Calculo i Barroso

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Unidad Académica Tarija

Abel Barroso López

Profesor del Departamento de Ingenierías y Ciencias Exactas de la

Universidad Católica Boliviana San Pablo

Edición: Preliminar – Primavera de 2011 Tarija – Bolivia

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Apuntes Universitarios de Calculo I Abel Barroso López

1 Estimado estudiante:

El presente trabajo te lo he dedicado a ti que eres estudiante de la asignatura Cálculo I de la Universidad Católica Boliviana San Pablo, Unidad Académica Tarija, pues tendré el privilegio de ser tu guía en esta aventura que iniciamos, por lo que me dirigiré en segunda persona: Tu serás mi discípulo y yo tu profesor, tu mentor. En este contexto, hay un compromiso que nos une a los dos y, para cumplirlo, ambos debemos poner nuestro propio esfuerzo.

Y, es que, para cumplir en parte con ese compromiso de ser tu guía, he preparado para ti el presente texto que, para hacer alusión precisamente a mi función, lo he titulado “Apuntes Universitarios de Cálculo I”. No es nada perfecto y, seguro que tiene muchos errores. Sin embargo, aspiro a que su contenido te guiará hasta alcanzar las competencias que busca desarrollarse con la asignatura y a que culmines con éxito este proceso de enseñanza - aprendizaje que iniciamos juntos.

Pero, para alcanzar esa aspiración que compartimos, debo hacer hincapié en las competencias que esta importante asignatura busca desarrollar en ti, y es que buscamos que seas capaz de resolver diferentes tipos de problemas con funciones reales de una variable independiente - que te serán de utilidad en futuras situaciones – utilizando los métodos del análisis matemático.

Debo recordarte que todo el esfuerzo que yo pudiera realizar por ti de nada serviría si es que tú no estudias este documento y no te concentras, con toda tu voluntad, para apropiarte de los conceptos y procedimientos que en él encontrarás, para así poder alcanzar las competencias que te ayudarán notablemente en el desarrollo de tu formación profesional.

Ahora, debo confesarte que no conozco otra manera de aprender matemáticas si no es estudiando ordenada y sistemáticamente, y resolviendo muchos ejercicios y problemas. Por ello te aconsejo que sigas religiosamente los siguientes sietes pasos:

1. Nunca faltes ni llegues tarde a las clases de esta materia.

2. Pon atención a todas las explicaciones que se dan en el aula, toma apuntes ordenados y participa activamente en el desarrollo de cada uno de las clases (participar significa hacer preguntas si tienes dudas, realizar todos los ejercicios dados en clases, consultar al profesor si tu procedimiento es correcto, pensar y tratar de dar respuestas a las preguntas que se formulan en las clases, etc.).

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2 3. Una vez concluida cada clase, y antes de ir a dormir, toma lápiz y papel y

repasa los apuntes del tema avanzado en ese día.

4. Resuelve por tu cuenta los ejercicios que se resolvieron durante la clase. 5. Si durante este proceso tienes dudas, anótalas y busca absolverlas por ti

mismo y, si no puedes, consúltale a tu profesor.

6. Para que alcances seguridad, resuelve por tu cuenta algunos ejercicios de la bibliografía básica que te di en la Guía Didáctica y, si tienes mayores dudas, llévalas a la próxima clase.

7. Estudiar Cálculo equivale a practicar resolviendo muchos ejercicios y problemas y es una tarea que debes realizar, por lo menos, entre una a dos horas al día en forma constante, según tus conocimientos previos.

No es difícil cumplir con estas recomendaciones, sólo necesitas tener la voluntad para hacerlo. Ese será tu esfuerzo; será la parte que pones en este proceso para que tengas el éxito que ambos deseamos.

Yo, como tu guía, siempre estaré cerca de ti y cumpliré con mi parte. No me falles. Te deseo éxitos.

Abel Barroso López

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CONTENIDO

UNIDAD DIDÁCTICA 1: FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

1.- Introducción 5

2.- Definición y análisis del concepto de función 5 3.- Caracterización de los elementos que componen a una función 6

4.- Representación gráfica de funciones 11

5.- Operaciones con funciones 16

6.- Estudio de algunas funciones especiales 24

7.- Funciones pares y funciones impares 34

8.- Crecimiento y acotación de funciones 34

UNIDAD DIDÁCTICA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

1- Conceptos Básicos 37

2.- Idea intuitiva de límites 37

3.- Límite de una función 39

4.- Límites laterales 39

5.- Propiedad de los límites de funciones 41

6.- Límites fundamentales 46

7.- Límites al infinito 48

8.- Técnicas para el cálculo de límites 50

9.- Continuidad de funciones en un punto 63

10.- Continuidad en un intervalo 37

11.- Tipos de discontinuidad 69

UNIDAD DIDÁCTICA 3: DERIVACIÓN DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

1.- Introducción histórica de la derivada 77

2.- Definición de la derivada de una función 79

3.- Interpretación geométrica de la derivada 80

4.- Función derivada 81

5.- Cálculo de la derivada de una función en un punto 81

6.- Derivadas laterales 82

7.- Derivabilidad y continuidad 84

8.- Técnicas para el cálculo de derivadas 86

9.- Derivadas de orden superior 99

10.- Derivación implícita 100

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UNIDAD DIDÁCTICA 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES REALES

1. Introducción 120

2. La integral definida 120

3. Teoremas fundamentales 124

4. La integral indefinida 125

5. Métodos de integración 126

6. Integración de funciones racionales 138

7. Integración de funciones irracionales por sustitución trigonométrica 146

8. Integrales impropias 150

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5 Unidad Didáctica 1

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

1. INTRODUCCIÓN

La noción de función aparece, por primera vez, en una forma más general durante el siglo XIV en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París. Galileo estaba empezando a entender el concepto aún con mayor claridad a través de sus estudios sobre el movimiento que contienen una clara comprensión de la relación entre variables. Asimismo, otra parte de sus matemáticas muestra que estaba empezando a captar el concepto de mapeo entre conjuntos.

Casi al mismo tiempo que Galileo, confluye a estas ideas Descartes con la introducción del álgebra a la geometría expuesta en su obra La Géometrie (La geometría). En ella afirma que una curva puede dibujarse al permitir que una variable tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo lleva el concepto de función a la construcción de una curva. Antes de llegar a la primera vez que se usó la palabra 'función' es importante entender que el concepto se desarrolló con el paso del tiempo; su significado fue cambiando y también fue siendo definido con mayor precisión a través de los años. Como tantos otros términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no-matemático por Leibniz en agosto de 1673.

Se puede decir que en 1748 el concepto de función saltó a la fama en matemáticas debido a Leonhard Euler, quien publicó su obra “Introductio in analysin infinitorum”. Euler definió una función en el libro como sigue: “Una función de una cantidad variable es una expresión

analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable y de números o cantidades constantes”.

A partir de los siglos XVIII y XIX el concepto de función se concibe como el eje central de las matemáticas, su estudio a través del cálculo y sobre todo de las ecuaciones diferenciales se hace totalmente indispensable para llevar adelante todo el desarrollo científico y tecnológico.

Fue Goursat, en 1923, quien dio la definición que aparece en la mayoría de los libros de textos hoy en día: “Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y.

Esta correspondencia se indica mediante la ecuación: y = ƒ(x)”

2.- DEFINICIÓN Y ANÁLISIS DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN.

Definición:

Si tenemos un conjunto de números reales S  R, y los números x e y, tales que xS e yR; se define por función real del conjunto S en el conjunto R a toda expresión lógica matemática perfectamente definida – que denominaremos la ley – que vincula a un número real xS, denominado variable independiente, con un único número real yR, llamado variable dependiente, imagen o función, y se denota:

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6 Como para cada valor asignado a x, se obtiene un único valor para y, resulta pues que cada función es un conjunto de pares ordenados (x, y) creados por la ley y = f (x), generándose un conjunto de los puntos que pueden representarse en el plano cartesiano; por lo que otra idea de función es la que la define como un conjunto de pares ordenados caracterizados por la expresión

y = f (x) y cuya notación es la siguiente:

f = {(x, y)/ y = f (x)}

En síntesis, una función es una ley lógica que vincula dos variables reales “x” e “y”

(denominadas respectivamente variable independiente y variable dependiente), de modo que a

cada valor de la variable independiente “x”, le corresponde uno y solo un valor de la variable dependiente “y”.

El conjunto de todos los valores numéricos que puede asumir la variable independiente x conforman un conjunto de números reales denominado dominio de la función y se designa Df, y el conjunto de todos los valores que corresponden a la variable dependiente y, conforman un conjunto de números reales denominado conjunto imagen, recorrido o rango de la función y se designa: Rf.

Del simple análisis del concepto de función observamos tres componentes: i. La expresión matemática o ley que la define f,

ii. El conjunto de valores que asume la variable independiente x o dominio de la función Df, iii. El conjunto de valores de la variable dependiente y o rango de la función Rf

3 CARACTERIZACIÓN DE LOS ELEMENTOS QUE COMPONEN UNA FUNCIÓN

3.1. La ley:

Como ya se dijo, una función real está definida por una proposición lógica que se formula por medio de una expresión matemática que vincula a la variable independiente “x”, con la

variable dependiente “y”, es decir, la ley es la expresión que define una dependencia de la

variable y respecto de la variable x.

Por tanto, esta ley, al ser expresión matemática, tiene las mismas características de todas estas expresiones y, en general, puede asumir una de las formas de la siguiente clasificación:































ricas

Trigonomét

les

Exponencia

as

Logarítmic

tes

Trascenden

es

Irracional

Racionales

s

Polinómica

ebraicas

lg

A

Funciones

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7 3.2. El dominio de la función:

Como se dijo anteriormente, el dominio de la función f (dominio de definición) es el conjunto de todos los valores reales xS  R que tienen imagen en R y denotamos con Df. El dominio de una función puede estar limitado en los siguientes casos:

1) Por el propio significado y naturaleza del problema que representa. Para entender, veamos los siguientes ejemplos:

a) La fórmula del área de un cuadrado de lado l está dada por la expresión: A = l 2, que relaciona el área del cuadrado con su lado; ésta es una función cuyo dominio lo forman los números reales positivos. En este caso, el dominio viene pues determinado, por la propia naturaleza del problema que no admite lados de cuadrados negativos. Luego el dominio de la función es: DA = R+

b) En la función definida por f (x) = x 2, atendiendo al aspecto analítico de la función no habría inconveniente en calcular la imagen de un número real negativo; por ejemplo:

f (–8) = (– 8)2 = 64. Luego, para este caso, resulta: Df = R.

2) Por la expresión matemática que define a la función. En este último caso hay que analizar la expresión que define a la función y tener en cuenta las condiciones fundamentales de la expresión matemática que la concreta, así pues tendremos en cuenta:

a) Si la función es irracional, debemos identificar si la raíz tiene índice par, en cuyo caso, el radicando debe ser positivo.

b) Si la función es racional, debemos verificar que el divisor sea distinto de cero.

c) Si la función es trascendente, del tipo logarítmico, verificaremos que la expresión sub-logarítmica asuma valores mayores que cero.

Ejemplo 1.- Veamos cuál es el dominio de la función definida por: f (x) =

2

x

Como esta función está dentro de las clasificadas como polinómicas, la variable independiente x no se encuentra ni en denominadores ni en raíces ni en logaritmos, por lo que podemos calcular la imagen para cualquier número real, por tanto:

Df = R

Ejemplo 2.- Ahora, determinemos el dominio de la función dada por: f (x) =

x



1

Ya que ésta es una función irracional, hay que tener en cuenta que el radicando de una raíz de índice par debe ser positivo, por lo tanto debemos exigir:

x – 1  0  x  1  Df = [1, +[

Ejemplo 3.- Veamos ahora, la función definida por: f (x) = 1 4 3   x x

Ya que se trata de una función racional, tendremos que tener en cuenta que los valores que no puede asumir x, son aquellos que anulan al denominador. Podemos ver que si: x – 1 = 0, 

(9)

8

x = 1  Df; por tanto el dominio de f estará definido por todos los números reales menos el 1,

es decir:

Df = R – {1}

Ejemplo 4.- Veamos ahora cómo es el dominio de la función definida por: f (x) = ₁__x2

Al ser una función irracional de índice par, tenemos que exigir que: 1 – x2  0  (1 – x)( 1 + x)  0. Por la regla de los signos del producto de dos factores, se debe cumplir:

[1 – x > 0  1 + x > 0]  [1 – x < 0  1 + x < 0] De donde: [x < 1  x > –1]  [x > 1  x < –1]  –1 < x < 1

Resultando finalmente que los valores que puede asumir x están al intervalo [–1, 1]; luego:

Df = [–1, 1]

Ejemplo 5.- Veamos ahora cómo determinamos el dominio de la función:

f (x) = ln (x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24)

Siendo una función logarítmica, debe cumplirse la inecuación:

x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24 > 0

Para resolver esta inecuación, primeramente debemos factorizarla, por lo que, aplicaremos la técnica de Gauss al polinomio:

P(x) = x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24,

Cuyas raíces enteras están entre los divisores de 24. Por tanto, pueden ser raíces de P(x) los números 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, 6,– 6, 8, – 8, 12 – 12 24 y – 24.

Para descomponerlo en factores se prueba sucesivamente cada una de ellas aplicando la regla de Ruffini o para no trabajar demasiado, aplicamos primero el teorema del resto para verificar cuál de estos valores da como resto cero. Probemos con 1:

P(1) = 14 + 213 – 1312 – 381 – 24 = – 72

Puesto que el resto, – 72, es distinto de 0, se concluye que P(x) no es divisible por x – 1, o lo que es lo mismo, 1 no es raíz de P(x). Probemos ahora con –1:

P(– 1) = (– 1)4 + 2(– 1)3 – 13(– 1)2 – 38(– 1) – 24 = 0

Por tanto, –1 es raíz de P(x), es decir, P(x) es divisible por x + 1; apliquemos la regla de Ruffini:

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9 – 1 – 1 – 1 14 24

1 1 – 14 –24 0 Luego, tenemos: P(x) = (x + 1)(x3 + x2 – 14x – 24)

Para hallar las otras raíces de P(x), obtenemos las raíces del nuevo polinomio:

P1(x) = x3 + x2 – 14x – 24. Se prueba de nuevo con – 1:

P1(– 1) = (– 1)3 + (– 1)2 – 14(– 1) – 24 = – 10

Por tanto, – 1 no es raíz de P1(x). Probando ahora con –2:

P1(–2) = (–2)3 + (–2)2 – 14(–2) – 24 = 0

Por lo que, –2 es raíz de P1(x) y, por tanto resulta:

P(x) = (x + 1)(x + 2)(x2 – x – 12)

Factoricemos la ecuación cuadrática que resulta: x2 – x – 12 = (x – 4)(x + 3). Luego nos queda:

P(x) = (x + 1)(x + 2) (x + 3) (x – 4)

Luego, para determinar el dominio:

f (x) = ln (x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24) Debe cumplirse:

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x – 4) > 0 Como las raíces de: x4 + 2x3 – 13x2 – 38x – 24 = 0 resultan:

x = –1; x = –2; x = –3; x = 4

Para determinar el dominio de f (x), seguimos el procedimiento del método gráfico o de las cruces:

x < – 3  –2 < x < –1  x > 4

Resultando:

Df = {x/ x < – 3  –2 < x < –1  x > 4} = ]–,–3[] –2, –1[]4, [

(11)

10

Ejercicios para el aula: Determinemos el dominio de las siguientes funciones:

1) f (x) = x2 – 3x 2) f (x) = 3 1  x 3) f (x) = 2 5 3   x x 4) f (x) = x24 5) f(x) = 4x2 6) f (x) = x2 4 7) f (x) = 4 5 3 2_{ x}_ x 8) f (x) = 2 3   x x 9) f (x) = 2 2 ₉ x x  10) f (x)=



9



4



7 2 2 _ _x _ x 11) f (x) = x x   2 5 12) f (x)=ln 2 2   x x

Ejercicios para resolver en domicilio: Determina el domino de las siguientes funciones:

1) y = x1 2) y = 3 x1 3) y = 2 4 1 x  4) y = x22 5) y = x x2 2 6) y = 2x x2 7) y = x x    2 1 8) y = x x3 9) y = x x   2 2 log 10) y = 1 2 3 log 2    x x x 11) 2 1 2 _ _  x x y 12) 2 3 ) 1 ( x x y  

3.3. El Rango de la función f o Recorrido de f:

Se lo define como el conjunto de todos los números yR que son imágenes de los valores que asume x, y se denota por R f, por lo tanto depende del Df.

Ejemplos: Calculemos las imágenes para los valores de x de: 0, 1, 2, y 10 en las siguientes funciones: 1) f (x) = 2 4 1 3 x x   2) g(x) = x21 3) h(x) = x2 Resolución: x 0 1 2 10 2 4 1 3 x x y    2 1  3 2 



 96

29

R 1 2 _  x y 1 R 0 3 99 y = x 2 0 1 4 100

(12)

11

Ejercicios para el aula: Calculemos las imágenes para los valores de x de: – 5, – 4 , – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en las siguientes funciones:

1) f (x) = 1 1 2_ x 2) f (x) = 3 1  x 3) f (x) = 2 5 3   x x 4) f (x) = x2 4

Ejercicios para domicilio:

Calcula las imágenes para los valores de x de: – 5, – 4 , –3, –2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 en las siguientes funciones: 1) f (x) = 4x2 2) f (x) = x2 4 3) f (x) = 4 5 3 2_{ x}_ x 4) f (x) = 2 2 ₉ x x  _{5) f (x)=}



9



4



7 2 2 _ _x _ x 6) f (x) = x x   2 5 7) f (x) = 2x x2 8) f (x) = x 9) f (x) = x x2 2

4.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

4.1 Definición

La gráfica de la función f es el conjunto de todos los puntos del plano euclidiano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación que define a la función: y = f (x).

De la definición de función se infiere que la gráfica de toda función se caracteriza porque no hay dos puntos de su gráfica que estén situados sobre la misma recta vertical.

Ejemplo.- Representemos la gráfica de la función definida por: y = x 2 – 5x + 6.

Resolución: Para representar la gráfica de una función, seguiremos los siguientes pasos:

i. En primer lugar, tendremos que determinar el dominio de f.

Para este ejemplo, estando la función definida por: y = x2 – 5x + 6, es claro que se trata de una función polinómica que no tiene divisores ni raíces ni expresiones logarítmicas en las que se involucre la variable x, por lo que podemos calcular la imagen para cualquier número real, por tanto: Df = R.

ii. En segundo lugar, determinamos algunos pares de valores (x, y) asumiendo algunos valores para x, dentro de su dominio, y calculando los correspondientes valores de y utilizando la expresión que define la función. Los pares de valores (x, y) se deben presentar en una tabla como la que se muestra a continuación:

x 0 1 2 4

y 6 2 0 2

iii. Luego, graficamos cada uno de estos pares de valores (x, y) en un sistema de coordenadas rectangulares y, finalmente, los unimos mediante una curva suave (ver figura 1.1)

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12 Figura 1.1

4.2 Gráficas de algunas funciones especiales: A. Función valor absoluto: f (x) = |x|

Por definición de valor absoluto de un número, se tiene:

|x| =       0 0 x si x x si x

El dominio de esta función es R. Por tanto: si x < 0  y = – x, y si x > 0  y = x, luego, la gráfica de f es la siguiente:

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13 B. Función entero mayor E(x):

Se define como el entero mayor de un número x, al mayor entero que es menor o igual que x, y se denota E(x). Por tanto, el dominio de E(x) es R y su rango, el conjunto de todos los números enteros Z.

Para graficar la función entero mayor f (x) = E(x), tenemos que determinar los valores de E(x) en intervalos de entero en entero, por ejemplo, si queremos graficar E(x) en el intervalo [–5, 5[ tenemos que operar del modo siguiente:

Para – 5  x < – 4  E(x) = – 5 Para – 4  x < – 3  E(x) = – 4 Para – 3  x < – 2  E(x) = – 3 Para – 2  x < – 1  E(x) = – 2 Para – 1  x < – 0  E(x) = – 1 Para – 0  x < 1  E(x) = 0 Para 1  x < 2  E(x) = 1 Para 2  x < 3  E(x) = 2 Para 3  x < 4  E(x) = 3 Para 4  x < 5  E(x) = 4 Obteniéndose la gráfica que se muestra en la figura 1.3

(15)

14 C. Función polinomial: Grafiquemos la siguiente función polinómica:

f (x) = (x – 2)(x – 1)(x + 1)

Para graficar esta función se procede en forma similar que el ejemplo 1, ver la figura 1.4

Figura 1.4

Ejercicios para el aula: Grafiquemos las siguientes funciones: 1) f (x)=|x – 1| 2) f (x)=|x + 1| 3) f (x)= x x 4) f (x)= x x 5) f (x)=x + x x 6) f (x)=|x| – x x 7) f (x)=|x| x 8) f (x)=|x| + |x| x 9) f (x)=(x + 1)3 10) f (x)=3(x + 1)2 11) f (x)=(x – 2)(x – 1)(x + 1) 12) f (x)=3x2–4x–1 13) f (x) =      2 3 2 x x x ; 14) f (x) = x3 – 6x2 + 9x 15) f (x)=3x2–12x+9 16) f (x)= x4 – 4x2 17) y = x 1 18) y = 1 1  x 19) y = 2 21   x x 20) y = x + x 1 21) y = x 22) y = x3 23) y = 3 x2

24) f (x)=x – E(x) 25) f (x)=x + E(x) 26) f (x) = x E(x)

27) f (x)= ) (x E x 28) f (x)=E(x) – x 29) f (x) = |x | – E(x) 30) y = x21 31) y = 2 x x  32) y =         1 2 1 3 2 x si x x si x

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15

Ejercicios para resolver en domicilio: Grafica las funciones siguientes: 1).- Funciones polinómicas: 1) y = x3 – 9x2 2) y = x4 – 5x2 + 4 3) y = x3 – 2x2 + x 4) y = x4 – 8x2 – 9 5) y = x3 – 6x2 + 9x – 1 6) y = (1 – x)3 7) y = 2 – x3 8) y = x5 + 2 9) y = – x4 – x2 10) y = x – x2 11) y = (x – 2)(x – 1)(x + 1) 12) f (x) = (x–2)(x–1)(x+1) 13) y = – 4x3+2x 14) y = x 4 – x 3 15) y = 4x3 – 3x2 16) y = – x4 + 2x2 17) y = – 4x3 + 4x 18) y = x5 – 5x3 + 4x 2).- Funciones racionales: 1) 1 2   x x y 2) 2 1 x x y  3) 3 1 x y  4) 1 2 2   x x y 5) 2 2 ₁ x x y  6) 2 1 x y  7) 1 2 _  x x y 8) x x y 1 2 _  9) 1 1    x x y 10) 1 1 2 2    x x y 11) 1 1 2 2    x x y 12) x x y   2 2 13) 1 1 2 _  x y 14) 1 1 2 _  x y 15) 4 5 2 _ _  x x x y 16) 2 3 1 x x y   17) 2 3 ) 1 ( x x y   18) 2 1 2 _ _  x x y

3).- Función valor absoluto y entero mayor:

1) y = |x 2 – 2| 2) y = | | 1 x 3) y = |x 2 – 5x + 6| 4) y=-|x 2 – 1| 5) y=|x – 1| + |x + 1| 6) y = (|x| – x)/2 7) y = x + |x|/x 8) y = |x| + |x|/x 9) y = x·|1 + 1/x| 10) y = E(x) + x 11) y = (–1)E(x) 12) y = |x 2 – 2| 13) y = x 2 – |x| – 2 14) y = |x 2 + 2x – 3| 15) y =|x 2 – 4|

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Apuntes Universitarios de Calculo I Abel Barroso López 16 16) y = E(x) – x 17) y = E(x) + |x| 18) y = ) (x E x

4).- Función exponencial y logarítmica

1) y = ln(x2 – 4) 2) y = ln(x2 – 6x + 8) 3) y = x.e–x 4) y = ln(x2 – 5x + 6) 5) y=ln(x2 + 1) 6) y = ln(x2) 7) y = ln|x| 8) y = e–x 9) y = – ex 10) y = 2x 11) y = x.ex 12) y = 2–x 13) y = x.lnx 14) y x2.ex2 15) y = x2.e x 16) y = 2x + 2-x 17) x e y x  18) x x yln 5).- Función irracional. 1) y x2 6x5 2) 1 8 4    x x y 3) f (x) = x2 4 4) f (x) = 2 3   x x 5) f (x) = 2 2 ₉ x x  6) f (x) = x x   2 5 7) f (x) = 3 3   x x 8) f (x) = x x2 9  12) f (x) = 4x2

5.- OPERACIONES CON FUNCIONES

5.1. Suma y diferencia de funciones.

Definición.- Sean dos funciones reales de una variable real, definidas por las expresiones:

y1 = f1 (x) y y2 = f2 (x). La función suma o la diferencia de ambas dos funciones, es la función determinada por la siguiente expresión:

ys = y1  y2 = f1(x)  f2(x).

Propiedad. El dominio de la función suma, y también el de la función diferencia, es el conjunto definido por la intersección de los dominios de las funciones que se suman.

Ejemplos. Calcula la función suma de las siguientes funciones y determina sus dominios respectivos:

(18)

17 Ejemplo 1. f1 (x) = x 2 + 1; f2 (x) = – 2 x 2 + 4

La suma está dada por: ys = f1(x)+ f2(x)= x2 + 1 – 2x2 + 4 = – x2 + 5.

Y, su dominio es: Df1 = R; Df2 = R;  D ys = R R = R Ejemplo 2. f1(x) = x x 1 ; f2(x) = 1 1    x x

La suma está dada por:

ys = f1(x) + f2(x) = x x 1 + 1 1    x x = ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 (       x x x x x x ys = f1(x) + f2(x) =

)

x

(

x

1

2 2







=

)

x

(

x

1

1 



= x 1 Y, su dominio es: Df1 = R – {0}; Df2 = R – {1} Luego: D ys = (R – {0}) ( R – {1}) = R – {0, 1}

Observación: Observa que si sólo consideras la expresión que determina la función resultante, su dominio será el conjunto de los números reales exceptuando el cero. Este conjunto no coincide con la intersección de los dominios de las funciones dadas. Por ello, no debes calcular el dominio trabajando con la expresión que define la función resultante sino con la intersección de los dominios de las funciones sumando.

Ejercicios para el aula: Calculemos las funciones suma y diferencia de las siguientes funciones y determina sus dominios respectivos:

1) f1(x) = x; f2(x) = x x 1 2) f1(x) = x1; f2(x) = 4 1   x x 3) f1(x) = x x 1 ; f2(x) = 2 2   x x 4) f1(x) = x; f2(x) = 4 1   x x

5.2. Producto y cociente de funciones.

Definición.- Sean dos funciones reales de variable real definidas por las expresiones:

y1 = f1 (x) y y = f2 (x). Se llama función producto de ambas, a la función determinada por la

expresión:

yp = y1 × y2 = f1(x) × f2(x)

Análogamente podemos definir la función cociente como:

yc = 2 1 y y = ) ( ) ( 2 1 x f x f

(19)

18 Propiedad.- El dominio del producto de dos funciones y del cociente de dos funciones es la intersección de los dominios de ambas funciones. Pero además, en la función cociente, habrá que quitar todos los puntos que anulen a f2(x) que es el denominador de dicha función cociente.

Ejemplos

Ejemplo 1. Dadas las funciones f1(x) = x + 1  f2(x) = x + 2, determina yp así como yc con sus

dominios respectivos. El producto es: yp = (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 Y, el cociente es: yc = 2 1   x x

Y, sus dominios son: Df1 = R; Df2 = R

D yp = RR = R; Dyc = R – {–2}

Puesto que el número real –2 anulará el denominador de la función cociente.

Ejemplo 2. Ídem con las siguientes funciones: f1(x) =

2 1   x x y f2(x) = 2 1   x x yp = 2 1   x x 2 1   x x = 2 1 2 2   x x  D yp = (R – {2})  (R – {–2}) = R – {–2, 2} yc = 2 1 2 1     x x x x = ) 2 )( 1 ( ) 2 )( 1 (     x x x x  D yC = (R -

 

2 )  (R –

 

2 ) – {1} = R -



2,1,2



Observa que en la función cociente también hemos quitado del dominio el punto 1 puesto que la función yc se anula para dicho punto.

Ejercicios para el aula: Calculemos yp así como yc en los siguientes casos:

a) f1(x) = 2 1   x x ; f2(x) = 3 1   x x b) f1(x) = 1 1   x x ; f2(x) = x2 – 1 5.3. Función compuesta.

Definición.- Dadas dos funciones definidas por y = f (x)  z = g (y). A la función que se obtiene

de sustituir “y” por f(x) en la función g, es decir z = g (f(x)), se la denomina función compuesta, y se denota gof, es decir: (gof)(x) = g(f (x))

Observación.- Analizando el esquema de la figura 1.5, observamos que para que exista la función compuesta es necesario que el rango de la función f quede totalmente incluido en el dominio de la función g, es decir R f  D g.

(20)

19 Figura 1.5

Si no se verificara esta condición podríamos construir una función compuesta realizando una restricción en aquellos puntos donde no existen problemas. En todo caso, el dominio de definición de la nueva función sería:

D (gof) = {x/xDf tal que f (x)Dg}

Ejemplos

Ejemplo 1. Estudiar la existencia de la función compuesta gof de las siguientes funciones y, en caso afirmativo calcularla:

f (x) = x + 1  g(x) = x2 + 1

En este caso el dominio de la función g es todo R.

Cuando esto ocurra, la función compuesta existe y el dominio de la misma coincidirá con el dominio de f.

Por tanto, en este caso la función compuesta existe y D (gof) = Df = R.

Además (gof) (x) = g(f (x)) = (f (x))2 + 1 = (x + 1)2 + 1 = x2 + 2x + 1 + 1 = x2 + 2x + 2

Ejemplo 2. Estudiar la existencia de gof en el caso: f (x) = 1 1   x x  g(x) = x2

En este caso, Dg = R y D f =]  , -1]  ]1, +  [, luego la función gof existe en el siguiente dominio:

D (gof) = Df = ]  , –1]  ]1, +  [

Siendo además: (gof )(x) = g(f (x) = (f (x))2 =

2 1 1           x x = 1 1   x x

(21)

20 Ejemplo 3. Dadas las funciones: f (x) =

2 1   x x  g(x) = x 1

+ 3; estudiar la existencia de gof y de

fog.

Solución g o f: Dgof = {x/xDf, pero f (x) Dg}

D g = R – {0} y D f = R – {–2}. Por tanto, si existe algún punto del dominio de f tal que f (x) = 0 entonces, para ese punto, no existirá gof. Es decir:

f (x) = 0  2 1   x x ≠ 0  x – 1 ≠ 0  x ≠ 1

Por tanto, para determinar D (gof) bastará con quitar al dominio de f los puntos que verifican que f (x) = 0. Como: Df = R – {–2}  D(gof) = R – {–2,1} Siendo: (gof)(x) = 3 1 2    x x

Solución f o g: Dfog = {x/xDg, pero g (x) Df}

Como Df = R – {–2} y D g = R – {0}. Por tanto habrá que comprobar si existe algún punto tal que g(x) = – 2. Es decir: g(x) = – 2  x 1 + 3 = – 2  x 1 = – 5  x = 5 1 

Por tanto, para determinar D(fog) bastará con quitar al dominio de g los puntos que verifican que

g(x)= –2, es decir: Como: Dg = R – {0}  D(fog) = R – {–1/5, 0} Siendo: (fog)(x) = 2 3 1 1 3 1                 x x = x x 5 1 2 1  

Observación: Observa que si solo consideras la expresión que determina la función resultante, su dominio será el conjunto de los números reales exceptuando el –1/5.

Este conjunto no coincide con el dominio determinado por el análisis de los dominios de las funciones dadas. Por ello, no debes calcular el dominio trabajando con la expresión que define la función resultante sino con el análisis de los dominios de las funciones dadas.

Ejercicios para el aula:

1) Dadas las funciones f (x) = 3x – 7 y g(x) = 2x + k, determinemos k para que gof = fog.

2) Dadas la funciones: f (x)= x1 y g(x)= 3 2   x x

, calculemos, si es posible, la función gof y la función fog y su respectivos dominios.

(22)

21 3) Dada la función f (x) = 1 –

x 1

, comprobemos que (fofof)(x) = x

4) Estudiemos la función gof siendo f (x) = 8x – 3 y g(x) =

6 5 1 2_ _  x x x .

Ejercicios para domicilio: Realiza los siguientes ejercicios de funciones compuestas:

1) Estudia las funciones gof y fog en el caso f(x) = 1 1   x x y g(x) = 1 2 2_  x x , y determina sus respectivos dominios. 2) Halla f (f (f (x))) si f (x) = x  1 1 . 3) Halla f (x+1) si f (x - 1) = x2 4) Dada f (x) = x x   1 1

log , demuestra que: f (x) + f (y) = f ( xy y x   1 ) 5) Dadas: f (x) = 2 1 (a x + a –x ) y g (x) = 2 1 (a x – a –x ), demuestra que:

f (x+y) = f (x) f (y) + g (x) g (y)

6. Estudia las funciones gof y fog en el caso f(x) = 1 1   x x y g(x) = ln _        1 2 2 x x , y determina sus respectivos dominios.

7. Estudiar las funciones gof y fog en el caso f(x) = x1 y g(x) = ln (x +2) y, determina sus respectivos dominios.

5.4. Función inversa. Definiciones.

i. Se llama función identidad a aquella función en la que a cada número real le hace corresponder el mismo número y se denota por I (x) = x.

ii. Una función f se dice inyectiva o función uno a uno si verifica que dos puntos distintos de su dominio no tienen la misma imagen, es decir que, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, los valores de “y” no se repiten. En todo caso:

f es inyectiva   x1, x2  f (x1) = f (x2)  x1 = x2

La definición de función inyectiva, gráficamente, se caracteriza porque no hay dos puntos de la gráfica de la función situados sobre la misma recta horizontal

(23)

22 Ejemplo: Comprobar analíticamente si la siguiente función es inyectiva o no:

f (x) = x x 1

Resolución: Por definición, para dos valores x1 x2, se analiza:

f (x1) = f (x2)  1 1 1 x x  = 2 2 1 x x   (x1 + 1) x2 = (x2 + 1) x1  x1 x2 + x2 = x2 x1 + x1  x1 = x2

Luego, la función dada es inyectiva.

Ejercicios para el aula: Comprobemos analíticamente si las siguientes funciones son inyectivas o no, y si no lo son, determinemos el dominio para el cual si sean inyectivas:

1) f (x) = x3; 2) f (x) = 1 1   x x ; 3) f (x) = x2 4) f (x) = sen (x) 5) f (x) = x21 6) f (x) = 4x2 7) f (x) = x3 8) f (x) = cos (x)

Definición de función inversa

Si y = f (x) es una función inyectiva, definida en su dominio. Llamamos función inversa de f (en caso de que exista) y denotamos f –1(x), a aquella función que verifica:

(f –1 o f)(x) = (f o f –1)(x) = x Ejemplo: Dada la función f (x) = x3, determinemos f –1(x)

Resolución: Primero debemos verificar si f es inyectiva. Por definición, podemos escribir:

f (f –1(x)) = x

Por la función f en composición con f -1, tenemos: f (f –1(x)) = [f –1(x)]3

Si sustituimos en la anterior expresión, obtenemos: [f –1(x)]3 = x. Despejando f -1(x), finalmente tenemos: f –1(x) = 3 x

Que es la función inversa de f que pedimos determinar en el presente ejemplo. Probemos por otro lado: Partimos de la expresión f (x) = y = x3.

Despejando x: x = 3 y

Cambiemos las denominaciones de x por y y de y por x: y = 3 x.

Que es la expresión que define la función inversa de f. Las gráficas de ambas funciones se observan en la figura 1.6

(24)

23 Figura 1.6

Observación: Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la gráfica de la función identidad I(x) = x. Veámoslo en la figura 1.6

Procedimiento para determinar la función inversa de una función dada: se puede seguir la siguiente lógica:

Se verifica si la función es inyectiva.

i) Se despeja la variable independiente x.

ii) Se intercambia las designaciones de las variables “x” por “y”, y de “y” por “x”. iii) Se comprueba que (f –1of) (x) = x

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Ejemplo.- Determinemos, si es posible, la función inversa de: f (x) = 1 2   x x .

Resolución: Seguimos el procedimiento antes indicado:

i) En primer lugar debemos estudiar si la función en cuestión es inyectiva o no:

f (x1) = f (x2)  1 2 1 1   x x = 1 2 2 2   x x  (x1 – 2)(x2 + 1) = (x2 – 2)(x1 + 1)  x1x2 + x1 – 2x2 – 2 = x2x1 + x2 – 2x1 – 2  3x1 = 3x2  x1 = x2

Con esto queda probado que la función f es inyectiva y por tanto f –1 existe. ii) Despejamos la variable x

y = 1 2   x x  y(x + 1) = x – 2  y x + y = x – 2  x (y - 1) = – y – 2  x = 1 2    y y

(25)

24 iii) Intercambiamos las designaciones de x por y, y de y por x, obteniéndose:

y = f –1(x) = 1 2    x x

iv) Finalmente, comprobamos si (f –1of) (x) = x:

f -1( 1 2   x x ) = 1 1 2 2 1 2        x x x x = 1 1 2 1 2 2 2          x x x x x x = 3 3   x = x = I (x)

Ejercicios para el aula: Determinemos la función inversa de las siguientes funciones:

1) f (x) = x; 2) f (x) = 1 1   x x ; 3) f (x) = x2 4) f (x) = sen x 5) f (x) = x21 6) f (x) = 4x2 7) f (x) = x3 8) f (x) = 3 1   x x .

9 ¿Existe la función inversa de f (x) = x2? Analicemos su existencia en función de su dominio.

10) Dada la función f (x) = 4 2

x x _e

e  

x – 6; verifiquemos si existe f –1 y calculemos f –1

Ejercicios para el domicilio: Dadas las siguientes funciones, verifica si tienen f –1 y determínalas: 1) f (x) = x2 + 1 2) f(x) = 2x + 4. 3) f (x) = 2x + 3 4) f (x) = x2 – 1 5) f (x) = 31 x 3 6) f (x) = log 2 x 7) f (x) = 1 1   x x ; 8) f (x) = x2 9) f (x) = sen x 10) f (x) = x21 11) f (x) = 4x2 12) f (x) = x3 13) f (x) = 3 1   x x . 14) y = 2 log x 15) y = 31 x 3 16) y = 2 x x _e e   17) y = ln x x   1 1 18) y = x x x x e e e e    

6. ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES. 6.1. Funciones circulares y sus inversas.

Las funciones circulares o trigonométricas que conocemos desde la secundaria son:

(26)

25 Donde la variable independiente x es un arco medido en radianes. En cada caso, existe un dominio (para cada función circular), para el cual la función es inyectiva, por lo que existen las correspondientes funciones inversas. Las funciones circulares inversas son:

y = arc sen(x), y =arc cos(x), y =arc tg(x), y =arc sec(x), y =arc cosec(x), y =arc ctg(x)

Ejercicios para el aula:

1.- Determina los dominios de las funciones trigonométricas para los cuales son inyectivas. 2.- Grafica cada una de las funciones circulares inversas.

6.2.- Funciones exponenciales y logarítmicas

6.2.1. La función exponencial

Si a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Como ax > 0 para todo x  R, la función exponencial es una función de R en R+ .

En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial. Leyes de los Exponentes:

Sean a y b dos número reales positivos y x, y  R, entonces:

1. a x a y = a x+y 2. y x a a = a x-y 3.

 

ax y = a xy 4. (a b) x = a x b x 5. x x x b a b a        . 6. x x a b b a              

7. Cuando a > 1, si x < y, entonces, a x < a y. Es decir, cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio.

8. Cuando 0 < a < 1, si x < y, entonces, a x > a y .Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio.

9. Si: a x = a y  x = y

10. Si 0 < a < b, se tiene: Si x > 0  a x < b x Si x < 0  a x > b x

Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.

(27)

26 Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.

6.2.2. Gráfica de la Función Exponencial

En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas anteriormente, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales.

En las figuras 1.7 y 1.8, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (figura 1.7) y de base a < 1 (figura 1.8). Nótese que cuando la base a es mayor que 1, la función exponencial y = a x (figura 1.7) no está acotada superiormente. Es decir, a x crece sin límite al aumentar el valor de la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, a x tiende a cero, cuando x decrece indefinidamente.

Del mismo modo, cuando la base a < 1, la función exponencial y = a x no está acotada superiormente. Así, a x crece sin límite, cuando la variable x toma valores mas pequeños y, a x tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes. El hecho de ser la función exponencial a x con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.

Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica). En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva.

Figura 1.7 Figura 1.8

Observación. - Cuando a = e, siendo e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función exponencial ex se llama:

(28)

27 6.2.3. La función logarítmica

La igualdad N = a x, donde N es un número real y a x, es una expresión exponencial; da lugar a dos problemas fundamentales:

i. Dada la base a y el exponente x, encontrar N (Potencia). ii. Dados N y a, encontrar x (Logaritmo).

El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos, aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo siempre existe un número real x tal que N = a x, cuando N y a son reales positivos y a  1. Lo anterior da lugar a la siguiente definición:

Definición.- Sea a un número real positivo constante, a  1 y, sea x cualquier real positivo, entonces:

y = log a x  a y = x

La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base a 1, denotada por y = log a x ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número log a x, se llama

logaritmo de x en la base a.

La definición anterior, muchas veces, se expresa diciendo que: el logaritmo de un número, en

una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos. Propiedades de los logaritmos

Si a > 0, y b es cualquier número real positivo, x e y reales positivos, entonces:

1. log a (a b) = alogab= b. 2. log a a = 1 3. log a 1 = 0 4. log a (x y) = log a x + log a y

5. log a _      y x

= log a x – log a y 6. log a ( x n) = n log a x ; n R.

7. Cuando a > 1, si 0 < x < y , entonces, log a x < log a y. Es decir, la función logarítmica de base

a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.

8. Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y, entonces, log a x > log a y. Esto es, la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.

9. Para todo número real yo, existe un único número real xo tal que log a xo = yo. Esta propiedad

indica que la función logarítmica es inyectiva.

10. log b x = b x a a log log ; b  1. 11. log a x = log a y  x = y

(29)

28 12. Si log b m = x , y,   0 , entonces, log_b m= x. (Invarianza)

Demostración. Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior.

A manera de ilustración, se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el estudiante.

1. Sea: y = log a (a b). De acuerdo a la definición de logaritmo y de la propiedad 9 de las funciones exponenciales, se tiene:

y = log a (a b)  a y = a b  y = b

Esto es: b= log a (a b) … ( 1 ) Nuevamente por definición se tiene: y = log a b  a y = b

Es decir: _alogab_{= b} _{… (2 ).}

De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que : log a (x b) = _alogab_.

4. Sea:  = log a x y  = log a y, entonces: log a x =   a = x  … (1) log a y =   a = y … (2)

Multiplicando miembro a miembro: 

a a = x y  a  = x y  log a (x y) =  + 

Es decir: log a (x y) = log a x + log a y.

7. Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean:  = log a x y  = log a y. Se prueba que < . En efecto, si   , y como a > 1, se tendría, por la propiedad 7 del teorema de las propiedades de las funciones exponenciales que a a, es decir, x  y que contradice la hipótesis.

Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1. Observaciones.

a) La igualdad log a (a b) = b, dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 .

b) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones

(30)

29 exponenciales y logarítmicas en una misma base. Es decir, si una de ellas es continua y creciente (o continua y decreciente), la otra también lo es.

c) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número e (número de EULER).

Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por ln, o simplemente L. Sin embargo, los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la práctica son los correspondientes a los de base 10, los cuales son llamados logaritmos

decimales o vulgares y se denotan por log10 o simplemente, log x.

6.2.4. Gráfica de la Función Logarítmica

En las figuras 1.9 y 1.10, aparecen las gráficas de las funciones y = log2 x  y = log1/2 x, en

concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior. En la figura 1.11, se han trazado conjuntamente las curvas: y = ex  y = ln (x). Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación b). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x.

Ejercicios para domicilio: Grafica las siguientes funciones:

1. y = ln(x2 – 4) 2. y = ln(x2 – 6x + 8) 3. y = x.e–x 4. y = ln(x2 – 5x + 6) 5. y=ln(x2 + 1) 6. y = ln(x2) 7. y = ln|x| 8. y = e–x

9. y = – ex 10. y = 2x 11. y = x.ex 12 y = 2–x 13. y = x.lnx 14 y = x2 exp(–x2) 15 y = 2 x + 2 –x

(31)

30 Figura 1.11

6.3. Las funciones hiperbólicas y sus inversas

5.3.1- Funciones hiperbólicas. Las funciones hiperbólicas y sus gráficas, se presentan así:

Seno Hiperbólico: f (x) = sh (x) = 2 x x _e e   , x  R. Figura 1.12. Función sh (x) Coseno hiperbólico: f (x) = ch (x) = 2 x x _e e   , x  R. y = ex y = ln(x)

(32)

Apuntes Universitarios de Calculo I Abel Barroso López 31 Figura 1.13. Función ch (x) Tangente hiperbólica: f (x) = tgh (x) = x x x x e e e e     , x  R. Figura 1.14. Función tgh (x) Cotangente hiperbólica: f (x) = ctgh (x) = x x x x e e e e     , x  0. Figura 1.15. Función ctgh (x)

(33)

32 Secante hiperbólica: f (x) = sech (x) =

x x _e

e   2

, x  R.

Figura 1.16. Función sech (x)

Cosecante hiperbólico: f (x) = csech (x) =

x x _e

e  

2

, x  0.

Figura 1.17. Función csech (x) Propiedades:

1).- Si: sh (x) = 0  x = 0 y cosh (x) = 1  x = 0

2).- Las funciones: f (x) = sh (x) ; f (x) = tgh (x); f (x) = ctgh (x) y f (x) = csch (x) Son funciones impares, es decir: f (–x) = – f (x) y, por tanto sus gráficas son simétricas respecto al origen.

3).- Las funciones: f (x) = ch (x) y f (x) = sech (x)

Son funciones pares, es decir: f (–x) = f (x) y, por tanto sus gráficas son simétricas respecto al eje y.

(34)

33 Identidades hiperbólicas.- Las funciones hiperbólicas, verifican ciertas identidades, similares a las que satisfacen las funciones circulares. La identidad fundamental de la trigonometría hiperbólica es:

ch ² (x) – sh ² (x) = 1

De esta identidad, se deducen las siguientes expresiones:

sech ² (x) + tgh ² (x) = 1 ctgh ² (x) – csech ² (x) = 1 sh (x ± y) = sh (x) ch (y) ± ch (x) sh (y) ch (x ± y) = ch (x) ch (y) ± sh (x) sh (y) sh (2x) = 2 sh (x) ch (x) ch (2x) = ch ² (x) + sh ² (x) tgh (2x) = 1 ) ( ) ( 2 2 _x _ tgh x tgh

Observación: De las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico se infiere que los valores de estas funciones están relacionados a las coordenadas de los puntos de una hipérbola equilátera (Figura 1.17), de manera similar a la que los valores de las correspondientes funciones circulares están relacionados a las coordenadas de los puntos de la circunferencia trigonométrica. 6.3.2. Funciones hiperbólicas inversas.

Figura 1.18 x

(35)

34 Como hemos visto, en toda función hiperbólica la variable dependiente y se vincula a la variable independiente x a través de expresiones exponenciales de la forma e  x , donde x recibe el

nombre de argumento de la función hiperbólica. Para determinar la función inversa de una función hiperbólica, primeramente se deben intercambiar las notaciones de x por y, y recíprocamente de y por x y, luego despejar el exponente de la ahora variable y; así tenemos: Para y = sh (x)  x = sh (y), de donde se obtiene: y = arg sh (x)

Para y = ch (x)  x = ch (y), de donde se obtiene: y = arg ch (x)

Para y = tgh (x)  x = tgh (y), de donde se obtiene: y = arg tgh (x)

Para y = sech (x)  x = sech (y), de donde se obtiene: y = arg sech (x)

Para y = cosech (x)  x = cosech (y), de donde se obtiene: y = arg cosech (x)

Para y = ctgh (x)  x = ctgh (y), de donde se obtiene: y = arg ctgh (x)

Ejercicios para domicilio

1. Determina, para cada función hiperbólica inversa, su dominio

2. Halla, para cada función hiperbólica inversa, una expresión algebraica obtenida a partir de la definición de cada una de la correspondiente funcione hiperbólica.

7.- FUNCIONES PARES Y FUNCIONES IMPARES

Definiciones

i) Una función y = f (x) se dice función par si para todo x del dominio se verifica:

f (– x) = f (x).

ii) Una función y = f (x) se dice función impar si para todo x del dominio se verifica:

f (– x)= – f (x)

Propiedades

1. Las funciones pares son funciones simétricas respecto del eje de ordenadas.

2. Las funciones impares son funciones que gozan de una simetría central respecto del origen de coordenadas.

Ejercicios para domicilio: Estudia la paridad de las siguientes funciones: 1) f (x) = x2 – 1; 2) f (x) = x3 + 3; 3) f (x) = 4 4 2_ x ; 4) f (x)= x 5) f (x) = x 1 ; 6) f (x) = 3 2 3  x x ; 7) f (x) = sen(x); 8) f (x) = cos(x) 9) f (x) = tg (x) 10) f (x) = 2 x x _e e   11) f (x) = 2 x x _e e  

(36)

35

8.- CRECIMIENTO Y ACOTACIÓN DE FUNCIONES

Definiciones

a) Una función y = f (x) se dice monótona creciente si para dos puntos cualesquiera x1 y x2,

pertenecientes al dominio de f, tales que x1<x2, se verifica que

f(x1) < f(x2).

b) Una función y = f (x) se dice monótona decreciente si para dos puntos cualesquiera x1 y x2 pertenecientes al dominio de f tales que x1<x2 se verifica que

f (x1) > f (x2).

c) Una función f es acotada superiormente si y solo si existe, al menos, un número real M

tal que,  x  Df se tiene que f(x)  M. A cualquier número M que verifique esto lo

llamamos cota superior de la función.

d) Una función f es acotada inferiormente si y solo si existe, al menos, un número real m tal

que,  x  Df se tiene que f (x)  m. A cualquier m que verifique esto lo llamamos cota

inferior de la función.

e) Sea f una función acotada superiormente. Llamamos máximo de la función a la menor de

todas las cotas superiores de dicha función.

f) Sea f una función acotada inferiormente. Llamamos mínimo de la función a la mayor de

todas las cotas inferiores de dicha función.

Ejemplos

Ejemplo 1.- Estudiar el crecimiento y acotación de la función definida por: y = 2 – x.

Observando su representación gráfica, en la figura 1.19, se infiere que esta función es monótona decreciente en todo su dominio y no está acotada ni inferior ni superiormente.

Figura 1.19

Ejemplo 2.- Estudiar el crecimiento y acotación de la función definida por: f (x) = x2 – 4 Veamos en primer lugar su representación gráfica:

(37)

36 Figura 1.20

En este caso vemos que la función no es monótona creciente ni decreciente. Lo que si podemos afirmar es que es decreciente en el intervalo abierto ], 0[ y creciente en el intervalo ]0, [. Observa que esta función no está acotada superiormente pero si lo está inferiormente siendo una cota inferior suya –5. Observa también que su mínimo es –4.

Ejercicios para domicilio: Estudia el crecimiento y acotación de las siguientes funciones:

1) f (x) =        0 1 0 1 x x x x 2) f (x) =        0 1 0 3 2 x x x x 3) f (x) =        0 2 0 2 x x x x 4) f (x) =         1 2 3 1 1 2 x x x x 5) f (x) =              0 2 0 1 1 1 1 2 2 _x x x x x 6). f (x) =         2 2 4 2 2 _x _x x x x