MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16. f : A! B x 7! y = f(x):

MATEMÁTICAS BÁSICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN CLASE #16

Función

SeanAyBconjuntos. Unafunciónf deAenBes una regla que asigna a cada elementox₂Aexactamante un elementoy₂B: El elementoy₂B, se denota porf(x);y decimos quef(x)es laimagen dexbajof, o quef(x)es el valor def en x: xse llama lavariable independiente e y lavariable dependiente. Notación: Sif es una función deAenB;también escribimosf :A_!B o A_!f B;o más explícitamente

f :A_!B

x_{7 !}y=f(x): Ejemplo

Consideremos los siguientes conjuntos:

A=_f0;1;2;3;4_g; B=_f10;20;30_g; C=_f5;6;7;8_g; D=_f40;50;60_g:

Si f y g son las relaciones de…nidas mediante estos diagramas, tenemos que: f asigna a cada valor del conjunto Aun sólo valor del conjuntoB;luegof es una función deA enB;pero comog asigna al número

5dos valores distintos40y50del conjuntoD,g no es una función deCenD: Dominio y Rango de una Función

Si A y B son conjuntos y f es una función de A en B; el conjunto A se llama dominiode la función y se denotaDf. El rango de f , denotado Rf;es el conjunto de todos los valores posibles de f(x)cuandox toma todos los valores en el dominio, es decir,

Una Función Como una Máquina

Podemos interpretar una función f de A en B como una máquinaf que recibe elementos x de A y los transforma en elementosf(x)deB

Ejemplo

Sea f la función de…nida por f(x) = 2x. Si entra x = 5, la máquina f lo múltiplica por 2 y arroja y=f(5) = 10:

x= 5es un elemento del dominio de f y f(5) = 10es un elemento del rango, ya que 10es la imagen de

5 mediante f. Claramente, la "máquina" f acepta cualquier número real como entrada, por lo tanto, el dominio def esR.

Un número es elemento del rango si es el doble de un número real, es decir, si es imagen de su mitad. Luego, el rango def esR.

Si f es una función de A enB, y tantoA como B son subconjuntos de R, decimos quef es una función real.

En adelante trabajaremos con funciones reales. Evaluación de una Función

Evaluar una función en un punto es hallar el valor de la función en ese punto. Para ello se reemplaza la variable independiente por ese punto y se calcula el valor de la variable dependiente, es decir, se encuentra el valor def en dicho punto.

Ejemplo

Seaf(x) = 5x+ 1.

Para evaluarf en3 escribimosf(3) = 5 3 + 1 = 16.

Y entoncesf de3 es igual a16es decir,16es la imagen de3bajo la funciónf.

Claramente el dominio def esRya que la expresión 5x+ 1está de…nida para cualquier número real. ¿Cuál es el rango def ?

Ejemplo

Seaf(x) = 4x2+ 5x. Calcular f(a+h) f(a)

h , siayhson números reales yh6= 0. Solución

Primero, evaluemosf enay ena+h, es decir, hallemosf(a)yf(a+h) :

f(a) = 4a2+ 5a

f(a+h) = 4 (a+h)2+ 5 (a+h) = 4 a2+ 2ah+h2 + 5a+ 5h

Luego, realizamos las operaciones indicadas: f(a+h) f(a) h = 4a2_{+ 8ah+ 4h}2_{+ 5a+ 5h 4a}2_{+ 5a} h = 4a 2_{+ 8ah+ 4h}2_{+ 5a+ 5h 4a}2 _5a h = 8ah+ 4h 2_{+ 5h} h = h(8a+ 4h+ 5) h = 8a+ 4h+ 5:

Determinación del Dominio de una Función

En los ejemplos anteriores fue fácil determinar el dominio de la función, ya que las reglas que de…nian las funciones tenían sentido para todos los números reales, pero hay otras funciones como las que involucran radicales o cocientes, que no están de…nidas para todox₂R.

Recordemos que las expresiones fraccionarias no están de…nidas para los valores que hacen0el denominador, y las expresiones que involucran radicales sólo tienen sentido para los valores que hacen positiva o0la cantidad subradical.

Ejemplo

Hallar el dominio de la funciónf de…nida por

f(x) = 1 9x2 ₄: Solución

Para que la expresión tenga sentido, el denominador debe ser diferente de0: Entonces el dominio def es: Df = x₂R= 9x2 4₆= 0 :

Los valores para los cuales9x2 _{4 = 0están excluidos del dominio:}

9x2 4 = 0 (3x+ 2) (3x 2) = 0 3x+ 2 = 0ó 3x 2 = 0 x= 2 3 ó x= 2 3

Por lo tanto, el dominio def es: Df = x₂R= x₆= 2 3 ^x6= 2 3 = 1; 2 3 [ 2 3; 2 3 [ 2 3; 1 : Ejemplo Hallar el dominio def(x) =p16 4x2_. Solución Df = x2R=16 4x2>0 :

Y estos valores los hallamos resolviendo la desigualdad16 4x2>0: 16 4x2 > 0 4 x2 > 0 (2 +x) (2 x) > 0 Luego, Df=fx2R= 26x62g= [ 2; 2]:

Grá…ca de una Función De…nición:

Sif es una función con dominioA, la grá…ca def es el conjunto de pares ordenados f(x; f(x))= x₂A_g:

Se puede interpretar el valor def(x)en la grá…ca como la altura de la grá…ca arriba del puntox:

Prueba de la Recta Vertical

Una curva en el planoxy es la grá…ca de una función si y sólo si ninguna línea vertical corta la curva más de una vez.

Ejemplo

Consideremos las siguientes curvas en el planoxyy veamos si corresponden a grá…cas de funciones.

No correponde a la grá…ca de una función ya que existen rectas verticales que

cortan la curva en dos puntos.

No corresponde a la grá…ca de una función ya que hay líneas rectas verticales que cortan la curva en más de un punto:

Sí corresponde a la grá…ca de una función ya que cualquier recta vertical corta la grá…ca

a lo sumo en un punto.

Plano Cartesiano

Un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, llamado tambiénplano cartesiano, está formado pordos rectascoordenadasperpendiculares(rectas reales, usualmente una horizontal y la otra vertical), llamadasejes coordenados, que se intersectan en un punto llamado origen.

La recta horizontal se llamaeje xy la recta verticaleje y. Generalmente se escoge la dirección positiva del eje xhacia la derecha y la dirección positiva del eje y hacia arriba.

Los ejes con sus direcciones dividen al plano en cuatro regiones llamadascuadrantes.

A cada punto P del plano le corresponde una pareja de números reales(a; b);dondeaes el punto de corte sobre eleje xde la recta perpendicular a este eje, que pasa por el punto(a; b); ybes el punto sobre eleje y del corte de la perpendicular a este eje, que pasa por(a; b): Los números aybse llamancomponentes ocoordenadas de(a; b)enxy eny respectivamente.

Recíprocamente, todo para ordenado(a; b)se representa mediante un puntoP que es la intersección de las rectas perpendiculares a los ejes coordenados que pasan, poraen eleje x;y porben eleje y;respectivamente. Es decir, los elementos deR2_{están en correspondencia biunívoca con los puntos del plano cartesiano, y por} ello escribimosP = (a; b);en vez de"P es el punto cuyo par de coordenadas es(a; b)":

Ejercicio

1. Ubicar los puntosP = (2; 3); Q= (p2;1

3); R= ( 5; 3

2);yS= ( 3

5;6)en el plano cartesiano.

2. Dados los siguientes puntos en el plano cartesiano, encontrar sus coordenadas.

Algunas Funciones Básicas y sus Grá…cas Funciones Lineales

Unafunción lineal es una función de la forma f(x) = mx+b. Se llama lineal porque su grá…ca es una línea recta.

La constantemse llamapendientede la recta, y es la tangente del ángulo de inclinación de la recta (ángulo que forma la recta con el eje x, medido en sentido antihorario, desde el eje xhasta encontrar por primera vez la recta).

La constantebes la coordenada del punto donde la recta intersecta eleje y, que corresponde al punto de la recta para el cualxes0.

Usualmente lo anterior se simpli…ca diciendo que y =f(x) = mx+b es una ecuación de una línea recta con pendientem, que intercepta aleje y en el punto(0; b);que se conoce como la ecuación de la recta en la forma pendiente intercepto.

Sabemos que en el plano una línea recta está completamente determinada por dos puntos distintos.

Si una recta pasa por los puntos P = (x1; y1)y Q= (x2; y2), podemos demostrar que la pendiente m de dicha recta está dada por:

m= y2 y1

x2 x1

; x26=x1:

La pendiente es la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal, cuando pasamos de un punto a otro sobre la recta.

m= desplazamiento vertical desplazamiento horizontal Rectay=mx+b Pendiente: m= y2 y1 x2 x1 Ángulo de inclinación: (m= tan )

Intersección con el eje y: (0; b)

Si una recta pasa por los puntosP = (x1; y1)yQ= (x2; y2); una ecución para dicha recta es y y1=

y2 y1 x2 x1

(x x1) que es equivalente ay=mx+b;conm= y2 y1

x2 x1

; yb=y1 y2 y1 x2 x1

x1;six2₆=x1: Siempre podemos escribir la ecuación de una línea recta en el plano en la forma

ax+by+c= 0;con a; byc constantes conocida como la forma general de la ecuación de la recta en el plano.

Ejemplo

Consideremos la rectaL:f(x) = 2x 1.

La grá…ca es el conjunto de puntos (x; y) ₂ R2 _{tales que y = f(x) = 2x 1, para todo x 2 R;o sea, el} conjunto de todos los puntos de la forma(x;2x 1)para todox₂R: Esta grá…ca corresponde a una línea recta que tiene pendientem= 2y corta el ejey en(0; 1).

Como sabemos que la recta pasa por el punto(0; 1);para gra…carla necesitamos otro punto que podemos obtener hallando el valor dey para un valor dex₆= 0:Si x= 1; y= 2(1) 1 = 1 y entonces el punto(1;1)

está sobre la recta y la grá…ca es la línea recta que pasa por los puntos(0; 1) y(1;1):

Como la pendiente de la recta es 2, si consideramos dos puntos diferentes sobre la grá…ca y medimos el desplazamiento vertical entre ellos, éste es el doble del desplazamiento horizontal.

Ejercicio

Halle la ecuación de esta recta sabiendo que pasa por los puntos(0; 1)y(1;1): Notas:

1. La pendiente no está de…nida para rectas verticales, ya que dos puntos cualquiera sobre una de estas rectas tienen la misma componente enx:

2. La pendiente de una recta horizontal es siempre igual a0: ¿Por qué? Ejemplo

La ecuación y=f(x) = 2corresponde a una recta con pendientem= 0y corta el ejey en el punto(0;2): Su grá…ca es el conjunto de puntos(x; y) ₂R2_{; tales que y = 2;que es una recta horizontal, ya que para} cualquier valor dex; y= 2:

Claramente, el dominio de la relación de…nida por la ecuacióny= 2esR;pero el rango se reduce al conjunto cuyo único elemento es2:

Ejercicio

Hallar una ecuación para la recta que cumple las condiciones dadas, gra…carla y hallar el dominio y el rango de la relación de…nida por ella.

a) Pasa por el punto(2; 3)y su intercepto con el eje yes 5: b) Su pendiente es 1

5 y pasa por el punto(0; 1):

Rectas paralelas y perpendiculares

SeanL1 yL2dos rectas no verticales;con pendientesm1 ym2 respectivamente

Decimos queL1 y L2 sonparalelasy escribimosL1_kL2; si tienen el mismo ángulo de inclinación, o, equi-valentemente, si tienen la misma pendiente.

Decimos que L1 yL2 sonperpendiculares, y escribimos L1 _?L2 si se cortan formando cuatro ángulos rectos, o equivalentemente, si el producto de sus pendientes es igual a 1:

L1?L2 () m1 m2= 1:

Para las rectas verticales, el paralelismo y la perpendicularidad, se de…nen sólo con las relaciones entre ángulos.

Ejercicio

a) Hallar una ecuación para la recta que pasa por los puntos( 3; 5)y es paralela a la recta cuya ecuación es4x 3y= 5:

b) Pruebe que las rectas3y 5x= 1

4 y5y+ 3x 3 = 0 son perpendiculares, halle el punto de intersección