TRANSFORMADA DE FOURIER (parte II) Alejandro Cámara

Alejandro Cámara ([email protected])

T

RANSFORMADA DE

F

OURIER

• Lente como operador de Fourier

– Argumento 1: intuición geométrica – Argumento 2: intuición matricial – Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa

– Problema 1 – Problema 2 – …

– Problema N

• Lente como operador de Fourier

– Argumento 1: intuición geométrica

– Argumento 2: intuición matricial – Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa

– Problema 1 – Problema 2 – …

– Problema N

Recordatorio

Espacio posiciones Espacio direcciones

• Recordemos de óptica geométrica: Lente como operador de Fourier

Un rayo que atraviesa el centro de la lente por el eje óptico no modifica su dirección

• Recordemos de óptica geométrica: Lente como operador de Fourier

Dos rayos paralelos coinciden en el mismo punto del plano focal

• Recordemos de óptica geométrica: Lente como operador de Fourier

¡La lente lleva rayos con la misma dirección a un mismo punto!

• Recordemos de óptica geométrica: Lente como operador de Fourier

• Recordemos de óptica geométrica: Lente como operador de Fourier

¡La lente hace que los rayos que parten del mismo punto lleven la misma dirección!

Lente como operador de Fourier

Espacio posiciones Espacio direcciones

• Lente como operador de Fourier

– Argumento 1: intuición geométrica

– Argumento 2: intuición matricial

– Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa

– Problema 1 – Problema 2 – …

– Problema N

• Recordemos de óptica matricial: Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

t = f l f

• Recordemos de óptica matricial: Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

t = f l f T T T T f z λ   =     1 1 T 0 1 1 l f λ     = −_{ }     1 0 T 1 1

• Recordemos de óptica matricial: Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

1 1 t f f f f f λ λ λ λ λ       _{ }   _{ } = _{   −   } = _{ − }   _{ }   _{ }     1 0 0 1 1 1 1 1 T 1 1 1 0 0 1 0 1

• Recordemos de óptica matricial: Lente como operador de Fourier

Actuación del sistema:

1 1 i i F i i F f f f f λ λ λ λ         _{= −}  ₌  ₋            _{ }   _{ }     0 1 r r p r 1 0 _p p

Transforma posición en dirección y viceversa

• Lente como operador de Fourier

– Argumento 1: intuición geométrica – Argumento 2: intuición matricial

– Argumento 3: intuición integral

• Problemas para casa

– Problema 1 – Problema 2 – …

– Problema N

• Recordemos de óptica ondulatoria:

– Propagación por el espacio libre: (aproximación de Fresnel)

Lente como operador de Fourier

(

)

2 ( ) d ( ) exp ikz z z z i f z z e f i π λ λ   = _ − _  

∫

r r r r r

• Recordemos de óptica ondulatoria:

– Propagación por el espacio libre: (aproximación de Fresnel)

– Transmitancia de una lente:

Lente como operador de Fourier

(

)

2 ( ) d ( ) exp ikz z z z i f z z e f i π λ λ   = _ − _  

∫

r r r r r 2 ( ) exp f i t f π λ   = _ − _   r r

Lente como operador de Fourier

(

)

2 ( )_L d ( ) exp _L ikf L e i f f i f f π λ λ   = _ − _  

∫

r r r r r

Lente como operador de Fourier

(

)

2 2 ( ) d ( ) exp exp L L ikf L L e i f f i f i f f π λ λ π λ ′   = _ − _     −     ×

∫

r r r r r r

Lente como operador de Fourier

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ( ) d d ( ) exp exp exp ikf L L F L L e i f f f i i f f f π λ λ π π λ λ   = − _ − _       − −       ×  

∫ ∫

r r r p p r r r r

Lente como operador de Fourier

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ( ) d d ( ) exp exp exp ikf L L F L L e i f f f i i f f f π λ λ π π λ λ   = − _ − _       − −       ×  

∫ ∫

r r r p p r r r r

Hasta el plano azul:

Lente como operador de Fourier

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ( ) d d ( ) exp exp exp ikf L L F L L e i f f f i i f f f π λ λ π π λ λ   = − _ − _       − −       ×  

∫ ∫

r r r p p r r r r

(

) (

2

)

2 2 d _L exp i _L exp i _{L L} f f π π λ λ    _{ } − _ − + − _   _{ }    

∫

r r r p r r Separando la integral en r_L

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 exp exp d exp 2 d exp 2 L L x y x L L y L L x i i x y i f i f f x p p x x y y p p f y y π π λ λ π λ π λ   ×     = _ + _{ } + _    +     × +    −       −  _   

∫

∫

Lente como operador de Fourier

(

) (

2

)

2 2 d _L exp i _L exp i _{L L} f f π π λ λ    _{ } − _ − + − _   _{ }    

∫

r r r p r r

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 exp exp d exp 2 d exp 2 L L x y x L L y L L x i i x y i f i f f x p p x x y y p p f y y π π λ λ π λ π λ   ×     = _ + _{ } + _    +     × +    −       −  _   

∫

∫

Lente como operador de Fourier

(

) (

2

)

2 2 d _L exp i _L exp i _{L L} f f π π λ λ    _{ } − _ − + − _   _{ }    

∫

r r r p r r

Lente como operador de Fourier

(

)

(

)

2 2 2 d exp 2 exp 2 x L L x x L p p x i x x f i i f x xp x f π λ π λ λ   −        = −  +   + +    

∫

Lente como operador de Fourier

(

)

(

)

2 2 2 d exp 2 exp 2 x L L x x L p p x i x x f i i f x xp x f π λ π λ λ   −        = −  +   + +    

∫

(

) (

2

)

2 2 d _L exp i _L exp i _{L L} f f π π λ λ    _{ } − _ − + − _   _{ }    

∫

r r r p r r

(

)

2 exp i _{x y} i f xp yp f π λ λ   = _− + _  

Lente como operador de Fourier

(

) (

2

)

2 2 d _L exp i _L exp i _{L L} f f π π λ λ    _{ } − _ − + − _   _{ }    

∫

r r r p r r

(

)

2 2 exp p_x p_y exp · f f f f i i iλ π x y iλ π λ λ     = _− + _ = _ − _    r p 

Lente como operador de Fourier

(

) (

2

)

2 2 d _L exp i _L exp i _{L L} f f π π λ λ    _{ } − _ − + − _   _{ }    

∫

r r r p r r

(

)

2 2 exp p_x p_y exp · f f f f i i iλ π x y iλ π λ λ     = _− + _ = _ − _    r p  2 2 ( ) d ( ) exp · ikf F e i f f i f f π λ λ   = _ − _  

∫

r r r p p

¡LA TRANSFORMADA DE FOURIER!

• Lente como operador de Fourier

– Argumento 1: intuición geométrica – Argumento 2: intuición matricial – Argumento 3: intuición integral

• Aplicación a filtrado óptico (hoy no hay problemas)

• Un haz propagándose en una dirección Filtrado de señales ópticas

• Otro haz en otra dirección Filtrado de señales ópticas

• Bloqueamos un haz en Fourier Filtrado de señales ópticas

• Situación final: un haz fue filtrado Filtrado de señales ópticas

( ) ( ) A i R i

• Sistema 4-f

• Sistema 4-f

Filtrado de señales ópticas