Ejercicios Resueltos de Incertidumbre

EJERCICIOS DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTEZA 1. Calcule el valor de la incertidumbre absoluta de A si:

a=500.01±0.15 m2

v=50.02±0.25m/ s P=1.013x105

N/m2 =1000 kg /m3

Utilizando la siguiente expresión:

v=



2aP [a2 − A2 ] SOLUCIÓN: Me están pidiendo  A

Primero despejaremos A y calcularemos su valor (magnitud)

v2 =[



 2aP [ a2 −A2 ]] 2 v2 = 2aP [a2 − A2 ] a2 − A2 =2aP  v2 a2−2aP  v2=A 2 A=



a2−2aP  v2 A=



500.01m22−2500.01m 2 1.013x105 N/m2  1000kg /m3 50.02 m/ s2 A=499.97 m2

De la ecuación despejada podemos ver de que existen varias operaciones, iremos detallando cada operación:

1º Llamaremos x=a2 _{, entonces:}

x=500.01m2 2 _,

 x x =n  a a  x=[na a ]∗x  x=[2 0.15 500.01]∗250010.00m 4  x=150.00 m4 x=250010.00±150.00m4 2º Llamaremos y=a v2 y= 500.01 m2 50.02 m/ s2 y=0.1998 s2  y y =[ a a n v v ]  y=[a a n v v ]∗y  y=[ 0.15 500.012 0.25 50.02]∗0.1998 s 2  y=0.002057 s2 y= 0.20±0.02x10−1 s2 3º Llamaremos z=x−2Py  z=[250010.00 m4−[21.013x10 5 N/m2 0.20 s2  1000 kg/m3  ]] z=249969.48 m4  z= x− y  z=150.000.02x10−1_m4  z=150.00 m4

z= 249969.48±150.00 m4 4º A=

_

z , Comprobando su magnitud A=



249969.48 m4 _{; A} =499.97 m2  A A =n  z z  A=[n z_z ]∗A  A=1 2[ 150.00 249969.48]∗499.97m 2  A=0.150m2 ,  A=0.15m2 _R/

2. La fuerza ascensional que experimenta el ala del avión viene dada por: F=1 2aireAv2 2 −v1 2  Si: F= 22500.07±9.21 N A=25.06±0.86 m2 v₂=110.25±0.07m/ s aire=1.30 x10−3gr/cm3 ¿Calcular v1 ?

Despejaremos primero v₁ y calcularemos su valor: F=1 2aireAv2 2 −v1 2  2F aireA =v2 2 −v1 2 v1=



v2 2 − 2F aireA v1=



110.25m/s2− 222500.07 N  1.30 kg/m3 25.06 m2  v₁=103.7967 m/ s 1º Operación: x=v22 x=110.25m/ s2 , x=12155.0625 m2 /s2  x x =n v2 v₂  x=[nv2 v₂ ]∗x  x=2[ 0.07 110.25]12155.0625m 2 / s2  ,  x=15.435m2 / s2 x=12155.06±15.44m2 / s2

2º Operación: y=F A y=22500.07 25.06 , y=897.8479648  y y =[  F F   A A ]  y=[ F_F  A_A ]∗ y  y=[_22500.079.21 _25.060.86 ]897.8479648  y=31.17953 y=897.85±31.18 3º Operación: v₁=



x− 2y aire z=x− 2y aire z=12155.06− 2897.85 1.3 kg /m3 z=10773.7523077  z= x y  z=15.4431.18 ,  z=46.62 z=10773.75±46.62 4º Operación

La formula simplificada queda así:

v1=



z , v1=



10773.7523077 , v1=103.79668 Ahora encontraremos su incerteza:

v1 v₁ =n  z z , v1=[n  z z ]∗v1 , v1= 1 2[ 46.62 10773.75]∗103.79671448

v1=0.22457 m/s

v1=0.22 m/s R/

3. Dada la siguiente ecuación de cinemática: y= yovoyt− 1 2g t 2 Calcular: yo± yo si: y=154.47±8.45m v_oy=45.48±0.31m/ s t=8.35±0.18 s Despejando y_o tenemos: y_o= y1 2g t 2 −voyt , calcularemos su valor y_o=154.47m1 29.8 m/ s 2 8.35 s2 −45.48m/s8.35s y_o=116.35225m 1º Operación: z=t2 z=8.35s2 _, z=69.7225 s2  z z =n t t  z=[nt t ]∗z  z=2[0.18 8.35]∗69.7225s 2  ,  z=3.006s2 z=69.72±3.01 s2

La ecuación nos quedará así: y_o= y1

2g z−voyt

2º Operación

x=voyt

 x x =[  voy voy t t ]  x=[voy voy t t ]∗x  x=[ 0.31 45.48 0.18 8.35]∗379.758m ,  x=10.7749 m x= 379.76±10.77m La ecuación quedará así:

y_o= y1 2g z− x 3º Operación w=1 2 g z− x w=1 29.8m/ s 2 69.72 s2 −379.76m , w=−38.132 m w= z x , w=3.0110.77 , w=13.78 w=−38.13±13.78 La ecuación quedará así:

y_o= yw 4º Operación

y_o=154.47−38.13 , yo=116.34 meste valor , solamente nos sirve para comprobar

 yo= y w

 yo=8.4513.78 m ,  yo=22.23 m

4. Calcular T ±T  sí: H= Ae T4_−T s 4_ Donde: H=72.05±0.25Watts A=1.20±0.03m2 T_s=293.02±0.09 Kelvin e=1 =5.67 x10−8 W m2_K

Despejando T4 _{tenemos y calculando su valor} H= Ae T4_−T s 4_ H Ae=T 4 −Ts 4 T4= H AeTs 4 T=4



H AeTs 4 T=4



72.05 W 1.20 m2 15.67x10−8_w/m2 K4293.02 K  4 T=303.028931 K 1º Operación x=H A x=72.05 1.20 , x=60.0416666  x x =[  H H   A A ]  x=[ H H   A A ]∗x  x=[ 0.25 72.05 0.03 1.20]60.0416666  x=1.70937

x= 60.04±1.71 2º Operación y=Ts 4 y=293.024 y=7372063307.61  y y =n Ts Ts  y=n [Ts Ts ]∗y  y=4[ 0.04 293.02]7372063307.61  y=9057206.9849 y= 7372063307.61±9057206.98 La ecuación nos quedará así:

T=4



x[_e1 ] y 3º Operación z=x [ 1 e] y z=60.04[ 1 15.67x10−8_]7372063307.61 z=8430969833.18  z= x y  z=1.719057206.98  z=9057208.69

z=8430969833.189057208.69

La ecuación nos quedará así:

T=4



z 4º Operación T=8430969833.18 1 4 T=303.01866 K T T =n  z z T =[n z z ]∗T T =1 4[ 9057208.69 8430969833.18]303.018931 K  T =0.08138K T= 303.02±0.08 K R/

5. Calcular F± F sí F=P 1in Donde: P=500.34±0.15 $ i=0.25±0.03 n=2 Conoceremos la magnitud de F F=P 1in F=500.3410.252 F=$ 781.78

Simplificaremos la expresión para observar mejor cuantas operaciones realizaremos: F=P 1in F=P 1i2 F=P 12ii2  , F=P2iPi2 P 1º Operación A=i2 P Calculando su magnitud: A=0.252 500.34 , A=31.27125  A A =[n i i   P P ]  A=[ni i   P P ]∗A  A=[2[0.03 0.25][ 0.15 500.34]]31.27125  A=7.514475 A= 31.27±7.51

2º Operación B=iP B=0.25500.34 , B=125.085  B B =[ i i   P P ]  B=[i i   P P ]∗B  B=[0.03_0.25_500.340.15 ]125.085 ,  B=15.0477 B=125.08±15.05

La expresión, nos queda así:

F=P2B A

3º Operación

 F = P B A

 F = 0.1515.057.51 ,  F=22.71

6. x=−b±



_2ab2−4ac Donde: a=3.26±0.12 , b=7.77±0.30 y c=2.05±0.09 Calcular: x1± x1 y x2± x2 1. Desarrollando b2 _: d=b2 =7.772 =60.37 d d =n



b b



=> d=n



b b



d => d=

[

2



0.30 7.77



]

60.37=4.66 d=60.37±4.66 2. Desarrollando ac : e=ac=3.262.05=6.68 e e =

[

a a   c c

]

=> e=

[

a a   c c

]

e => e=

[

0.12 3.26 0.09 2.05

]

6.68=0.54 e=6.68±0.54

3. Ahora tenemos x=−b±



_2ad−4e 4. Desarrollando d−4e : f =d−4e=60.37−46.68=33.64 f =de=4.660.54=5.20 f =33.64±5.20 5. Ahora tenemos x=−b±_2a



f=−b±f_2a1/2 6. Desarrollando f1/2 _: g=f1/2_=33.641/ 2_=5.80

g g =n



f f



=> g=n



f f



g => g=

[

1 2



5.20 33.64



]

5.80=0.45 g=5.80±0.45 7. Ahora tenemos x=−b±g 2a 8. Desarrollando −b±g : h=−bg=−7.775.80=−1.97 h= bg=0.300.45=0.75 h=−1.97±0.75 i=−b−g=−7.77−5.80=−13.57 i=b−g=0.300.45=0.75 i=−13.57±0.75

9. Encontrando las dos posibles soluciones: x₁= h 2a= − 1.97 23.26=−0.30  x1 x₁ =

[

h h  a a

]

=>  x1=

[

h_h  _aa

]

x1 =>  x1=

[

0.75 −1.97 0.12 3.26

]

−0.30=0.10 x₁=−0.30±0.10 R/ x₂= i 2a=− 13.57 23.26=−2.08  x2 x₂ =

[

i i  a a

]

=>  x2=

[

i_i   a a

]

x2 =>  x2=

[

0.75 −13.57 0.12 3.26

]

−2.08=0.04 x₂=−2.08±0.04 R/

7. v2=v0 2 2ad Donde: v=42.32±0.08m/s a=6.432±0.030 m/s2 d=82.748±0.006 m Calcular: v0±v0

1. Despejando v0 se obtiene v₀=



v2−2ad 2. Desarrollando v2 _: x=v2=42.32 m/ s2=1790.98m2/s2  x x =n



v v



=>  x=n



v v



x =>  x=2



0.08m/s 42.32m/s



1790.98m 2 / s2=6.77 m2/ s2 x=1790.98±6.77m2 /s2 3. Desarrollando ad : y=ad=6.432m/s2 82.743m=532.235m2 /s2  y y =

[

a a   d d

]

=>  y=

[

a a   d d

]

y =>  y=

[

0.030m/s 2 6.432m/s2 0.006 m 82.748 m

]

532.235m 2 /s2  y=2.521m2/s2 y=532.235±2.521 m2/ s2

4. Ahora tenemos v0=



x−2y 5. Desarrollando x−2y : z=x−2y=[1790.98 m2 /s2 – 2532.235 m2 / s2 ]=726.51 m2 /s2  z= x y=6.77 m2 / s2 2.521m2 /s2 =9.29 m2 / s2

z=726.52±9.29m2/s2 6. Desarrollando



_z=z1/2 _: v₀=z1/2=726.52 m2/ s21/2=26.95m/s v0 v₀ =n



 z z



=> v0=n



z_z



v0 => v0= 1 2



9.29m2_{/ s}2 726.52 m2_{/ s}2



26.95m/s=0.17 m/ s v0=26.95±0.17 m/ s R/