Problemas
1. Un barco se balancea arriba y abajo y su desplazamiento vertical viene dado por
la ecuación + = 6 2 cos 2 , 1 t π
y . Determinar la amplitud, frecuencia angular,
constante de fase, frecuencia y periodo del movimiento. ¿Dónde se encuentra el barco en t=1s?. Determinar la velocidad y aceleración en cualquier tiempo t y calcular la posición, velocidad y aceleración inicial.
Comparando con la ecuación [1.8] concluimos que A= 1,2 m ω= 0,5 rad/s δ= π/6 rad
La frecuencia y el periodo se deducen de las ecuaciones correspondientes ν= ω/2π= 0,0796 Hz T= 1/ν= 12,6 s
Para t= 1 s la posición del barco viene dada por la ecuación y= 1,2cos(1/2+π/6)= 0,624 m
La velocidad y la aceleración se obtiene derivando una y dos veces la posición respecto al tiempo v= -1,2sen(t/2+π/6)1/2= -0,6sen(t/2+π/6) a= -0,6cos(t/2+π/6)1/2= -0,3cos(t/2+π/6) Y para t= 0 y0= 1,04 m v0= -0,3 m/s a0= -0,26 m/s
P1-2
2. Un objeto oscila con frecuencia angular ω=8 rad/s. En t=0, el objeto se encuentra en x0=4 cm con una velocidad inicial v0=-25 cm/s. Determinar la amplitud y la constante de fase para este movimiento y escribir x en función de t.
La posición y la velocidad inicial están relacionadas con la amplitud y constante de fase por las ecuaciones
x0= Acosδ v0= -ωAsenδ
Dividiendo estas dos ecuaciones obtenemos v0/x0= -ωtgδ
y despejando la constante de fase δ= arctg0,78= 0,66 rad
La amplitud viene dada por A= x0/cosδ= 5,06 cm
Y la ecuación del movimiento, conocida amplitud y constante de fase x= 5,06 cos(8t+0,66)
3. Un objeto de 2 kg se sujeta a un muelle de constante de fuerza k=196 N/m. El objeto se mantiene a una distancia de 5 cm de la posición de equilibrio y se deja en libertad en t=0. Determinar la frecuencia, el periodo y la ecuación del movimiento de este MAS. ¿Cuál es la velocidad y aceleración máximas del objeto y en que momento se alcanzan?
La frecuencia angular es igual a ω= (k/m)1/2
= 9,9 rad/s
La frecuencia y el periodo son iguales a ν= 1,58 Hz T=0,633 s
La amplitud y la contante de fase A= 5 cm δ= 0
La ecuación de movimiento x= 5cos(9,9t)
P1-4
4. Un objeto de 3 kg conectado a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de 2 s. ¿Cuál es la energía total del objeto? ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto y en que posición se alcanza? ¿En que posición la velocidad es igual a al mitad de su valor máximo, y en cúal la energía potencial es igual a la cinética?
Sabemos que la energía total de un MAS viene dada por la ecuación E=1/2kA2
La constante de fuerza se relaciona con el periodo y la masa según k=mω2=4π2
m/T2=29,6 N/m y la energía total es igual E=2,37x10-2 J
La velocidad máxima se alcanza cuando toda la energía es cinética, en x=0, y vale
vmax= (2E/m)0,5=0,126 m/s
Para una velocidad v=0,5vmax y aplicando la conservación de la energía tenemos E=0,5kA2=0,5m(0,5vmaz)2+0,5kx12
Despejando la posición x1 en la que tenemos una velocidad mitad de la del máximo
x1=3,46 cm
En la posición x2 en la que la energía cinética es igual a la potencial se cumplen las ecuaciones
0,5mv22+0,5kx22=0,5kA2 0,5mv22=0,5kx22
Despejando de estas dos ecuaciones con dos incógnitas obtenemos x2=(A2/2)0,5=2,83 cm
5. Encontrar la ecuación resultante de la superposición de 2 MAS paralelos cuyas ecuaciones son x1=2cos(ωt+π/3) y x2=3cos(ωt+π/3). Representar los vectores rotantes y el movimiento resultante.
6. Encontrar la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante de la combinación de 2 MAS perpendiculares cuyas ecuaciones son x=4senωt e y=3sen(ωt+α) cuando α=0, π/2 y π. Representar la trayectoria y dirección de movimiento para cada caso
P1-6
7. Una masa de 3 kg estira un muelle 16 cm al ser colgada verticalmente. Calcular la frecuencia de oscilación
La cantidad que el muelle se alarga viene dada por la ecuación y0= mg/k
con lo que la constante de fuerza es igual a k=mg/y0=184 N/m
Por otro lado, la frecuencia de oscilación del muelle es igual a ν= (2π)-1
8. Un objeto de masa 2 kg está sujeto sobre un muelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud del muelle sin deformar es de 8 cm y la posición de equilibrio del objeto sobre el muelle está a 5 cm desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición de equilibrio, se le da un impulso hacia abajo con un martillo, de tal manera que la velocidad inicial es de 0,3 m/s.¿A qué máxima altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto?¿Cuánto tiempo tardará el objeto en alcanzar la máxima altura por primera vez? ¿Volverá el muelle a estar sin compresión? ¿Qué velocidad inicial mínima debe darse al objeto para que el muelle no tenga compresión en un instante dado?
Para calcular la máxima altura ( = 5cm + A) a partir de la velocidad, se requiere conocer w , que se puede calcular a partir del k del muelle y la masa.
En el equilibrio muelle-masa: kx0= mg . Por otro lado, x0 = 8 - 5 = 3cms (lo que baja el muelle con la masa) þ k = mg/x0 = 2 x 9,8 / 0,03 = 653,3 N/m þ w= ( k/m)1/2 = ( g/x0)1/2 =18,07 rad/s.
Como el movimiento empieza desde la posición de equilibrio, lo más lógico es describirlo con la función seno y fase inicial = 0 (y tomando dirección de x positiva hacia abajo).
Posición de equilibrio: x = 0 ; x = Asen wt.
v = dx/dt = wA.cos wt. La altura máxima corresponderá a x = -A.
Referido al nivel del suelo, será 5 + A. Hay que hallar A.
En x = 0 y t = 0, v tendrá el valor máximo, que es el que nos dan en el enunciado: v max = wA = 0,3 m/s y
A = 0,3 / 18,07 = 1,66 cm .
El objeto se eleva a 6,66 cm por encima del suelo. La máxima altura corresponde a x = -A = -1,66 cm.
1,66. sen (wt) = -1,66 þ sen (18,07t) = -1 þ (18,07t) = 3p/2 þ t = 0,26 s. c) No, ya que A<3cms (lógicamente baja el muelle con el peso)
P1-8
9. Un péndulo simple de longitud l=1 m se encuentra en un furgón de ferrocarril que se mueve horizontalmente con una aceleración a. El periodo de oscilación del péndulo que se mide en esta situación es de T=1,96 s. Determinar la aceleración a del ferrocarril.
A partir del periodo de oscilación concluimos que el péndulo está sometido a una aceleración g´ dada por
g´= (2π/T)2
L= 10,3 m/s2
Está aceleración g´ resulta de la suma vectorial de la fuerza vertical del peso mg más la fuerza horizontal –ma0 debida a la aceleración del vagón; esto implica que g´=g-a0
y en módulo g´2=g2+a20 a0= 3,1 m/s
10. Una barra uniforme de masa M y longitud L puede girar libremente alrededor de un eje horizontal perpendicular a la barra y situado a una distancia x del centro de masas. (a) Determinar el periodo de oscilación para pequeños desplazamientos angulares; (b) determinar el valor de x para que el periodo de oscilación sea el mínimo. (Nota: el momento de inercia respecto a este eje viene
dado por 2 2 12 1 Mx ML I = + )
El periodo del péndulo físico viene dado por la ecuación
Mgx I T π ω π 2 2 = =
y sustituyendo el valor del momento de inercia
gx x L T 2 2 12 1 2 + = π
El mínimo del periodo respecto a la distancia al centro de masas impone que
0 = dx dT obteniéndose el valor 12 L x =
P1-10
11. Un pájaro de 30 g de masa se apoya en el extremo de una rama de 20 cm de longitud y 3 mm de diámetro. El módulo de Young de la madera es de 8x109 N/m2. Calcular la frecuencia de oscilación del pájaro en la rama. (Tener en cuenta que la relación entre el momento de la fuerza M y el radio de curvatura R es igual a M=EI/R donde E es el módulo de Young del material e I=πr4/4 es el momento de inercia del cilindro)
El desplazamiento vertical x de la rama en función de su radio de curvatura R es x= R-Rcosθ ≈R(1-1+θ2/2)=1/2RL2R-2=L2/2R
donde el ángulo θ=l/R . El momento de la fuerza F es M=FL. Por tanto F=M/L=EI/RL
F=2EIx/L3
Tenemos por tanto una fuerza de la forma F=kx con una constante de fuerza k=2EI/L3
y sustituyendo lo que vale el momento de inercia I de la rama k=2Eπr4
/4L3
y la frecuencia natural de oscilación ν=(2π)-1(2Eπr4/4mL3)0.5=2,6 Hz
12. Un bloque descansa sobre un muelle y oscila verticalmente con una frecuencia de 4 Hz y una amplitud de 7 cm. Una pequeña bola se sitúa en la parte superior del bloque oscilante justo cuando éste alcanza su punto más bajo. ¿A qué distancia de la posición de equilibrio del bloque la bolita pierde el contacto con el bloque? ¿Qué velocidad posee la bolita al escapar del bloque?
Consideramos y=0 la posición de equilibrio del muelle con la bolita. La ecuación del movimiento del bloque es por tanto
y= -Acosωt con A= 0,07 m y ω=2πν=8π
Las fuerzas sobre la bolita son su peso, mg, hacia abajo y la fuerza normal hacia arriba ejercida por el bloque. Cuando este se mueve hacia arriba desde la posición de equilibrio, su aceleración es hacia abajo y creciente en magnitud. Por tanto en el momento que la aceleración del bloque sea –g, la fuerza normal sobre la bolita, suma de la reacción al peso y de la aceleración del bloque será cero, y ésta abandona el bloque. La aceleración del bloque viene dada por
a= -ω2y= ω2 Acosωt= -g cosωt= -g/ω2
A
El desplazamiento y en ese momento es igual a y= g/ω2
= 1,55 cm
y la velocidad v en ese momento es v= ωAsenωt= ωA(1-cos2ωt)0,5
P1-12
13. Cuando se pulsa la nota do-central de un piano (frecuencia 262 Hz), la mitad de su energía se pierde en 4 s. ¿Cuál es el coeficiente de amortiguamiento y factor de calidad de la cuerda del piano? ¿Cuál es la perdida de energía relativa por ciclo?
La perdida de energía del oscilador amortiguado viene dada por la ecuación ET= ET0exp(-2γt)
Si después de 4 s se ha perdido la mitad de la energía, esto quiere decir que 0,5ET0=ET0exp(-2γ4 s)
con lo que el coeficiente de amortiguamiento es igual a γ= 0,087 s-1
y el factor de calidad de la cuerda del piano es Q= ω0/2γ= 2π262 Hz/0,174= 9460
Diferenciando [1.50], la perdida de energía por ciclo viene dada por dET/ET= 2γT= 2x0,087/262= 6,6x10-4= 0,066%
14. Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante k=400 N/m con una constante de amortiguamiento b=2 kg/s. Está impulsado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular ω=10 rad/s. Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia.
La ecuación del movimiento en el estado estacionario es igual a
[
]
γω ω ω β β ω γ ω ω 2 ) ( 4 ) ( 2 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 0 − = + + − = arctg wt sen m F x con γ=b/2m= 0,5 s-1 ω0=(k/m)0,5=14,14 rad/s β=1,47 rad y sustituyendo queda ) 47 , 1 10 ( 05 , 0 + = sen t xcon lo que la amplitud de oscilación es de A= 0,05 m
La frecuencia de resonancia coincide con la frecuencia natural del oscilador ω0=(k/m)0,5=14,14 rad/s
y la amplitud de oscilación en la resonancia es igual a Ar= 0,35 m
P1-14
15. Sea un péndulo consistente en una esfera de Al de 0,005 m de radio suspendida de una cuerda de 1 m de longitud. Determinar la amplitud y periodo de oscilación de este péndulo. Averiguar como afecta la viscosidad del aire a estos dos parámetros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidad η que actúa sobre una esfera de radio R y velocidad v es igual a F=-6πηRv y para el aire a 20 ºC η=1,78x10-5
kg/ms). ¿Cúal es el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca un 10% de la inicial?
Introduciendo en la ecuación diferencial del movimiento del péndulo la fuerza de rozamiento debida a la viscosidad del aire obtenemos
0 6 2 2 = + + πη φ φ φ L g dt d m R dt d
Esta ecuación diferencial es matemáticamente idéntica a la del oscilador amortiguado y tiene como coeficiente de amortiguamiento, introduciendo la masa de la esfera como volumen por densidad ρ,
1 4 2 6,43 10 4 9 = − − = x s R ρ η γ
Por tanto la amplitud de oscilación es igual a
t x t e e 0 6,43 104 0 − − − = =φ φ φ γ
Para una reducción de un 10% de la amplitud inicial
utos s x t x t min 7 , 2 10 64 , 1 10 4 , 6 9 , 0 ln 2 4 ≈ = − = − y la frecuencia 2 2 0 1 ω γ ω = −
y dado el pequeño valor del coeficiente de amortiguamiento frente a la frecuencia natural, ω02= 9,8 s-2, prácticamente no hay cambio en la frecuencia.
16. Un niño se columpia con un período de 3 s. El niño y el columpio poseen una masa de 30 kg. El padre del niño impulsa pacientemente el columpio una vez cada ciclo de modo que mantiene una amplitud angular estacionaria de 30°. Si el valor de Q es igual a 20, calcule la potencia transmitida por el padre. (Nota: tenga en cuenta la relación entre el período y la longitud del columpio)
El padre transmite energía al niño en el columpio cada vez que éste recorre un periodo. Se trata de un movimiento amortiguado (con Q = 20), de manera que después de un periodo, T = 3 s, el niño en el columpio habrá perdido una cierta energía, que será igual a la energía inicial, Ei menos la energía que tiene
después de un periodo, ET . De este modo, la potencia que tiene que aplicar el
padre será
P = (Ei – ET) / T
Tenemos que Ei = ½ kAo2 , siendo Ao la amplitud inicial y k la constante del sistema oscilante (el columpio). Aplicado a este caso concreto, tenemos: k= 4π2
m/T2= 131 N/m y Ao = π/6 l.
La longitud del columpio, l, no es conocida, pero puede deducirse a partir del período T=2π(l/g)0,5 , l=2,23 m. Sustituyendo se obtiene:
EI= ½ kAo2 = 89,3 J .
La energía después de un periodo es ET = ½ k AT 2 , siendo AT = Ao exp(-γT)= π/6 l exp(-γT). Teniendo en cuenta que
Q = wo / 2γ tenemos que γ =0,05 s-1, de manera que
ET = 66,2 J
De este modo, la potencia que deberá aplicar el padre será
P1-16
17. Un objeto de masa 1,5 kg situado sobre un muelle de constante de fuerza 600 N/m pierde el 3% de su energía en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una fuerza sinusoidal con un valor máximo de F0=0,5 N. ¿Cuál es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud de resonancia? ¿Cuál es la amplitud de oscilación si la frecuencia impulsora es 19 rad/s?
Diferenciando [1.50], la perdida de energía por ciclo viene dada por dE/E= 2γT= 2π/Q
Q= 2π(dE/E)-1
Si la perdida de energía por ciclo es de un 3% Q= 2π/0,03= 209
La frecuencia angular de resonancia, igual a la frecuencia natural es ω0=(k/m)0,5=(600/1,5)0,5= 20 rad/s
La amplitud para la frecuencia angular de resonancia es A= F0/bω0 y la constante de amortiguamiento b= mω0/Q= 0,144 kg/s con lo que A= 0,174 m Para ω= 19 rad/s A=F0/(m2(ω02-ω2)2+b2ω2)0,5=8,54x10-3 m
18. Demostrar la ecuación 2 2 2 2 0 2 2 2 0 4 ) ( ) ( ω γ ω ω γω + − = = m F t vF Pm m
(Nota: conocida la tangente de un ángulo es fácil conocer su seno ó coseno)
Sabemos que la ecuación de movimiento de un oscilador armónico forzado en el estado estacionario viene dada por
[
]
γω ω ω β β ω γ ω ω 2 ) ( 4 ) ( 2 2 0 2 1 2 2 2 2 2 0 0 − = + + − = arctg wt sen m F xDerivando obtenemos la velocidad
[
( 2 2)2 4 2 2]
12 cos( ) 0 0 β ω γ ω ω ω + + − = m wt F vy la potencia instantanea cedida por la fuerza impulsora será
[
m]
wt t F Fv P β ω ω γ ω ω ω cos ) cos( 4 ) ( 2 2 2 2 2 12 0 2 0 + + − = =La potencia media suministrada por la fuerza impulsora será el valor medio de este valor. Teniendo en cuenta la identidad cos(a+b)=cosacosb-senasenb queda
[
− +]
− 〉 〈 = 〉 〈 = 〉〈 (cos cos cos )
4 ) ( 2 2 1 2 2 2 2 2 0 2 0 t tsen sen wt m F Fv P β ω β ω ω γ ω ω ω
El valor medio de cos2a es un medio** y el promedio en un ciclo del segundo término es cero con lo que
P1-18 γω ω ω β 2 2 2 0 − = tag y por tanto
[
2 2 2 2 2]
12 0 ) 4 ( 2 cos ω γ ω ω γω β + − = con lo que[
2 2 2 2 2]
0 2 2 0 4 ) (ω ω γ ω γω + − = 〉 〈 = 〉 〈 m F Fv P**El valor medio de una función y(x) en el intervalo [a,b] se define como
∫
− >= < b a ydx a b y 119. Demostrar que el cociente entre la anchura ∆ω a la mitad del máximo de la potencia media entregada en la resonancia, para una resonancia aguda, y la frecuencia ω0 del mismo es igual al valor inverso del factor Q
La potencia media entregada viene dada por la ecuación
[
2 2 2 2 2]
0 2 2 0 4 ) (ω ω γ ω γω + − = 〉 〈 = 〉 〈 m F Fv PEn la frecuencia de resonancia tenemos el máximo de potencia media entregada
[
]
m F m F P γ ω γ ω ω γω ω 4 4 ) ( ) ( 2 0 2 2 2 2 2 0 2 2 0 0 = + − = 〉 〈Para que la potencia media cedida sea la mitad de este valor, la frecuencia de la fuerza aplicada debe cumplir que (asumiendo que tenemos una resonancia aguda y que w está cercana a ω0)
[
]
2 0 2 2 2 2 2 2 0 ) 4 8 (ω −ω + γ ω = γ ωUsando la identidad (x2-y2)=(x+y)(x-y) y asumiendo de nuevo que tenemos una resonancia aguda y que ω está muy cercana a ω0 (ω+ω0≈2ω0)
Q 2 0 0 ω γ ω ω − =± =±
Con lo que las dos frecuencias en torno a la frecuencia de resonancia para las cuales la potencia media entregada por la fuerza aplicada es la mitad del máximo son Q 2 0 0 1 ω ω ω ω ω ω − = + =
