Diseño y construcción de un banco de prueba para determinar carga crítica de miembros esbeltos cargados axialmente a compresión

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(1)DISEÑO Y CONSTRUCCION DE UN BANCO DE PRUEBA PARA DETERMINAR CARGA CRITICA DE MIEMBROS ESBELTOS CARGADOS AXIALMENTE A COMPRESION.. FELIX MENDOZA GONZALEZ.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MECANICA BOGOTA 2003.

(2) IM-2003-I-25. Bogotá D.C., Mayo de 2003. Doctor ALVARO E. PINILLA SEPULVEDA. Director Departamento de Ingeniería Mecánica UNIVERSIDAD DE LOS ANDES La Ciudad. Apreciado Doctor: Por medio de la presente someto a consideración suya el Proyecto de Grado titulado “Diseño y construcción de banco de prueba para determinar carga critica de miembros esbeltos cargados axialmente a compresión” que tiene como objetivo el desarrollo de un prototipo para llevar a cabo pruebas de pandeo y determinar carga critica en columnas. Considero que este Proyecto de Grado cumple con los objetivos propuestos y por lo tanto, lo presento como requisito parcial para optar por el titulo de Ingeniero Mecánico. Cordialmente,. FELIX MENDOZA GONZALEZ. COD: 199611275.. ii.

(3) IM-2003-I-25. Nota de aceptación. ________________________ ________________________. ____________________________ Asesor.. Bogotá, Mayo de 2003. iii.

(4) IM-2003-I-25. Hago extensivos mis agradecimientos y dedico estas páginas a todas las personas que de una u otra manera me apoyaron, ya sea material, intelectual o espiritualmente. De todo corazón. Gracias.. iv.

(5) DISEÑO Y CONSTRUCCION DE UN BANCO DE PRUEBA PARA DETERMINAR CARGA CRITICA DE MIEMBROS ESBELTOS CARGADOS AXIALMENTE A COMPRESION.. FELIX MENDOZA GONZALEZ.. Proyecto de grado para optar al titulo de Ingeniero Mecánico. Asesor LUIS M. MATEUS SANDOVAL. M.Sc Ingeniería Mecánica. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MECANICA BOGOTA 2003.

(6) IM-2003-I-25. CONTENIDO CONTENIDO.................................................................................................. vi LISTADO DE FIGURAS ................................................................................. ix LISTADO DE TABLAS .................................................................................... x LISTADO DE GRAFICOS .............................................................................. xi 1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................1 2. OBJETIVO DEL PROYECTO......................................................................3 3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA...................................................................4 3.1. Introducción. .........................................................................................4 3.2. Teoría de pandeo..................................................................................5 3.2.1 Columna ideal. ................................................................................8 3.2.1.1. Material..................................................................................13 3.2.1.2. Condiciones en los extremos.................................................14 3.2.1.3. Geometría..............................................................................15 3.2.2 Columna real.................................................................................17 3.2.2.1. Imperfección dimensional. .....................................................18 3.2.2.2. Imperfección en la carga. ......................................................18 3.2.2.3. Imperfección del material.......................................................18 4. DISEÑO DEL BANCO DE PRUEBA. ........................................................19 4.1. Cuantificación de fuerzas....................................................................19 4.1.1 Material. ........................................................................................19. vi.

(7) IM-2003-I-25 4.1.2 Longitud. .......................................................................................20 4.1.3 Sección transversal. ......................................................................20 4.1.4 Condiciones en los extremos. .......................................................21 4.1.5 Memoria de cálculo. ......................................................................21 4.2. Configuración general del banco. .......................................................27 4.3. Calculo de resistencia de los elementos.............................................28 4.3.1 Varillas guías.................................................................................28 4.3.1.1. Calculo de falla por pandeo. ..................................................29 4.3.1.2. Calculo para carga de impacto. .............................................29 4.3.1.3. Calculo para carga estática. ..................................................29 4.3.1.4. Calculo de resistencia en el punto de empotramiento. ..........30 4.3.2 Placa superior. ..............................................................................30 4.3.3 Placa inferior. ................................................................................31 4.3.4 Placa intermedia. ..........................................................................31 4.3.5 Prensas de cierre rápido. ..............................................................34 4.3.6 Aditamentos. .................................................................................36 4.3.7 Bujes. ............................................................................................37 4.3.8 Tuercas. ........................................................................................38 5. RESULTADOS ..........................................................................................39 6. ANALISIS DE RESULTADOS ...................................................................41 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................49 ANEXO..........................................................................................................52 BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS................................................................55. vii.

(8) IM-2003-I-25 PLANOS........................................................................................................56. viii.

(9) IM-2003-I-25. LISTADO DE FIGURAS. Figura 1 Modo de falla miembro corto.............................................................7 Figura 2 Modo de falla miembro intermedio ....................................................7 Figura 3 Modo de falla miembro largo.............................................................8 Figura 4 Columna de Euler..............................................................................9 Figura 5 Comportamiento analogo entre columna y esfera...........................13 Figura 6 Comfiguracion para condiciones en los extremos...........................15 Figura 7 Criterio de falla segun categoria de las columnas...........................16 Figura 8 Carga maxima calculada con MDSolid............................................22 Figura 9 Carga minima calculada con MDSolid.............................................23 Figura 10 Configuracion general del banco de prueba..................................27 Figura 11 Arreglo para extremos articulados (platinas).................................35 Figura 12 Arreglo para extremos articulados (tubo y barra) ..........................35 Figura 13 Arreglo para extremos empotrados (platina, tubo y barra) ............36 Figura 14 Aditamentos para extremos ..........................................................37 Figura 15 Buje ...............................................................................................38 Figura 16 Prototipo en operacion ..................................................................51. ix.

(10) IM-2003-I-25. LISTADO DE TABLAS. Tabla 1 Perfiles utilizados..............................................................................20 Tabla 2 Carga critica teorica para platinas ....................................................24 Tabla 3 Carga critica teorica para tubo .........................................................25 Tabla 4 Carga critica teorica para barra ........................................................26 Tabla 5 Extremos articulados ........................................................................39 Tabla 6 Extremos articulado-empotrado .......................................................39 Tabla 7 Extremos empotrados ......................................................................40 Tabla 8 Analisis extremos articulados ...........................................................42 Tabla 9 Analisis extremos articulado-empotrado...........................................43 Tabla 10 Analisis extremos empotrados .......................................................43 Tabla 11 Factor de longitud efectiva k ..........................................................44. x.

(11) IM-2003-I-25. LISTADO DE GRAFICOS. Grafica 1 Extremos empotrados....................................................................45 Grafica 2 Extremos articulado-empotrado.....................................................46 Grafica 3 Extremos articulados .....................................................................47. xi.

(12) IM-2003-I-25. 1. INTRODUCCIÓN. Algunas estructuras comunes en ingeniería, como son las columnas, presentan una forma de falla característica llamada pandeo, la cual es consecuencia de una inestabilidad estructural. Dicha inestabilidad estructural se presenta en el momento en que la carga axial compresiva alcanza un valor llamado carga crítica de pandeo Pcr, en el cual la columna entra en una zona de equilibrio neutro o precario y como consecuencia, se puede presentar una falla catastrófica, cuando exista un pequeño incremento de la carga axial compresiva sobre la columna. Por esta razón es de vital importancia, poder predecir esta carga crítica para así poder evitar una falla súbita por sobrecarga. Para adquirir un amplio y claro conocimiento sobre este fenómeno, es necesario, primero que todo, entender los factores que intervienen y cuales son sus efectos sobre la carga critica de pandeo. Teniendo en cuenta lo anterior, este proyecto se llevará a cabo tratando de hacer claridad sobre todos estos factores y servirá como herramienta de trabajo, significando así un apoyo fundamental para el estudio y entendimiento del fenómeno de pandeo, para los futuros estudiantes del curso de resistencia de materiales de la Universidad de Los Andes. La configuración de la estructura del banco de prueba será diseñada teniendo en cuenta su fin ultimo, el cual radica en poder determinar la carga 1.

(13) IM-2003-I-25 critica de pandeo, por la aplicación de pesas calibradas, siendo esta, una manera muy sencilla de encontrarla. En lo referente a la resistencia estructural, se realizaron los cálculos necesarios, en los cuales se tuvieron en cuenta las condiciones de carga máximas y mínimas, para garantizar un buen comportamiento general de la estructura del banco. El desarrollo de este proyecto está motivado principalmente por la necesidad de aclarar como es el comportamiento de los elementos mecánicos que trabajan a compresión (como columnas), cuando alcanzan una situación crítica en referencia a su estabilidad estructural.. 2.

(14) IM-2003-I-25. 2. OBJETIVO DEL PROYECTO El objetivo de este proyecto consiste en diseñar y construir un banco de prueba para llevar a cabo la determinación de la carga critica de pandeo de una columna, además de hacer una validación del funcionamiento del banco para varias condiciones requeridas en las columnas. Se definen entonces objetivos concretos que al ser cumplidos uno a uno permitan realizar el proyecto en su totalidad. Estos son: ·. Definición y especificaciones requeridas del problema.. ·. Estudio de la teoría referente al fenómeno de pandeo.. ·. Escogencia de tipos de columnas y su material, que serán utilizadas como probetas.. ·. Cuantificación de las cargas máximas y mínimas que estarán presentes.. ·. Escoger la configuración del mecanismo de accionamiento más viable en términos de fabricación, economía, seguridad y facilidad de operación.. ·. Diseño de la resistencia estructural del banco.. ·. Diseño de aditamentos requeridos para simular las diferentes condiciones de apoyo en los extremos.. ·. Selección de materiales estructurales idóneos para la construcción del banco de prueba.. ·. Prueba y validación del experimento. 3.

(15) IM-2003-I-25 3. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. 3.1. Introducción. Al iniciar el proyecto existía una ambición grandísima basada en el hecho de querer tener en cuenta un sin numero de columnas con diferentes secciones transversales y longitudes, además de varios materiales y todas las condiciones existentes para sus extremos. Siendo esto así, se determinaron las cargas criticas para varias secciones transversales entre las cuales se encontraban perfiles T, I , [, ángulos de lados iguales y lados diferentes, sección circular, cuadrada, rectangular etc; teniendo en cuenta varios materiales y condiciones en los extremos. Como consecuencia de esto se evidenció un rango muy amplio de las cargas y cargas excesivas debidas a las diferentes longitudes, materiales y condiciones en los extremos tenidas en cuenta. Por esta razón se decidió la utilización de ciertos perfiles de aluminio, entre los cuales están las platinas (rectangular), barra (cuadrada) y tubo (circular), con tres tipos de condiciones en los extremos, como son: 1) Ambos extremos articulados, 2) Ambos extremos empotrados y 3) Una combinación de los dos anteriores, un extremo empotrado y otro articulado. Paso seguido, se explicará de la manera mas clara y completa posible toda sustentación teórica que esta detrás del fenómeno de pandeo, que fue utilizada para desarrollar el proyecto.. 4.

(16) IM-2003-I-25 3.2. Teoría de pandeo. Cuando se considera un miembro cargado axialmente, intuitivamente, nuestra primera aproximación es traer a colación en nuestra mente, una de las primeras ecuaciones de estudio en el curso de resistencia, de materiales, la del esfuerzo normal: s =. P A. [N/m2]. (3.1). Donde: P = Fuerza aplicada. [N] A = Área de la sección transversal en la cual esta aplicada la carga.. [m2] E inmediatamente después, la ecuación de la deformación elástica asociada: d =. Pl AE. [m]. (3.2). Donde: l = Longitud inicial del miembro. [m] E = Modulo de elasticidad o modulo de Young1. [N/m2]. Pero para cualquier ingeniero sensato, lo segundo que esperaría conocer es la dirección de la carga que se estaría aplicando, en otras palabras, si es una carga de tracción o compresión. Este último aspecto es de vital importancia, dado que de este depende el tratamiento que se le daría al miembro en cuestión. Si se tratara de una carga de tracción, las ecuaciones (3.1) y (3.2) serian suficientes para calcular dos de los parámetros de diseño mas importantes en ingeniería; la resistencia y la deformación de los elementos, dado que. 1. Thomas Young (1773-1829) Físico ingles. 1880.. 5.

(17) IM-2003-I-25 este tipo de carga nunca ocasionaría una situación de inestabilidad y así los parámetros de diseño serian: 1) la resistencia a la cedencia del material S y (en el caso de materiales dúctiles) o la resistencia ultima S ut (en el caso de. materiales frágiles) y/o 2) la rigidez del material, la cual esta definida por su modulo de elasticidad E y su modulo de Poisson2 n . La otra posibilidad presente es cuando la fuerza aplicada al miembro es de compresión, en este punto es importante conocer las características geométricas del miembro, para así poder ubicarlo en algunas de las siguientes categorías: columnas cortas (miembros cortos o puntales), columnas intermedias (miembros intermedios) y columnas largas. Ahora bien, dependiendo de que tipo de columna se trate, se consideran tratamientos distintos. Si la columna es corta, de nuevo, la ecuación (3.1) es suficiente para el cálculo de su resistencia y el tipo de falla dependerá del material, así los materiales dúctiles fallan por aplastamiento y los frágiles por fractura.. 2. Siméon Denis Poisson (1781-1840) Matemático francés. El modulo de Poisson relaciona la elongación longitudinal Îlong y la contracción lateral Îlat dentro del rango elástico, por medio de:. n =-. Îlat . Îlong 6.

(18) IM-2003-I-25. Figura 1 Modo de falla miembro corto3. Ahora, si la columna es intermedia, el tipo de falla es pandeo inelástico, la cual se caracteriza por una cedencia localizada del material.. Figura 2 Modo de falla miembro intermedio. La última categoría es la de columnas largas (caso que atañe a nuestro estudio), en este caso los miembros fallan por pandeo elástico4.. 3. Las figuras 1, 2, 3 y 7 están basadas en la referencia [10] Falla por pandeo elástico, falla por estabilidad elástica, falla de columnas esbeltas (o delgadas) o simplemente pandeo, son términos utilizados para referirse a lo mismo. 4. 7.

(19) IM-2003-I-25. Figura 3 Modo de falla miembro largo. Ya que se ha hecho claridad sobre como fallan los miembros a compresión, es hora de adentrarnos en el caso especifico de los miembros largos que presentan falla por pandeo elástico.. 3.2.1 Columna ideal. Leonhard Euler5 en 1759 dio a conocer su trabajo sobre la determinación de la carga crítica de pandeo. La configuración usada por Euler fue la de una columna esbelta con sus extremos articulados o simplemente soportada, y cargada axialmente a compresión (Fig. 4.), a esta configuración se le conoce también como columna de Euler o modo fundamental de pandeo6.. 5 6. Leonhard Euler (1707-1783) Matemático y físico suizo. Pronúnciese “Oiler”.1759 En 3.2.1.2 se hará claridad sobre el porque de este nombre.. 8.

(20) IM-2003-I-25. Figura 4 Columna de Euler7. La relación entre la deflexión y con respecto a x está representada por una ecuación diferencial homogénea, de segundo orden con coeficientes constantes, dada por:. d2y P + y=0 dx 2 EI. (3.3). La carga critica de pandeo8 determinada por Euler para la anterior configuración fue:. p 2 EI Pcr = 2 l. (3.4). donde: I = El menor momento de inercia del área A. [m4] Para la determinación de la ecuación (3.3) se consideraron condiciones ideales, como son:. 7. Las figuras 4 y 6 están basadas en la referencia [14] Para conocer la deducción véase ref. [1], [4], [10] y [13]. Carga critica de pandeo ó carga critica de Euler. 8. 9.

(21) IM-2003-I-25 ·. La columna es perfectamente recta antes de ser cargada.. ·. La carga compresiva P es axial y está aplicada exactamente en el centroide de la sección transversal de área A.. ·. Ausencia de esfuerzos residuales remanentes, producto del proceso de fabricación.. ·. El material con el que esta hecha la columna es homogéneo y presenta un comportamiento isotropico.. Mas adelante veremos que la imposibilidad de garantizar las condiciones anteriormente nombradas, favorece la inestabilidad estructural, y por consiguiente, la falla por pandeo. Hemos llegado al punto en el cual es pertinente hacer claridad sobre el comportamiento de una columna ideal cargada. La carga critica de pandeo Pcr (que para el caso de la columna de Euler esta dado por la ecuación (3.4)) es el valor de la carga compresiva P en el cual se alcanza un equilibrio neutro o precario desde el punto de vista de la estabilidad estructural de la columna, dicha carga marca el limite superior de estabilidad y el limite inferior de la región inestable, en donde se presenta un peligro inminente de falla dado el caso de existir una perturbación minúscula sobre la columna. Para el caso en donde P < Pcr, la columna experimenta una condición de equilibrio estable, en la cual, el miembro está regido por la ley de Hooke9, en otras palabras, la columna se comprime en la medida en que la carga P es 9. Robert Hooke (1635 – 1703) Físico ingles. Toda la teoría de Hooke es valida dentro del rango elástico de los materiales.. 10.

(22) IM-2003-I-25 aplicada, y nuevamente, el esfuerzo inducido y la deformación resultante pueden ser determinados por las ecuaciones (3.1) y (3.2). Cualquier fuerza adicional (lateral o axial) aplicada a la columna en cualquier punto, causará una deformación adicional, la cual desaparecerá, por acción de las fuerzas restitutivas elásticas del material de la columna, al quitar esta carga o fuerza adicional. Ahora, cuando P > Pcr, la columna aun no pandearía (y solo fallaría al alcanzar el esfuerzo máximo permisible), a menos que exista una fuerza lateral que ocasionaría una falla inmediata, producto del equilibrio inestable en el que estaría la estructura; y un incremento abrupto en la deflexión de la columna, haría presencia inmediatamente. La figura 5 podría dar mayor claridad, al hacer un paralelo entre la columna y una esfera en diferentes tipos de planos. Aquí la fuerza restitutiva elástica del material de la columna seria análoga a la fuerza gravitacional; siendo esto así, se presentan estos 3 casos: ·. Para el caso (a), en donde P < Pcr: Si se aplica una fuerza lateral controlada a la columna, esta se desplazará de su posición de equilibrio, pero al eliminar esa fuerza, la fuerza restitutiva elástica devolverá a la columna a su posición inicial. Lo mismo ocurriría a la esfera en la superficie cóncava, donde la fuerza de gravedad hará que la esfera retorne a su punto inicial de equilibrio, en la parte mas baja de la superficie.. 11.

(23) IM-2003-I-25 ·. Para el caso (b), en donde P = Pcr: La fuerza lateral controlada desplazaría la columna a una posición específica, y al retirar dicha fuerza la columna permanecerá en esa posición, esto sucede porque la fuerza restitutiva no es lo suficientemente grande para devolver la columna a su posición inicial de equilibrio. De la misma manera la esfera permanecerá quieta en su nueva posición en la superficie plana dado que no hay ninguna componente de la fuerza de gravedad que sea paralela a la superficie que haga que la esfera retorne a su lugar inicial.. ·. Para el caso (c), en donde P > Pcr: Al aplicar la fuerza lateral, la columna se deflectaría, pero al momento de quitar la fuerza, la deflexión aumentaría, hasta tal punto, que la columna fallaría. De igual manera con la esfera, al sacarla de su posición de equilibrio, el desplazamiento crecerá indefinidamente.. 12.

(24) IM-2003-I-25. Figura 5 Comportamiento análogo entre columna y esfera. En resumen se podría decir que la condición de estabilidad o inestabilidad de un sistema, esta dada por un balance entre fuerzas externas sobre la columna y las fuerzas restitutivas del material. Retomando la ecuación de la carga critica de Euler (ecuación (3.4)), es explicita la dependencia entre Pcr, E, I y l. Seguido se hará claridad sobre como modifican estos factores a la carga critica. 3.2.1.1. Material. La participación del material con el cual está construida la columna está caracterizado por una propiedad física llamada el modulo de elasticidad E, este parámetro determina la extensión de la región de equilibrio estable, dado que de el dependen las magnitudes de las fuerzas restitutivas elásticas. Esto quiere decir que entre mas rígido sea el material con el cual esta hecho la columna, mayor será el valor de la carga critica asociada.. 13.

(25) IM-2003-I-25 Hay que llamar la atención sobre el hecho que la resistencia del material Syc y Suc no tienen nada que ver con el valor de Pcr; por ejemplo una columna fabricada con un acero de alta resistencia como es el SAE 4340 (Sy = 1586 MPa) no tiene ninguna ventaja a un acero corriente de bajo carbono como el SAE 1010 (Sy = 179 MPa). Aunque hay una relación aproximada de 1 a 8 con respecto a su esfuerzo de cedencia, no habría ninguna mejora significativa en el valor de su Pcr dado que todos los aceros tienen aproximadamente el mismo valor de E. 3.2.1.2. Condiciones en los extremos. La ecuación (3.3) dada por Euler, considera solo una condición (extremos articulados), de varias posibles en los extremos de la columna. Dado que la condición en los extremos de la columna modifica fuertemente el valor de la carga critica, se planteó la ecuación de la carga critica generalizada; para así, poder tener en cuenta todas las condiciones en los extremos al sustituir el parámetro l por leff , en donde leff es la longitud efectiva y está dada por la distancia determinada por media onda senosoidal. Y se puede expresar como: leff = kl donde k se conoce como factor de longitud efectiva, este factor es adimensional y representa la fracción de la longitud l necesaria para generar la media onda senosoidal.. p 2 EI Pcr = leff. (3.5). Como la ecuación (3.3) esta basada en la configuración de la figura 4, la longitud efectiva leff es igual a la longitud l de la columna.. 14.

(26) IM-2003-I-25 La figura 6 muestra las diferentes longitudes efectivas que se aplican dependiendo la configuración que se va a usar.. Figura 6 Configuración para condiciones en los extremos. Estos valores para la longitud efectiva son considerados como valores teóricos, pero algunos ingenieros recomiendan unos valores efectivos de ingeniería, como son: leff = 0.8l para el caso (b) y leff = 0.65l para el (c). 3.2.1.3. Geometría. El aspecto geométrico de una estructura es de vital importancia cuando se está trabajando bajo la influencia de cargas compresivas, porque de el depende el modo por el cual fallaría y por consiguiente, el tratamiento que se le dará a la estructura. La clasificación de las columnas mencionada anteriormente (sección 3.2) también esta basado en dicho aspecto geométrico.. 15.

(27) IM-2003-I-25. Figura 7 Criterio de falla según categoría de las columnas. Por esta razón se definió la relación de esbeltez. l r en donde se relaciona la. longitud de la columna l y el radio de giro r de la sección transversal de la columna. Dado que. I = Ar 2 , donde I es el menor momento de inercia y A es el área. de la sección transversal; ahora, reemplazando en la ecuación (3.5) y reordenando: Pcr =. p 2 EA æ leff çç è r. ö ÷÷ ø. 2. (3.6). Aunque la relación de esbeltez es un parámetro netamente geométrico, sí está relacionado con el tipo de material a través de su resistencia a la cedencia Sy y su modulo de elasticidad E. Para nuestro estudio es de interés solo las columnas larga, es decir, con una relación de esbeltez que garantice que el criterio de falla sea el limite de estabilidad elástica definido por la ecuación de Euler.. 16.

(28) IM-2003-I-25 Es necesario para poder aplicar la ecuación de Euler que el esfuerzo inducido por la carga P, esté por debajo del esfuerzo de cedencia10 del material. Así reordenando la ecuación (3.6):. Pcr p 2E = A æ l eff ö 2 ç ÷ ç r ÷ è ø. s cr =. p 2E æ leff çç è r. ö ÷÷ ø. 2. [Pa]. (3.7). Ahora, el requerimiento estaría dado por:. Sy ³. p 2E æ l eff ç ç r è. ö ÷ ÷ ø. 2. y entonces, la relación de esbeltez que nos interesa está dada por:. æ l eff ç ç r è. ö p 2E ÷³ ÷ Sy ø. (3.8). 3.2.2 Columna real. Una columna real está caracterizada por sus imperfecciones, las cuales afectan negativamente el comportamiento de la columna en lo que respecta al fenómeno de pandeo y a la estabilidad. Siendo rigurosos se debería tener en cuenta el limite proporcional spl del material pero en muchos casos spl » Sy.. 10. 17.

(29) IM-2003-I-25 Enseguida, se trataran cada una de estos factores que imposibilitan la idealización de la estructura. 3.2.2.1. Imperfección dimensional. Esta se presenta por la dificultad de fabricar una columna ideal en lo que respecta a una sección transversal constante y totalmente recta.. 3.2.2.2. Imperfección en la carga. La dificultad para carga un miembro de manera perfectamente axial; ósea garantizando que la fuerza aplicada este alineada con el eje de simetría de la columna y por consiguiente, con una excentricidad igual a cero. 3.2.2.3. Imperfección del material. Otro aspecto que también hay que tener en cuenta es si la columna esta hecha de un material perfectamente homogéneo, en otras palabras, que el material tenga un comportamiento isotropico. Sumado a esto, están los esfuerzos residuales que aparecen como resultado de los procesos de fabricación.. 18.

(30) IM-2003-I-25 4. DISEÑO DEL BANCO DE PRUEBA.. 4.1. Cuantificación de fuerzas. La primera acción que se llevo a cabo al comenzar la tarea de diseño, fue la de identificar y cuantificar las fuerzas presentes en el proyecto, que se requieren para someter las columnas a la carga critica de pandeo. Así, lo primero que se hizo fue escoger algunos materiales, la longitud de las columnas, secciones transversales y las condiciones de los extremos de las columnas. Todo esto con el fin de acotar las magnitudes de las fuerzas entre valores máximos y mínimos no muy distantes que impliquen requerimientos estructurales bajos y posteriormente hacer del manejo de las pesas calibradas una tarea sencilla.. 4.1.1 Material. Aquí se tuvo en cuenta materiales comunes en ingeniería, pero al presentarse una variación grande en sus propiedades se descartaron muchos y como resultado de esta fase, se decidió el uso de aluminio como material principal. Los principales criterios para selección del material fueron su bajo costo, fácil consecución, presentación y su comportamiento frente al fenómeno de pandeo (bajo E).. 19.

(31) IM-2003-I-25 4.1.2 Longitud. La escogencia de la longitud a utilizar estuvo basada en dos aspectos principales: 1) una longitud tal, que se presenten cargas de pandeo relativamente bajas y 2) relaciones de esbeltez lo suficientemente grandes, tal que la falla este caracterizada por la teoría de estabilidad elástica de Euler. Finalmente se utilizarán columnas de 0.9 m de longitud.. 4.1.3 Sección transversal. Como se mencionó en la sección (3.1) se escogieron secciones transversales simples, como son la rectangular, circular y cuadrada, todos estos relacionados en el catalogo de perfiles estándar de productos extruidos de Aluminio Nacional S.A. (ALUMINA). Los perfiles utilizados son: Tabla 1 Perfiles utilizados Platinas Referencia Dimensiones [in] Dimensiones [mm] Peso [kg/m] P-001 1/2 x 1/16 12,70 x 1,58 0,055 P-003 1/2 x 1/8 12,70 x 3,17 0,110 P-008 5/8 x 1/8 15,87 x 3,20 0,137 P-012 3/4 x 1/8 19,05 x 3,17 0,148 P-016 1 x 1/16 25,40 x 1,60 0,110 P-018 1 x 1/8 25,40 x 3,17 0,219. Barra Cuadrada Referencia Dimensiones [in] Dimensiones [mm] Peso [kg/m] C-001 1/4 x ¼ 6,35 x 6,35 0,109. Tubo Circular Referencia Dimensiones [in] Dimensiones [mm] Peso [kg/m] TC-002 5/16 x 0,040 7,94 x 1,01 0,059. 20.

(32) IM-2003-I-25 Se descartaron secciones más complejas debido al abrupto aumento en la carga requerida para lograr pandeo.. 4.1.4 Condiciones en los extremos. Las condiciones en los extremos se determinaron con base en la facilidad de simular de la mejor manera posible, las condiciones ideales. Debido a esto se utilizaron las condiciones mostradas en la figura 6. 4.1.5 Memoria de cálculo. Para determinar la carga máxima y mínima que estaría presente en el diseño de la estructura, se procedió a calcular la carga necesaria para hacer fallar el perfil cuadrado (C-001), para el cual se presenta la mayor carga, y de igual manera para el perfil rectangular (P-001), para el cual se presenta la menor carga. Se utilizó MDSolid 2.5 Mechanics of Deformable Solids Software. Los resultados para la carga máxima y mínima reportados fueron:. 21.

(33) IM-2003-I-25. Figura 8 Carga máxima calculada con MDSolid. 22.

(34) IM-2003-I-25. Figura 9 Carga mínima calculada con MDSolid. 23.

(35) IM-2003-I-25 Tabla 2 Carga critica teórica para platinas Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf, Cedencia (Pa) Platinas 6,90E+10 0,45 Aluminio 5,50E+07 Extremos empotrados (cargas máximas) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) 12,7 1,58 P-001 0,055 4,2E-12 2,0066E-05 12,7 3,17 P-003 0,11 3,4E-11 4,0259E-05 P-008 0,137 15,87 3,2 4,3E-11 5,0784E-05 P-012 0,148 19,05 3,17 5,1E-11 6,0389E-05 P-016 0,11 25,4 1,6 8,7E-12 4,0640E-05 P-018 0,219 25,4 3,17 6,7E-11 8,0518E-05. Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico 5E-04 14 699614 9E-04 113 2816198 9E-04 146 2869753 9E-04 170 2816198 5E-04 29 717438 9E-04 227 2816198. Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf, Cedencia (Pa) Platinas 6,90E+10 0,63 Aluminio 5,50E+07 Extremos articulado-empotrado (cargas intermedias) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) 12,7 1,58 P-001 0,055 4,2E-12 2,0066E-05 12,7 3,17 P-003 0,11 3,4E-11 4,0259E-05 P-008 0,137 15,87 3,2 4,3E-11 5,0784E-05 P-012 0,148 19,05 3,17 5,1E-11 6,0389E-05 P-016 0,11 25,4 1,6 8,7E-12 4,0640E-05 P-018 0,219 25,4 3,17 6,7E-11 8,0518E-05. Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct 5E-04 7 356946 1381 13 9E-04 58 1436835 688 53 9E-04 74 1464160 682 54 9E-04 87 1436835 688 59 5E-04 15 366040 1364 14 9E-04 116 1436835 688 53. Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf, Cedencia (Pa) Platinas 6,90E+10 0,9 Aluminio 5,50E+07 Extremos articulados (cargas mínimas) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) Inercia I (m^4) Area A (m^2) 12,7 1,58 P-001 0,055 4,2E-12 2,0066E-05 12,7 3,17 P-003 0,11 3,4E-11 4,0259E-05 P-008 0,137 15,87 3,2 4,3E-11 5,0784E-05 P-012 0,148 19,05 3,17 5,1E-11 6,0389E-05 P-016 0,11 25,4 1,6 8,7E-12 4,0640E-05 P-018 0,219 25,4 3,17 6,7E-11 8,0518E-05. Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico L/r Eff Estruct 5E-04 4 174904 1973 6 9E-04 28 704049 983 26 9E-04 36 717438 974 27 9E-04 43 704049 983 29 5E-04 7 179360 1949 7 9E-04 57 704049 983 26. 24. L/r Eff Estruct 987 26 492 103 487 106 492 115 974 27 492 104.

(36) IM-2003-I-25. Tabla 3 Carga critica teórica para tubo Modulo E (Pa). Tubos. 6,90E+10. Aluminio. Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) 0,45 5,50E+07. Extremos empotrados (carga máxima) Referencia Peso (kg/m) TC-002. 0,059. Dimen A (mm). Dimen B (mm). Inercia I (m^4). 7,94. 1,01. 1,3E-10. Modulo E (Pa). Tubos. 6,90E+10. Aluminio. Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico 2,2E-05. 0,002. 453. 20617243. L/r Eff Estruct 192. 768. Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) 0,63 5,50E+07. Extremos articulado-empotrado (carga intermedia) Referencia Peso (kg/m) TC-002. 0,059. Dimen A (mm). Dimen B (mm). Inercia I (m^4). 7,94. 1,01. 1,3E-10. Modulo E (Pa). Tubos. 6,90E+10. Aluminio. Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico 2,2E-05. 0,002. 231. 10519002. L/r Eff Estruct 254. 392. Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) 0,9 5,50E+07. Extremos articulados (carga mínima) Referencia Peso (kg/m) TC-002. 0,059. Dimen A (mm). Dimen B (mm). Inercia I (m^4). 7,94. 1,01. 1,3E-10. Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico 2,2E-05. 25. 0,002. 113. 5154311. L/r Eff Estruct 363. 192.

(37) IM-2003-I-25. Tabla 4 Carga critica teórica para barra Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) 6,90E+10 0,45 5,50E+07. Barras Aluminio. Extremos empotrados (carga máxima) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) C-001. 0,109. 6,35. 6,35. Inercia I (m^4) 1,35492E-10. Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico (Pa) 4E-05. 0,002. 456. 11300354. L/r Eff Estruct 245. 418. Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) 6,90E+10 0,63 5,50E+07. Barras Aluminio. Extremos articulado-empotrado (carga intermedia) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) C-001. 0,109. 6,35. 6,35. Inercia I (m^4) 1,4E-10. Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico (Pa) 4E-05. 0,002. 232. 5765487. L/r Eff Estruct 344. 213. Modulo E (Pa) Longitud Le (m) Esf. Cedencia (Pa) 6,90E+10 1 5,50E+07. Barras Aluminio. Extremos articulados (carga mínima) Referencia Peso (kg/m) Dimen A (mm) Dimen B (mm) C-001. 0,109. 6,35. 6,35. Inercia I (m^4) 1,4E-10. Area A (m^2) Rad. Giro r (m) Pcr. Euler (N) Esf. Critico (Pa) 4E-05. 26. 0,002. 92. 2288322. L/r Eff Estruct 546. 85.

(38) IM-2003-I-25. En las anteriores tablas se muestra la carga critica teórica de pandeo para todos los perfiles a utilizar.. 4.2. Configuración general del banco. Luego de someter a consideración varias configuraciones se escogió una, que por sencillez, haría más fácil su desarrollo en lo que respecta al diseño, fabricación y costos. El siguiente es el esquema general del banco:. Figura 10 Configuración general del banco de prueba. De una manera muy general se puede decir que esta configuración consta de cuatro varillas guías de aproximadamente 1.3 metros con los extremos roscados, las cuales están unidas, en la parte de abajo a una placa de acero. 27.

(39) IM-2003-I-25 (de aproximadamente 20 x 20 x 2.5 cm.) por medio de una unión roscada; y en la parte de arriba, a una platina de acero de 1/8 in, tuercas de seguridad a ambos lados de la platina. Entre estas dos placas, y guiada por las varillas se encuentra una placa intermedia (móvil) de HDPE, la cual servirá de superficie para las pesas calibradas y para simular la condición en uno de los extremo de la columna. Luego de haber definido lo anterior, se procedió al cálculo de resistencia de los elementos.. 4.3. Calculo de resistencia de los elementos. El paso siguiente después de escoger la configuración general de la estructura, es el de hacer los cálculos de resistencia de los elementos que la conforman. Al hacer los cálculos de los elementos, no se tuvo en cuenta ni carga cíclica, ni efectos producidos por vibraciones, por la razón de no considerarse pertinentes o por el hecho de no existir.. 4.3.1 Varillas guías. En el momento que la columna de prueba falle, toda la carga estará soportada por una varilla guía, la carga máxima a considerar tiene una magnitud de 455.7 N. Se consideró la siguiente opción para las varillas: ·. Acero SAE 1020 CR de 13 mm de diámetro.. 28.

(40) IM-2003-I-25 4.3.1.1. Calculo de falla por pandeo. Aplicando la ecuación de Euler a la varilla guía se encuentra una carga critica máxima permitida de 2520.68 N.. p 2 EI Pcr = 2 l. Donde E = 200 GPa y l = 1 m.. Dado que la carga máxima que se aplicaría seria de 455.7 N, tendríamos un factor de seguridad de F.S = 2520.68/455.7 = 5.53 4.3.1.2. Calculo para carga de impacto. Como la falla por pandeo de las columnas de prueba se presenta súbitamente (en la mayoría de los casos), la columna guía que soportará dicha carga al momento en que la probeta falle sentirá una carga de impacto, y por eso es pertinente determinar el esfuerzo inducido. Encontrando un valor de 193.3 MPa. 1. W W æ 2hEAö 2 ÷ Donde W = 455.7 N y h = 2.5 cm.11 S = + ç1+ è A A LW ø Ahora, como se tiene un esfuerzo de cedencia para el material de Sy = 250 MPa, se puede calcular el F.S resultante de 250/193.3 = 1.3 4.3.1.3. Calculo para carga estática. Aunque el esfuerzo inducido por carga estática es considerablemente menor al de impacto, los cálculos fueron hechos para mayor claridad. El esfuerzo inducido estático tiene un valor de 3.6 MPa y su F.S = 250/3.6 = 70. 11. Esta variable h se refiere a la altura de caída de la carga. El valor de h=2.5 cm. fue escogido bajo un criterio de seguridad y fue aplicado en todas las pruebas.. 29.

(41) IM-2003-I-25 4.3.1.4. Calculo de resistencia en el punto de empotramiento. Dado que las cuatro columnas guías están empotradas en una placa inferior de acero es de interés conocer cual es la carga horizontal máxima permisible que se puede aplicar a la estructura en el extremo superior de esta, sin que halla cedencia en el punto de empotramiento. Cada columna tiene una longitud de 1.3 m y un diámetro de 13 mm; con el fin de calcular el esfuerzo máximo, se considera una columna equivalente de 1.3 m de largo y un diámetro de 52 mm. Aproximando esto a una viga en cantiliver y cargada en su extremo libre, se puede determinar que 2654.65 N es la carga máxima permisible.. s=. SyI Mr FLr = ÞF= I I Lr. y la deflexión máxima asociada es de 27 mm en el extremo superior (libre).. Def Max. FL3 = 3EI. 4.3.2 Placa superior. Esta pieza tiene como función mantener las cuatro varillas guías alineadas con la placa inferior y restringir el movimiento individual de las varillas. Desde este punto de vista, la platina no estaría sometida a cargas importantes y significativas; y por consiguiente no ameritaría ningún cálculo. Esta pieza es una platina cuadrada de acero SAE 1020 CR de 1/8´´ de espesor y 200 mm de lado, con cuatro agujeros de 13 mm de diámetro, requeridos para el posterior anclaje con las varillas guías.. 30.

(42) IM-2003-I-25. 4.3.3 Placa inferior. La función principal de la placa inferior es soportar las cuatro columnas guías y a su ves aferrar la estructura a tierra. Por esta razón es la pieza mas robusta, su material es acero SAE 1020 CR con un espesor de 1´´. Para esta pieza si es necesario el cálculo de resistencia en el punto de unión con las varillas, cuyo cálculo es análogo al realizado en la sección 4.3.1.4 dado que en este punto estas dos partes de la estructura (base y varillas) son solidarias. Otro calculo requerido es el de la resistencia de los filetes de las rosca de los elementos de sujeción de la prensa que servirá para simular la condicione en el extremo inferior de las probetas12.. 4.3.4 Placa intermedia. Esta placa representa el punto de apoyo superior de las probetas y además sobre ella se colocaran las pesas calibradas que determinarán la carga de colapso de las probetas. Dada su función, se requiere que esta pieza se mueva verticalmente entre las varillas guías, y además, a ella está sujeta en su cara inferior, la otra prensa que servirá para simular las condición en el extremo superior de las probetas. La condición de extremo que ameritaría cálculos esta dada por la condición de empotramiento de la probeta, ya que en el momento de la carga se genera un momento-par producto del desalineamiento de la fuerza respecto 12. Este calculo adquiere mas sentido hacerlo en el momento que se este verificando la resistencia de la placa intermedia, dado que esta está hecha de HDPE y su resistencia es mucho menor que la del acero.. 31.

(43) IM-2003-I-25 al eje de la columna. La configuración en la que se encuentra la condición critica es la de columnas empotradas en ambos extremos, en la cual se presenta que el momento-par Mo en el punto de empotramiento esta dado por: (Mo)máx. = ymax P/2 y como (Mo)máx. se presenta en el momento en que la 2. 2. carga critica se alcanza, (Mo)máx.=(2p EI/L )ymax13. Ahora, como la deflexión lateral máxima esta relacionada con el desplazamiento vertical del extremo superior de la columna, restaría poder conocer esta relación para poder encontrar el valor de Mo máximo. Dada la dificultad para conocer esta relación para la condición de extremos empotrados, se cuantificó experimentalmente esta relación para una columna de 1 metro de longitud con extremos articulados y los resultados fueron: X [mm] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100. Y [mm] 0 62 90 110 128 142 155 166 177 186 197. Como estos valores están basados en extremos libres, y la condición que nos interesa es la de extremos empotrados (donde los valores de las deflexiones son considerablemente menores para un mismo valor de desplazamiento vertical), podemos tomar el valor de 62 mm como una aproximación para poder acercarnos a la deflexión presente en la condición de extremos. empotrados (de todas maneras, esta deflexión producirá un valor de Mo mayor que el valor real que se presentaría, y como consecuencia, un factor de seguridad implícito).. 13. Para la deducción de esta ecuación ver: Strength of Materials, J. P. Den Hartog. First edition. McGraw-Hill.. 32.

(44) IM-2003-I-25 Utilizando los valores para la barra empotrada en ambos extremos (donde se presenta la mayor carga critica de prueba, Pcr= 455.7 N) se encuentra que el momento-par Mo máximo es 14.12 m*N. Ahora, teniendo el momento-par, se espera que dada la distancia desde el punto de aplicación del momento-par hasta la posición de los tornillos, se genere una fuerza de tracción sobre los tornillos. Esta fuerza esta dada por F = Mo/d donde d es la distancia desde el punto de aplicación del momento-par hasta la posición de los tornillos. Siendo d = 75 mm se tiene que la fuerza F es 188.26 N y como son dos los tornillos que resisten esta carga, el valor para cada tornillo es de 94 N. Utilizando este valor como fuerza de tracción se puede calcular la resistencia de los tornillos y en la rosca. Los tornillos escogidos fueron tornillos grado SAE No. 1 de 3/16´´con una designación de tamaño 10, rosca UNC. Dada el área tensil del tornillo At = 0.0175 in2 = 0.0000112903 m2 se genera un esfuerzo de tensión de 8 325 731 Pa = 1207.54 psi. Como la referencia de los tornillos son SAE grado No. 1, se tiene un esfuerzo de prueba mínimo de 33 kpsi, así se genera un F.S = 33 000/1207.54 = 27. Ahora se puede determinar el esfuerzo de corte medio en el filete del tornillo y de la tuerca (placa de polietileno de alta densidad de 10 mm de espesor). ·. Para el tornillo se tiene un esfuerzo de 1 733 941 Pa = 251.5 psi.. ·. Para la tuerca se tiene un esfuerzo de 1 256 527 Pa = 182.2 psi. Como el HDPE. tiene un esfuerzo de cedencia Syt = 25 MPa, su. 33.

(45) IM-2003-I-25 resistencia al cortante es Sys = Syt/2 = 12.5 MPa, así se presenta un F.S = 12 500 000/1 256 527 = 10. Una de las características principales que debe poseer esta placa es la de tener el menor peso posible para así poder cumplir la cota inferior de la carga mínima requerida en el proyecto. Por esto se decidió utilizar HDPE (Polietileno de Alta Densidad) con propiedades como r = 950 kg/m3 y Sy = 25 MPa. Como la función principal de esta placa es deslizar suavemente entre las varillas, se construyeron bujes de bronce que se acoplaron con ajuste de interferencia en la placa para que fueran solidarios con esta.. 4.3.5 Prensas de cierre rápido. Estas prensas de cierre rápido fueron adquiridas con el fin de poder simular las condiciones en los extremos de las probetas. En compañía de aditamentos que tiene formas características, las prensas simulan la condición de extremos articulados, ver siguientes figuras para mayor claridad:. 34.

(46) IM-2003-I-25. Figura 11 Arreglo para extremos articulados (platinas). Figura 12 Arreglo para extremos articulados (tubo y barra). 35.

(47) IM-2003-I-25. Figura 13 Arreglo para extremos empotrados (platina, tubo y barra). El proceso de fabricación de las prensas es una fundición de aluminio y se caracterizan por su peso relativamente bajo.. 4.3.6 Aditamentos. Los aditamentos necesarios para simular de una manera aproximada las condiciones en los extremos son los siguientes:. 36.

(48) IM-2003-I-25. Figura 14 Aditamentos para extremos. En la anterior figura se muestran los aditamentos requeridos los cuales son: ·. 2 ángulos de acero de 1´´ y 30 mm de largo (se muestra solo 1), sirven como superficie de apoyo para las probetas y simular condición de extremos articulados en platinas.. ·. 2 puntas de acero de 27 mm de largo, para simular condición de extremos articulados en el tubo (en compañía de los 2 cilindros que sirven como superficie de apoyo).. ·. 3 platinas de aluminio de 1´´x1/8´´ y 45 mm de largo (sirve para alineamiento de las probetas).. ·. 2 platinas de acero de ¼´´x23.3 mm y 30 mm (sirve para alineamiento de las probetas).. 4.3.7 Bujes. Se construyeron bujes de bronce para mejorar el movimiento de la placa intermedia que está en contacto con las varillas guías,. 37. las dimensiones.

(49) IM-2003-I-25 dadas a los bujes proveen un deslizamiento suave además del bajo coeficiente de fricción generado entre bronce y acero, el cual tiene un valor aproximado de 0.18 cuando hay presencia de lubricantes. Los bujes tienen dos funciones principales, 1) favorecer el deslizamiento, dado su bajo coeficiente de fricción y 2) neutralizar la tendencia de la placa intermedia a trabarse, dada la longitud de cada buje, la cual es de 30 mm.. Figura 15 Buje. 4.3.8 Tuercas. Las tuercas que se utilizaron para el montaje, fueron tuercas de seguridad (con inserto plástico) estandarizadas de ½´´ UNC.. 38.

(50) IM-2003-I-25 5. RESULTADOS. Comercialmente la perfileria de aluminio viene en longitud estándar de seis metros, dada la disponibilidad se adquirió una 1unidad de cada referencia de los perfiles a utilizar y se pidió todo el material cortado en tramos de 1 metro, teniendo que evaluar tres configuraciones para los extremos (articulados, empotrados y articulado-empotrado) se disponía de dos pruebas para cada configuración. Siendo esto así, se procede a declarar los resultados obtenidos.. Tabla 5 Extremos articulados Referencia (Pcr)Teo [N] (Pcr)Exp1 [N] (Pcr)Exp2 [N] Error Exp[%] (Pcr)Exp Prom [N] Error [%] P-001 P-003 P-008 P-012 P-016 P-018 TC-002 C-001. 3,5 28,3 36,4 42,5 7,3 56,7 113,3 92,3. 3,5 21 33,3 35 7 50,4 83 97,9. 3,5 21,5 32,3 35 7,5 49,5 90 97. 0,0 2,3 3,1 0,0 6,7 1,8 7,8 0,9. 3,5 21,25 32,8 35 7,25 49,95 86,5 97,45. 0,0 24,9 9,9 17,6 0,7 11,9 23,7 -5,6. Tabla 6 Extremos articulado-empotrado Referencia (Pcr)Teo [N] (Pcr)Exp1 [N] (Pcr)Exp2 [N] Error Exp[%] (Pcr)Exp Prom [N] Error [%] P-001 P-003 P-008 P-012 P-016 P-018 TC-002 C-001. 7,2 57,8 74,4 86,8 14,9 115,7 231,3 232,5. 4,5 42,5 60 78 15 102,3 180,6 208. 5 45,5 57,5 72 14,5 108 177 206,5. 39. 10,0 6,6 4,3 8,3 3,4 5,3 2,0 0,7. 4,75 44 58,75 75 14,75 105,15 178,8 207,25. 34,0 23,9 21,0 13,6 1,0 9,1 22,7 10,9.

(51) IM-2003-I-25. Tabla 7 Extremos empotrados Referencia (Pcr)Teo [N] (Pcr)Exp1 [N] (Pcr)Exp2 [N] Error Exp[%] (Pcr)Exp Prom [N] Error [%] P-001 P-003 P-008 P-012 P-016 P-018 TC-002 C-001. 14 113,4 145,7 170,1 29,2 226,8 453,4 455,7. 14,5 94,1 108 146 32 163 214,5 214,5. 13,5 99,5 107 146 30,5 160 214,5 214,5. 40. 7,4 5,4 0,9 0,0 4,9 1,9 -. 14 96,8 107,5 146 31,25 161,5 -. 0,0 14,6 26,2 14,2 -7,0 28,8 -.

(52) IM-2003-I-25. 6. ANALISIS DE RESULTADOS. Para analizar los resultados obtenidos de las pruebas, es importante determinar los valores máximos, mínimos y promedio de los errores, así: Error relacionado entre valores experimentales: ·. Error máximo, (Error Exp)Máx. = 10.0%.. ·. Error mínimo, (Error Exp)Min. = 0.0%.. ·. Error promedio, (Error Exp)Prom. = 3.8%.. Estos valores hacen referencia al error de precisión (o aleatorio) presente en el experimento. Se puede concluir, de los valores de error anteriores, que el experimento tiene un nivel de precisión bastante bueno. Error relacionado entre valor teórico y valor experimental promedio: ·. Error máximo, (Error)Máx. = 34%.. ·. Error mínimo, (Error)Min. = 0.0%.. ·. Error promedio, (Error)Prom. = 13.2%.. Estos valores hacen referencia al error de sesgo (o sistemático) y muestran el nivel de exactitud del experimento. Al tener 34% como error máximo y un error promedio 13%, se puede considerar como un experimento de baja exactitud. Estos valores también dan muestra de la diferencia entre la teoría y la realidad.. 41.

(53) IM-2003-I-25 Errores relacionados entre valores experimentales promedio y valores pivote: Ahora, teniendo en cuenta que la carga critica de pandeo para extremos articulados esta dada por Pcr =. p 2 EI , para extremos articulado-empotrado es l2. el doble y para extremos empotrados, es cuatro veces mayor; teniendo claridad sobre esto, se evidencia fácilmente que las 3 configuraciones están relacionadas por una constante. Como método de análisis, se escogió la carga crítica asociada al menor error entre valores teóricos y experimentales para cada configuración de prueba; y tomando esta carga como valor pivote (casillas de colores), se determinaron los valores de la carga critica correspondiente a las dos condiciones de extremos restantes (casillas sin color). La relación de este ejercicio se muestra a continuación:. Tabla 8 Análisis extremos articulados Referencia (Pcr)Exp Prom [N] Error [%] Val. Pivote [N] Error Prom-Pivote [%] P-001 P-003 P-008 P-012 P-016 P-018 TC-002 C-001. 3,5 21,25 32,8 35 7,25 49,95 86,5 97,45. 0,3 24,9 9,9 17,6 0,7 11,9 23,7 -5,6. 3,5 24,2 32,8 37,5 7,25 52,6 89,4 97,45. 42. 0,0 12,2 0,0 6,7 0,0 5,0 3,2 0,0.

(54) IM-2003-I-25. Tabla 9 Análisis extremos articulado-empotrado Referencia (Pcr)Exp Prom. [N] Error [%] Val. Pivote [N] Error Prom-Pivote [%] P-001 P-003 P-008 P-012 P-016 P-018 TC-002 C-001. 4,75 44 58,75 75 14,75 105,15 178,8 207,25. 34,0 23,9 21,0 13,6 1,0 9,1 22,7 10,9. 7 48,4 65,6 75 14,5 105,15 178,8 194,9. 32,1 9,1 10,4 0,0 1,7 0,0 0,0 6,3. Tabla 10 Análisis extremos empotrados Referencia (Pcr)Exp Prom [N] Error [%] Val. Pivote [N] Error Prom-Pivote [%] P-001 P-003 P-008 P-012 P-016 P-018 TC-002 C-001. 14 96,8 107,5 146 31,25 161,5 214,5 214,5. 0,3 14,6 26,2 14,2 -7,0 28,8 -. 14 96,8 131,2 150 29 210,3 -. ·. Error máximo, (Error)Máx. = 32.1%.. ·. Error mínimo, (Error)Min. = 0.3%.. ·. Error promedio, (Error)Prom. = 13.2%.. 0,0 0,0 18,1 2,7 7,8 23,2 -. Estos valores se pueden interpretar como los errores inherentes al comportamiento real de las columnas, dado que se está haciendo la comparación directa entre las cargas de falla de las columnas y no contra la carga teórica de Euler.. 43.

(55) IM-2003-I-25 Algunos autores14 además del valor teórico del factor de longitud efectiva k, proponen otros valores, como son el practico o de ingeniería, el conservador y el recomendado. Tabla 11 Factor de longitud efectiva k Cond. Extremo. KTeorico. KPractico. KConservador. KRecomendado. Articulados. 1.0. 1.0. 1.0. 1.0. Artic-Empotrado. 0.7. 0.8. 1.0. 1.2. Empotrados. 0.5. 0.65. 1.0. 1.2. Estos valores propuestos para el factor de longitud efectiva son importantes, dado que estos, hacen que se pueda estimar de una manera mas aproximada los puntos de falla para las columnas reales. En la siguientes graficas se muestran las curvas teóricas (además de las curvas modificadas por los valores de longitud efectiva, propuestos) y los puntos experimentales de la prueba #1 y #2, para cada configuración de extremos.. 14. Ver referencias [5], [10] y [15].. 44.

(56) IM-2003-I-25. EXTREMOS EMPOTRADOS 7,0. K teorico =0.5 K practico =0.65 K recom =1.2 Prueba #1 Prueba #2 K conserv =1. 6,0. Esf. Crítico (MPa). 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0. 112. 212. 312. 412. 512. 612. 712. Rel. Esbeltez Grafica 1 Extremos empotrados 45. 812. 912. 1012.

(57) IM-2003-I-25. EXTREMOS ART-EMPOTRADO 9,0. K teorico =0.7 K practico =0.8 K recom =1.2 Prueba #1 Prueba #2 K conserv =1. 8,0. Esf. Crítico (MPa). 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0. 112. 362. 612. 862. 1112. Rel. Esbeltez Grafica 2 Extremos articulado-empotrado 46. 1362.

(58) IM-2003-I-25. E XTREMOS ARTICULADOS 5,0 4,5. K teorico =1 P rueba #1 P rueba #2. Esf. Crítico (MPa). 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0. 112. 362. 612. 862. 1112. 1362. R el. E sbeltez. Grafica 3 Extremos articulados 47. 1612. 1862. 2112.

(59) IM-2003-I-25 Las graficas anteriores muestran claramente que el comportamiento de los datos experimentales es bastante bueno con respecto a las curvas correspondientes a los valores de factor de longitud efectiva, recomendados y conservadores. Además también se nota que el modelo se ajusta cada vez mejor, en la medida que las columnas se hacen más esbeltas. En la porción inicial de las graficas se hace evidente un distanciamiento considerable entre los valores experimentales y las curvas, lo cual puede generarse como consecuencia de los grandes aumentos en la carga de prueba, que ocasionan condiciones de carga en la estructura, que pueden inducir deflexiones y desaliniamientos importantes que afectan el buen funcionamiento del prototipo. De todas manera, se recomienda por seguridad, utilizar perfiles y longitudes que no requieran cargar muy altas para generar la falla por pandeo, esta recomendación es validad puesto que el fin primordial del banco es servir como un instrumento académico, y esto se puede lograr con ciertas condiciones optimas de seguridad.. 48.

(60) IM-2003-I-25. 7. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES. ·. Como resultado de los valores obtenidos en la fase experimental, se demuestra que el diseño y construcción del banco de pruebas culminó de manera satisfactoria y significa un buen instrumento para aproximarse a la determinación de la carga critica de pandeo de columnas reales.. ·. Las variaciones ente los cálculos teóricos y los valores reales son validos, dados todas las imperfecciones inherentes a la realidad, como son la imperfección del material de la columna, presencia de excentricidad en la aplicación de la carga, la imposibilidad de fabricación de una columna perfectamente recta y sin esfuerzos remanentes producto del proceso de fabricación, además de posibles desalineamientos de los puntos de apoyo de las columnas.. ·. Al diseñar columnas no se debe tener en cuenta el factor de longitud efectiva. teórico. KTeorico,. si. no,. los. valores. conservadores. y. recomendados, correspondiente a la condición de extremos a la cual esté sometida la columna.. 49.

(61) IM-2003-I-25 ·. Como recomendación para el uso del prototipo en procura de la seguridad del operario, es la utilización de columnas en las cuales el requerimiento de carga de falla no sea muy alto, además de tener siempre en cuenta la dirección el la cual podría fallar la columna, dado el caso que esta saliera expulsada y causar alguna herida.. ·. Existe un parámetro de selección importante al momento de diseñar columnas conocido como eficiencia estructural, este relaciona la carga máxima soportada por la columna y el peso de la columna. Este parámetro es muy útil al momento de evaluar columnas en condiciones de carga similares. En nuestro estudio se evidenció la superioridad del tubo y la barra.. ·. A continuación se anexa una hoja de trabajo en la cual se propone una metodología ordenada para realizar las pruebas.. Enseguida se muestra una figura del banco de prueba en funcionamiento, aquí se está cargando una platina con condiciones de empotramiento en ambos extremos.. 50.

(62) IM-2003-I-25. Figura 16 Prototipo en operación. 51.

(63) IM-2003-I-25. ANEXO. 52.

(64) IM-2003-I-25 RESISTENCIA DE MATERIALES.. NOMBRE(s):______________________________________________ FECHA:_________________________ MONITOR:______________________________________ 1) Determinar el material de la columna y sus propiedades físicas y mecánicas. Material. Modulo de Elasticidad E (GPa) Esfuerzo de Cedencia sy (MPa) 2) Dimensiones físicas de la columna. Prueba 1. Tipo de sección. Rectangular. Dimensiones Ancho pertinentes (mm) espesor. Circular. Dext. Dint.. Cuadrada. Ancho. Circular. Dext. Dint.. Cuadrada. Ancho. Longitud (m)15 Prueba 2. Tipo de sección. Rectangular. Dimensiones Ancho pertinentes (mm) espesor Longitud L (m) 2) Determine las propiedades geométricas de los elementos de área. Prueba 1. Momento de Inercia (menor) I (mm4) Área de la sección A (mm2) Radio de Giro r (mm) Prueba 2. Momento de Inercia (menor) I (mm4) Área de la sección A (mm2) Radio de Giro r (mm). 15. La longitud L NO se refiere a la longitud real de la columna, si no a la longitud no soportada.. 53.

(65) IM-2003-I-25 3) Determinación de longitud efectiva de la columna. Figura 1. Condiciones en los Extremos.. Prueba. Prueba 1. Prueba 2.. Longitud Efectiva Le (m). 4) Determine la Relación de Esbeltez de la columna. Prueba. Rel. Esbeltez mínima (Le/r)min. = p Ö2E/sy Rel. Esbeltez Le/r. Prueba 1.. Prueba 2.. 5) Determine la Carga Crítica teórica y el Esfuerzo Crítico teórico respectivo. Prueba. Prueba 1. Carga crítica de Euler (N) Esfuerzo Crítico (MPa). Prueba 2.. 54.

(66) IM-2003-I-25. BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 1. Mechanics of Materials, R.C. Hibbeler. Third edition. Prentice Hall. 2. Design of Machine Elements, V. M. Faires. Fourth edition. Macmillan 3. Computer Integrated Machine Design, C. E. Wilson. Prentice Hall. 4. Mecánica de Materiales, J. M. Gere – S. P. Timoshenko. Segunda edición. Grupo Editorial Iberoamerica. 5. Mechanical Engineering Design, J. E. Shigley – C. R. Mischke. Sixth edition. McGraw-Hill. 6. El Proyecto en Ingeniería Mecánica, J. E. Shigley. McGraw-Hill. 7. Diseño de Maquinas, A. S. Hall – A. R. Holowenco – H. G. Laughlin. McGraw-Hill. 8. Elementary Mechanics of Deformable Bodies. Smith – Sidebottom. 9. Mecánica de Cuerpos Deformables. Byars – Snyder. Tercera edición. 10. http://www.efunda.com/formulae/solid_mechanics/columns/intro.cfm 11. Estructuras, o por que las cosas no se caen, J. E. Gordon. 12. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, W. E. Boyce – R. C. DiPrima. Sixth edition. Wiley. 13. Strength of Materials, J. P. Den Hartog. First edition. McGraw-Hill. 14. http://physics.uwstout.edu/StatStr/Columns/cols61.htm#Columns%20& %20Buckling:%20Part%20I 15. Machine Design, R. L. Norton. Second edition. Prentice Hall.. 55.

(67) IM-2003-I-25. PLANOS. 56.

(68) 6. 3 2. Número de elemento. 5. Título. Cantidad. 1. Base. 1. 2. Placa intermedia. 1. 3*. Buje. 4. 4. Tuerca. 12. 5. Varilla-Guia. 4. 6. Placa superior. 1. Universidad de los Andes Banco de Prueba Para Determinar Bogotá D.C, Colombia Carga Crítica de Pandeo Nombre de la Pieza: Conjunto Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez Material: ----1 4. No. Pieza ---. Cantidad: 1. Acabado Superficial: Comercial Tolerancia: 0.05 mm Uds. en mm. Mayo, 2003. Escala. 1 : 5. Plano 1/7.

(69) 4. 6. 2 3. Número de elemento. Título. Cantidad. 1. Base. 1. 2. Placa intermedia. 1. 3. Buje. 4. 4. Tuerca. 12. 5. Varilla-Guia. 4. 6. Placa superior. 1. Universidad de los Andes Banco de Prueba Para Determinar Bogotá D.C, Colombia Carga Crítica de Pandeo Nombre de la Pieza: Explosion. 5 1. Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez Material: -----. No. Pieza ----. Cantidad: ---. Acabado Superficial: Comercial Tolerancia: 0.05 mm Uds. en mm. Mayo, 2003. Escala. 1 : 10. Plano 2/7.

(70) 200. 25. 25. 25. 200. O 10 ,58 1 /2-13 UNC. 25. 25. Universidad de los Andes Banco de Prueba Para Determinar Bogotá D.C, Colombia Carga Crítica de Pandeo Nombre de la Pieza: Base Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez Material: Acero SAE 1020. No. Pieza 1. Cantidad: 1. Acabado Superficial: Comercial Tolerancia: 0.05 mm Uds. en mm. Mayo, 2003. Escala. 1 : 5. Plano 3/7.

(71) 200. 15,2. 25. O. 25. 10. 200. 25. 25. Universidad de los Andes Banco de Prueba Para Determinar Bogotá D.C, Colombia Carga Crítica de Pandeo Nombre de la Pieza: Placa intermedia Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez Material: HDPE. No. Pieza 2. Cantidad: 1. Acabado Superficial: Comercial Tolerancia: 0.05 mm Uds. en mm. Mayo, 2003. Escala. 1 : 5. Plano 4/7.

(72) 20. 10 O. 19. O 15,2 O 13,1. Universidad de los Andes Banco de Prueba Para Determinar Bogotá D.C, Colombia Carga Crítica de Pandeo Nombre de la Pieza: Buje Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez Material: Bronce. No. Pieza 3. Cantidad:. 4. Acabado Superficial: Comercial Tolerancia: 0.05 mm Uds. en mm. Mayo, 2003. Escala.. 2:1. Plano 5/7.

(73) O 13. 13. 12,7. 40. ,15 R5 3 UNC 1 2 / 1 O 12,7. DETALLE A 1220. A. 40. DETALLE B. B Universidad de los Andes Banco de Prueba Para Determinar Bogotá D.C, Colombia Carga Crítica de Pandeo Nombre de la Pieza: Varillas-guias Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez Material: Acero SAE 1020 CR No. Pieza 5. Cantidad:. 4. Acabado Superficial: Comercial Tolerancia: 0.05 mm Uds. en mm. Mayo, 2003. Escala.. 1 : 10. Plano 6/7.

(74) 25. O. 200. 12,7. 25. 25. 25. 3,18. 200. Universidad de los Andes Banco de Prueba Para Determinar Bogotá D.C, Colombia Carga Crítica de Pandeo Nombre de la Pieza: Placa superior Dibujado por: Felix Mendoza Gonzalez Material: Acero SAE 1020. No. Pieza 6. Cantidad: 1. Acabado Superficial: Comercial Tolerancia: 0.05 mm Uds. en mm. Mayo, 2003. Escala.. 1:5. Plano 7/7.

(75)