Simulación de componentes no estacionarias de viento en orografías complejas

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(2) Abstract Realistic operation of helicopter ight simulators in complex topographies (such as urban environments) requires appropriate prediction of the incoming wind, and this prediction should be made in real time. Unfortunately, the wind topology around complex topographies shows time-dependent, fully nonlinear, turbulent patterns (i.e., wakes) whose simulation cannot be made using computationally inexpensive tools based on corrected potential approximations. Instead, the full Navier-Stokes plus some kind of turbulent modeling is necessary, which is quite computationally expensive. The complete unsteady ow depends on two parameters, namely the velocity and orientation of the free stream ow. The aim of this MSc thesis is to develop a methodology for the real time simulation of these complex ows. For simplicity, the ow around a single building (20 m×20 m cross section and 100 m height) is considered, with free stream velocity in the range 5-25 m/s. Because of the square cross section, the problem shows two reection symmetries, which allows for restricting the orientations to the range 0◦ ≤ α ≤ 45◦ . The methodology includes an and the . The preprocess consists in three steps:. preprocess. oine. online operation. 1. An appropriate, unstructured mesh is selected in which the ow is simulated using OpenFOAM, and this is done for 33 combinations of 3 free stream intensities and 11 orientations. For each of these, the simulation proceeds for a suciently large time as to eliminate transients. This step is quite computationally expensive. 2. Each ow eld is post-processed using a combination of proper orthogonal decomposition, fast Fourier transform, and a convenient optimization tool, which identies the relevant frequencies (namely, both the basic frequencies and their harmonics) and modes in the computational mesh. This combination includes several new ingredients to lter errors out and identify the relevant spatio-temporal patterns. Note that, in principle, the basic frequencies depend on both the intensity and the orientation of the free stream ow. The outcome of this step is a set of modes (vectors containing the three velocity components at all mesh points) for the various Fourier components, intensities, and orientations, which can be organized as a third order tensor. This step is fairly computationally inexpensive. 3. The above mentioned tensor is treated using a combination of truncated and appropriate (as in Lorente, Velazquez, Vega, J. Aircraft, 45 (2008) 17791788). The outcome is a tensor representation of both the relevant frequencies and the associated Fourier modes for a given pair of values of the free stream ow intensity and orientation. This step is fairly computationally inexpensive.. high order singular value decomposition interpolation online operation. one-dimensional. The requires just reconstructing the time-dependent ow eld from its Fourier representation, which is extremely computationally inexpensive. The whole method is quite robust. 1.

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(4) Agradecimientos. Desde que comencé la universidad en 2008 ha habido mucha gente que ha estado junto a mí a lo largo de este viaje apoyándome, y por eso quiero agradecérselo con estas líneas. Para comenzar quiero agradecer la formación inicial que recibí por parte de Elena Martín Ortega, de la Universidad de Vigo, en el ámbito de la Mecánica de Fluidos y el CFD. A mi codirector Fernando Varas Mérida y mi director de proyecto José Manuel Vega de Prada por su inmensa paciencia, comprensión e incalculable ayuda desde que empezásemos este proyecto en Julio de 2013. Os lo agradeceré siempre. También quiero citar a mis compañeros de viaje. Hemos estado muchos años recorriendo un largo camino en el que los obstáculos parecían multiplicarse a medida que los superábamos, pero siempre hemos estado juntos y eso nos hizo mucho más fuertes. Tengo que dar las gracias por haber conocido a personas tan maravillosas como lo sois vosotros. Os desearé siempre lo mejor a todos y cada uno de vosotros. Por otro lado agradecer a toda mi familia y amigos ajenos a la universidad su apoyo incondicional durante tanto tiempo. Me gustaría mencionar especialmente a mi hermano Javi, mi cuñada Paloma y mi pareja Lucía, que estuvieron ahí siempre, ya fuera intentando entender las cosas que estudiaba o borrándome las fórmulas de mi pizarra. Muchas gracias. Por último, agradecer a las dos personas que lo dieron todo por mí y las responsables de que hoy sea quien soy: mis padres. La perfecta educación que me habéis brindado durante toda mi vida es el mejor regalo que podía recibir de nadie. Por eso, este proyecto es tan vuestro como mío.. Raúl Herrero Gómez. 1.

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(6) Índice 1 Introducción.. 9. 1.1. Formulación del problema y Antecedentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.2. Objetivos del Proyecto Fin de Carrera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2 Modelado de ujos turbulentos no estacionario. 2.1. 2.2. 13. 2.1.1. Características del movimiento turbulento.. 13. 2.1.2. Escalas del movimiento turbulento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 2.1.3. Ecuaciones del movimiento turbulento para un ujo incompresible. . .. 15. 2.1.4. Ecuación de la energía cinética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. Modelos RANS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 2.2.1 2.3. 13. Turbulencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Analisis del modelo. k − .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. Modelos URANS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3 Modelado numérico de ujos turbulentos en orografías complejas con OpenFOAM. 21 3.1. Características generales de OpenFOAM. 3.1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. Distribución de un caso de OpenFOAM. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3.2. Generación de mallados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.3. Implementación de modelos turbulentos y esquemas de resolución numérica. .. 24. 3.4. 3.3.1. Elección del algoritmo de resolución y sus parámetros asociados.. . . .. 24. 3.3.2. fvSchemes para el cálculo del caso estacionario y evolutivo.. . . . . . .. 25. para el cálculo del caso estacionario y evolutivo.. . . . . . .. 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 3.3.3. fvSolution. 3.3.4. Condiciones iniciales y de contorno.. Validación (Implementación en OpenFOAM). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.4.1. Datos del problema.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.4.2. Discusión de resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.4.3. Formulación del caso.. 37. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Modelado de orden reducido. 4.1. 4.2. 41. 4.1.1. Singular Value Decomposition.. 41. 4.1.2. High Order Singular Value Decomposition.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Aplicación al tratamiento de ujos no estacionarios. 4.2.1. 4.3. 41. Técnica HOSVD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. . . . . . . . . . . . . . .. 43. Análisis espectral y reorganización de la información. . . . . . . . . . .. 43. Técnica HOSVD con interpolación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 5 Resultados.. 71. 5.1. Caso estacionario.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5.2. Caso evolutivo.. 71. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75. 5.3. Cuestiones computacionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79. 6 Conclusiones.. 81. 3.

(7) 4.

(8) Índice de guras 1. Representación gráca de la transición de ujo laminar a turbulento. 2. Representación de las uctuaciones de velocidad ( (. 3 4. rojo ). . . . . .. azul ) en torno al valor medio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Ejemplo de mallado sobre un avión.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13 15 23. Líneas de corriente alrededor del cilindro para un cierto instante del caso no estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 5. Caso de validación del modelo con un cilindro innito. 29. 6. Coecientes de sustentación y de resistencia en función de la iteraciones del. . . . . . . . . . . . . .. algoritmo SIMPLE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 7. Líneas de corriente sobre el cilindro en el caso estacionario.. . . . . . . . . . .. 32. 8. Convergencia de las variables uidas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 9. Coecientes de sustentación y de resistencia en función del tiempo. . . . . . .. 34. 10. Power Spectrum Density del coeciente de sustentación calculado vs.. Oh. Joon Kwon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 11. PSD de la sustentación para diferentes números de Courant. . . . . . . . . . .. 35. 12. Isosupercies de viscosidad cinemática turbulenta en un instante genérico. . .. 36. 13. Isosupercies de vorticidad en un instante de tiempo . . . . . . . . . . . . . .. 36. 14. Escenario extraído de [11]. 37. 15. Representación del edicio seleccionado para la resolución de las componentes no estacionarias de viento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 16. Mallado en torno al edicio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 17. Señal temporal de un punto del campo uido en función de los pasos temporales (Caso 25m/s y orientación 0º).. 18 19 20 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Efecto del transitorio en el PSD (Caso 25m/s y orientación 45º).. . . . . . . .. Valores singulares para el caso de 5m/s y orientación 0º. . . . . . . . . . . . .. Zoom de los valores singulares para el caso de 5m/s y orientación 0º. . . . . .. 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Reconstrucción de la velocidad (Caso 5m/s y orientación 0º).. . . . . . . . . .. 51. Reconstrucción del 8 modo temporal mediante ajuste por una serie de Fourier (Caso 15m/s y orientación 31.5º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 51. Reconstrucción del 4 modo temporal mediante ajuste por una serie de Fourier (Caso 15m/s y orientación 31.5º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27. 48 49. Reconstrucción del 2 modo temporal mediante ajuste por una serie de Fourier (Caso 15m/s y orientación 31.5º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 48. .Representación de Lp junto a los valores singulares reescalados (Caso 5m/s y orientación 0º). 24. 46. Representación de Lp junto a los valores singulares reescalados (Caso 15m/s y orientación 18º) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 45 46. Reconstrucción de la solución con diferentes números de modos (Caso 5m/s y orientación 0º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 44 44. Reconstrucción de un punto del campo uido (Caso 15m/s y orientación 9º).. 52 53. 29. Reconstrucción de un punto del campo uido (Caso 5m/s y orientación 40.5º). 53. 30. Valores singulares obtenidos mediante el HOSVD del ujo medio. . . . . . . .. 55. 31. Valores singulares para los tres primeros armónicos (componente coseno).. . .. 55. 32. Valores singulares espaciales reescalados para el ujo medio. . . . . . . . . . .. 56. 33. Valores singulares espaciales reescalados para la componente coseno de los 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 34. primeros armónicos.. Modos en intensidad del tensor del ujo medio. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 35. Representación de los 3 primeros modos en dirección del tensor del ujo medio. 58. 36. Modos 4,5, y 6 en dirección del tensor del ujo medio.. 5. . . . . . . . . . . . . .. 59.

(9) 37. Solución del ujo medio calculada (Caso 10m/s y orientación de 25º ). . . . .. 38. Solución del ujo medio interpolada con 30 modos en espacio (Caso 10m/s y orientación de 25º ).. 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. Representación de la estela turbulenta de la solución interpolada en una sección oblicua (Caso 10m/s y orientación de 25º). . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 65. Representación de la estela turbulenta de la solución original en una sección oblicua (Caso 10m/s y orientación de 25º).. 50. 65. Representación de la estela turbulenta de la solución interpolada a 90 metros del suelo (Caso 10m/s y orientación de 25º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 64. Representación de la estela turbulenta de la solución original a 90 metros del suelo (Caso 10m/s y orientación de 25º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48. 64. Representación de la estela turbulenta de la solución interpolada a 10 metros del suelo (Caso 10m/s y orientación de 25º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 63. Representación de la estela turbulenta de la solución original a 10 metros del suelo (Caso 10m/s y orientación de 25º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 63. Representación de la estela turbulenta de la solución interpolada a 50 metros del suelo (Caso 10m/s y orientación de 25º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 62. Representación de la estela turbulenta de la solución original a 50 metros del suelo (Caso 10m/s y orientación de 25º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 62. Comparación de la reconstrucción de la solución interpolada con la solución obtenida mediante CFD (Caso 10m/s y orientación 25º). . . . . . . . . . . . .. 43. 61. Comparación de la reconstrucción de la solución interpolada con la solución obtenida mediante CFD (Caso 10m/s y orientación 25º). . . . . . . . . . . . .. 42. 61. Solución del ujo medio interpolada con 4 modos en espacio (Caso 10m/s y orientación de 25º ).. 41. 60. Solución del ujo medio interpolada con 10 modos en espacio (Caso 10m/s y orientación de 25º ).. 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 60. 66. Líneas de corriente del ujo medio del caso interpolado(Caso 10 m/s y orientación de 25º).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 52. Valores singulares obtenidos mediante el HOSVD del ujo medio reescalado. .. 68. 53. Valores singulares para los tres primeros armónicos (componente coseno) del tensor reescalado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68. 54. Valores singulares espaciales reescalados para el ujo medio reescalado. . . . .. 69. 55. Valores singulares espaciales reescalados para la componente coseno de los 3 primeros armónicos.. 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 69. Isosupercies de vorticidad (caso 5m/s y orientación de 0º). . . . . . . . . . .. 71. Isosupercie de vorticidad (Caso 5 m/s y orientación de 0º). . . . . . . . . . . Isosupercies de viscosidad turbulenta (Caso 25 m/s y orientación de 45º).. 71. .. 72. . . .. 72. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. Isosupercies de energía cinética turbulenta (Caso 5m/s y orientación 0º). . .. 73. Isocurvas de viscosidad turbulenta (Caso 25 m/s y orientación de 45º). Curvas isóbaras (Caso 5 m/s y orientación 0º).. Isosupercies de vorticidad (Caso 5m/s y orientación 0º).. . . . . . . . . . . .. Isosupercie de vorticidad (Caso 15 m/s y orientación de 27º). Isosupercie de vorticidad (Caso 15 m/s y orientación de 27º).. 74. . . . . . . . .. 75. . . . . . . . .. 75. Isosupercies de viscosidad turbulenta (Caso 25 m/s y orientación de 45º).. Isocurvas de viscosidad turbulenta (Caso 25 m/s y orientación de 45º).. .. 76. . . .. 76. Curvas isóbaras (Caso 25 m/s y orientación 45º). . . . . . . . . . . . . . . . .. Curvas isóbaras (Caso 15 m/s y orientación 31.5º). . . . . . . . . . . . . . . .. 77 77. Distribución temporal de la presión sobre el suelo (Caso 15 m/s y orientación 31.5º). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 78.

(10) Índice de cuadros 1. Tamaño de la malla del ejemplo anterior.. 2. Esquemas numéricos para el caso estacionario y evolutivo. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3. Factores de relajación para la resolución de las ecuaciones del movimiento. . .. 26. 4. Nomenclatura de las fronteras del dominio uido. 27. 5. Condiciones de contorno para las fronteras de entrada. 6. Condiciones de contorno para las fronteras de salida. 7. Condiciones de contorno en la pared. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 27. . . . . . . . . . . . . . .. 27. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 8. Dimensiones de la malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 9. Condiciones de la simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 10. Características principales de la malla usada sobre el cilindro. . . . . . . . . .. 30. 11. Dimensiones características del edicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 12. Dimensiones del dominio computacional. 38. 13. Características de la malla estructurada del caso. 14. Características de la malla no estructurada. 15. Distancias de renamiento de la malla. 16. Características de los clústers empleados.. 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79.

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(12) 1 Introducción. 1.1 Formulación del problema y Antecedentes. En el ámbito de los simuladores de vuelo, el correcto cálculo de la capa límite atmosférica es el pilar fundamental para obtener un campo de velocidades y presiones acorde con la realidad. De manera habitual las componentes no estacionarias de viento se elaboran de modo sintético para superponerse al campo de vientos obtenido mediante una modicación del campo asociado a una capa límite atmosférica. Sin embargo, es claro que este enfoque, que asume un comportamiento isotrópico de las uctuaciones y además debe elegir las frecuencias características exclusivamente a partir de la intensidad de viento estacionario y del tamaño del obstáculo, no resulta satisfactorio a la hora de proporcionar campos de vientos realistas en orografías complejas. Una alternativa para que un simulador de vuelo proporcione una buena aproximación de estos campos de vientos locales pasa por su simulación numérica. Pero esto tiene un inconveniente, su elevado coste computacional (incluso con delidades moderadas) hace que sea imposible su implementación directa en el simulador de vuelo. Para la aproximación numérica de la capa límite atmosférica se dispone de varios métodos, siendo los más viables en cuanto a coste computacional y precisión los RANS (Reynolds Average Navier-Stokes) y los LES (Large Eddy Simulation). Los más extendidos son los RANS debido a su bajo coste computacional en comparación con los LES. Cuando el campo de velocidades se calcula a través de un modelo RANS (que modele la energía cinética turbulenta), ciertamente se dispone de alguna información adicional sobre las uctuaciones de frecuencias más elevadas que las de interés, donde están englobadas todas aquellas que hacen sensible el pilotaje del helicóptero. Quedaría la opción de llevar a cabo un delicado y costoso estudio de la correlación entre ambas escalas para el tipo de ujos considerados. Las simulaciones numéricas son muy costosas y hay que buscar una alternativa a la realización de muchas simulaciones y a la extracción de correlaciones de ellas. Esta alternativa se basa en resolver los campos no estacionarios de vientos y postprocesarlos con el n de usar la información que albergan con un coste computacional muy bajo, e implementarlo en una herramienta que opere en tiempor real. En la actualidad, un grupo de investigadores del Departamento de Fundamentos Matemáticos y del Departamento de Motopropulsión y Termouidodinámica, en colaboración con investigadores de la Universidad de Sevilla y la Universidad de Vigo, que ya habían empezado a trabajar en esto, se plantea el desarrollo de un prototipo funcional de servidor de vientos en tiempo real destinado a su implementación en un simulador de vuelo. El desarrollo de un prototipo funcional de servidor de vientos en tiempo real pasa por resolver varias dicultades. La primera de ellas, ya solventada, es la puesta a punto de una metodología eciente y semiautomática para la simulación numérica de los campos de vientos en orografías complejas, representada mediante los cálculos estacionarios. Para ello, en primer lugar hay que poner a punto una metodología para explotar de modo eciente en tiempo real estos cálculos estacionarios. Este objetivo es el contenido del PFC de Víctor Asensio Palacios, desarrollado en paralelo a este proyecto. Por otro lado, es necesario establecer una metodología de simulación eciente de las componentes no estacionarias de viento en orografías complejas y su explotación en tiempo real. Este es el objetivo del presente proyecto n de carrera. Las herramientas que se emplean en este PFC pueden dividirse en dos grupos: por un lado deben resolverse los campos de vientos no estacionarios, y para ello se emplea el software libre OpenFOAM (. Open Field Operation and Manipulation ).. Una vez han sido calculados. los campos, es necesario extraer de ellos una información relevante, mediante un postpro-. 9.

(13) cesado, para poder explotarlos en tiempo real. Para ello, las herramientas básicas que se presentan serán una combinación de FFT, herramientas de optimización, métodos de tipo POD/SVD/HOSVD, e interpolación. Para entender la herramienta de postprocesado y explotación en tiempo real hay que denir los métodos que la componen así como la relación existente entre ellos. La descomposición en valores singulares de una matriz (SVD,. Singular Value Decomposition ) fue. desarrollada independientemente por Beltrami y Jordan en 1874 y está íntimamente relacionada con la descomposición ortogonal propia (POD,. Proper Orthogonal Decomposition ),. inventada por Pearson [57] en 1906; dependiendo del contexto, la descomposición POD se denomina descomposición de Karhunen-Loeve, o también análisis de componentes principales (PCA,. Principal Component Analysis ).. Estas dos descomposiciones se aplican a matrices,. que también se pueden ver como sistemas de vectores (las las o las columnas), o como bases de datos bidimensionales. La extensión de estas ideas a dimensión mayor que dos (es decir, bases de datos multidimensionales, que también pueden verse como tensores) no es, en absoluto obvia. De hecho, la extensión natural de la SVD a dimensión mayor que dos conduce a un problema matemático mal planteado, relacionado con la denición y cálculo efectivo del rango de un tensor, que es, todavía hoy, un problema no resulto [59]. De entre varias extensiones de la SVD a dimensión mayor [49], la descomposición en valores singulares de alto orden (HOSVD,. High Order Singular Value Decomposition ), debida a Tucker [33] y. popularizada más recientemente por Lathauwer et al.[10] tiene las ventajas de ser computacionalmente accesible y robusta. Permite extraer modos de comportamiento, o patrones, a lo largo de cada dirección del tensor. Además, tales modos están jerarquizados, de modo que truncando la descomposición, se tiene un modelo virtual comprimido del tensor. Por otro lado, cuando el tensor resulta de discretizar parámetros o variables físicas, se tiene dos ventajas. En primer lugar, las leyes físicas subyacentes conducen a redundancias que permiten describir la base de datos entera mediante una pequeña cantidad de modos. En segundo lugar, teniendo en cuenta el origen de los datos, puede interpolarse en los modos, lo que conduce a una descripción continua de la relación funcional que representa la base de datos, para valores intermedios de las variables o parámetros. Esta idea, es decir, la combinación de estas descomposiciones con la interpolación, fue inventada por el grupo de Karen Wilcox en MIT [46,47], combinando interpolación con POD y siguiendo, en cierto modo, ideas seminales de Sirovich [60,61], quien puso por primera vez de maniesto la potencia de los modos de tipo POD/SVD en el tratamiento de datos aerodinámicos y de otros orígenes. La extensión de esta idea a dimensión mayor se debe a un grupo de la ETSI Aeronáuticos [50,51]. Esta idea ha demostrado su utilidad en una variedad de campos, tales como el control en tiempo real de sistemas de ingeniería [48], la compresión de bases de datos aerodinámicos [52], el muestreo de datos aerodinámicos [53], el diseño aeronáutico [64,65] y la construcción de modelos surrogados para el cálculo directo de magnitudes aerodinámicas [56]. En este PFC se van a utilizar precisamente estos métodos, cuya robustez está hoy bien establecida.. 10.

(14) 1.2 Objetivos del Proyecto Fin de Carrera. El objetivo del presente proyecto n de carrera es desarrollar una metodología para el cálculo de componentes no estacionarias de ujos turbulentos en geometrías complejas y su posterior explotación en tiempo real en un simulador de vuelo. La estructura del PFC es la siguiente:. . Selección de un modelo de ujo turbulento no estacionario de tipo URANS (Unsteady RANS) adecuado para el modelado de los campos de vientos no estacionarios en orografías complejas.. . Desarrollo de una metodología eciente para la resolución del modelo URANS, que deberá prestar especial atención al control del coste computacional.. . Análisis del efecto de los esquemas de integración temporal del modelo URANS sobre la selección de escalas temporales que son ltradas o resueltas por el modelo.. . Estudio de modos ecientes de almacenar y postprocesar las soluciones del modelo URANS de cara a su explotación en tiempo real mediante Modelos de Orden Reducido.. 11.

(15) 12.

(16) 2 Modelado de ujos turbulentos no estacionario. En este apartado, se presenta unas nociones básicas sobre turbulencia y el modelo numérico empleado para realizar las simulaciones. Se justicará el uso de un modelo RANS así como de las distintas aproximaciones.. 2.1 Turbulencia. 2.1.1 Características del movimiento turbulento. La mayoría de los ujos de uido que observamos en la vida cotidiana tienen un carácter turbulento, como el que se da alrededor de las aeronaves, edicios o nosotros mismos. La capa límite así como la estela que generan estos cuerpos son turbulentas. Otro ejemplo se puede encontrar en las cámaras de combustión de los motores (ya sean de reacción o alternativos), donde las mezclas de aire y combustible deben hacerse con mucha turbulencia para crear una mezcla homogénea.. Figura 1: Representación gráca de la transición de ujo laminar a turbulento. Así las características principales de un ujo turbulento son:. . Movimiento irregular y caótico, que parece aleatorio pero obedece a las ecuaciones de Navier-Stokes. Está constituido por torbellinos de diferentes tamaños cuya energía se va transmitiendo a las escalas más pequeñas. Debido a los esfuerzos viscosos, en las escalas pequeñas son disipadas en energía térmica, provocando un aumento de la temperatura.. 13.

(17) . Aumenta la difusividad, lo que es causa del incremento del intercambio de cantidad de movimiento. Esto reduce o retrasa la separación de la capa límite pero aumenta tanto la resistencia aerodinámica como la transferencia de calor.. . Movimiento disipativo.. . A pesar de que posee escalas muy pequeñas, siguen siendo mucho mayores que la escala molecular, por lo que se considera como un medio continuo.. 2.1.2 Escalas del movimiento turbulento. Las escalas del movimiento turbulento pueden dividirse en dos tipos:. . Las escalas grandes, que extraen la energía del ujo principal y a través del proceso en cascada transeren la energía cinética a las escalas más pequeñas. Estas escalas son del orden de la geometría del ujo, con velocidad y longitud. . v0. y l0 respectivamente.. Las escalas más pequeñas donde tiene lugar la disipación de la energía cinética son denominadas escalas de Kolmogorov. Las variables características son:. vη = (ν)1/4. (1). ν 3 1/4 ) . (2). ν τη = ( )1/2 . (3). lη = (. En el contexto de la escala de Kolmogorov,. vη. es la velocidad, lη la longitug de la escala y. el tiempo característico de dicha escala. Las variables. ν. y. τη se corresponden con la viscosidad. cinemática y la disipación de energía cinética turbulenta respectivamente.. vi3 li , se puede estimar la relación entre las escalas grandes y las pequeñas de torbellinos en función del número de Re: Teniendo en cuenta que. =. v0 = (Re)1/4 vη. (4). l0 = (Re)3/4 lη. (5). τ0 = (Re)1/2 τη. (6). Como se puede observar en las relaciones anteriores, el número de Re juega un papel muy importante en las variables características de la turbulencia. Por ejemplo, el ujo que se da alrededor de un coche de unos 2m de longitud que avanza a una velocidad de 90Km/h tiene. 3×106 . Para realizar una simulación de la escala de Kolmogorov en 3 14 una región de 1 m se necesitaría una malla con 4 × 10 celdas. Si esto se aplica a un avión un Re aproximado de. del tamaño del. Airbus A320. de deduce que este tipo de simulación se vuelve inviable, tanto. por coste computacional cómo por tamaño de los datos generados.. 14.

(18) 2.1.3 Ecuaciones del movimiento turbulento para un ujo incompresible. Para el vuelo de aeronaves de ala rotatoria en zonas de orografía compleja o entornos urbanos, la consideración de ujo incompresible es una hipótesis justicada, ya que las velocidades de vuelo son muy bajas. Las variables de un movimiento turbulento se pueden descomponer en 2 componentes, una estacionaria y otra debida a las uctuaciones:. azul ). Figura 2: Representación de las uctuaciones de velocidad (. rojo ). en torno al valor medio. (. pi = p¯i + p0i. (7). vi0. (8). vi = v¯i +. Las ecuaciones de Navier Stokes para un ujo incompresible son:. ∂vi =0 ∂xi ρ. ∂vi ∂vi vj ∂p ∂ 2 vi +ρ =− +µ ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj. (9). (10). El término gravitatorio se ha absorbido en el gradiente de presiones, de modo que la presión que aparece es la presión reducida. Para este capítulo se considera la notación de índices repetidos de Einstein.. 15.

(19) Introduciendo las relaciones. (7) y (8) en las ecuaciones (9) y (10) se obtienen las ecua-. ciones de la mecánica de uidos para un ujo incompresible turbulento:. ∂vi0 =0 ∂xi. ∂v i =0 ∂xi ρ. ∂(−vi0 vj0 ) ∂v i ∂v i v j ∂p ∂ 2 vi +ρ =− +µ +ρ ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj ∂xi. (11). (12). Estas ecuaciones aparecen escritas para los valores medios de la presión y velocidad, pero con la diferencia en el último término de la segunda ecuación, denominado tensor de esfuerzos aparentes de Reynolds, que sólo depende de las componentes de uctuación turbulenta de la velocidad. Este tensor es simétrico, por lo que para poder calcular las propiedades medias del ujo hay que calcular previamente los 6 esfuerzos aparentes de Reynolds que conforman el tensor.. (11) y de cantidad de mo(12), junto con las condiciones de contorno e iniciales, no bastan para determinar. En el movimiento turbulento, las ecuaciones de continuidad vimiento. el movimiento medio de un uido incompresible y con viscosidad constante, debido a la presencia de los esfuerzos aparentes, que son desconocidos. Es preciso buscar entonces información adicional, tratando de determinar la forma de dichos esfuerzos, o recurrir a la experimentación.. 2.1.4 Ecuación de la energía cinética. La energía cinética del movimiento medio K se representa con la expresión,. K=. 1 vi vi 2. (13). y la energía cinética media de las uctuaciones turbulentas,. k=. 1 0 0 vv 2 i i. (14). Por tanto, la ecuación de la energía cinética del movimiento turbulento medio queda,. ρ donde. ∂v i Sij = 12 ( ∂x + j. ∂K ∂K ∂(vi τij ) + ρvi = + ρvi0 vj0 Sij − Φv ∂t ∂xj ∂xj. ∂v j ∂xi ),. τij = −pδij + 2µSij − ρvi0 vj0. y. (15). Φv = 2µSij Sij. La ecuación de la energía cinética debido a las uctuaciones turbulentas se dene como,. ∂k ∂vj k ∂v i ∂ 1 0 0 1 0 0 0 ∂k ∂v 0 ∂vi0 + = −vi0 vj0 − ( vj p + vi vi vj − ν )−ν i ∂t ∂xj ∂xj ∂xj ρ 2 ∂xj ∂xj ∂xj. 16. (16).

(20) . El primer término de la derecha representa la Producción (incluido el signo negativo). Se corresponde con el producto de una aceleración por una velocidad. Cuando estos dos elementos van en direcciones opuestas, el producto es positivo y se extrae energía cinética del ujo medio, por parte de las uctuaciones turbulentas, que es transferida a la turbulencia.. . El segundo y tercer término representa la difusión turbulenta debido a las uctuaciones de presión-velocidad y debido a las uctuaciones de velocidad respectivamente.. . El cuarto término es la Difusión molecular. Es la responsable de la difusión de la energía turbulenta debido a los mecanismos naturales de transporte molecular del uido.. . El quinto término es la Disipación. Es responsable de la transformación de la energía cinética en energía interna en las escalas más pequeñas. De forma reducida se puede expresar como. ∂k → − + vj ∇k = P − + ν∇2 k − ∇· T ∂t P = −vi0 vj0. R τij ∂v i ∂v i = ∂xj ρ ∂xj. (18). ∂vi0 ∂vi0 ∂xj ∂xj. (19). 1 0 0 1 0 0 0 v p + vi vi vj ρ j 2. (20). =ν Ti =. (17). Los torbellinos más grandes contribuyen en mayor medida al término de producción que los pequeños. Las razones de esta armación son,. 1. Los esfuerzos de Reynolds son mayores en los torbellinos grandes.. 2. Para extraer energía del ujo principal, la escala de tiempos del torbellino y el gradiente de velocidad del ujo deben ser del mismo orden.. A la hora de resolver las ecuaciones de Navier-Stokes hay 3 principales posibilidades (ordenadas de forma decreciente con el coste computacional y con la precisión de la solución): DNS, LES y RANS. La simulación DNS se basa en resolver las ecuaciones de Navier-Stokes en cada punto del espacio sin emplear simplicaciones. Debido a la gran cantidad de escalas presentes en un movimiento turbulento esto hace que los costes computacionales no sean asumibles en al ámbito industrial. Su uso principal suele ser académico para la validación de modelos y aproximaciones. Los modelos LES se basan en la resolución de todas las escalas de torbellinos hasta la denominada escala de Smagorinsky, por debajo de la cual, la turbulencia es modelizada. Tiene una gran precisión pero el coste computacional sigue siendo elevado y los tamaños de. 17.

(21) malla necesarios bastante grandes. Los modelos RANS son modelos basados en aproximar el tensor de esfuerzos de Reynolds. Pueden ser de 2 tipos:. . De primer orden. Se supone que los esfuerzos aparentes de Reynolds son de la misma forma que los esfuerzos viscosos (denominado modelo de Boussinesq) pero con una viscosidad cinemática turbulenta que hay que determinar.. −vi0 vj0 = νT Sij. (21). Así los modelos de primer orden se clasican en función del número de ecuaciones que hay que resolver para obtener. νT .. Como ejemplos se pueden citar los modelos algebraicos (0. ecuaciones, como el modelo de longitud de mezcla de Prandtl), Spallart-Allmaras(1 ecuación) o los modelos. . k−ω. y. k − (2. ecuaciones).. De segundo orden. Modelizan términos de las ecuaciones de evolución de cada uno de los esfuerzos de Reynolds (Reynolds Stress Transport Model, RSTM) o usan dichas ecuaciones de evolución para predecir los esfuerzos de Reynolds de una forma más precisa que con el modelo de Boussinesq (Algebraic Reynolds Stress Model, ARSM).. Los modelos RANS estacionarios asumen que todas las uctuaciones temporales se producen en escalas muy rápidas que no se quieren resolver, al tiempo que los modelos URANS tratan de extraer una parte de las escalas temporales, que coincidirán con aquellas que caen en frecuencias de interés práctico y, al depender del problema particular que se resuelve, no pueden modelarse de primeras (como tratan de hacer las uctuaciones sintéticas de alta frecuencia). Para obtener más información sobre los modelos citados se puede consultar la bibliografía [1, 2].. 18.

(22) 2.2 Modelos RANS. 2.2.1 Analisis del modelo k − . El modelo. k−. es el más extendido por su facilidad a la hora de resolver ujos complejos. aunque con ciertas limitaciones. La ecuación. (17). proporciona la evolución de la energía. cinética asociada a las uctuaciones. Este modelo aproxima el término. → − ∇· T. como. νT σk ∇k .. Las ecuaciones modelizadas son las siguientes Viscosidad cinemática. νT = Cµ. k2 . (22). Energía cinética turbulenta. R τij ∂k ∂v i ∂ νT ∂k ∂k + vj = −+ ((ν + ) ) ∂t ∂xj ρ ∂xj ∂xj σk ∂xj Tasa de energía turbulenta disipada. (23). . R ∂ ∂ τij ∂v i 2 ∂ νT ∂ + vj = C1 − C2 + ((ν + ) ) ∂t ∂xj k ρ ∂xj k ∂xj σ ∂xj. (24). Coecientes de cierre. C1 = 1,44 El modelo. . k−. C2 = 1,92. Cµ = 0,09. C1 = 1,44. σk = 1. σ = 1,3. (25). tiene 2 debilidades principales:. Sobrepredice el esfuerzo cortante en zonas con gradiente adverso de presión debido a que la escala de longitudes es muy grande (hay poca disipación).. . Requiere modicación en zonas cercanas a la pared.. k− es el modelo k−ω . Se basa en estimar la viscosidad turbulenta k y la tasa de disipación de la energía cinética turbulenta especíca ω . Ambos métodos asumen la hipótesis de que las uctuaciones Otro modelo similar al. como una función de la energía cinética turbulenta. de presión provocadas por los torbellinos transmiten la energía cinética desde las zonas con alta turbulencia a zonas con una intensidad turbulenta menor mediante un proceso difusivo. La relación entre. ω. y. . es. ω= El modelo. k−ω. Cµ k. (26). presenta mejores propiedades en la descripción del ujo en zonas cercanas. 19.

(23) a la pared y el desprendimiento de la capa límite. La combinación de los dos modelos descritos antes originan el modelo SST (Shear Stress Transport). Se basa en combinar el modelo. k−. k−ω. en la zona interior de la capa límite, y el. en la zona exterior de la capa límite y fuera de ella.. 2.3 Modelos URANS. Una alternativa a los modelos LES es el. Unsteady Reynolds Averaged Navier-Stokes (URANS).. La característica de los modelos URANS es que la longitud de escala turbulenta no está determinada por la malla, mientras que en el método LES sí. Los URANS emplean la descomposición de Reynolds. 1 v(t) = 2T. t+T . v = v + v 00 =< v > +v 0 + v 00. v(t)dt,. (27). t−T La velocidad en este caso se descompone en dos elementos: un campo de velocidades resuel-. 00. tas (v ) y unas uctuaciones modeladas (v ). A su vez, las velocidades resueltas se pueden descomponer en dos elementos más: una parte promediada (<. v >). y unas uctuaciones. 0. resueltas (v ).. <v>. Valor del ujo estacionario (Promedio temporal para un intervalo. v0. Fluctuación resuelta. v 00. Fluctuación modelada. T −→ ∞). Las ecuaciones que se emplean en este método son las mismas que en los modelos RANS, descritas en el apartado 2.2, con la salvedad de que se retiene el término temporal en la resolución de las ecuaciones.. La primera pregunta que se puede plantear sobre los métodos URANS es qué modelos de turbulencia proporcionan una buena aproximación en las soluciones. Como en los casos anteriores, depende del tipo de ujo que se quiera estudiar. En el caso de este PFC, las supercies que intervienen en la resolución son complejas (rascacielos, aeropuertos, altimetrías complicadas...) y tienen una gran cantidad de desprendimiento de vórtices. El desprendimiento es más facilmente predecible en cuerpos angulosos como tales, pues el punto de desprendimiento se calculará bien porque coincide con los ángulos. Por otro lado, en relación con la disipación de las uctuaciones, el modelo. k−. proporciona mucha disipación modelada,. lo que amortigua las uctuaciones que se resuelven. La razón por la que las uctuaciones turbulentas no son amortiguadas por el modelo es porque el despredendimiento de vórtices es muy grande [1]. Además de esto, se debe asegurar que tampoco el esquema numérico de integración temporal que se emplee amortigua estas uctuaciones. Éste último apunte se discutirá en el capítulo siguiente.. 20.

(24) 3 Modelado numérico de ujos turbulentos en orografías complejas con OpenFOAM. 3.1 Características generales de OpenFOAM. OpenFOAM es una herramienta destinada a la simulación numérica basada en esquemas de volúmenes nitos, orientada de forma especial a la simulación numérica de mecánica de uidos (CFD). Es capaz de resolver ujos de todo tipo (ej. ujos laminares, turbulentos, compresibles, con transferencia de calor...), así como otros campos como problemas de electromagnetismo, resistencia de materiales, etc. La ventaja de este software es que es libre y programado en C++, aunque una de las más funcionales es su capacidad de ejecutarse en paralelo. Las aplicaciones de OpenFOAM se pueden dividir en 2 categorías:. . Solvers. Están creados para resolver un problema especíco (ej. simpleFoam resuelve un ujo turbulento estacionario).. . Utilities. Están creadas para llevar a cabo tareas de manipulación de datos, tanto preutility llamada vorticity genera el campo de vor-. como post-procesado de datos (ej. la. ticidad a partir de la solución de velocidad obtenida).. El hecho de que sea un código libre y escrito en un lenguaje común como C++ hace que tanto. solvers. como. utilities. puedan ser generados por cualquier usuario con ciertos conoci-. mientos y el resto de personas puedan utilizarlos.. 3.1.1 Distribución de un caso de OpenFOAM. La distribución de archivos y carpetas de una simulación es estándar. Las carpetas que conforman un caso son. . 0. Esta carpeta contiene los archivos con las condiciones iniciales y de contorno de la simulación. En el caso de usar un modelo. k − ,. los archivos de condiciones que. hay que meter son para la presión (p), velocidad (U ), energía cinética turbulenta (k ), disipación de la energía cinética turbulenta () y viscosidad turbulenta (νt ). En el caso de caso de que la entrada sea una capa límite atmosférica deberá llevar a su vez una. include donde se añadirán 2 archivos más, llamados InitialConditions ABLConditions. Estos archivos de texto contienen las variables que determinarán la. carpeta llamada y. capa límite atmosférica. En el caso de la viscosidad cinemática turbulenta se le impone una condición inicial y de contorno aunque no son necesarias, ya que es calculada con la expresión. (22).. El hecho de ponerlo así genera un archivo para cada solución en el. que almacena el valor de. . νt en. todo el campo uido.. constant. Contiene tanto cheros de texto como directorios. Los archivos que hay son. RASProperties. se ja el modelo de turbulencia que se va a emplear así como la. activación de la turbulencia.. 21.

(25) transportProperties. se muestran los valores de las constantes que intervienen en. las ecuaciones de Navier-Stokes, en este caso será el valor de la viscosidad cinemática del aire (ν ).. turbulenceProperties opción es. RASModel.. se selecciona el modelado de la turbulencia, en este caso la. A parte de estos cheros de texto, también contiene 2 directorios. triSurface. Contiene los archivos STL con las geometrías del problema. polyMesh. Inicialmente contiene el archivo blockMeshDict, con el que se genera la malla estructurada que sirve de base para generar el mallado no estructurado.. . system. Contiene los archivos. controlDict. En este archivo se especica el solver. que se va a emplear, así como. variables de control del mismo.. fvSchemes. Abarca los esquemas numéricos que se emplean en la simulación. fvSolution. Comprende los solver que emplea cada variable. Dicho solver se reere al método de resolución de los sistemas de ecuaciones lineales que resultan de la discretización numérica de las ecuaciones.. snappyHexMeshDict. Genera la malla no estructurada. Otros.. 3.2 Generación de mallados. A la hora de obtener la solución númerica del campo uido sobre una orografía compleja se debe prestar especial atención a la malla. No debe contener celdas muy grandes en zonas de estela ni elementos sin una ortogonalidad mínima, lo que puede causar problemas de convergencia (ej. al haber celdas grandes, OpenFOAM intenta resolver estructuras turbulentas más pequeñas que el tamaño de celda y así se originan inestabilidades numéricas). Para la generación de mallados en OpenFOAM se disponen de 2. . utilities :. blockMesh. Genera una malla cartesiana sobre un paralelepípedo de referencia. snappyHexMesh.. Genera la malla no estructurada del caso a partir de la malla car-. tesiana generada con. blockMesh.. Esta. utility. es una herramienta muy potente pues. permite generar mallas tridimensionales que contienen hexaedros y hexaedros divididos automáticamente desde supercies con geometrías trianguladas en formato STL (Stereolithography format). La malla se adapta a la supercie tras varias iteraciones de renamiento partiendo desde la malla original.. 22.

(26) En el momento de generar la malla no estructurada con. snappyHexMesh hay que tener utility hay que generar. en cuenta todas las posibilidades que nos brinda. Para emplear esta un diccionario, que se llamará. snappyHexMeshDict. cuyo formato es genérico para cualquier. caso. En el campo uido hay zonas que tienen un interés mayor que otras, como pueden ser zonas de estela de los edicios o zonas cercanas a la pared. Esto es así porque a mayor renamiento de estas zonas, mejor se captará el carácter turbulento del movimiento y las estructuras turbulentas presentes en el movimiento. Las zonas de renamiento pueden hacerse de varias maneras con. snappyHexMesh, desde. la adición de capas con un coeciente de expansión entre la primera y la última, hasta la selección de zonas especícas, ya sea mediante distancia a los objetos o cajas de renamiento. En este caso, se ha empleado una técnica de mallado en función de la distancia a los edicios ya que reduce el número de celdas necesarias y tiene una mayor ortogonalidad que la malla generada mediante adición de capas. Este método de mallado es muy robusto y permite ser aplicado a cualquier elemento distinto de una orografía compleja, como el presentado a continuación. Figura 3: Ejemplo de mallado sobre un avión.. Tamaño de malla cartesiana. 85x36x16m. Número de celdas malla cartesiana. 100000. Número de celdas malla nal. 1653086. Nº celdas 1er nivel de renamiento. Nº celdas 2do nivel de renamiento Nº celdas sin renamiento. 271758 1336918 44410. Cuadro 1: Tamaño de la malla del ejemplo anterior.. 23.

(27) 3.3 Implementación de modelos turbulentos y esquemas de resolución numérica. Este proyecto consta de dos partes bien diferenciadas dentro de la parte de CFD, el cálculo de la solución estacionaria y de la solución evolutiva. La elección del. solver. lineal es la última etapa en la discretización numérica que, además,. sólo afecta (salvo que se elija muy mal) a los tiempos de cálculo, pero no a la calidad de la solución numérica (que depende de la malla y la aproximación de los ujos) ni a la convergencia del algoritmo de cálculo (que depende del iterante inicial y los parámetros de relajación). Debido a esto, la distribución del capítulo es la siguiente 1. Elección del algoritmo de resolución y sus parámetros asociados. 2.. fvSchemes. para el cálculo del caso estacionario y evolutivo.. 3.. fvSolution. para el cálculo del caso estacionario y evolutivo.. 3.3.1 Elección del algoritmo de resolución y sus parámetros asociados. En el caso del cálculo del estacionario se selecciona el algoritmo SIMPLE [4] en el archivo. ControlDict. mediante el. solver simpleFoam, destinado al cálculo de la solución estacionaria. de un ujo turbulento incompresible. Los parámetros asociados a este algoritmo son. . Factores de relajación (relaxationFactors). Éste parámetro se encuentra en el archivo. . fvSolution. Se escogen los valores de 0.3 para p,k, y de 0.7 para U.. Correcciones de no ortogonalidad (nNonOrthogonalCorrectors). Se jan el parámetro en 6.. . Criterio de convergencia (residualControl). Éste parámetro, perteneciente a. lution,. fvSo-. decide cuando se detiene el cálculo iterativo de la aproximación del problema. estacionario. Su valor para. U,k y es de 1 × 10−3 mientras que para p. es de. 5 × 10−3 .. ControlDict solver pimpleFoam. A continuación se describe su funcionamiento [4]. En el caso del evolutivo se selecciona el algoritmo PIMPLE en el archivo mediante el. 1. Al principio del paso temporal,. pimpleFoam. aplica el algoritmo PISO a las variables. acopladas presión-velocidad, típicamente con dos bucles del PISO, y resuelve las ecuaciones de transporte para las variables turbulentas.. 2. Si el parámetro de control cumple. nOuterCorrectors>1,. el algoritmo vuelve atrás y. realiza otra integración (como la del apartado 1), pero usando esta vez como valores iniciales los obtenidos en la integración anterior.. 3. El punto 2 se repite tantas veces como indique el valor de. nOuterCorrectors.. valor de este parámetro es 1, el algoritmo PIMPLE funciona como PISO.. 24. Si el.

(28) Los parámetros asociados a este algoritmo son. . Factores de relajación (relaxationFactors). Éste parámetro se encuentra en el archivo. . . fvSolution.. Correcciones de no ortogonalidad (nNonOrthogonalCorrectors). Está ubicado en. Solution. Criterio de convergencia (residualControl). Éste parámetro, perteneciente a. lution,. . fvSo-. decide cuando se detiene el cálculo iterativo de la aproximación del problema. estacionario. Su valor para. . fv-. y se ja su valor en 6.. U,k y es de 1 × 10−3. mientras que para. p. es de. 5×10−3 .. Control de iteraciones de las ecuaciones RANS (nOuterCorrectors). Está ubicado en. fvSolution. y se ja su valor en 1.. Número de iteraciones de la ecuación de presión (nCorrectors). 3.3.2 fvSchemes para el cálculo del caso estacionario y evolutivo.. fvSchemes. Como se comentó anteriormente, el archivo. contiene los esquemas numéricos que. se emplean para resolver cada término de las ecuaciones.. Término de la ecuación. Esquema numérico empleado. Gauss linear Gauss VanLeer Gauss linear corrected linear corrected. gradSchemes divSchemes laplacianSchemes interpolationSchemes snGradSchemes. Cuadro 2: Esquemas numéricos para el caso estacionario y evolutivo.. A parte de estos esquemas numéricos, quedaría determinar el esquema de integración temporal para ambos casos. En el estacionario que en el caso evolutivo lleva. Euler.. ddtSchemes lleva la opción steadyState. mientras. 3.3.3 fvSolution para el cálculo del caso estacionario y evolutivo. Para seleccionar el tipo de solver que se va a emplear en cada ecuación se genera el archivo. fvSolution. A continuación se exponen los seleccionados para la resolución del caso. Solver de la ecuación de presión. Para esta ecuación se ha elegido un solver multimalla,. GAMG (Geometric-algebraic multi-. grid). Este método consiste en generar una solución en poco tiempo en una malla con un número pequeño de celdas, interpolando el resultado en una malla más na y usando esta solución como condición inicial para obtener una precisión mayor [7]. Como se. smoother ) para el solver. Tras realizar. explica en [5], se debe especicar un suavizador (. varias pruebas de velocidad y convergencia se seleccionó la factorización incompleta de Cholesky (DIC), que ofrece una convergencia más rápida que. 25. GaussSeidel..

(29) Solver de la ecuación de cantidad de movimiento y k − . El solver que se ha seleccionado es el PBiCG (Preconditioned (bi-)conjugate El. preconditioner. gradient).. que se ha elegido para combinarse con el solver es la factorización. incompleta LU (DILU).. A parte de los elementos citados anteriormente, existe un segundo subdiccionario en el archivo. fvSolution. donde se ubican los factores de relajación. El uso de la relajación en las. soluciones es una técnica que se emplea para mejorar la estabilidad del cálculo, en especial en el cálculo de problemas estacionarios. La relajación en el cálculo iterativo de una variable. v. lo que hace para calcular. v(n + 1). a partir de. v(n). , obtener primero el valor de. que devuelve el algoritmo no relajado y después actualizar. v(n + 1, ∗). v(n + 1, ∗) = (1 − α)·v(n + 1) + α·v(n). v(n + 1). como. (28). Los valores típicos que se emplean son. Variable. Valor de. p. 0.3. U. 0.7. k−. 0.3. α. Cuadro 3: Factores de relajación para la resolución de las ecuaciones del movimiento.. 3.3.4 Condiciones iniciales y de contorno. Las condiciones iniciales de la simulación puede jarse fácilmente dentro de cada uno de los archivos donde se encuentran las condiciones de contorno. Cada vez que se obtiene una solución, OpenFOAM te permite guardarla, parar la simulación y volver a arrancar desde esa solución. Como se comentará más adelante, esta ha sido la estrategia que se ha seguido en este proyecto para el cálculo de las variables en el caso evolutivo. Para el cálculo de las soluciones estacionarias se comenzó desde el reposo, ya que la disminución de coste computacional era mínima. Antes de comenzar a hablar sobre las condiciones de contorno hay que hacer diferencia entre frontera y pared, lo que en OpenFOAM se denomina. patch. es el término de frontera genérico. El caso de. wall. patch. y. wall. El uso del término. se reserva para nombrar el obje-. to/escenario donde se imponen las leyes de pared. Una vez que se ha creado los archivos de resolución numérica el último paso para completar un caso es generar el archivo de condiciones de contorno. A continuación se citarán las condiciones que se han impuesto a cada variable. Para nombrar las fronteras del dominio computacional se ha adoptado la nomenclatura que se muestra en [11]. 26.

(30) plano perpendicular a OX con el menor valor de x plano perpendicular a OX con el mayor valor de x plano perpendicular a OY con el menor valor de y plano perpendicular a OY con el mayor valor de y plano perpendicular a OZ con el menor valor de z plano perpendicular a OZ con el mayor valor de z. x_ _x y_ y _z z_. Cuadro 4: Nomenclatura de las fronteras del dominio uido. Para el caso de la velocidad, las condiciones de contorno son. Variable. Condición de contorno. νt. atmBoundaryLayerInletVelocity zeroGradient fixedValue atmBoundaryLayerInletEpsilon calculated. U p k. Cuadro 5: Condiciones de contorno para las fronteras de entrada. Para la salida se tienen las siguientes condiciones. Variable. Condición de contorno. νt. zeroGradient fixedValue zeroGradient zeroGradient calculated. U p k. Cuadro 6: Condiciones de contorno para las fronteras de salida. La condición xedValue es un poco delicada, ya que si el ujo desprendido llegase a esa frontera se producirían problemas de estabilidad en la solución. Para imponer esta condición hay que asegurarse que la frontera esté lo sucientemente lejos del obstáculo así como asegurarse de que el ujo es uniforme con el n de evitar problemas. La ventaja de imponer esta condición es una mejora en la velocidad de convergencia. En el caso de resolución de este proyecto se da este caso de lejanía por lo que no se darán problemas relacionados con esta condición de contorno. En el caso de que el vector dirección del viento sea ortogonal a la normal de la frontera de entrada, cualquiera de las condiciones anteriores se sustituye por la condición es el caso de la frontera. slip. Este. _z , ya que la velocidad empleada es perpendicular al eje vertical. del escenario, por lo que la condición de contorno para cualquier variable será. slip.. Para. imponer esta condición hay que asegurarse de que el dominio sea lo sucientemente grande como para poder asegurar que la velocidad en la frontera es perpendicular a la normal de esta. Por último queda citar las condiciones de contorno impuestas sobre la pared (escenario).. 27.

(31) Variable. Condición de contorno. νt. fixedValue zeroGradient kqRWallFunction epsilonWallFunction nutkWallFunction. U p k. Cuadro 7: Condiciones de contorno en la pared. 3.4 Validación (Implementación en OpenFOAM). 3.4.1 Datos del problema. El ujo alrededor de cuerpos romos tiene una gran importancia en el área de la ingeniería. El caso del cilindro circular es de gran interés porque el ujo a su alrededor es muy complejo y se muestra el desprendimiento de torbellinos en la estela, generando la calle de Kàrman.. Figura 4: Líneas de corriente alrededor del cilindro para un cierto instante del caso no estacionario.. En este problema, la capa límite, la intereracción de las estructuras turbulentas, la transición de laminar a turbulento o la separación de la capa límite varían su comportamiento a medida que lo hace el número de Re. Tiene muchas aplicaciones a parte de las académicas, sobre todo en el área de la industria. oshore. El desprendimiento de torbellinos induce una. vibración en la estructura que puede conducir a un fallo de la estructura por fatiga, o en el caso más extremo, que la frecuencia de desprendimiento se encuentre cerca de la frecuencia. 28.

(32) de resonancia de la estructura y se produzca el fallo instantáneo de la misma. Hasta ahora se han mostrado los modelos disponibles para la simulación numérica así como las diferentes opciones que tiene el mallado pero hay que contrastar que funcione de la manera que se espera. Para certicar la elección tomada frente a todas estas variables se ha diseñado un caso de validación de un cilindro innito. Figura 5: Caso de validación del modelo con un cilindro innito. Para realizar la simulación se utilizó una malla estructurada, generada a partir de un archivo. blockMeshDict. Las dimensiones características del dominio uido del caso son x_ (m) _x (m) y_ (m) _y (m) z_ (m) _z (m). -10 80 -10 10 -10 0. Cuadro 8: Dimensiones de la malla. Las condiciones bajo las que se realizó la simulación se muestran en la siguiente tabla. 29.

(33) Re. 3,3 × 106. Cuadro 9: Condiciones de la simulación. Éste número de Re se corresponde con velocidades 1m/s para edicios con un tamaño característico de 25m. Las características de la malla son las siguientes. Tipo de malla. Estructurada. Número de celdas. 32000. Cuadro 10: Características principales de la malla usada sobre el cilindro.. Los parámetros numéricos que se han empleado son los mismos que se han descrito en el apartado anterior con el n de validar la implementación numérica del solver con una malla adecuada. El motivo de la elección de la malla estructurada es su rápida convergencia a la solución. Las condiciones de contorno que se jaron son diferentes a las empleadas en los otros casos. Debido a que se forman estructuras turbulentas muy complejas la solución es muy sensible al tamaño del dominio uido. Si se coge un dominio muy pequeño se corre el riesgo de forzar una solución en los contornos, lo que produce una solución divergente. Las condiciones de contorno que se imponen en las bases del cilindro son de plano de simetría. SymetryPlane ). (. para forzar la calidad de cilindro innito. El resto de condiciones que se. imponen son las mismas que se citaron en el apartado. 3.3.4 salvo a la salida. Los torbellinos. desprendidos del cilindro llegan hasta la frontera lo que genera que habrá zonas del espacio donde el uido salga y en otras entre. Si esto ocurre en la frontera y las condiciones de contorno que se han jado no son consistentes con ela física del problema se desestabiliza la solución, dicultando la convergencia e incluso llegando a un obtener una solución divergente. Por esto en la salida se emplea una condición de contorno denominada InletOutlet que detecta si ocurre este fenómeno.. 3.4.2 Discusión de resultados. Para ver el efecto del paso temporal en los resultados, los cálculos se han hecho variando el paso temporal de forma que el número de Courant no exceda de un valor prejado. La condión CFL (Courant-Friedichs-Lewy) es un parámetro clave de estabilidad en las simulaciones no estacionarias ya que relaciona el paso temporal de integración con el tamaño de la celda y la velocidad en ella de la siguiente forma. Co =. u∆t ∆x. (29). En el caso de que el esquema de integración temporal sea explícito, el número de Courant tiene como valor máximo 1. Para valores superiores se pueden generar inestabilidades en el esquema númerico. En el caso no estacionario como es el presente, la solución cambia con cada paso temporal y si es un cambio muy brusco, las sucesivas iteraciones no aseguran la convergencia de la solución, ya sea el esquema de integración temporal explícito o implícito. 30.

(34) (como es en este caso). Para evitar los problemas de estabilidad numérica, se combinan unos factores de relajación adecuados y un número de Courant bajo [34]. La simulación se divide en 2 partes, una primera dedicada al cálculo del caso estacionario y otra al cálculo del evolutivo. La razón de esta división es el coste computacional ya que si la solución evolutiva comienza desde la solución estacionaria tiene un coste computacional sensiblemente menor que si arranaca la simulación desde el reposo. Se han calculado las fuerzas que sufre el cilindro así como sus coecientes aerodinámicos.. Figura 6: Coecientes de sustentación y de resistencia en función de la iteraciones del algoritmo SIMPLE.. Como se puede ver, el coeciente de sustentación en las primeras iteraciones oscila hasta que la solución comienza a converger y se mantiene constante e igual a 0. Por otra parte el valor del coeciente de resistencia muestra el mismo comportamiento tendiendo a un valor constante también, como era de esperar. Si se observan las soluciones de velocidad, se ve como se han formado tras el cilindro dos zonas de recirculación de forma simétrica idénticas.. 31.

(35) Figura 7: Líneas de corriente sobre el cilindro en el caso estacionario.. Para la resolución se ha empleado un clúster de 8 núcleos, 3.20GHz, 48GB y disco de sistema SSD. Los cálculos se hicieron paralelizando el caso en 6 núcleos descomponiendo el dominio mediante la. decomposeParDict openMPI [5].. utility decomposePar y se system ). OpenFOAM. (carpeta. jaron las características en el archivo implementa la paralelización mediante. El tiempo de cálculo del caso estacionario es de aproximadamente 70 segundos en el cual se calcula la solución en 534 iteraciones. Este es un caso particular ya que el mallado tiene 32000 celdas, lo que hace que la solución converja rápidamente. La variable que tiene un peor decaimiento de su residuo es la velocidad en el eje z, longitudinal del cilindro, mientras que el resto de variables tienen un comportamiento más suave. La razón de esto es que la solución aparentemente parece ser independiente de la coordenada Z, por lo que el problema es que no sabe cómo medir en términos relativos el residuo en velocidad según este eje. La justicación de la oscilación de los coecientes de sustentación y resistencia en las primeras 25 iteraciones se muestra en la gráca de convergencia de la simulación donde se ve las fuertes oscilaciones que sufren los residuos al iniciar la simulación. 32.

(36) Figura 8: Convergencia de las variables uidas.. Como se puede ver, el cálculo al principio muestra unos residuos altamente oscilatorios. Debido a la progresiva convergencia de la solución gracias a los factores de relajación, los residuos de las variables descienden hasta alcanzar el mínimo exigido, en este caso las 3 velocidades, la energía cinética turbulenta y la disipación, y. −5. 5×10. 1×10−5 para. para la presión.. Una vez calculada la solución estacionaria del problema se puede comenzar el cálculo de la solución evolutiva mediante el algoritmo PIMPLE. Al igual que en el caso anterior, el tamaño de malla facilita una mayor velocidad de cálculo lo que origina que en 1 segundo de cálculo se realicen alrededor de 6 pasos temporales. A continuación se muestran los coecientes aerodinámicos obtenidos con la integración temporal. 33.

(37) Figura 9: Coecientes de sustentación y de resistencia en función del tiempo.. Tener una señal amplia en el tiempo como ésta puede llegar a ser complicado por diversos motivos por lo que más adelante se presenta un método alternativo. Los resultados muestran una señal con bastantes periodos, por lo que es viable realizar un análisis espectral de la misma y obtener la frecuencia del movimiento. Con el n de contaminar lo menos posible el espectro se toma la señal a partir de un punto sucientemente alejado del transitorio.. Figura 10: Power Spectrum Density del coeciente de sustentación calculado vs. Oh Joon Kwon.. La curva anterior compara los resultados obtenidos en la simulación del cilindro con los. 34.

(38) resultados obtenidos por [29]. Como se observa la energía presente en la primera frecuencia es similar en ambos casos además del Strouhal al que se da. El decaimiento de la curva calculada es mayor que la de [29] a que posiblemente se ha empleado un tramo con menor efecto del transitorio. Nótese que la frecuencia fundamental no tiene energía ya que el valor medio de la sustentación es 0. Con el n de ver como varía la solución con el número de Courant y elegir un valor correcto para la resolución del caso, se han simulado 4 casos diferentes para Co máximos distinto.. Figura 11: PSD de la sustentación para diferentes números de Courant.. La energía presente en la señal es diferente a la mostrada antes ya que la simulación se corresponde a un cilindro con tamaño 10 veces menor. A la vista de los resultados obtenidos se verica que el modelo seleccionado para realizar los cálculos posteriores guarda una gran semejanza con los resultados de la bibliografía. El número de Strouhal no es sensible al Courant del caso cuando éste es inferior menor que 1. También se realizó una simulación para un Co>1 en la que no se obtuvo ningún resultado ya que la inestabilidad del esquema citada anteriormente hizo que la solución no convergiese. Además se muestra que el pico de la primera frecuencia tampoco varían con la elección del paso temporal. Por otro lado, las colas del PSD son muy sensibles a la elección del paso temporal y habría que hacer un estudio de en el marco de un simulador de vuelo y ver como de sensible es a las diferentes señales para después seleccionar el que ofrezca el espectro más limpio con el n de facilitar el postprocesado y su explotación en tiempo real. Por último se ha representado un instante de tiempo la viscosidad cinemática turbulenta y la vorticidad. 35.

(39) Figura 12: Isosupercies de viscosidad cinemática turbulenta en un instante genérico.. Figura 13: Isosupercies de vorticidad en un instante de tiempo. 36.

(40) 3.4.3 Formulación del caso. Una vez se ha demostrado la validez del método seleccionado para resolver el problema, es el momento de presentar el caso de estudio. El objetivo principal de este proyecto era el cálculo de las componentes no estacionarias de viento en orografías complejas, por lo que el entorno escogido para llevar a cabo dicho trabajo es un escenario urbano. Para ello se tomó como referencia el trabajo de [11], que presentan la resolución del ujo a través de edicios.. Figura 14: Escenario extraído de [11]. Como se puede apreciar, la diversidad de los tamaños de edicios va a causar que las frecuencias de desprendimiento de torbellinos va a ser diferente en cada uno de ellos. Esto conlleva a que en el análisis de resultados no se podrá ver claramente la contribución de cada uno de ellos a esas frecuencias. Por ello se ha aislado un único edicio y el proyecto va a girar en torno a él. A continuación se muestra el edicio escogido. 37.

(41) Figura 15: Representación del edicio seleccionado para la resolución de las componentes no estacionarias de viento. Las dimensiones características del rascacielos son las siguientes. Ancho(m) Largo(m) Altura(m). 20 20 100. Cuadro 11: Dimensiones características del edicio. La malla que se empleó para el resolución es una malla no estructurada con renamiento en función de la distancia al obstáculo. Las dimensiones características son. x_ (m) _x (m) y_ (m) _y (m) z_ (m) _z (m). -250 500 -200 200 0 200. Cuadro 12: Dimensiones del dominio computacional. 38.

(42) Las características de la malla estructurada sobre la que se construye la malla no estructurada se muestra a continuación. Graduación espacial. 35 × 35 × 20 (1, 1, 1,5). Número de celdas. 24500. Dominio. Cuadro 13: Características de la malla estructurada del caso. Las características de la malla no estructurada son Celdas. 95209. Caras. 300366. Puntos. 110164. Celdas sin renamiento. 19981. Celdas con renamiento 1. 33762. Celdas con renamiento 2. 14656. Celdas con renamiento 3. 26810. Cuadro 14: Características de la malla no estructurada. Renamiento 1 (m) Renamiento 2 (m) Renamiento 3 (m). 60 30 10. Cuadro 15: Distancias de renamiento de la malla. Figura 16: Mallado en torno al edicio.. Dada las 2 simétrías espaciales del escenario el proyecto abarcará la simulación de 3 intensidades de viento (5,15 y 25m/s) para 11 direcciones de viento equiespaciadas que van desde 0º a 45º respecto al eje X.. 39.

(43) 40.