TEMA III.- GEOMETRÍA.

TEMA III.- GEOMETRÍA.

PROGRAMACIÓN.

Relación de objetivos, contenidos y niveles:

Al final de cada uno de los puntos de la relación anterior se indican, entre corchetes, los criterios de evaluación (R.D. 1178/1992, de 2 de Octubre), según la lista incluida en el currículum, en los que se encuadra.

3.0.- INTRODUCCIÓN.

S Conocer y adquirir destreza en las operaciones con vectores en ú² y en ú³. [1, 8].

S Dado un conjunto de vectores, saber determinar si son linealmente dependientes o linealmente independientes. [1, 4].

S Saber calcular e identificar las expresiones de una recta o de un plano mediante ecuaciones paramétricas y ecuaciones implícitas y pasar de una expresión a otra. [2, 3, 8].

S Saber determinar un punto, una recta o un plano a partir de propiedades que los definan (por ejemplo: el punto simétrico de otro con respecto a un tercero, la recta que pasa por dos puntos o el plano que contiene a tres puntos o a un punto y una recta, etc.). [1, 2, 3 8]

S Saber plantear, interpretar y resolver los problemas de incidencia y paralelismo entre rectas y planos como sistemas de ecuaciones lineales. [1, 2, 3, 5, 8].

S Conocer y saber aplicar la noción de haz de planos que contienen a una recta. [1, 2, 3 5].

S Conocer las propiedades del producto escalar, su interpretación geométrica y la desigualdad de Cauchy-Schwarz. [1, 5].

S Saber plantear y resolver razonadamente problemas métricos, angulares y de perpendicularidad (Por ejemplo: distancias entre puntos, rectas y planos, simetrías axiales, ángulos entre rectas y planos, vectores normales a un plano, perpendicular común a dos rectas, etc.). [1, 2, 3, 5, 8].

S Conocer el producto vectorial de vectores y saber aplicarlo para determinar un vector perpendicular a otros dos, y para calcular áreas de triángulos y paralelogramos. [1, 5, 8].

S Conocer el producto mixto de tres vectores y saber utilizarlo para calcular el volumen de un tetraedro y de un paralelepípedo. [1, 5, 8].

S Conocer los lugares geométricos sencillos en el plano, incluida la circunferencia (se excluye el resto de las cónicas). [2, 3, 8].

3.1.- ESPACIO AFÍN.

Tengamos la siguiente terna: (E₃ , V₃ , f)

S E3 es el conjunto de puntos del espacio intuitivo de puntos.

S V3 es el espacio vectorial del conjunto de vectores libres, o más concretamente, el espacio vectorial real tridimensional, ú³ (ú).

S f es la aplicación:

f: E₃ × E₃ V₃ (ú) f (A, B) ABP que satisface las condiciones siguientes:

1.- Si A 0 E3 Y œ 0 VvP 3 , › B 0 E3 ' f (A, B) =vP 2.- f (A, B) =P0 Y ABP ' Pv ' P0 ÌY A / B

3.- œ A, B, C 0 E₃ Y ABP % PBC' PAC [1]

SISTEMA DE REFERENCIA AFÍN.

Está formado por un punto y una base del espacio vectorial: R = {O, Pe₁, Pe₂, Pe₃}

3.2.- COORDENADAS DE UN VECTOR.

Sean A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1 , b2 , b3 ) dos puntos, cuyos vectores de posición son respectivamente, a y PP b , que tendrán las mismas coordenadas que los puntos que determinan.

Ambos puntos determinan el vector ABP, y teniendo en cuenta [1], o bien, cómo se suman vectores:

Y

aP% PAB' Pb ABP ' Pb& Pa

ABP ' b1, b₂, b₃ & a1, a₂, a₃ ' b1&a1, b₂&a2, b₃&a3

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO.

Las coordenadas del punto medio M = (m₁ , m₂ , m₃ ) de un segmento AB, se determinan teniendo en cuenta que

AMP ' PMB

Y AMP ' m₁, m₂, m₃ & a₁, a₂, a₃ ' m₁&a₁, m₂&a₂, m₃&a₃

MBP ' b1, b₂, b₃ & m1, m₂, m₃ ' b1&m1, b₂&m2, b₃&m3

Y m₁&a1, m₂&a2, m₃&a3 ' b1&m1, b₂&m2, b₃&m3 Y

m₁&a1' b1&m1

m₂&a2' b2&m2

m₃&a3' b3&m3

2 m₁' b1%a1

2 m₂' b2%a2

2 m₃' b3%a3

Y

m₁' b₁%a₁ 2 m₂' b₂%a2

2 m₃' b₃%a3

2

Y M' b₁%a₁

2 , b₂%a₂

2 , b₃%a₃ 2

El procedimiento permite calcular las coordenadas de todos y cada uno de los puntos en los que podamos dividamos un segmento.

Por ejemplo, el segmento de extremos A = ( 1, 2, 3) y B = (-9, 8, -4) lo dividimos en treinta partes iguales, calcular las coordenadas de cada uno de los puntos que resultan de dicha división (cada alumno calcula un punto distinto, la puesta en común permite a los propios alumnos conocer sus posibles errores).

COORDENADAS DEL SIMÉTRICO DE UN PUNTO RESPECTO DE OTRO.

Sea O un punto dado, se trata de determinar las coordenadas del simétrico, A´ = (a, b, c), del punto A = (a₁ , a₂ , a₃ ) respecto del punto O.

El procedimiento es similar a la situación del apartado anterior, es decir, partimos de la igualdad vectorial :

AOP ' POA´

y desarrollando las coordenadas de dichos vectores, llegamos a las coordenadas del punto A´, simétrico del A respecto del O.

3.3.- ECUACIONES DE LA RECTA.

La ecuación de una recta puede venir determinada de diversas maneras:

I) A partir de un punto y un vector de dirección.

Sea A = (a1 , a2 , a3 ) un punto conocido de la recta, y vP' v1, v₂, v₃ el vector de dirección o vector director de la misma. Designemos por X = (x, y, z) a un punto genérico de la recta, es decir, X va a representar a un punto cualquiera de la misma. Llamemos a y PP x a los vectores

Triangulemos inferiormente, lo haremos mediante Gauss.

Tomemos como pivote el elemento a₁₁ = v₁ … 0.

Suponemos que es distinto de cero, sino tomaríamos otro.

Sustituyamos la 2ª fila por: - v₁ · [2ªf.] + v₂ · [1ªf.]

Sustituyamos la 3ª fila por: - v₁ · [3ªf.] + v₃ · [1ªf.]

El sistema está triangulado. Las condiciones:

v2 (x - a1) - v1 (y - a2) = 0 v₃ (x - a₁) - v₁ (z - a₂) = 0

implican dos ecuaciones triviales, por lo que el sistema Observando la figura adjunta, deducimos que

OXP ' POA% PAX Y Px' Pa% PAX pero

AXP ' λ Pv œ λ 0 ú luego

xP' Pa% λ Pv

que es la expresión vectorial de la ecuación de la recta.

Sustituyamos los vectores por sus coordenadas:

Y (x, y, z)' (a1, a₂, a₃)% λ (v1, v₂, v₃) Y (x, y, z)' (a1%λ v1, a₂%λ v2, a₃%λ v3)

x' a1%λ v1

y' a2%λ v2

z' a3%λ v3

que son las ecuaciones paramétricas de la ecuación de una recta.

Eliminemos el parámetro λ:

λ v₁' x &a1

λ v₂' y &a2

λ v₃' z &a3

Y /000000 v₁ v₂ v₃

x&a1

y&a2

z&a3

/000000 v₁ 0 0

x&a1

v₂(x&a1)&v1(y&a2) v₃(x&a1)&v1(z&a3)

sería un sistema compatible indeterminado. Esas dos condiciones:

v₂(x&a1)&v1(y&a2)' 0 [1]

v₃(x&a1)&v1(z&a3)' 0

son precisamente las ecuaciones no paramétricas o cartesianas de la recta. También se corresponden con otra forma de expresar la ecuación de una recta, como intersección de dos planos (como veremos más adelante)

Ax%By %Cz %D ' 0 A´x%B´y %C´z %D ' 0

de manera que si resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones, correspondientes a cada uno de los planos, obtenemos un sistema compatible indeterminado uniparamétrico, es decir, la solución será las ecuaciones paramétricas de la recta.

Si en [1]efectuamos las siguientes transformaciones, tendremos:

v₂(x&a1)&v1(y&a2)' 0

v₃(x&a1)&v1(z&a3)' 0 Y v₂(x&a1)'v1(y&a2) v₃(x&a1)'v1(z&a3) Y

x&a1

v₁ 'y&a2

v₂ x&a1

v₁ 'z&a3

v₃ Y

x&a₁ v₁ 'y&a₂

v₂ 'z&a₃ v₃ que es la expresión de la ecuación de la recta en forma continua.

II) A partir de dos puntos.

Sean A = (a₁ , a₂ , a₃ ) y B = (b₁ , b₂ , b₃ ) dos puntos dados de la recta. Necesitamos conocer el vector de dirección de la misma, para ello elegimos como vector director al vector que determinan ambos puntos, es decir,

vP' PAB' b1, b₂, b₃ & a1, a₂, a₃ ' b1&a1, b₂&a2, b₃&a3

con lo que ya estamos en la misma situación del aparatado I), y procederíamos igual.

Tanto en uno como en otro caso, es interesante e importante, leer, interpretar y reconocer los elementos numéricos que intervienen en las diversas expresiones de la ecuación de una recta.

Asimismo hay que saber pasar de unas expresiones a otras, es decir, pasar de paramétricas a continua o como intersección de dos planos, y viceversa, comprobando que se trata de la misma recta.

EJERCICIOS:

Ej. 1.- Obtener las ecuaciones de los ejes coordenados de todas las formas posibles.

Solución:

Ecuación del eje OX:

x'λ

y'0z'0 paramétricas ; y'0

z'0 intersección de dos planos Ecuación del eje OY:

x'0

y'λz'0 paramétricas ; x'0

z'0 intersección de dos planos Ecuación del eje OZ:

x'0y'0

z'λ paramétricas ; x'0

y'0 intersección de dos planos

Triangulemos inferiormente, lo haremos mediante Gauss.

Tomemos como pivote el elemento a11 = u1 … 0.

Sino fuera distinto de cero, tomaríamos otro.

Sustituyamos la 2ª fila por: u 1 · [2ªf.] - u 2 · [1ªf.]

Sustituyamos la 3ª fila por: u 1 · [3ªf.] - u 3 · [1ªf.]

Tomemos como pivote el elemento a22 … 0.

Sino fuera distinto de cero tomaríamos el a₃₂.

Sustituyamos la tercera fila por: ...

El sistema está triangulado. La condición:

Ax + By + Cz + D = 0

implica una ecuación trivial, por lo que el sistema sería un sistema compatible indeterminado. Esta condición es precisamente la

3.4.- ECUACIONES DEL PLANO.

La ecuación de un plano puede venir determinada de diversas maneras:

I) A partir de un punto y dos vectores de dirección.

Sea A = (a₁ , a₂ , a₃ ) un punto conocido del plano, uP' u1, u₂, u₃ y Pv' v1, v₂, v₃ dos vectores de dirección del plano. Designemos por X = (x, y, z)

a un punto genérico del plano, es decir, X va a representar a un punto cualquiera del mismo.

Observando la figura adjunta, deducimos que

OXP ' POA% PAX Y xP' Pa% PAX pero

AXP ' λ Pu% µPv œ λ, µ 0 ú luego

xP' Pa% λ Pu% µPv que es la expresión vectorial de la ecuación del plano.

Sustituyamos los vectores por sus coordenadas:

(x, y, z)' (a₁, a₂, a₃)% λ (u₁, u₂, u₃)% µ(v₁, v₂, v₃) Y (x, y, z)' (a₁%λ u₁%µv₁, a₂%λ u₂%µv₂, a₃%λ u₃%µv₃) Y

x' a1%λ u1%µv1

y' a2%λ u2%µv2

z' a3%λ u3%µv3

que son las ecuaciones paramétricas de la ecuación de un plano.

Eliminemos los parámetros λ y µ:

λu₁% µv1'x&a1

λu₂% µv2'y&a2

λu₃% µv3'z &a3

Y /000000 u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃

x&a1

y&a2

z&a3

/00000 u₁ v₁ 0 ~ 0 ~

x&a1

~

~

Llegaremos al siguiente sistema /00000

u₁ v₁ 0 ~

0 0

x&a1

~ Ax%By%Cz%D

ecuación cartesiana, implícita o general del plano.

Si en vez de eliminar los parámetros por Gauss, lo hubiéramos hecho por rangos y determinantes, la ecuación del plano obtenida sería:

/000000 u₁ v₁ u₂ v₂ u₃ v₃ /000000

x&a₁ y&a₂ z&a3

' 0

si desarrollamos el determinante obtendríamos la misma expresión: Ax + By + Cz + D = 0

II) A partir de tres puntos.

Sean A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) y C = (c1 , c2 , c3 ) tres puntos dados del plano.

Necesitamos conocer dos vectores de dirección del mismo, para ello elegimos como vectores de dirección a los vectores que determinan dichos puntos, es decir,

uP' PAB' b1, b₂, b₃ & a1, a₂, a₃ ' b1&a1, b₂&a2, b₃&a3

Pv' PAC' c1, c₂, c₃ & a1, a₂, a₃ ' c1&a1, c₂&a2, c₃&a3

con lo que ya estamos en la misma situación del aparatado I), y procederíamos igual.

III) A partir de dos puntos, y un vector de dirección.

Sean A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 ) dos puntos dados del plano, y uP' u1, u₂, u₃ un vector de dirección del mismo. Necesitamos conocer otro vector de dirección del plano, para ello elegimos como vector de dirección al vector que determinan dichos puntos, es decir,

vP' PAB' b₁, b₂, b₃ & a₁, a₂, a₃ ' b₁&a₁, b₂&a₂, b₃&a₃ con lo que ya estamos en la misma situación del aparatado I), y procederíamos igual.

En todos los casos, es interesante e importante, leer, interpretar y reconocer los elementos numéricos que intervienen en las diversas expresiones de la ecuación de un plano. Asimismo hay que saber pasar de unas expresiones a otras, es decir, pasar de paramétricas a forma general, y viceversa, comprobando que se trata del mismo plano.

EJERCICIOS:

Ej. 1.- Obtener las ecuaciones de los planos coordenados de todas las formas posibles.

Solución:

Ecuación del plano XOY: z = 0 Ecuación del plano XOZ: y = 0 Ecuación del plano YOZ: x = 0

HAZ DE DOS PLANOS

Haz de dos planos, π1 y π2 , es el conjunto de todos los planos que contienen a la recta intersección de ambos. La ecuación del haz de planos es:

π₁/ Ax %By %Cz %D ' 0

π₂/ A´x %B´y %C´z %D ' 0 Y λ (Ax %By %Cz %D) %µ(A´x %B´y %C´z %D) '0

RADIACIÓN DE RECTAS DE VÉRTICE A = (a1 , a2 , a3).

Radiación de rectas de vértice A = (a₁ , a₂ , a₃) es el conjunto de todas las rectas que pasan, son incidentes o se cortan en dicho punto A. La ecuación del haz de rectas es:

x&a₁ m 'y&a₂

n 'z&a₃ t donde m, n y t son parámetros que toman todos los valores reales.

3.5.- VECTOR NORMAL A UN PLANO.

Demostremos que los coeficientes, A, B y C de la ecuación general de un plano representan a las coordenadas de un vector perpendicular a dicho plano.

Sea el plano π1 / Ax + By + Cz = 0, y X = (x, y, z) un punto genérico del mismo. Elijamos un punto cualquiera del plano, por ejemplo, el punto P = (p1 , p2 , p3 ). Al pertenecer al plano sus coordenadas satisfacerán la ecuación del mismo, sustituyamos pues sus coordenadas en la ecuación del plano:

Ax%By %Cz %D ' 0

Ap₁%Bp2%Cp3%D ' 0 Y A (x&p1)%B(y &p2)%C(z &p3)' 0

Observando la expresión obtenida al restar las dos igualdades, vemos que es el resultado del producto escalar de dos vectores, uno es el vector (A, B, C) y el otro es el vector XPP de coordenadas:

XPP ' p1, p₂, p₃ & x, y, z ' p1&x, p2&y, p3&z

como dicho producto escalar es cero, resulta que ambos vectores son perpendiculares. Por tanto como el vector XPP representa realmente a cualquier vector del plano, el vector (A, B, C) es un vector perpendicular del plano, es decir que los coeficientes de las incógnitas en la ecuación del plano representan a las coordenadas de un vector perpendicular al mismo.