Nota sobre Producción Economía III
Diógenes Cruz Figueroa García Última Revisión: 23-mayo-2013
0. Preliminar
El objetivo de esta nota es dar una introducción a las decisiones de la empresa. Para el marco teórico, estaremos de nuevo en un modelo competitivo (la empresa toma los precios tanto de aquello que produce, como los precios de los insumos como dados y no los puede alterar) y de equilibrio parcial (cada precio está individualmente dado, y analizaremos cambios únicamente en uno de los parámetros tomando todo lo demás constante).
Los supuestos del modelo son los siguientes:
Un sinnúmero de compradores y vendedores. Es decir, si la empresa decide aumentar los precios, los compradores podrán irse fácilmente a otras empresas. Este supuesto es muy importante en el sentido de que genera un modelo de economía competitiva, es decir, las empresas toman los precios como dados e inalterables.
La empresa producirá un único bien (q) que será no negativo y divisible (podrá producir fracciones de bienes).
Los insumos que las empresas demanden serán no negativos y divisibles (podrá tener fracciones de insumos).
Insumos homogéneos. Todas las unidades de trabajo y de capital que utilice la empresa serán iguales individualmente considerados.
Información perfecta. Las empresas saben de antemano cuánto produce cada unidad de insumo, así como los precios de los insumos y del bien que produzca.
En general, estos supuestos son los de competencia perfecta, aunque omitimos uno: la libre entrada de empresas al mercado. La razón por la que lo omitimos es porque este supuesto generaría, que en el largo plazo, cada empresa tenga ganancias iguales a cero, ya que de no serlo, las empresas entrarán y saldrán hasta que haya un precio y una cantidad demandada que haga que cada empresa individualmente tenga ganancias cero. En este modelo, no nos interesa que las empresas tengan ganancias cero, o el número de empresas en el mercado, sólo nos interesa los precios que las empresas toman como dados.
Partiremos del supuesto racional de que el objetivo de las empresas es maximizar sus utilidades (ingreso por ventas menos el costo de producción). Para esto, la empresa deberá poder producir eficientemente, es decir, producirá cada cantidad minimizando los costos. Todo esto lo veremos para el corto y largo plazo.
En un primer lugar, veremos los conceptos necesarios para la toma de decisiones de la empresa. En particular, analizaremos a la función de producción.
En segundo lugar, pasaremos al problema de minimización de costos de la empresa: cómo producir cada cantidad de manera eficiente. Obtendremos las demandas de contingentes de insumos, es decir, sujetas a producir determinada cantidad y la función de Costos Totales Mínimos de la empresa.
Por último, obtendremos las demandas inducidas de insumos que ya no dependerán de la cantidad, sino únicamente del nivel de precios.
1. La función de producción
1.1 Introducción a la función de producción
Si bien el proceso de selección de insumos para la producción es bastante específico a nivel administrativo, para modelos generales económicos podemos considerar que la máxima cantidad que puede ser producida por determinada empresa es una función de los insumos que tiene la empresa. Los insumos considerados de manera tradicional por la economía son tierra, trabajo y capital. Nosotros consideraremos únicamente el trabajo (l) y el capital (k) como insumos para la producción1. Entonces, tenemos que la cantidad (q) que producirá cada empresa es función del trabajo y del capital:
En el largo plazo, la empresa será capaz de variar ambos insumos. No obstante, en el corto plazo, la empresa sólo podrá variar un insumo, el trabajo, mientras que el capital permanecerá constante.2 Entonces tendremos que
La interpretación gráfica que estaremos usando para la función de producción en el largo plazo son las isocuantas. La isocuanta es una curva trazada en el plano cartesiano (trabajo en el eje de las abscisas y capital en el eje de las ordenadas) que representa todas aquellas combinaciones de trabajo y capital que generan la misma
1
Para ejemplificar una generalización, la selección de insumos que considere cada modelo dependerá de los fines de los mismos del modelo. Modelos agregados considerarán la cantidad de científicos (R&D – Research and Development), mano de obra poco calificada (unskilled labour), mano de obra calificada (skilled labour), tierra arable (arable land), capital físico, entre otros, que se consideren necesarios para el modelo.
2
producción del bien q. Para esto, supondremos que la cantidad a producir es q0 o q1. De tal manera:
Despejo entonces k de las funciones y me queda como una función de q (dada) y de l (variable):
A partir de esta función de producción, podemos obtener los conceptos que queremos:
1.2 Producto Medio y Producto Marginal
También, nos interesará saber si el producto marginal es creciente o decreciente en el mismo insumo. Esto nos sirve para saber si cada unidad adicional es más o menos productiva. Para esto, sacamos la doble derivada de la función de producción respecto a cada insumo para saber si el producto marginal es creciente (doble derivada positiva), decreciente (negativa) o constante (igual a cero) en el insumo.
Para ver esto de manera gráfica, suponemos que uno de los insumos está constante y sólo varía el otro (de ahí que usemos derivadas parciales), y será la pendiente de la recta tangente a la función de producto total o
El paso intermedio entre el cociente de los productos marginales, y el negativo de la derivada de respecto a viene de un teorema de cálculo llamado “Teorema de la Función Implícita.” El cambio en entre el cambio en tiene un supraíndice “E” que es la razón de cambio de insumos de la Empresa. Recordando los pasos para sacar una isocuanta, despejábamos de la función de producción y lo poníamos en términos de y de alguna cantidad que quisiéramos ilustrar. Entonces, la Tasa Marginal de Sustitución Técnica es el negativo de la pendiente de la recta tangente a una isocuanta:
Para ver de manera gráfica el producto medio de cada insumo, tomaremos como dado la cantidad utilizada del otro insumo y tendremos que el producto medio es la pendiente de la recta que parte
del origen y toca a la función de producción.
De igual manera, es de interés saber si es decreciente o creciente en cada factor, o en el opuesto. Para hacer esto, derivamos el de cada insumo respecto al insumo sobre el cuál queremos saber si es
creciente o
decreciente.
1.2.1 Relación entre Producto Medio y Producto Marginal
altamente relacionados. Si el producto marginal es mayor al producto medio nos dice que cada unidad me está produciendo más que en el promedio, por lo cual, el producto medio está aumentando. Análogamente, cuando el producto marginal está por abajo del producto medio, éste es decreciente. Adicionalmente, el producto Marginal cruza al producto medio en sus máximos y mínimos.
La gráfica anterior es meramente ejemplificativa, sin intuición económica de por qué una función de producción se comportaría, en su producto medio y marginal, de esa manera. Fue para producto medio y marginal del trabajo, pero puede ser usada como si fuera para el producto medio y marginal del capital.
1.3 Rendimientos a Escala
Los rendimientos a escala marcan una relación entre un cambio igualmente proporcional en los insumos y el cambio que tiene este en la producción. Por ejemplo, si duplico tanto la cantidad de trabajadores como la cantidad de capital empleados en la producción, ¿qué le pasa a la producción? ¿También se duplica, aumenta más o aumenta menos?
Si también se duplicara la cantidad producida, la función de producción tiene rendimientos a escala constantes. Si aumentara en menos que el doble, tiene rendimientos a escala decrecientes, y si aumenta más que el doble, tiene rendimientos a escala crecientes.
Para generalizar de manera formal, definamos y diremos que en el largo plazo, una función tiene Rendimientos a Escala:
Crecientes si Es decir, un aumento igual en los factores aumenta más que proporcionalmente la cantidad producida.
Constantes si Un aumento igual en los factores aumenta en la misma proporción la cantidad producida.
Para el corto plazo:
Crecientes si
Constantes si
Decrecientes si
Los rendimientos a escala se miden en determinados intervalos para los factores. Es decir, si para determinado intervalo de unidades de trabajo, la función presenta rendimientos a escala crecientes, puede ser que para un intervalo diferente presente rendimientos a escala decrecientes. Todo dependerá de la función de producción.
La siguiente gráfica muestra los rendimientos a escala: en primer lugar, para rendimientos a escala crecientes y en segundo lugar, para rendimientos a escala decrecienes.
En esta
gráfica notamos que la isucuanta de está más hacia afuera que la isocuanta de mostrando claros rendimientos a escala crecientes
Contrario a la gráfica anterior, la isucuanta de está más hacia afuera que la
isocuanta de
Para la forma gráfica de los rendimientos a escala constantes, cabe añadir una particularidad. Si sabemos que , tenemos que la función es homogénea de grado uno. Sacando la TMST para tenemos que:
Es decir, si la función de producción presenta rendimientos a escala constantes, la función también es homotética. La importancia de esto será explicada a continuación. Para minimizar costos, un óptimo de solución interior cumple . Entonces, si para determinado nivel de salario w y de tasa de interés r, produzco q0 unidades al mínimo costo usando l0 y k0 unidades de trabajo y capital, tengo que . Entonces, si deseo producir λq0 al mínimo costo, por rendimientos a escala constantes sé que λl0 y λk0 producen dicha cantidad, y que, como se cumple
, λl0 y λk0 producirán λq0 de manera eficiente (minimizando costos).
A la
izquierda se muestra esto de manera gráfica.
existirán entre las propiedades de la función de producción y los costos.
2. Estructura de Costos de la empresa
Una vez revisadas las propiedades, veremos qué pasa con las decisiones que tomará la empresa con base en su función de producción y los parámetros del modelo que definiremos a continuación. En principio, el objetivo de la empresa se reduce a maximizar ganancias ( ), que se puede expresar también como maximizar sus ingresos totales menos sus costos totales. Sus ingresos totales son iguales a la cantidad vendida por el precio de venta, es decir, .
Sus costos totales son iguales a la suma de la cantidad de insumos que utiliza multiplicados por sus respectivos precios. Entonces, el problema de la empresa es:
Si además sabemos que el problema de la empresa se puede rescribir como:
No obstante, para algunos casos no es posible sacar una función de oferta a partir del problema anterior, por razones que veremos más adelante. Asimismo, nos interesa saber cómo la empresa maneja sus costos. Por lo cual, partiremos el problema en dos, siendo el objetivo de este subtema el problema de minimización de costos.
2.1 El problema de minimización de costos
plazo3, es decir, consideraremos que ambos factores de la producción, trabajo y capital, son movibles. Para esta parte, las empresas consideran el siguiente problema:
Nos damos cuenta que la función objetivo es una función que depende de dos parámetros (precios que nos da el mercado) y , y de las variables y . En este sentido, el salario que se paga por unidad de trabajo contratada y es el precio que la empresa paga por una unidad de capital (una renta). A partir de la función objetivo, podemos crear algo que llamamos curvas de isocosto.
Como notamos en la gráfica de la izquierda, las curvas (rectas) de isocosto son paralelas y mantienen su pendiente constante en .
Antes de continuar con el problema de minimización de costo, notemos que la pendiente de las curvas de isocosto no es más que el cambio en entre el cambio en es decir
. El
supraíndice “M” es para indicar que es la razón de cambio del Mercado. Los precios relativos de los insumos es la razón a la cual el Mercado cambia unidades de capital por una unidad de trabajo. Esto tomará especial relevancia para la interpretación del óptimo, cuando lo comparemos con la TMST que, como ya habíamos dicho, es la razón
3
a la cual la empresa intercambia unidades de trabajo por unidades de capital.
En la siguiente gráfica se muestra el problema de minimización.
Lo que quiero es estar en la curva de isocosto más cercana al origen, sujeto a que esté por encima de la curva de isocosto (área sombreada)
Ahora sí, regresemos al problema de minimización de costos de la empresa. Escribiendo el lagrangeano del problema y las condiciones de primer orden:
CPO:
Algunas de las simplificaciones que se pueden hacer al problema incluyen son las mismas que se podían hacer para el caso de minimización de gasto sujeto a obtener un nivel de utilidad, en teoría del consumidor.
Condiciones de Inada:
Al final, el problema de minimización de costos arrojará una y una óptimas que dependerán de los parámetros del problema de minimización de costos y que denominaremos demandas contingentes (o condicionadas) de insumos. Contingentes porque dependerán de una cantidad contingente de .
Adicional a las condiciones de primer orden, necesitamos un criterio (condiciones de segundo orden) para asegurarnos de que efectivamente se trata de un mínimo restringido. Para esto, se podría usar el criterio del Hessiano Orlado. Dicho criterio no es materia de esta nota, y dejamos al lector el estudio de dicho criterio para asegurarnos de que se trata de un mínimo.
Sustituyendo los valores óptimos de trabajo y capital en la función objetivo obtenemos la función de costos mínimos:
2.2 Interpretación de las condiciones de primer orden
Antes de pasar a las propiedades de las demandas de insumos y de la función de costos totales mínimos, nos regresaremos un poco a las condiciones de primer orden
. Sacando el cociente
entre ambas me quedará una relación del tipo:
Hay dos formas de interpretar lo anterior. Para hacerlo, supondremos que estamos inicialmente en una y en una tales que (que no necesariamente se trata de un óptimo, sino únicamente de un punto aleatorio).
El primer caso lo usaremos sustituyendo cada lado por la razón de intercambio que habíamos mencionado anteriormente, donde TMST es la razón de cambio entre insumos de la empresa, mientras que w/r es la razón de cambio entre insumos del Mercado. Para TMST(l,k)<w/r tenemos que:
Lo que esta expresión quiere decir es que, para el punto que tomamos aleatoriamente , la cantidad de capital que el mercado está dispuesta a dar por cada unidad que le entre de trabajo es mayor a la cantidad de capital que la empresa está dispuesta a recibir como mínimo, por cada unidad de trabajo que deje ir. En otras palabras, el mercado valora menos el capital en términos de trabajo de lo que lo hace la empresa. Partiendo del punto inicial , para producir la misma cantidad, la empresa estará dispuesta a sacrificar unidades de trabajo para recibir unidades de capital, entonces mientras que .
La segunda manera de verlo es, más sencilla. Las empresas preferirán adquirir el insumo que marginalmente más unidades le añada al producto total. No obstante, como tiene que pagar por dichos insumos, hay que ponderar (amortiguar, digamos) la relación entre los productos marginales con sus respectivos precios. Entonces, en lugar de comparar con , compararemos con .
Partiendo de
, despejando tenemos que:
Esto me dice que, partiendo del punto inicial , el producto marginal ponderado del capital es mayor al producto marginal ponderado del trabajo. Por lo cual, la empresa querrá aumentar su capital a costa de sus unidades de trabajo: mientras que .
La conclusión final de ambas interpretaciones es la misma. Analizando estas relaciones en puntos esquina (alguno de los insumos igual a cero y el otro positivo) puede darse el caso que la solución sea efectivamente esa esquina cuando, retomando el ejemplo anterior, la empresa ya no puede sacrificar más unidades de trabajo, pues de hacerlo, el trabajo tomaría valores negativos.
Una vez dicho esto, pasamos a las propiedades de las demandas contingentes de insumos y de la función de costos mínimos de la empresa.
2.3 Propiedades de las demandas contingentes y de la función de costos totales mínimos
Empecemos con las conclusiones del Teorema de la Envolvente: 1.- Lema de Shephard para la minimización de costos:
salario). Recordemos que queremos mantener la cantidad constante. Cuando queramos variar también la cantidad, los resultados serán distintos.
Como notamos, el impacto del salario sobre los costos totales se ve en tres efectos que se dan al instante. En primer lugar, un aumento en el salario va a aumentar los costos en la cantidad de trabajadores que tenga la empresa (supongamos que sube de $1 a $2 el salario, si empleaba 5 trabajadores, ahora en lugar de pagar $5 por concepto de salario, pago $10, es decir, un aumento en $5, la cantidad de trabajadores empleada originalmente).
En segundo lugar, ante cambios en w, la empresa querrá cambiar la cantidad de trabajadores. Si el salario aumenta, deberá pagar menos salarios porque hay menos trabajadores (supongamos que de los 5 trabajadores, ahora tiene 4, como este trabajador ganaba ahora $2, la empresa dejará de pagar $2 a este trabajador).
El tercer efecto es sobre el capital. Supongamos que inicialmente la empresa tenía una unidad de capital, y que el precio “r” del capital era igual a $4. Ahora la empresa decidirá aumentar su capital de 1 a 1.5. Por esa media unidad adicional de capital, deberá pagar $2.
Dos anotaciones antes de seguir.
Los cambios son marginales, es por esto que el cambio real puede no coincidir exactamente con el cambio marginal, pero es una buena aproximación ante cambios pequeños. Para la ejemplificación, supusimos que sí coincidían.
análisis es burdo, porque hacerlo en el sentido inverso4 puede hacer que el efecto del cambio en el capital no cancele directamente el efecto del cambio en el salario, aunque la conclusión final seguiría siendo la misma: el efecto total en los Costos Totales ante cambios en el precio de uno de los factores es igual a la demanda contingente de dicho factor, manteniendo la cantidad constante.
Ahora las propiedades de las demandas contingentes de los bienes.
1.- Homogeneidad grado 0 en precios de los insumos:
Esto se ve fácilmente de manera gráfica. Si notamos que la cantidad que queremos producir es la misma, y la pendiente de las curvas de isocosto no se ha alterado:
No habría porque cambiar el punto óptimo.
2.- No creciente en sus propios precios
Y, para dos factores, trabajo y capital, cada factor es no decreciente en el precio del otro factor.
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Es decir, si sube el salario, no hay manera alguna en que, para producir la misma cantidad, contrate más trabajadores. Es intuitivamente absurdo. De igual manera, para el caso de dos factores (adicionalmente, k) si al menos no aumento la cantidad de trabajo, no hay manera alguna de que pueda producir la misma cantidad reduciendo el nivel de capital.
El argumento es gráfico, y es el mismo razonamiento que en la propiedad de las demandas compensadas (hicksianas) de bienes, en donde demostramos que son no crecientes en su precio. Para esto, nos remitimos a la nota sobre demandas compensadas, aunque anotamos que el lector puede realizar dicho argumento, viendo qué sucede con los precios relativos (a la pendiente de las curvas de isogasto) ante un aumento en o en , y qué le sucede a las cantidades óptimas de trabajo y capital para no cambiar el nivel de producción.
Para el caso en que queramos variar la cantidad, habrá otros efectos que podrán cambiar estas conclusiones, y que los veremos más adelante.
Ahora pasamos a las propiedades de la función de Costos Totales mínimos.
1.- No decrecientes en el precio de los factores. Por el teorema de la envolvente.
Es claro que, si aumenta el precio de cualquiera de los factores, no hay manera en que baje el costo de producción, manteniendo todo lo demás constante.
2.- Homogénea grado uno en el precio de los insumos.
Es decir, si tanto el salario como el capital aumentan en la misma proporción, los costos totales aumentarán en la misma proporción. Como ya sabemos que las demandas contingentes de insumos son homogéneas grado cero en el precio de los factores:
3.- No decreciente en la cantidad producida q. Por el teorema de la envolvente:
Entonces, el Costo Marginal es positivo.
2.4 Conceptos relacionados a la función de Costos
El costo marginal se puede ver como la pendiente de la recta tangente a la curva de costos totales , pues no es más que la derivada de la función de costos totales. Por su parte, el costo medio de producir una cantidad se puede ver como la pendiente de la recta que parte del origen, y toca a la curva de costos totales en .
No vamos a realizar inferencia sobre por qué una curva de costos se vería de esta manera, fue realizada sólo para ejemplificar. La forma que tomaren las curvas dependerá de la función de producción. Para seguir con esta forma de la función de producción, a la izquierda está la gráfica de la función de costo marginal y la de costos medios.
Notamos que en este sentido, las características de la función de costos no difieren de las características de la función de producción (gráficamente, el costo marginal y el costo medio se parecen a la representación gráfica del producto marginal y del producto medio).
2.5 Relación entre las demandas contingentes de insumo y la cantidad
Ya habíamos notado las relaciones entre las demandas contingentes de insumos y sus precios. No obstante, no habíamos notado la relación que tienen respecto a la cantidad producida. En teoría, uno esperaría que, para aumentar la cantidad producida, tengo que aumentar ambos insumos de bienes. No obstante, esto no ocurre siempre. Puede haber casos en que, para aumentar la cantidad producida al mínimo costo, dado , tenga que disminuir alguno de los insumos.
No es tema de la presente nota dar una explicación a por qué puede ocurrir este fenómeno, ni explicar bajo qué condiciones es posible la existencia de bienes inferiores a la producción. El fenómeno se puede dar por distintas razones, y el rigor matemático excede el material de este curso.
Entonces, definiremos un insumo como normal o superior cuando la demanda contingente de dicho insumo aumente cuando aumenta la cantidad que se desea producir:
Un insumo será inferior cuando la demanda contingente de dicho bien disminuya cuando se desee aumentar la cantidad a producir
Por monotonía de la función de producción, (en general, ) al menos uno de los bienes tiene que ser normal o superior. No es posible producir más si no aumenta al menos un factor de la producción.
A la izquierda ilustramos una función de producción con ambos factores de la producción, normales o superiores.
Como notamos, al momento de querer aumentar la producción de a , ambos factores de la producción tuvieron que aumentar de a .
A la derecha ilustramos una función de producción en donde el trabajo es un bien inferior y el capital es un bien superior.
2.6 Relación entre rendimientos a escala y costos medios
Pero ahora pasaremos a una relación más complicada, y es la que existe entre los rendimientos a escala y los costos medios. Para esto, nos remitimos a la representación gráfica de los rendimientos a escala en la sección 1.3 (Rendimientos a Escala).
Las relaciones que estableceremos son las siguientes:
Procederemos a demostrar estas relaciones.
Rendimientos a escala crecientes implica costos medios decrecientes Para leer la gráfica:
El punto A es donde la empresa minimizas sus costos para producir dado y , y los minimiza utilizando
unidades de insumo. Los costos para la empresa son .
En el punto B, la empresa minimiza sus costos para producir
(con dado y . Es irrelevante la cantidad de insumos
que use, pero sabemos que los costos de producción serán
En el punto C la empresa incurrirá en unos costos iguales a . Si notamos bien, estos serían iguales a los costos de producir dados los precios de los insumos y . Como sabemos que , los costos de producir en C serán iguales a (por ejemplificar rápidamente, si la empresa duplica sus insumos, duplicará sus costos).
producir con y que minimiza los costos. En términos matemáticos: .
Y
Ahora, producir más es más caro (costo marginal positivo), por lo tanto, producir es más caro que producir (tomando la desigualdad de arriba):
Omitiremos el término de en medio, y dividiendo todo entre :
El término de la izquierda es entonces el costo promedio de producir , mientras que el término de la derecha es el costo promedio de producir . De aquí podemos concluir que:
De aquí concluimos que mientras pasamos de producir a producir , el costo promedio disminuye. Es decir, rendimientos a escala crecientes implica costos medios decrecientes.
Rendimientos a Escala Constantes implica Costos Medios Constantes
Recordemos que la existencia de rendimientos a escala constantes implica que la función de producción va a ser homogénea grado uno en los factores, y por lo tanto, provocará que la función sea homotética.
El punto A es donde la empresa minimizas sus costos para producir dado y , y los minimiza utilizando unidades de insumo. Los costos para la empresa son .
El punto B es donde la empresa minimiza sus costos de producir (con . Por homogeneidad y homoteticidad de la función de producción, los factores utilizados para esto son y . Estos costos son . Este último término coincide con los costos totales mínimos de producir y que son iguales a = .
Entonces, Dividiendo todo entre
Como vemos, rendimientos a escala constantes implica costos medios constantes. De igual manera, siguiendo el procedimiento a la inversa, se puede demostrar que costos medios constantes implica rendimientos a escala constantes. Adicionalmente, para que los costos medios sean constantes, necesitamos que el costo marginal sea constante e igual al costo medio (pues si es mayor o menor al costo medio, este sería creciente o decreciente, respectivamente).
Rendimientos a Escala Decrecientes implica Costos Medios crecientes
En los ejemplos anteriores, hemos definido , esto para
ver cambios aumentos en la producción ante aumentos en los insumos. No obstante, para esta demostración, usaremos
, para ver cómo decrece la producción ante disminuciones en los insumos. Entonces, por definición y usando , rendimientos a escala decrecientes se denotan:
A continuación mostramos gráficamente lo anterior.:
En el Punto A minimizamos costos para producir , dado y ,
usando como cantidad de insumos , y generando unos costos totales mínimos de .
En el Punto B tenemos los costos de reducir la cantidad en una proporción , por lo cual, mis costos deberían disminuir en la misma proporción y ser iguales a . Como no sabemos si en B la empresa minimiza sus costos para producir , sólo podemos asegurar que producir en B la cantidad es más costoso, o al menos igual de costoso, que producir esa cantidad minimizando costos: . La argumentación matemática la mostramos para el primer caso (rendimientos a escala crecientes).
En el punto C, la empresa minimiza costos para producir ,
dado y , en una combinación de insumos tal que se generan
Producir más es más caro que producir menos. Por lo tanto (y tomando la desigualdad obtenida al explicar lo que sucedía en el punto B) podemos ver que:
. Omitiremos el término de en medio:
Dividiendo todo entre :
Simplificando:
Rescribiendo:
Como , de la expresión de arriba ya podemos concluir que rendimientos a escala decrecientes implica costos medios crecientes.
Los procedimientos que usamos anteriormente pueden ser usados para demostrar que la relación se cumple también a la inversa. Dejamos al lector a hacer esta demostración.
Pasaremos rápidamente a ver el problema de minimización de costos a corto plazo, y brevemente su relación con el problema de minimización de costos a largo plazo.
2.7 Costos en el Corto Plazo
En este problema, los parámetros no son sólo el salario, la renta y la cantidad, sino que el capital fijo se convierte en un parámetro.
La manera gráfica de ver el problema es sencilla. Supondremos una función que dependerá únicamente del factor variable . Quiero estar por arriba de determinado nivel de producción minimizando costos. No obstante, como nada más puedo cambiar el nivel de trabajo, el trabajo óptimo será tal que
Entonces, no será necesario tener sacar condiciones de primer orden, solamente despejar de la función de producción, para tener óptima en función de y , a la que llamaremos . Si al momento de despejar de la función de producción a corto plazo, queda negativa, entonces contingente de corto plazo es igual a cero. Entonces, escribiendo la función de costos mínimos a corto plazo:
trabajadores para producir un automóvil dado que no puedo mover mi capital. Si quiero seguir produciendo un automóvil, necesitaré esos cinco trabajadores, les tenga que pagar lo que les tenga que pagar.
No obstante, se mantienen algunas propiedades:
Para estos dos casos, la intuición es más sencilla que en el largo plazo. Si cambia el salario, como tiene que seguir produciendo la misma cantidad , no le queda más que pagar el salario extra a todos los trabajadores que tiene. Si aumenta la renta, su costo de producción aumentará en el capital que tenga fijo. Ahora, como último cambio,
Es decir, su costo marginal de producción será el salario multiplicado por el reajuste que haga en la cantidad de trabajo.
Sin más que añadir, pasaremos a establecer una relación entre los costos en el corto plazo y los cortos en el largo plazo.
2.8 Relación entre el corto y el largo plazo
En general, podemos esperar que la función de costos totales en el largo plazo, en relación a los costos totales en el corto plazo, se vea de esta manera. No obstante, puede haber excepciones, principalmente relacionadas a comportamientos irregulares en el trabajo en el corto y/o largo plazo. No es necesario ahondar en estos casos irregulares, y se deja al lector el desarrollo del argumento gráfico para éstos en caso de que le interese. Pasaremos a explicar la gráfica.
Para las curvas de costo total a corto plazo, tomemos por ejemplo . La curva tiene su ordenada al origen en . Esto es porque la empresa tiene su capital fijo en , y tiene que pagar por cada unidad , aunque produzca cero. Conforme empieza a producir sus primeras unidades, los costos totales aumentan muy poco. Esto se debe a que tiene un exceso de capital, el cual puede usar de manera intensiva. Entonces, la empresa se ve obligada a contratar pocas unidades de trabajo para producir. Eventualmente, llegaremos a los costos que se generarían de producir , en donde la cantidad que se tiene fija de capital en el corto plazo coincide con la cantidad de capital que elegiría si pudiera mover el capital en el largo plazo (casualidad). De igual manera, la cantidad óptima de trabajo que escoge en el corto plazo es igual a la cantidad óptima que escoge en el largo plazo. Esto es:
Cuando la empresa quiere producir más, su cantidad de capital fijo ya va a ser muy poco, por lo que necesitará contratar cada vez más trabajo para compensar la falta de capital. De ninguna manera el costo total a corto plazo puede ser mayor al costo total de largo plazo.
Ahora supongamos que la empresa tiene fijo su capital en . Este capital fijo genera la curva de costos totales a corto plazo . Inicialmente, sus costos de producción son más elevados porque tiene más excedente de capital que tiene que pagar aunque produzca muy poco por la falta de trabajo. De igual manera, el costo empieza a subir lentamente conforme produce sus primeras unidades. Si quisiera producir con su capital fijo en , sus costos son mayores, pues su capital fijo en el corto plazo es mayor al capital óptimo en el largo plazo para esa cantidad:
No obstante, en , se igualan los costos totales para el caso de tener el capital fijo en y en , y siguen siendo mayores a la óptima para producir en el largo plazo.
Para el caso de tener el capital fijo en , el capital fijo es menor al óptimo para producir en el largo plazo, mientras que el trabajo en el corto plazo es mayor al óptimo. Para el caso de tener fijo el capital en , ocurre exactamente lo contrario, el capital fijo es mayor al óptimo de largo plazo, mientras que el trabajo es menor al óptimo de largo plazo. Estas discrepancias de óptimos generan que los costos en el corto plazo sean mayores e iguales.
A partir de este punto, los costos totales de producir con el capital fijo en serán menores a aquellos de producir con el capital fijo en . Esto se debe a que, por un lado, el capital fijo está más cerca del óptimo de largo plazo, y por otro lado, el excedente que hay de capital ya no es tanto como para elevar demasiado los costos. Los costos siguen elevándose lentamente hasta , donde los costos totales de corto plazo coinciden con los costos totales de largo plazo, para producir .
La lógica que se sigue a partir de aquí es la misma que para el capital fijo en a partir de .
La relación entre el corto plazo y el largo plazo no se acaba aquí. Se puede establecer una relación matemática que permita encontrar los niveles óptimos de trabajo y capital en el largo plazo a partir del nivel óptimo de trabajo para el corto plazo.
en la función objetivo para encontrar . Esto es, la función de costos mínimos de producción para cualquier dada. Ahora sólo necesitamos encontrar cuál sería aquella que nos tendrían que dar (que tendríamos que tener fija), de tal manera que el costo total de producción se minimice lo más posible. Para esto, establecemos el siguiente problema de minimización:
Como vimos anteriormente (y por intuición), lo menos que podrá ser el costo en el corto plazo será igual al costo de largo plazo, por lo cual, la óptima que encontremos en este problema coincidirá con la óptima de largo plazo. Ya habíamos minimizado para cualquier nivel de capital, por lo cual, la única variable que nos interesará cambiar aquí será . La expresión anterior la podemos escribir de la siguiente manera:
La única condición de primer orden que necesitaremos será:
O sea,
A partir de aquí, despejamos , y habremos encontrado el nivel de capital que hace lo menor posible los costos de corto plazo para cualquier nivel de , y que, como lo menor posible que se pueden hacer los costos en el corto plazo es igual a los costos de largo plazo, esta que encontremos será igual a . A partir de aquí, sólo es necesario sustituir este nivel de capital en la demanda de trabajo a corto plazo para encontrar la función de demanda de trabajo en el largo plazo:
De igual manera:
Una vez terminado el problema de minimización de costos, pasamos al problema de maximización de Beneficios.
3. La maximización de beneficios de la empresa y la función de oferta
Una vez que la empresa tenga la trayectoria óptima para la cual producir cada cantidad, ya se puede plantear el problema de maximización de beneficios.
3.1 El problema de maximización de beneficios
Vamos a estar en el supuesto de que la empresa toma sus decisiones a largo plazo, y más adelante en la nota veremos cómo se ve el comportamiento en el corto plazo.
Definimos los beneficios de la empresa como:
Entonces, el problema de maximización será:
La única variable de decisión que tiene la empresa es la cantidad. Tomará los precios del producto y de los insumos como dados (esto es a lo que llamamos un modelo competitivo).
CPO:
El primer resultado que obtengo es que el precio es igual al costo marginal. Lo que esto me quiere decir es que yo voy a cobrar lo que me cuesta la última unidad producida, ya que la empresa no querrá cobrar, por ejemplo, $5 por aquella unidad que en el margen le costó $6 producir. De aquí puede despejar q, y tener la cantidad (ofrecida por las empresas) en función del precio:
No obstante, faltan las condiciones de segundo orden para el reconocimiento (o rechazo) de la existencia de un máximo.
C2°O:
Ahora, como p=CMg
Como esto se tiene que cumplir para todo el trayecto respecto a q (de cero a infinito), por inyectividad de la función, sé que se va a cumplir también:
Esto es a lo que conocemos a la ley de la demanda. Es decir, la función de oferta es creciente en su propio precio.
Ahora que ya sabemos que el precio es igual al producto marginal, es hora de pasar a unos supuestos interesantes relacionados con los rendimientos a escala.
3.2 Rendimientos a escala y cuánto producir
Seguimos aún en el supuesto del largo plazo. A la empresa no solamente le importan los beneficios máximos al producir, sino que esos beneficios también sean mayores o iguales a cero (los beneficios de no producir).
Los beneficios máximos de la empresa son:
A partir de aquí, una vez conociendo los rendimientos a escala, podemos saber una relación de los
Caso1: Rendimientos a escala crecientes. decreciente
para toda
La otra opción que tiene el productor es, como cada vez sus costos medios van disminuyendo, y tanto ellos como los costos marginales son positivos, sabemos que
Es decir, el costo medio y el costo marginal se igualan en el límite cuando tiende a infinito. Esto significa que, al producir ,
Entonces, ante rendimientos a escala crecientes, el óptimo será o .
Caso 2: Rendimientos Constantes a escala
Costos medios constantes e iguales a los costos marginales.
para toda
Para el caso en que las empresas tengan rendimientos a escala constantes, no existe una que genere beneficios mayores a cero. Esto, otra vez, se debe a que la empresa toma los precios como dados, ya que se encuentra en un modelo de competencia. En el caso de costos marginales constantes, tenemos el resultado de las condiciones de primer orden . Por lo cual, no hay una que despejar para obtener una función de oferta , y nos encontramos con una oferta perfectamente elástica.
Caso 3: Rendimientos Decrecientes a Escala creciente
para toda y
función de oferta que adicionalmente le dé beneficios a la empresa.
Una vez analizado cuándo va a producir la empresa, pasaremos a las propiedades de la función de oferta y de la función de beneficios máximos.
3.3 Propiedades de la función de oferta
Ya habíamos obtenido la función de oferta a partir de despejar de la condición de primer orden del problema de maximización de beneficios .
Las propiedades de la función de oferta son las siguientes: 1. Homogéneas grado 0 en precios
Del problema de maximización de beneficios:
CPO:
Las condiciones de primer orden no cambiaron, por lo tanto, el óptimo no cambia.
2. No decreciente en su propio precio. Es decir:
La demostración ya estaba a partir de las condiciones de segundo orden cuando dijimos que
En este caso estamos ante una desigualdad estricta. Se permite la desigualdad con posibilidad de igualdad para el caso de las funciones de oferta perfectamente inelásticas (cuando haya una cantidad fija que no se puede cambiar, y que se vende al precio al que estén dispuestos a pagar los consumidores al margen, por ejemplo, hay una cantidad fija de asientos en determinada sala de cine).
Para el caso de las ofertas perfectamente elásticas ya habíamos dicho que no tenemos una función de oferta que podamos derivar respecto a p. No obstante, sólo para fines ejemplificativos, es como si al derivar tuviéramos:
3.4 Las demandas inducidas de insumos y la función de beneficios máximos
Definimos la función de beneficios máximos como:
Esto es, introducir la función de oferta (que me indica la cantidad óptima a vender dado cada nivel de precios) a la función de beneficios de la empresa. Al hacer esto, tengo los beneficios máximos que recibirá la empresa para cada nivel de precios .
De igual manera, nos interesa saber cómo son las demandas de los insumos cuando dependen únicamente de los precios del
mercado, y no de las variables de decisión de la empresa (la
inducidas de insumos, o demandas no contingentes de insumos, y las definimos de la siguiente manera:
Esto es, sustituimos la oferta en las demandas contingentes de insumos.
3.5 Propiedades de la función de beneficios máximos
Las primeras propiedades las tendremos a partir del teorema de la envolvente. La función de beneficios máximos no es más que la función objetivo (la función que maximizamos) evaluada en los óptimos (en ). Por lo cual podemos aplicar el teorema de la envolvente, para obtener los siguientes resultados.
1. Creciente en el precio del producto
El caso para el que se admite que no crece ni decrece es cuando de por sí la empresa estaba produciendo 0.
2. Convexa en el precio del producto
3. No creciente en los precios de los insumos
De aquí se desprenden dos resultados. El primero es que el cambio en los beneficios máximos ante un aumento en el precio de un insumo es igual al negativo de la demanda inducida de dicho insumo. El segundo es el que estábamos tratando de mostrar, es decir, que la función de beneficios máximos es no creciente en el precio de los insumos.
4. Homogeneidad grado uno en precios:
Antes de pasar a las propiedades de la función de beneficio y de las demandas inducidas de bienes, pasaremos a ver qué pasa con la oferta ante cambios en los precios de los insumos.
Sabemos que , y por lo tanto:
A priori, no sabemos qué signo toma esta derivada. Es necesario saber si el trabajo es un bien normal o inferior para saber si, ante cambios en el salario, la cantidad disminuye o aumenta (respectivamente). De igual manera, para cambios en :
3.6. Cambios en precios y cambios en las demandas (inducidas) de insumos
Los precios son factores que ayudan a que los mercados se equilibren (oferta igual a demanda). En una visión de equilibrio parcial, si nada cambia en la economía (tanto la tecnología de producción como la función de utilidad de los agentes se mantienen constantes) no hay razón para que cambien los precios. Los precios sólo cambiarían ante cambios en aquellos dos factores. En otras palabras, los cambios en los precios en los modelos de equilibrio general son endógenos al modelo. No obstante, en nuestro modelo de equilibrio parcial (particularmente éste, pues del análisis que se quiera dependerá si se tendrán determinados precios como endógenos o exógenos), suponemos que la empresa mantiene todo constante en lo que le concierne, pero los precios cambian de manera exógena. Entonces, los cambios en las demandas inducidas de insumos que veremos ahorita serán por cambios exógenos en los precios.
Vamos a partir de las demandas inducidas de bienes:
Primero veremos qué pasa con la demanda del insumo ante cambios en el precio del bien producido.
el precio se querrá cambiar la cantidad (parcial de respecto a ). En segundo lugar, si se quiere cambiar la cantidad, se querrá cambiar la demanda inducida de un bien.
Sabemos que el último término es positivo por la ley de la oferta (si sube el precio del bien, se querrá producir más, pues las ganancias aumentarían). No obstante, el término de en medio no sabemos si es positivo o negativo, es decir, no sabemos si el trabajo es un bien normal o un bien inferior en la producción. Del signo de éste término dependerá si la demanda inducida de un insumo aumenta o disminuye ante aumentos en el precio.
Tomemos por ejemplo la demanda de trabajo. Si sabemos que
(trabajo es un bien normal), entonces
. Lo cual tiene sentido. Si sube el precio, se querrá aumentar la cantidad producida. Y como el trabajo es un bien normal, para aumentar la cantidad se querrá aumentar el trabajo.
Para el caso de que el trabajo sea un bien inferior
, sabemos que si sube el precio, se querrá aumentar
la cantidad vendida. Y como el trabajo es un bien inferior, al aumentar la cantidad se querrá disminuir la cantidad de trabajo empleado.
Ahora pasaremos a ver qué pasa con las demandas de los insumos ante cambios en los precios de estos insumos . Por los supuestos del modelo (equilibrio parcial), el salario cambiará de manera exógena. Empecemos con el trabajo.
El primer término después de la igualdad lo llamamos Efecto Sustitución Directo, y es negativo. Cuando sube el salario, querré tener menos trabajadores y sustituirlos por capital, para seguir produciendo la misma cantidad. No obstante, si sube el salario, al elevar los costos y los costos marginales, probablemente la empresa no querrá seguir produciendo la misma cantidad.
Entonces, el segundo término (la multiplicación completa) después de la igualdad, que llamamos Efecto Producto Directo, nos dice cuánto cambiará el trabajo, dado que querré también cambiar la cantidad ante cambios en el salario. Así a simple vista no podemos decir cómo cambia el trabajo ante cambios en el salario, aunque es de esperar que si aumenta el salario disminuya la demanda inducida. Vamos a hacer una serie de sustituciones para obtener una expresión que nos permita ver esto claramente.
Partiremos de la derivada de respecto a , y de que, por el teorema de la envolvente, lo puedo obtener derivando la función de beneficios máximos respecto al precio.
Por el teorema de Young, puedo cambiar el orden de derivación.
Por el teorema de la envolvente sé que la derivada de la función de beneficios máximos respecto al salario me da el negativo de la demanda inducida de trabajo.
Sustituyendo en la expresión inicial:
Analizando los signos:
Es decir, cuando el salario aumenta de manera exógena, la cantidad demandada de trabajo disminuye. Análogamente para el capital:
El patrón de los signos se mantiene, y podemos decir que cuando la renta del capital aumenta de manera exógena, la cantidad demandada de capital disminuye.
Para revisar el efecto cruzado, seguimos sustituciones iguales que nos llevan a lo siguiente.
3.7 Decisión de producción en el corto plazo
La mayoría de los resultados anteriores son generalizables en el corto plazo. No obstante, hay una restricción que cambia para la empresa para que decida si produce o no.
Definimos los costos fijos en el corto plazo como:
Es decir, los costos fijos son aquellos costos en los que incurro aunque mi producción sea cero (de ahí que en la función de costos totales mínimos de corto plazo evaluemos en ). Estos costos fijos, en el corto plazo, van a ser iguales a la cantidad de capital que está fija multiplicada por su precio. Esto, ya que la cantidad de trabajo que minimiza los costos de producción dado que no se quiere producir será siempre igual a cero ( ). Entonces, consideramos al capital como generador del costo fijo ( ), y al trabajo como generador del costo variable ( ).
De aquí podemos obtener las utilidades de la empresa cuando decide no producir:
Para que una empresa decida producir, los beneficios de producir una cantidad tienen que ser mayores o iguales a los beneficios de no producir. Esto es:
Esto es:
En conclusión, necesito que el precio sea mayor a los costos medios variables ( ).
Como vemos, en el corto plazo, la empresa ya incurrió en su costo fijo. Así que en sus decisiones sobre producir o no tomarán sólo en cuenta el costo variable, pues aquello que incluye el costo fijo (el capital fijo) no es variable de decisión.
3.7 Excedente del Productor
Se define el excedente del productor como la suma desde hasta de la diferencia entre el precio al que el productor estaba dispuesto a vender determinada cantidad, y el precio al que efectivamente lo vendió. Se puede denotar como un área en la gráfica bajo la función de oferta (graficamos al revés):
Esa área la podemos escribir como:
Una pequeña anotación. Para el caso de la gráfica de en medio, será mejor escribir la integral desde el precio de entrada del oferente hasta el precio al que se vende el producto, esto, ya que si bien económicamente no puede haber cantidades negativas, la forma funcional puede dar cantidades negativas a precios positivos. El poner los valores de integración a partir del precio de entrada del oferente evita que el excedente del productor sea cancelado por los valores negativos de la integral.
La integral puede ser un procedimiento bastante tedioso que nos podemos ahorrar mediante otra técnica que demostraremos a continuación, que es la siguiente:
El excedente del productor es igual a la suma de los beneficios de la empresa más el costo fijo.
Partiremos de la siguiente gráfica:
En primer lugar, nos interesa la siguiente integral representada por la gráfica de la derecha:
No obstante, para obtener el área de la gráfica de arriba, necesito el restarle el área que está por debajo de la curva del costo marginal, es decir, le resto la siguiente área representada en la gráfica de abajo:
Entonces, podemos rescribir el excedente del productor de la siguiente manera.
Resolviendo las integrales:
El primer término denota los beneficios de la empresa, mientras que el segundo término denota los costos de producir , es decir, los costos fijos.
Dos anotaciones.
La primera es que, como sabemos, en el largo plazo la empresa no tiene costos fijos, por lo que el excedente del productor será igual a los beneficios de la empresa.
La segunda anotación va muy relacionada (aunque no es tema
del curso, sino sólo para disipar unas dudas). En el curso de
Economía I, el bienestar social ( , de welfare) se medía como la suma del excedente del productor más el excedente del consumidor. Regresando al significado del excedente del productor, éste es la diferencia entre el precio al que vende su producto y el precio al que estaba dispuesto a venderlo. No obstante, en el corto plazo, con la presencia de costos fijos, el productor está dispuesto a ofrecer el producto a un precio inferior al costo de oportunidad real (tomando en cuenta el capital), pues el capital no es variable de decisión. Esto ocasiona que la medida del excedente del productor no tome en cuenta los costos fijos. Es por eso que una medida más exacta del bienestar social sea
