Tema 4

TEMA 4

Series de n´

umeros reales. Series de Potencias.

1.

Sucesi´

on de n´

umeros reales

Las sucesiones de n´umeros reales son una buena herramienta para describir la evoluci´on de una magnitud discreta, y el l´ımite surge al estudiar el comportamiento de ´estas a ”largo plazo”.

En este apartado definimos el concepto de l´ımite, caracterizamos a las sucesiones convergentes y estu-diamos criterios de convergencia que nos permitan, cuando existan, calcular el l´ımite de una sucesi´on.

Definici´on 1 Se llama sucesi´on de n´umeros realesa toda aplicaci´on X deINen IR. A la imagen de nla denotamos por xn y le llamamost´ermino generalde la sucesi´on.

Denotaremos por (xn)n∈IN o sencillamente por (xn) a la sucesi´on de t´ermino general xn.

No siempre es posible dar una expresi´on del t´ermino general mediante una funci´on expl´ıcita de n. A veces las sucesiones se definen mediante una propiedad que verifican todos sus t´erminos (la sucesi´on de los n´umeros pares, la de los n´umeros primos, etc.) Otras veces el t´ermino general se expresa a partir de los t´erminos anteriores (por ejemplo, a1= 0, a2= 1, an=an−1+an−2); en este ´ultimo caso se dice

que la sucesi´on se ha definido porrecurrencia.

EjemplosLos siguientes ejemplos muestran diferentes formas de presentar una sucesi´on:

1. Mediante el t´ermino general: (xn) = µ

n n+ 1

¶

.

2. Dando los primeros t´erminos:

½

−1, 1 2,−

1 3,

1 4, . . . .

¾

3. A partir de una propiedad: {xn / xn es primo}.

4. Por recurrencia: x1= 3, xn=

√ 2xn−1.

Definici´on 2 (Subsucesi´on) Sea {xn} una sucesi´on de n´umeros reales dada por la aplicaci´on X :

IN−→IRy σ una aplicaci´on estrictamente creciente σ: IN−→IN.Se llama subsucesi´onde{xn} a la

sucesi´on definida por la aplicaci´on X◦σ

IN −→σ IN −→X IR

n 7−→ σn 7−→ X(σn) =xσn.

De la definici´on se deduce (xσn)⊂(xn).

EjemploDada la sucesi´on (xn) = µ

(−1)nn+ 1

n

¶

={−2, 3 2, −

4 3,

5 4, . . .} y la aplicaci´on σn= 2n 2, 4, 6, 8 . . .

La aplicaci´on (X◦σ)(n) =X(σ(n) ) =X(2n) = (−1)2n2n+ 1

2n =

2n+ 1

2n define la subsucesi´on (xσn) de los t´erminos pares de {xn}:

3 2,

5 4,

Definici´on 3 (Sucesi´on mon´otona) Una sucesi´on (xn) se dice que esmon´otona cuando verifica(a)

´o(b)

(a) x1≤x2≤x3≤ · · · ≤xn≤xn+1 ≤ . . . ∀n∈IN

(b) x1≥x2≥x3≥ · · · ≥xn≥xn+1 ≥ . . . ∀n∈IN.

Si cumple(a)se dice que esmon´otona crecientey si cumple (b)mon´otona decreciente.

Si las desigualdades anteriores son estrictas se llaman mon´otonas en sentido estricto. Las sucesionesconstantesson a la vez crecientes y decrecientes.

Definici´on 4 (Sucesi´on acotada) Decimos que una sucesi´on es acotada si el conjunto formado por todos sus t´erminos est´a acotado.

2.

Sucesiones convergentes

Imaginemos que (xn) describe la evoluci´on de una magnitud a medida que n progresa. Diremos

que el l´ımite de (xn) es l si los t´erminos xn se acercan a l tanto como queramos cuando n se hace

suficientemente grande. En t´erminos m´as precisos:

Definici´on 5 (L´ımite de una sucesi´on) Una sucesi´on de n´umeros reales (xn)tiene porl´ımite x∈

IR y lo denotamos l´ım

n→∞xn=xsi para cadaε >0 ∃ ν∈IN/ ∀n≥ν se cumple que |xn−x|< ε.

La definici´on anterior es equivalente a esta otra.

Definici´on 6 Una sucesi´on de n´umeros reales (xn)tiene por l´ımite x∈IR si para cada ε >0 hay un

n´umero finito de t´erminos que quedan fuera del entornoE(x;ε).

Teorema 1 (Unicidad del l´ımite) El l´ımite de una sucesi´on, si existe, es ´unico.

Demostraci´on

La haremos por reducci´on al absurdo. Supongamos que l´ım

n→∞xn=x,que l´ımn→∞xn=y y que x6=y.

Llamemos d = |y−x| y sea ε = d

3. En estas condiciones los entornos E(x;ε), E(y; ε) son disjuntos.

Como l´ım

n→∞xn=x existe ν tal que los ´unicos elementos que quedan fuera del entornoE(x;ε) son a

lo sumo {x1, . . . xν}por lo que enE(y;ε) no puede haber infinitos elementos, en contra de la hip´otesis

de ser l´ım

n→∞xn=y .Por tanto ha de ser x=y.

Definici´on 7 (Sucesi´on convergente) Una sucesi´on que tiene por l´ımite lse dice que esconvergente o que converge a l.

Proposici´on 8 (Propiedades de las sucesiones convergentes)

1. Si (xn)es una sucesi´on convergente entonces (xn)est´a acotada(el rec´ıproco no es cierto).

2. Si (xn) converge a x6= 0 entonces desde un cierto n en adelante se cumple que el sig(xn) =

sig(x).

3. Sean (xn) e (yn)dos sucesiones convergentes y tales que a partir de un cierto n en adelante se

cumple quexn≤yn, entonces l´ım

n→∞xn ≤ n→∞l´ım yn.

4. Sean (xn)e (yn) dos sucesiones convergentes al mismo l´ımitel. Sea (zn)otra sucesi´on tal que a

partir de un cierto nse cumple que xn≤zn≤yn . Entonces_n→∞l´ım zn=l.

Esta propiedad se aplica a problemas de c´alculo de l´ımites y se conoce con el nombre deregla del Sandwich.

5. Toda subsucesi´on de una sucesi´on convergente, converge al mismo l´ımite.

Teorema 3 Si una sucesi´on es mon´otona creciente (decreciente) y est´a acotada superiormente (infe-riormente), entonces la sucesi´on es convergente.

Demostraci´on

Si {xn}est´a acotada superiormente, existe x= sup(xn).Por el teorema de caracterizaci´on del supremo

sabemos que dado ε > 0 ∃ xm / x−ε < xm < x y como la sucesi´on es creciente se tiene que

∀n > m x−ε < xm< xn < x < x+ε , y por tanto ∀n > m |xn−x|< ε , es decir,

l´ım

n→∞xn=x.

Si la sucesi´on es decreciente se hace de forma similar.

Criterios de convergencia

Criterio de Stolz-Cesaro

Si las sucesiones{an}y{bn}son divergentes,{bn}es estrictamente creciente y existe l´ım n→∞

an+1−an

bn+1−bn

,

finito o infinito de signo determinado, entonces existe l´ım

n→∞

an

bn y se verifica que

l´ım

n→∞

an

bn = l´ımn→∞

an+1−an

bn+1−bn.

Este criterio tambi´en puede aplicarse si{bn}decrece y l´ımn→∞an = l´ımn→∞bn= 0.

Si aplicamos el criterio de Stolz a a1+a2+ · · · +an

n se tiene el siguiente criterio. Criterio de la media aritm´etica

Si la sucesi´on {an} tiene l´ımite finito o infinito de signo determinado, se verifica que

l´ım

n→∞

a1+a2+ · · · +an

n = l´ımn→∞an.

Criterio de la media geom´etrica

Si {an}es una sucesi´on de t´erminos estrictamente positivos, convergente o divergente, se verifica que

l´ım

n→∞

n

√

Para demostrarlo basta tomar logaritmo y aplicar el criterio anterior. Criterio de la ra´ız

Si{an}es una sucesi´on de t´erminos positivos y la raz´on

an

an−1 es convergente o divergente, se verifica

que

l´ım

n→∞

n

√

an= l´ım n→∞

an

an−1.

Ejemplos

1. Calcular l´ım

n→∞

(lnn)2

n .

Sea A= l´ım

n→∞

(lnn)2

n

√

A = l´ım

n→∞

lnn √

n = l´ımn→∞

lnn−ln (n−1) √

n−√n−1 = l´ımn→∞

ln (1 + 1

n−1)

√

n−√n−1 = l´ım

n→∞

1

n−1

√

n−√n−1 = l´ımn→∞

1

(n−1)(√n−√n−1) = l´ım

n→∞

√

n+√n−1 (n−1)(n−n+ 1) = 0.

Por tanto el l´ımite pedido es cero. Hemos aplicado el criterio de Stolz y utilizado que ln (1 + 1

n−1)≈ 1

n−1.

2. Calcular l´ım

n→∞

n

√

an_+bn _{a > b >0.}

l´ım

n→∞

n

√

an_+bn_{= l´ım} n→∞

an_+bn

an−1_+bn−1 = l´ım_n→∞

a+b

µ

b a

¶n−1

1 +

µ

b a

¶n−1 =

a+b·0 1 + 0 =a.

Hemos utilizado el criterio de la ra´ız.

3.

Series de n´

umeros reales

Definici´on 9 Sea (xn)una sucesi´on de n´umeros reales. A partir de ella formamos la sucesi´on (Sn)de

la siguiente forma:

S1=x1, S2=x1+x2, S3=x1+x2+x3, · · · Sn=x1+x2+x3+· · ·xn

A esta sucesi´on (Sn)la llamamosserie asociada a la sucesi´on (xn).

- Los n´umeros x1, x2, x3,· · ·, xnson lost´erminos de la serie, y a ´esta la denotaremos habitualmente

por x1+x2+x3+· · ·+ xn +· · · ´o por P

xn .

- El t´ermino gen´erico xn se le llamat´ermino general de la serie.

- Al t´ermino general Sn=x1+x2+x3+· · ·xn= n X

k=1

Definici´on 10 (Suma) Si la sucesi´on (Sn) es convergente diremos que la serie es convergente. Se

llamasuma de la serie a S= l´ımn→∞Sn y se denota por S= ∞ X

n=1

xn.

Definici´on 11 Si se cumple que l´ımn→∞Sn = +∞ ´o l´ımn→∞Sn = −∞ diremos que la serie es

divergente

Definici´on 12 Si la serie no es convergente ni divergente diremos que esoscilante.

Ejemplos

1. Sea la serie Pxn asociada a la sucesi´on xn= 9

10n.

(Sn) : 009, 0099, 00999, 009999, . . .

Puesto que la sucesi´on (Sn) es convergente, la serie es convergente y la suma es S= P

xn= 1.

2. Sea la serie Pxn de t´ermino general xn= 2n.

(Sn) : 2, 6, 12, 20, 30, 42, . . .

Como la sucesi´on de sumas parciales es divergente, la serie es divergente. 3. Consideremos la serie Pxn=

P

(−1)n

Sn= ½

0 si nes par −1 si nes impar

Puesto que la sucesi´on (Sn) es oscilante, la serie es oscilante.

El estudio de una serie consiste en resolver dos problemas fundamentales:

a) Determinar su car´acter, es decir, averiguar si es convergente, divergente u oscilante. b) En caso de convergencia, hallar su suma.

Proposici´on 13 Si se modifican los valores de un n´umero finito de t´erminos, la serie conserva su car´acter y en el caso de ser convergente la variaci´on en la suma de la serie es la suma de las varia-ciones de los t´erminos alterados.

Proposici´on 14 (Propiedad Asociativa) Si en una serie convergente (divergente) se agrupan t´ermi-nos consecutivos, la serie que resulta es tambi´en convergente (divergente) y tiene la misma suma.

Es necesario resaltar que:

- Las series oscilantes no poseen la propiedad asociativa.

- La disociaci´on de infinitos t´erminos de una serie en un n´umero finito de sumandos produce una nueva serie que, en general, no conserva su car´acter.

EjemploSea la serie Pxn de t´ermino general xn = (−1)nn

(Sn) : −1, 1, −2, 2, −3, 3, . . .

Esta serie es oscilante.

Si en la sucesi´on (xn) agrupamos los t´erminos de dos en dos obtenemos una nueva sucesi´on yn= 1 y la

serie que se obtiene a partir de ´esta es divergente.

Proposici´on 15 Si Pxn y P

yn son dos series convergentes y λ, µ∈IR,entonces la serie P

(λxn+

µyn) es convergente y la suma es

S=λ

∞ X

n=1

xn + µ ∞ X

n=1

Teorema 4 (Condici´on necesaria de convergencia.) Para que una serie Pxn sea convergente es

necesario que l´ımn→∞xn = 0. Es decir si P

xn es convergente =⇒ l´ım

n→∞xn = 0

Es importante resaltar que la condici´on anteriorno es suficientepara garantizar la convergencia. Un ejemplo sencillo es la serie arm´onica, cuyo t´ermino general es xn = 1

n que verifica la condici´on necesaria de convergencia y sin embargo como veremos no es convergente

EjemploConsideremos la serie 1 +1 2+

1 3 +

1

4 +· · ·+ 1 n+· · ·. el t´ermino general tiende a cero y sin embargo es divergente pues:

1 +1 2 +

1 3+

1

4 +· · ·+ 1

n+. . . >1 + 1 2 +

1 4 +

1 4+

1 8 +

1 8 +

1 8+

1

8· · ·= 1 + 1 2+

1 2 +

1 2· · · La condici´on necesaria de convergencia es ´util para probar que una serie no es convergente. Por ejemplo la serie P_2nn₊₁ no es convergente pues l´ımn→∞xn=12.

Teorema 5 (Criterio general de convergencia de Cauchy.) La condici´on necesaria y suficiente pa-ra que una serie de t´erminos reales sea convergente es que a partir de un nla diferencia entre dos sumas parciales se pueda hacer tan peque˜na como se quiera; es decir: Para cada ε >0

∃ ν ∈IN/∀p, q≥ν =⇒ |Sq−Sp| ≤ε ¡

´

o |xp+1+xp+2+· · ·+xq| ≤ε ¢

A la hora de estudiar las series es ´util clasificarlas en tres grupos:

- Serie de t´erminos positivos: son las que, a partir de un cierto t´ermino, tienen todos sus t´erminos con el mismo signo.

- Series alternadas: Son aquellas en las que, a partir de un cierto t´ermino, dos t´erminos consecutivos cualesquiera tienen distinto signo.

- Series de t´erminos positivos y negativos: en ´estas el orden de aparici´on de los t´erminos positivos y negativos es arbitrario.

4.

Serie de t´

erminos positivos.

Proposici´on 16 Para que una serie de t´erminos positivos sea convergente es condici´on necesaria y suficiente que est´e acotada superiormente la sucesi´on de las sumas parciales. Entonces la suma de la serie ser´a S= sup{Sn}.

Si la sucesi´on (Sn) no est´a acotada superiormente, la serie P

xn es divergente. Las series de t´erminos

positivos son convergentes o divergentes pero nunca oscilantes.

Criterios de convergencia para series de t´

erminos positivos.

Criterio de comparaci´on. Sean Pxn y P

yn dos series de t´erminos positivos y ∃ n0 ∈IN tal

que

∀n > n0, xn≤λyn λ∈IR+. Entonces:

- Si la serie Pyn es convergente entonces la serie P

xn es convergente.

- Si Pxn diverge, entonces P

Ejemplo La serie arm´onica generalizada Sea la serie 1 + 1

2α+

1

3α +· · ·+

1 nα +· · ·

Si α≤1; 1 + 1

2α +

1

3α+· · ·+

1

nα +· · · ≥ 1 +

1 2 +

1

3+· · ·+ 1

n+· · · diverge ya que supera a la serie

P1 n que es divergente.

Si α >1; 1 + 1

2α +

1

3α+· · ·+

1

nα +· · ·<1 +

1 2α+

1 2α+

1 4α +

1 4α +

1 4α +

1 4α +· · ·

= 1 + 2 2α+

4 4α+

8 8α· · ·+

2p

(2p₎α+· · ·

= 1 + 1 2α−1 +

1 4α−1 +

1 8α−1· · ·+

1

(2p₎α−1 +· · ·

= 1 + 1 2α−1 +

1 (2α−1₎2 +

1

(2α−1₎3· · ·+

1

(2α−1₎p +· · ·

Esta es una progresi´on geom´etrica de raz´on r= 1

2α−1 <1, luego es convergente y por tanto lo es la

serie dada.

Criterio de comparaci´on por paso al l´ımite. Sean Pxn y P

yn son dos series de t´erminos

positivos y λ= l´ım

n→∞

xn

yn

, entonces:

- Si λ es finito y Pyn converge, entonces P

xn converge.

- Si Pyn diverge y λ es finito o infinito pero distinto de cero, entonces P

xn diverge.

Criterio de condensaci´on de Cauchy.Sea (xn) una sucesi´on decreciente, entonces la serie P

xn

es convergente si y s´olo si lo es la serie P2n_x

2n.

Ejemplo

Estudiar el car´acter de la serie: Pxn= P 1

3lnn.

Aplicamos el Criterio de condensaci´on de Cauchy. Para ello estudiamos el car´acter de la serie P2n_x

2n, que ser´a el mismo que el de la serie dada.

2n_x

2n= 2

n

3ln 2n =

2n

3nln 2 =

µ

2 3ln 2

¶n

.

´

Esta es una progresi´on geom´etrica de raz´on 2

3ln 2 <1.Por tanto es convergente.

Criterio de la ra´ız.Sea Pxn una serie de t´erminos positivos y λ= l´ımn→∞√nxn.

Si λ <1,la serie es convergente. Si λ >1,la serie es divergente.

Si λ= 1 este criterio no aporta informaci´on.

Criterio del cociente o de D’Alembert. Sea Pxn una serie de t´erminos positivos y λ =

l´ım

n→∞

xn+1

Si λ <1,la serie es convergente. Si λ >1,la serie es divergente.

Si λ= 1 este criterio no aporta informaci´on.

Criterio de Pringsheim. Sea Pxn una serie de t´erminos positivos y supongamos que existe un

n´umero positivo αtal que l´ımn→∞nα·xn sea finito y distinto de cero.

Si α >1 entonces la serie Pxn es convergente.

Si α≤1 se cumple que la serie es divergente.

Criterio de Raabe. Sea Pxn una serie de t´erminos positivos y λ= l´ımn→∞n· µ

1 − xn+1 xn

¶

Si λ >1 la serie es convergente. Si λ <1 la serie es divergente.

Si λ= 1 este criterio no aporta informaci´on. EjemploEstudiar el car´acter de la serie

X_{1·3·5· · · (2n−1)}

2·4·6· · ·(2n)

Aplicando el criterio de D’Alembert l´ım

n→∞

xn+1

xn =

2n+ 1 2n+ 2 = 1 Puesto que es dudoso aplicamos el criterio de Raabe.

l´ımn→∞n· µ

1 − xn+1 xn

¶

= l´ımn→∞n· µ

1 − 2n+ 1 2n+ 2

¶

= l´ımn→∞ n

2n+ 2 = 1 2 <1 Por tanto es divergente.

Criterio logar´ıtmico.Sea Pxn una serie de t´erminos positivos y λ= l´ımn→∞

ln 1

xn

lnn , Si λ >1 la serie es convergente.

Si λ <1 la serie es divergente.

Si λ= 1 este criterio no aporta informaci´on. Ejemplo

Estudiar el car´acter de la serie: Pxn= P 1

3lnn.

ln_x1

n

lnn = ln 3lnn

lnn = ln 3>1. Por tanto es convergente.

Criterio λ Converge Diverge

Cauchy l´ım n→∞

n

√

xn λ <1 λ >1

λ= 1 y ∀n > n0 √nxn>1

D’Alembert l´ım n→∞

xn xn−1

λ <1 λ >1

λ= 1 y ∀n >0 xn xn−1

>1

Raabe l´ım

n→∞n µ

1− xn xn−1

¶

λ >1 λ <1

λ= 1 y ∀n > n0 n

µ

1− xn xn−1

¶

<1

Logar´ıtmico l´ım n→∞

log 1

xn

logn λ >1 λ <1

λ= 1 y ∀n > n0

log 1

xn

logn <1

Pringsheim Hallar α / α >1 α≤1 l´ım

n→∞n

α

xn=λ6= 0

5.

Series alternadas.

Definici´on 17 Una serie se llamaalternadasi sus t´erminos son alternativamente positivos y negativos.

Teorema 6 (Teorema de Leibnitz) Una serie alternada tal que los valores absolutos de sus t´erminos forman una sucesi´on decreciente es convergente si y s´olo si su t´ermino general tiende a cero.

Adem´as el error que se comete al tomar como suma de la serie una suma parcial cualquiera es menor que el primer t´ermino despreciado.

Demostraci´on

⇒ l´ımn→∞xn= 0⇒ Sn convergente.

Supondremos que el primer t´ermino es positivo, es decir, las series construidas a partir de la sucesi´on: x1, −x2, x3, −x4, · · · con x1> x2> x3>· · ·>0.

Este tipo de series cumple que:

S2< S4< S6<· · ·S2n<· · ·< S2n+1<· · ·< S5< S3< S1.

Veamos que S2n−1 es decreciente y que S2n es creciente.

S1=x1, S3=x1−(x2−x3), S5=x1−(x2−x3)−(x4−x5), . . .

Por tanto,S1> S3> S5>· · · ⇒ es decreciente.

S2=x1−x2, S4= (x1−x2) + (x3−x4), . . .

Por tanto,S2< S4< S6<· · · ⇒ es creciente.

S2n+1 = x1−x2+x3−x4+x5· · · +x2n+1

S2n = x1−x2+x3−x4+x5· · · −x2n

S2n+1−S2n = x2n+1>0

luego S2n+1 > S2n

Cualquier suma parcial de orden impar es mayor que cualquier suma parcial de orden par. Dado m < n se tiene S2m. . . < S2n< . . . < S2n+1< . . . < S2m+1.

De todo lo anterior se deduce que:

S2< S4< S6<· · ·S2n <· · ·< S2m+1<· · ·< S5< S3< S1

Por tanto [S2n, S2n+1] es una sucesi´on de intervalos encajados de longitud

S2n+1−S2n=x2n+1 que por hip´otesis tiende a cero, luego definen un ´unico n´umero

S= l´ım

n→∞Sn que es la suma de la serie, por tanto converge.

⇐ Por serSn convergente se verifica la condici´on necesaria de convergencia y por tanto xn tiende a

cero. La segunda parte del teorema es inmediata ya que de

S2< S4< S6<· · ·S2n <· · ·< S <· · ·< S2n+1<· · ·< S5< S3< S1

se deduce que |Sn−S|<|Sn+1−Sn|=xn+1.

6.

Series de t´

erminos positivos y negativos

Nos referimos ahora a series con infinitos t´erminos positivos y negativos de las que las alternadas son un caso particular.

Si la serie fuera de t´erminos negativos podemos reducir su estudio a las series de t´erminos positivos de la forma siguiente: Si xn <0 ∀n ⇒

P

xn=− P

|xn|

Si hubiera un n´umero finito de t´erminos de distinto signo estudiamos el car´acter de la serie que resulta sin tener en cuenta dichos t´erminos pues el car´acter no var´ıa si descartamos un n´umero finito de t´erminos. Si hubiera infinitos t´erminos positivos y negativos una forma de estudiar el car´acter de la serie es considerando por separado la serie formada por los t´erminos positivos y la serie de los valores absolutos de sus t´erminos negativos.

Definici´on 18 (Convergencia absoluta) Decimos que una serie Pxn de t´erminos cualesquiera, es

absolutamente convergentesi es convergente la serie de los valores absolutos de sus t´erminos, es decir si P|xn| converge.

Teorema 7 Si P|xn| converge entonces P

xn converge y adem´as: ¯

¯ ¯ ¯ ¯

∞ X

n=1

xn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≤

∞ X

n=1

|xn|.

El rec´ıproco no es cierto. EjemploLa serie P(−1)

n

n es convergente ya que es alternada, |

(−1)n

n |es decreciente y cumple que

l´ımn→∞ 1

Definici´on 19 Una serie se llama incondicionalmente convergente si es convergente y su suma no se altera al cambiar el orden de sus t´erminos. Y se llama condicionalmente convergente si es convergente pero su suma se altera al cambiar el orden de los t´erminos.

Teorema 8 Sea Pxn una serie de t´erminos positivos y negativos. Es absolutamente convergente si y

s´olo si es incondicionalmente convergente.

7.

Series sumables.

Series geom´

etricas.

Son de aquellas de la forma:Pxn= P

a·rn−1 _{a >0, r∈IR.}

Proposici´on 20 La serie geom´etrica Pxn = P

a·rn−1 _{es convergente si y s´olo si |r|<1 y la suma}

es:

S= x1 1−r. Demostraci´on

Si r= 1 xn=a ∀n∈IN por tanto Sn no est´a acotada P

xn diverge.

Si r=−1 xn =±a ∀n∈IN P

xn es oscilante.

Si r >1 xn=a·rn−1 tiende a +∞ por tanto ∞ X

n=1

xn diverge.

Si r <−1 la serie var´ıa entre ±∞ por tanto es oscilante. Si −1< r <1 xn=a·rn−1 converge a 0.

Veamos que la serie es sumable calculando su suma:

Sn = x1 +x2+x3+· · · +xn

r·Sn = x2+x3+x4+· · · +xn +xn+1

Sn−r·Sn = x1 −xn+1

de donde: Sn =x1−xn+1

1−r ⇒ S= l´ımn→∞Sn=

x1

1−r. Ejemplos

1. x+x3_+x5_+x7_{+· · ·+x}2n+1_{+· · ·=} x

1−x2 si |x|<1.

2. 1−x2_+x4_−x6_{+· · ·+ (−1)}n−1_x2(n−1)_{+· · ·=} 1

1 +x2 si |x|<1.

Series Aritm´

etico-geom´

etricas.

Son de la forma: Pxn =

P

anbndonde (an) es una progresi´on

aritm´etica y (bn) es una progresi´on geom´etrica de raz´onr.

Demostraci´on

Aplicando D’Alembert se deduce que la serie es convergente para |r|<1.

Para calcular la suma procedemos de forma parecida a como hicimos en el caso anterior: Sn = a1b1 +a2b2 +a3b3 +· · · +anbn

rSn = a1b2 +a2b3 +· · · +an−1bn +anbn+1

Sn−rSn = a1b1 +(a2−a1)b2 +(a3−a2)b3 +· · · +(an−an−1)bn −anbn+1

Si la serie aritm´etica es de primer orden, an+1−an=d y entonces nos queda

(1−r)Sn=a1b1+d(b2+b3+b4+· · ·+bn)−anbn+1.

Es decir,

Sn = 1

1−r

·

a1b1+db2−bnr

1−r −anbn+1

¸

.

Suponemos que |r|<1. S= l´ım

n→∞Sn =

1 1−r

·

a1b1+d b2

1−r

¸

⇒ S=d b2+a1b1(1−r) (1−r)2 .

Si la serie aritm´etica fuese de orden superior, habr´ıa que reiterar el proceso anterior.

EjemploEstudiar el car´acter de la siguiente serie y sumarla si es posible:

∞ X

n=1

3n−1 2n . ∞

X

n=1

3n−1 2n =

∞ X

n=1

(3n−1) 1

2n, d= 3, r=

1 2. Sn = 1 +5

4 + 8

8 +· · · + 3n−1

2n

1 2Sn =

1 2 +

5

8 +· · · + 3n−4

2n +

3n−1 2n+1

1

2Sn = 1 + 3 4 +

3

8 +· · · + 3

2n −

3n−1 2n+1

Sn= 2 + 6 µ

1 4+

1

8 +· · · + 1 2n

¶

−3n−1

2n ⇒ S= l´ım_n→∞Sn = 2 + 6·

1 4

1−1 2

= 5.

Series telesc´

opicas.

Se llaman as´ı a aquellas series que al descomponer cada t´ermino y simplificar nos queda un n´umero finito de sumandos. Por ejemplo la que sigue:

Sn = (x1−x2) + (x2−x3) + (x3−x4) +· · ·+ (xn−xn+1) +· · · = x1−xn+1 ⇒

S= l´ım

n→∞Sn=x1−n→∞l´ım xn+1.

EjemploEstudiar el car´acter de la siguiente serie y sumarla si es posible:

∞ X

n=1

1 n2_+n.

Efectuamos la siguiente descomposici´on: 1 n2_+n =

1 n−

1

n+ 1 por tanto,

∞ X

n=1

1 n2_+n=

∞ X n=1 µ 1 n− 1 n+ 1

¶

= (1−1 2) + (

1 2−

1 3) + (

1 4−

1

5) + · · · + ( 1 n−

1

n+ 1) + · · · Sn= 1− 1

8.

Serie de potencias

Definici´on 22 (Serie de Potencias) Llamamosserie de potencias centrada en x0 o serie

de potencias de (x−x0) a una serie de la forma:

X

an(x−x0)n

A los n´umeros an ∈ IR se les denominan coeficientesde la serie.

La importancia de este tipo de series de radica en la sencillez de su estudio, en la riqueza de propiedades que en general no tienen otras series y en ser de gran utilidad para representar y definir funciones.

Limitaremos nuestro estudio a las series de potencias centradas en el origen, pues con la sustituci´on y=x−x0, la serie

P

an(x−x0)n se transforma en la serie

P

anyn centrada en el origen, manteniendo

las mismas propiedades.

Teorema 9 (Convergencia de una serie de potencias) Dada una serie de potenciasΣanxn, se

ve-rifica:

1. Si la serie converge en x0 6= 0, entonces la serie converge absolutamente para todo x ∈IR con

|x|<|x0|.

2. Si la serie diverge en x1, entonces la serie diverge para todo x∈IR con|x|>|x1|.

Por el teorema anterior se deduce que los ´unicos dominios de convergencia que se pueden presentar son o el cero, IRo lo hace para todo realxtal que |x|< r, conr >0.

EjemplosEstudiar la convergencia de las series:

1.

∞ X

n=0

n!xn _{conx >0.Aplicando el criterio de D’Alembert,}

l´ım

n→∞

an+1

an = l´ımn→∞

(n+ 1)!xn+1

n!xn = l´ım_n→∞(n+ 1)x.

Este l´ımite s´olo es menor que 1 cuandox= 0 por tanto la serie es divergente. 2.

∞ X

n=1

xn

n! conx >0. En este caso, aplicando el mismo criterio nos queda

l´ım

n→∞

an+1

an = l´ımn→∞

x

(n+ 1) = 0, ∀x Por tanto, es convergente sea cual seax.

3.

∞ X

n=0

xnEste ´ultimo ejemplo se trata de una serie geom´etrica que sabemos que converge para|x|<1.

Este resultado nos permite dar la siguiente definici´on:

Si C est´a acotado,R= supC.

Si C no est´a acotado, decimos que el radio de convergencia es infinito, es decir, la serie converge absolutamente enIR.

Al intervalo(−R, R)se le denomina intervalo de convergencia.

Por el teorema anterior podemos asegurar la convergencia en los puntos del intervalo de convergencia (no se puede afirmar nada en los extremos de ´este).

Los criterios de convergencia estudiados en las series de t´erminos positivos, en particular los criterios de la ra´ız y del cociente nos proporcionan informaci´on para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias.

Proposici´on 24 Dada una serie de potenciasΣanxn, entonces el radio de convergencia es:

Criterio de la ra´ız Si ∃ l´ım

n→∞

n

p

|an| (finito o infinito),R= 1

l´ım

n→∞

n

p

|an|

.

Criterio del cociente Si ∃ l´ım

n→∞ ¯ ¯ ¯ ¯an_a+1_n

¯ ¯ ¯

¯ (finito o infinito),R= 1

l´ım

n→∞ ¯ ¯ ¯ ¯an_a+1_n

¯ ¯ ¯ ¯

= l´ım

n→∞ ¯ ¯ ¯ ¯_aa_nn₊₁

¯ ¯ ¯ ¯.

EjemplosEstudiar la convergencia de las series:

1.

∞ X

n=2

xn

ln n.

Por el criterio del cocienteR= l´ım

n→∞

ln (n+ 1)

ln n = 1. O sea, converge en|x|<1. Veamos la convergencia en los extremos:

Para x = −1, se obtiene la serie alternada P(−1)

n

lnn que por el teorema de Leibnitz podemos afirmar que converge pues l´ım

n→∞

1

lnn = 0 y adem´as 1

lnn es decreciente. Parax= 1, como 1

n < 1

lnn ∀n, por el criterio de comparaci´on deducimos que la serie

P 1 lnn es divergente.

2.

∞ X

n=1

(x−1)n

n(n+ 1).Se trata de una serie de potencias centrada enx0= 1.Por tanto, hacemos el cambio y = x−1, convirti´endose en la serie

∞ X

n=1

yn

n(n+ 1) centrada en el 0. Tambi´en por el criterio del cociente, obtenemos el mismo radio pues

R= l´ım

n→∞

n(n+ 1)

(n+ 1)(n+ 2) = 1.

En y=−1, (x= 0), queda

∞ X

n=1

(−1)n

3.

∞ X

n=1

(2n+ 1)xn.

Aplicando el criterio de la ra´ız,

R= 1

l´ım

n→∞

n

√

2n_{+ 1} =

1 2. Veamos la convergencia en los extremos:

Parax=−1

2, se trata de la serie alternada

∞ X

n=1

2n_{+ 1}

2n (−1)

n_{, que es divergente.}

Parax= 1

2, la serie

∞ X

n=1

2n_{+ 1}

2n es divergente pues no verifica la condici´on necesaria de convergencia.

9.

Ejercicios

1. Estudia el car´acter de las siguientes series: a)1 3 + 2 5 + 3 7+ 4

9 +· · ·, b) 1 2+ 3 4 + 7 8 + 15 16+· · ·, c)0,001 +√0,001 +√3_{0,001 +· · ·, d)}1

1!+ 1 2!+

1 3!+· · ·, e)1 +1

3 + 1 5 +

1

7+· · · , f) 1 1001+

1 2001+

1

3001+· · ·, g)1 + 2

3+ 3

5 +· · ·+ n

2n−1+· · · , h)1 + 1 32 +

1

52 +· · ·+

1

(2n−1)2 +· · ·,

i)√1 2 +

1 2√3 +

1

3√4+· · ·, j) 1 √ 1,3 + 1 √ 3,5+ 1 √

5,7 +· · ·,

k)

∞ X

n=1

[n(n2_{+ 1)]}−1/2_{, l)}

∞ X

n=1

nα

n!, α∈R

m)

∞ X

n=1

an

n!, n)

∞ X

n=1

n! nn,

o)(1!)

2

2! + (2!)2

4! +· · ·+ (n!)2

(2n)!+· · · , p)

∞ X

n=1

n2

¡

2 + 1

n ¢n.

2. Estudia el car´acter de las siguientes series:

a)a− a

2 √ 2+ a3 √ 3 − a4 √

4 +· · ·dondea >0, b) 1 2−√2 −

1 3−√3+

1

4−√4 − · · ·,

c)

∞ X

n=1

(−1)n_· lnn

n , d)−

2 2√2−1+

3 3√3−1−

4

4√4−1+· · · ,

e)

∞ X

n=1

(−1)n−1_{·(2n+ 1)}

3. Examina la convergencia de cada una de las siguientes series geom´etricas. Si la serie converge halla su suma:

a)1 +1 2 +

1 4 +

1

8+· · · , b)4−1 + 1 4 −

1 16+

1

64− · · · , c)1 + 3

2+ 9 4 +

27

8 +· · · , d)1−1 + 1−1 + 1−1 +· · ·. 4. Comprueba la convergencia y halla la suma de cada una de las siguientes series:

a) µ 1 2 + 1 3 ¶ + µ 1 22 +

1 32 ¶ +· · ·+ µ 1 2n +

1 3n

¶

+· · ·, b) 1 1·2 +

1

2·3+· · ·+ 1

n(n+ 1)+· · ·, c) 1

1·4 + 1 4·7+

1

7·10+· · ·+

1

(3n−2)(3n+ 1)+· · · , d) 1 2 +

3 22 +

5

23 +· · ·+

2n−1 2n +· · · ,

e)

∞ X

n=1

¡√

n+ 2−2√n+ 1 +√n¢, f)

∞ X

n=1

n!

3·4·5· · ·(2 +n),

g)

∞ X

n=0

1 (n+ 2)(n+ 5).

5. Estudia la convergencia de las siguiente serie y calcula su suma con un error menor que 0,001.

1−(

π

5)2

2! + (π

5)4

4! − (π

5)6

6! +· · · 6. Estudia el car´acter de las siguientes series seg´un los valores dex >0:

a)

∞ X

n=1

n!

x(x+ 1)...(x+n−1), b)

∞ X

n=1

n!xn

(1 +x)(1 + 2x)· · ·(1 +nx), c)

∞ X

n=0

xn

(n+ 2)(n+ 5) · 1 5n.

7. Se considera la serie _∞

X

n=1

an

n2_{+ 10n+ 24},

dondeaes un par´ametro real.

a) Estudia la convergencia seg´un los valores dea. b) Calcula la suma paraa= 1.

c) Calcula un valor aproximado de la suma, con un error menor que 10−2_{, paraa=−1.}

8. Hallar los radios de convergencias de las siguientes series de potencias y estudiar su comportamiento en los extremos de los intervalos de convergencia:

a)

∞ X

n=1

n+ 2 2n+1_n3x

2n_{, b)} ∞ X

n=1

(−1)n_{(2n+ 3)}2

xn_{, c)} ∞ X

n=1

xn

2n2_−n,

d)

∞ X

n=1

3n2xn2. e)

∞ X

n=1

(n+ 1)xn

2n , f)

∞ X

n=1

(x−1)3n