TEMA 52.Producto Escalar de vectores. Producto Vectorial y

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 52.

Producto Escalar de vectores. Producto Vectorial y

Mixto. Aplicación y resolución problemas Físicos y Geométricos

1. Introducción

La Geometría desarrollada en la Grecia clásica sufre un cambio conceptual en el siglo XVII de manos de matemáticos como Fermat y Descartes. A partir de este momento la aritmetización de la geometría genera un nuevo enfoque que va a generar un gran avance en esta rama matemática.

Por otro lado el concepto de vector y magnitud vectorial utilizado en los siglos XVI y XVII por los físicos de la época se plasma en nuevos conceptos matemáticos, los espacios vectoriales, si bien su definición axiomática no se plasma hasta el siglo XIX a manos de Cantor. Las operaciones de espacios vectoriales que veremos en el tema, productos escalar, vectorial y mixto permiten definir conceptos geométricos como ángulos, distancias, áreas, volúmenes y conceptos físicos como el trabajo, la fuerza de Lorentz o el campo magnético.

2. Definiciones previas.

Antes de definir el producto escalar, vectorial y mixto vamos a definir el marco de trabajo de estas operaciones, el espacio afín.

Se llama espacio afín a una terna A=(Π, V, ϕ) donde se cumple Π es un conjunto no vacio de elementos denominados puntos; V un espacio vectorial y ϕ una aplicación que relaciona vectores con puntos de la forma siguiente:

ϕ: ΠxΠ V

P, Q ϕ(P,Q)=PQ Cumpliéndose las propiedades:

1. ϕ(P,Q)=0 P=Q 2. ϕ(P,Q)+ ϕ(Q,R)= ϕ(P,R)

3. ∀ P∈Π y v∈V entonces ∃ Q∈Π: tal que ϕ(P,Q)=v

Los casos más importante son el Plano Afín, de dos dimensiones: A2=(Π2, ℝ 2

, ϕ) y el Espacio Afín, de tres dimensiones: A3=(Π3, ℝ

3

, ϕ). Los puntos en el plano y espacio afín pertenecen a los conjuntos Π2= ℝݔℝ y Π3= ℝݔℝxℝ.

Para describir el espacio afín se usan los sistemas de referencia ℛ={O,u₁,u₂,...,u_n } siendo O∈Π, un punto denominado origen y {u₁,u₂,...,u_n } una base del espacio vectorial V. Así todo vector

v ∈

V

se podrá expresar en función de la base de V: v=

λ

₁·u₁+...+

λ

_n·u_n y todo punto P a partir de las coordenadas del vector OP=P1·u1+...+Pn·un →P(P1,P2,...,Pn).

3. Producto escalar. Espacio Euclideo.

3.1. Definición y ejemplos.

Dado un ℝ-Espacio vectorial, V, llamaremos producto escalar a una aplicación, f, que actúa sobre VxV para llevar al cuerpo ℝ de la siguiente forma:

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 2 f: VxV ℝ

u,v f(u,v)=

u·

v

(notación simplificada), cumpliéndose 4 axiomas:

- Axioma 1 (Conmutativa):

u·

v

₌

v·

u

- Axioma 2 (definida positivo):

u

·

u

>0 si

u

≠0

- Axioma 3 (distributiva): u·

(

v+w

)

=u·v+u·w

- Axioma 4 (distributivo con el producto escalar): (

α

·u)·v=

α

·(u·v)

Propiedades inmediatas de la definición:

1. (u+v)·w=u·w+v·w. Demostración:

u

v

w

w

u

v

w

u

w

v

u

w

v

w

Ax Ax Ax

·(

)

·

·

·

·

)·

(

1 3 1

+

=

+

=

+

=

+

2. u·

( )

α

·v =

α

·(u·v). Demostración:

·

( ) ( )

·

·

·

·(

·

)

·(

·

)

1 4 1

v

u

v

u

u

v

v

u

ax ax ax

α

α

α

α

=

=

=

3.

u

· =

0

0

. Demostración: u·0=u·

( )

0+0 =2·u0↔u·0=0 4. u·v=0∀v↔u=0.Demostración: Si v=u→u·v=u·u>0siu≠0(ax2),u=v=0

Ejemplos de productos escalares:

a) En V= ℝn_{, siendo}

(

)

n

x x x

v= ₁, ₂,..., y u=

(

y₁,y₂,...,y_n

)

se define el producto escalar de la siguiente forma:

∑

= = n i i i y x v u 1 ·

· . Veamos los 4 axionas: - Axioma 1:

u·

v

=

v·

u

uv x y y x vu n i i i n i i i· · · · 1 1 = = =

∑

∑

= =

- Axioma 2:

u

·u

> 0

→

u·

u

= · · 0

1 1 2 ≥ =

∑

∑

= = n i n i i i x x

x _{, siendo igual a cero sólo si x} i=0 para todo xi - Axioma 3: u·

( )

v+w=u·v+u·w
u

( )

v w x

(

y z

)

x y x z uv uw n i n i i i i i i i i · · · · · 1 1 + = + = + = +

∑

∑

= = - Axioma 4: (

α

·u)·v=

α

·(u·v)
(

α

·u)·v=

∑

(

)

=

∑

(

)

= = = n i y i n i y i y x y x 1 1 · · · · ·

α

α

α

·( vu· )

b) En V=f[a,b] conjunto de funciones continuas en [a,b] y el producto escalar definido como f(x)·g(x)=

∫

b

a

f

(

x

)·

g

(

x

)

dx

. Veamos los 4 axionas:

- Axioma 1:

u·

v

=

v·

u

u

v

f

x

g

x

dx

b

g

x

f

x

dx

v

u

a b

a

(

)·

(

)

(

)·

(

)

·

·

=

∫

=

∫

=

- Axioma 2:

u

·u

> 0

→

u·

u

=

(

(

)

)

0

2

_≥

∫

b

a

f

x

dx

, siendo igual a cero sólo si f(x)=0

- Axioma 3:

u

( )

v

w

f

x

(

g

x

h

x

)

b

f

x

g

x

f

x

h

x

u

v

u

w

a b a b a

(

)

(

)

(

)

(

)·

(

)

(

)·

(

)

·

·

·

+

=

∫

+

=

∫

+

∫

=

+

- Axioma 4:

(

·

u

)·

v

b

(

·

f

(

x

)

)

·

g

(

x

)

dx

(

f

(

x

)·

g

(

x

)

)

dx

·(

u

·

v

)

a b a

α

α

α

α

=

_∫

=

_∫

=

A todo espacio afín A=(Π, V, ϕ) con un producto escalar definido se denomina Espacio Euclídeo, y como veremos permite definir vectores perpendiculares y calcular la norma de los

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 3 mismos. Por ejemplo el Espacio y plano Afín con el producto escalar son el Espacio Euclídeo y el Espacio Euclídeo.

3.2. Norma de un vector. Distancia entre puntos.

Dado un espacio Euclídeo con un producto escalar definido, llamaremos norma de V a una aplicación que nos relaciona un vector de V con el cuerpo de la siguiente forma:

V

: ℝ

u

u

=

u

·

u

(tiene sentido pues

u·

u

≥0).

Propiedades inmediatas (a partir del producto escalar): 1. u ≥0 (pues

u·

u

≥0)

2. u =0 ↔ u=0:
u=0: u· =u 0, _ u =0 entonces u· =u 0 (Ax2 u·=0) 3.

λ

·u =

λ

·u :

λ

·

u

2

=

(

λ

·

u

)·(

λ

·

u

)

=

λ

2

·

u

·

u

=

λ

2

u

2

→

λ

·u =

λ

·u

4. u·· ≤v u·v (Desigualdad de Schwartz). Demostración:  Si

v

=0 o u =0 ( o los dos) entonces u·

v

= u ·v =0

 Si

v

≠0 y u≠0:

(

λ

·

u

+

v

)(

·

λ

·

u

+

v

)

=

λ

2

u

2

+

2

λ

·

u

·

v

+

v

2

≥

0

, luego el discrimínate es negativo (no soluciones reales):

( )

2

·

u

·

v

2

−

4

·

u

2

·

v

2

<

0

→

u

·

v

<

u

·

v

5. u+v ≤ u + v (Desigualdad de Minkouski). Demostración

( )( )

2 2 2 2

(

)

2 2

·

2

·

2

·

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

v

v

u

v

u

+

=

+

+

=

+

+

≤

+

+

=

+

Sea el espacio Afín A=(Π, V, ϕ) definimos como distancia de dos puntos de Π a una aplicación que nos relaciona estos dos puntos con el cuerpo de V (ℝ) de la siguiente forma:

d: ΠxΠ ℝ

P,Q d(P,Q)= PQ

Propiedades (inmediatas por la definición de norma y de vector PQ): 1. d(P,Q)≥0

2. d(P,Q)=0

↔

P =

Q

3. d(P,Q)=d(Q,P) 4. d(P,Q)≤d(P,R)+d(R,Q) Ejemplos:

a) En ℝn la norma del vector v=

(

v₁,v₂,...,v_n

)

es

∑

=

=

n i i

x

v

1 2

b) Si tenemos el espacio vectorial de f[a,b] (funciones continuas en el intervalo) se puede definir la norma como

=

∫

b

a

f

x

dx

x

f

(

)

(

)

2 .

Todo espacio vectorial que tenga definida una aplicación “norma” se denomina espacio normado. Todo espacio Euclideo es normado, pues a partir del producto escalar se define la norma.

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 4 Los vectores con norma unidad se llaman vectores unitarios.

Proposición: siempre es posible construir un espacio con base con vectores unitarios.

Demostración: Sea B={v1,v2, ,v_n } una base del espacio, definimos Bu={

n n v v v v v v , , , 2 2 1 1 _}

={u1,u2, ,u_n } que veremos que es otra base:

1. Genera: u=

λ

₁·v1+

λ

2v2 +...+

λ

_nv_n =

β

1u1+

β

2u2 +...+

β

nun siendo

β

i = ui·

λ

i . 2. Independientes: al ser igual número de vectores que B, por el teorema de la dimensión

entonces si genera son linealmente independientes, y por tanto base.

3.3. Ortogonalidad y ángulo entre dos vectores.

Dos vectores u,v∈V ortogonales, u ⊥v, si su producto escalar es 0 (

u

· =

v

0

). Propiedad: 1. El vector nulo,

0

, ortogonal a todos los vectores

u

· =

0

0

(definición producto escalar) 2. El único vector ortogonal consigo mismo es el vector nulo,

0

:

u

·

u

=

0

→

u

=

0

. 3. Si

u ⊥

v

se cumple que

u

+

v

2

=

( )

u

+

v

·

(

u

+

v

)

=

u

2

+

v

2

+

2

·

u

·

v

=

u

2

+

v

2

4. Dado un conjunto de vectores ortogonales entre sí no nulos entonces son linealmente

independientes: 0; · 0 · · 0 1 1 1 = = → = =

∑

∑

∑

= = = j j n i i j i n i i i j n i i iv v

λ

v

λ

v v

λ

v

λ

λ

j = 0∀j

Se llama ángulo entre dos vectores u y v,

∠

( v

u

,

)

, al que se obtiene de la expresión siguiente: u·v= u·v·cos(∠(u,v)). Si dos vectores son ortogonales entonces el ángulo

)

,

( v

u

∠

=90o=π/2 rad. Por desigualdad de Schuarzt se cumple

1

·

·

))

,

(

cos(

1

≤

∠

=

≤

−

v

u

v

u

v

u

. 3.4. Producto escalar en ℝ૛ y ℝ૜ .

La norma, distancia y ángulo cobran significado geométrico si los aplicamos en el plano, ℝ૛

o en espacio ℝ3_.

Veamos cómo se calcula el producto escalar y a partir del mismo la norma y el ángulo. Tenemos primero que calcular el producto de los vectores directores ortogonales (perpendiculares módulo 1) {e₁, e₂}.

( )

(

)

   ≠ = = = = ∠ = j i si j i si e e e e e e_{i j i j i j} 0 ) 90 ·cos( 1 · 1 1 ) 0 ·cos( 1 · 1 , ·cos · ·

Conocido como es el producto entre los vectores directores podemos calcular el producto de cualesquiera dos vectores utilizando la linealidad del producto escalar:

(

)(

)

(

)

1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1

·

·

1

0

0

1

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

·

)

,

)·(

,

(

·

u

v

u

v

v

v

e

e

e

e

e

e

e

e

u

u

e

v

e

v

e

u

e

u

v

v

u

u

v

u

_

=

+











=





























=

+

+

=

=

Veamos que la norma, y el ángulo coincide con la definición geométrica esperada:

• Norma de un vector: 2 2 2 1

·

u

u

u

u

u

=

=

+

=d(O,P) (Pitágoras) u2 P

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 5 • Ángulo de dos vectores:

(

)

hipotenusa opuesto Cateto v v v u v u v u v u v u _{= = =} u ₌ ∠ · · · ) , ( cos

La definición en ℝ3_{es equivalente pero con una dimensión más.}

4. Producto vectorial.

4.1. Definición.

Antes de definir el producto vectorial tenemos que introducir el concepto de orientación. Dos bases de un espacio vectorial tienen misma orientación si el determinante de los coeficientes de una base en función de la otra (matriz de cambio de base) es positivo. Fijada una base otras dos bases misma orientación si las dos la misma orientación o las dos diferente orientación respecto al base fijada.

El producto vectorial sólo definido en espacios V de dimensión 3. Sea {e₁,e₂,e₃} una base de V, el producto vectorial de dos vectores a otro vector

u

×

v

=

w

cumpliendo:

a) Módulo: w = u×v = u ·v sen

(

∠(u,v)

)

b)

(

u×v

)

·u=

(

u×v

)

·v=0(ortogonal a ambos vectores)

c) La orientación de

(

u

,

v

,

w

)

·

es la misma que la base {e₁,e₂,e₃} Propiedades inmediatas:

1. u ×v=−v ×u(si cambiamos una fila de la matriz el determinante cambia de signo) 2.

u

×

(

v

+

w

)

=

u

×

v

+

u

×

w

(linealidad del determinante)

3.

u

×

0 =

0

(el módulo del vector nulo es cero)

4.

( )

λ

·

u

×

v

=

u

×

( )

λ

v

=

λ

·

(

u

×

v

)

(Una fila proporcional y se puede sacar constante)

4.2. Expresión analítica en ℝ3 _{del producto vectorial.}

En el espacio, ℝ3_{, podemos calcular de forma analítica el resultado del producto vectorial}

de dos vectores. Para calcular el producto vectorial hace falta fijar la base, elegiremos la base ortonormal {ex,ey,ez} también conocidos como {i, j,k}. Se fija así la orientación, definida como positiva la que cumpla que tenga misma orientación que estos tres vectores (ex×ey=ez). Para ver el sentido del producto vectorial se utilizan a) la denominada “regla de la mano derecha”, donde el sentido del producto de dos vectores nos la marca el dedo pulgar cuando se lleva la palma de la mano en el primer vector y los otros cuatro dedos indican el afijo del

u

v

u

v

) , ( vu ∠ u1 e1 e2 O

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 6 segundo vector b) la regla de la mano izquierda, donde el dedo corazón indica el sentido del primer vector, el índice el del segundo y el pulgar en el tercero.

Regla de la mano derecha Regla de mano izquierda

El producto vectorial de los tres vectores de la base nos permite calcular el producto vectorial de cualquier otro vector, poniendo estos en la base y aplicando la linealidad del producto vectorial.

Demostración: (2)

– e_y×e_z = e_y·e_Z ·cos(90)=1 . – Dirección perpendicular a e_y y e_z . – Sentido mismo que {e_x,e_y,e_z} pues cambian dos columnas

Proposición: el producto vectorial del vector u=(u_x,u_y,u_z)=u_x·e_x +u_y·e_y+u_z·ezcon el vector v=(v_x,v_y,v_z)=v_x·e_x+v_y·e_y+v_z·e_z es otro vector con las siguientes coordenadas:

        − = = × ₁, ₂ , e₃ v v u u e v v u u e v v u u v v v u u u e e e v u y x y x z x z x z y z y z y x z y x z y x

Demostración: por linealidad del producto vectorial y el producto de los vectores de la base:

(

uxex uyey uzez

)

(

vxex vyey vzez

)

uyvz uzvy ex uzvx uxvz ey uxvy uyvx ex

v

u× = · + · + · × · + · + · =( · − · )· +( · − · )· +( · − · )·

Interpretación geométrica: el módulo del producto vectorial es el área del paralelogramo que generan los dos vectores:

h v sen v u v u× = · · (

ϑ

)= ·      = × = × = × y x z x z y z y x e e e e e e e e e ) 3 ( ) 2 ( ) 1 (

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 7

5. Producto Mixto.

Definición: El producto mixto al igual que el vectorial se define en espacios vectoriales en tres dimensiones. Se llama producto mixto de tres vectores al número real que resulta de multiplicar escalarmente el primer vector por el producto vectorial de los otros dos.

[ ]: V3 x V3 x V3 ℝ

u, v, w [u,v, w]=u·

(

v×w

)

Valor numérico: A partir de los módulos de los vectores y del ángulo entre ellos se calcular el valor del producto mixto:

[u,v, w]=u·

(

v×w

)

= u·v×w cos(∠(u,v×w)= u·v·w·sen(∠(v,w))(cos(∠(u,v×w)

Interpretación geométrica: el valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo que forman los tres vectores. Demostración:

El módulo de

v ×

w

es el área de la base, y la dirección perpendicular a la base, formando un ángulo α con

u

:

[

u,v, w

]

=Abase·u ·cos(

α

)= Abase·h

Valor analítico: si las coordenadas de V3 son ortonormales orientados positivamente el producto mixto, [u,v, w], siendo las coordenadas de los vectores: u=

(

u_x,u_y,u_z

)

,

(

vx vy vz

)

v= , , y w=

(

w_x,w_y,w_z

)

viene dado por el determinante:[u,v, w]=

z y x z y x z y x w w w v v v u u u

Demostración: valor analítico del producto vectorial:

_















=

×

y x y x x z x z z y z y

w

w

v

v

w

w

v

v

w

w

v

v

w

v

,

,

luego:

(

)

ermiante desarrollo y x y x x z x z z y z y

w

w

v

v

x

w

w

v

v

x

w

w

v

v

x

w

v

u

det 3 2 1

·

·

×

=

+

+

=

z y x z y x z y x w w w v v v u u u

Propiedades (propiedades de los determinantes):

a) [u,v, w]=0 ↔ {u,v, w} son linealmente independientes. h

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 8 b) [u,v, w]=

[

w

,

u

,

v

]

=

[

v

,

w

,

u

]

=-

[

v

,

u

,

w

]

=

−

[

u

,

w

,

v

]

=

−

[

w

,

v

,

u

]

c) [

λ

·u,v, w]=[u,

λ

·v, w]=[u,v,

λ

·w]=λ·[u, v, w] d) [u+u,' v, w]=[u,v, w]+[u,'v, w]

6. Aplicaciones, resolución de problemas geométricos y físicos.

6.1. Aplicaciones a problemas geométricos.

El producto escalar como hemos visto nos permite definir nociones métricas en el plano y en el espacio como norma, distancia y ángulos. Por otro lado el producto vectorial nos determina las áreas y el producto mixto el volumen.

Cálculo de las distancias:

1) Distancias entre 2 puntos P y Q : d(P,Q)=

PQ

=

(

P

_x

−

Q

_x

)

2

+

(

P

_y

−

Q

_y

)

2

+

(

P

_z

−

Q

_z

)

2

2) Distancia entre un punto y una recta: d(r,Q)=

2 2 ·         − v v PQ PQ , siendo Q un punto

de la recta y

v

un vector director de la misma.

Demostración: calculando la proyección de PQ sobre la recta r (es decir sobre

v

) y aplicamos Pitágoras. x= v v PQ· Ejemplo: r=(1,0,2)+λ(1,0,0) y P(5,0,1). Se cumple Q(1,0,2) y

v

=(1,0,0), PQ=(-4,0,1): x= v v PQ· =-4, luego d(P,r)=

(

(−4)2+02 +12

)

−(−4)2 =1

3) Distancia de un punto y un plano: d(P,π)=

n n PQ·

, siendo Q un punto del plano y

n

es

el vector normal.

Demostración: la distancia es la proyección del vector PQ sobre el vector normal

n

P Q

v

d x Q

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria Ejemplo: π:3x+y+z+1=0 y el punto P(0,0,1)

2 11 ) 2 , 0 , 0 )·( 1 , 1 , 3 ( ) , (P

π

= = d

4) Distancia entre rectas que se cruzan

Es igual a la distancia entre una recta (un punto de la otra recta y es paralela a la otra recta:

s r v

v

n = × , un punto del plano será un punto de r, A. Aplicando el cálculo de la distancia de un punto a un plano se obtiene la fórmula obtenida.

Cálculo de las ángulos: Para el cálculo de ángulos se utiliza la forma del producto escalar

que nos relaciona los ángulos de dos vectores cualesquiera.: 1) ángulo entre dos rectas

vectores directores, pues estos vectores son paralelos a las rectas (Si sale mayor de 90

    = ∠ = ∠ − u v u s r, ) ( , ) cos ( 1

2) ángulos entre dos planos

ángulo es igual que el formado por dos vectores perpendiculares a los mismos planos. (Si sale mayor de 90

suplementario) = ∠ = ∠ 2 1, ) ( ) , (

π

₁

π

₂ n_π n_π

3) Ángulo entre plano y

complementario entre el vector normal al plano y el director, paralelo, a la recta. (si sale

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) :3x+y+z+1=0 y el punto P(0,0,1)
_{Q(0,0,-1) y}

n

=(3,1,1),

11 11 2

Distancia entre rectas que se cruzan:

s r s r v v AB v v s r d × × = ( )·( ) ) , (

Es igual a la distancia entre una recta (un punto de la misma) y el plano que contiene a la otra recta y es paralela a la otra recta:

d

(

r

,

s

)

=

d

(

π

,

r

₂

)

=

d

(

π

,

B

)

. Se cumple que , un punto del plano será un punto de r, A. Aplicando el cálculo de la distancia de un punto a un plano se obtiene la fórmula obtenida.

Para el cálculo de ángulos se utiliza la forma del producto escalar ulos de dos vectores cualesquiera.:

cos

(

∠

(

u

ˆ

,

v

)

)

=

) ángulo entre dos rectas: es el mismo que el ángulo de sus vectores directores, pues estos vectores son paralelos a las rectas

(Si sale mayor de 90o se calcula el suplementario).

    v u v u · · .

ángulos entre dos planos: propiedades de los ánguos este ángulo es igual que el formado por dos vectores perpendiculares a los mismos planos. (Si sale mayor de 90o se calcula el

        = − 2 1 2 1 · · cos 1 π π π π n n n n

Ángulo entre plano y recta. Por propiedades de los ángulos es el ángulo complementario entre el vector normal al plano y el director, paralelo, a la recta. (si sale

9 ) 2 , 0 , 0 ( = PQ

misma) y el plano que contiene a la . Se cumple que , un punto del plano será un punto de r, A. Aplicando el cálculo de la distancia

Para el cálculo de ángulos se utiliza la forma del producto escalar

v

u

v

u

·

·

. Por propiedades de los ángulos es el ángulo complementario entre el vector normal al plano y el director, paralelo, a la recta. (si sale

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 10 mayor de 90o es el complementario)         =         − = ∠ − = ∠ − − r r r r r v n v n sen v n v n v n r · · · · cos 90 ) , ( 90 ) , ( 1 1 π π π π π

π

Cálculo de la ecuación de un plano: El producto mixto nos permite calcular la ecuación de

un plano a partir de dos vectores directores, v =(v_x,v_y,v_z)y u =(u_x,u_y,u_z), y un punto P(Px,Py,Pz). Todo punto genérico del plano X(x,y,z) cumple que junto al punto P forma vectores coplanarios (proporcionales) a los vectores directores, y por tanto el volumen del paralelepípedo que se obtiene del producto mixto es cero, [

v

,

u

,

PX

]=0.

a

0

0

→

+

+

+

=

=

−

−

−

D

Cz

By

Ax

u

u

u

v

v

v

P

z

P

y

P

x

z y x z y x z y x ,

siendo

(

A

,

B

,

C

)

=

v

×

u

=

n

un vector perpendicular a los directores y por tanto al plano.

6.2.

Trigonometría

Se utiliza para demostrar algunos teoremas y para el cálculo de las áreas de los triángulos. Veamos algunos ejemplos.

Área de un triángulo: El área de un triángulo ABC es la mitad que la del paralelepípedo con

lados AB y BC, por tanto se calcula de forma muy mecánica a partir del producto vectorial:

BC AB AreaABC = ×

2 1

Teorema del coseno y Pitágoras: Nos relacionan los lados y ángulos de un triángulo a

partir de la siguiente expresión:

     − + = − + = − + = ) ·cos( 2 ) ·cos( 2 ) ·cos( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C bc b a c B bc c a b A bc c b a .

Demostración: a partir del producto escalar

a

=

b

+

c

( )( )

· 2 ·cos( )

·a b c b c a2 b2 c2 b c A

a = + + → = + −

Si A=90o
a2=b2+c2 (Pitágoras)

Teorema del seno:

c C sen b B sen a A sen( ) ( ) ( ) =

= se demuestra a partir del producto vectorial

y del área de un triangulo:

) ( · · ) ( · · 2 1 A sen a c B sen BC AB BC BA Area_ABC = × = = ) ( · · ) ( · · 2 1 A sen c b A sen AB AC AB AC AreaABC = × = = c C sen b B sen a A sen( ) ( ) ( ) = =

a

b

c

C A B

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria 2 1 CA CB CA Area_ABC = × = 6.3.

Física.

Trabajo de una fuerza: el trabajo asociado a una fuerza mecánica

realiza un desplazamiento

d

Movimiento circular: está ampliamente relacionada con el producto vectorial. Si un

cuerpo se mueve según una trayectoria circular la velocidad depende de la velocidad angular, w, y de la distancia del centro de giro, r. Pero como la velocidad es un vector y es perpendicular al vector posición ,

definir como vr=w×r .De igual forma el momento angular como

Electromagnetismo: En la rama del electromagnetismo aparecen muchas magnitudes y

teoremas asociados al producto vectorial • Vector de Pointing (flujo de energía): • Fuerza de Lorentz: F

• Teorema de Gauss para el cálculo de

• Teorema de Ampere para el cálculo de campo magnético:

7. Conclusiones.

El producto escalar se estudia en 4º de la ESO y en Matemáticas I y Matemáticas II de 1º y 2º Bachillerato. El producto vectorial y mixto está asociado a la geometría en 3 dimensiones, y por tanto sólo aparece en el currículo de 2º Bachillerato en Matemáticas II.

r

p

v ,

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es)

) ( · · ) ( · ·CB senC basen A CA =

el trabajo asociado a una fuerza mecánica,

F

, de un cuerpo que viene definido a partir del producto escalar:

·cos( · ·d Fd

α

F W = = (α ángulo entre

F

y

d

está ampliamente relacionada con el producto vectorial. Si un cuerpo se mueve según una trayectoria circular la velocidad depende de la velocidad angular, w, y de la distancia del centro de giro, r. Pero como la velocidad es un vector y es

vector posición , r, y al vector perpendicular al plano de giro, .De igual forma el momento angular como L =r× p

: En la rama del electromagnetismo aparecen muchas magnitudes y teoremas asociados al producto vectorial y escalar. Veamos alguno de ellos:

Vector de Pointing (flujo de energía): S = E×H

2 1

(

v H

)

q F = · × 2 1

Teorema de Gauss para el cálculo del campo eléctrico:

0 sup ·

ε

enc q S d E

∫

=

Teorema de Ampere para el cálculo de campo magnético:

∫

Bdl =I_enc

estudia en 4º de la ESO y en Matemáticas I y Matemáticas II de 1º y El producto vectorial y mixto está asociado a la geometría en 3 dimensiones, y sólo aparece en el currículo de 2º Bachillerato en Matemáticas II.

L

w,

11 de un cuerpo que )

α

d

).

está ampliamente relacionada con el producto vectorial. Si un cuerpo se mueve según una trayectoria circular la velocidad depende de la velocidad angular, w, y de la distancia del centro de giro, r. Pero como la velocidad es un vector y es vector perpendicular al plano de giro,

w

, se puede

v r m p= · ×

: En la rama del electromagnetismo aparecen muchas magnitudes y

0

·

µ

enc

estudia en 4º de la ESO y en Matemáticas I y Matemáticas II de 1º y El producto vectorial y mixto está asociado a la geometría en 3 dimensiones, y