PROGRAMACIÓN LINEAL. Para qué valores x e y de la región considerada es máxima la función z 5x 2y? Y para qué valores es mínima?

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Almudena Casares Fernández https://matematicasalmudena.com/

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1 PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Sea la región del plano definida por las inecuaciones:

1 0 0 3 0 2 x y x y            

¿Para qué valores x e y de la región considerada es máxima la función z5x2y

? Y ¿para qué valores es mínima?

Solución:

Máxima en (3,2). Mínimo en (0,1).

2. En la región determinada por



x y 2;x y x ; 0;y0



, halla las coordenadas de los puntos en los que la función f x y( , ) 3 x4y alcanza su mínimo y su máximo valor.

Solución:

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2 PROGRAMACIÓN LINEAL

3. Halla los valores de x e y que hacen máxima la función z = 8x + 5y, sujeta a

las restricciones adjuntas: , 7 3 12 3 x y x y x y x        _{ }     Solución: Máximo en el (2,5).

4. Define mediante un sistema de inecuaciones el recinto representado en la figura:

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6 2 0 1 x y x y x y              

5. Con 80 kg de acero y 120 de aluminio se quieren fabricar bicicletas de montaña y de paseo que se venderán a 200 euros y 150 euros respectivamente. Para la de montaña son necesarios 1 kg de acero y 3 de aluminio y para la de paseo 2 kg de cada uno de los dos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y cuántas de montaña se deben fabricar para obtener el máximo beneficio?

Solución:

x= número de bicicletas de montaña y= número de bicicletas de paseo x e y números naturales.

 

, 200 150 2 80 3 2 120 0 0 B x y x y x y x y x y       _ _       

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6. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: ligero y pesado. Cada barril de crudo ligero cuesta 35 dólares y con él la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G); 0,2 barriles de combustible de calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T). Cada barril de crudo pesado cuesta 30 dólares y produce 0,3 barriles G; 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 de T. Halla las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades con un coste mínimo.

Solución:

 

, 30 35 0' 3 0' 3 900000 0' 2 0' 4 800000 0' 4 0' 2 500000 0 0 C x y x y x y x y x y x y       _ _  _ _       Mínimo coste en (20000,100000).

7. Un comerciante desea comprar dos tipos de frigoríficos, A y B. Los del tipo A cuestan 300 euros y los del tipo B cuestan 500 euros. Sólo dispone de sitio para 20 frigoríficos y de 7000 euros para hacer las compras. ¿Cuántos frigoríficos ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo

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que gana el 30% del precio de la compra?

Solución:

x = número de frigoríficos tipo A y = número de frigoríficos tipo B x e y números naturales

 

, 90 150 20 300 500 7000 0 0 G x y x y x y x y x y       _ _        Máximo beneficio en (0,14), (5,11), (10,8) y (15,5).

8. Sea el sistema de inecuaciones siguiente: x + y ≤ 120; 3y ≤ x ; x ≤ 100; y ≥ 10. a) Representa gráficamente la región factible y calcula sus vértices.

b) ¿En qué punto de esa región, F( x, y ) = 25x + 20y alcanza el máximo?

Solución:

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9. En el último salón internacional del automóvil celebrado en España, un pequeño fabricante presentó sus modelos Caaper (precio por unidad: 16000 euros) y Ena (precio por unidad: 15000 euros). El coste de producción por unidad es, respectivamente, 10400 y 9750 euros. Para la fabricación de una unidad del primer modelo se necesita 3 m2_{de un determinado producto textil}

y 7'5 kg de pintura especial, mientras que para la fabricación de una unidad del segundo modelo se necesita 4 m2_{de producto textil y 7 kg de pintura.}

Mensualmente existen en el almacén 96 m2_{de producto textil y 195 kg de}

pintura.

a) Representa la región factible.

b) Halla cuántas unidades de cada modelo interesa fabricar mensualmente para que las ventas de las mismas produzcan el máximo beneficio.

c) Calcula dicho beneficio.

Solución:

𝑥 = número de unidades Caaper 𝑦 = número de unidades Ena 𝑥 e 𝑦 números naturales

 

, 5600 5250 3 4 96 7, 5 7 195 0 0 B x y x y x y x y x y       _ _       

Nota: La función beneficio no es paralela a la recta 7,5𝑥 + 7𝑦 = 195. Máximo en (12,25). Beneficio 145950€.

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10. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes del tipo A contiene tres refrescos con cafeína y tres sin cafeína, y los del tipo B contienen dos con cafeína y cuatro sin cafeína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada paquete que venda del tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes ha de vender de cada tipo para obtener el máximo beneficio, y calcular dicho beneficio.

Solución: 𝑥 = paquetes tipo A 𝑦 = paquetes tipo B 𝑥 e 𝑦 números naturales

 

, 6 5 3 2 120 3 4 180 0 0 B x y x y x y x y x y       _ _       