AÑO: 3ro SECCION: A - B
ÁREA DE
FORMACIÓN:
MATEMÁTICA DOCENTE: JOSÉ G. SOTTOLANO
REFERENTES TEÓRICOS QUE SERÁN EVALUADOS
Ecuaciones de segundo grado. Forma de solución. Identificar coeficientes de una ecuación y analizar el discriminante de una ecuación de segundo grado.
GUÍA PEDAGÓGICA N° 2 / AÑO ESCOLAR 2021-2022
Ecuaciones de Segundo Grado
Definición:
La Ecuación de Segundo Grado, llamado también «Ecuación Polinomial Cuadrática» o simplemente ecuación cuadrática, tiene la siguiente forma general:
P(x) = ax2 + bx + c = 0 Se debe cumplir: a ≠ 0
Los coeficientes: a, b y c pertenecen a los números reales. Si a, b y c son diferentes de cero (≠0) se dice que la «Ecuación de Segundo Grado es Completo, pero si alguno es igual a cero tenemos una ecuación incompleta. Además, «x» es la variable en esta ecuación polinomial.
En los problemas de ecuaciones cuadráticas nos pedirán, por lo general, resolver la Ecuación de segundo grado, que será los mismo calcular o hallar el valor de «x».
Ejemplos:
1. x² + x + 1 = 0 2. x² + 3x + 7 = 0 3. x² – 9 = 0 4. 4x² + 7x – 3 = 0 5. 5x² – 9 = x
Elementos de una Ecuación Cuadrática
Los elementos de una ecuación de segundo grado se pueden apreciar en el siguiente dibujo:
Donde a, b y c son las constantes de la ecuación:
• a es el número que va siempre delante de x al cuadrado.
• b es el número que va siempre delante de la x.
• c es el número.
En la «Ecuación de 2° Grado» los coeficientes: a, b y c adoptan nombres especiales, por ejemplo:
«a» es el coeficiente cuadrático, pero también se le conoce como coeficiente principal.
También:
▪ El grado de la ecuación (exponente «2») indica que es una ecuación cuadrática y que tiene dos raíces.
▪ El término raíz se utiliza porque estamos ante una Ecuación Polinomial.
▪ Una raíz es conocido también como la solución de una ecuación.
Identificación de constantes en la ecuación de segundo grado.
El primer paso para resolver ecuaciones de segundo grado es identificar las constantes correctamente. Como hemos dicho antes, las constantes son los números que van delante de x al cuadrado, x y el término que no lleva x.
Vamos a verlo en un ejemplo:
En este caso, delante de x al cuadrado, no hay nada, por tanto a = 1.
Delante de x hay un 5, por lo que b=5.
Y el término que no lleva x es un 4, por lo que c=4.
Recuerda que cuando no hay nada delante de las incógnitas, es porque están multiplicadas por 1, o en otras palabras, equivale a que haya un 1 delante
Veamos otro ejemplo:
Em esta ecuación los valores de las constantes son:
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Completas
Para resolver una ecuación de segundo grado existen diversas formas, aquí te enseñare dos métodos:
1. Aplicando las Fórmula Cuadrática o fórmula general de la ecuación cuadrática.
2. Por el Método de factorización.
A) Método de la Fórmula General:
Es aquella fórmula que se aplica para resolver cualquier ecuación cuadrática, es muy conocido dentro de las matemáticas. Veamos la siguiente ecuación general de segundo grado:
P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0
Al despejar «x» se deduce la siguiente fórmula:
A esta fórmula se le conoce como la Fórmula General y se utiliza para hallar las soluciones (raíces) de una ecuación cuadrática.
Existen diversas formas de demostrar la fórmula general, una de ellas es completando cuadrados.
De la fórmula general, la expresión:
b2 – 4ac
Se le conoce como discriminante, se denota con el símbolo «Δ» y está relacionado directamente con la fórmula general.
La fórmula de la discriminante se representa así:
Δ = b2 – 4ac
Estudiamos el discriminante de la ecuación de segundo grado porque de él dependerá cómo será la naturaleza de los valores de las raíces de una ecuación cuadrática.
Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces (dos soluciones, x1 y x2).
P(x) = ax2 + bx + c = 0; a ≠ 0 Sean las raíces de la ecuación: x1 y x2 y el Δ = b2 – 4ac.
Se obtienen los siguientes casos:
i) Primer Caso (Δ > 0):
» Las raíces son reales y diferentes.
» Entonces: x1 ≠ x2.
ii) Segundo Caso (Δ = 0):
» Las raíces son reales e iguales.
» Se le conoce como solución única
» Se cumple que: x1 = x2 = – b/2ª iii) Tercer Caso (Δ < 0):
» Las raíces x1 y x2 no son Reales (es decir no tiene solución en el conjunto de los números reales), son complejas.
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:
2x2 – 5x – 4 = 0
Resolución:
Reconocemos rápidamente los coeficientes de la ecuación cuadrática: a = 2; b = -5; c = -4.
Aplicamos la fórmula general:
Ejemplo: Determinar el tipo y número de soluciones de la ecuación
Solución:
Calculamos el discriminante
Como los coeficientes son a=3, b=−5 y c=1, el discriminante es
El discriminante es positivo, así que la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
B) Método de Factorización
Cuando se le pida resolver una ecuación de segundo grado, recuerde usar primero este método. Si la ecuación se resuelve podrás ahorrar mucho tiempo, aparte de ser un método muy sencillo.
El método consiste en factorizar la ecuación de segundo grado, siguiendo los siguientes pasos:
Paso 1:
Se trasladan todos los términos al primer miembro.
Paso 2:
Se factoriza este miembro por factor común, agrupación, identidades notables o aspa simple.
Paso 3:
Para obtener las raíces de la ecuación, se iguala cada factor a cero.
Para comprender mejor estos pasos para a realizar un par de ejemplos
Ejemplo: Encontrar los posibles valores de x mediante el método de factorización 2x2 – 3x = 9
Resolución:
Pasando todo al primer miembro, tendríamos:
2x2 – 3x – 9 = 0 Factorizamos aplicando el método de aspa simple:
Tenemos: (2x + 3)( x – 3 ) = 0
Igualando cada factor a cero «0», tenemos:
⇒ x = -3/2 ó x = 3 (las raíces o soluciones de mi ecuación)
∴ Conjunto Solución = { -3/2; 3}
Ejemplo: Resuelva la ecuación:
x² – 9 = 0
Resolución:
Factorizamos aplicando la identidad notable de diferencia de cuadrados:
x² – 3² = (x – 3)(x + 3) = 0 Luego:
x – 3 = 0 ∨ x +3 = 0 x = 3 ∨ x = -3 Conjunto Solución = {-3; 3}
En que consiste el Método del aspa Se usa para factorizar trinomios de la forma:
o de la forma:
Procedimiento: Se descompone en dos factores al primer término, o , según sea el caso. Se coloca estos factores en las puntas de la izquierda del aspa. El término independiente, incluyendo el signo, también se descompone en dos factores, los que se coloca en las puntas de la derecha del aspa. Los factores de la expresión dada son la suma horizontal de arriba y la suma horizontal de abajo. El término central debe ser igual a la suma de los productos en aspa.
Ejemplo:
1) en dos factores:
2) en dos factores:
Se coloca los factores en la punta izquierda y derecha del aspa:
3) El término central es la suma de los productos en aspa.
4) Los factores son las sumas horizontales de arriba y abajo. Luego:
Resolución de Ecuaciones Cuadráticas Incompletas
CASO 1
Si b=0, la ecuación es de la forma
Las soluciones son:
Para que tengamos una solución en el conjunto de los numereros reales las constantes a y c deben ser de signos diferentes, es decir alguna de las dos debe ser negativa.
CASO 2
Si c=0, la ecuación es de la forma
Las soluciones son:
CASO 3
Si b=c=0, la ecuación es de la forma
La única solución es: x=0
Gráfica de una Ecuación de Segundo Grado
La gráfica de la ecuación cuadrática es una parábola, dependiendo del valor de la discriminante y del coeficiente principal “a” de la ecuación de segundo grado podemos obtener los siguientes gráficos:
ACTIVIDAD PRÁCTICA (RESUMEN)
En su cuaderno debe desarrollar los siguientes cinco ejercicios, uno en cada página y sacar una foto nítida y enviar antes del lunes 8 de noviembre a las 11:59 pm al correo [email protected], identificando su trabajo con su nombre, año y sección, igualmente enumerar cada página. Si por algún motivo no puede enviar su tarea en la fecha indicada se dará una prórroga de 24 horas (hasta el martes 9 de noviembre) con una penalización de tres puntos, fuera de este lapso no se acepta la actividad y se colocará 01. Cada ejercicio tiene una puntuación de 1 punto.
Ejercicios:
1. Encontrar los factores que satisfacen la ecuación x2 + x + 1 = 0 2. Resolver la siguiente ecuación: -x2 + 7x – 10 = 0
3. Expresar las raíces de la siguiente ecuación en factores: x2 + (7-x)2 = 25 4. Resolver la siguiente ecuación: x2 - 7
6 𝑥 + 1
3= 0
5. Determinar el valor de k para que las soluciones de la ecuación x2-kx+36=0 sean el mismo valor.
