Modelo de crecimiento de Solow
Modelo de crecimiento de Solow
Modelo de crecimiento de
Modelo de crecimiento de Robert SolowRobert Solow((19561956)), conocido como el, conocido como el modelomodelo exógeno de crecimiento
exógeno de crecimiento oo modelo de crecimiento modelo de crecimiento neoclásiconeoclásico, es un, es un modelo
modelo macroeconómicomacroeconómico creado para explicar elcreado para explicar el crecimiento económicocrecimiento económico yy las
las variablesvariables que inciden en este en el largo que inciden en este en el largo plazo.plazo.
Contenido Contenido [[ocultarocultar]] 1 Explicación intuitiva 1 Explicación intuitiva 2 Formulación matemática 2 Formulación matemática o
o 2.1 Ecuaciones relevantes del modelo de Solow2.1 Ecuaciones relevantes del modelo de Solow
o
o 2.2 Equilibrio del estado estacionario2.2 Equilibrio del estado estacionario
2.2.1 Aumentos en la tasa de ahorro2.2.1 Aumentos en la tasa de ahorro
2.2.2 Condiciones del producto en estado estacionario2.2.2 Condiciones del producto en estado estacionario
2.2.3 La regla de oro2.2.3 La regla de oro
3 Evidencia empírica 3 Evidencia empírica 4 Véase también 4 Véase también 5 Referencias 5 Referencias o o 5.1 Notas5.1 Notas o o 5.2 Bibliografía5.2 Bibliografía
[[editar editar ]]
Explicación intuitiva
Explicación intuitiva
El modelo de Solow pretende explicar como crece la
El modelo de Solow pretende explicar como crece la producción nacional deproducción nacional de bienes y servicios mediante un
bienes y servicios mediante un modelo cuantitativomodelo cuantitativo.. En el modelo intervienenEn el modelo intervienen básicamente la producción nacional (
básicamente la producción nacional (Y Y ), la), la tasa de ahorrotasa de ahorro ((s s ) y la dotación) y la dotación de
de capital fijocapital fijo ((K K ). El modelo presupone que e). El modelo presupone que ellProducto interior bruto (PIB)Producto interior bruto (PIB) nacionalnacional es igual al
es igual al renta nacionalrenta nacional (es decir, se supone una "economía cerrada" y que por (es decir, se supone una "economía cerrada" y que por tanto no existen
tanto no existenimportacionesimportaciones nini exportacionesexportaciones))..
La producción por otra parte dependerá de la cantidad de
La producción por otra parte dependerá de la cantidad de mano de obramano de obra empleadaempleada ((LL) y la cantidad de) y la cantidad de capital fijocapital fijo ((K K )(es decir maquinaria, instalaciones y otros)(es decir maquinaria, instalaciones y otros
recursos usados en la producción) y la
recursos usados en la producción) y la tecnología disponibletecnología disponible (si la tecnología(si la tecnología mejorara con la misma cantidad de trabajo y capital
mejorara con la misma cantidad de trabajo y capital podría producirse más, aunquepodría producirse más, aunque en el modelo se asume usualmente que el nivel
en el modelo se asume usualmente que el nivel de tecnología permanecede tecnología permanece constante). El modelo presupone que la manera de aumentar el PIB
constante). El modelo presupone que la manera de aumentar el PIB es mejorandoes mejorando la dotación de capital (
la dotación de capital (K K ). Es decir, de lo producido en un año una parte es). Es decir, de lo producido en un año una parte es ahorrada e invertida en acumular más bienes de capital o capital
ahorrada e invertida en acumular más bienes de capital o capital fijo (instalaciones,fijo (instalaciones, maquinaria), por lo que al año siguiente se podrá
ligeramente mayor de bienes, ya que habrá más maquinaria disponible para la producción.
En este modelo el crecimiento económico se produce básicamente por
la acumulación constante de capital , si cada año aumenta la maquinaria y las instalaciones disponibles (capital fijo) para producir se obtendrán producciones progresivamente mayores, cuyo efecto acumulado a largo plazo tendrá un notable aumento de la producción y, por tanto, un crecimiento económico notorio.
Entre las predicciones cualitativas del modelo está que el crecimiento basado
puramente en la acumulación de capital, sin alterar la cantidad de mano de obra ni alterar la tasa de ahorro es progresivamente más pequeño, llegándose a un estado estacionario en que no se produce más crecimiento y las inversiones compensan exactamente la depreciación asociada al desgaste del capital fijo.
[editar ]
Formulación matemática
El modelo busca encontrar las variables relevantes que ocasionan el crecimiento económico de un país (economía cerrada), en cuanto algunas ayudan a mejorar la situación solo en el corto plazo, y otras, que afectan a las tasas de crecimiento del largo plazo. Se toman todas las variables que el modelo considera como
significativas en el proceso de crecimiento, como exógenas, pero muestra la incidencia de estas en el proceso de crecimiento. El modelo utiliza la función de producción Cobb-Douglas:
(1a)
Definiendo las variables, tenemos que: = Capital total
= fuerza laboral o trabajo total usado en la producción.
= es una constante matemática que depende del nivel de tecnología. = Producción total [medida por ejemplo en unidades monetarias]. = Fracción del producto producida por el capital, o coeficiente de los rendimientos marginales decrecientes.
Se sabe, por otro lado, que necesariamente , se
puede probar que α coincide con la participación total del capital en la producción (de acuerdo con el análisis de la productividad total de los factores ). Si alfa es α ~ 1, la producción se basará fundamentalmente en el capital disponible y será casi independiente de la mano de obra. Existen razones para suponer que para muchas
situaciones reales la función de producción de Cobb-Douglas es una función creíble de producción que tiene retornos constantes a escala, y rendimientos marginales decrecientes al capital y al trabajo. Más adelante se verá que si se supone que la función de producción es de este tipo, exite la posibilidad de convergencia a un producto estacionario que deja de crecer mediante la tasa de ahorro. Técnicamente la hipótesis de que la función de
producción es la función de Cobb-Douglas no es
fundamental para el modelo, porque bastaría que fuera una función monótona creciente en el capital y la cantidad de trabajo.
Para formular el modelo a partir de la función de Cobb-Douglas se definen por conveniencia:
el producto per cápita efectivo y como la cantidad de
producción por unidad de mano de obra y
el stock de capital per cápita efectivo k como la cantidad
de capital por unidad de mano de obra Es decir, definimos las variables:
(2)
Como hemos supuesto que la función de producción es de tipo Cobb-Douglas se tiene la siguiente relación entre y y k :
(1b)
Asumiendo el producto per cápita efectivo y en la función anterior, tendremos que mientras menor sea α habrá un producto per cápita efectivo cada vez menor, es decir, la función toma la forma de una raíz, aunque la función es divergente al infinito si k tiende al infinito. La función anterior satsiface las condiciones de Inada, a saber:
Estos límites son conocidos como las condiciones de Inada, y explican que la derivada de , es decir, el producto marginal del capital es 0 cuando k es alto.
Además explica que cuando k es demasiado bajo, el producto marginal es muy alto. Estas últimas condiciones, aunque bastante evidentes matemáticamente,
posteriormente implicarán que países con una cantidad de capital baja crecerían a tasas altas, mientras que países con altas cantidades de capital crecerían a tasas más bajas, debido a los rendimientos marginales decrecientes de este.
[editar ]
Ecuaciones relevantes del modelo de Solow
Existe una ecuación relevante del modelo de Solow, y es la ecuación de acumulación de capital.
(4) Donde = Tasa de ahorro
= Producto de la economía en el período t = tasa de depreciación del capital existente.
= Capital total en el período t
El término representa la inversión efectiva en capital que puede realizar la economía, que es el producto multiplicado por la tasa de ahorro (ya que el modelo presupone que todo el ahorro se invierte). El segundo término de la ecuación representa la inversión de
reposición (o gastos de amortización) que representa cuanto capital ya no sirve o es inútil para la acumulación de capital. Para analizar más la inversión de reposición, es necesario determinar esta misma ecuación en términos per cápitas y efectivos.
Para calcular el incremento de stock de capital per cápita, derivando, usando la regla de la cadena y substiyendo el l a ecuación resultante el resultado (4) se tiene:
(5) Donde:
Esta última ecuación tiene el mismo aspecto que (4), pero en términos per cápita, con una inversión de reposición igual a , que muestra
la cantidad de inversión necesaria para mantener el capital constante. Aumentos de depreciación, tendrían efectos de disminución de la
acumulación de capital, y por lo tanto, un menor [estado estacionario] del capital. Aumentos en la tasa de crecimiento de la población,
causarían un aumento menor o disminución de la acumulación de capital per cápita efectivo.
Es necesario que la inversión efectiva pueda sostener los movimientos o la depreciación misma, así como el crecimiento de la población y la nueva tecnología que necesitan inversión física para producirla. Si tenemos altas tasas de crecimiento de la población, es dif ícil que el capital per cápita efectivo crezca, ya que habrá mayor maquinaria que repartir entre los nuevos individuos potencialmente productivos que entran al mercado. Así también, aumentos de la tasa de tecnología necesitan producir nueva maquinaria, por lo que es necesario que haya inversión efectiva para sostener aumentos de la tecnología.
[editar ]
Equilibrio del estado estacionario
Diagrama del modelo de crecimiento de S olow
El equilibrio estacionario es la condición del m odelo en que finaliza el aumento del capital reflejado en la ecuación de acumulación de capital per cápita, que termina con un capital fijo sin variaciones adicionales.
Como se supone que la función el sistema anterior tendrá una solución única y los niveles de renta per cápita efectiva, capital
per cápita efectivo, tasa de ahorro, tasa de cambio tecnológico y tasa de depreciación del mismo determinan el llamado estado de equilibrio o estado estacionario del modelo de Solow.
El equilibrio en el modelo de Solow es la senda de la convergencia de los países: una economía, mediante la propiedad de rendimientos marginales decrecientes, tiende a decrecer su producción marginal; o dicho en otros términos, la producción total cada vez crece m enos. Por lo que tiende también a crecer menos, lo que eventualmente hace que se iguale a . Esta condición mantiene el stock de capital per cápita efectivo constante, sin variaciones. Sin embargo, en estado estacionario, es posible afirmar que el producto per cápita crece a la tasa de crecimiento de la tecnología, y el producto total crece a la tasa de crecimiento de la población y de la tecnología. El aporte de estas variables exógenas logran explicar el crecimiento en el largo plazo, es decir, cuando la economía alcanza su capital estacionario.
Este es el gráfico principal del modelo de Solow, y muestra que en el
equilibrio de largo plazo, . La razón de la convergencia es
que y es igual a , la función del producto per cápita tiene rendimientos decrecientes, así también, la f unción de inversión
efectiva . De esta forma, los rendimientos decrecientes del capital per cápita hacen que haya una convergencia entre la inversión de reposición y la inversión efectiva. En el gráfico, k "EST" representa el estado de capital estacionario y, por lo tanto, el estado de producto estacionario.
[editar ]Aumentos en la tasa de ahorro
Un aumento en la tasa de ahorro haría que aumente, por lo que aumenta el capital de estado estacionario. El efecto de la tasa de
ahorro tiene un efecto de crecimiento más rápido en el corto plazo, pero en el largo plazo el efecto es nulo. Básicamente, la tasa de ahorro tiene efectos en el nivel de producto, no así los efectos de la tasa del
aumento de la tecnología, que son efectos de crecimientos en el largo plazo.
[editar ]Condiciones del producto en estado estacionario
Teniendo la igualdad , podemos reemplazar el
.
Además, utilizando , obtenemos: Plantilla:Ecuacióm En estado
estacionario, es posible determinar las siguientes conclusiones:
Aumentos del nivel de tecnología producirían un mayor producto per
cápita estacionario. Así también, mayor fuerza de trabajo incidiría
positivamente en el producto estacionario. Inversamente, aumentos de la tasa de crecimiento de la población, y altas depreciaciones, tendrían como resultado bajos productos per cápita efectivos estacionarios.
En estado estacionario, dado que , la tasa de crecimiento
del producto total es igual a n + gy la tasa de crecimiento del producto per cápita es igual a g. El producto per cápita en estado estacionario crecería solo a la tasa de crecimiento de la tecnología.
[editar ]La regla de oro
La regla de oro consiste en un capital óptimo que maximiza el consumo. Si asumimos que la utilidad depende del consumo, el capital de estado estacionario no es sinónimo de maximización, ya que con un capital óptimo se puede hacer el consumo máximo. Al respecto, es visible que:
Esta última ecuación representa el consumo en estado estacionario, es decir, el en el largo plazo. Necesariamente, para encontrar un capital que maximice el consumo , debemos derivar esta ecuación con
respecto al capital. c = f (k ) − k (n + g + δ)
Derivando el consumo respecto al capital, se tiene:
Esto nos dice, que el producto marginal del capital, o la última unidad de capital generada debe ser igual a la tasa de crecimiento de la
población, la tasa de depreciación y de tecnología para que el consumo sea máximo. Desde el punto de vista algebraico, se tiene que el capital de la regla de oro es el siguiente:
Nótese la similitud con el capital estacionario. Se puede inferir, que la tasa de ahorro que maximiza el consumo es la siguiente:
Por lo tanto, necesariamente la condición para que el capital
estacionario sea igual al capital de la regla de oro y se maximice el consumo es que la tasa de ahorro debe ser igual a la fracción del producto producida por el capital, es decir .
[editar ]
Evidencia empírica
Mankiw, Romer y Weil (1992) basándose en el modelo de Solow examinaron las diferencias internacionales de renta per cápita
suponiendo que éstas son una función de la tasa de ahorro, la t asa de crecimiento de la población y los niveles iniciales de productividad del trabajo. Bajo esos supuestos el 60% de las diferencias de renta en 1985 en una muestra de noventa y ocho países parecían ser
explicables. Sin embargo, cuando calcularon la contribución implícita del capital en la renta nacional a partir del modelo, resultaron ser casi el doble que las estimaciones directas. Esto suponía una dificultad al
modelo de Solow como modelo explicativo.1
Para resolver esta discrepancia construyeron un m odelo modificado, que contemplara la acumulación de capital humano. Con ese nuevo modelo podían explicar alrededor del 80% de la variación observada, y
una contribución del capital físico cercana al 30% en acuerdo con la cantidad estimada directa. Así que concluyeron que si bien el m odelo de Solow no explicaba suficientemente bien los datos una modificación del mismo sí parecía dar cuenta de los datos. Sin embargo, Grossman y Helpman (1994) observan que la productividad total de los
factores (PTF) tiene un papel importante. Dado que los incrementos de PTF estimulan la inversión pudiera ser que desde un punto de vista causal no sea la acumulación de capital la causa original del
crecimiento sino otros factores que hacen aumentar la PTF .2 [editar]
Modelo Harrod-Domar
El modelo de crecimiento de Harrod-Domar, fue elaborado a finales de
los años cuarenta por dos economistas keynesianos (keynesianismo) ,
Sir Roy Harrod de Gran Bretaña y Evsey D. Domar de Estados Unidos,
ambos desarrollaron de forma independiente un análisis del crecimiento
económico que es conocido como el modelo Harrod-Domar.
En el modelo económico se analizan los factores o razones que influyen
en la velocidad del crecimiento, a saber, la tasa de crecimiento del
trabajo, la productividad del trabajo, la tasa de crecimiento del capital o
tasa de ahorro e inversión y la productividad del capital.
En el modelo de Harrod-Domar se llama tasa natural de crecimiento al
ritmo de crecimiento de la oferta de trabajo. Por oferta de trabajo se
entiende aquí no sólo el aumento del número de trabajadores, o de horas
que están dispuestos a trabajar, sino también al aumento de su
capacidad productiva y de su productividad. En otras palabras, es la tasa
de crecimiento de la población activa más la tasa de crecimiento de la
productividad del trabajo.
Para que haya un crecimiento económico equilibrado y con pleno empleo
es necesario que el producto y el capital productivo crezcan exactamente
en esa misma proporción, la tasa natural. Si el crecimiento del capital es
menor del crecimiento del trabajo, habrá desempleo. Si el crecimiento es
superior se producirán distorsiones en la tasa de ahorro e inversión que
desequilibrarán el crecimiento.
El crecimiento del producto requiere crecimiento del capital existente y
esto requiere ahorro, es decir, destinar un porcentaje de la renta a la
inversión en capital. En el modelo de Harrod-Domar se llama tasa
garantizada de crecimiento o tasa de crecimiento requerido a "aquel ritmo
general de avance que, si se consigue, dejará a los empresarios en una
actitud que les predispondrá a continuar un avance similar". En otras
palabras, es la tasa de crecimiento que hace que la tasa de ahorro e
inversión permanezcan constantes.
Al analizar Harrod y Domar esas variables y las relaciones entre ellas
encontraron dos graves problemas:
Las razones del crecimiento de la población activa no tienen nada que
ver con las razones que determinan el ahorro, la inversión y las
variaciones en la productividad del trabajo y del capital. Por tanto, no hay
ninguna razón por la que podamos suponer que sus tasas de crecimiento
coincidan.
Cuando la tasa de crecimiento del producto difiere de la tasa natural, el
distanciamiento tiende a agravarse.
Por tanto sus previsiones de crecimiento resultaron muy pesimistas. El
crecimiento económico tiene tendencia a ser inestable e inevitablemente
se producirán cambios cíclicos en las tasas de crecimiento, de ahorro,
inversión y empleo.
La solución del modelo de Harrod es del tipo función exponencial,
condición suficiente para que se produzca una economía de rendimientos
constantes. Una solución exponencial determina que la economía crece
igual que una cantidad monetaria depositada en un banco a un tipo de
interés nominal g. En el modelo de Harrod g, es la tasa garantizada.
Contenido [ocultar] 1 Tasa garantizada
2 Solución exponencial
3 Relación entre capital y trabajo
4 Tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo 5 Acumulación y cambio tecnológico
6 Tasa natural de crecimiento
7 Modelo de Harrod con retardo en el ahorro 8 Influencia del modelo de Harrod
9 Inconsistencias y críticas del modelo 10 Bibliografía
[editar ]
Tasa garantizada
El desarrollo matemático de logaritmos está obsoleto y si aplicamos una
tecnología con un coeficiente
v variable obtendremos el modelo revisado
de Harrod. Esta versión combina el modelo simple de Harrod y la
La primera condición de equilibrio es denominada por Harrod de "plena
capacidad" o "máxima capacidad instalada".
K=vY es una relación
tecnológica de coeficientes constantes relacionada con el modelo de
Kalecki. La segunda es la condición de equilibrio en el mercado de
bienes del modelo keynesiano. La tercera condición es de "pleno
empleo".
K es el capital. Y es el producto final similar al PIB. 1/v es
laproductividad media del capital. dK es la inversión que se produce entre
dos ejercicios económicos dK=K(1)-K(0). Una inversión mayor que cero
significa que hemos invertido por encima de la depreciación de la
maquinaria, equipos o instalaciones.
L es la demanda de trabajo. uY es la
cantidad de horas de trabajo ofertadas por las empresas. En economía,
los empresarios demandan trabajo y los empleados ofertan tra bajo. En
equilibrio, la oferta es igual a la demanda.
1/u es la productividad media
del trabajo. La productividad media se define como la cantidad de
producto por unidad de trabajo o capital.
s es la propensión marginal
al ahorro. c es la propensión marginal al consumo. Altas tasas de ahorro
significarán bajas tasas de consumo ya que s+c=1.
Diferenciando la primera expresión
Sustituyendo la segunda expresión, dividimos por vY
Simplificamos términos
Despejamos la expresión que valora el crecimiento
El crecimiento depende de la propensión marginal al ahorro, la relación
inicial de capital por unidad de producto final y la variación de la relación
tecnológica
v . El modelo revisado contempla la decisión de cambio
tecnológico por variación de precios del capital u otra causa. El modelo
original y el revisado parecen idénticos pero las diferencias podrían ser
considerables si el país cambia de tecnología. Si hacemos
dv/v igual a
cero obtendremos el viejo modelo. Para exponer qué explica e l modelo
utilizaré una tabla donde todos crecen a un seis por ciento y el nivel de
salarios y beneficios es también el mismo.
País K Y s v n
País A 333 100 0,2 3,3 6%
País B 500 100 0,3 5
6%
País C 666 100 0,4 6,6 6%
La tabla explica una acumulación de capital con tasas de ahorro
creciente. A mayor capital, la cantidad de ahorro para crecer es mayor. Si
consideramos tres países con la misma cantidad de capital y diferentes
tasas de ahorro obtendremos una gran diferencia en la distribución de
salarios y beneficios traducido en niveles también diferentes de producto
final. Una tasa de ahorro elevada produce un menor nivel de renta
comparada. Si en períodos siguientes el capital no aumenta
sustancialmente, el ahorro se podrá describir como
improductivo .
País K Y s v n
País A 300 90,9
0,2 3,3 6%
País B 300 60
0,3 5
6%
País C 300 45,45 0,4 6,6 6%
La tabla vislumbra una teoría del ciclo económico y explica la razón por la
que algunos países con el mismo capital tienen salarios y beneficios por
debajo de otros.
[editar ]
Solución exponencial
La tabla siguiente representa la evolución de las variables de un país con
una tasa de ahorro constante.
Año K L Y s v n PMK
Año 1 300 100
90,9
0,2 3,3 6% 0,3
Año 2 337 112,36 102,13 0,2 3,3 6% 0,3
Año 3 357 119
108,26 0,2 3,3 6% 0,3
PMK es el producto medio del capital que se mantiene constante. Las
soluciones exponenciales del modelo de Harrod son las siguientes.
El modelo de Harrod utiliza el número e para expresar las soluciones.
Podemos evaluar la veracidad de la tabla comprobando los va lores con
las soluciones exponenciales.
[editar ]
Relación entre capital y trabajo
La relación tecnológica dentro del modelo de Harrod Domar es la
siguiente
Sustituyendo esta expresión en la primera
Si definimos una nueva variable z
La demanda de trabajo aumenta con
u , trabajo demandado por unidad
de producto. Si aumenta
v , capital por unidad de producto, la demanda
de trabajo desciende al suponer una inversión ahorradora de trabajo.
[editar ]
Tasa de crecimiento de la fuerza de trabajo
Realizando una diferencial de
L=uY obtendremos
Dividiendo los términos entre uY
Simplificando
Haciendo
du/u igual a cero obtendremos n , tasa de crecimiento de la
oferta laboral o fuerza de trabajo. Si la relación trabajo por unidad de
renta o trabajo por unidad de
output permanece constante llegamos al
resultado del viejo modelo donde la tasa garantizada es igual a la tasa de
crecimiento de la fuerza de trabajo.
Observamos que la tasa garantizada es igual al crecimiento de la oferta
de trabajo o fuerza laboral
[editar ]
Acumulación y cambio tecnológico
Si aplicamos el modelo revisado, la tabla inicial quedaría así
País K Y K' Y' dv/v dY/Y
