Optimización sin restricciones

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Optimizaci´

on sin restricciones

Jes´us Get´an y Eva Boj

Facultat d’Economia i Empresa Universitat de Barcelona

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Optimizaci´on sin restricciones

Problema general Presentación del problema Caracterización de máximos y m´ınimos Problema general

Formulaci´on del problema

Caracterizaci´on del ´optimo

Presentaci´on del problema

Introducci´on

Solución geométrica. Curvas de nivel Existencia de solución

Caracterizaci´on de m´aximos y m´ınimos

Visi´on geom´etrica

Condici´on necesaria de primer orden

(3)

El problema general de optimizaci´on sin restricciones se puede enunciar as´ı:

Dada una funci´on

f :F ⊆_Rn_−→ R ~x7→z =f(~x)

,

encontrar los valores ~x ∈F, tales que maximizan o minimizan el

valor de la funci´on enF.

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Problema general

Presentación del problema Caracterización de máximos y m´ınimos

Proponemos la formulaci´on general de un programa matem´atico

mediante:

Opt f(~x),

sujeta a: ~x ∈F,

donde la palabraOptse interpretar´a como m´aximo o m´ınimo

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funciones, el primer paso a realizar es caracterizarlos.

Definition

Sea la funci´on f :D ⊂Rn−→R dondeD es el domino de la

funci´on y un punto~xo ∈D.

Decimos que:

El punto~xo _{es un m´}_{aximo local de} _f _en_D _⇔

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Problema general

Definition

El punto~xo es un m´ınimo local de f enD ⇔

∃δ >0 tal que,f(~x)≥f(~xo) para todo~x ∈D∩Bδ(~xo) .

El punto~xo es un m´ınimo global de f enD ⇔

f(~x)≥f(~xo) para todo~x∈D.

Observamos que un punto es m´aximo global cuando su imagen es

mayor que la de cualquier otro punto del dominio; en cambio, un

punto es m´aximo local cuando su imagen es mayor que la imagen

de cualquier punto que se halle en un cierto entorno suyo, aunque, fuera de este entorno pueden existir puntos con mayor imagen que

(7)

a) Cuando ~x 6=~xo y las desigualdades son estrictas, decimos que

los ´optimos son estrictos.

b) Todo óptimo global (o absoluto) es también óptimo local (o

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Problema general

Theorem

Sean f :D ⊂Rn−→R y~xo ∈D.

Si~xo es un m´aximo o m´ınimo global de f en D entonces,~xo es un m´aximo o m´ınimo local de f en D respectivamente.

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Los preguntas b´asicas que nos podemos plantear para estudiar tras haber modelizado ciertas situaciones como programas

matem´aticos, son los siguientes:

I ¿Cu´ando podemos afirmar que un programa matem´atico tiene

soluci´on?, es decir, ¿cu´ando podemos asegurar la existencia de

´

optimos locales o globales?

(10)

Optimizaci´on sin restricciones Problema general

Introducci´on

Solución geométrica. Curvas de nivel Existencia de solución

Para resolver el segundo problema, de momento, consideraremos

un m´etodo geom´etrico consistente en dibujar el conjunto factible

del problema junto con las curvas de nivel de la funci´on y analizar

los valores que toma la funci´on sobre los puntos del conjunto

factible para determinar los valores m´aximo y m´ınimo. Este

m´etodo s´olo se puede llevar a cabo con funciones y conjuntos

factibles de una o dos variables y, a´un as´ı, el trazado de las curvas

de nivel de la funci´on sobre el conjunto factible puede ser

complicado. M´as adelante, y en el caso de funciones diferenciables,

(11)

En cuanto a la primera cuesti´on, la existencia y naturaleza de los ´

optimos depende fundamentalmente de las caracter´ısticas de la funci´on y del dominio.

(12)

Introducci´on

Soluci´on geom´etrica. Curvas de nivel

Existencia de soluci´on

Dada la funci´on f :D ⊂Rn−→R,definimos la curva de nivel

parak ∈_Rcomo el conjuntoCk de puntos del dominio donde

funci´on f tiene valor constante k,es decir,

Ck ={~x∈D |f(~x) =k}.

(13)

Geom´etricamente podemos localizar los ´optimos de un programa

matem´atico encontrando los puntos del conjunto factible por los

(14)

Introducci´on

Introducimos un teorema de existencia de soluci´on de un problema

de optimizaci´on que depende de las caracter´ısticas de la funci´on objetivo y del dominio. Observamos los siguientes ejemplos:

(15)

Example

Sea la funci´on f : [0,1)⊂_R−→_R

x 7−→f(x) =x2.

en [0,1) tiene un m´ınimo

(16)

Introducci´on

Example

La funci´on f : [0,1]⊂_R−→_R

x 7−→f(x) =x2.

en [0,1] tiene un m´ınimo

(17)

Example

La funci´on f : [0,2]⊂_R−→_R definida por

f(x) =

x2 _{si 0}_≤_x _<₁_, 1

2 si 1≤x ≤2,

(18)

Introducci´on

Estos ejemplos nos muestran que si el dominio no es compacto

(cerrado y acotado) o la funci´on objetivo no es continua en el

dominio, el programa matem´atico puede no tener soluci´on, el

teorema siguiente nos asegura que en caso contrario podemos afirmar la existencia de ´optimos globales.

(19)

Teorema de Weierstrass

Theorem

Sea D un subconjunto compacto de Rn y f :D⊂Rn −→R una funci´on continua en D . Entonces, f posee un m´aximo global y un m´ınimo global en D , es decir,

(20)

Introducci´on

El Teorema de Weierstrass nos asegura la existencia de ´optimos

globales bajo ciertas condiciones pero no afirma que el ´optimo sea

´

unico (la funci´on y = sinx en el intervalo [0,4π] tiene dos

(21)

El Teorema de Weierstrass tampoco dice que la continuidad de la

funci´on y la compacidad del dominio sean necesarias para la

existencia de ´optimos globales. La funci´on

f(x) =          4x x2_{+ 4} si − ∞ ≤x <0, 1 2 si x = 0, 4x x2_{+ 4} si 0<x ≤+∞.

(22)

Optimizaci´on sin restricciones Problema general Presentaci´on del problema

Condici´on necesaria de primer orden Condiciones necesarias de segundo orden Condiciones suficientes de segundo orden

Dadaz =f(x1,x2) tal quef ∈ C2,en primer lugar

caracterizaremos los ´optimos en~xo ∈D ⊆Rn geom´etricamente, es

decir mediante el plano tangente a la funci´on en~xo. La ecuaci´on del plano tangente af en~xo es:

z =f(x₁o,x₂o) + ∂ ∂x1 f(x₁o,x₂o), ∂ ∂x2 f(x₁o,x₂o) x1−x o 1 x2−x2o

(23)

Si~xo ∈D ⊆Rn es un ´optimo def enD, entonces el plano

tangente es horizontal, es decir,

∂ ∂x1f(x o 1,x2o) = 0 y ∂∂x2f(x o 1,x2o) = 0, luegoz =f(xo 1,x2o).

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Condici´on necesaria de primer orden Condiciones necesarias de segundo orden Condiciones suficientes de segundo orden

Generalizando lo anterior podemos enunciar el siguiente teorema

para la funci´onf :D⊂_Rn_→

R, diferenciable enD. Vamos a dar

condiciones necesarias o suficientes para que un punto del interior

del dominio D sea ´optimo local de la funci´on f .

Si D es abierto estas condiciones pueden aplicarse a todos los

(25)

Theorem

Sea f :D ⊂_Rn_→

Rdifenciable en D,con D abierto. Si~xo ∈ D es un ´optimo local de f en D, entonces∇f(~xo) =~0.

(26)

Condiciones necesarias de segundo orden Condiciones suficientes de segundo orden

Dem: Sea~xo ∈ D es un m´aximo local, sus derivadas parciales son

∂ ∂xif(x o 1,x2o) = lim h→0 f(~xo₊_h_~_e i)−f(~xo)

h yi = 1...n. Entonces, para cada

i tenemos lim h→0+ f (~xo+h~ei)−f (~xo) h numerador <0 denominador >0 = <0, lim h→0− f(~xo₊_h_~_e i)−f(~xo) h numerador>0 denominador>0 =>0,

como el l´ımite existe, la ´unica posibilidad es que ea cero. Por

(27)

El rec´ıproco no es cierto, como demuestra el ejemplo,

f(x1,x2) =x1x2 en~xo = (0,0),

en el cual se anula el gradiente pero no es ´optimo es punto de silla.

Llamamospuntos cr´ıticosa los puntos en los que se anula el

(28)

Condiciones necesarias de segundo orden

Condiciones suficientes de segundo orden

Theorem

Sea f :D ⊂_Rn_→

R,con f ∈ C2 y D abierto. Sea~xo ∈D tal que

∇f(~xo) =~0.Entonces,

el punto~xo _∈_{D es m´ınimo local de f en D}_⇒_Hf₍_~_xo₎ semidefinida positiva.

el punto~xo ∈D es m´aximo local de f en D⇒Hf(~xo)

(29)

El rec´ıproco no es cierto, como demuestra el ejemplo,

f(x1,x2) =x13+x22 en~xo = (0,0),

en el cual se anula el gradiente, la hessiana es semidefinida positiva pero no es m´ınimo, es punto de silla.

(30)

Condiciones necesarias de segundo orden

Definition

Dado~xo ∈D conD abierto. El punto~xo es un punto de silla de

f en D ⇔ se cumplen las dos condiciones siguientes

(i)~xo es punto cr´ıtico,

(31)

Sea f ∈ C .Sea ~x ∈D con D conjunto abierto tal que

∇f(~xo) =~0.

Que Hf(~xo) sea definida positiva⇒~xo es m´ınimo local. Que Hf(~xo₎ _{sea definida negativa}_⇒_~_xo _{es m´}_{aximo local.} Que Hf(~xo) sea semidefinida positiva en todo un entorno de ~xo ⇒~xo es m´ınimo local.

(32)

Condici´on necesaria de primer orden Condiciones necesarias de segundo orden

El teorema rec´ıproco no es cierto, como muestran los siguientes ejemplos.

(i)f(x1,x2) =x14+x24 en~xo = (0,0), (ii)f(x1,x2) =x13+x22 en~xo = (0,0).

En (i) la hessiana es semidefinida positiva y en el punto la funci´on

alcanza su valor m´ınimo.

En (ii) la hessiana es semidefinida positiva y en el punto la funci´on