TEMA 49. Superficies de revolución. Cuádricas.

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 49.

Superficies de revolución.

Cuádricas.

Superficies regladas. Presencia en el arte y en la técnica.

1.

Introducción y Generalidades de las superficies

El estudio de la Geometría que se desarrolló en la Grecia clásica dio como resultado trabajos admirables en este campo. Entre ellos destacan los realizados por Arquímedes (siglo III a.C.) en los que desarrolló importantes cálculos y propiedades referentes a elipsoides, paraboloides e hiperboloides.

Tras el nacimiento de la geometría analítica con Descartes, el estudio de curvas y superficies toma otro giro, las superficies son ahora expresiones algebraicas que relacionan las tres coordenadas.

Euler en “Introductio in analysis infinitorum” (s XVIII) estudian las superficies en general, tanto algebraicas como trascendentes, para dividirlas después en categorías. Se hace por primera vez referencia a las "cuádricas" asociadas a las superficies algebraicas de segundo grado. Además, utiliza las ecuaciones de una traslación y una rotación para reducir la ecuación de una cuádrica regular a una de las formas canónicas de los cinco tipos fundamentales: el elipsoide real, los hiperboloides de una y dos hojas, y los paraboloides elíptico e hiperbólico.

La definición formal de superficie es una variedad bidimensional, que localmente "se parece" al plano euclídeo, esto significa que si tomamos un área muy pequeña de la superficie es parecida al plano euclídeo.

Las superficies vienen descritas de algebraica de la siguiente manera en el plano euclideo: a) Paramétrica: s:(x,y,z)=(f1(λ,β), f2(λ,β), f3(λ,β)) siendo fi funciones continuas de 2 vbles.

b) Implícita: si puede despejarse λ y β en función de x,y,z: F(x,y,z)=0

c) Explícita: si es epiyectiva en z (u otra variable) podremos despejar z, z=f(x,y).

Las superficies presentan una clasificación atendiendo a la forma de su generatriz y a la ley de su generación, aunque esta clasificación no será única:

Si Desarrollables Recta Regladas

Superficie No Alabeadas

Curva No reglada No Alabeadas

Forma generatriz Desarrollable en el plano

Se denomina orden o grado de una superficie al número máximo de cortes de una recta sobre la misma. El grado coincide con el grado de la expresión algebraica de F(x,y,z), así si es de grado 2 se llama cuádrica, de orden 3 cúbicas,…

2.

Superficies regladas.

Una superficie reglada, en geometría, es la generada por una recta, denominada generatriz, al desplazarse sobre una curva o varias, denominadas directrices. Partes de las superficies regladas:

1) Generatrices: las rectas que la forman

2) Directriz: la curva o curvas por las que se desplazan las generatrices.

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 2 Superficies regladas desarrollables: Una superficie que puede ser desarrollada en el plano, cuyas propiedades fundamentales son:

• dos generatrices infinitamente próximas se cortan o son paralelas, es decir coplanarias.

• Se cumple que todas las generatrices son tangentes a una curva alabeada.

• El plano tangente a la superficie, lo es a lo largo de la generatriz. Tres tipos de superficies regladas desarrollables:

a) Superficies cilíndricas: es una superficie reglada donde todas las generatrices son paralelas a un vector

u

y se apoyan en la directriz, C. La curva puede ser abierta o cerrada:

Superficie cilíndrica abierta Superficie cilíndrica cerrada

La ecuación de la superficie si su directriz tiene la ecuación en paramétricas C:(x,y,z)=(g1(t), g2(t), g3(t)) y el vector

u

=(a,b,c) se calcula a partir de las rectas que se apoyan

en C y dirección

u

:

parámetros

t

y

con

c

t

g

z

b

t

g

y

a

t

g

x

λ

λ

λ

λ











+

=

+

=

+

=

·

)

(

·

)

(

·

)

(

3 2 1

Observación: si la curva C es poligonal entonces tendremos una superficie prismática. b) Superficies cónicas: es una superficie reglada formada por las rectas que pasan por un

punto V, denominada vértice, y se apoyan en C. Pueden ser superficies cónicas cerradas o abiertas dependiendo de si la curva es cerrada o abierta.

Para calcular la ecuación sólo tenemos que expresar la superficies como restas que se apoyan en C y pasan por el vértice V. Así si C:(x,y,z)=(g1(t), g2(t), g3(t)) y V=(xo,y0,z0) la ecuación :

(

)

(

)

(

)

parámetros

t

y

con

z

t

g

z

z

y

t

g

y

y

x

t

g

x

x

λ

λ

λ

λ











−

+

=

−

+

=

−

+

=

·

)

(

·

)

(

·

)

(

0 3 0 0 2 0 0 1 0

Observación: si la curva C es poligonal entonces tendremos una superficie piramidal. ur P(x, y, z) H (g1(t) , g2(t), g3(t))

u

λ

P

H

r

r

=

V(x0, y0, z0) H (g1(t) , g2(t), g3(t))

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 3 c) Superficies poliédricas: Los poliedros son sólidos o cuerpos geométricos limitados por polígonos planos. Los polígonos y sus lados, vértices y ángulos internos son, respectivamente, las caras, aristas, vértices y ángulos planos del poliedro.

Superficies regladas alabeadas: Son las superficies regladas pero que no pueden ser desarrollables en el plano, se caracterizan por:

• Hay generatrices infinitamente próximas que se cruzan.

• Hay planos tangentes a la superficie que cortan a la curva al no ser tangente a todos los puntos de la generatriz.

Entre todas las curvas de este tipo las más importantes son las que se apoyan en dos o tres curvas o en una curva y una recta. La superficie helicoidal es la más importante de este tipo..

Superficie helicoidal o helicoide: está formada por rectas que se apoyan en una hélice y en su eje de simetría, siendo las rectas perpendiculares al eje.

3.

Superficies de revolución.

Una superficie se dice que es de revolución si se engendra por el giro alrededor de una recta, eje de revolución (e) de una línea C indeformable, generatriz. Todo punto de la generatriz realiza una circunferencia con centro en el eje de giro y de radio la distancia con el susodicho eje, dichas circunferencias se llaman paralelos. Otros elementos:

- Ecuador y garganta: circunferencia de mayor y menor radio respectivamente.

- Meridiano: todo línea que se forma de la intersección de un plano que contiene al eje de simetría con la superficie de revolución.

Si cogemos cualquier punto de la superficie sólo existe un paralelo y un meridiano que pase por dicho punto. Además los planos que los contienen son perpendiculares entre sí.

Ecuación de la superficie de revolución: En el espacio ortonormal OXYZ se toma como OZ el eje de giro. De esta forma si la generatriz es (x, y, z)=(g1(t), g2(t), g3(t)), cada punto P (g1(t0), g2(t0),

g3(t0)) girará en torno al eje y generará la circunferencia que dará lugar a la superficie buscada:

x =

ϕ

1(t,

θ

) = g1(t) cos

θ

– g2(t) sen

θ

y =

ϕ

2(t,

θ

) = g1(t) sen

θ

+ g2(t) cos

θ

z =

ϕ

3(t,

θ

) = g3(t)

C e

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 4 En el caso de la generatriz sea plana sobre el eje OXZ se cumple que se podrá expresar de forma implícita como {G(x,z)=0, y=0}. Cada punto de la generatriz P(x,y) describirá la circunferencia {x2+y2=λ, z=µ}. Tendremos que para y=0 x2=λ y z=µ, luego la función G se puede poner como G(λ,µ) o lo que es lo mismo la ecuación de revolución implícita será f(x2+y2,z)=0.

3.1.Superficies de revolución regladas.

En el caso de que la generatriz sea una recta se tiene 3 tipos de superficies regladas, dependiendo de la relación de la generatriz con el eje de giro:

1) Si la recta es paralela al eje de revolución se engendra una superficie cilíndrica. Veamos el caso particular si el eje de rotación es el eje OZ {x=0,

y=0} y la generatriz {x=r, y=0}.Las ecuaciones son:







=

=

+

µ

λ

z

y

x

2 2 , donde se

obtiene λ=r2, con lo que la ecuación del cilindro de revolución con eje de revolución el eje OZ es : x2+y2=r2.

2) Si corta al eje de revolución se engendra una superficie cónica. Ejemplo: Si la generatriz C es una recta en el plano OXZ, secante a OZ, de ecuaciones {x=mz, y=0}. Entonces de la misma eliminación anterior se tiene que

λ=m2·z2, resultando la ecuación de un cono de revolución de eje OZ y vértice el origen: x2 + y2=m2z2

3) Si se cruza con el eje de revolución se engendra un hiperboloide reglado de revolución.

Ejemplo: Si la generatriz C es una recta en un plano paralelo a OXZ, y se cruza con OZ, de ecuaciones {x=mz, y=b}. Entonces se tiene que λ-b2=m2·z2, con lo que la ecuación del hiperboloide de revolución respecto eje OZ es : x2+y2-m2z2=b2

3.2.Superficies de revolución no regladas.

Muchas son las superficies de revolución no regladas, las más importantes son cónicas, que veremos con posterioridad. En este apartado veremos una de las superficies de revolución más importante el Toro o Toroide.

Toro: es la superficie que se obtiene al girar una circunferencia entorno a un eje exterior a la misma. Veamos el caso más sencillo

donde eje de giro es el eje OZ y la circunferencia de ecuaciones {(x-a)2+z2=r2, y=0 (con r<a)}. Aplicamos que







=

=

+

µ

λ

z

y

x

2 2

con lo que obtenemos x2=λ, z=µ

(

)

2 2 2

(

)

2 2

(

2 2

)

z r a z r a r a + = → − =± − → = ± − −

µ

λ

λ

λ

_{+ = ± √ − + − = ±√ − , elevando al cuadrado tenemos la}

ecuación buscada: 4a2(x2+y2) = (x2 + y2 + z2 + a2 -r2)2 C Z Y X Y C Z X Y C Z X r A O Z Y X

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4.

Cuádricas.

4.1.Concepto de cuádrica.

Una cuádrica es una superficie de ecuación cartesiana implícita F(x, y, z) = 0, en la que el F es una función polinómica de segundo grado en x, y, z:

Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J = 0. Se cumple que si alguno de los términos Dxy, Exz o Fyz no es nulo son cuádricas giradas y para obtener la ecuación que veremos a continuación es necesario girar los ejes y orientarlos en las direcciones de simetría.

Al tratarse de una ecuación algebraica de segundo orden, la intersección con un plano da una curva con una ecuación de segundo grado en dos incógnitas, que suele ser una cónica. En general, las cuádricas son superficies cuya directriz es una cónica.

Para valores particulares de los coeficientes pueden obtenerse casos de cuádricas imaginarias (las que carecen de puntos) o cuádricas degeneradas (los cilindros y las que se reducen a un punto o una recta). Las no incluidas en las anteriores se denominan cuádricas propias (elipsoides, hiperboloides, paraboloides y conos).

4.2. Clasificación de las cuádricas.

Las cuádricas pueden ser regladas o no, desarrollables o no, de revolución o no, etc. Todos los puntos de una cuádrica admiten un único plano tangente, lo que permite clasificarlas en función de la posición de dicho plano con respecto a la superficie:

Plano tangente Casos

Cuádricas elípticas Deja superficie a un lado Elipsoides, paraboloide elíptico, hiperbolide 2 hojas

Cuádricas hiperbólicas Atraviesa la superficie Hiperboloide de una hoja,

parabolide hiperbólico Cuádricas parabolóicas Contiene línea de la superficie Conos y cilindros

Se realizará una breve descripción de las más relevantes en cada grupo. 4.3.Cuádricas elípticas.

Esfera: una superficie esférica o simplemente esfera de centro C(x0, y0,

z0) y radio r, es el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia

a C es constante e igual a r (radio).

Aplicando la definición: d(P,C)=

x

−

x

+

y

−

y

+

z

−

z

2

=

r

0 2 0 2 0

)

(

)

(

)

(

, de donde elevando al cuadrado obtenemos la ecuación de la esfera: e: (x-x0) 2 +(y-y0) 2 +(z-z0) 2

=r2. Si desarrollamos la expresión en cartesianas se cumple e: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0, de tal forma que se cumple: C(-A/2, _B/2, -C/2) y el radio r= · A B C 4D

2

1 2₊ 2₊ 2_{− .}

Elipsoide: La elipse más general (no de revolución) viene dada

por la expresión siguiente: ( )

(

) (

₂

)

1

2 0 2 2 0 2 2 0 ₊ − ₊ − ₌ − c z z b y y a x x

siendo el centro C(x0, y0, z0) y 2a, 2b, 2c los ejes de la elipse. Las

principales propiedades del elipsoide son:

P (x, y, z) C r Z Y X O C b c a

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 6 - La intersección del elipsoide con planos paralelos a los planos coordenados son elipses. - Tiene tres ejes de simetría e1(x=x0, y=y0), e2(x=x0, z=z0), e3(y=y0, z=z0). La intersección es

C(x0, y0, z0) el centro de simetría.

- Si alguno de los ejes son de igual tamaño son casos particulares siendo elipsoide de revolución. Por ejemplo si a=b es elipsoide de revolución por eje paralelo a OZ.

Paraboloide elíptico: cuya ecuación en el sistema de referencia ortonormal

es ( ) ( ₂ ) 2 ( ₀) 2 0 2 2 0 z z p b y y a x x − = − + −

(nota: la coordenada lineal puede ser en vez de z, x o y). Propiedades:

- Tiene un eje de simetría z=z0 que corta a la superficie en el vértice V(x0,

y0, z0). No tiene centro de simetría.

- La intersección por planos paralelos al plano OXY y la superficie son elipses. Y los paralelos a los otros dos planos coordenados con la superficie generan parábolas.

- Si a=b tendremos un paraboloide de revolución, con eje de rotación z=z0

Hiperbolide de dos hojas o hiperboloide elíptico: su ecuación es

1 ) ( ) ( ) ( 2 2 0 2 2 0 2 2 0 ₊ − ₋ − ₌₋ − c z z b y y a x x

(Nota: puede ser el signo – para x o y). Propiedades:

- Tiene tres ejes de simetría e1(x=x0, y=y0), e2(x=x0, z=z0), e3(y=y0,

z=z0). La intersección es C(x0, y0, z0) el centro de simetría que no

pertenece a la superficie.

- La intersección por planos paralelos al plano OXY y la superficie son elipses. Y los paralelos a los otros dos planos coordenados con la superficie generan hipérbolas.

- Si a=b tendremos un paraboloide de revolución, con eje de rotación z=z0 siendo la

generatriz una hipérbola con eje real eje OZ

4.4. Cuádricas Hiperbólicas.

Hiperboloide de una hoja o hiperbólico: su ecuación en el sistema

OXYZ es ( ) ( ) ( ₂ ) 1 2 0 2 2 0 2 2 0 ₊ − ₋ − ₌ − c z z b y y a x x

(Nota: puede ser el signo – para x o y). Propiedades:

- Tiene tres ejes de simetría e1(x=x0, y=y0), e2(x=x0, z=z0), e3(y=y0,

z=z0). La intersección es C(x0, y0, z0) el centro de simetría que si

pertenece a la superficie.

- La intersección del hiperboloide por planos z = z0+k paralelos a

X Y Z Y √2c X Z a b X Z Y a b

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 7 OXY, dan elipses reales, cuyos ejes crecen al aumentar |k|. La de ejes mínimos es la obtenida por el plano z=z0 (k = 0), elipse de garganta.

- Las secciones por los otros dos planos coordenados dan hipérbolas.

- El hiperboloide es una superficie reglada.

- Si a=b tendremos un paraboloide de revolución, con eje de rotación z=z0 siendo la

generatriz una hipérbola con eje real eje OX.

Paraboloide hiperbólico (Silla de Montar): su ecuación es

) ( 2 ) ( ) ( 0 2 2 0 2 2 0 z z p b y y a x x − = − − − . Propiedades:

- Tiene dos ejes de simetría e1(x=x0, z=z0), e2(y=y0, z=z0).

La intersección es C(x0, y0, z0) que no es centro de

simetría pero si pertenece a la superficie.

- La intersección del paraboloide por planos z =z0 +k (k ≠

0) paralelos a OXY, dan hipérbolas, cuyos vértices se

apoyan en las parábolas resultantes de cortar la superficie por los planos coordenados OXZ y OYZ.

- Las hipérbolas anteriores, al variar k de –∞ a +∞, engendran el hiperboloide.

- La intersección con el plano z = z0, da un par de rectas secantes en el origen de

ecuaciones y = ± b/a.

- Los planos paralelos a OYZ (x = λ) y a OXZ (y = µ) producen secciones que son parábolas.

4.5.

Cuádricas parabólicas.

Cono elíptico: las ecuaciones del cono son:

2 2 0 2 2 0 2 2 0) ( ) ( ) ( c z z b y y a x x − = − + − o cambiando la posición de la x o la y en la de z. Propiedades:

- Tiene tres ejes de simetría: e1(x=x0, y=y0), e2(x=x0, z=z0), e3(y=y0, z=z0)

- El punto V(x0, y0, z0 ) es el vértice del cono y centro de simetría.

- La intersección del cono por planos paralelos al plano OXY, z=z0+k, genera

elipses, más grandes cuanto mayor sea el valor de |k|.

- La intersección por planos paralelos a los otros dos planos coordenados genera hipérbolas.

- Los planos paralelos a las generatrices generan parábolas.

- Es una curva reglada

- Si a=b es un cono circular que se obtiene como superficie de revolución de una recta que corta por el eje de revolución.

X Y

Z

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 8 Cilindros: los cilindros son superficies cuya intersección con todos los planos perpendiculares al eje de simetría (tomaremos eje OZ) siempre genera la misma superficie. Por tanto en la ecuación de los cilindros no intervendrá coordenada z:

Cilindro elíptico: ( ) ( ₂ ) 1 2 2 2 = − + − b y y a x x _{o o} Cilindro hiperbólico: ( ) ( ₂ ) 1 2 2 2 = − − − b y y a x x _{o o} Cilindro parabólico: y2=2·p·x

Cilindro elíptico Cilindro hiperbólico Cilindro parabólico

5.

Presencia en el arte, naturaleza y la técnica.

Las formas geométricas que se han estudiado en el presente tema tienen gran incidencia en el entorno científico, tecnológico y artístico.

La esfera, por ejemplo, está siempre presente en nuestra vida. Todo los planetas, satélites, estrellas, etc. Tienen formas más o menos esféricas. A nivel microscópico también la presencia de la esfera es patente (células, gotas de rocío, partículas atómicas, etc.).

La esfera tiene una propiedad importante además de la simetría perfecta (todo plano y todo eje diametral son elementos de simetría), y es que se trata de una superficie minimal, en el sentido de que es la superficie cerrada que con igual área encierra mayor volumen.

En la técnica y en la ciencia también hay multitud de ejemplos de utilización de las formas esféricas. Por ejemplo, la construcción de depósitos esféricos para almacenar gas o combustible se da en refinerías, centrales, etc., por sus ventajas técnicas.

El toro circular es otra forma que se emplea con frecuencia en el arte (anillos, pulseras, etc.) y en la técnica (ciclotrones, ruedas, flotadores, etc.).

El elipsoide es la forma que adoptan tanto un balón de rugby como una gragea, entre otros muchos objetos de nuestro entorno. Pero a nivel macroscópico se sabe que los cuerpos celestes no tienen formas exactamente esféricas, sino achatadas por los polos, por lo que tales formas son también elipsoides. También se utiliza el elipsoide en globos y dirigibles para mejorar el coeficiente de penetración aerodinámica con respecto a la esfera, sin perder mucha capacidad de concentración de volumen.

El elipsoide y el paraboloide elíptico tienen las mismas propiedades reflectoras que sus secciones (elipses o parábolas) por planos paralelos al eje principal. Esto tiene incidencia cara a la reflexión en tales superficies de la luz, el sonido y las ondas electromagnéticas. Así se explica por qué se construyen en forma de paraboloide de revolución los espejos de los faros de un automóvil o de las linternas, los reflectores de telescopios de los observatorios astronómicos, las antenas parabólicas de televisión, los calefactores, etc. Esto permite concentrar en un

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 9 punto toda la luminosidad de un haz de rayos paralelos que incidan en el espejo. Recíprocamente, si se sitúa el foco emisor en ese punto, los rayos al reflejarse tomarán la dirección paralela al eje principal del paraboloide.

6.

Conclusiones.

En el currículo de ESO se estudian las figuras geométricas en el espacio siguientes: la esfera, el cilindro y el cono, además de los poliedros. No se estudian desde un punto de vista algebraico sólo de forma geométrica, estudiando así sus propiedades, sus áreas y sus volúmenes.