RESOLVER LAS INTEGRALES INDEFINIDAS.

(1)

Elaboró: Prof. Rosa María Polanco Flores

Academia de Matemáticas Turno Vespertino Página 1

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECRETARÍA ACADÉMICA

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

CENTRO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS “NARCISO BASSOLS”

GUÍA DE CÁLCULO INTEGRAL

I. OBTENER LAS DIFERENCIALES.

8

3

5

2







x

y

dy





10 

x

3 

dx

3

2 3







x

y

dy





3 x

2



2 x



1 

dx





2

3 2 

 x

y

dy





4 

x

6 

dx

x

e

y



cos

dy





e

x

sene

x

dx

x

sen

y



4 dy



4 cos

4 xdx

II.

RESOLVER LAS INTEGRALES INDEFINIDAS.







2 x

2



5 x



3 dx

x



x



3 x



c

2

5

3

2

3 2



x

3/2

dx

x

5/2



c

5

2 













_

dx

x

1 x

3/2



x

1/2



c

3

2 







dy

x

2 2

1 c

x



1 







_

₂ 3

bx

a

xdx





c

bx

a

b





₂ 2

4

1

(2)







₂

_

₂ 3

x

a

xdx





c

x

a





₂ 2 2

4

1 

x

a

2

 dx

x

2





a

2



x

2



3/2



c

3

1 





x

2



3

4

dx



x







c

5 2

3

10

1 

2

_

₁₂

_

₃₆

x

dx

c

x

 6



1 

2

_

₁₄

_

₄₉

x

dx

c

x

 7



1 





x

2

 dx

x

3



x

2



c

2

1

3

1 





x



1

2

dx



x



1 

3



c

3

1 

_

dx

x 1

1 c

x

1



ln



_

dx

x

2

3

1 c

x 



ln

3

2

1 



dx

x

2

4  

c

x

_

4

_

2

ln

2 



_



dx

x

1

2

3

2

c

x



4 

6 ln



1 

2

1

2





_



dx

x

3

5

3

2 3

c

x



5 ln



3 

3

1

3





_



dx

x

2

4

2 4

c

x



2 

ln



2 

3

1

3 2







sen





cos



d





cos





sen 



c







t

2



sent

dt

t

 cos

t



c

3









2



sec

2



d





tan





c

3

(3)



_sen

dx

2

₂

_x



cot

2 x 

c

2

1 

₁

_

dx

_cos

_x



cot

x



csc

x



c



_

dx

x

1 sec

tan

sec

c

x

1



sec

ln



cos

x

senx

 dx

1 

senx



1 

3/2



c

3

2 

x

2

cos

x

3

dx

senx 

c

3

1 





senx

cos

x



3

3/4

dx





x







c

4 / 7

3 cos

7

4 



dx

xe

x2 1

e

x21



c

2

1 







dx

x

2

ln

_

_

c

x



2

3



ln

3

1 

_



_

dx

x

1

2

ln

x



x



1 

c

2



cos

xe

senx

dx

c

e

senx









senx

cos

x



1

3

dx



x







c



4

1 cos

4

1 

₄

2

_

₄

_

₅

x

dx

c

x

_















2

1

2 arctan

4

1 

₃

2

_

₂

_

₄

x

dx

c

x

_















11

1

3 arctan

11

1 

sen

2

y

cos

4

ydy

y



sen

y



sen

2 y



c

48

1

4

64

1

16

1

3



dx

x

sen

x

4 3

cos

c

x

sen





csc

3

1

3



cot

3

y

csc

3

ydy



5

y



csc

3

y



c

3

1 csc

5

1 

tan

3

2 x

sec

4

2 xdx

x



sec

2 x



c

4

1

2 sec

6

1

6 4

(4)

III. RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES APLICANDO LA

INTEGRACIÓN POR PARTES.



4 x cos

xdx

4 x

sen

x

 cos

4 x



c



x

sen

3 xdx



x



₉

sen

3 x



c

1

3 cos

3

1 

sec

3

xdx

x



ln

sec

x



tan

x



c

2

1 tan

sec

2

1 

x ln

3

xdx

x



x



c

16 ln

4

4 4





dx

e

x

2 x



x

2

e

x



2 x

e

x



2 e

x



c



e

2x

cos

3 x

dx

e

x



e

x

sen

3 x



c

13

3

3 cos

13

2

2 2



ln

4 x

dx

x

ln

4 x



x



c



x

ln

2 x

dx



x

2

/

2 

ln

2 x



x

2

/

4 

c



x

e

3x

dx

x

e

3x



e

3x



c

9

1

3

1 

x

2

senx

dx



x

cos

x



2 x

sen

x



2 cos

x



c

2



x

sen

2

x

dx

x



x

sen

x



8 cos

2 x



c

1

2

4

1

4

1

2

IV. RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES APLICANDO EL

METODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

TRIGONOMÉTRICA.



_

dx

x

2 2

9 c

x

sen

arc



9 

2



2

1

3

2

9 

_

2

4 x

xdx

c

x 



2

4

(5)





dx

x

2

25 c

x

_

_

_



2 2

25

5 ln

5 



dx

x

2 2

1 c

x

sen

arc







1

2

/



2

_{ 36}

x

dx

c

x







6

36 ln

2



4 

x

2

dx

c

x



2

4 ln

2

4

2

1

2 2



_

2

25 x

dx

_{ }

c

x

arcsen

/

5 



_

2

16 x

x

dx

c

x

_



2

16

4 ln

4

1 

2

_

2

4 x

x

dx

c

x

x 



4

2



_

2

1 x

x

dx

c

x







1

1 ln

2

V. RESOLVER LAS SIGUIENTES INTEGRALES APLICANDO EL

MÉTODO DE LAS FRACCIONES RACIONALES.







_x

dx

_{ 2}



x



ln

x



2 

c

2

1 ln

2

1 







_



_

dx

x

1

5

7

3 c

x



5 

ln



1 

ln

2 

_



dx

x

16

1

2

c

x





ln



4 

8

3

4 ln

8

5 

2

_

₄

_

₃

x

dx

c

x





ln

1

2

1

3 ln

2

1 

_



_

dx

x

2

3

2

2 3

c

x

_

_

2 ln

4

1 ln

3

2





_



dx

x

3 2

6

2 c

x







ln



1 

2

3

1 ln

7

2 ln

6

(6)



_x

3

_

dx

₂

_x

_

_x



x



c

x



ln



1 



1

1



ln







_



dx

x

3

1

2 

x









x







c



1 2

1

2

3

1

2 





_

dx

x

2 2

1 



c

x







2 1

1

2

1 







_



dx

x

2 2 4

1

4

3 _

_

c

x

3



2



6 

10 ln



1 

8 

1

1



3

1 











_



_



_

dx

x

1

2

3

1

8

2 2 3

c

x



3 

ln



2 

arctan



ln

2 







_

dx

x

2 2 3

1

4 c

x



2

5

1 ln

2

1

2 2

VI. INTEGRALES DEFINIDAS.

dx

x













_



3

₂

1

2 1

2

1 

A



3

t

2 

dt

1 1







A





4 

t

1/3

t

2/3



dt

0 1







20

27 

A





sent



dt



1

0 

A







2 xdx

2 6 / 6 /

sec



  

A



2

3 /

3

(7)

VII. ÁREA BAJO LA CURVA Y ENTRE CURVAS.

Hallar el área limitada por la recta

y

 x



3

, el eje de las x, x=0, x=2. 2

20 u

A 

Hallar el área limitada por la parábola

y 

x

2_{, el eje de las x , desde x=2 hasta x=4.}

2

3

2

18 u

A 

Hallar el área limitada por el círculo

x

2

 y

2



25

_{, el eje de las x y las ordenadas x=-3, x=4.} 2

3 74 u

A 

Calcúlese el área limitada por una onda de la sinusoide

y 

sen

x

, el eje x, desde x=0o, hasta x=360º.

2

4 u

A 

Hallar el área limitada por la parábola

6

2



 x

y

_{, el eje de las x y las ordenadas x=3 , x=7.}

2

129 u

A 

Calcúlese el área entre las curvas

y



2 

x

2_y

y 

x

_.

2

2 9 u

A 

Calcúlese el área entre las curvas

2

_

 x

y

_,

y





x

_{, x=-2, x=2.} 2

3 40 u

A 

Calcúlese el área de la región comprendida entre las curvas

 

2

3 x

x

f





_y

g

 

x



x

_. 2

3 4 u

A 

Hallar el área entre las curvas

y



2 x



x

2_y

y

 x



2

_.

Hallar el área comprendida entre las curvas

y

 x

2



4

y

 x



1

desde x=-1 y x=2. Obténgase el área bajo la gráfica de

y



1 /



1 

x

2



en el intervalo





3 ₄

,

0



_.

2

97 .

0 u

A 

(8)

Halle el área de la región limitada por las gráficas de

y

x

1 

_y

3 x

 y

3 

10 

0

_. 2

3 ln

2

9

40 _u

A





VIII. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN.

Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera por la rotación de la curva

y

 x





1

desde x=0 hasta x=1 alrededor del eje x.

3

1 _u

V





Determinar el volumen del sólido de revolución que se genera por la rotación de la curva 2

x

y 

, desde y=1 hasta y=3 alrededor del eje y.

3

4 u

V





Calcular el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo girar la región limitada por las

gráficas de

1

2

_

 x

y

, x=0, x=1, alrededor del eje x. 3

15

28 _u

V





Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera haciendo girar la región limitada por las gráficas de

2

4 x

y





, y=0, y=4, alrededor del eje y. 3

8 u

V





La región del primer cuadrante limitada por las gráficas

x

e

y 

_{, x=0, x=2 y y=0 , se hace girar}

en torno al eje x. Calcule el volumen del sólido de revolución.



4



3

1

2 e

u

V







En los siguientes problemas, obtenga el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo rotar la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas en torno a la recta o eje indicado.