Tema 16. Ecuaciones diferenciales

Tema 16. Ecuaciones diferenciales

Juan Medina Molina

12 de mayo de 2005

Introducci´

on

Dedicaremos el ´ultimo tema del curso a resolver ecuaciones diferenciales de orden uno y lineales de orden superior.

Empezaremos la lecci´on dando los conceptos b´asicos sobre ecuaciones diferenciales y un teorema sobre la existencia y unicidad de soluci´on. Pos-teriormente, daremos m´etodos sobre el c´alculo de soluciones de ecuaciones diferenciales de orden uno y lineales de orden superior y terminaremos la lecci´on dando las leyes de Kirchhoff que son una aplicaci´on directa de las ecuaciones diferenciales.

Este tema consta de los siguientes apartados:

• Definici´on de ecuaci´on diferencial y problemas de condiciones iniciales. Un teorema de existencia y unicidad de soluci´on de un problema de condiciones iniciales.

• Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones diferenciales ho-mog´eneas. Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Ecuaci´on de Bernoulli. Ecuaciones exactas. Factores integrantes.

• Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Existencia y unici-dad de soluciones. Ecuaciones diferenciales lineales homog´eneas. Ecua-ciones lineales homog´eneas con coeficientes constantes. Ecuaci´on difer-encial lineal homog´enea con coeficientes variables de orden 2. Ecuaci´on diferencial lineal no homog´enea de orden 2.

Definici´on de ecuaci´on diferencial y problemas de condiciones ini-ciales

Definici´on 1 Una ecuaci´on diferencial de orden n _{∈ N}∗ _{es una expresi´on}

F(x, y, y0_{, . . . , y}(n)_{) = 0 donde F :A}

−→R, siendoA un subconjunto abierto

de _Rn+2, e y=y(x)es una funci´on real de variable real. Diremos que x es la

variable independiente e y la variable dependiente a determinar.

Diremos que y :]a, b[_{−→ R} es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial

anterior si:

i) Existe y(n)(x)para todo x_∈]a, b[.

ii) (x, y(x), y0_{(x), . . . , y}(n)_(x))

∈A para todox_∈]a, b[.

iii) F(x, y(x), y0_{(x), . . . , y}(n)_{(x)) = 0 para todo x}

∈]a, b[.

Presentamos el concepto de problema de condiciones iniciales:

Definici´on 2 Un problema de condiciones iniciales o de Cauchy es una

ecuaci´on diferencial F(x, y, y0_{, . . . , y}(n)_{) = 0 junto con una serie de}

condi-ciones llamadas condicondi-ciones iniciales de la forma y(x0) = y0, y0(x0) = y1,

. . . , y(n−1)_{(x0) = yn, donde (x}

0, y0, y1, . . . , yn−1) ∈ A. Una soluci´on de ´este

es una soluci´on y(x) de la ecuaci´on diferencial que satisface y(x0) = y0,

y0(x0) =y1, . . . , y(n−1)(x0) =yn.

El siguiente resultado nos dice que cuando un problema de condiciones iniciales satisface ciertas hip´otesis, entonces ´este posee una ´unica soluci´on. Teorema 1 Sean²,δ >0, x0, y0 ∈Ryf :]x0−², y0+²[×]y0−δ, y0+δ[−→R

continua con ∂_∂f_y continua. Entonces existe λ > 0 tal que 0 < λ < ² e

y:]x0−λ, x0+λ[−→R que es la ´unica soluci´on definida en ]x0−λ, x0+λ[

del problema de condiciones iniciales:

½

y0 _{=f(x, y)}

y(x0) = y0

.

Ecuaciones diferenciales de primer orden

En este apartado damos m´etodos para resolver algunos tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.

1. Ecuaciones de variables separables Son ecuaciones de la forma

y0 =f(y)g(x)

Sif(y)₆= 0 para todoy del dominio de f entonces se tiene

y0

f(y) =g(x) Integrando en ambas partes se obtiene

Z _y0(x)

f(y(x))dx= Z

g(x)dx.

Si es posible calcular dichas primitivas, despejando y(x) se obtiene una soluci´on de dicha ecuaci´on diferencial.

En el caso de quef(y) se anula, por ejemplo, si consideramos el problema de condiciones iniciales: _½

y0 =yx y(0) = 0 ,

la ´unica soluci´on es y(x) = 0. ´Estas son conocidas c´omo soluciones sin-gulares del problema de Cauchy.

2. Ecuaciones homog´eneas

Empezamos presentando el concepto de funci´on homog´enea. Definici´on 3 SeanD_⊆R2_{tal que (tx, ty)}

∈Dpara todot _∈R,(x, y)_∈D,

k _∈R y f :D _−→R.

Se dice que f es homog´enea de grado k si f(tx, ty) =tk_{f(x, y) para todo}

t _∈R y para todo (x, y)_∈D.

Entonces se dice que una ecuaci´on diferencial de la forma

y0 = f(x, y)

g(x, y)

es homog´enea si f(x, y) y g(x, y) son funciones homog´eneas del mismo grado

k _∈N.

Para resolver ´esta, hacemos el cambio de variable v = y_x de donde se obtiene la ecuaci´on de variables separables

v0 = (f(1, v)

g(1, v) −v) 1

Resolviendo ´esta y deshaciendo el cambio se obtiene una soluci´on de la ecuaci´on diferencial inicial.

3. Ecuaciones lineales de primer orden La ecuaci´on lineal de primer orden es de la forma

f1(x)y0+f2(x)y=g(x)

donde f1, f2, g :]a, b[−→ R son continuas. Si f1(x) 6= 0 para todo x ∈ [a, b[, entonces dividiendo por f1(x) se obtiene

y0+f2(x) f1(x)y = g(x) f1(x), y llamando p(x) = f2(x) f1(x) y q(x) = g(x) f1(x) se obtiene y0 +p(x)y=q(x).

Llamaremos a la ecuaci´on diferencial y0+P(x)y= 0 ecuaci´on diferencial lineal homog´enea asociada.

Si resolvemos dicha ecuaci´on, que es de variables separables, se obtiene

y = KeR−p(x)dx donde K > 0 luego, si G(x) es una primitiva de ₋p(x),

y=KeG(x)_.

Para calcular la soluci´on de y0 _{+p(x)y = q(x), supondremos que ´esta} es de la forma y = K(x)eG(x), donde K(x) es una funci´on a determinar. Imponiendo a ´esta el ser soluci´on de dicha ecuaci´on se obtiene que K(x) = R

q(x)e−G(x)_{dx y de esto se obtiene la soluci´on de la ecuaci´on diferencial.} 4. Ecuaci´on de Bernoulli

Es una ecuci´on diferencial de la formaf1(x)y0_+f2(x)y=f

3(x)yα donde α _∈Ryf1, f2, f3 :]a, b[−→R. Siα= 0 o α= 1, la ecuaci´on anterior es lineal o de variables separables respectivamente.

En otro caso, si se efect´ua el cambio z = y1−α_{, a partir de la resoluci´on}

de la nueva ecuaci´on se obtiene las soluciones de la ecuaci´on incial. 5. Ecuaciones diferenciales exactas

Consideremos la ecuaci´on diferencial

y0 = −M(x, y)

donde M, N :]a, b[_×]c, d[_{−→ R} continuas y N no se anula. Esta ecuaci´on puede expresarse como

M(x, y) +N(x, y)y0 = 0.

Diremos que la ecuaci´on anterior es exacta si existe una funci´on f : ]a, b[_×]c, d[_−→R tal que ∂_∂f_x(x, y) =M(x, y) y ∂_∂f_y(x, y) =N(x, y).

Entonces es sencillo demostrar que la ecuaci´on f(x, y) = C, variando

C _{∈ R}, define de forma impl´ıcita a todas las soluciones y de la ecuaci´on diferencial.

En siguiente resultado nos dice cuando una ecuaci´on diferencial es exacta. Teorema 2 Consideremos la ecuaci´on diferencial M(x, y) +N(x, y)y0 _{= 0}

donde M, N _∈C1(]a, b[_×]c, d[,_R). Entonces, la ecuaci´on diferencial anterior

es exacta si y s´olo si ∂M

∂y (x, y) =

∂N

∂x(x, y).

Para calcular la funci´on f tal que f(x, y) =cque define las soluciones y

de la ecuaci´on, impondremos a f que satisfaga las condiciones ½ ∂f ∂x =M(x, y) ∂f ∂y =N(x, y) , y de ello calcularemos f.

Puede ocurrir que una ecuaci´on diferencial de la formaM(x, y)+N(x, y)y0 ₌ 0 no sea exacta pero al multiplicar ´esta por una funci´on si lo que sea.

Diremos que una funci´on continua que no se anula ν :]a, b[_×]c, d[_{−→ R} es un factor integrante de la ecuaci´on diferencial anterior siν(x, y)M(x, y) + ν(x, y)N(x, y)y0 _{= 0 es exacta.}

Se tiene que en ese caso, las soluciones de la segunda ecuaci´on son solu-ciones de la primera.

El c´alculo de factores integrantes suele ser complicado. Para su b´usqueda, se suele suponer que ´estos verifican alguna hip´otesis adicional, como que s´olo dependen de una de las variables, etc´etera.

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Una ecuaci´on diferencial de orden nes una ecuaci´on diferencial de la forma:

an(x)y(n)+an₋1(x)y(n−1)+. . .+a1(x)y0+a0(x)y=c(x) donde an, an₋1, . . . , a0, c:]a, b[−→Rson continuas.

Sin= 1 tenemos que la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden estu-diada anteriormente.

Si an(x) ₆= 0 para todo x _∈]a, b[, entonces podemos escribir la ecuaci´on diferencial anterior como:

y(n)+an−1(x) an(x) y (n−1)_{+. . .+} a1(x) an(x)y 0₊ a0(x) an(x)y= c(x) an(x)

En primer lugar se obtiene el siguiente resultado de existencia y unicidad de soluci´on:

Teorema 3 El problema de condiciones iniciales

½

y(n)_+pn

−1(x)y(n−1)+. . .+p1(x)y0+p0(x)y=q(x)

y(x0) =y0, y0(x0) =y10, . . . , y(n−1)(x0) =y0n−1

siendo pi, q :]a, b[_{−→ R} continuas, tiene una ´unica soluci´on definida en el

intervalo ]a, b[.

Ahora nos ocupamos de la resoluci´on de la ecuaci´on diferencial homog´enea

y(n)+pn₋1(x)y(n−1)+. . .+p1(x)y0+p0(x)y= 0 siendo pi :]a, b[_−→R continuas, 1_≤i_≤n.

Teorema 4 El conjunto de todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial

anterior tiene estructura de _R-espacio vectorial de dimensi´on n.

Del resultado anterior se deduce que siy1, . . . , ynsonnsoluciones, cualquier soluci´on y se expresa como:

y=c1y1+. . .+cnyn para ciertos valores c1, . . . , cn∈R.

As´ı, nuestro problema se divide en: 1. Determinar nsoluciones.

2. Demostrar que son linealmente independientes.

Para lo segundo, se introduce el concepto de Wronskiano:

Definici´on 4 Sean y1, . . . , yn :]a, b[−→ R son (n−1)-veces derivables. Se

define el Wronskiano de dichas funciones como la funci´on W(y1, . . . , yn) :

]a, b[_−→R: W(y1, . . . , yn)(x) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y1(x) y0 1(x) . . . y (n−1) 1 (x) y2(x) y0 2(x)(a) . . . y (n−1) 2 (x) .. . ... . .. ... yn(x) yn0(x) . . . y (n−1) n (x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

Entonces se obtiene:

Proposici´on 1 Las soluciones de la ecuaci´on diferencial lineal homog´enea

de orden n y1, . . . , yn:]a, b[−→R son linealmente independientes si y s´olo si

W(y1, . . . , yn)(x)6= 0 para todo x∈]a, b[.

6. Ecuaci´on lineal homog´enea con coeficientes constantes

Una ecuaci´on lineal homog´enea con coeficientes constantes es una ecuaci´on lineal homog´enea:

y(n)+pn₋1y(n−1)+. . .+p1y0+p0y= 0, pi ∈R, 0,1, . . . , n−1. Si suponemos que erx _{es una soluci´on de dicha ecuaci´on, sustituendo se}

obtiene:

rnerx+pn₋1rn−1erx+. . .+p1rer+p0er= 0 y sacando factor com´un:

erx(rn+pn−1rn−1+. . .+p1r+p0) = 0

de donde rn +pn₋1rn−1 +. . .+p1r +p0 = 0 y entonces r es ra´ız del polinomio p(x) =xn_+pn

−1xn−1+. . .+p1x+p0.

Definici´on 5 El polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on diferencial lineal

homog´enea con coeficientes constantes anterior es p(x) = xn+pn−1xn−1+

. . .+p1x+p0.

Por el teorema fundamental del ´algebra se tiene que p(x) = (x₋a1)r1

·

. . ._·(x₋aj)rj_(x2_−A

1x+B1)s1·. . .·(x2−Akx+Bk)sk dondea1, . . . , aj son las ra´ıces reales dep(x) yx2_+A

1x+B1, . . . , x2+Akx+Bk tienen dos soluciones complejas conjugadas con multiplicidades s1, . . . , sk respectivamente.

Entonces se obtiene:

Teorema 5 Si las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de la ecuaci´on

difere-cial lineal con coeficientes constantes y(n)+pn−1y(n−1)+. . .+p1y0+p0y= 0

son:

1. a1, . . . , aj con multiplicidades r1, . . . , rj respectivamente.

Entonces, los elementos de una base de las soluciones de la ecuaci´on son: 1. De a1 se obtienen ea1x, xea1x, . . . , xr1−1ea1x. 2. De a2 se obtienen ea2x, xea2x, . . . , xr2−1ea2x. . . . 3. De ar se obtienen earx_{, xe}arx_{, . . . , x}rk−1_earx_. 4. De α1_±iβ1 se obtienen:

• eα1x_{cos(β1x), xe}α1x_{cos(β1x), . . . , x}s1−1_eα1x_cos(β1x).

• eα1x_{sin(β1x), xe}α1x_{sin(β1x), . . . , x}s1−1_eα1x_sin(β1x).

. . .

5. De α1_±iβ1 se obtienen:

• eαkx_{cos(βkx), xe}αkx_{cos(βkx), . . . , x}sk−1_eαkx_cos(βkx). • eαkx_{sin(βkx), xe}αkx_{sin(βkx), . . . , x}sk−1_eαkx_sin(βkx).

Ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de orden 2 con coefi -cientes variables

´

Esta ecuaci´on diferencial tiene la forma:

y00+p1(x)y0+p0(x)y=q(x).

Veamos dos m´etodos para determinar una soluci´on particular de dicha ecuaci´on diferencial. 7. M´etodo de la variaci´on de constantesSi ˜y(x) =

c1y1(x) +c2y2(x) con c1, c2 variando R es la soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea asociada, buscaremos una soluci´on de la forma c1(x)y1(x) +

c2(x)y2(x) y adem´as le impondremos quec0

1(x)y1(x)+c02(x)y2(x) = 0. Sustiyen-do lo anterior en la ecuaci´on diferencial inicial se obtiene un sistema cuyas incognitas son c0

1(x) y c02(x). Tras resolver dicho sistema se obtendr´an c1(x) y c2(x), y de ´estas la soluci´on particular. 8. M´etodo de los coeficientes indeterminados Supongamos que q(x) es:

1. Un polinomio de grado n. Entonces supodremos que la soluci´on par-ticular es un polinomio de grado ny determinaremos dicho polinomio imponi´endole que es soluci´on.

2. q(x) = erx _{siendo r}

∈ R. Supondremos que la soluci´on es de la forma

yp =Aerx _{y determinaremos A.}

3. q(x) = cos(αx) o q(x) sin(αx) donde α _{∈ R}. Supondremos que la soluci´on particular es de la forma yp =Acos(αx) +Bsin(αx) y deter-minaremos A y B.

4. Suma o producto de funciones de los tipos anteriores. Veamos algunos ejemplos que ilustran este caso:

Si q(x) = ex_{sinx, entonces buscaremos una soluci´on particular de la}

forma yp =Aex_cosx+Bex_sinx.

Si q(x) = ex_{x, entonces supondremos que la soluci´on particular es de}

la forma yp(x) =Axex_+Bex_.

Si q(x) = e2x_+x2_{, entonces supondremos que la soluci´on particular es} de la forma yp(x) =Ae2x+Bx2 +Cx+D.

Una aplicaci´on de las ecuaciones diferenciales. Las leyes de Kirchhoff

Para finalizar este cap´ıtulo, presentamos un ejemplo de aplicaci´on de las ecuaciones diferenciales lineales a la Electr´onica como son las leyes de Kirchhoff.

Supongamos que tenemos un circuito en serie que contiene:

• Una fuerza electromotriz (fem) E que produce una corriente I.

• Una resistencia R, que se opone al paso de corriente produciendo una ca´ıda en la fem de magnitud

ER =RI (Ley de Ohm).

• Un inductor de inductancia L, que se opone a cualquier variaci´on de la corriente, produciendo una ca´ıda en la fem que viene dada por

EL=L∂I

• Un condensador de capacitancia C que almacena una cargaQ. La carga que acumula el condensador se resiste a la entrada de nueva carga y ello lleva a una ca´ıda de la fem de magnitud

EC = 1

CQ,

y como la corriente es el ritmo con el que la carga se acumula en el condensador, se tiene

I = ∂Q ∂t .

La ley fundamental en el estudio de los circuitos el´ectricos es la ley de Kirchhoff que dice que la suma de las fuerza electromotrices entorno a un circuito cerrado es 0. En nuestro caso E₋ER₋EL₋EC = 0 de donde se obtiene L∂I ∂t +RI + 1 CQ=E (1)

que es una ecuaci´on con dos variablesI y Q que dependen del tiempo. Utilizando que I = ∂_∂Q_t podemos eliminar I en (1) y se obtiene

L∂ 2_Q ∂t2 +R ∂Q ∂t + 1 CQ=E (2)

Por otra parte, si derivamos respecto detla ecuaci´on (1), de nuevo usando que I = ∂_∂Q_t podemos eliminarQ de la ecuaci´on (1) obteniendo

L∂ 2_I ∂t2 +R ∂I ∂t + 1 CI = ∂E ∂t (3)

As´ı, tenemos dos ecuaciones diferenciales de segundo orden (2) y (3) para la carga Qy para la corriente I respectivamente.

Observemos que hay dos casos donde el problema se reduce a una ecuaci´on diferencial de primer orden:

• Si el circuito no contiene condensador entonces la ecuaci´on (1) se reduce a

L∂I

∂t +RI =E.

• Si el circuito no contiene un inductor, la ecuaci´on (2) se reduce a

R∂Q

∂t +

1

Bibliograf´

ı

a

1. T. Apostol, Calculus Vol. 1. Ed. Reverte.

2. J. S. Canovas, J. A. Murillo, Fundamentos Matem´aticos de la

Inge-nier´ıa. Ed. Diego Mar´ın.

3. S. L. Ross Ecuaciones diferenciales. Ed. Reverte S.A. 4. G. Simmons, Ecuaciones diferenciales. Ed. McGraw-Hill.