Ingeniería Mecánica DE INGENIERÍA MECÁNICA
Un procedimiento para la obtención de espacios de trabajo
basado en criterios estructurales
Ch. Pinto, J. Corral, A. Hernández
Dpto. Ingeniería Mecánica. Universidad del País Vasco (UPV/EHU)
{charles.pinto,j.corral,a.hernandez}@ehu.es
M. Ceccarelli
Laboratory of Robotics and Mechatronics. University of Cassino. Italy
Resumen
En este trabajo se presentan los resultados del análisis resistente estructural estático y dinámico de manipuladores de cinemática paralela que serán la base para la definición de nuevos espacios de trabajo. Éstos se obtienen a través de tres estrategias de cálculo según modelos analíticos, numéricos y experimentales. El primero se apoya en una formulación clásica de resistencia de materiales teniendo en cuenta la flexión y torsión de los elementos. El segundo se basa en el método de los elementos finitos y el tercero en medidas experimentales sobre un prototipo construido en el Departamento de Ingeniería Mecánica de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Bilbao. La representación gráfica, mediante mapas tridimensionales, permite una visualización práctica para el usuario final. Así se definen tres tipos de espacios de trabajo: el espacio de trabajo operacional (Wop), que se obtiene en base a criterios cinemáticos, en el que no existen singularidades, el
espacio de trabajo estático (WK) que se obtiene en base al cálculo de la rigidez estática en el espacio de trabajo
operacional, y por último, el espacio de trabajo dinámico (WD) que se basa en el cálculo de las frecuencias
naturales del sistema en el espacio de trabajo operacional. Una vez determinados los tres espacios de trabajo anteriores, se construye el espacio de trabajo estructural operacional (WS) aplicando unas restricciones
estáticas y dinámicas.
INTRODUCCIÓN
Las aplicaciones robotizadas clásicas basadas en configuraciones antropomórficas poseen limitaciones contrastadas en cuanto a precisión. Como alternativas, los manipuladores de cinemática paralela permiten, gracias a su estructura paralela, asegurar unas prestaciones de rigidez mayores, y a su vez una precisión mayor [1,2].
Por un lado, el análisis de rigidez estática puede realizarse para comprobar los desplazamientos máximos del extremo de la herramienta (Tool Centre Point - TCP) [2]. Así, en el caso de la máquina herramienta dicho análisis podrá proporcionar información sobre el estado superficial de una pieza mecanizada, o la precisión en una tarea de taladrado. [3].
Por otro lado, la rigidez dinámica resulta un factor clave para la caracterización de una máquina que funciona en régimen [4-8]. En particular, las frecuencias naturales y los modos propios asociados son resultados fundamentales para la valoración del comportamiento dinámico del sistema y que, a su vez, definen las condiciones de resonancia de la máquina [9,10]. Para evitar los efectos no deseables de resonancia, es importante que el usuario final de la máquina disponga de la información sobre las características dinámicas del dispositivo en su espacio de trabajo. Así, sería de gran interés disponer de una herramienta de evaluación de las capacidades de la máquina parametrizada y en función de las condiciones de funcionamiento, es decir, dependiendo del espacio de trabajo, de la velocidad y aceleración, de las cargas, etc.
En la literatura se pueden encontrar un amplio abanico de trabajos sobre el estudio del comportamiento estructural de manipuladores paralelos, y principalmente en el análisis de la rigidez estática. De los distintos
enfoques destacan los métodos analíticos, los métodos numéricos, generalmente en base al método de los elementos finitos, y los métodos experimentales. Los métodos analíticos permiten obtener modelos sencillos con un coste computacional muy reducido y una precisión resultante suficiente. Los métodos numéricos aportan unos resultados muy precisos a costa de un tiempo de cálculo elevado, si se pretende caracterizar el manipulador en todo su espacio de trabajo. Además, si se pretende buscar un mayor rendimiento práctico del manipulador, resulta importante proporcionar información sobre las prestaciones del robot de manera sencilla, cómoda y práctica.
En este trabajo se presentan unos mapas tridimensionales de espacios de trabajo basados en criterios estructurales. Estas representaciones se obtienen en base a los tres principales métodos de cálculo anteriormente definidos, es decir, analítico, numérico y experimental.
PROCEDIMIENTO
A continuación se definen los distintos espacios de trabajo así como la obtención general de cada uno de ellos además del procedimiento para la obtención del espacio de trabajo estructural según criterios de rigidez y de frecuencias naturales. El procedimiento se puede dividir en tres bloques: uno cinemático, otro estático y finalmente uno dinámico, tal como se muestra en la Fig. (1). Una vez considerados los grados de libertad (G.D.L.) del manipulador, la naturaleza de la movilidad del elemento terminal y los problemas de posición directo e inverso se define el espacio de trabajo máximo (W), que representa la zona del espacio accesible por parte del elemento actuador o de un punto de referencia del mismo. Por otro lado, se resuelve el problema de singularidades a través del estudio de las matrices jacobianas para evitar configuraciones no deseables con posibles pérdidas de control. Así, se define el espacio de trabajo operacional (Wop) definido como el espacio de trabajo máximo libre de singularidades. En el segundo bloque se hace referencia al aspecto resistente del manipulador considerando los elementos deformables, así como las uniones o pares cinemáticos como enlaces elásticos. De esta manera, se halla el espacio de trabajo estático (WK) como consecuencia de las restricciones cinemáticas y estructurales, conjuntamente. En lo referente a las restricciones dinámicas, frecuencias naturales y modos propios, éstas proporcionarán las limitaciones para la determinación del espacio de trabajo dinámico (WD). Por último, si se pretende tener en cuenta todas las restricciones, las cinemáticas, las estáticas y las dinámicas, se definirá el espacio de trabajo estructural (WS). En la Fig. (1) se indican los distintos espacios de trabajo de forma esquemática y con el tipo de restricciones que los caracterizan.
CINEMÁTICA ESTÁTICA DINÁMICA
G.D.L. Posición (Directo/Inverso) Singularidades W Wop Espacio de trabajo máximo Espacio de trabajo operacional Deformación elementos Elasticidad uniones WK Espacio de trabajo estático Frecuencias naturales Modos propios WD Espacio de trabajo dinámico WS Espacio de trabajo estructural
Las restricciones estáticas consisten en un rango de rigidez (k) del manipulador, tal que k>kmin donde kmin define un valor mínimo de la rigidez en el TCP con el fin de asegurar unas operaciones dadas del manipulador. Para determinar la rigidez del manipulador, se tienen en cuenta tanto la rigidez de los elementos del manipulador como de las uniones cinemáticas. Los requisitos dinámicos se suelen establecer mediante rangos del valor de las frecuencias naturales (fi) tal que fi [fmin,fmax], donde fmin y fmax son los valores extremos mínimo y máximo de alguna de las frecuencias naturales.
APLICACIÓN PRÁCTICA
En esta sección de presenta un estudio de caso para ilustrar el procedimiento de obtención de los espacio de trabajo basados en criterios estructurales. Para ello, se utiliza el manipulador de cinemática paralela, DAEDALUS I [3], de cuatro grados de libertad desarrollado por el Grupo Compmech de la ETSI de Bilbao. Se trata de un robot con movimiento Schönflies con tres traslaciones y una rotación alrededor de un eje horizontal fijo del elemento terminal. El manipulador es plenamente paralelo y formado por cuatro cadenas cinemáticas que conectan el elemento fijo al elemento terminal. Dichas cadenas son del tipo díadas de rotación (R). Todos los pares de rotación de cada cadena cinemática poseen sus ejes paralelos. En la Fig. (2) se muestra el prototipo DAEDALUS I, con el sistema de referencia cartesiano (X,Y,Z).
Fig. 2. Prototipo DAEDALUS I.
Este manipulador ha sido diseño para operaciones de fabricación, tal como el remachado de perfiles de alas aeronáuticas o superficies complejas como se ilustra en la Fig. (3a). En la Fig. (3b) se representa el máximo espacio de trabajo (W) así como el plano horizontal de estudio (plano z) del manipulador.
En la referencia [3], se han desarrollado las ecuaciones de posición de los problemas inverso y directo, además de una metodología para el análisis de la rigidez estática de esta familia de manipuladores. Así, una vez obtenido el espacio de trabajo cinemático, se evalúa la rigidez estática. Uno de los resultados obtenidos demuestra la poca influencia de la orientación del elemento terminal en los valores de la rigidez, kzz(θ), donde θ define la orientación del elemento terminal alrededor del eje X. En la Fig. (4) se ilustra dicho resultado para una rango de variación angular de ±45º. Por ello, se justifican los análisis con una orientación constante horizontal del elemento terminal variando únicamente las coordenadas (x,y) del TCP que definirán las variables estructurales en planos horizontales. Ello, permitirá una reducción considerable de área de análisis sin que se cometan grandes errores.
Plano Z Z Y X Espacio de trabajo (W) a) b)
Fig. 3. Operación de remachado (a), máximo espacio de trabajo y plano Z de análisis (b).
Fig. 4. Variación de la función kzz (θ) en N/µm para distintos ángulos del elemento terminal.
Para la determinación de las características dinámicas del sistema se han desarrollado tres tipos de modelos distintos. El primero consiste en modelos de elementos finitos (MEF) con distintos grados de complejidad, considerando parte del manipulador y añadiendo elementos hasta definir el robot en su totalidad. En la Fig. (5) se muestra el modelo utilizado en este trabajo, con algunos detalles de la malla de elementos finitos, obtenida con el software comercial ANSYS® [11].
El enfoque analítico permite la definición de modelos con un coste computacional muy reducido, aunque la calidad de los mismos depende fuertemente de la ubicación de las masas concentradas. Así, en base al conocimiento de los modos naturales de vibración, por ejemplo con los modelos FEM, se pueden definir tales modelos con gran precisión. Superponiendo estos modelos con los resultados de rigidez, se pueden definir modelos dinámicos equivalentes muy precisos para el cálculo de las frecuencias naturales en todo el espacio de trabajo del manipulador. En la Fig. (6) se muestran los modelos discretos de parámetros concentrados, válidos para el cálculo de la rigidez equivalente.
Fig. 6. Parámetros dinámicos y modelo analítico reducido.
Finalmente, para validar los modelos anteriores y con el fin de obtener resultados reales, se dispone de un prototipo que permite realizar una campaña de ensayos experimentales del comportamiento dinámico del manipulador paralelo. Los medios experimentales se basan en la utilización de acelerómetros, de un analizador modelo SCADAS Mobile Multi Channels Analyzer de LMS® [12] y un martillo calibrado para la excitación del sistema. En la Fig. (7) se muestra el montaje experimental y el analizador utilizado para el análisis experimental de vibraciones del manipulador DAEDALUS I.
Fig. 7. Montaje experimental para el análisis de vibraciones.
En la Fig. (8) se representa la variación de la primera frecuencia natural (f1) del manipulador utilizado para los tres enfoques descritos anteriormente, analítico, numérico y experimental. Estos mapas se corresponden con la evolución de la primera frecuencia natural en un plano horizontal (z constante) del espacio de trabajo del manipulador. Estos resultados permiten validar los dos modelos matemáticos frente a los resultados
experimentales. En este trabajo, se tomará como modelo, sin pérdida de generalidad, el modelo basado en el método de los elementos finitos para la definición de los distintos espacios de trabajo.
Fig. 8. Mapas de f1(Hz) analítico, numérico y experimental.
En la Fig. (9) se representa la evolución de la segunda hasta la décima frecuencia natural del manipulador en el plano de análisis z constante.
Fig. 9. Mapas de frecuencias naturales de f2 a f10 (Hz).
Respecto al orden de las frecuencias naturales, cabe resaltar el hecho de que éste no sigue siempre la misma tendencia. Esto puede observarse en las representaciones gráficas de la Fig. (10). En la primera se muestra la variación de la primera y segunda frecuencia natural en el espacio de trabajo analizado, comprobandóse que ambas frecuencias se distinguen claramente. Sin embargo, en la segunda gráfica se puede apreciar como la quinta y sexta frecuencia natural se cruzan en dicho espacio de trabajo. Por dicha razón, puede que se pierda el orden y el tipo de modo natural.
f2 f3 f4
f5 f6 f7
a) f1(Hz) y f2(Hz). b) f5(Hz) y f6(Hz).
Fig. 10. Mapas de frecuencia.
Basándose en los resultados obtenidos en los apartados anteriores, se definen unas líneas para la caracterización estructural de los manipuladores y la representación de mapas tridimensionales asociados a criterios estáticos y dinámicos. Así, se definen los espacios de trabajo estático, dinámico y estructural. Estos mapas permiten al usuario de la máquina conocer las zonas del espacio de trabajo del manipulador que cumplen con las restricciones de rigidez y/o de frecuencias naturales. Dicha información resultará fundamental para sacar el mejor partido de la máquina bajo unas condiciones de funcionamiento dadas. En la Fig. (11) se representan los dos mapas para unas condiciones de rigidez (Fig. 11a) y de frecuencias naturales (Fig. 11b).
a) WK b) WD
Fig. 11. Espacio de trabajo estático (a) y dinámico (b).
Desde el punto de vista práctico, y con el fin de obtener una representación gráfica cómoda, la intersección de los espacios de trabajo Wop, WK y WD define el espacio de trabajo estructural:
D K op
S
W
W
W
W
(1)En la Fig. 12 se representa una proyección de los cuatro espacios de trabajo, apreciando cómo se reducen a medida que se añaden restricciones, obteniendo el espacio de trabajo estructural (WS), que se reduce alrededor de la mitad respecto del espacio de trabajo máximo (W) debido a limitaciones en rigidez y en frecuencias naturales del manipulador.
Fig. 12. Espacios de trabajo Máximo (W), estático (WK), dinámico (WD) y estructural (WS).
CONCLUSIONES
En este trabajo, se han definido unos espacios de trabajo basados en criterios estructurales necesarios a la hora de aprovechar las máximas capacidades prácticas de los manipuladores de cinemática paralela. Por sus capacidades resistentes y altas prestaciones dinámicas, se justifica la determinación de los límites reales en el espacio de trabajo libre de singularidades. Así, se proponen unos mapas tridimensionales que resultan prácticos para el usuario final de la máquina, considerando restricciones y criterios relacionados con la movilidad cinemática, la transmisión de fuerzas y la flexibilidad de la estructura.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen la financiación recibida por las instituciones: Ministerio de Ciencia e Innovación (Proyecto DPI2008-00159), el fondo europeo FEDER y el Departamento de Educación, Universidades e Investigación del Gobierno Vasco (Proyecto GIC10/91).
REFERENCIAS
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[2] M. Ceccarelli, Fundamentals of Mechanics of Robotic Manipulation, Kluwer, Dordrecht, (2004). [3] Ch. Pinto, J. Corral, O. Altuzarra, and A. Hernández, A methodology for static stiffness mapping in lower
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W WK
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[8] M. Ceccarelli and G. Carbone. Numerical and experimental analysis of the stiffness performances of
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[9] Wiens, G. and Hardage, D.S., Structural dynamics and system identification of parallel kinematics
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[10] Yiu, Y.K. et al., On the dynamics of parallel manipulators, Proceedings of the 2001 IEEE International Conference on Robotics and Automation, ICRA01, Seoul, Korea, May 21-26, 2001, 4, 3766-3771, (2001). [11] ANSYS® FEM Package. Release 11.0SP1, USA.
