2. LAS INTEGRALES DEFINIDA E INDEFINIDA

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

2. LAS INTEGRALES DEFINIDA

E INDEFINIDA

U N A M

Facultad de Ingeniería Objetivo:

El alumno identificará los conceptos de las integrales definida e indefinida y los aplicará en el cálculo y obtención de integrales

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM Notación suma

• Sea a_k un numero real y k un entero. Se denota a la suma a₁+ a₂ + a₃ como:

• Nota: el subíndice ‘k’ puede ser diferente

1 2 3 1

...

a

a

a

a

a

 

  



U N A M

Facultad de Ingeniería

Notación suma

Propiedades de la notación suma: Para m>0 y n>0 1 1 1 1 1 1 1 1 1) ; . 2) ( ) 3) n n k k k k n n n k k k k k k k n m n k k k k k k m ca c a c cte a b a b a a a                

















U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM Notación suma

• Fórmulas de suma:

Si ‘n’ pertenece a los enteros:

1 1 2 1 2 2 3 1 ) ( 1) ) 2 ( 1)(2 1) ) 6 ( 1) ) 4 n k n k n k n k I c nc n n II k n n n III k n n IV k            









U N A M

Facultad de Ingeniería

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Método de exhausión

U N A M

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

La integral definida

U N A M

Facultad de Ingeniería

Límite de la suma de Reimann

1 1 1 1 1 1

(

)

( )

lim

( )

( )

A

y x

x

y x

A

y x

f

x

A

f

x

f x dx















 





 











_

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Límite de la suma de Reimann

1

( )

lim

( )

f x dx

f



x









U N A M

Facultad de Ingeniería

Definición

Si f es una función definida en el intervalo

cerrado [a,b], entonces la integral definida de f

desde a hasta b que se denota está dada por la igualdad: ( ) b a f x dx  1

( )

lim

( )

f x dx

f



x









U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Función integral

Teorema:

Si y=f(x) es continua en el intervalo [a,b], entonces y=f(x) es integrable en [a,b]

Este teorema establece una condición suficiente pero no necesario para que una función sea

integrable, es decir, si una función es continua es integrable, sin embargo si es integrable puede ser discontinua

U N A M

Facultad de Ingeniería

Propiedades de la integral definida

Sea f(x) y g(x) integrables en [a,b]

1) ( ) ( ) ; . 2) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 3) ( ) ( ) ( ) ; 4) ( ) ( ) ; ( ) ( ), [ , ] b b a a b b b a a a b c b a a c b b kf x dx k f x dx k cte f x g x dx f x dx g x dx f x dx f x dx f x dx a c b f x dx g x dx si f x g x x a b             





















U N A M Facultad de Ingeniería AVM

5)

[

];

6)

( )

( )

7)

( )

0

kdx

k b

a k

cte

f x dx

f x dx

f x dx







 











U N A M

Facultad de Ingeniería

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Teorema del valor medio

1

( )

( )

b

a

f c

f x dx

b

a







U N A M

Facultad de Ingeniería

Antiderivada

• Definición:

Existe una función F, y será antiderivada de otra función f en [a,b] si:

F’(x)=f(x)

Checar formulas de antiderivadas [ , ]

x a b

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Teorema Fundamental del cálculo integral

Parte 1 ó regla de Barrow

• La función de f(x) es continua en [a,b] • La función F(x) es tal que F’(x)=f(x)

[ , ] x a b  

( )

( ) |

( )

( )

f x dx



F x



F b



F a



U N A M

Facultad de Ingeniería

Teorema Fundamental del cálculo integral

• Parte 2, integral con extremo superior variable

( )

( )

'( )

( )

x

a

F x

f t dt

F x

f x









U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

U N A M Facultad de Ingeniería LA INTEGRAL INDEFINIDA

( )

( )

f x dx



F x



C



U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Recordando

U N A M

Facultad de Ingeniería

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Regla de L’Hôpital

• En el cálculo del límite de una función de la forma el resultado es únicamente se puede aplicar la siguiente regla:

( ) ( ) f x g x 0 0 ó  

( )

'( )

lim

lim

( )

'( )

f x

f x

g x

g x



U N A M

Facultad de Ingeniería

Regla de L’Hôpital

• Una aplicación de la regla de L’Hôpital es el cálculo de límites de funciones que tienen la

forma en donde el resultado es veamos:





( ) g x

U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Integrales Impropias

• Se denominan así a las integrales de la forma

Si:

a) La función integrando no está definida en algún valor de [a,b]

b) Al menos uno de los extremos es

( )

f x dx





U N A M

Facultad de Ingeniería

Integrales Impropias

a.1) Cuando la función f(x) no está definida en el extremo inferior de integración

0

( )

lim

( )

f x dx

f x dx







U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Integrales Impropias

a.2) Cuando la función f(x) no está definida en el extremo superior de integración

0

( )

lim

( )

f x dx

f x dx







U N A M

Facultad de Ingeniería

Integrales Impropias

a.3) Cuando la función f(x) no está definida en alguna parte del intervalo [a,b]

0 0

( )

lim

( )

lim

( )

f x dx

f x dx

f x dx











U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Integrales Impropias

• Si el límite existe, se dice que la integral

converge y el valor es el resultado del límite, si no existe se dice que diverge y su valor no

existe.

U N A M

Facultad de Ingeniería

Integrales Impropias

b.1) Cuando el extremo inferior es -

b.2) Cuando el extremo superior es



( )

lim

( )

f x dx

f x dx









( )

lim

( )

f x dx

f x dx







U N A M

Facultad de Ingeniería

AVM

Integrales Impropias

• Cuando ambos extremos son infinito

( )

lim

( )

lim

( )

f x dx

f x dx

f x dx









