente escribirse como
▪ Función seno
▪ Función coseno
▪ Una combinación de una función seno y una función coseno Se hace necesario tener en cuenta las siguientes igualdades
La ecuación
Se puede escribir también como
Forma seno Forma coseno
Forma seno-coseno
En el análisis de circuitos de corriente alterna aparecen elementos como, resistores, inductores y capacitores.
Un circuito RL serie alimentado por una fuente vs da origen da una ecuación de la forma
vs
Un circuito RC serie alimentado por una fuente vs da una ecuación de la forma
Un circuito RLC serie alimentado por una fuente vs da origen una ecuación de la forma
La ecuación anterior es una ecuación
integro-diferencial que se puede convertir en ecuación de segundo orden al derivar todos los términos
O sea de la forma
En donde f(t) se conoce como función de excitación y es proporcionada por la fuente. La variable x puede ser cualquier variable de circuito corriente o voltaje en algún elemento.
vs
vs
La solución completa de la EDO es de la forma Respuesta total o solución general
Respuesta natural o transitoria Solución complementaria:
Respuesta de estado permanente Solución particular:
En este curso interesa la solución de estado permanente, la cual no toma en cuenta las condiciones iniciales.
Respuesta de los elementos de circuito
Si v(t) = Vmcos(ωt + φv)
En un resistor la corriente y el voltaje están en fase
Las amplitudes se relacionan mediante
Si v(t) = Vmcos(ωt + φv)
En un inductor v(t) adelanta a i(t) en 90°, o bien i(t) atrasa a v(t) en 90°.
Las amplitudes se relacionan mediante
El término ωL tiene unidades de
resistencia y es usual escribir: XL = ωL:
reactancia inductiva.
Si v(t) = Vmcos(ωt + φv),
En un capacitor v(t) atrasa a i(t) en 90°, o bien i(t) adelanta a v(t) en 90°.
Las amplitudes se relacionan mediante
El término tiene unidades de resistencia y es usual escribir:
: reactancia capacitiva.
Combinaciones de elementos Circuito RL serie
Dado v(t) = Vmcosωt Por LVK:
Suponga
Igualando coeficientes de cosωt y sinωt, respectivamente,
(b) (a)
: Magnitud de la
impedancia en ohmios
En (b):
En un RL serie v adelanta a i en θ, o bien i atrasa a v en Note que 0 < θ < 90°
Ejemplo 1. Por un circuito serie con R = 10 Ω y L = 20 mH circula una corriente Obtener el voltaje total y el ángulo con el que la corriente se
retrasa respecto al voltaje.
SOLUCIÓN
La reactancia inductiva es:
El voltaje se adelanta a la corriente en el ángulo θ = 45°, de modo que
Circuito RC serie
Dado v(t) = Vmcosωt
Por LVK:
Suponga
Igualando coeficientes respectivos de cosωt y sinωt, respectivamente,
(b) (a)
En (b):
En un RC serie v adelanta a i en θ, o bien i atrasa a v en Note que -90° < θ < 0°
La corriente adelanta al voltaje en 20°.
Ejemplo 2. Un circuito serie con R = 27.5 Ω y C = 66.7 μF, tiene una tensión Determine la corriente.
voltios.
SOLUCIÓN
Circuito RLC serie
Dado v(t) = Vmcosωt Por LVK:
Suponga
Igualando coeficientes respectivos de cosωt y sinωt, respectivamente, (a)
(b)
En (b):
En un RLC serie v adelanta a i en θ, o bien i atrasa a v en Note que -90° < θ < 90°
Ejemplo 3. Un circuito serie con R = 30 Ω, L = 0.05 H y C = 50 μF, tiene una tensión Determine la corriente y el voltaje en cada elemento.
voltios.
La corriente adelanta al voltaje en 26.57°.
SOLUCIÓN
Voltaje en el resistor
Voltaje en el inductor
Voltaje en el capacitor
