UNIDAD VI PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

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UNIDAD VI

PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

RESUMEN PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

PRODUCTOS NOTABLES

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado.

Definición: Se llama producto notable a aquel que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación término a término.

CUADRADO DE UN BINOMIO

(𝒂 + 𝒃)𝟐= 𝒂𝟐+ 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

REGLA: “el cuadrado del primer término más el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término”.

(𝒂 − 𝒃)𝟐_{= 𝒂}𝟐_{− 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃}𝟐

REGLA: “el cuadrado del primer término menos el doble producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término”.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CONJUGADOS

Definición: Dos binomios son conjugados si sólo difieren en el signo de uno de sus términos. Como ejemplo, podemos decir que, (𝒂 + 𝒃) y (𝒂 − 𝒃) son binomios conjugados.

(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐_{− 𝒃}𝟐

REGLA: el producto de dos binomios conjugados es igual a la diferencia de sus términos al cuadrado.

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON UN TÉRMINO COMÚN El producto del binomio (𝑥 + 𝑎) por el binomio (𝑥 + 𝑏) es:

(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐 + (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃

REGLA: el cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común más el producto de los términos comunes.

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CUBO DE UN BINOMIO

(𝑎 + 𝑏)3_{= 𝑎}3_{+ 3𝑎}2_{𝑏 + 3𝑎𝑏}2_{+ 𝑏}3

REGLA: El cubo del primer término más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo término.

(𝑎 − 𝑏)3_{= 𝑎}3_{− 3𝑎}2_{𝑏 + 3𝑎𝑏}2_{− 𝑏}3

REGLA: El cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero término por el segundo término, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

FACTORIZACIÓN

Definición. A cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llaman factores.

Factorizar es el proceso que permite descomponer a una expresión algebraica en el producto de sus factores. En toda expresión debe obtenerse la máxima factorización posible.

FACTORIZACIÓN POR TÉRMINO COMÚN

De los términos de la expresión se seleccionan los que son comunes a todos los términos y se escriben como un solo factor que multiplica a los términos restantes encerrados entre paréntesis:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏 + 𝑐); FACTORIZACIÓN DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS

Una diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de dos binomios conjugados: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

FACTORIZACIÓN DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Un trinomio cuadrado perfecto (TCP) se Factoriza como el cuadrado un binomio: 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2= (𝑎 + 𝑏)2

𝑎2_{− 2𝑎𝑏 + 𝑏}2_{= (𝑎 − 𝑏)}2

TRINOMIO DE LA FORMA 𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐

El trinomio de la forma 𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}_{se Factoriza como el producto de dos binomios con un término en} común, es decir:

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TRINOMIO DEL TIPO 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}

𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑚𝑥 + 𝑟)(𝑛𝑥 + 𝑠)} Donde, 𝑎 = 𝑚𝑛, 𝑐 = 𝑟𝑠 y 𝑏 = 𝑛𝑟 + 𝑚𝑠

Esto es, si 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se expresa como el producto de dos binomios, los primeros términos de los binomios deben ser factores de 𝑎𝑥2_{, los dos segundos términos deben ser factores de}_𝑐_{y la suma de los} productos cruzados debe ser 𝑏.

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Agrupamos los términos que tengan factores comunes en un paréntesis, y los demás que tengan factores comunes en otro paréntesis, y separamos estos dos paréntesis por el signo que tenga el segundo término. Luego aplicamos la factorización por factor común en cada uno de los paréntesis.

FACTORIZACIÓN DE UNA SUMA DE CUBOS Y UNA DIFERENCIA DE CUBOS Suma de cubos

𝑎3_{+ 𝑏}3_{= (𝑎 + 𝑏)(𝑎}2_{– 𝑎𝑏 + 𝑏}2₎

REGLA: la suma de cubos se descompone en el producto de dos factores, el primer factor se forma por la suma de sus raíces y el segundo factor se forma con el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Diferencia de cubos

𝑎3 − 𝑏3= (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

REGLA: la diferencia de cubos se descompone en el producto de dos factores, el primer factor se forma por la diferencia de sus raíces y el segundo factor se forma con el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

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EJERCICIOS SOBRE PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN

I. PRODUCTOS NOTABLES

Aplicando la regla correspondiente, encontrar los productos indicados.

A. Cuadrado de un Binomio

1. (𝑎 + 3𝑏)

2

2. (4𝑎 − 𝑏)

2

3. (6𝑧 − 5𝑤

2

₎

2

4. (2 − 3𝑚

2

_𝑛

3

₎

2

5. (1 −

1 3

𝑠

2

₎

2

6. (

2 3

𝑎𝑏

2

_{− 3𝑐}

3

₎

2

7. (

3 5

𝑥

2

_𝑦

3

_{𝑧 +}

1 5

𝑢𝑣

2

₎

2

8. (5

𝑎 𝑏

− 4

𝑐 𝑑

)

2

9. (

2𝑥2 3𝑧3

−

3𝑦 4𝑤2

)

2

10. (−

3𝑥2 𝑧3

+

2𝑚3 𝑛

)

2

B. Producto de binomios conjugados

11. (𝑥 + 9)(𝑥 − 9)

12. (𝑥𝑦 + 3)(𝑥𝑦 − 3)

13. (𝑎 + 5𝑏)(𝑎 − 5𝑏)

14. (4𝑥𝑦 + 5𝑤)(4𝑥𝑦 − 5𝑤)

15. (2𝑥

2

_{+ 𝑦𝑧}

2

_)(2𝑥

2

_{− 𝑦𝑧}

2

₎

16. (

3𝑥 4

+

𝑦 5

) (

3𝑥 4

−

𝑦 5

)

17. (

3𝑎𝑏2𝑐 1 2 7

+

𝑥3𝑦5 3

) (

3𝑎𝑏2𝑐 1 2 7

−

𝑥3𝑦5 3

)

18. (

2𝑚2 4

+

2𝑛4 3

) (

2𝑚2 4

−

2𝑛4 3

)

19. (

𝑚2 3

+

2 5𝑚

) (

𝑚2 3

−

2 5𝑚

)

20. (

6𝑎𝑏𝑐2 𝑥𝑦

+

𝑗𝑘 2𝑏

) (

6𝑎𝑏𝑐2 𝑥𝑦

−

𝑗𝑘 2𝑏

)

C. Producto de binomios con un término en común

21. (2𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

22. (2 + 13𝑎)(2 + 𝑎)

23. (7𝑥 − 1)(7𝑥 + 2)

24. (𝑎

2

_{+ 10)(𝑎}

2

_{− 11)}

25. (𝑏

2

_{+ 5)(𝑏}

2

_{− 9)}

26. (𝑦

2

_{− 𝑧)(𝑦}

2

_{− 7𝑧)}

27. (7𝑎𝑏

2

_{− 1)(7𝑎𝑏}

2

_{− 9)}

28. (𝑎𝑏𝑐

2

_{+ 13𝑑)(𝑎𝑏𝑐}

2

_{− 2𝑑)}

29. (𝑚

2

_𝑛

3

_{− 1)(𝑚}

2

_𝑛

3

_{− 2)}

30. (2𝑥𝑦

3

_{− 10)(2𝑥𝑦}

3

_{− 2)}

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D. Producto de binomios

31. (3𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

32. (𝑥 − 3)(2𝑥 + 1)

33. (4𝑏 + 𝑎)(𝑏 + 2𝑎)

34. (3𝑐 − 2)(2𝑐 + 3)

35. (8𝑚 − 5)(2𝑚 + 4)

36. (5ℎ + 3)(4ℎ − 5)

37. (4𝑎 − 7)(5𝑎 + 2)

38. (2𝑚 − 3𝑛)(4𝑚 − 2𝑛)

39. (12𝑥 − 3𝑦)(6𝑥 − 5𝑦)

40. (6𝑐 − 3𝑑)(2𝑐 − 7𝑑)

E. Cubo de un binomio

41. (2𝑦 + 3)

3

42. (2 + 𝑧)

3

43. (3𝑘 − 1)

3

44. (2𝑎

2

_{− 𝑦}

4

₎

3

45. (2𝑥 − 3𝑦)

3

46. (4𝑚

4

_{+ 4𝑛}

2

₎

3

47. (𝑝

2

_{𝑞 + 𝑎𝑏}

3

_𝑐)

3

48. (2𝑟

4

_{𝑡 − 5𝑥𝑦)}

3

49. (

𝑎2 3

−

2 5

𝑏)

3

50. (

𝑦 𝑎𝑏

−

𝑧2 2

)

3

II. FACTORIZACIÓN

A. Factor Común

51. 3𝑚

2

𝑛 − 6𝑚𝑛

2

+ 9𝑚

3

𝑛

2

52. 2𝑎

3

𝑏

2

+ 8𝑎

2

𝑏

3

− 12𝑎

3

𝑏

3

53. 6(2𝑚 + 1)

2

− 2(2𝑚 + 1)

54. (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) + (𝑎 + 𝑏)𝑏

55. (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + (𝑥 − 1)(𝑥 + 2)

56. (𝑧 − 2)(2𝑧 + 1) − (𝑧 − 2)(2𝑧 − 3)

57. (5 + 2𝑤)(𝑤 − 3) − (7 − 𝑤)(3 − 𝑤)

58. 2𝑢(2𝑢 − 3)

2

+ 𝑢

2

(3 − 2𝑢)

59. −28𝑥

4

_{+ 14𝑥}

3

_{+ 56𝑥}

2

60. (6𝑎 − 3𝑏)(𝑎 + 𝑏) + (6𝑎 − 3𝑏)(𝑎 + 2𝑏) − (6𝑎 − 3𝑏)(2𝑎 + 𝑏)

B. Diferencia de cuadrados

61. 𝑚

2

− 16𝑛

2

62. 36𝑥

2

_{− 4𝑦}

2

63. 4𝑚

2

− 9𝑛

2

64. 𝑎

2

_{− 64𝑏}

2

65. 𝑐

2

− 49𝑑

2

66. 16𝑥

4

− 4𝑦

6

67. 9𝑟

4

_ℎ

2

_{− 25𝑘}

2

68. 36𝑎

2

𝑏

2

− 49𝑥

4

𝑦

2

69. 81ℎ

8

_{− 16𝑘}

6

70.

9

𝑟

4

−

4

𝑠

4

(6)

C. Trinomio cuadrado perfecto

71. 𝑎

2

+ 4𝑎 + 4

72. 9ℎ

2

_{+ 6ℎ + 1}

73. 4𝑘

2

+ 4𝑘 + 1

74. 9𝑥

2

_{+ 12𝑥𝑦 + 4𝑦}

2

75. 16𝑎

2

+ 24𝑎𝑏 + 9𝑏

2

76. 64𝑟

2

_{+ 64𝑟𝑠 + 16𝑠}

2

77.

𝑐 2 16

−

1 2

+

1 𝑐2

78.

𝑚2 4

+

3𝑚 𝑛2

+

9 𝑛4

79. 25𝑎

8

_{− 30𝑎}

4

_𝑏

5

_{+ 9𝑏}

10

80. 36𝑥

6

+ 60𝑥

3

𝑦

2

+ 25𝑦

4

D. Trinomio de la forma

𝒙

𝟐

_{+ 𝒃𝒙 + 𝒄}

81. 𝑥

2

− 5𝑥 + 6

82. 𝑥

2

_{− 9𝑥 + 20}

83. 𝑥

2

− 13𝑥 + 30

84. 𝑥

2

_{− 2𝑥𝑦 − 63𝑦}

2

85. 𝑥

2

𝑦

2

− 14𝑥𝑦 + 24

86. 𝑥

2

𝑦

2

+ 16𝑥𝑦 + 60

87. 𝑥

4

_{+ 7𝑥}

2

_{− 8}

88. 𝑥

4

− 10𝑥

2

+ 9

89. (𝑥 + 𝑦)

2

_{+ (𝑥 + 𝑦) − 2}

90. (𝑢 − 𝑣)

2

_{− 3(𝑢 − 𝑣) − 10}

E. Trinomio general

91. 3𝑎

2

+ 26𝑎𝑏 + 16𝑏

2

92. 12𝑢

2

_{− 16𝑢𝑣 + 5𝑣}

2

93. 7ℎ

2

+ 4ℎ − 3

94. 6𝑦

2

_{+ 3𝑦 − 3}

95. 9𝑚

2

+ 62𝑚 − 7

96. 6ℎ

2

+ 29ℎ𝑘 − 5𝑘

2

97. 3𝑥

2

_{+ 4𝑥𝑦 − 15𝑦}

2

98. 3𝑐

2

+ 𝑐𝑑 − 4𝑑

2

99. 14𝑥

2

_{+ 13𝑥𝑦 − 12𝑦}

2

100. 12𝑎

4

+ 13𝑎

3

− 35𝑎

2

F. Suma y diferencia de cubos

101. 𝑐

3

_{− 27𝑑}

3

102. 𝑗

3

− 8𝑘

3

103. 64𝑝

3

_{− 125𝑞}

3

104. 8𝑥

3

+ 216𝑦

3

105. 64𝑚

3

+ 8𝑛

3

106. 40𝑡

5

+ 5𝑡

2

107. 81𝑚

3

+ 24𝑛

3

108. 54𝑝

4

_{− 2𝑝}

109. 3𝑥

3

𝑦

6

+ 81

110. 𝑥

6

_{− 𝑦}

6

(7)

G. Factorización por agrupación

111. 𝑥

2

+ 𝑥 − 𝑥𝑦 − 𝑦

112. 𝑟𝑠 + 6𝑠 − 𝑟 − 6

113. 𝑐

2

− 3𝑐𝑑 + 𝑐 − 3𝑑

114. 2𝑥

2

_{+ 6𝑥𝑦 − 5𝑥 − 15𝑦}

115. 𝑚𝑐 + 𝑐𝑛 + 𝑑𝑚 + 𝑑𝑛

116. 6𝑥𝑦 − 15𝑦

2

+ 2𝑥𝑧 − 5𝑦𝑧

117. 10ℎ

2

_{− 15ℎ𝑘 − 4ℎ𝑗 + 6𝑗𝑘}

118. 6𝑎

2

− 3𝑎𝑏 − 36𝑎𝑐 + 18𝑐𝑏

119. 𝑚

2

_{− 6𝑚𝑛 + 9𝑛}

2

_{− 4𝑝}

2

_{− 8𝑝𝑧 − 4𝑧}

2

120. 9𝑎

2

− 6𝑎𝑏 + 𝑏

2

− 𝑐

2

+ 4𝑐𝑑 − 4𝑑

2

H. Factorizaciones combinadas

121. 8𝑎𝑥

2

_{− 2𝑎}

122. 36𝑚

2

+ 96𝑚𝑛 + 64𝑛

2

123. 64𝑥

2

− 36𝑦

2

124. 32𝑥

3

_{− 98𝑥𝑦}

2

125. 16𝑝

4

− 81𝑞

4

126. 𝑥

4

_{+ 4𝑥}

3

_{− 8𝑥 − 32}

127. 𝑥

4

− 16

128. 𝑥

6

− 7𝑥

3

− 8

129. 64𝑎

6

_{− 𝑏}

12

130.

16 625

𝑚

8

₋

256 81

𝑛

8