1. MAGNETISMO. 1.1 Campo magnético. Inducción

1. MAGNETISMO

Los primeros fenómenos magnéticos observados estaban relacionados, sin duda, con los llamados imanes naturales, que son trozos de mineral de hierro encontrados junto a la antigua ciudad de Magnesia (de donde viene el término magnético). Estos imanes naturales tiene la propiedad de atraer el hierro no imantado, siendo el efecto má pronunciado cerca de a las regiones del imán llamadas polos. Era conocido por los chinos, antes del año 121 de nuestra era, que una barra de hierro, después de haber sido colocada cerca de un imán natural esta adquiría y conservaba la propiedad de los imanes naturales y si dicha barra se suspendida libremente de modo que pudiera girar alrededor de un eje vertical se coloca aproximadamente en la dirección Norte-Sur. El uso de los imanes para facilitar la navegación puede hacerse remontar al siglo undecimo al menos.

El estudio de los fenómenos magnéticos se limitó durante muchos años a los imanes obtenidos de esta forma. Hasta que en 1819 no se demostró que existía una relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos: En aquel año, el físico danés Hans Christian Oersted (1770-1851) observó que un imán que puede girar libremente sobre su eje (una aguja magnética) se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente. Doce años más tarde, tras intentos que duraron varios años, Faraday observó que se produce en un circuito eléctrico se genera una corriente instantánea, cunado en otro circuito próximo se establece o se interrumpe una corriente eléctrica. Poco tiempo después, se descubrió que al acercarse o alejarse un imán de un circuito eléctrico se produce el mismo efecto. El trabajo de Oersted demostró que pueden producirse efectos magnéticos por el movimiento de carga eléctricas, y el de Faraday y Henry, que pueden obtenerse corrientes por el movimiento de imanes.

Actualmente se cree que los llamados efectos magnéticos proceden de las fuerzas originadas entre cargas eléctricas en movimiento. Esto es, las cargas móviles ejercen fuerzas magnéticas entre sí, además las fuerzas puramente eléctricas dadas por la ley de Coulomb. Comenzaremos, por consiguiente, el estudio del magnetismo considerando las fuerzas que existen entre cargas móviles.

Puesto que los electrones están en movimiento al rededor del núcleo atómico, y cada electrón parece estar en rotación constante alrededor de un eje que pasa por él, cabe destacar que cada átomo presenta efectos magnéticos y de hecho se ha encontrado que así es. Las posibilidades que las propiedades magnéticas de la materia fueron fueran consecuencia de las partículas minúsculas del átomo, fue sugerida por Ampere en 1820. Claro está que esta teoría no ha sido comprobada aún.

1.1 Campo magnético. Inducción

Se puede adoptar el punto de vista de que toda carga en movimiento crea un campo magnético en el espacio que la rodea y este campo es el que ejerce una fuerza sobre otra carga que se mueve en él. Además de un campo magnético que se crea existe un campo

eléctrico independientemente de estar en movimiento o en reposo. El campo magnético ejerce una fuerza sobre ella únicamente si está en movimiento. Se dice que existe un campo magnético en un punto si se ejerce una fuerza sobre una carga móvil que pasa por dicho punto.

Se puede definir un vector B llamado inducción magnética, que caracteriza el campo magnético del mismo modo que el vector E caracteriza el campo eléctrico. El valor de la inducción magnética B en cualquier punto se define con la relación:

φ sen v q F B * * = Ecuación 1-1

Donde q es el valor de la carga; v su velocidad; φ el ángulo formado por v y la dirección del campo magnético y F la fuerza que actúa sobre la carga móvil en el punto.

Si F se expresa en newtons, q en culombios y v en metros por segundo, se dice que B se mide en webers por metro cuadrado. Así un weber por metro cuadrado es la inducción magnética de un campo magnético en el cual una carga de un culombio, que se mueve con una componente de velocidad perpendicular al campo es igual a un metro por segundo, está sometida a una fuerza de un newton.

seg m coul newton m Weber / * 1 1 ₂ =

O sea, puesto que un culombio por segundo es igual a un amperio:

m amperio newton m Weber * 1 1 ₂ =

En el sistema cgs, B se mide en maxwells por centímetro cuadrado o gauss. Puede demostrarse que: 2 4 2 10 1 1 m weber cm Maxwell gauss= = − O sea 2 4 10 m weber gauss= Ecuación 1-2

Los mayores valores de la inducción magnética que se puede obtener en un laboratorio es del orden de 10web/m2 o sea de 100.000 gauss y el campo magnético terrestre la inducción es solo de algunas cienmilésimas de weber por metro cuadrado, esto es, algunas décimas de gauss.

1.2 Líneas de inducción, Flujo magnético.

Un campo magnético al igual que un campo eléctrico, puede representarse por líneas llamadas líneas de inducción, cuya dirección en cada punto es el valor del vector inducción magnética. Por convenio, el número de esta líneas por unidad de superficie normal a su dirección se hace igual al valor de la inducción. Como unidad de inducción se eligió el weber por metro cuadrado, de modo que un weber sería igual a un línea de inducción. Análogamente en el sistema cgs, se eligió como unidad de inducción el maxwell por centímetro cuadrado, de modo que un Maxwell sería igual a una línea.

El número total de líneas de inducción que atraviesan una superficie se denomina flujo magnético a través de la superficie y se representa por φ. En el caso especial en que B es uniforma y normal a la superficie infinita A,

A

B*

=

φ Ecuación 1-3

Puesto que B se mide en wb/m2 y A en m2, el flujo se mide en webber. Como la inducción B en un punto es igual al flujo por unidad de área, esta cantidad se denomina frecuentemente densidad de flujo.

1.3 Campo magnético sobre un conductor.

Las primeras observaciones registradas sobre campos magnéticos creados por corrientes eléctricas fueron observadas por Oersted, quien descubrió que una aguja imantada que puede girar alrededor de un eje y está próxima a un hilo conductor por el cual circula una corriente eléctrica, tiende a colocarse con su eje longitudinal perpendicular al conductor. Experiencias posteriores realizadas por Biot y Savart, y por Ampere, condujeron a una relación por medio de la cual se puede calcular la densidad de flujo en cualquier punto del espacio que rodea un circuito por el que pasa una corriente.

Como se puede ver en la figura 1 el campo magnético que rodea un conductor son figuras concéntricas con el hilo y situadas en planos perpendiculares a él. Se observa que cada línea de inducción es una línea cerrada, y en este aspecto las líneas de inducción difieren de las líneas de fuerza de un campo eléctrico que terminan sobre cargas positivas y negativas. Esta propiedad de las líneas de inducción es cierta, cualquiera que sea la forma del circuito que crea el campo; cada línea de inducción se cierra sobre si misma.

Fig 1-1 Campo magnético sobre un conductor.

1.4 Campo magnético sobre una espira circular.

En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales como un electroimán o transformador; el hilo que transporta la corriente está arrollado en una bobina. En la figura 2 se ve el conductor y las líneas de flujo que rodean una espira circular y se encuentran en un plano que pasa por su eje. En realidad, el campo tiene tres dimensiones y podemos hacernos una idea de él imaginando que el plano gira alrededor del eje; hay que recordar que cada línea de inducción es una curva cerrada.

Fig 1-2 Líneas de inducción que rodean una espira circular.

1.5 Campo magnético en un solenoide.

La densidad de flujo producida en cualquier punto por una corriente que circula por un arrollamiento solenoidal, es simplemente la resultante de las densidades de flujo creadas en dicho punto por cada espira del solenoide. Utilizando la ecuación de Biot y Savart se puede demostrar que en cualquier punto del eje o próximo a él y no demasiado cerca de sus extremos se verifica que:

l NI

B=µ₀ Ecuación 1-4

Siendo N el número total de espiras, l la longitud del solenoide e I la corriente eléctrica que circula por el conductor. El campo completo se puede ver en al figura 3. Obsérvese en la ecuación 4 el radio del cilindro sobre el cual fue bobinado el conductor no afecta la ecuación.

Fig 1-3 Campo magnético en un solenoide.

1.6 Campo magnético en un toroide.

Un arrollamiento tal como se muestra en la figura 4 se denomina toroide. Puede imaginarse que es un solenoide que se ha encorvado hasta adquirir la forma circular, de forma que sus extremos se han unido. Prácticamente todo el flujo magnético se confina en el interior del toroide y la densidad de flujo en cualquier punto, dentro del arrollamiento está dada por la ecuación 4 en la cual l representa la longitud de la

circunferencia media del toroide. Cabe destacar que el flujo fuera del toroide es cercano a cero.

Fig 1-4 Campo magnético producido en un toroide.

1.7 Excitación magnética.

Las propiedades magnéticas de la materia pueden medirse y calcularse fácilmente cuando la sustancia adopta la forma de anillo, porque el campo magnético creado por una corriente eléctrica en el arrollamiento magnetizante está confinada completamente al interior del anillo. Ninguna línea de inducción atraviesa la superficie de la sustancia hacia el espacio exterior.

Cuando las sustancias magnéticas son cilíndricas o en forma de U, como sucede con frecuencia, las líneas de inducción atraviesan la superficie en ciertas zonas llamadas polos. Las regiones por donde las líneas de inducción salen del cuerpo se denominan polos nortes, y las regiones por donde entran se llaman polos sur.

Un hilo que transporta una corriente o una carga móvil están sometidos a una fuerza cuando se encuentran en la cercanía de un polo magnético. Es decir, los campos magnéticos pueden producirse bien por, corrientes que circulan en los conductores, o por los polos magnéticos. Para llevar a cabo el estudio del magnetismo con suficiente generalidad y tener en cuenta estos dos efecto magnéticos, se define una nueva cantidad vectorial H, a la que se denominará excitación magnética. La expresión completa para H tiene dos términos, uno de los cuales expresa el efecto de las corriente que circulan por los conductores y otro, el de los polos magnéticos. En el caso del anillo de Rowland, en donde no hay polos magnéticos, el segundo término es nulo.

El término que expresa el efecto producido por las corrientes que circulan en los conductotes que está formado por la ley de Biot-Savart y se diferencia por el término de m0 2 4 1 R i idlsen dH θ π = Ecuación 1-5

La dirección de dH es la misma que dB. Si se aplica la ecuación anterior al anillo de Rowland se puede obtener la expresión completa como sigue:

l Ni

H = Ecuación 1-6

Obsérvese que la excitación magnética de una sustancia no depende de la sustancia que forma el anillo. Si se hace un análisis dimensional de la excitación magnética nos podemos dar cuenta que se expresa en amperios vuelta por metro, o en amperios por

y dirección de H pude representarse por medio de líneas de fuerza magnética que pasan por el punto. Dentro de un anillo de Rowland las líneas de fuerza magnética tienen la misma forma que las líneas de inducción magnética, aunque no siempre sucede así. Para un anillo de Rowland de densidad de flujo se expresa como

l Ni

B=µ y la

excitación magnética como

l Ni

H = de lo cual se deduce H

B=µ Ecuación 1-7

Hay una clasificación de los materiales magnéticos tomando como referencia el vació que tiene una permeabilidad de igual 7

0 =4π10−

µ henrios/metro.

Se define la permeabilidad relativa de un material como la relación del material sobre la permeabilidad del vacío como:

0 µ µ

µ m

r = Ecuación 1-8

Y se acostumbra no a dar la permeabilidad del material sino la permeabilidad relativa de los materiales.

1.8 Materiales diamagnéticos.

Aquellos materiales que experimentan una pequeña fuerza de repulsión son llamados materiales diamagnéticos. De nuestra experiencia se ha encontrado que el bismuto, plata, cobre son de estos tipos de materiales. La permeabilidad de estos materiales es un poco menos a la permeabilidad del vacío en el espacio libre. La permeabilidad de algunos materiales diamagnéticos se puede citar en la siguiente tabla:

Tabla 1.1. Materiales diamagnéticos material Permeabilidad relativa Bismuto 0.999 981 Berilio 0.999 987 Cobre 0.999 991 Metano 0.999 969 Plata 0.999 980 Agua 0.999 991

1.9 Materiales paramagnéticos.

También existen materiales que experimentan una fuerza de atracción. Sustancias que son impulsadas hacia el centro de un solenoide con una pequeña fuerza, estos materiales son llamados paramagnéticos. Estos materiales tienen una permeabilidad un poco mayor a la permeabilidad del vacío en el espacio libre. Una lista breve de estos materiales se pueden ver en la tabla 1.2.

Tabla 1.2. Materiales paramagnéticos material Permeabilidad relativa Aire 1.000 304 Aluminio 1.000 023 Oxigeno 1.000 330 Manganeso 1.000 124 Paladio 1.000 800 Platino 1.000 014

1.10 Materiales ferromagnéticos.

Hay materiales que experimentan no solo una gran fuerza de tracción en el experimento del anillo de Rowland sino que aumentan significativamente el flujo producido en el vacío. Estos materiales son llamados ferromagnético, la fuerza de atracción experimentada por este tipo de material puede llegar a ser 5000 veces la experimentada en el vacío. Solo existen tres materiales ferromagnéticos en la naturaleza ellos son el hierro, níquel y el cobalto; pero afortunadamente estos materiales abundan en la naturaleza y se pueden usar para la construcción de máquinas eléctricas.

Desafortunadamente este tipo de material no tiene un comportamiento lineal entre la relación B vs H y se necesita un tratamiento matemático mas extenso para comprender el funcionamiento de este tipo de materiales. Inicialmente, la permeabilidad del material depende de la historia magnética de este. Fenómeno llamado histéresis. En efecto, puede existir flujo en el hiero aún en ausencia de un campo exterior; cuando el material se encuentra en este estado se llama imán permanente.

A causa de la relación complicada entre la densidad de flujo y la intensidad de una sustancia ferromagnética, no es posible expresar B como función analítica de H. En lugar de esto, se da la relación entre las dos magnitudes mediante una gráfica o una tabla y esta gráfica se le llama curva de imantación o magnetización de la sustancia (ver figura 5).

1.11 Dipolos magnéticos:

Para entender el comportamiento de los materiales ferromagnéticos debemos echar un vistazo como están construida su estructura molecular. Es bien conocido que los electrones orbitan los núcleos a una velocidad constante. La corriente es definida como una carga que pasa a través de un punto dado en un segundo, un electrón describe una trayectoria circular y este describe un anillo. Cuando se multiplica la corriente por la superficie encerrada por el, se obtiene lo que se conoce como momento orbital magnético.

Un electrón está continuamente girando sobre su propio eje a una velocidad determinada. El efecto de spining involucra cargas circulantes y denota un electrón con un momento de spining.

El momento magnético de una átomo es obteniendo combinando estos dos efectos y el efecto magnético se determina dependiendo de la cantidad que tengan estos dos momentos. El campo magnético neto produce un campo lejano que es similar a aquel producido por un corriente en una espira. N S

Fig 1-6 Dipolos magnéticos.

1.12 Dominios magnéticos.

En las sustancias diamagnéticas y paramagnética, la densidad de flujo debida la las corrientes electrónicas es despreciable comparada con el campo aplicado. Mientras que en las sustancias ferromagnéticas puede ser miles de veces mayor que el campo aplicado. La conclusión es que en una sustancia ferromagnética han de actuar sobre los imanes moleculares alguna influencia alimentadora distinta del campo aplicado. Esto solo puede producirse por una acción mutua entre las moléculas, efecto que es despreciable en las sustancias diamagnéticas y para magnéticas. Este primer señalamiento fue señalado por Pierre Weiss en 1907.

Las sustancias ferromagnéticas están formadas por cientos de estos dominios magnéticos que le dan el comportamiento descrito en la figura 5. Cunado se tiene un pedazo de material virgen, estos dipolos se encuentran orientados al azar y el flujo magnético total es nulo debido a que los dipolos tienen orientaciones diferentes.

Cuando el pedazo de material es colocado en un campo magnético externo todos los dipolos tienden a alinearse en el mismo sentido del flujo excitador. Una forma de conseguir el campo excitador es colocar una bobina que transporta una corriente eléctrica como en el caso del anillo de Rowland. Se puede ver experimentalmente que algunos dipolos se alinean más o menos en la misma dirección del campo magnético. Estos dominios tienden a hacer crecer el campo magnético a expensas de los dominios vecinos. El crecimiento del dominio solo cambia sus límites. El movimiento del los

límites, sin embargo, depende de la estructura de los granos del material. También se puede experimentar que los dominios rotan sus dipolos magnéticos en la dirección del campo aplicado. Como resultado, la densidad del campo magnético crece.

Fig 1-7 Dominios magnéticos.

La corriente en la bobina establece un la una intensidad de campo H en el material, la cual se puede considerar como una variable independiente. La intensidad de campo H establece un campo magnético con densidad B. el establecimiento de la densidad B hace crecer los límites de los dominios y este movimiento puede ser reversible. Si se sigue aumentado la excitación magnética H incrementando la corrigen en la bobina, la densidad del campo magnético B llegará a ser más fuerte porque hay mas dipolos magnéticos alineados a favor del campo. Si se aprecia el movimiento de los dipolos en un principio el crecimiento de B es lento, luego se incrementa rápidamente, y luego se muy lento nuevamente (ver fig 5) y finalmente se vuelve casi plano. La curva así generada es conocida como la curva de magnetización o simplemente la curva B vs H de un material magnético. Cada material magnético tiene su propia característica. La zona donde la curva cambia de pendiente se llama el codo. La saturación magnética se presenta después del codo.

1.13 Histéresis.

Una curva de imantación, tal como aparece en la figura 5, expresa la relación entre la densidad de campo B y la excitación magnética H, siempre y cuando la muestra se encuentre desimantada y la excitación magnética aumente desde cero. Así, si la corriente en la bobina magnetizante en el arrollamiento de un anillo desimantado aumente de modo continuo, desde cero hasta que la excitación magnética H corresponda a la abcisa Oe, la densidad de flujo B está dada por la ordenada Of. Si partiendo del estado desimantado, la excitación magnética se aumenta, primero desde Og y después se debe disminuir hasta Og, y después se debe disminuir hasta Oe, el estado magnético de la muestra Viena dado por la trayectoria Oabc. La densidad de flujo, se ha reducido hasta Oh en lugar de Of. Si se anula ahora la corriente de magnetizante, la curva continua hasta el punto d, en el cual la densidad de flujo Od.

Fig 1-8 Comportamiento de histéresis.

aunque se haya suprimido después la corriente magnetizante. En el punto d se ha convertido en un imán permanente. Este comportamiento de la sustancia evidenciado por hecho de la curva B-H no coincide, al disminuir H, con la obtenida cuando H aumenta, se denomina histéresis. El término significa literalmente quedarse atrás.

Fig 1-9 Comportamiento de la curva de histéresis.

En muchos aparatos eléctricos, tales como transformadores y motores, hay masas de hierro situadas en campos magnéticos cuyo sentido cambia continuamente (excitadas con corriente alterna). Esto es, la excitación magnética H cambia desde 0 hasta cierto valor en un sentido, después se anula, aumenta nuevamente hasta un valor, pero en sentido contrario, disminuye nuevamente hasta cero hasta anularse nuevamente y repite el ciclo indefinidamente. La densidad de flujo se invierte también pero de la forma como se muestra en la figura 9 describiendo una curva cerrada en el plano B-H llamada ciclo de histéresis.

Fig 1-10 Curva de histéresis.

1.14 CIRCUITOS MAGNÉTICOS

Es importante observar que un campo magnético es un fenómeno de parámetro

distribuido; esto es, está distribuido en una región del espacio. Como tal, un análisis

símbolos de divergencia y rotacional. Sin embargo, en condiciones apropiadas es posible aplicar un análisis de parámetro concentrado a ciertas clases de problemas de campo magnético, tal como se aplica al análisis de circuitos eléctricos. En el problema de circuito magnético la exactitud y precisión de tal análisis es mucho menor, empero, que en los problemas de circuito eléctrico debido a la variación relativamente pequeña de la permeabilidad entre conductores y aisladores magnéticos, como se mencionó antes.

El análisis de un circuito magnético sigue la tendencia de un análisis sencillo de un circuito eléctrico de c.c y se aplica a sistemas excitados por señales de c.c. o, mediante una aproximación incremental, a una excitación de c.a. de frecuencia baja. Su utilidad estriba en determinar el tamaño de los componentes magnéticos de un aparato electromagnético durante las etapas de diseño, en calcular inductancias, y en determinar las densidades de flujo en el entrehierro en cálculos de potencia y de par de torsión.

Comencemos con unas cuantas definiciones:

1.15 Potencial magnético.

Para regiones en las que no existen densidades de corriente eléctrica, lo cual es cierto para los circuitos magnéticos que estudiaremos, la intensidad del campo magnético, H, puede ser definida en términos del potencial magnético escalar como

∫

= ℑ ∇ℑ = Hdl H ; . Ecuación 1-9

Se ve que ℑ tiene la dimensión de amperios, aunque, a menudo, se emplea "amperios-vueltas" como una unidad para ℑ. Frecuentemente se usa el término fuerza magnetomotriz (fmm) para una elevación de potencial o fuente de energía magnética. Para una caída de potencial, suele usarse el término caída de reluctancia. Existen dos tipos de fuentes de fmm en circuitos magnéticos: la corriente eléctrica y los imanes permanentes. Por lo general, la fuente de corriente eléctrica consta de una bobina de un cierto número de vueltas, N, que porta una corriente conocida como la corriente de excitación. Nótese que el número de vueltas, M es adimensional.

1.16 Flujo magnético.

Las líneas de corriente o de flujo en un campo magnético se conocen como líneas de flujo magnético, y se denotan por el símbolo φ, y tienen la unidad weber en el sistema SI. El flujo está relacionado a B por la integral de superficie

∫

= s ds B. φ Ecuación 1-10

1.17 Reluctancia.

La reluctancia es un componente de la impedancia magnética, un tanto análoga a la resistencia en circuitos eléctricos, con excepción de que la reluctancia no es un componente de pérdida de energía. Se define por una relación análoga a la ley de Ohm:

ℜ ℑ =

φ Ecuación 1-11

La unidad en el sistema SI de la reluctancia magnética es el henry-1. Si suponemos que la unidad de flujo tiene sólo un componente direccional, B, y que es uniforme sobre una sección transversal de un área, Am, tomada perpendicular a la dirección de B, se

m m m m A l A B l H µ φ = = ℑ = ℜ . . Ecuación 1-12

1.18

Permeancia

.

La permeancia, þ , es el recíproco de la reluctancia y tiene la unidad henry en el sistema SI. La permeancia y la reluctancia se emplean ambas para describir las características geométricas de un campo magnético, principalmente para el propósito de calcular inductancias.

Basados en 11 y 12, podemos ahora construir las relaciones resumidas en la tabla 1.3. En esta tabla, l es la longitud y A es el área de la sección transversal del paso del caudal de corriente en el circuito eléctrico o del flujo en el circuito magnético.

En la tabla 1.3 se puede verificarse que la unidad de reluctancia es H-1

. A causa de que

ℑ es análoga a I, y que þ es análoga a R, las leyes para resistencias conectadas en serie o en paralelo son igualmente válidas para las reluctancias.

Tabla 1.3 Analogía entre un circuito magnético y un circuito eléctrico de cc. Circuito Magnético Circuito Eléctrico

Flujo Ф Corriente, I Fmm Ŧ Voltaje, V Reluctancia Ʀ Resistencia R = 1 / σA Permeancia Ƥ Conductancia G = 1/R Permeabilidad µ Conductividad σ Ley de ohm Ф=Ŧ/Ʀ Ley de ohm I= V/R

1.19 Circuito magnético de un toroide.

Ahora se analizará el anillo de Rowlad para observar la aplicación de la analogía entre variables magnéticas y eléctricas. Si se observa la figura 11 de la izquierda se ve una fuente magnetomotriz que no es más que la bobina sobre el circuito magnético.

La fuerza magnetomotriz se representa por una fuente de tensión. La polaridad es representada por una N que representa el polo norte, y representa el lugar por donde salen las líneas de flujo. El polo sur se representado por una S y representa el lugar por donde entran la líneas de flujo. La polaridad se debe determinar de acuerdo a la regla de la mano derecha, el pulgar representa el sentido de la corriente y los cuatro dedos restantes el sentido del flujo.

La trayectoria del flujo es representada por unas líneas rectas que unen dos puntos específicos. Al igual que los conductores eléctricos en estas líneas no se presenta ningún tipo de pérdida.

El circuito debe tener una reluctancia ℜ, esta varía cada vez que se cambie de material, de área o haya longitudes complicadas de obtener. El circuito total se pude ver en la figura11.

Fig 1-11 circuito eléctrico equivalente de un toroide.

1.20 Circuitos magnéticos con entrehierro.

Un entrehierro en un circuito magnético es una pequeña grieta de material que se llena de aire como se muestra en la figura 12. En esta zona hay un cambio de material y por ende debe haber una reluctancia adicional. En el circuito habrán dos reluctancias, una debida al material magnético de alta permeabilidad y otra debida al aire. Desafortunadamente la permeabilidad del aire es baja (cercana a la del vacío) y por consiguiente la reluctancia en este sector es alta haciendo que allí se pierda gran cantidad de fuerza magnetomotriz aunque la longitud del entrehierro sea pequeña. Otro factor que se debe tenerse en cuenta en el momento de trabajar con entrehierro es la dispersión del flujo que aparece en esta zona. Si se analiza el circuito magnético este presenta una trayectoria cómoda y definida al flujo pero al llegar al entrehierro hay una disminución de la permeabilidad, además todo el circuito magnético está rodeado de aire lo que le da una ampliación del área transversal.

Fig 1-12 Circuito magnético con entrehierro.

1.21 Circuitos magnéticos con varias fuentes.

En la figura 1.10 se puede ver un toroide con dos bobinas en la figura de la izquierda se puede ver que el flujo producido por las dos bobinas van en el mismo sentido lo que hace que el flujo se refuerza o el efecto de las dos fuentes sea aditivo.

En la figura de la derecha el flujo producido por las dos bobinas va en sentido contrario lo que hace que el flujo total sea la diferencia de los dos. Al presentarse esta situación se puede darse el caso que una fuente consuma fuerza magnetomotriz mientras la otra produzca. O que ambas fuentes generen fuerza magnetomotriz. Para analizar este fenómeno se debe hacer el mismo análisis de las fuentes de tensión que se hacían en los circuitos eléctricos.

Fig 1-13 circuito magnético con varias fuentes

1.22 Ley de Faraday.

Supongamos que hay dos espiras de un hilo conductor como están en la figura 4 y en la bobina de la derecha se han colocado una batería y una resistencia variable; estos dos elementos hacen que la corriente varié en el tiempo. Si la corriente es variable en el tiempo hace que el flujo producido en la espira también sea variable en el tiempo. Si se coloca un voltímetro en los extremos de la bobina de la izquierda se puede observar que hay una tensión inducida que varía con la misma rapidez que lo hace el campo magnético producida por la primera bobina.

Fig 1-14 Experimento de Faraday.

La variación del flujo pude ser debida a una variación temporal del flujo magnético o una variación de la posición relativa en la espira respecto del mismo o una combinación de las dos causas anteriores. En el primer caso se habla de una fem de transformación, ya que este es el tipo de fenómeno que se produce en los transformadores; en el segundo caso, se habla de la fem de movimiento. El valor de la fem inducida depende solo de la magnitud de la variación del flujo, con dependencia de que su variación se deba a variaciones en el tiempo o a cambios geométricos. La ley de la inducción electromagnética fue enunciada por Faraday en 1831 y dice que “el valor absoluto de la fem inducida viene dado por la rapidez de variación del flujo abarcado y que su sentido es tal que tiende a establecer una corriente que se opone a la variación de flujo que la produce” | | e dt dφ = Ecuación 1-13

1.23 Ley de Lenz:

H. F. E. Lenz (1804-1864) fue un físico alemán que sin conocer los trabajos de Faraday y Henry, repitió casi simultáneamente muchos de sus experimentos. La ley que lleva su nombre constituye una regla útil para conocer el sentido de una fem inducida. Esta ley establece que el “sentido de una fem inducida es tal que se opone al efecto que la produce”. El descubrimiento de lenz hizo que la ecuación de la tensión inducida cambie a dt dφ − = e Ecuación 1-14

1.24 Autoinductancia.

Volvamos nuevamente al anillo de Rowland que hemos trabajado hasta ahora. Una corriente cambiante en el tiempo establece un campo magnético cambiante en el material magnético. El flujo variante en el tiempo induce una tensión de acuerdo a la ley de Faraday que dice:

dt d

N φ

=

e Ecuación 1-15

La autoinductancia o también llamada inductancia o simplemente inductancia de una bobina se define como la relación entre el cambio diferencial en los concatenamientos de flujo y el cambio diferencial de la corriente, es decir:

di d

N φ

=

L Ecuación 1-16

Donde L es la inductancia de la bobina medida en Henrios. La tensión inducida puede expresarse en términos de la inductancia como:

dt di L dt di di d N = = φ e Ecuación 1-17

Esta es la forma de la ley de inductancia de Faraday que se usa comúnmente en el análisis de circuitos eléctricos. La ecuación de la inductancia establece que la inductancia de una bobina es de 1H si la corriente que varia a razón de 1A/s induce una tensión de 1V en la bobina.

El concepto de inductancia es muy útil porque brinda un método abreviado para expresar la fem inducida en la bobina directamente en términos de la corriente que se produce en ella. Sin este concepto, primero tendría que determinarse el flujo en el circuito magnético causado por la corriente y después aplicarse la ley de la inducción de Faraday para obtenerse la fem inducida.

Como ℑ=Ni es la fmm aplicada y ℜ=l/µA es la reluctancia del circuito magnético, el flujo en el circuito magnético es

ℜ = Ni

φ Ecuación 1-18

Luego, la inductancia se puede expresar como: ℜ

= N2

L Ecuación 1-19

Si se analiza la ecuación de la inductancia es evidente que la inductancia depende de las dimensiones físicas del circuito magnético y de la permeabilidad del material magnético. Si la inductancia está devanada sobre un material no magnético, la

inductancia no es constante, sino que es una función de la densidad del flujo magnético en el núcleo. Sin embargo, al analizar máquinas eléctricas suele presuponerse que es constante, en el entendido que la máquina está operando en la región lineal de la curva B-H, donde la permeabilidad del material es constante.

Si se analiza el anillo de Rowland que se ha venido trabajando hasta el momento se puede dar la expresión exacta para el flujo del toroide:

) ln( 2 a b h Ni π µ φ = Ecuación 1-20

Luego, la expresión exacta para la inductancia de un toroide o anillo de Rwland es: ) ln( 2 2 a b h N di d N L π µ φ ₌ = Ecuación 1-21

El circuito eléctrico equivalente del toroide se muestra en al figura 15 donde R es la resistencia de la bobina. Aún cuando la resistencia de la bobina es un parámetro distribuido, es práctica común presentarla como un parámetro concentrado.

Fig 1-15 Circuito eléctrico equivalente en serie del anillo de Rowland.

1.25 Inductancia mutua:

Considera el anillo de Rowland que se ve en la figura 16 pero esta vez tiene dos bobinas. Una corriente i1 variante en el tiempo, establece un flujo φ1 en la bobina 1. Cuando se deja abierta la bobina 2. Este flujo induce una tensión en la bobina 2.

Fig 1-16 Circuitos eléctricos acoplado magnéticamente.

Parte del flujo φ1 enlaza la bobina 2 y se puedellamar φ21, este flujo induce una tensión en la bobina 2. Luego: dt di L dt d N₁ 1 ₁ 1 1 e = φ = dt di M dt di di d N dt d N 1 ₂₁ 1 1 21 2 21 2 2 e = φ = φ =

1 21 2 21 M di d N φ = Ecuación 1-22

M21 corresponde a la inductancia mutua de la bobina 2 a la bobina 1.

De forma semejante, si la bobina 2 conduce una corriente i2 mientras que la bobina 1 se deja abierta y crea un flujo φ2 ; este flujo inducirá una fem en la bobina 2. Parte de este flujo φ12 encadena la bobina 1 e induce una tensión en ella. De la siguiente forma:

dt di L dt d N₂ 2 ₂ 2 2 e = φ = dt di M dt di di d N dt d N 2 ₁₂ 2 2 12 1 12 1 1 e = φ = φ =

Donde L2 es la autoinductancia de la bobina 2 y

2 12 1 12 M di d N φ = Ecuación 1-23

Corresponde a la inductancia mutua de la bobina 2 a la bobina 1.

1.26 Bobina real con núcleo de hierro.

Ya hemos dicho que las máquinas eléctricas hacen uso del campo magnético como medio de acoplamiento para la conversión de energía. Para obtener máquinas con el menor tamaño posible es preciso obtener campos magnéticos elevados. Como se ha visto en apartados anteriores, eso se puede conseguir usando grandes cantidades de corriente o utilizando materiales de alta permeabilidad magnética. Esa es la razón del uso de materiales ferromagnéticos en la construcción de máquinas eléctricas. De paso, dichos materiales, que poseen excelentes propiedades mecánicas, sirven como elementos estructurales para el soporte de conductores y su aislamiento.

Consideremos el anillo de Rowland que tiene N espiras con un núcleo de hierro como aparece en la figura 12 a la cual se le aplica una tensión senosoidal de valor efectivo Va. Supongamos que la bobina es real y el efecto de la resistencia es despreciable. La tensión inducida es dt d N a φ = V

De forma que si la tensión es senosoidal pura, el flujo en el núcleo varía de forma senosoidal y va desfasado 90º en retraso con respecto a la fem E, cuyo valor eficaz vendrá dado por:

) ( ) (t φ_msen wt φ = ) (wt Nwsen dt d N φm φ ₌

Tomando el valor rms de la tensión inducida

2 e_rms ep

= ; la frecuencia y la velocidad angular está relacionadas por w=2πf . La tensión inducida en valores rms queda

expresada como: p fNφ 44 . 4 E= Ecuación 1-24

1.27 Forma de onda de la corriente de excitación.

Para producir una tensión inducida sobre una bobina se necesita un flujo magnético variable en el tiempo de valor φ, para establecer este flujo se necesita una fuerza magnetomotriz ℑ, y para establecer una fuerza magnetomotriz se necesita una corriente i(t) que también sea variable en el tiempo.

Como se explicó en apartados anteriores la relación entre la excitación magnética y el flujo no es una relación lineal sino tiene un comportamiento descrito en la figura 5. de tal forma que la corriente de excitación cambia de forma. Si el material magnético está en la zona lineal, la corriente cambia en la misma proporción que el flujo y por ende la tensión tiene un crecimiento lineal en esta zona.

Si la densidad máxima del flujo Bm corresponde con la zona de saturación magnética de la característica B-H del circuito magnético, la relación entre el flujo y la intensidad deja de ser lineal, de forma que si el flujo magnético varía de forma senosoidal en el tiempo, la intensidad no cambia de la misma manera dada la no relación lineal entre las dos variable como se muestra en la gráfica 17

Fig 1-17 Forma de onda de la corriente en vacío de un circuito magnético.

La forma sensiblemente puntiaguda de la onda senosoidal de la intensidad en vacío hace que al desarrollar esta en las componentes de Fourier aparezca un tercer armónico muy pronunciado, que como se verá más adelante, tiene importantes repercusiones en la conexión de transformadores trifásicos y de las máquinas en general. Además se observa un cierto adelanto en los flancos de subida y bajada respecto a la forma de onda del flujo. Esta forma de onda no senosidal de la corrigen impedirá su representación como fasor en el plano complejo, y por tanto la implicación del cálculo simbólico a los circuito magnéticos, perdiendo así una importantísima herramienta de análisis.

Para evitar estos percances es conveniente definir una corriente senosoidal equivalente J que cumpla con las dos condiciones siguientes:

- El valor eficaz de dicha corriente es el que mide un amperímetro en serie con la bobina.

- El desfase de la corriente respecto a la tensión aplicada es tal que justifique la potencia activa consumida por la bobina.

Esta potencia activa consumida se debe en parte al efecto Joule en los conductores, de valor I2_{R, y en parte a las pérdidas por histéresis y corrientes parásitas en el núcleo} magnético. Estas pérdidas en el circuito magnético están causadas por los fenómenos de histéresis y corrientes de Foucault. En ambos casos, las pérdidas específicas (W/Kg) son

función de la inducción magnética Bm siendo proporcionales a la frecuencia para las pérdidas por histéresis Ph y al cuadrado de la frecuencia para las pérdidas por las corrientes parásitas Pf. Las pérdidas específicas se pueden expresar por la fórmula propuesta por Steinmetz:

2 m F m h F h fe P p K fB K fB P = + = α + (w/kg) Ecuación 1-25

El coeficiente α varía entre 1.5 y 2.0 según las características de la chapa.

La primera de las dos condiciones anteriores nos define el módulo del favor de intensidad y la segunda su argumento respecto a la tensión aplicada. Estas dos condiciones se pueden dibujar en el diagrama fasorial de la figura 1.15. En dicho diagrama fasorial, el fasor de la intensidad se ha representado como la suma de dos componentes Jµ y JFe La la primera de ellas es la responsable del establecimiento del campo magnético en el núcleo y de vencer “la caída de tensión” magnética mediante la fuerza magnetomotriz N1Iµ. La segunda es la componente desfasada que justifica la existencia de pérdidas de potencia activa en el núcleo magnético.

Fig 1-18 Diagrama fasorial de las corrientes y tensiones en un circuito magnético.

Este diagrama fasorial corresponde con el circuito equivalente de la bobina real que se muestra en la figura 19. La tensión V de la bobina se descompone en la caída de tensión Vr que se produce en la propia resistencia del devanado y la tensión inducida E es debida a la variación del flujo, que se aplica al conjunto formado por la reactancia de magnetización jXo por la que circula la intensidad magnetizante, en paralelo con la resistencia equivalente RFe, por la que circula la componente activa de la intensidad. En el caso del circuito magnético ideal o sin pérdidas el valor de RFe se hace infinito y se obtiene el circuito equivalente de una bobina formada solamente por una resistencia en serie con una inductancia:

1.28 Pérdidas magnéticas.

En el análisis de las pérdidas de una máquina eléctrica se dividen en tres grandes categorías: pérdidas en el cobre, perdidas mecánicas y pérdidas magnéticas. Las pérdidas mecánicas se originan por la rotación del elemento giratorio (rotor) de una máquina y se pueden dividir en tres categorías, pérdidas por fricción, pérdidas por fricción en las escobillas y pérdidas por ventilación. Las dos pérdidas por fuentes magnéticas (pérdidas en el hierro o pérdidas en el núcleo) son las pérdidas por corrientes parásitas y las pérdidas por histéresis.

1.29 Perdidas por corrientes parásitas.

Si un flujo magnético que varía en el tiempo se encadena con una bobina, se induce una tensión en ella de acuerdo a la ley de Faraday. Como la bobina está devanada sobre un material magnético, el mismo flujo variante en el tiempo también induce una tensión en el núcleo. Debida a que el núcleo es también un buen conductor eléctrico se inducen en él unas corrientes eléctricas a lo largo de dicha trayectoria. La ubicación y la trayectoria de esa corriente son tales que encierran el flujo magnético que las produce. En efecto, existen tantas trayectorias cerradas en torno al campo magnético dentro del núcleo como sea imaginable. En la figura 20 se muestran algunas trayectorias para las corrientes inducidas en un material magnético sólido cuando la intensidad de flujo aumenta con el tiempo. El patrón en remolino de tales corrientes circulantes en un material magnético es semejante al de los remolinos que se forman en el aire o agua, y de este hecho se deriva su nombre como corrientes parásitas, corrientes en remolino o corrientes de Foucault.

Fig 1-20 Corrientes parásitas en un núcleo magnético sólido.

Conforme aumenta el flujo en el material magnético, también lo hace la fem inducida en cada trayectoria circular. El incremento de la fem inducida hace incrementar la corriente en esa trayectoria, la energía se convierte en calor en la resistencia de la trayectoria. Al sumar las pérdidas de potencia en cada lazo dentro del material magnético, se obtiene la pérdida total de potencia en el material ocasionada por las corrientes parásitas. Esta pérdida de potencia se llama pérdidas por corrientes parásitas.

Las corrientes parásitas establecen también su propio flujo magnético, el cual tiene oponerse al flujo magnético original. Por los tanto, las corrientes parásitas no solo dan

como resultado las pérdidas por calentamiento del núcleo, sino que también ejercen un efecto desmagnetizante en el circuito magnético. En consecuencia se debe aplicar mas fuerza magnetomotriz para producir el mismo flujo en el núcleo. El efecto desmagnetizante se incrementa a medida que se nos acercamos al eje del núcleo magnético. El efecto conjunto de la desmagnetización es la concentración del flujo magnético hacia la superficie exterior del material magnético. Esto obliga a que la parte interior del núcleo sea magnéticamente inútil.

Los efectos adversos de las corrientes parásitas pueden reducirse al mínimo si el núcleo magnético se construye con alta resistencia en la dirección en la que fluyen las corrientes parásitas. En la práctica esto se consigue construyendo el núcleo magnético apilando piezas delgadas de material magnético. La pieza delgada, conocida como lámina está cubierta con un barniz o laca y se consigue comercialmente en espesores que van desde 0.36mm a 0.70mm. El recubrimiento delgado hace que las láminas estén razonablemente aisladas de forma eléctrica entre sí. El núcleo magnético construido con laminación obliga a las corrientes parásitas a seguir trayectorias largas y estrechas dentro de cada lámina. El resultado neto es la reducción de las corrientes parásitas en el material magnético.

Si suponemos que la densidad de flujo varía de forma senosoidal con el tiempo, pero es uniforme en cualquier instante sobre la sección circular del núcleo magnético, puede demostrase que las pérdidas por corrtiens parásitas es:

V B f K Pe e m 2 2 2_δ = Ecuación 1-26

Donde Pe son las pérdidas por corrientes parásitas, en vatios (W), Ke es una constante que depende de la conductividad del material magnético, f es la frecuencia, en hertz, δ es el espesor de la lámina, en metros; Bm es la densidad máxima de flujo, expresada en teslas y V es el volumen del material magnético, en metros cubicos.

Fig 1-21 Núcleo magnético laminado.

1.30 Pérdidas por histéresis.

Cada vez que se hace recorrer al material magnético su ciclo de histéresis se produce una pérdida de potencia a la que común mente se denomina pérdida por histéresis, la cual surge de la fricción molecular a medida que los dominios magnéticos son forzados a invertir sus direcciones por la fmm aplicada.

Después de varios ciclos de magnetización, el ciclo de histéresis se vuelve simétrico, como se aprecia en la figura 10. La energía por unidad de volumen (densidad de energía) que se suministra al campo magnético cuando la densidad de flujo se cambia de –Br (punto a) a Bm (punto c) a lo largo de la trayectoria abc es:

∫

− = Bm Br dB H w₁ .

La cual es simplemente el área sombreada abcdea. A medida que se disminuye la densidad de flujo Bm (punto c) a B (punto e) a lo largo de la trayectoria ce, la densidad de energía liberada por el campo magnético es:

∫

= Br Bm dB H w₂ .

La cual es simplemente el área sombreada cdec. Hemos trazado la mitad del ciclo de histéresis. La spérdidas de la densidad de energía durante este semiciclo es w1-w2. La otra mitad, al ser idéntica origina la misma pérdida en la densidad de energía. Por consiguiente, origina la misma pérdida en la densidad de energía. Por consiguiente, la pérdida total de la densidad de energía es:

) (

2 w₁ w₂

w= −

Que presenta el área total del ciclo de histéresis.

En general la ecuación no puede avaluarse analíticamente porque es imposible expresar H como una función simple de B. pero puede graficarse a escala la histéresis y medir su área.

Por medio de pruebas en varios materiales ferromagnéticos, Charles Steinmetz propuso que la pérdida por histéresis se puede expresar como:

V fB K

P_h = _{h m}2 Ecuación 1-27

Donde P es la pérdida por histéresis, en vatios; Kh es una constante que depende del material magnético y n es el exponente de Steinmetz a partir de la experiencia se ha encontrado que n varía de 1.5 a 2.0.

1.31 Fuerza sobre un conductor que transporta una corriente.

Cuando un conductor que transporta una corriente se encuentra en un campo magnético, se ejercen fuerzas magnéticas sobre los electrones en movimiento sobre el conductor. Estas fuerzas se transmiten a la sustancia que forma el conductor y, por tanto, el conductor, en conjunto experimenta una fuerza o un movimiento, o ambas a la vez. Un motor eléctrico o el cuadro móvil de un galvanómetro están sometidos durante su funcionamiento al momento ejercido sobre un devanado que transporta la corriente y que se encuentra en un campo magnético.

La figura 22 representa una porción del conductor rectilíneo de longitud l y seccion A dentro del cual circula una corriente de intensidad i. Un campo magnético de densidad de flujo B es perpendicular al conductor. Puesto que la fuerza sobre el conductor en conjunto es la resultante de las fuerzas ejercidas sobre las cargas móviles situadas dentro de él. Expresaremos la intensidad de la corriente en el conductor en función del número n de cargas móviles por unidad de volumen, de la carga q de cada una de ellas y de su velocidad v. se ha demostrado que esta relación es:

Fig 1-22 Fuerza sobre un conductor.

nqvA i=

La fuerza f sobre cada conductor será:

qvB f =

El número de cargas en la longitud l será:

nlA

N=

Por consiguiente, la fuerza resultante será:

nlAqBv Nf

F = =

Y puesto que i=nqvA, se puede escribir como: ilB

F =

O en forma general la fuerza sobre un conductor depende de la corriente que circula por él, de la longitud del conductor en el campo magnético y de la densidad del campo magnético.

La regla de la mano izquierda puede también usarse para encontrar el sentido de la fuerza sobre el conductor situado en un campo magnético. Dado que el sentido convencional de la corriente es el mismo que el movimiento de las cargas positivas, el dedo indice señala el sentido del campo; el dedo medio, el sentido de la corriente y el dedo pulgar, el sentido de la fuerza.

La ecuación de la fuerza sobre el conductor se aplica al caso especial de un conductor rectilíneo perpendicular a un campo magnético uniforme. En el caso general, consideramos un pequeño elemento conductor de longitud dl que forma un ángulo α con el campo magnético. La fuerza dF sobre este elemento es:

) (α

idlBsen

dF =

Para un conductor rectilíneo de longitud l situado en un campo uniforme, esta expresión se reduce a: ) ( ) ( l ixB ilBsen F = α = Ecuación 1-28

1.32 Fuerza sobre un cuadro rectangular.

En la figura 23 se presenta un cuadro rectangular de hilo conductor cuyas dimensiones son a y b. la normal al plano del cuadro forma un ángulo α con la dirección de un campo magnético uniforme. El cuadro puede girar sobre un eje OO y transporta una corriente de intensidad I (ha de idearse un dispositivo para hacer entrar y salir la corrigen del cuadro, o bien, para intercalar un generador. Esto se ha omitido en el esquema para simplificarlo).

Los lados cd y ef del cuadrado son perpendiculares al campo. Por lo tanto, se ejercen sobre ellos fuerzas iguales y de sentido apuesto de valor:

iaB

F =

Dirigidas verticalmente Hacia arriba, la que se ejerce sobre cd, y verticalmente acalla abajo se ejerce sobre ef.

Los lados ce y df forman un ángulo α con el campo. Sobre ellos actúan fuerzas iguales y de sentido apuesto, de valor:

) (φ

ibBsen

F=

Dirigida hacia la derecha la que se ejerce sobre df y hacia al izquierda la que se ejerce sobre ce. (estas fuerzas, en realidad, están dirigidas a lo largo da cada lado del cuadro y son representadas como fuerzas únicas en la figura 1.19).

Fig 1-23 Fuerza ejercida sobre un conductor cuadrado.

La fuerza resultante sobre el conductor cuadrado es cero, puesto que las fuerzas ejercidas sobre los aldos de la espira son iguales y de sentido opuesto. El momento resultante T, por el contrario, no es nulo, ya que las fuerzas sobre cd y ef constituyen un par. )) ( ( ) (iaB x bsen α T =

El momento es máximo cuando a=90º, o sea, cuando el plano el plano del cuadrado es perpendicular al campo, y es nulo cuando el ángulo es cero, es decir cuando el plano de la espira es perpendicular al campo. La posición reequilibrio estable es aquella en la cual cd es el lado más elevado.

Dado que ab es el área A del cuadrado, la ecuación anterior se puede escribir como: )

(α

iABsen

T =

Si el cuadrado es devanado con espiras muy próximas, que tiene N vueltas, entonces, evidentemente:

) (α

NiABsen

T = Ecuación 1-29

1.33 Par de fuerzas sobre una barra imantada:

Se demostró en la sección anterior que el momento que actúa sobre un circuito cerrado de hilo conductor , que transporta una corriente eléctrica de intensidad I y abarca un área A, cuando está colocada con su plano perpendicular al campo magnético de densidad B, esta dado por:

BiA

Ahora se considera una barra imantada de longitud l y sección A, colocada perpendicularmente en un campo exterior débil.

Supongamos que todas las corrientes electrónicas están alineadas con sus planos paralelos al campo y que su alineación no es alterada o afectada por el campo externo. Si hay n circuitos por unidad de volumen, habrá en total nAl de tales circuitos, y si cada uno abarca un área a, el momento resultante que actúa sobre ellos será:

xl inaA Bx nAl x Bia T =( ) ( )= ( )

La magnitud entre paréntesis de la ecuación anterior es de gran importancia. El producto ia (corriente multiplicada por el área) se denomina momento magnético de un circuito. Multiplicando por el número, n, de circuitos por unidad de volumen, se tiene ian, que es el momento magnético por unidad de volumen, o intensidad de imantación. Finalmente, multiplicando por el área A, obtenemos una magnitud que expresa las características peculiares de los polos. Definimos la masa magnética m de cada una de las caras externas por la ecuación:

ianA

m=

Puesto que i se expresa en amperios, a y A en metros cuadrados y n es un número abstracto dividido por el volumen en metros cúbicos, las dimensiones de la masa magnética son amperios-metro.

Finalmente se puede obtener una expresión para el par en una barra magnética por medio de las dos ecuaciones anteriores de la forma:

Bml

T =

Como ml=(ian)x(Al) se da el momento magnético por unidad de volumen por volumen de imán, esta magnitud representa el momento magnético total del imán.

Si el cuerpo magnético exterior es el terrestre, y la barra magnética puede oscilar libremente en un plano horizontal, el efecto del momento Bml será una rotación hasta que el eje del imán sea paralelo a la componente vertical del campo terrestre.

Cuando esto tiene lugar se encuentra siempre que un polo señala la dirección norte. Este polo se denomina polo norte del imán, denominándose el otro polo sur.

La ecuación T =Bml se puede interpretar como sigue: supongamos que sobre cada polo

del imán, o masa magnética m, se ejerce una fuerza

Bm

F =

Teniendo esta fuerza del mismo sentido que B sobre el polo norte, y opuesto a B sobre el polo sur (fig 24). Puesto que los polos están separados por una distancia l, el momento sobre el imán es:

Bml Fl

T = =

Como ya se había demostrado.

Podemos considerar por tanto, el par, como debido a las corrientes electrónicas, y calcular su momento mediante la ecuación:

xl ianA Bx

T = ( )

O bien como producto por fuerzas ejercidas sobre los polos del imán, y entonces el momento se calculará mediante la ecuación:

Bml

Fig 1-24 Fuerzas ejercidas sobre una barra imantada.

1.34 Balance de energía general.

Vamos a considerar el circuito magnético de la figura 25 que es un convertidor de energía elemental, este consta de un circuito magnético en forma de E y una parte móvil en forma de I, en al parte en forma de E se coloca una bobina con N número de vueltas. Uno de los principales principios de la física es la conservación de la energía y dice “la energía no se crea ni se destruye solo se transforma”. Este fenómeno se puede aplicar al circuito de la figura 25. Las energías que se tienen son: la eléctrica que provienen de la fuente que alimenta la bobina, la energía magnética, y la energía térmica que se disipa en forma de calor estas se puede relacionar por la fórmula:

mec m

e W W

W =∆ +∆

∆ Ecuación 1-31

Fig 1-25 Convertidor electromecánico elemental.

Según la ecuación 31, una parte de la energía total aportada al sistema eléctrico se emplea para producir la energía que se cede al sistema mecánico, otra parte se almacena como energía asociada al campo magnético y una tercera parte (normalmente pequeña) se degrada a energía térmica como consecuencia de las irreversibilidades asociadas al proceso (pérdidas en los conductores, pérdidas por histéresis y corrientes de foucault en el hierro y rozamientos mecánicos).

Con el objetivo de separar los efectos y analizar lo esencial del fenómeno, se considera que las pérdidas por efecto Joule en los devanados quedan integradas en la fuente de alimentación a base de incrementar la parte resistiva de su impedancia interna en una cuantía determinada, que las pérdidas mecánicas constituyen una parte más de la energía mecánica cedida y que las pérdidas debidas al campo magnético o bien son nulas o se engloban en la energía magnética almacenada en le mismo. Lo que resulta en una máquina eléctrica elemental sin pérdidas.

Consideremos que sucede en un intervalo de tiempo dt durante el cual la intensidad en la bobina varía y la pieza móvil sufre desplazamientos infenitisimales. Entonces, se podrá escribir el balance elemental de la energía como:

mec m

e dW dW

dW = + Ecuación 1-32

1.35 Energía electrica absorvida.

Si se le aplica las ecuaciones de kirchoff al circuito de la figura 25 nos queda: ) ( ) ( Ri t dt d t Ri e V_a = + = φ +

Si multiplicamos ambos lados de la expresión por idt, la energía eléctrica neta aportada a la bobina durante un intervalo de tiempo dt nos queda:

λ id eidt idt Ri V dWe =( a− ) = = Ecuación 1-33

1.36 Energía del campo magnético.

Para obtener el término de dWm del balance de energía, es necesario primero conocer el valor de la energía almacenada en el campo magnético para una posición determinada de la pieza móvil. Imaginémonos por un momento que, manteniendo la pieza móvil en una posición fija se alienta la bobina con corriente continua. De acuerdo con dicha ecuación, y dado que al no haber movimiento se verifica que en todo momento que dWmec=0 y se podrá escribir:

λ

id dW

dW_e = _m=

Supongamos así mismo que la relación entre las corrientes y enlaces de flujo viene dada, para esa posición fija de la pieza móvil, por la curva de magnetización de la figura 26. Durante el transitorio de la conexión en el que la intensidad cruce desde cero hasta su valor final I1 y los enlaces de flujo desde cero hasta λ1, toda la energía aportada por la fuente se emplea en el incremento de la energía magnética almacenada en el campo, es decir:

∫

∫

= = 1 1 0 0 λ λ λ id dW W_{m m}

Cualquier variación posterior de la tensión aplicada provocará una variación en los valores de corriente y flujo que se establezcan en régimen permanente, verificándose que:

∫

= ∆ 2 1 λ λ λ id Wm

Ambas integrales rayadas A y B en la figura 26 son aplicables a cualquier sistema que comprenda un circuito magnético sin pérdidas. Si se admite que las N espiras de la bobina conectan el mismo flujo, se verifica que λ =N/ℑy la expresión se puede

reescribir como: λ λ λ Nid d id dW_m = = =ℑ Ecuación 1-34

1.37 Energia mecanica en un sistema lineal.

Para determinar la variación de la energía mecánica es necesario conocer la velocidad y la fuerza en función del tiempo:

∫

= ∆ t mec f t vdt W 0 ) (

Realizando cambio de variables sobre la ecuación anterior, se obtiene:

∫

∫

= = ∆ ) ( ) 0 ( 0 ) , ( ) ( t x x t mec dt F x dx dt dx t f W λ

Para analizar las relaciones anteriores se puede utilizar como ejemplo el electroimán que se ilustra en la figura 25. En esta figura se ha representado un gráfico de la relación existente entre los enlaces de flujo λ y la corriente i, para dos condiciones extremas de la posición relativa del yugo del electroimán. Para la misma corriente i, al disminuir la distancia x, disminuye la reluctancia y se incrementan los enlaces de flujo λ.

En el gráfico λ-i de la figura 26, la región sombreada representa la integral de la corriente i(λ) con respecto a λ para una posición x fija. Como se ha determinado en la ecuación de la energía mecánica, esta región representa la variación de la energía eléctrica en un circuito magnético que se energiza manteniendo constante la posición del yugo (x).

En un sistema conservativo, la energía es una función del estado. Esto quiere decir que en estos sistemas el incremento de energía acumulada no depende de la trayectoria utilizada para alcanzar un determinado estado, sino del valor de las variables en los estados iniciales y finales del proceso.

Fig 1-27 Diagrama λλλλ-i de un electroimán elemental.

Para determinar la energía acumulada en el campo, es necesario calcular la diferencia entre las energías eléctrica y mecánica del sistema después del proceso. Si el sistema

mecánico está detenido, no existe variación en la energía mecánica del convertidor y por lo tanto toda la energía eléctrica que entra en la máquina se convierte en energía acumulada en el campo, entonces:

∫

=∆ = ∆ ) ( ) 0 ( ) , ( t mec e i x d W W λ λ λ λ

La ecuación anterior puede integrarse por partes y se obtiene:

∫

− = ∆ i mec i x d i x di W 0 ) , ( ) , (λ λ λ

En la ecuación anterior, el término integral de define como la coenergía en el campo y se expresa como ∆W’c. En la figura 1.24 se observa que la coenergía es el área bajo la

característica λ-i.

Fig 1-28 coenergía y energía en el campo.

En la figura 28 se observa que un sistema electromecánico donde la posición x es constante cumple la siguiente relación:

' .i=∆W_mec+∆W_mec

λ

De las definiciones anteriores de energía y coenergía en el campo magnético se destacan las siguientes observaciones:

1) Para la energía, el enlace de flujo λ es la variable independiente, y la corriente i es la variable dependiente.

2) Para la coenergía, la corriente i es la variable independiente y el enlace de flujo λ es la variable dependiente.

Si el sistema físico es lineal, es decir, si la relación entre los enlaces de flujo λ y la corriente i del convertidor electromecánico es proporcional, la energía y la coenergía son iguales, esto se puede observar en la figura 29.

Fig 1-29 convertidor electromagnético lineal. Se puede determinar que:

2 2 2 ' i Li W W_mec = _mec = λ =

Ahora consideremos el caso en el cual el circuito magnético es movido una distancia dx en un tiempo dt en una región donde el campo es mantenido constante. La energía aportada al sistema debe ser cero porque los valores iniciales y finales del flujo son iguales. Entonces para un sistema conservativo se tiene:

0 =

+ _m

mdx dW

F

La fuerza actuante sobre el circuito magnético es:

dx dW

F m

m=−

Cuando el flujo es mantenido constante. Esta ecuación claramente demuestra que la rata de decrecimiento de la energía almacenada con respecto al desplazamiento determina la fuerza desarrollada por el dispositivo magnético.

Si se tiene un circuito donde hay un cambio de flujo dφ y la corriente se mantiene constante la ecuación se convierte en:

φ Id dW_m= Donde 2 φ Id dWmec = La energía puede ser expresada como:

m mec dW

dW =2

Para un sistema conservativo se tiene:

m m

mecdx dW dW

F + =2

La fuerza mecánica se puede calcular como:

dx dW

F m

mec = Ecuación 1-35 Manteniendo la corriente constante.

La energía puede ser función ya sea de la corriente I o del desplazamiento x[Wm(I,x)] o en función del flujo φ y del desplazamiento x[Wm(φ,x)], una forma conveniente de expresar los términos de las ecuación de fuerza en términos de derivadas parciales como: x x W F m m ∂ ∂ − = (φ, )

Cuando el flujo es mantenido constante

x x I W F m m ∂ ∂ = ( , )

Cuando la corriente es mantenida constante.

Ahora vamos a expresar la fuerza magnética en función de la inductancia de los circuitos magnéticos. La rata de cambio de la energía almacenada, cuando el flujo es constante es: x L i x i N dx dW_m ∂ ∂ − = ∂ ∂ = 2 2 1 2 φ

La fuerza magnética se puede expresar como:

x L i Fm ∂ ∂ = 2 2 1 Ecuación 1-36