Tarea Si {A 1,A 2,...,A n } es una colección de conjuntos y si E es cualquier conjunto, pruebe las Leyes de Morgan: (E \A j ).

1. Si {A1, A2, . . . , An} es una colecci´on de conjuntos y si E es cualquier conjunto, pruebe las Leyes de Morgan:

E\

n

\

j=1

Aj=

n

[

j=1

(E\ Aj), E\

n

[

j=1

Aj=

n

\

j=1

(E\ Aj).

2. Pruebe que si f : A→ B y E, F son subconjuntos de A entonces se cumple que f (E∪ F ) = f(E) ∪ f(F ) y f(E ∩ F ) ⊆ f(E) ∩ f(F ).

3. Pruebe que si f : A → B es inyectiva y H es un subconjunto de B, entonces f [f⁻¹(H)] = H. Adem´as si E es un subconjunto de A, entonces f⁻¹[f (E)] = E. De ejemplos que prueben que estas igualdades no se cumplen en general.

4. Pruebe que 1³+ 2³+· · · + n³= 1

2n(n + 1)

2

para todo n∈ N.

5. Pruebe que 2ⁿ< n! para todo n≥ 4, n ∈ N.

6. Sea (xn) la sucesi´on definida como sigue: x1 := 1, x2 := 2 y xn+2 :=

1

2(xn+1+ xn) para cada n∈ N. Use el Principio de Inducci´on Fuerte para probar que 1≤ xn≤ 2 para todo n ∈ N.

Tarea 2

1. Pruebe que 3ⁿ> n³para todo n´umero natural n≥ 4.

2. Pruebe que 3· 5²ⁿ⁺¹+ 2³ⁿ⁺¹es divisible por 17 para todo n´umero natural n.

3. Considere los siguientes conjuntos Q∩[0, 1], [1, ∞), {n ∈ N : n es divisible por 7}, [3, 5] y R\ Q. Decida cu´ales de ellos son equipotentes entre si. Pruebe sus afirmaciones.

4. Ejercicios 2.1.8, 2.2.13 y 2.2.17.

Topolog´ıa de Rⁿ Ejercicios.

1. Pruebe que R²\ {(0, 0)} es abierto en R².

2. Sea S ={(x, y) ∈ R²: xy > 1}. Pruebe que S es abierto.

3. Sea A⊂ R abierto y B ⊂ R²definido por

B ={(x, y) ∈ R²: x∈ A}.

Pruebe que B es abierto.

4. Sea B⊂ Rⁿcualquier conjunto. Defina

C ={x ∈ Rⁿ: d(x, y) < 1 para alg´un y∈ B}.

Pruebe que C es abierto. (Indicaci´on: Pruebe que C =S

y∈BB(y, 1).) 5. Sea A⊂ R abierto y B ⊂ R. Defina AB = {xy ∈ R : x ∈ A y y ∈ B}.

¿Es AB necesariamente abierto?

6. Sea S ={(x, y) ∈ R²: xy≥ 1}. Encuentre int(S).

7. Sea S ={(x, y, z) ∈ R³: 0≤ x < 1, y²+ z²≤ 1}. Encuentre int(S).

8. Si A⊂ B, ¿se cumple que int(A) ⊂ int(B)?

9. ¿Es verdad que int(A)∩ int(B) = int(A ∩ B)?

10. Sea S ={(x, y) ∈ R²: x, y≥ 1}. ¿Es S cerrado?

11. Sea S ={(x, y) ∈ R²: x = 0, 0 < y < 1}. ¿Es S cerrado?

12. Pruebe que cada conjunto finito en Rⁿes cerrado.

13. Sea A⊂ Rⁿ. Pruebe que Rⁿ\ int(A) es cerrado.

14. Sea S ={x ∈ R : x es irracional }. ¿Es S cerrado?

15. Encuentre los puntos de acumulaci´on de A = {(x, y) ∈ R² : y = 0, 0 <

x < 1}.

16. Si A⊂ B y x es punto de acumulaci´on de A, ¿es x un punto de acumulaci´on de B?

17. Encuentre los puntos de acumulaci´on de los siguientes conjuntos en R². (a) {(m, n) : m, n son enteros };

(b) {(p, q) : p, q son racionales };

(c) {(m/n, 1/n) : m, n son enteros , n 6= 0};

(d) {(1/n + 1/m, 0) : m, n son enteros , m 6= 0, n 6= 0}.

18. Sea A⊂ R y x = sup(A). ¿Debe ser x punto de acumulaci´on de A?

19. Considere A ={(x, y) ∈ R²: x²+ y + 2x = 3}. Muestre que A es cerrado probando que contiene a todos sus puntos de acumulaci´on.

20. Encuentre la clausura de S ={(x, y) ∈ R²: x > y²}.

21. Encuentre la clausura de{1/n : n = 1, 2, 3, . . . } en R.

22. Sea A ={(x, y) ∈ R²: x es racional}. Encuentre A.

23. (a) Para A ⊂ Rⁿ, pruebe que todos los puntos A\ A son puntos de acumulaci´on de A.

(b) ¿ El conjunto de los puntos de acumulaci´on de A es, en general, igual a A\ A?

24. Sea A⊂ R y x = sup(A). Pruebe que x ∈ A.

25. Encuentre Fr(A) donde A ={1/n : n ∈ N}.

26. Si x∈ A \ A, entonces pruebe que x ∈ Fr(A). ¿Es cierto el rec´ıproco?

27. Encuentre Fr(A) donde A ={(x, y) ∈ R²: x≤ y}.

28. ¿Se cumple que Fr(A) = Fr(int(A)?

Topolog´ıa de Rⁿ Ejercicios adicionales.

1. Decida en cada caso si el conjunto dado es abierto o cerrado.

(a) (1, 2) en R.

(b) [2, 3] en R.

(c)

∞

\

n=1

[−1, 1/n) en R.

(d) Rⁿen Rⁿ. (e) Un plano en R².

(f) {r ∈ (0, 1) : r es racional} en R.

(g) {(x, y) ∈ R²: 0 < x≤ 1} en R². (h) {x ∈ Rⁿ:kxk = 1} en Rⁿ.

2. (a) Sea U un conjunto abierto en Rⁿy U ⊂ A. Pruebe que U ⊂ int(A).

(b) Sea F un conjunto cerrado en Rⁿ y F ⊃ A. Pruebe que F ⊃ A.

3. (a) Pruebe que si xn→ x en Rⁿ, entonces x∈ {x¹, x2, . . .}. ¿Cu´ando x es punto de acumulaci´on de ese conjunto?

(b) ¿Puede una sucesi´on tener m´as de un punto de acumulaci´on?

(c) Si x es punto de acumulaci´on de un conjunto A, pruebe que existe una sucesi´on de puntos distintos en A que converge a x.

4. Sea U abierto en Rⁿ. Pruebe que U = U \ Fr(U). ¿Es esto cierto para cualquier subconjunto en Rⁿ?

5. Sea S⊂ R cerrado y acotado superiormente. Pruebe que sup(S) ∈ S.

6. Pruebe que A = Rⁿ\ (int(Rⁿ\ A)).

7. Determine cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas.

(a) int(A) = int(A) (b) A∩ A = A.

(c) Int(A) = A.

(d) fr(A) = fr(A).

(e) Si A es abierto, fr(A)⊂ Rⁿ\ A.

8. Pruebe las siguientes propiedades (para subconjuntos de Rⁿ).

(a) Int(Int(A)) = Int(A).

(b) Int(A∪ B) ⊃ Int(A) ∪ Int(B).

(c) Int(A∩ B) = Int(A) ∩ Int(B).

9. Pruebe que A = A∪ fr(A) y que Int(A) = A \ fr(A).

10. Pruebe las siguientes propiedades (para subconjuntos de Rⁿ).

(a) A = A.

(b) A∪ B = A ∪ B.

(c) A∩ B ⊂ A ∩ B.

11. Pruebe las siguientes propiedades (para subconjuntos de Rⁿ).

(a) fr(A) = fr(Rⁿ\ A).

(b) fr(fr(A))⊂ fr(A).

(c) fr(A∪ B) ⊂ fr(A) ∪ fr(B) ⊂ fr(A ∪ B) ∪ A ∪ B.

(d) fr(fr(fr(A))) = fr(fr(A)).

12. Si x, y∈ Rⁿpruebe que existen conjuntos abiertos U y V tales que x∈ U, y∈ V y U ∩ V = ∅.

13. De ejemplos de:

(a) Un conjunto infinito en R sin puntos de acumulaci´on.

(b) Un subconjunto no vac´ıo de R el cual este contenido en su conjunto de puntos de acumulaci´on.

(c) Un subconjunto de R el cual tenga infinitos puntos de acumulaci´on pero no contenga ninguno de ellos.

(d) Un conjunto A tal que fr(A) = A.

Sucesiones

1. Decida si es verdadera o falsa cada afirmaci´on. Justifique su respuesta.

(a) Si la sucesi´on{a²n} converge entonces {an} tambi´en converge.

(b) Si la sucesi´on{an+ bn} converge entonces las sucesiones {an} y {bn} tambi´en covergen.

(c) Si la sucesi´on{an+ bn} y {an} convergen entonces la sucesi´on {bn} tambi´en coverge.

(d) Si la sucesi´on{|an|} converge entonces {an} tambi´en converge.

2. Usando s´olo la propiedad arquimediana de R de una prueba ε− N de los siguientes l´ımites:

(a) lim

n→∞

√1 n = 0, (b) lim

n→∞

1 n + 5= 0.

3. Usando s´olo la propiedad arquimediana de R de una prueba ε− N de la convergencia de las siguientes sucesiones:

(a)

 2

√n+1 n+ 3

 , (b)

 n²

√n²+ n

 .

4. Suponga que la sucesi´on{an} converge a a y a > 0. Pruebe que existe un

´ındice N tal que an> 0 para todo n≥ N.

5. Suponga que la sucesi´on {an} converge a l y que la sucesi´on {bn} tiene la propiedad que existe un ´ındice N tal que para todo n ≥ N se tiene an= bn. Pruebe que{bn} tambi´en converge a l.

6. Pruebe que la sucesi´on{an} converge a a si y s´olo si la sucesi´on {an− a}

converge a 0.

7. Pruebe que la propiedad arquimediana de R es equivalente al hecho que

n→∞lim 1 n = 0.

8. Pruebe que

n→∞lim n^1/n= 1.

Ayuda: Defina αn= n^1/n− 1 y use la F´ormula del Binomio para verificar que para cada ´ındice n se tiene:

n = (1 + αn)ⁿ≥ 1 + [n(n + 1)/2]α²n.

9. Defina la sucesi´on{sn} por sn= 1

2· 1+ 1

2· 3+· · · + 1

n(n + 1) para cada ´ındice n.

Pruebe que limn→∞sn= 1.

10. Sea {an} una sucesi´on de n´umeros reales. Suponga que para cada real c > 0 hay un ´ındice N tal que

an> c para todo n > N.

En tal caso decimos que{an} converge a infinito y escribimos

n→∞lim an=∞.

Pruebe que (a) lim

n→∞(n³− 4n²− 100n) = ∞, (b) lim

n→∞

√ n− 1

n²+ 4



=∞.

11. Discuta la convergencia a infinito de cada una de las siguientes sucesiones:

(a) {√

n + 1−√ n}, (b) {(√

n + 1−√ n)√

n}, (c) {(√

n + 1−√ n)n}.

12. Sea{an} una sucesi´on de n´umeros positivos. Pruebe que

n→∞lim an=∞ si y s´olo si lim

n→∞

1 a_n = 0.

13. Decida si es verdadera o falsa cada afirmaci´on. Justifique su respuesta.

(a) Cada sucesi´on acotada converge.

(b) Una sucesi´on convergente de n´umeros positivos tiene un l´ımite posi- tivo.

(c) la sucesi´on{n²+ 1} converge.

(d) Una sucesi´on convergente de n´umeos racionales tiene un l´ımite racional.

(e) El l´ımite de una sucesi´on convergente en el intervalo (a, b) tambi´en pertenece a (a, b).

14. Pruebe (usando la caracterizaci´on de conjuntos cerrados por sucesiones) que el intervalo (−∞, 0] es un conjunto cerrado.

15. (a) Pruebe que cada n´umero real es l´ımite de una sucesi´on de n´umeros racionales.

(b) Pruebe que cada n´umero real es l´ımite de una sucesi´on de n´umeros irracionales. Pruebe (usando la caracterizaci´on de conjuntos cerrados por sucesiones) que el conjunto de los n´umeros irracionales no es un conjunto cerrado.

16. Decida si es verdadera o falsa cada afirmaci´on. Justifique su respuesta.

(a) La suma de sucesiones mon´otonas es mon´otona.

(b) El producto de sucesiones mon´otonas es una sucesi´on mon´otona.

(c) Cada sucesi´on acotada converge.

(d) Cada sucesi´on mon´otona converge.

17. ¿Cu´al(es) de las siguientes sucesiones es (son) mon´otonas? Justifique su afirmaci´on.

(a)



n + (−1)ⁿ n

 , (b)  1

n²+(−1)ⁿ 3ⁿ

 .

18. (a) Suponga que{an} es una sucesi´on mon´otona. Pruebe que {an} con- verge si y s´olo si{an} converge. Muestre que el resultado es falso si no se asume que{an} es mon´otona.

(b) Sea c un n´umero real con 0 <|c| < 1. Pruebq que |c| puede escribirse como|c| = 1/(1 + d) donde d es un n´umero real con d > 0. Entonces use la f´ormula del binomio para probar que

|c|ⁿ≤ 1 1 + nd ≤ 1

nd para cada ´ındice n.

(c) Use la parte anterior para obtener otra prueba de que lim_n→∞cⁿsi

|c| < 1.

(d) Use la parte (a) para probar que si|c| < 1 entonces lim

n→∞

√ncⁿ= 0.

¿Es la sucesi´on{√

ncⁿ} necesariamente mon´otona?

19. Pruebe que si 0 < c < 1 entonces

n→∞lim ncⁿ= 0.

Ayuda: Defina a =√

c, observe que ncⁿ= (√ naⁿ)(√

naⁿ) y use el ejercicio anterior.

20. Decida si es verdadera o falsa cada afirmaci´on. Justifique su respuesta.

(a) Una subsucesi´on de una sucesi´on acotada es acotada.

(b) Una subsucesi´on de una sucesi´on mon´otona es mon´otona.

(c) Una subsucesi´on de una sucesi´on convergente es convergente.

(d) Una sucesi´on converge si tiene una subsucesi´on convergente.

(e) Cada subsucesi´on en el intervalo (0, 1) tiene una subsucesi´on conver- gente.

(f) Cada subsucesi´on en el intervalo (0, 1) tiene una subsucesi´on que converge a un punto en (0, 1).

(g) Cada sucesi´on de n´umeros racionales tiene una subsucesi´on conver- gente.

(h) Si una sucesi´on de n´umeros no negativos converge su l´ımite es tambi´en no negativo.

(i) Cada sucesi´on de n´umeros no negativos tiene una subsucesi´on con- vergente.

21. Considere la sucesi´on dada por an = 1/n para cada n ∈ N. Escriba los primeros cinco t´erminos de:

(a) {a3k+1}, (b) {ak+5},

(c) {ak²}.

22. Pruebe que una sucesi´on mon´otona es acotada si posee una subsucesi´on acotada.

23. Suponga que {an} es tiene una subsucesi´on que converge. Pruebe que {an} es convergente.

24. Pruebe que una sucesi´on{an} no converge a un valor a si existe un ε > 0 y una subsucesi´on{ank} tal que

|ank− a| ≥ ε para todo ´ındice k.