TEMA 6: SISTEMAS AUTOMÁTICOS
1. Introducción a la automática2. Definiciones
3. Sistemas de control en lazo abierto 4. Sistemas de control en lazo cerrado 5. Criterios y especificaciones de diseño 6. Concepto de función de transferencia 7. Diagramas funcionales o de bloques 8. Representación de los sistemas de control
a. Combinación entre las líneas de actuación b. Combinaciones básicas de bloques
i. Conexión en serie ii. Conexión en paralelo
iii. Conexión en anillo con realimentación directa
iv. Conexión en anillo con realimentación a través de un segundo elemento c. Transposición de ramificaciones y nudos
d. Ejemplos de simplificación de diagramas de bloques 9. Estudio de la estabilidad de un sistema de control
a. Estudio de la estabilidad por el método de Ruth b. Respuesta en frecuencia. Diagrama de Bode 10.Ejercicios
1.
INTRODUCCIÓN A LA
AUTOMÁTICA
El control automático ha jugado un papel importante en el avance de la ingeniería. Se ha convertido en una parte importante en los procesos industriales.
El control automático resulta esencial en operaciones industriales como: el control de presión, temperatura o humedad; en el maquinado, manejo y armado de piezas en las industrias de fabricación, etc.
Como ejemplos de sistemas automáticos podríamos citar desde un simple tostador de pan, pasando por una lavadora, el control de velocidad de un motor, el control de temperatura de una vivienda, un sistema de defensa antiaéreo, el control de temperatura y presión de una central nuclear, etc.
La teoría de regulación automática, o teoría de control, estudia el comportamiento dinámico de un sistema frente a órdenes de mando o a perturbaciones.
2.
DEFINICIONES
Planta: Conjunto de componentes y piezas que van a tener un determinado objetivo Proceso: Conjunto de operaciones que van a suceder y que van a tener un fin determinado Sistema: Combinación de componentes que actúan juntos para realizar el control
Perturbaciones: Todas las señales indeseadas que intervienen de forma adversa en el funcionamiento de un sistema. Pueden ser internas, si se generan dentro del sistema, o externas, si se generan fuera del sistema y constituyen una entrada.
Entrada de mando: Señal excitadora del sistema que es independiente de la salida del mismo. Selector de referencia: Elemento que se coloca para tener una referencia. Unidad que establece el valor de la entrada de referencia. Se calibra en función del valor deseado en la salida del sistema. Entrada de referencia: Señal producida por el selector de referencia.
Unidad de control: Unidad que reacciona con una señal activa para producir la salida deseada. Realiza el trabajo de gobernar la salida.
Salida: Cantidad que debe mantenerse en un valor fijado de antemano. Se considera la variable gobernada.
Elemento de realimentación: Unidad que facilita medios para aumentar o disminuir la señal de salida. Señal activa: Señal que es la diferencia entre la señal de entrada de referencia y la salida realimentada. Sistema de control de bucle cerrado: Sistema en el que la salida afecta a la entrada, de tal manera que mantenga el valor de salida deseado.
3.
SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO
ABIERTO
La salida no tiene efectos sobre la entrada.
La variable que deseamos controlar puede divergir considerablemente del valor deseado debido a las perturbaciones externas, por lo que, en este tipo de sistemas interesa una gran calibración de los componentes que forman las diversas etapas, así como la no existencia de dichas perturbaciones. Supongamos que queremos mantener constante de una habitación, esta temperatura es la variable física a controlar.
El control sobre el proceso puede ser efectuado de diversas formas; una de las más usuales responde al siguiente esquema:
El operador actúa sobre la señal de mando (1), que en nuestro ejemplo es la temperatura de la habitación. Un componente del sistema llamado transductor, se encarga de transformar la señal de mando en otra más apta para su manipulación, denominada señal de referencia (2). Normalmente esta señal es débil, por lo que hay que amplificarla mediante un amplificador, para obtener una señal amplificada (3).
Esta señal amplificada actúa sobre el proceso para obtener la señal controlada (4), en nuestro caso, la temperatura que debe tener la habitación.
En los procesos de lazo abierto la variable tiempo tiene mucha importancia. En nuestro ejemplo, si la habitación está calentada por una caldera de gasóleo, el tiempo que está funcionando la caldera es decisivo para la temperatura. Si esta variable está bien diseñada, la temperatura en la habitación se parecerá más o menos a la deseada, mientras no cambien las condiciones externas.
Si hay perturbaciones del sistema (5), externas, por ejemplo, cambian las temperatura externa de la habitación, el sistema de no tendrá forma de saberlo, por lo que la caldera seguirá funcionando igual que cuando afuera hacía más frío o más calor. Entonces no obtendremos la variable deseada, por lo que tendríamos que recurrir a otro sistema de control, como el que se verá más adelante.
Un ejemplo de sistemas de control de lazo abierto son por ejemplo: un tostador de pan, lavadora automática, etc.
4.
SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO
CERRADO
Según hemos visto en el punto anterior, si en un proceso se presentan perturbaciones no podemos utilizar sistemas de control en lazo abierto.
Se definen los sistemas de control en lazo cerrado como aquellos en los que existe una realimentación de la señal de salida, o dicho de otra forma, aquellos en los que la señal de salida tiene efecto sobre la acción de control.
En algunas ocasiones, la señal controlada y la señal de referencia no son de la misma naturaleza, por ejemplo, la señal controlada puede ser una velocidad; y la señal de referencia una tensión.
El instrumento encargado de detectar la señal de salida para utilizarla de nuevo es el Captador. Este elemento mide la señal controlada y la transforma en una señal que puedan entender los demás componentes del sistema controlador. Los tipos más habituales de señales empleadas suelen ser neumáticas o eléctricas.
El siguiente paso consiste en comparar la señal de referencia con la señal controlada (que el captador ha transformado en señal realimentada), para determinar cuál es la diferencia existente entre ambas. Esta operación se realiza mediante un comparador que proporciona a su salida la señal activa.
Esta señal activa entra al regulador (también llamado controlador). El regulador debe actuar de manera que la variable controlada corrija los efectos de las perturbaciones, con la máxima rapidez y exactitud y el mínimo de oscilaciones posible. En el regulador se deben ajustar una serie de
parámetros, por ello se le considera el núcleo del sistema controlador.
A la salida del regulador obtenemos la variable o señal correctora precisa para conseguir un control óptimo del sistema. Pueden emplearse reguladores mecánicos, hidráulicos, neumáticos o eléctricos. Un ejemplo de control en bucle cerrado es el control de temperatura de una habitación mediante un termostato. Este termostato compara la temperatura indicada por el selector de referencia, con la temperatura ambiente de la habitación, proporcionando, en el caso de no ser iguales, una señal activa que actúa sobre la caldera para ponerla en marcha, hasta que las diferencias de temperaturas sean cero.
5.
CRITERIOS Y ESPECIFICACIONES DE
DISEÑO
La adaptación de la variable que estamos controlando ante una variación de la señal de mando o una perturbación, no es instantánea, sino que requiere un tiempo determinado. Esta variación en función del tiempo es muy importante para el diseño y dimensionado del sistema de regulación.
Muchas veces, cuando corregimos el valor de una variable, se lleva al sistema a un comportamiento oscilatorio en torno al valor deseado. Si este periodo oscilatorio desaparece pasado un tiempo, el sistema será estable. Si la amplitud se mantiene o aumenta, el sistema se volverá inestable. Hay tres condiciones que deben cumplir todos los sistemas:
1. Que sea estable
2. Que el error de régimen permanente permanezca por debajo de un límite (Error de régimen permanente: Estado de un sistema en el cual sus variables se han estabilizado y presentan un valor constante)
3. La respuesta transitoria del sistema ha de ser aceptable Las características de una respuesta transitoria son:
La sobreoscilación máxima de salida respecto a su valor de régimen permanente La velocidad inicial de respuesta
MP = Sobreoscilación máxima
tr = Tiempo de subida por el que se caracteriza la velocidad inicial de la respuesta
tp = Es el tiempo que tarda en alcanzar la sobreelongación máxima
ts = Tiempo de establecimiento. Es el tiempo necesario para que la salida alcance su régimen
permanente.
6.
CONCEPTO DE FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA
Para determinar la respuesta de un elemento, en lo que respecta al tiempo y la amplitud, se aplican señales conocidas a la entrada del elemento y se evalúan las señales a la salida del elemento. La respuesta obtenida se denomina respuesta transitoria.
La función de transferencia de un sistema es un cociente, que relaciona la respuesta dada por un sistema (dada por una función) y la señal de entrada al sistema (dada por otra función). También se llama respuesta en frecuencia.
Conocidas las ecuaciones que definen el comportamiento de los elementos de uns sistema, éste puede estudiarse mediante el método operacional de Laplace.
La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles, mediante la transformada de Laplace, en los problemas simples de álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales. Permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s. Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en
Se define como función de transferencia, y se indica por G(s), de un sistema o de un componente, el cociente entre la transformada de Laplace de la señal de salida y la transformada de Laplace de la señal de entrada:
La función de transferencia se obtiene transformando al dominio complejo la ecuación diferencial que caracteriza el comportamiento del sistema en el dominio temporal.
El denominador D(s) es conocido también con el nombre de ecuación de transferencia, pues incluye, a través de los valores de sus coeficientes, todas las características físicas de los elementos que
componen el sistema:
La estabilidad y comportamiento del sistema vienen determinados por las raíces de D(s), que son denominadas polos.
Para que un sistema sea estable, las raíces de D(s) deben estar en el semiplano real negativo, del semiplano complejo de Laplace.
Si los polos son reales positivos p>0 o p<0, la respuesta del sistema será:
ESTABLE INESTABLE
Si los polos son complejos p = α + jβ, la respuesta será:
ESTABLE INESTABLE
Un sistema se dice que es estable si para toda entrada acotada produce una salida acotada, independientemente de su estado inicial.
Existen varios métodos para obtener la función de transferencia de un sistema:
Experimentalmente, consistente en aplicar al sistema una señal conocida para obtener la función de transferencia a partir de la forma que presenta la función salida.
Apartir de la ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema, para hallar a continuación la relación
Ejemplo 2: Halla la función de transferencia que relaciona la tensión en una bobina sobre la que se aplica una intensidad variable.
Ejemplo 3: Determina la función de transferencia del siguiente circuito:
Si pasamos las ecuaciones al dominio de Laplace: Por tanto: Si llamamos al producto RC = T, tendremos:
7.
DIAGRAMAS FUNCIONALES O DE
BLOQUES
Una de las principales ventajas de la función de transferencia es la posibilidad de representar el
comportamiento de cada uno de los componentes mediante un bloque funcional, caracterizado por su función de transferencia. El sistema queda así configurado como un conjunto de bloques unidos entre sí mediante flechas que indican el sentido de circulación del flujo de señal.
La ventaja de los diagramas de bloques es que la función de transferencia del conjunto puede ser deducida a partir de las funciones de transferencia parciales, cuyo cálculo es más sencillo.
Además de los bloques definidos mediante la función de transferencia, intervienen los denominados comparadores o detectores de error, cuyo símbolo es el siguiente:
La misión que tienen es de efectuar la suma o diferencia de las señales, según el signo que indiquen las entradas. Físicamente, un comparador diferencial puede ser un amplificador diferencial, un
potenciómetro, etc.
8.
REPRESENTACIÓN DE LOS
SISTEMAS DE CONTROL
La combinación de bloques y funciones conducen a un diagrama de bloques que relaciona entradas con salidas. A diferencia de cualquier representación matemática, el diagrama de bloques nos indica claramente el flujo de señal del sistema real.
a) Combinación entre líneas de actuación
La interacción entre los distintos tipos de bloques se representa mediante líneas de actuación en las que las flechas indican el sentido del flujo de información.
b) Combinaciónes básicas de bloques
i. Conexión en serie
La señal de salida de un bloque constituye la entrada del siguiente. La función de transferencia total se obtiene multiplicando las funciones de transferencia de cada uno de los elementos.
ii. Conexión en paralelo
Al conectar elementos en paralelo se debe disponer de un nudo sumador a la salida.
iii. Conexión en anillo con realimentación directa
Sustituyendo el valor de R(s):
iv. Conexión en anillo con realimentación a través de
un segundo elemento
Su montaje es como el siguiente:
Sustituyendo R(s): Sustituyendo X(s):
c) Transposición de ramificaciones y nudos
En el proceso de reducción de diagramas de bloques, a veces interesa transponer un punto de bifurcación.
En cuanto a los puntos de suma pasa lo mismo, a veces interesa transponer un sumador hacia la derecha o hacia la izquierda, tal como se ve a continuación:
d) Ejemplos de simplificación de diagramas
de bloques
En este apartado y a modo de ejemplo vamos a realizar la simplificación de dos tipos de modelos de diagramas de bloques. En primer lugar estudiaremos un caso en el que hay lazos pero no se producen cruces entre ellos, en el segundo caso veremos un tipo más complejo en el cual uno de los lazos se cruza con otro.
LAZOS SIN CRUCES El diagrama de bloques será de este tipo:
Se resuelven en primer lugar los lazos más internos teniendo en cuenta las pautas estudiadas anteriormente:
Tendremos el resultado final:
LAZOS QUE SE CRUZAN El diagrama de bloques en este caso será:
En primer lugar se deshacen los cruces aplicando la transposición de bifurcaciones y nudos, y a continuación se continúa simplificando como en el caso anterior:
Con lo que obtenemos la función de transferencia total:
9.
ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD DE
UN SISTEMA DE CONTROL
La estabilidad de un sistema se determina por su respuesta a las entradas o perturbaciones. La estabilidad se puede definir de las siguientes formas:
Un sistema es estable si su respuesta al impulso tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito
Un sistema es estable si cada entrada limitada produce una salida limitada
Para determinar si un sistema es estable o no se emplean varios métodos. En este tema nos limitaremos al estudio de dos de ellos:
Método de Ruth: Nos da una idea global del sistema, nos dice si el sistema es estable o no, pero no nos indica nada acerca de lo lejos o cerca que estamos de la estabilidad o inestabilidad. En otras palabras, nos refleja la estabilidad absoluta.
Método del diagrama de Bode: Es un método en el cual representamos la ganancia y el ángulo de fase en función de la frecuencia, y, por tanto, vemos lo lejos o lo cerca que estamos de la estabilidad o inestabilidad. Nos proporciona la estabilidad relativa.
a) Estudio de la estabilidad por el método de
Routh
El criterio de Routh indica si hay o no raíces positivas en una ecuación polinómica del grado que sea, sin tener que resolverlas. Recordemos que para que un sistema sea estable, las raíces deben estar en el semiplano real negativo.
□ El polinomio en s se escribe de la siguiente forma:
Si cualquiera de los coeficientes es nulo o negativo y está presente un coeficiente positivo al menos, el sistema NO es estable.
Ejemplo 1: Sea el polinomio:
Coeficientes: {1,2,0,4,5} → Un coeficiente nulo → Existe una raíz o raíces imaginarias con parte real positiva → el sistema es inestable
Ejemplo 2: Sea el polinomio:
Coeficientes: {1,2,-3,4,5} → Un coeficiente negativo en presencia de coeficientes positivos → Existe una raíz o raíces imaginarias con parte real positiva → el sistema es inestable
□ Si todos los coeficientes son positivos, se colocan en filas y columnas de la siguiente forma: Sea el polinomio: TÉRMINOS s4 a0 a2 a4 s3 a1 a3 s2 b1 b2 s1 c1 s0 d1
Sólo se rellenan los valores an, los demás valores hay que calcularlos de la siguiente forma:
En este caso a5=0
En este caso c2=0
Se hace sucesivamente igual si hubiera más coeficientes. El diagrama resultante tien forma triangular. Una fila completa se puede multiplicar o dividir por un número positivo para simplificar los cálculos siguientes.
El sistema será estable si en la primera columna no existen cambios de signos, ya que el número de cambios de signo que existan es igual al número de raíces de la ecuación con partes reales positivas.
Ejemplo 1:
Determina aplicando Ruth, si el siguiente sistema es estable, dado por la ecuación característica:
En primer lugar, cumple la primera condición de que el polinomio está completo y todos los términos son positivos. TÉRMINOS s4 1 3 5 s3 2 4 0 s2 s1 s0 = =
= =
Hay dos cambios de signo en la primera columna: de 1 a -6 y de -6 a 5, pro lo tanto tenemos dos raíces con parte real positiva y, en consecuencia, el sistema es inestable.
Ejemplo 2:
Determina si el siguiente sistema es estable o no:
La ecuación característica del sistema es:
En primer lugar, cumple la primera condición de que el polinomio está completo y todos los términos son positivos. TÉRMINOS s4 1 3 1 s3 3 2 s2 s1 s0 = = = =
El sistema es estable porque no hay cambios de signo en la primera columna
En la aplicación del método de Routh se pueden presentar dos casos especiales:
PRIMER CASO ESPECIAL
Si un término de la primera columna en cualquier fila es cero, pero los demás no, o no hay término restante, el término cero se sustituye por un número positivo muy pequeño ε, y se calcula el resto. Si el signo del coeficiente sobre el cero (ε) es el mismo que el que está debajo de él, se considera que no hay cambio de signo en el sistema. Por tanto el sistema será estable (si no hay más cambios de signo)
Ejemplo:
Indicar si el siguiente sistema, dado por la siguiente ecuación característica es estable o no: TÉRMINOS s3 1 2 s2 2 2 s1 s0 = =
Arriba del 0 hay un 2 y debajo otro 2, por lo tanto no hay cambio de signo y el sistema es estable.
SEGUNDO CASO ESPECIAL
Si todos los coeficientes de una fila son cero, en tal caso se forma un polinomio auxiliar con los coeficientes del último renglón antes de los ceros y usamos los coeficientes de la derivada de este polinomio, para sustituir a estos ceros.
Ejemplo:
Indicar si el siguiente sistema, dado por la siguiente ecuación característica es estable o no: TÉRMINOS s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 s3 0 0 s2 s1 s0 La derivada del polinomio de la fila de ceros será:
Y seguimos el método con estos coeficientes:
TÉRMINOS s5 1 24 -25 s4 2 48 -50 s3 8 96 s2 24 -50 s1 112’6 s0 -50 En este ejemplo, observamos un cambio de signo, por lo que el sistema es inestable.
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE ROUTH AL ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
La utilidad del criterio de Routh en el análisis del sistemas es limitada, ya que no sugiere como mejorar la estabilidad relativa o como estabilizar un sistema inestable.
Sin embargo, los efectos de la modificación de uno o más parámetros de un sistema, se pueden determinar examinando los valores que producen la inestabilidad.
Ejemplo:
Determinar el rango K para que el sistema de la figura sea estable:
La ecuación característica es: TÉRMINOS s4 1 3 K s3 3 2 s2 7/3 K s1 s0 K
Para que el sistema sea estable, la primera columna no debe tener ningún cambio de signo, por lo tanto, lo que se tiene que cumplir es:
K>0 y >0
Por lo tanto 14>9K → K<14/9 y K>0
Para que el sistema sea estable K debe estar comprendida entre 0 y 14/9
b) Respuesta en frecuencia. Diagrama de Bode
Se entiende por respuesta en frecuencia de un sistema a la respuesta en régimen permanente ante una señal de entrada senoidal, de amplitud constante y frecuencia variable.
La respuesta de un sistema lineal a una señal senoidal es otra señal senoidal pero de distinta amplitud y ángulo de fase ( )
Para analizar un sistema, se varía la frecuencia de la señal de entrada dentro de un rango y se estudia la respuesta resultante.
Con las pruebas de respuesta en frecuencia se pueden determinar las funciones de transferencia de componentes complicados.
Las características de respuesta en frecuencia de un sistema se pueden obtener directamente de la función de transferencia, sustituyendo s por jω, donde ω es la frecuencia de la señal.
Si tenemos un sistema lineal:
Si X(t) es una función senoidal,
La salida en estado estacionario también será una señal senoidal de la misma frecuencia pero diferente amplitud.
La respuesta en régimen permanente puede estar dada por la expresión:
↔
G(jω) es por tanto un número complejo, y como tal, tiene módulo y argumento:
Número complejo = x+iy M = Módulo θ = Argumento Módulo de G(j∙ω) =
= Relación entre las amplitudes de entrada y salida El argumento de
= θ
En la prueba de respuesta en frecuencia, se varía la frecuencia de entrada ω, hasta que se haya cubierto todo el rango de frecuencias que interese.
DIAGRAMA DE BODE
En los diagramas de Bode se representa la función de transferencia G(j∙ω), mediante dos curvas separadas:
Curva de ganancia: En ella se representa la amplitud en escala logarítmica (decibelios) frente a la frecuencia, en escala logarítmica .
Curva de fase: Se representa el ángulo de fase = θ, frente a la frecuencia, en escala logarítmica .
Vamos a estudiar un par de elementos de estas gráficas, que nos permitirán analizar la estabilidad del sistema, y además nos indicarán en qué punto estamos con respecto a la estabilidad:
Margen de ganancia: Cuando la fase es de -180o, el margen de ganancia es (en la curva de ganancia), todo lo que falta hasta llegar a 0. Es decir, para que el sistema sea estable la curva debe estar por debajo de 0 en este punto. Mientras mayor sea el margen de ganancia, más se podrá incrementar la ganancia hasta que el sistema se muestre inestable (por encima de 0) Margen de fase: Cuando la ganancia pasa por 0, se ve en qué punto está la curva de fase (en la
curva de fase). Todo lo que falta para llegar a -180o, será el margen de fase. La curva de fase debe estar por encima de -180o para que sea estable.
Es decir, para que el sistema sea estable:
Curva de ganancia por debajo de cero (ángulo de fase=-180o) Curva de fase por encima de -180o (ganancia=0)
10.
EJERCICIOS
1) En el sistema de control de líquido que se indica en la figura, determinar: a. El diagrama de bloques del sistema
b. El diagrama de bloques operando el mismo sistema, pero si el controlador es una persona
2) Obtén la función de transferencia del siguiente circuito:
3) Determina la función de transferencia del lazo representado en la figura:
4) Simplifica el siguiente sistema de control hasta conseguir la función de transferencia del sistema:
5) En el siguiente circuito determina la relación que existe entre la tensión de salida (Us) y la
tensión de entrada (Ue)
6) Determina el valor de K para que el sistema de la figura siguiente sea estable:
7) Simplifica el siguiente sistema:
8) Halla la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques:
9) a) Representa el diagrama de bloques de un sistema con la siguiente función de transferencia:
b) Representa el diagrama de bloques resultante si el sistema anterior se realimenta negativamente con una red con función de transferencia: P3
10) Dado el diagrama de bloques de la figura: a) Obtenga la función de transferencia Z = f(Y)
b) Obtenga la función de transferencia Z = f(X)
11) Simplifica el siguiente diagrama de bloques:
12) Halla la función de transferencia del siguiete diagrama:
14)Halla la función de transferencia del siguiente diagrama de bloques:
15) Se muestra gráficamente la función de transferencia del elemento P1, mientras que P2 y P3 son
amplificadores de ganancia 4 y 2 respectivamente. Si la señal X de entrada toma valor 1’5, obtenga las señales en los puntos A, B, C y Z
16)Dado el diagrama de bloques de la figura:
a. Obtenga la función de transferencia Y = f(Z) b. Obtenga la función de transferencia Z = f(X)
