Tema 2. Sistemas conservativos

Tema 2.

Sistemas conservativos

Segunda parte:

Potenciales centrales

• Un potencial

U

se denomina central cuando depende solamente de la distancia a un punto fijo

O

. Tomando un sistema de referencia centrado en

O

, el potencial sólo depende de la coordenada radial

U

=

U

( )

r

. La fuerza generada por la presencia de este potencial es

( )

u

r

F

( )

r

u

r

dr

dU

r

U

F

r

=

−

∇

r

=

−

r

=

r

Consecuentemente, una fuerza central es aquella que está dirigida hacia, o desde, un punto fijo

O

, y cuyo módulo sólo depende de la distancia a

O

. A continuación enumeramos las principales características del movimiento bajo un potencial central.

A) Se conserva el momento angular respecto a

O

• El momento de la fuerza respecto a

O

es

( )

×

=

0

=

×

=

r

F

F

r

r

u

r

M

r

r

r

r

r

y de la ley de Newton para el movimiento de rotación respecto a

O

0

=

=

dt

L

d

M

r

r

se concluye que el momento angular respecto al centro de fuerza

O

es constante

cte

v

=

×

=

r

r

r

m

r

L

Como consecuencia,

r

r

y

v

r

deben estar contenidos en el plano perpendicular al vector

L

r

, y la posición de dicho plano no varía en el tiempo. La órbita está contenida en ese plano. Dada la simetría del problema respecto a la rotación según el eje definido por el vector

L

r

, es conveniente tomar un sistema de coordenadas polares

( )

r

,

φ

en el plano de la órbita, centrado en el punto

O

.

B) El movimiento cumple la ley de las áreas

• Respecto al sistema de coordenadas polares, la posición y velocidad tienen la expresión φ

φ u

r

u

r

u

r

r

r r

r

&

r

&

r

r

r

v

=

+

=

(

r

)

z

r

m

r

u

r

u

mr

u

u

r

L

v

=

r

×

&

r

+

φ

&

r

_φ

=

2

φ

&

r

y la condición de conservación de su módulo nos lleva a la constante del movimiento

2

φ&

mr

L

=

• Definimos la velocidad areolar como la derivada respecto al tiempo, del área

S

barrida por el radio vector al moverse la partícula en el plano de la órbita.

dt

dS

areolar

=

v

La ley de las áreas establece que la velocidad areolar es constante, es decir, se recorren áreas iguales en tiempos iguales. Equivale a la conservación del módulo L del momento angular. Como demostración, supongamos que una partícula se encuentra en el instante

t

en la posición

A

, y en el instante

t+dt

en la posición

B

.

x

y

A(t)

B(t+dt)

r+

dr

r

d

φ

dS

O

La partícula recorre en el intervalo

dt

la distancia

ds

≈

r

d

φ

. El área barrida es igual al área del triángulo

AOB

( )

rd

φ

r

d

φ

r

dS

2

2

1

2

1

₌

=

con lo cual la velocidad areolar es

φ

φ

2

_&

2

2

1

2

1

r

dt

d

r

dt

dS

₌

₌

Introduciendo la conservación del momento angular, obtenemos la fórmula matemática de la ley de la áreas

m

L

mr

m

dt

dS

2

2

1

2

=

=

φ&

C) Ecuaciones del movimiento

• Escribimos la ley de Newton en coordenadas polares

a

m

F

r

=

r

donde la aceleración del cuerpo tiene la expresión

(

r

r

φ

) (

u

r

φ

r

φ

)

u

φ

a

r

=

&&

−

&

2

r

_r

+

&&

+

2

&

&

r

con lo cual, la ley del movimiento es

( )

(

&& r

φ&

2

)

r

m

r

F

=

−

y

( )

mr

2

φ&

=

0

dt

d

La última ecuación expresa la conservación del momento angular.

D) Conservación de la energía

• Se define la energía de la partícula como la suma de la energía cinética y la energía potencial

( )

r

U

m

E

=

v

2

+

2

1

r

Derivando respecto al tiempo, vemos que la energía se conserva, es una constante del movimiento

( )

v

(

( )

)

0

v

v

⋅

+

⋅

∇

=

⋅

+

∇

=

=

m

a

U

r

m

a

U

r

dt

dE

r

r

r

r

r

r

r

E)

Potencial centrífugo. Potencial efectivo

• Utilizamos la conservación de la energía para integrar el sistema, y encontrar la solución que defina su movimiento. En coordenadas polares

2 2 2 2

v

=

r

& r

+

φ&

Con ayuda del teorema de conservación del momento angular, podemos eliminar la variable angular

φ

, resultando

2 2 2 2 4 2 2 2 2 2

v

r

m

L

r

r

m

L

r

r

+

=

+

=

&

&

Así, la energía del sistema queda definida como función exclusivamente de la distancia radial

r

,

( )

U

( )

r

mr

L

r

m

r

U

r

m

L

r

m

+

=

+

+









+

=

2 2 2 2 2 2 2

2

2

1

2

1

E

&

&

Se comprueba entonces que el problema es similar al estudiado en la primera parte de este tema (dinámica de la partícula en una recta), ya que la partícula se ve sometida al potencial efectivo en la dirección radial

( )

r

U

mr

L

U

_ef

=

₂

+

2

2

función exclusiva de la variable radial

r

. El primer término se llama potencial centrífugo y da lugar a una fuerza repulsiva radial, debida a la rotación respecto a

O

2 2

2mr

L

U

_c

=

F)

Tipos de movimiento

• La región accesible para la partícula es aquella en la que

E

≥

U

_ef

( )

r

. Si

E

es igual a un mínimo del potencial efectivo

U

_ef tenemos estados de equilibrio en los cuales

r

es constante

(

r

&

=

0

)

. Es decir, son trayectorias circulares centradas en O. Para energías ligeramente superiores a estos mínimos de potencial se producen oscilaciones en torno a las órbitas circulares, que para algunos potenciales toman la forma de trayectorias elípticas con uno de los focos en

O.

• Los puntos de retroceso del movimiento radial son las soluciones de

( )

r

U

E

=

_ef . La trayectoria se mantiene acotada entre dos circunferencias si existen dos puntos de retroceso radial. Si no, la partícula llega al infinito, o bien, cae al centro de fuerzas

O

.

G) Cálculo de órbitas. Fórmulas de Binet

• Partimos de las ecuaciones del movimiento

( )

(

&& r

φ&

2

)

r

m

r

F

=

−

y

φ&

2

mr

L

=

Suponemos que la dependencia temporal de

r

es de la forma

( )

t

r

[ ]

( )

t

r

=

φ

con lo cual, las derivadas temporales adquieren la forma

φ

φ

φ

φ

d

dr

d

dr

dt

d

dt

dr

₌

₌

_&

y

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

d

r

d

d

dr

d

r

d

dt

d

d

dr

dt

d

dt

r

d

_&&

_&

+

=













+

=

• Derivando respecto al tiempo la ecuación que define el módulo del momento angular

L

, encontramos

0

2

2

φ

&&

+

&

φ

&

=

r

r

r

con lo cual, la derivada segunda adquiere la expresión





























−

=

2 2 2 2 2 2

1

2

φ

φ

φ

d

dr

r

d

r

d

dt

r

d

_&

• Introduciendo estas derivadas temporales en la ley del movimiento en la dirección radial, vemos que se satisface

( )

2 2 2 2 2

1

2

φ

φ

φ

φ

&

r

&

d

dr

r

d

r

d

m

r

F

₋





























−

=

Eliminando

φ&

2 con ayuda de la conservación del momento angular, llegamos a la conclusión de que la órbita de la partícula

r

=

r

( )

φ

es solución de la ecuación diferencial

( )

_r

d

dr

r

d

r

d

L

r

F

mr

₋













−

=

2 2 2 2 4

1

2

_φ

φ

• Esta ecuación se simplifica con el cambio de variable

r

u

=

1

con el resultado













−

=

+

u

F

L

u

m

u

d

u

d

1

2 2 2 2

φ

que se conoce como la 2ª fórmula de Binet, para la órbita bajo una fuerza central

F

( )

r

. Nos sirve para calcular la trayectoria de la partícula si conocemos la fuerza central, o para calcular la ley de fuerza si conocemos la trayectoria de la partícula.

• La 1ª fórmula de Binet relaciona el campo de velocidades con la órbita de la partícula. Es decir, nos permite conocer el módulo de la velocidad en los distintos puntos de la órbita recorrida por la partícula. Con los mismos pasos anteriores,

















+













=

+













=

+

=

2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

v

r

d

dr

r

m

L

r

m

L

d

dr

r

m

L

r

φ

φ

φ&

&

ó en función de la variable

u

















+













=

2 2 2 2 2

v

u

d

du

m

L

φ

Problemas Resueltos

2.5

Una partícula de masa

m

describe una trayectoria circular de radio

R

que pasa por el centro de fuerzas

O

. Determinar en función de

m

,

R

, y de la velocidad mínima de la partícula en su trayectoria,

a) la ley de velocidades, b) la ley de la fuerza

c) la energía potencial de la partícula.

x

y

O

_R

m

r

φ

• La trayectoria en coordenadas polares es

φ

cos

2R

r

=

como se puede deducir de la siguiente gráfica

Respecto a la variable

u

obtenemos

φ

cos

2

1

R

u

=

y de aquí,

(

)

2 4 2 2 2 2 2 2 2

4

cos

tan

1

tan

cos

2

sin

u

R

u

u

u

d

du

u

R

d

du

=

=

+

=

+













=

=

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

x y O 2R m r φ 90º

• Utilizando la 1ª fórmula de Binet, hallamos la ley de velocidad de la partícula en función de la posición en la órbita

4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2

4

4

v

r

m

L

R

u

R

m

L

u

d

du

m

L

=

=

















+













=

_φ

ó 2

2

v

mr

RL

=

Debemos expresar el resultado en función de la velocidad mínima de la masa

m e

n la trayectoria. La velocidad alcanza su valor mínimo cuando la coordenada radial

r

sea máxima, es decir, en

r

=

2

R

. Dicho valor mínimo es

mR

L

2

v

_min

=

con lo cual, la velocidad de la partícula satisface

2 min

2

v

v













=

r

R

• Para determinar la fuerza central

F(r)

que genera este tipo de órbita utilizamos la 2ª fórmula de Binet. Ahora

(

)

2 3 2 2 2 2 2

8

cos

2

cos

tan

tan

u

u

u

u

u

R

u

u

d

d

d

u

d

+

−

=

+

−

=

+

=

=

φ

φ

φ

φ

φ

φ

con lo cual

( )

r

F

mr

L

R

m

u

L

R

u

d

u

d

m

u

L

u

F

=

−

=

−

=









+

−

=













5 2 2 5 2 2 2 2 2 2

8

8

1

φ

En función de la velocidad mínima, la fuerza central tiene la expresión

( )

v

2min

2



5











−

=

r

R

R

m

r

F

fuerza atractiva, inversamente proporcional a la quinta potencia de

r

.

• La energía potencial satisface

( )

dU

_dr

r

F

=

−

Integrando esta ecuación, con la condición de que la energía potencial se anule en el infinito, obtenemos

( )

( )

2min 4 5 2 min

2

2

v

2

v













−

=













=

−

=

∫

∫

∞ ∞

r

R

m

dr

r

R

R

m

dr

r

F

r

U

r r

2.6

Una partícula de masa

m

describe una espiral bajo la acción de una fuerza central. Deducir la ley de fuerza, si la espiral está descrita por la ecuación

r

=

_φ

a

.

O

r

φ

• Utilizamos la 2ª fórmula de Binet. En función de la variable

u, l

a órbita se describe por la ecuación

φ

a

u

=

1

La fuerza central que genera este tipo de movimiento satisface

(

)

F

( )

r

mr

L

m

u

L

u

u

m

u

L

u

F



=

−

′′

+

=

−

=

−

=











3 2 3 2 2 2

1

Por tanto, es una fuerza atractiva inversamente proporcional al cubo de la distancia al centro de fuerzas.

2.7

Una partícula de masa

m

se mueve en una región donde existe un potencial central de la forma

U

( )

r

=

kr

4

,

k

>

0

. ¿Para qué valores de la energía y del momento angular la órbita será una circunferencia de radio

a

con centro en

O

? ¿ Cuál es el período de revolución en esa órbita? Si el movimiento de la partícula se perturba separándolo de dicho movimiento circular, ¿cuál será el período de las oscilaciones radiales alrededor de

r

=

a

.

• Por ser el potencial central se conserva la energía y el momento angular respecto a

O

. En una órbita circular de radio

a

, el equilibrio de las fuerzas en la dirección radial se escribe

( )

a

F

F

_c

=

siendo

F

_c la fuerza centrífuga, y

F

( )

a

la fuerza central evaluada en

r

=

a

. Por definición, la fuerza central deriva del potencial en la forma

( )

3

4kr

dr

dU

r

F

=

−

=

−

La fuerza centrífuga, generada por la rotación respecto al centro

O

es

a

m

F

_c 2

v

=

con lo cual, del equilibrio de fuerzas, obtenemosla velocidad en la órbita circular

2 3 2

2

v

4

v

a

m

k

ka

a

m

=

=

• La energía del sistema es suma de la energía cinética y la energía potencial

( )

4 4 4 2

3

2

4

2

v

ka

ka

m

ka

m

a

U

m

E

=

+

=

+

=

y el momento angular para la trayectoria circular es

3

2

v

mk

a

ma

L

=

=

El hecho de que la energía de la partícula sea menor que la energía potencial en el infinito, en este caso equivale a que sea finita, indica que la partícula no puede escapar al infinito. La partícula está atrapada en el campo de fuerza.

• La trayectoria circular se describe con velocidad constante

v

, siendo el período de revolución igual a

k

m

a

a

T

=

π

=

π

v

2

• Cuando la partícula se ve desplazada ligeramente de esta órbita circular, su energía potencial

U(r) a

dmite el desarrollo en serie

( ) ( )

( )(

)

( )(

)

2

2

1

a

r

a

U

a

r

a

U

a

U

r

U

≈

+

′

−

+

′′

−

y de aquí, la fuerza central que sufre la partícula, en las inmediaciones de la órbita circular, es

( )

r

U

( )

a

U

( )(

a

r

a

)

F

≈

−

′

−

′′

−

Suponemos que la perturbación no afecta al momento angular de la partícula, que se mantiene constante. La fuerza centrífuga para posiciones cercanas al movimiento circular también admite el desarrollo

( )

r F

( )

a F

( )(

a r a

)

F_c ≈ _c + _c′ −

• La ley de movimiento para el movimiento radial es

( )

r

F

( )

r

F

dt

r

d

m

₂

=

+

_c 2

y sustituyendo los desarrollos anteriores, obtenemos la ecuación del movimiento en la vecindad de la órbita circular

( )

a

U

( )(

a

r

a

)

F

( )

a

F

( )(

a

r

a

)

U

dt

r

d

m

₂

=

−

′

−

′′

−

+

_c

+

_c

′

−

2

• Definimos la variable para el movimiento perturbado como la distancia radial a la órbita circular

a

r

s

=

−

La ley de movimiento para la variable

s

es

( )

( )

[

U

a

F

a

]

s

U

( )

a

F

( )

a

dt

s

d

m

2

+

′′

−

c

=

−

′

+

c 2

El lado derecho es nulo en virtud de la condición equilibrio en la órbita circular, por lo que obtenemos finalmente

( )

( )

[

]

0

2 2

=

−

′′

+

U

a

F

a

s

dt

s

d

m

c

que corresponde a una oscilación armónica cuya frecuencia de movimiento satisface

( )

( )

m

a

F

a

U

′′

−

_c

′

=

2

ω

• Evaluando las derivadas espaciales

( )

2

12ka

a

U

′′

=

teniendo en cuenta el valor constante del momento angular

L

( )

2 4 6 4 2

12

4

3

3

ka

ma

mka

ma

L

a

F

c

′

=

−

=

−

=

−

obtenemos la frecuencia de oscilación del movimiento perturbado alrededor de la órbita circular

a

m

k

p

=

2

6

ω

y el período de las oscilaciones radiales

k

m

a

T

_p

6

π

=

lo que indica que el movimiento de oscilación radial es más lento que el movimiento orbital en un factor

6

.

2.8

Una partícula se lanza con velocidad ₃

3

2

a

α

, dirigida perpendicularmente al radio vector, a una distancia

a

del centro

O

de una fuerza central atractiva

4

r

mα

−

. Calcular el tiempo de caída al centro de fuerzas.

• Utilizamos el concepto de potencial efectivo. La ley del movimiento para la coordenada radial

r

se obtiene de la conservación de la energía

( )

r

U

mr

L

r

m

E

=

+

₂

+

2 2

2

2

1

_&

donde

U

(

r)

es la energía potencial de la partícula. Por definición,

( )

( )

3

3

r

m

dr

r

F

r

U

r

α

−

=

−

=

∫

∞

tomando como referencia una energía potencial nula en el infinito. Por tanto, la energía queda expresada en la forma

3 2 2 2

3

2

2

1

r

m

mr

L

r

m

E

=

&

+

−

α

• Para determinar la trayectoria radial de la partícula, despejamos la velocidad radial 3 2 2 2

3

2

2

r

r

m

L

m

E

dt

dr

r

&

=

=

−

−

+

α

tomando el signo menos por ser la velocidad radial negativa (el radio vector decrece en el tiempo). Integrando, el tiempo de caída sobre

O

es

∫

∫

=

₋

₊

+

−

−

=

a a

r

r

m

L

m

E

dr

r

r

m

L

m

E

dr

T

0 3 2 2 2 0 3 2 2 2

3

2

2

3

2

2

α

α

Este tiempo puede calcularse una vez determinado el momento angular respecto a

O

y el valor de la energía de la partícula.

• Por ser la fuerza una fuerza central, se conserva el momento angular respecto a

O

. Calculamos su valor tomando como referencia el momento inicial del movimiento

a

m

a

ma

L

3

2

3

2

3

α

α

₌

=

Además, se conserva la energía. Inicialmente

0

3

3

2

2

0

2

1

3 2 2 2

+

−

=

⋅

=

a

m

a

ma

m

m

E

α

α

∫

∫

=

₋

−

=

a a

a

r

dr

r

ar

r

dr

T

0 0 2 3

1

1

2

3

3

2

3

2

α

α

α

• Con el cambio de variable

ω

a

r

=

obtenemos

∫

−

=

1 0 2 / 3 2

1

2

3

ω

ω

ω

α

d

a

a

T

La integral indefinida tiene la solución

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

arcsin

4

3

2

4

3

)

1

(

1

2 / 3

+











 +

−

−

=

−

∫

d

con lo cual

8

3

1

arcsin

4

3

1

1 0 2 / 3

π

ω

ω

ω

₌

₌

−

∫

d

Finalmente, el tiempo de caída resulta ser

α

π

5

128

27

a

T

=

2.9

Se somete a una partícula de masa

m

a una fuerza central

0

,

2

>

−

=

u

k

r

k

F

r

r

_r . Calcular su trayectoria. ¿Cuál debe ser su velocidad inicial para que dicha trayectoria sea una circunferencia de radio

r

₀ y centro

O?

• En función de la variable

u

, la fuerza que sufre la partícula es

2

1

ku

u

F



=

−











y la 2ª fórmula de Binet nos dice que la órbita

( )

φ

u

r

=

1

es solución de la ecuación diferencial

2 2 2

1

L

mk

u

F

u

L

m

u

u



=











−

=

+

′′

• La solución es suma de la solución general de la ecuación homogénea

0

=

+

′′

u

completa. Elegimos esta solución particular como la solución constante, ₂

L

mk

u

_p

=

. Por tanto,

(

0

)

2

+

cos

φ

−

φ

=

+

=

A

L

mk

u

u

u

_{g p}

De aquí, la órbita queda definida por

(

0

)

cos

1

+

φ

−

φ

=

e

p

r

ecuación de una cónica de parámetro

p

2

L

mk

p

=

y excentricidad

e

mk

AL

e

2

=

El ángulo

φ

₀ es el formado por el eje polar

φ

=

0

, y el eje

x

.

• La trayectoria será un circunferencia de radio

r

₀ si

e

=

0

, y si

p

=

r

₀. Por tanto

2 0

L

mk

r

=

Por ser la fuerza central, el momento angular respecto a

O

se conserva. Inicialmente la partícula lleva una velocidad

V

₀ perpendicular al radio vector

r

₀, por lo que

0 0

V

mr

L

=

La velocidad necesaria para la órbita circular es

0 0 2 0 2 0 2 0

mr

k

V

mk

V

r

m

r

=

=

Además se comprueba que en la órbita circular hay un equilibrio de las fuerzas radiales. La fuerza central debe anularse con la fuerza centrífuga debida al giro respecto a

O

0 2 0 2 0

r

V

m

r

k

₌

2.10

Una partícula se mueve en una órbita circular de radio

a

, bajo la acción de una fuerza central dirigida hacia un punto

O

. Sean

V

_max

,V

_min los valores máximo y mínimo de su velocidad. Calcular el período de la órbita en función de estos datos.

O

m

min r max V min V max r

a

• En el caso más general, la órbita circular no tiene por qué estar centrada en

O

. Tomando coordenadas polares con centro en

O

, la órbita es una elipse. Al ser la fuerza central, el momento angular respecto a

O

es constante. En los puntos donde la velocidad es máxima o mínima, el vector velocidad no tiene componente radial, y es perpendicular al radio vector. Por tanto, el momento angular satisface

max min min max

V

mr

V

mr

L

=

=

• Además, ya que los puntos de velocidad máxima y mínima se encuentran en posiciones opuestas sobre la circunferencia de radio

a

a

r

r

_min

+

_max

=

2

Utilizando esta expresión junto con la ecuación anterior obtenemos el momento angular en función de los datos del problema

min max min max

2

V

V

V

V

ma

L

+

=

• Como la fuerza es central, se satisface la ley de las áreas. Si

T

es el período de revolución en la órbita circular de radio

a

, cuyo radio vector barre una superficie

π

a

2

tenemos

m

L

T

a

2

2

=

π

De aquí, podemos calcular, conocido el momento angular, el período de la órbita

min max min max

V

V

V

V

a

T

=

π

+

Problemas Propuestos

2.11

Una partícula de masa

m

se mueve bajo el efecto de una fuerza central de modo que el ángulo

α

que forma el vector velocidad y el radio vector es constante. Calcular su trayectoria y el tiempo que tarda en caer al origen si parte de la posición

r

r

=

r

r

₀ en

t

=

0

, con velocidad

v

r

₀.

(Para integrar la ecuación del movimiento no hace falta conocer la forma exacta de la fuerza central) Solución:

α

α

α

φ

φ

α

cos

v

v

cos

1

ln

tan

v

cos

0 0 0 0 0 0 0 2 0 2

r

T

r

t

t

r

r

r

=











 −

−

=

−

=

2.12

Una partícula de masa

m

sometida a la fuerza central

( )

=

−

₂

,

k

>

0

r

k

r

F

sigue una trayectoria circular de radio

r

₀. Determinar su energía, momento angular y velocidad. Solución: 0 0 0

v

,

,

2

1

mr

k

mkr

L

r

k

E

=

−

=

=

2.13

Una partícula se mueve con velocidad constante

v

a lo largo de una línea recta que dista

b

del origen

O

. Sea

dA

el área barrida en el tiempo

dt

por el vector de posición que va desde

O

a la partícula. Demostrar que

dA/dt

es constante en el tiempo e igual a

L

/

2m

, donde

L

es el momento angular de la partícula respecto al origen

O

.