07Estabilidad

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(1)Estabilidad de sistemas dinámicos. Dr. Guillermo Valencia-Palomo [email protected] Instituto Tecnológico de Hermosillo. División de estudios de posgrado e investigación.. Mayo, 2011..

(2) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Contenido 1. Introducción. 2. Estabilidad absoluta y relativa Estabilidad en el dominio de Laplace Estabilidad en espacio de estados. 3. Criterio de Routh-Hurwitz Polinomio de Hurwitz Método de Routh-Hurwitz Rango de estabilidad Ejercicios. 4. Enfoque de Lyapunov Punto de equilibrio Definición formal de estabilidad Método directo de Lyapunov Sistemas lineales Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 2 / 55.

(3) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Introducción La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinámicos a la que cabe considerar como la más importante de todas. Ello es debido a que, en la práctica, todo sistema debe ser estable. Si un sistema no es estable, normalmente carece de utilidad.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 3 / 55.

(4) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Introducción La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinámicos a la que cabe considerar como la más importante de todas. Ello es debido a que, en la práctica, todo sistema debe ser estable. Si un sistema no es estable, normalmente carece de utilidad. Por ello, el estudio de la estabilidad de los sistemas dinámicos ocupa un lugar primordial en el análisis y en la síntesis de los sistemas retroalimentados. De hecho, el desarrollo de un sistema de control estará precedida por un imperativo de estabilización del sistema retroalimentado que resulte.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 3 / 55.

(5) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Introducción La estabilidad es una propiedad cualitativa de los sistemas dinámicos a la que cabe considerar como la más importante de todas. Ello es debido a que, en la práctica, todo sistema debe ser estable. Si un sistema no es estable, normalmente carece de utilidad. Por ello, el estudio de la estabilidad de los sistemas dinámicos ocupa un lugar primordial en el análisis y en la síntesis de los sistemas retroalimentados. De hecho, el desarrollo de un sistema de control estará precedida por un imperativo de estabilización del sistema retroalimentado que resulte. Existen distintas definiciones de estabilidad, lo que da lugar a distintos criterios, asociados a las distintas definiciones. No obstante, pese a la aparente diversidad de definiciones y criterios, existe una profunda unidad en todo el tema.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 3 / 55.

(6) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad absoluta y estabilidad relativa Una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema es considerar que éste será estable si las distintas magnitudes que lo definen no alcanzan valores infinitos. Es decir, sus señales están acotadas.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 4 / 55.

(7) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad absoluta y estabilidad relativa Una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema es considerar que éste será estable si las distintas magnitudes que lo definen no alcanzan valores infinitos. Es decir, sus señales están acotadas. Señal acotada Una señal x (t) definida para t ≥ 0, se dice que es acotada si su magnitud no se aproxima a infinito, o equivalentemente, ∃M ∈ R,. tal que, |x (t)| ≤ M < ∞,. ∀t ≥ 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 4 / 55.

(8) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad absoluta y estabilidad relativa Una forma intuitiva de afrontar el problema de la estabilidad de un sistema es considerar que éste será estable si las distintas magnitudes que lo definen no alcanzan valores infinitos. Es decir, sus señales están acotadas. Señal acotada Una señal x (t) definida para t ≥ 0, se dice que es acotada si su magnitud no se aproxima a infinito, o equivalentemente, ∃M ∈ R,. tal que, |x (t)| ≤ M < ∞,. ∀t ≥ 0. Basados en esta idea intuitiva se puede dar la siguiente definición precisa de estabilidad. Estabilidad BIBO Un sistema, inicialmente en reposo, se dice estable si al ser excitado con una señal acotada produce una señal de respuesta acotada. De otra forma, se dice que el sistema es inestable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 4 / 55.

(9) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad absoluta y estabilidad relativa En realidad, la salida de un sistema físico puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar limitada por detenciones mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal después de que la salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones diferenciales lineales.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 5 / 55.

(10) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad absoluta y estabilidad relativa En realidad, la salida de un sistema físico puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar limitada por detenciones mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal después de que la salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones diferenciales lineales. La estabilidad BIBO se conoce también como estabilidad absoluta. Una vez conocido que el sistema es estable, se requiere definir el grado de estabilidad del mismo, lo que da el origen a la noción de estabilidad relativa.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 5 / 55.

(11) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad absoluta y estabilidad relativa En realidad, la salida de un sistema físico puede aumentar hasta un cierto grado, pero puede estar limitada por detenciones mecánicas o el sistema puede colapsarse o volverse no lineal después de que la salida excede cierta magnitud, por lo cual ya no se aplican las ecuaciones diferenciales lineales. La estabilidad BIBO se conoce también como estabilidad absoluta. Una vez conocido que el sistema es estable, se requiere definir el grado de estabilidad del mismo, lo que da el origen a la noción de estabilidad relativa. La estabilidad relativa nos indica que tan estable es un sistema en relación a otro o en relación a algún cambio dentro del mismo. Por ejemplo, un sistema de control lineal e invariante con el tiempo se le denomina críticamente estable o marginalmente estable si las oscilaciones de la salida continúan para siempre, por que ante una pequeña perturbación podrían volverse inestables. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 5 / 55.

(12) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Comentarios Algunas observaciones: Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 6 / 55.

(13) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Comentarios Algunas observaciones: Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad. Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando retroalimentación.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 6 / 55.

(14) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Comentarios Algunas observaciones: Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad. Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando retroalimentación. Un sistema inestable puede hacerse estable si se utiliza retroalimentación.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 6 / 55.

(15) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Comentarios Algunas observaciones: Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad. Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando retroalimentación. Un sistema inestable puede hacerse estable si se utiliza retroalimentación. Un sistema estable puede hacerse inestable si se utiliza retroalimentación.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 6 / 55.

(16) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Comentarios Algunas observaciones: Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad. Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando retroalimentación. Un sistema inestable puede hacerse estable si se utiliza retroalimentación. Un sistema estable puede hacerse inestable si se utiliza retroalimentación. Un sistema estable puede tener error en su salida (error en estado estable).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 6 / 55.

(17) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Comentarios Algunas observaciones: Un sistema de lazo abierto también tiene características de estabilidad. Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus características de estabilidad a menos que se cambien sus parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando retroalimentación. Un sistema inestable puede hacerse estable si se utiliza retroalimentación. Un sistema estable puede hacerse inestable si se utiliza retroalimentación. Un sistema estable puede tener error en su salida (error en estado estable). La estabilidad es una característica propia de cada sistema y no depende de las entradas. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 6 / 55.

(18) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en el dominio de Laplace Considere el siguiente ejercicio, Ejercicio 1 Determine si un sistema con función de transferencia G(s) = 1/s es estable. Utilice señales de prueba u1 (t) = senωt y u2 (t) = 1.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 7 / 55.

(19) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en el dominio de Laplace Considere el siguiente ejercicio, Ejercicio 1 Determine si un sistema con función de transferencia G(s) = 1/s es estable. Utilice señales de prueba u1 (t) = senωt y u2 (t) = 1. Solución: Aplicando las entradas u1 (t), u2 (t) en el dominio de Laplace y aplicando la transformada inversa tenemos: ω 1 ⇒ y1 (t) = u(t) − cosωt. Y1 (s) = s s2 + ω 2 1 1 ⇒ y2 (t) = t. Y2 (s) = s s. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 7 / 55.

(20) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en el dominio de Laplace Considere el siguiente ejercicio, Ejercicio 1 Determine si un sistema con función de transferencia G(s) = 1/s es estable. Utilice señales de prueba u1 (t) = senωt y u2 (t) = 1. Solución: Aplicando las entradas u1 (t), u2 (t) en el dominio de Laplace y aplicando la transformada inversa tenemos: ω 1 ⇒ y1 (t) = u(t) − cosωt. Y1 (s) = s s2 + ω 2 1 1 ⇒ y2 (t) = t. Y2 (s) = s s. La salida y1 (t) debido a la entrada acotada u1 (t) = senωt es acotada; pero no podemos concluir la estabilidad del sistema ya que, y2 (t) debido a la entrada acotada u2 (t) = 1, no es acotada; por lo que concluimos que el sistema es inestable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 7 / 55.

(21) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en Laplace La inestabilidad de un sistema puede ser deducido de la definición de estabilidad BIBO, al encontrar una entrada acotada que excite una salida no acotada. Sin embargo, es difícil deducir la estabilidad de un sistema debido a existen un número infinito de entradas acotadas que deben ser verificadas. Afortunadamente, esto no es necesario, ya que se tiene la siguiente definición,. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 8 / 55.

(22) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en Laplace La inestabilidad de un sistema puede ser deducido de la definición de estabilidad BIBO, al encontrar una entrada acotada que excite una salida no acotada. Sin embargo, es difícil deducir la estabilidad de un sistema debido a existen un número infinito de entradas acotadas que deben ser verificadas. Afortunadamente, esto no es necesario, ya que se tiene la siguiente definición, Estabilidad en el dominio de Laplace Un sistema con una función de transferencia racional propia G(s) es estable si y sólo si todos los polos de G(s) se encuentran en el semiplano izquierdo abierto del plano complejo s.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 8 / 55.

(23) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en Laplace La inestabilidad de un sistema puede ser deducido de la definición de estabilidad BIBO, al encontrar una entrada acotada que excite una salida no acotada. Sin embargo, es difícil deducir la estabilidad de un sistema debido a existen un número infinito de entradas acotadas que deben ser verificadas. Afortunadamente, esto no es necesario, ya que se tiene la siguiente definición, Estabilidad en el dominio de Laplace Un sistema con una función de transferencia racional propia G(s) es estable si y sólo si todos los polos de G(s) se encuentran en el semiplano izquierdo abierto del plano complejo s. Semiplano izquierdo abierto, se refiere al semiplano izquierdo excluyendo el eje imaginario. La definición implica que un sistema es inestable si G(s) tiene uno o más polos con parte real positiva o cero. La estabilidad de un sistema, depende sólo de los polos de G(s) y no de los ceros de G(s). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 8 / 55.

(24) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en Laplace La definición anterior se basa en que si G(s) es una función racional propia entonces puede desarrollarse en fracciones parciales, de manera que se descompone en la suma de un número finito de términos de la forma, K , (s + pi )n donde la constante −pi denota un polo de G(s). Al hallar la transformada inversa de Laplace de G(s) se tiene que la solución en el dominio del tiempo g(t), es la suma de un número finito de términos de la forma t n−1 e−pi t y, además, una posible función δ(t) de Dirac. Con esto, es fácil demostrar que s es absolutamente integrable si y sólo si Re(−pi ) < 0; ya que si la parte real de los polos es negativa, entonces el valor absoluto de g(t) tiende a cero exponencialmente cumpliéndose la condición de estabilidad BIBO. Por lo tanto el sistema G(s) será estable si y sólo si todos los polos de G(s) tienen la parte real negativa. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 9 / 55.

(25) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en Laplace Diversos arreglos de raíces quedan en el plano s,. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 10 / 55.

(26) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en espacio de estados Estabilidad en la representación de espacio de estados Considere un sistema con una representación en espacio de estados estrictamente propio ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t). Entonces, si todos los valores propios de la matriz A tienen parte real negativa el sistema es estable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 11 / 55.

(27) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en espacio de estados Estabilidad en la representación de espacio de estados Considere un sistema con una representación en espacio de estados estrictamente propio ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t). Entonces, si todos los valores propios de la matriz A tienen parte real negativa el sistema es estable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 11 / 55.

(28) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en espacio de estados Estabilidad en la representación de espacio de estados Considere un sistema con una representación en espacio de estados estrictamente propio ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t). Entonces, si todos los valores propios de la matriz A tienen parte real negativa el sistema es estable. La estabilidad BIBO dependerá de los valores propios de la matriz A, ya que todo polo de G(s) es un valor propio de A, G(s) =. Y(s) = C(sI − A)−1 B + D, U(s). y así si todos los valores propios de A tienen parte real negativa, todos los polos de G(s) tendrán parte real negativa, y el sistema será BIBO.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 11 / 55.

(29) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en espacio de estados Estabilidad en la representación de espacio de estados Considere un sistema con una representación en espacio de estados estrictamente propio ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t); y(t) = Cx(t). Entonces, si todos los valores propios de la matriz A tienen parte real negativa el sistema es estable. La estabilidad BIBO dependerá de los valores propios de la matriz A, ya que todo polo de G(s) es un valor propio de A, G(s) =. Y(s) = C(sI − A)−1 B + D, U(s). y así si todos los valores propios de A tienen parte real negativa, todos los polos de G(s) tendrán parte real negativa, y el sistema será BIBO. Los resultados de estabilidad BIBO para sistemas MIMO siguen de los de sistemas SISO, ya que una matriz transferencia será BIBO estable si y sólo si cada una de sus entradas son BIBO estables. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 11 / 55.

(30) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en espacio de estados No obstante, no todo valor propio de A es un polo de G(s), ya que puede haber cancelaciones entre ceros y polos al calcular G(s). Así un sistema puede ser BIBO estable aunque algunos valores propios de A no tengan parte real negativa.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 12 / 55.

(31) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en espacio de estados No obstante, no todo valor propio de A es un polo de G(s), ya que puede haber cancelaciones entre ceros y polos al calcular G(s). Así un sistema puede ser BIBO estable aunque algunos valores propios de A no tengan parte real negativa. Considere por ejemplo, el siguiente sistema en representación de espacio de estados, −1 10 −2 ẋ(t) = x(t) + u(t); 0 1 0 y(t) = −2 3 x(t).. A pesar de tener un valor propio con parte real positiva en λ = 1, es BIBO estable porque su función transferencia tiene su único polo en s = −1: 4 G(s) = . s+1. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 12 / 55.

(32) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad en espacio de estados No obstante, no todo valor propio de A es un polo de G(s), ya que puede haber cancelaciones entre ceros y polos al calcular G(s). Así un sistema puede ser BIBO estable aunque algunos valores propios de A no tengan parte real negativa. Considere por ejemplo, el siguiente sistema en representación de espacio de estados, −1 10 −2 ẋ(t) = x(t) + u(t); 0 1 0 y(t) = −2 3 x(t).. A pesar de tener un valor propio con parte real positiva en λ = 1, es BIBO estable porque su función transferencia tiene su único polo en s = −1: 4 G(s) = . s+1 Lo cual demuestra que la BIBO estabilidad no es un criterio infalible, debido a las posibles cancelaciones de polos y ceros. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos. 12 / 55.

(33) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Criterio de Routh-Hurwitz Considere la función de transferencia G(s) =. N(s) ; D(s). Para determinar la estabilidad de G(s) utilizando la definición de estabilidad en el dominio de Laplace, se deben determinar los polos de G(s) o, equivalentemente, las raíces de D(s). Si el grado de D(s) es grande, los cálculos de las raíces (sin el uso de calculadoras) es complicado, por lo que es deseable tener un método para determinar la estabilidad sin calcular las raíces. Este método se denomina criterio de Routh o criterio de Routh-Hurwitz.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 13 / 55.

(34) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Criterio de Routh-Hurwitz Considere la función de transferencia G(s) =. N(s) ; D(s). Para determinar la estabilidad de G(s) utilizando la definición de estabilidad en el dominio de Laplace, se deben determinar los polos de G(s) o, equivalentemente, las raíces de D(s). Si el grado de D(s) es grande, los cálculos de las raíces (sin el uso de calculadoras) es complicado, por lo que es deseable tener un método para determinar la estabilidad sin calcular las raíces. Este método se denomina criterio de Routh o criterio de Routh-Hurwitz. Polinomio de Hurwitz Un polinomio con coeficientes reales se denomina un polinomio de Hurwitz si todas sus raíces tienen la parte real negativa. Por lo tanto el problema de la estabilidad se reduce al de determinar si el polinomio del denominador es, o no, un polinomio de Hurwitz. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 13 / 55.

(35) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método de Routh-Hurwitz El método directo de comprobar si un determinado polinomio es o no un polinomio de Hurwitz consiste en determinar todas las raíces de dicho polinomio. Este procedimiento puede ser, además de excesivamente laborioso, inútil por que suministra una información superior a la que se requiere. No se trata de saber cuales son las raíces, sino, simplemente, si su parte real será negativa o no.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 14 / 55.

(36) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método de Routh-Hurwitz El método directo de comprobar si un determinado polinomio es o no un polinomio de Hurwitz consiste en determinar todas las raíces de dicho polinomio. Este procedimiento puede ser, además de excesivamente laborioso, inútil por que suministra una información superior a la que se requiere. No se trata de saber cuales son las raíces, sino, simplemente, si su parte real será negativa o no. El procedimiento del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Escriba el denominador D(s) en la siguiente forma, D(s) = a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an−1 s + an = 0;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 14 / 55.

(37) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método de Routh-Hurwitz El método directo de comprobar si un determinado polinomio es o no un polinomio de Hurwitz consiste en determinar todas las raíces de dicho polinomio. Este procedimiento puede ser, además de excesivamente laborioso, inútil por que suministra una información superior a la que se requiere. No se trata de saber cuales son las raíces, sino, simplemente, si su parte real será negativa o no. El procedimiento del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz Escriba el denominador D(s) en la siguiente forma, D(s) = a0 sn + a1 sn−1 + . . . + an−1 s + an = 0; La condición necesaria pero no suficiente para estabilidad, es que todos los coeficientes de la ecuación estén presentes, y que todos tengan signo positivo.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 14 / 55.

(38) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método de Routh-Hurwitz Si se cumple la condición necesaria, guiente esquema: sn a0 a2 a4 sn−1 a1 a3 a5 sn−2 b1 b2 b3 sn−3 c1 c2 c3 .. . s2 s1 s0. e1 f1 g1. entonces, se realiza el sia6 a7 b4 c4. ... ... ... .... e2. Donde a1 a4 − a0 a5 a1 a6 − a0 a7 a1 a2 − a0 a3 ; b2 = ; b3 = ; ... a1 a1 a1 b1 a3 − a1 b2 b1 a5 − a1 b3 b1 a7 − a1 b4 c1 = ; c2 = ; c3 = ; ... b1 b1 b1. b1 =. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 15 / 55.

(39) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método de Routh-Hurwitz La tabla anterior recibe el nombre de tabla de Routh, y el algoritmo que permite su construcción se denomina algoritmo de Routh. Independientemente del trabajos de Edward Routh, Alfred Hurwitz publicó un criterio de estabilidad, que esencialmente coincide con el de Routh. Por ello el criterio lleva conjuntamente el nombre de los dos autores. Toda fila depende de las dos filas precedentes. Se procede sucesivamente a determinar filas hasta que se determine una cuyos elementos sean todos 0. Para un polinomio de orden n se determinan n + 1 filas.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 16 / 55.

(40) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método de Routh-Hurwitz La tabla anterior recibe el nombre de tabla de Routh, y el algoritmo que permite su construcción se denomina algoritmo de Routh. Independientemente del trabajos de Edward Routh, Alfred Hurwitz publicó un criterio de estabilidad, que esencialmente coincide con el de Routh. Por ello el criterio lleva conjuntamente el nombre de los dos autores. Toda fila depende de las dos filas precedentes. Se procede sucesivamente a determinar filas hasta que se determine una cuyos elementos sean todos 0. Para un polinomio de orden n se determinan n + 1 filas. El criterio de Routh-Hurwitz El criterio de Routh-Hurwitz establece que la condición necesaria y suficiente para que todas las raíces del polinomio D(s) queden en el semiplano izquierdo del plano s, es que todos los coeficientes del polinomio D(s) sean positivos y que todos los términos de la primera columna del conjunto sean positivos.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 16 / 55.

(41) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método de Routh-Hurwitz Pueden presentarse dos casos especiales: 1. 2. La tabla de Routh tiene un cero en la primera columna. Si un término de la primera columna en cualquier fila es cero, pero los términos restantes no lo son, o no hay mas términos, esto indica que existe un par de raíces complejas conjugadas o un par de polos repetidos. Para resolver este problema se asigna un número muy pequeño positivo ε para sustituir el cero de la primera columna y al evaluarlo se le aplica el límite cuando ε → 0. La tabla de Routh tiene toda una fila formada por ceros. Esto indica que existen raíces de igual magnitud radialmente opuestas en el plano s, esto es, dos raíces reales con la misma magnitud pero signos opuestos y/o dos raíces imaginarias conjugadas. Para resolver este problema se utiliza un polinomio auxiliar formado con los coeficientes de la fila inmediata superior a la fila de ceros y se sustituye la fila de ceros por los coeficientes de la derivada del polinomio auxiliar. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 17 / 55.

(42) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Rango de estabilidad El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada en el análisis de un sistema de control lineal, sobre todo porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni como estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los valores que producen inestabilidad.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 18 / 55.

(43) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Rango de estabilidad El criterio de estabilidad de Routh tiene una utilidad limitada en el análisis de un sistema de control lineal, sobre todo porque no sugiere cómo mejorar la estabilidad relativa ni como estabilizar un sistema inestable. Sin embargo, es posible determinar los efectos de cambiar uno o dos parámetros de un sistema si se examinan los valores que producen inestabilidad. Por ejemplo, si se considera el diagrama a bloques de la figura siguiente se puede encontrar la ecuación característica correspondiente y determinar el rango de valores que podría tomar la ganancia K para que el sistema sea estable. R(s). +. -. E(s). K. G(s). Y(s). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 18 / 55.

(44) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 2 Verifique si el siguiente polinomio es Hurwitz s4 + 2s3 + 3s + 4 = 0.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 19 / 55.

(45) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 2 Verifique si el siguiente polinomio es Hurwitz s4 + 2s3 + 3s + 4 = 0. Solución: Este polinomio no es Hurwitz ya que no todos los coeficientes existen, en particular el coeficiente de la s2 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 19 / 55.

(46) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 2 Verifique si el siguiente polinomio es Hurwitz s4 + 2s3 + 3s + 4 = 0. Solución: Este polinomio no es Hurwitz ya que no todos los coeficientes existen, en particular el coeficiente de la s2 . Ejercicio 3 Verifique si el polinomio s4 + 2s3 + 3s2 − 4s + 10 = 0 es Hurwitz.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 19 / 55.

(47) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 2 Verifique si el siguiente polinomio es Hurwitz s4 + 2s3 + 3s + 4 = 0. Solución: Este polinomio no es Hurwitz ya que no todos los coeficientes existen, en particular el coeficiente de la s2 . Ejercicio 3 Verifique si el polinomio s4 + 2s3 + 3s2 − 4s + 10 = 0 es Hurwitz. Solución: En este polinomio todos los coeficientes existen pero no todos son positivos, por lo que el polinomio no es Hurwitz.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 19 / 55.

(48) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 4 Verifique si el polinomio s3 + 10s2 + s + 2 = 0 es Hurwitz.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 20 / 55.

(49) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 4 Verifique si el polinomio s3 + 10s2 + s + 2 = 0 es Hurwitz. Solución: En este polinomio se cumplen las condiciones necesarias, es decir, todos los coeficientes existen y todos son positivos, pero esto no es suficiente para garantizar la estabilidad, por lo que se verifica la tabla de Routh: s3 s2 s1 s0. 1 10 10−2 10 = 2. 1 2 8 10. Debido a que todos los elementos de la primer columna de la tabla son valores mayores que cero, se determina que el polinomio es Hurwitz, el sistema es estable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 20 / 55.

(50) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 5 Verifique si el polinomio s4 + 2s3 + s2 + 2s + 1 = 0 es Hurwitz.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 21 / 55.

(51) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 5 Verifique si el polinomio s4 + 2s3 + s2 + 2s + 1 = 0 es Hurwitz. Solución: En este polinomio se cumplen las condiciones necesarias, por lo que se verifica la tabla de Routh: s4 s3 s2 s1 s0. 1 2 0≈ε 2 − 2ε 1. 1 1 2 1. Debido a que Límε→0 2 − ε2 = −∞, existen dos cambios de signo y por lo tanto el polinomio no es Hurwitz. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 21 / 55.

(52) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 6 Verifique la estabilidad de s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 + 25s + 50 = 0.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 22 / 55.

(53) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 6 Verifique la estabilidad de s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 + 25s + 50 = 0. Solución: En este polinomio se cumplen las se verifica la tabla de Routh: s5 1 s4 2 s3 0. condiciones necesarias, por lo que 24 48 0. 25 50. Los términos de la fila s3 son todos ceros por lo que se requiere formar un polinomio auxiliar con los coeficientes de la fila s4 : P(s) = 2s 4 + 48s2 + 50; Esto indica que existen raíces de igual magnitud radialmente opuestas en el plano s. Las raíces pueden ser obtenidas al solucionar la ecuación P(s) = 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 22 / 55.

(54) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios La derivada de P(s) con respecto a s, es P ′ (s) = 8s3 + 96s, Los términos de la fila s3 son reemplazados por los nuevos coeficientes, 1 24 25 s5 4 s 2 48 50 s3 8 96 s2 24 50 s1 79.3 s0 50. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 23 / 55.

(55) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios La derivada de P(s) con respecto a s, es P ′ (s) = 8s3 + 96s, Los términos de la fila s3 son reemplazados por los nuevos coeficientes, 1 24 25 s5 4 s 2 48 50 s3 8 96 s2 24 50 s1 79.3 s0 50 Note que no existe cambio de signo en la primera columna del nuevo arreglo, lo cual indica que no hay raíces con parte real positiva, pero al resolver el polinomio auxiliar se obtienen las raíces s1,2 = ±4.78j;. s3,4 = ±1.04j;. Por lo que se determina que el sistema es inestable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 23 / 55.

(56) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 7 Para el polinomio a0 s3 +a1 s2 +a2 s+a3 = 0, establezca las condiciones de estabilidad.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 24 / 55.

(57) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 7 Para el polinomio a0 s3 +a1 s2 +a2 s+a3 = 0, establezca las condiciones de estabilidad. Solución: Se verifican las condiciones por medio de tabla de Routh: s3 s2 s1 s0. a0 a1. a1 a2 −a0 a3 a1. a2 a3. a3. Para que el polinomio sea Hurwitz, se debe de cumplir que, a0 , a1 , a2 , a3 > 0; y a1 a2 > a0 a3 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 24 / 55.

(58) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 8 Considérese el arreglo del sistema R(s). +. E(s). -. K. G(s). Y(s). con, G(s) =. s4. +. 3s3. 1 . + 3s2 + 2s. Determine el rango de valores de K para que el sistema sea estable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 25 / 55.

(59) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Solución: La función de transferencia de lazo cerrado es Y (s) K = 4 . R(s) s + 3s3 + 3s2 + 2s + K Para el polinomio correspondiente al denominador de la función de transferencia en lazo cerrado se cumplen las condiciones necesarias, por lo que se verifican las condiciones por medio de tabla de Routh: s4 s3 s2 s1 s0. 1 3 7/3 2 − 79 K K. 3 2 K. K. Para que el polinomio sea Hurwitz y por lo tanto el sistema sea estable, se debe de cumplir que, 2 − 97 K > 0 y K > 0. Intersectando las condiciones 14 0<K < . 9 Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 26 / 55.

(60) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Enfoque de Lyapunov Los conceptos de estabilidad e inestabilidad están presentes en la vida cotidiana, y de hecho es un concepto que aparece en todas las ciencias (economía: estabilidad de una moneda; ingeniería: estabilidad de una estructura; química: estabilidad de una reacción; física: estabilidad de una partícula, etc.) y merece ser definido en términos precisos. Sin embargo, a pesar de que fue utilizado de forma intuitiva durante muchos años, no fue sino hasta 1892 cuando Alexander M. Lyapunov formuló de manera precisa el concepto de estabilidad en su famosa tesis doctoral (ignorada por más de 25 años). Y ese ha sido el punto de partida para establecer otras variantes de tan importante concepto (¡y son bastantes!). De hecho, no hay concepto en la Matemática que admita tantas acepciones distintas como el de estabilidad y por este motivo, cuando se habla de estabilidad, se debe aclarar a cuál de ellas se refiere, para evitar ambigüedades. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 27 / 55.

(61) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Punto de equilibrio La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de equilibrio, aunque puede no ser así.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 28 / 55.

(62) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Punto de equilibrio La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de equilibrio, aunque puede no ser así. Punto de equilibrio Un sistema de dinámico ẋ(t) = f (x(t)) se encuentra en un punto de equilibrio xe (t) si la salida permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación o entrada, esto es, f (xe (t)) = 0.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 28 / 55.

(63) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Punto de equilibrio La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de equilibrio, aunque puede no ser así. Punto de equilibrio Un sistema de dinámico ẋ(t) = f (x(t)) se encuentra en un punto de equilibrio xe (t) si la salida permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación o entrada, esto es, f (xe (t)) = 0. Los sistemas pueden tener diferentes tipos de puntos de equilirbio, éstos pueden ser: Asintóticamente estables. No asintóticamente estables. Inestables. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 28 / 55.

(64) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad asintótica, no asintótica e inestabilidad A manera de ejemplo, considere el movimiento de una canica que se rige bajo la acción de la gravedad sobre diferentes superficies,. a. b. c. d. En los cuatro casos, la canica se encuentra en una posición de equilibrio, pero ¿cuál será el movimiento que ejecuta la canica si la sacamos un poco de su estado de equilibrio y la soltamos?. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 29 / 55.

(65) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Estabilidad asintótica, no asintótica e inestabilidad En los casos (a) y (b), la canica se mantendrá cerca de su posición de equilibrio oscilando alrededor de ésta, además, debido a la fricción, la canica tenderá a ocupar dicha posición de equilibrio. En ambos casos, el equilibrio se dice ser asintóticamente estable, la única diferencia que existe en estos dos casos, es que la perturbación que le hagamos a la canica para sacarla de su estado de equilibrio debe ser mucho menor para el caso (b). En la canica del inciso (c), cualquier perturbación por pequeña que ésta sea, la canica se alejará de su posición de equilibrio; en este caso el punto de equilibrio es inestable. Finalmente, en (d), para cualquier perturbación pequeña de la canica, ésta permanecerá cerca de la posición de equilibrio pero no tenderá a acercarse a dicha posición de equilibrio y estaremos en presencia de estabilidad no asintótica. Lo mismo sucedería en el caso (a) y (b) de no existir fricción. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 30 / 55.

(66) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definiciones generales Suponga que un sistema continuo se describe mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y que puede representarse mediante ẋ(t) = f (x(t)); x(t0 ) = x0 ; donde x(t) = x1 (t) el espacio Rn es:. . . . xn (t). kxk =. T. ∈ Rn . La norma euclidiana sobre. n X i=1. xi2. !1/2. La solución del sistema es continua y única si f (t, x) satisface kf (t, x(t)) − f (t, y(t))k = Lkx(t) − y(t)k,. L ∈ R > 0.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 31 / 55.

(67) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Suponga que la solución z(t, t0 , z0 ) es una solución del sistema ẋ(t) = f (t, x(t)); x(t0 ) = x0 . Estabilidad en el sentido Lyapunov La solución z(t, t0 , z0 ) del sistema ẋ(t) = f (t, x(t)); x(t0 ) = x0 , se dice Lyapunov estable si ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) tal que si kx0 − z0 k < δ(ε, t0 ), implica que, kx(t, t0 , x0 ) − z(t, t0 , z0 )k < ε;. ∀t > t0 .. Si z(t, t0 , z0 ) no es Lyapunov estable, entonces es inestable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 32 / 55.

(68) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad A manera de ejemplo, considere el sistema no lineal, 1/2 i 1h 3 ; y (t) + y (t) y 4 (t) + 4ẏ (t) 2 y (t0 ) = y0 , ẏ (t0 ) = ẏ0 . ÿ (t) = −. la representación espacio estado es # " x 2 h ẋ1 i 1/2 = ; − 21 x13 + x1 x14 + 4x2 ẋ2 x1 (t0 ) y0 x0 = ; = x2 (t0 ) ẏ0 y la solución general es csen(ct + d) x1 = ; x(t) = x2 c 2 cos(ct + d). c, d ∈ R.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 33 / 55.

(69) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Observe que z(t) puede ser elegida como un punto de equilibrio f (zeq ) = 0 → zeq ≡ 0, ¿La solución z(t) = zeq es Lyapunov estable?. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 34 / 55.

(70) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Observe que z(t) puede ser elegida como un punto de equilibrio f (zeq ) = 0 → zeq ≡ 0, ¿La solución z(t) = zeq es Lyapunov estable? Dado un número ε > 0, debemos construir un δ(ε, t0 ) > 0. Para ello, h 2 i1/2 2 kx0 − z0 k = kx0 k = (csen(ct0 + d)) + c 2 cos(ct0 + d) 1/2 1/2 < δ(ε, t0 ). = |c| 1 + c 2 ≤ c2 + c4. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 34 / 55.

(71) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Observe que z(t) puede ser elegida como un punto de equilibrio f (zeq ) = 0 → zeq ≡ 0, ¿La solución z(t) = zeq es Lyapunov estable? Dado un número ε > 0, debemos construir un δ(ε, t0 ) > 0. Para ello, h 2 i1/2 2 kx0 − z0 k = kx0 k = (csen(ct0 + d)) + c 2 cos(ct0 + d) 1/2 1/2 < δ(ε, t0 ). = |c| 1 + c 2 ≤ c2 + c4. por otro lado, h 2 i1/2 2 kx(t) − z(t)k = kx(t)k = (csen(ct + d)) + c 2 cos(ct + d) 1/2 . ≤ |c| 1 + c 2. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 34 / 55.

(72) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Observe que z(t) puede ser elegida como un punto de equilibrio f (zeq ) = 0 → zeq ≡ 0, ¿La solución z(t) = zeq es Lyapunov estable? Dado un número ε > 0, debemos construir un δ(ε, t0 ) > 0. Para ello, h 2 i1/2 2 kx0 − z0 k = kx0 k = (csen(ct0 + d)) + c 2 cos(ct0 + d) 1/2 1/2 < δ(ε, t0 ). = |c| 1 + c 2 ≤ c2 + c4. por otro lado, h 2 i1/2 2 kx(t) − z(t)k = kx(t)k = (csen(ct + d)) + c 2 cos(ct + d) 1/2 . ≤ |c| 1 + c 2. en consecuencia se tiene que si se elige δ(ε, t0 ) = ε. ⇒. kx(t)k < ε,. concluimos que la solución es Lyapunov estable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 34 / 55.

(73) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Siempre es posible analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio y, mediante algún cambio de coordenadas, posicionarlo en el origen, esto es, f (t, xeq ) = 0, con xeq = 0 (solución trivial).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 35 / 55.

(74) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Siempre es posible analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio y, mediante algún cambio de coordenadas, posicionarlo en el origen, esto es, f (t, xeq ) = 0, con xeq = 0 (solución trivial). Estabilidad en el sentido Lyapunov de un punto de equilibrio en el origen La solución trivial x(t) ≡ 0 del sistema ẋ(t) = f (t, x(t)); x(t0 ) = x0 , se dice Lyapunov estable si ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε, t0 ) tal que si kx0 k < δ(ε, t0 ), implica que, kx(t, t0 , x0 )k < ε;. ∀t > t0 .. Una solución que no satisface dichas condiciones, de dice inestable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 35 / 55.

(75) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Estabilidad asintótica La solución trivial x(t) ≡ 0 del sistema ẋ(t) = f (t, x(t)); x(t0 ) = x0 es asintóticamente estable si: 1. Es Lyapunov estable.. 2. x(t, t0 , x0 ) → 0 cuando t → 0.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 36 / 55.

(76) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Estabilidad asintótica La solución trivial x(t) ≡ 0 del sistema ẋ(t) = f (t, x(t)); x(t0 ) = x0 es asintóticamente estable si: 1. Es Lyapunov estable.. 2. x(t, t0 , x0 ) → 0 cuando t → 0.. Regresando al ejemplo, la solución c sin(ct + d) x1 = ; x(t) = x2 c 2 cos(ct + d). c, d ∈ R.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 36 / 55.

(77) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Estabilidad asintótica La solución trivial x(t) ≡ 0 del sistema ẋ(t) = f (t, x(t)); x(t0 ) = x0 es asintóticamente estable si: 1. Es Lyapunov estable.. 2. x(t, t0 , x0 ) → 0 cuando t → 0.. Regresando al ejemplo, la solución c sin(ct + d) x1 = ; x(t) = x2 c 2 cos(ct + d). c, d ∈ R.. es Lyapunov estable, pero no es asintóticamente estable porque sen(·) y cos(·) oscilan siempre y no tienden a cero cuando t → ∞.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 36 / 55.

(78) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad Estabilidad asintótica La solución trivial x(t) ≡ 0 del sistema ẋ(t) = f (t, x(t)); x(t0 ) = x0 es asintóticamente estable si: 1. Es Lyapunov estable.. 2. x(t, t0 , x0 ) → 0 cuando t → 0.. Regresando al ejemplo, la solución c sin(ct + d) x1 = ; x(t) = x2 c 2 cos(ct + d). c, d ∈ R.. es Lyapunov estable, pero no es asintóticamente estable porque sen(·) y cos(·) oscilan siempre y no tienden a cero cuando t → ∞. Desventaja Este enfoque necesita la solución analítica del sistema ! Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 36 / 55.

(79) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Definición formal de estabilidad En otras palabras, xe es un punto estable en el sentido de Lyapunov, si existe una vecindad V ⊂ U de xe tal que todas las soluciones x(t) que empiezan en x0 (t) ∈ V permanecen en U. Y es asintóticamente estable si x(t) → xe cuando t → ∞. Estable. Asintóticamente estable ( ,t0) x0(t). x0(t) ( ,t0). xe. xe. x0(t). Inestable ( ,t0) x0(t) xe. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 37 / 55.

(80) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método directo de Lyapunov El método directo de Lyapunov no usa explícitamente la solución analítica.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 38 / 55.

(81) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método directo de Lyapunov El método directo de Lyapunov no usa explícitamente la solución analítica. El método consiste en proponer una función, llamada función candidata de Lyapunov, que sirva como medida del comportamiento de la solución. Función de Lyapunov Es una función auxiliar propuesta, la cual debe de cumplir ciertas características: Una función V (t, x(t)), V : Rn → R, tal que V (t, 0) = 0, V (t, x(t)) > 0 ∀x(t) 6= 0. La función V (t, x(t)) debe ser continuamente diferenciable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 38 / 55.

(82) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método directo de Lyapunov Para calcular la derivada de V (·) con respecto a t se tiene V̇ (t, x(t)) =. ∂V dx(t) ∂V + ; ∂t ∂x dt. Si la derivada de V (·) se calcula a lo largo de las trayectorias del sistema ẋ(t) = f (x(t)), entonces se tiene que V̇ |ẋ(t)=f (x(t)) =. ∂V + ∇x V (x(t)) f (t, x(t)); ∂t. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 39 / 55.

(83) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método directo de Lyapunov Para calcular la derivada de V (·) con respecto a t se tiene V̇ (t, x(t)) =. ∂V dx(t) ∂V + ; ∂t ∂x dt. Si la derivada de V (·) se calcula a lo largo de las trayectorias del sistema ẋ(t) = f (x(t)), entonces se tiene que V̇ |ẋ(t)=f (x(t)) =. ∂V + ∇x V (x(t)) f (t, x(t)); ∂t. No existen reglas generales de cómo encontrar una función de Lyapunov adecuada para un problema determinado. Sin embargo, en muchos modelos físicos, integrales de movimiento como la función energía, frecuentemente resultan ser un buen punto de partida para buscar funciones de Lyapunov. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 39 / 55.

(84) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método directo de Lyapunov Las condiciones suficientes para la estabilidad se encuentran en los siguientes teoremas:. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 40 / 55.

(85) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método directo de Lyapunov Las condiciones suficientes para la estabilidad se encuentran en los siguientes teoremas: 1er Teorema de Lyapunov Suponga que existe una función de Lyapunov V (t, x(t)) definida positiva tal que V̇ |ẋ(t)=f (x(t)) ≤ 0;. entonces la solución trivial del sistema ẋ(t) = f (x(t)) es Lyapunov estable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 40 / 55.

(86) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Método directo de Lyapunov Las condiciones suficientes para la estabilidad se encuentran en los siguientes teoremas: 1er Teorema de Lyapunov Suponga que existe una función de Lyapunov V (t, x(t)) definida positiva tal que V̇ |ẋ(t)=f (x(t)) ≤ 0;. entonces la solución trivial del sistema ẋ(t) = f (x(t)) es Lyapunov estable. 2do Teorema de Lyapunov Suponga que existe una función de Lyapunov V (t, x(t)) definida positiva tal que V̇ |ẋ(t)=f (x(t)) ≤ −ω(kx(t)k), ω(·) > 0; entonces la solución trivial del sistema ẋ(t) = f (x(t)) es asintóticamente estable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 40 / 55.

(87) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios. Ejercicio 9 Sea un péndulo con fricción viscosa h(t) que depende del tiempo cuya dinámica se describe como: θ̈ + h(t)θ̇ + senθ = 0,. 0 < k1 ≤ h(t) ≤ k2 ;. Su representación en espacio de estados es ẋ1 = x2 ; ẋ2 = −h(t)x2 − senx1 ; Determine sus puntos de equilibrio.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 41 / 55.

(88) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Solución: Para el sistema ẋ(t) = f (t, x(t)), los puntos de equilibrio xe son donde la dinámica no cambia por lo que f (t, xe ) = 0, 0 = xeq,2 ; 0 = −h(t)xeq,2 − senxeq,1 ; Resolviendo para xeq,1 y xeq,2 , el sistema tiene infinitos puntos de equilibrio en nπ xeq,1 = ; n ∈ {0, 1, . . . , ∞}. xeq = 0 xeq,2 Físicamente, representan la posición del péndulo equilibrado de forma regular y de forma invertida, por lo que cuando n toma los valores 0, 2, 4, 6, . . . se encuentra en una punto de equilibrio asintóticamente estable (posición regular) y cuando toma los valores 1, 3, 5, 7, . . . el punto de equilibrio es inestable (posición invertida). Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 42 / 55.

(89) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 10 Sea un péndulo con fricción viscosa h(t) que depende del tiempo cuya dinámica se describe como: θ̈ + h(t)θ̇ + senθ = 0,. 0 < k1 ≤ h(t) ≤ k2 ;. Su representación en espacio de estados es ẋ1 = x2 ; ẋ2 = −h(t)x2 − senx1 ; Utilice los resultados de Lyapunov para evaluar los puntos de equilibrio del sistema.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 43 / 55.

(90) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Solución: Proponga la función candidata de Lyapunov como la energía total del sistema: 1 V (x ) = x22 + (1 − cos x1 ); 2. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 44 / 55.

(91) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Solución: Proponga la función candidata de Lyapunov como la energía total del sistema: 1 V (x ) = x22 + (1 − cos x1 ); 2 observe que solo con x(t) = 0 0 , V (x(t)) = 0 y para x(t) 6= 0, V (x(t)) > 0. La derivada de V (x(t)) es. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 44 / 55.

(92) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Solución: Proponga la función candidata de Lyapunov como la energía total del sistema: 1 V (x ) = x22 + (1 − cos x1 ); 2 observe que solo con x(t) = 0 0 , V (x(t)) = 0 y para x(t) 6= 0, V (x(t)) > 0. La derivada de V (x(t)) es ∂V dx(t) ∂V + ; ∂t ∂x dt 1 2 = ∇x x2 + (1 − cos x1 ) f (t, x(t)); 2 x2 ; = senx1 x2 −h(t)x2 − senx1. V̇ (t, x(t)) =. = x2 senx1 − h(t)x22 − x2 senx1 ; = −h(t)x22 .. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 44 / 55.

(93) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Por lo tanto se tiene que V̇ (t, x(t)) = −h(t)x22 , Para el 1er teorema de Lyapunov se requiere que V̇ (t, x(t)) ≤ 0. Como h(t) está acotada por abajo, V̇ (t, x(t)) ≤ −k1 x22 < 0,. ∀x2 6= 0;. por lo que se puede afirmar que el sistema es Lyapunov estable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 45 / 55.

(94) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Por lo tanto se tiene que V̇ (t, x(t)) = −h(t)x22 , Para el 1er teorema de Lyapunov se requiere que V̇ (t, x(t)) ≤ 0. Como h(t) está acotada por abajo, V̇ (t, x(t)) ≤ −k1 x22 < 0,. ∀x2 6= 0;. por lo que se puede afirmar que el sistema es Lyapunov estable. Para verificar el 2do teorema de Liapunov se escoge ω(kx(t)k) = k1 x22 y se concluye que el sistema es asintóticamente estable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 45 / 55.

(95) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Considere el sistema lineal ẋ(t) = Ax(t),. x(0) = x0 ,. x ∈ Rn .. Se desea investigar la estabilidad del sistema anterior. Es bien sabido que si todos los valores propios de la matriz A están en el semiplano abierto izquierdo del plano complejo, el sistema es estable. Observe que la solución del sistema siempre está dada por x(t, x0 ) = eAt x0 . La solución puede reescribirse en función de sus valores propios y vectores propios n X x(t) = ci vi eλi t , i=1. donde ci son constantes asociadas con las condiciones iniciales del sistema, vi son vectores propios y λi valores propios. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 46 / 55.

(96) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales El 2do teorema de Lyapunov para sistemas lineales da condiciones necesarias y suficientes, es decir: Si el sistema es estable, existe la función de Lyapunov V (x(t)) decreciente. Si existe la función de Lyapunov V (x(t)) decreciente, el sistema es estable.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 47 / 55.

(97) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales El 2do teorema de Lyapunov para sistemas lineales da condiciones necesarias y suficientes, es decir: Si el sistema es estable, existe la función de Lyapunov V (x(t)) decreciente. Si existe la función de Lyapunov V (x(t)) decreciente, el sistema es estable. Primero suponemos que el sistema es estable y debemos construir la función V (x(t)) tal que V̇ |ẋ(t)=Ax(t) ≤ −ω(kx(t)k),. ω(kx(t)k) > 0;. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 47 / 55.

(98) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales El 2do teorema de Lyapunov para sistemas lineales da condiciones necesarias y suficientes, es decir: Si el sistema es estable, existe la función de Lyapunov V (x(t)) decreciente. Si existe la función de Lyapunov V (x(t)) decreciente, el sistema es estable. Primero suponemos que el sistema es estable y debemos construir la función V (x(t)) tal que V̇ |ẋ(t)=Ax(t) ≤ −ω(kx(t)k),. ω(kx(t)k) > 0;. Sea ω0 (kx(t)k) = x(t)T Qx(t);. Q > 0, Q = QT. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 47 / 55.

(99) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Por lo que si, V̇ (x(t, x0 )). ẋ(t,x0 )=Ax(t,x0 ). = −ω0 (kx(t, x0 )k) = −x(t, x0 )T Qx(t, x0 );. con Q dada y x(t, x0 ) solución del sistema ẋ(t, x0 ) = Ax(t, x0 ).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 48 / 55.

(100) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Por lo que si, V̇ (x(t, x0 )). ẋ(t,x0 )=Ax(t,x0 ). = −ω0 (kx(t, x0 )k) = −x(t, x0 )T Qx(t, x0 );. con Q dada y x(t, x0 ) solución del sistema ẋ(t, x0 ) = Ax(t, x0 ). Integrando ambos miembros de la ecuación, Z ∞ Z ∞ V̇ (x(t, x0 ))dt = − x(t, x0 )T Qx(t, x0 )dt; 0 0 Z ∞ Lím V (x(t, x0 )) − V (x0 ) = − x(t, x0 )T Qx(t, x0 )dt; t→∞. 0. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 48 / 55.

(101) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Por lo que si, V̇ (x(t, x0 )). ẋ(t,x0 )=Ax(t,x0 ). = −ω0 (kx(t, x0 )k) = −x(t, x0 )T Qx(t, x0 );. con Q dada y x(t, x0 ) solución del sistema ẋ(t, x0 ) = Ax(t, x0 ). Integrando ambos miembros de la ecuación, Z ∞ Z ∞ V̇ (x(t, x0 ))dt = − x(t, x0 )T Qx(t, x0 )dt; 0 0 Z ∞ Lím V (x(t, x0 )) − V (x0 ) = − x(t, x0 )T Qx(t, x0 )dt; t→∞. 0. Como el sistema es estable,. Lím V (x(t, x0 )) = 0;. t→∞. Y para el sistema se conoce su solución x(t, x0 ) = eAt x0 . Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 48 / 55.

(102) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Sustituyendo la solución, Z ∞ T eAt x0 Q eAt x0 dt; V (x0 ) = 0 Z ∞ AT t At T e Qe dt x0 = xT0 Px0 ; = x0 0 {z } | P. En general, la expresión es válida para todo t: V (x(t)) = x(t)T Px(t),. P > 0, PT = P,. por lo tanto si el sistema es estable existe la función de Lyapunov cuya derivada es negativa.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 49 / 55.

(103) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Sustituyendo la solución, Z ∞ T eAt x0 Q eAt x0 dt; V (x0 ) = 0 Z ∞ AT t At T e Qe dt x0 = xT0 Px0 ; = x0 0 {z } | P. En general, la expresión es válida para todo t: V (x(t)) = x(t)T Px(t),. P > 0, PT = P,. por lo tanto si el sistema es estable existe la función de Lyapunov cuya derivada es negativa. Ahora si la función V (x(t)) existe y su derivada es negativa, ¿Bajo que condiciones el sistema es estable? Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 49 / 55.

(104) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Sabemos que existe V (x(t)) > 0 de la forma V (x(t)) = x(t)T Px(t),. P > 0, PT = P;. Que satisface V̇ |ẋ(t)=Ax(t) = −x(t)T Qx(t);. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 50 / 55.

(105) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Sabemos que existe V (x(t)) > 0 de la forma V (x(t)) = x(t)T Px(t),. P > 0, PT = P;. Que satisface V̇ |ẋ(t)=Ax(t) = −x(t)T Qx(t); Por lo que V̇ |ẋ(t)=Ax(t) = ẋ(t)T Px(t) + x(t)T Pẋ(t); T. = (Ax(t)) Px(t) + x(t)T P (Ax(t)) ; = x(t)T AT P + PA x(t).. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 50 / 55.

(106) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Sabemos que existe V (x(t)) > 0 de la forma V (x(t)) = x(t)T Px(t),. P > 0, PT = P;. Que satisface V̇ |ẋ(t)=Ax(t) = −x(t)T Qx(t); Por lo que V̇ |ẋ(t)=Ax(t) = ẋ(t)T Px(t) + x(t)T Pẋ(t); T. = (Ax(t)) Px(t) + x(t)T P (Ax(t)) ; = x(t)T AT P + PA x(t).. Igualando las derivadas, x(t)T AT P + PA x(t) = −x(t)T Qx(t); AT P + PA = −Q.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 50 / 55.

(107) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Ecuación de Lyapunov Un sistema lineal autónomo ẋ(t) = Ax(t) con x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n se dice estable en el sentido de Lyapunov si, dada una matriz Q ∈ Rn , Q = QT > 0, se tiene una sola solución para P = PT de la siguiente ecuación AT P + PA = −Q; A la ecuación anterior se le conoce como ecuación de Lyapunov.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 51 / 55.

(108) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Teoría de estabilidad de Lyapunov para sistemas lineales Ecuación de Lyapunov Un sistema lineal autónomo ẋ(t) = Ax(t) con x(t) ∈ Rn , A ∈ Rn×n se dice estable en el sentido de Lyapunov si, dada una matriz Q ∈ Rn , Q = QT > 0, se tiene una sola solución para P = PT de la siguiente ecuación AT P + PA = −Q; A la ecuación anterior se le conoce como ecuación de Lyapunov. Dicho de otra manera, dada la matriz Q, la ecuación de Lyapunov tiene una sola solución para P si y sólo si la matriz A tiene valores propios en el semiplano izquierdo abierto, es decir el sistema es estable. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 51 / 55.

(109) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 11 Para un sistema autónomo ẋ(t) = Ax(t), con −1 3 A= , 0 −2 determine su estabilidad utilizando el método directo de Lyapunov.. Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 52 / 55.

(110) Introducción. Estabilidad absoluta y relativa. Criterio de Routh-Hurwitz. Enfoque de Lyapunov. Ejercicios Ejercicio 11 Para un sistema autónomo ẋ(t) = Ax(t), con −1 3 A= , 0 −2 determine su estabilidad utilizando el método directo de Lyapunov. Solución: Se propone una matriz Q > 0, Q = QT y se sabe que P > 0, P = PT , por lo que una opción sería 1 0 a b Q= , P= . 0 1 b c Dr. Guillermo Valencia-Palomo – Estabilidad de sistemas dinámicos 52 / 55.