Propiedades de la multiplicaci´ on de matrices
Ejercicios
Objetivos. Aprender a demostrar propiedades de la multiplicaci´on de matrices.
Requisitos. Definici´on de las operaciones con matrices, demostraci´on de las propiedades de las operaciones lineales con matrices, sumas y sus propiedades b´asicas.
Definici´ on del producto de dos matrices (repaso)
1. Multiplique las matrices A y B:
A =
5 −7 2
4 0 1
, B =
3 −1 8
2 5 1
−1 2 4
. Soluci´on:
AB =
−5 − 35 + 4
=
−36
.
Respuesta correcta:
AB = −1 −36 41
11 −2 36
.
2. Sean A ∈ M2×2(R), B ∈ M2×3(R):
A = A1,1 A1,2
A2,1 A2,2
, B = B1,1 B1,2 B1,3
B2,1 B2,2 B2,3
. Entonces AB ∈
| {z }
?
,
3. Sea A ∈ M3×4(R) y sea B ∈ M4×5(R):
A =
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4 A2,1 A2,2 A2,3 A2,4 A3,1 A3,2 A3,3 A3,4
, B =
B1,1 B1,2 B1,3 B1,4 B1,5
B2,1 B2,2 B2,3 B2,4 B2,5 B3,1 B3,2 B3,3 B3,4 B3,5 B4,1 B4,2 B4,3 B4,4 B4,5
.
Entonces
AB ∈
| {z }
?
.
Escriba la f´ormula para la (2, 5)-´esima entrada del producto AB:
(AB)2,5 = + + + = X
. Escriba la f´ormula para la entrada de AB con ´ındices (3, 1):
(AB)3,1 = Y otra m´as:
(AB)1,4 =
4. Definici´on general del producto de dos matrices.
Sean A ∈ Mm×n(R) y sea B ∈ Mn×p(R). Entonces AB ∈
| {z }
?
.
La entrada (i, j) de la matriz AB, donde i ∈
| {z }
?
, j ∈
| {z }
?
,
se define por medio de la siguiente f´ormula:
(AB)i,j = X
Propiedades lineales de sumas (repaso)
Repasemos algunas propiedades de la notaci´onP.
En los siguientes ejercicios se supone que αk, βk, λ son n´umeros reales.
5. Escriba la siguiente expresi´on en forma extensa:
λ
4
X
k=1
αk = λ
=
Para continuar la cadena de igualdades aplique la ley distributiva para los n´umeros reales y luego escriba el resultado en forma breve:
= + + + =
4
X
k=1
6. Propiedad homog´enea de la suma.
Generalice el resultado del ejercicio anterior:
λ
n
X
k=1
αk =
7. Escriba la siguiente expresi´on en forma extensa:
3
X
k=1
(αk+ βk) =
+
+
=
Agrupe los sumandos de otra manera y luego escriba el resultado en forma breve:
=
+
= X
+ X
.
8. Propiedad aditiva de la suma.
Sumas dobles (repaso)
En los siguientes ejercicios se supone que αi,j son n´umeros reales.
9. Escriba la siguiente suma doble en forma extensa:
3
X
i=1 2
X
j=1
αi,j =
2
X
j=1
α1,j + X
+ X
=
α1,1+ α1,2
+
+
Para continuar la cadena de igualdades agrupe los sumandos de otra manera:
=
+
Luego escriba el resultado en forma breve:
=
3
X
i=1
+ X
= X
3
X
i=1
10. Intercambio de las sumas.
Generalice el resultado del ejercicio anterior:
Propiedad distributiva derecha de la multiplicaci´ on de matrices
11. Sean A, B ∈ Mm×n(R) y sea C ∈ Mn×p(R). Demuestre que (A + B)C = AC + BC.
Demostraci´on. Verifiquemos que las matrices (A+B)C y AC +BC son del mismo tama˜no:
A ∈ Mm×n(R)
B ∈ Mm×n(R)
C ∈ Mn×p(R)
A + B ∈ AC ∈
BC ∈
Supongamos que i ∈
| {z }
?
y j ∈
| {z }
?
son ´ındices arbitarios y demostremos que la (i, j)-´esima entrada de la matriz (A + B)C
es igual a la (i, j)-´esima entrada de la matriz AC + BC.
(A + B)C
i,j
===(i) n
X
k=1
( )i,kCk,j ===(ii) X Ck,j
(iii)
==== X (iv)
==== X
+ X
===(v)
i,j
+
i,j
===(vi)=
i,j
. Justificaci´on de los pasos:
(i) Definici´on del producto de matrices.
(ii) (iii)
Propiedad asociativa de la multiplicaci´ on de matrices
12. Sean A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R) y C ∈ Mp×q(R). Demuestre que (AB)C = A(BC).
Demostraci´on. Verifiquemos que las matrices (AB)C y A(BC) son del mismo tama˜no:
A ∈ Mm×n(R)
B ∈
C ∈ AB ∈
BC ∈
Demostremos que la (i, j)-´esima entrada de (AB)C es igual a la (i, j)-´esima entrada de A(BC), donde i ∈
| {z }
?
y j ∈
| {z }
?
son dos ´ındices arbitrarios.
(AB)C
i,j
===(i) X
k=
( )i,kCk,j ===(ii) X
k=
X
s=
! Ck,j
(iii)
==== X X
Ck,j
===(iv)= X
s=
X
k=
Ck,j
===(v) X X
Ck,j (vi)
==== X X
!
(vii)
==== X
Ai,s( )s,j ====(viii)
i,j. (i), (ii) Definici´on del producto de matrices.
(iii)
(iv) Intercambio de las sumas.
(v)
(vi) Propiedad homog´enea deP (basada en la propiedad distributiva en R).
(vii), (viii)
