Ecuaciones trigonométricas
Por Sandra Elvia Pérez Márquez
En el curso de Fundamentos de Álgebra pudiste ver que:
Una ecuación es una expresión matemática que contiene un símbolo de igualdad. En ambos lados de la igualdad existen términos.
A continuación se presentan algunos ejemplos:
0
3
=
−
y
x
3
8
2
3
x
−
=
x
−
El propósito de una ecuación es representar una situación o problema real en lenguaje matemático.
De la misma forma y de acuerdo con Fuenlabrada (2007, p. 149)
“Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre funciones trigonométricas que sólo se satisface para un determinado valor o valores de ángulo”.
A continuación te presento algunos ejemplos:
1
)
(
2
sen
A
=
3
)
cos(
2
)
(
cos
2=
+
A
A
Para resolver una ecuación trigonométrica es necesario que consideres lo siguiente:
• Toma las funciones trigonométricas que se presenten en la ecuación como una variable. • Si se presenta más de una función trigonométrica, utiliza las identidades para simplificar la
expresión y deja solamente en función de una sola variable (seno, coseno, tangente).
• Utiliza tus conocimientos algebraicos como las propiedades de la igualdad, la factorización y la fórmula para la solución de cuadráticas, para despejar la función trigonométrica.
• Por último, despeja el valor del ángulo utilizando la función trigonométrica inversa
correspondiente (seno, coseno, tangente, etc.) para que lo puedas obtener por medio de la calculadora.
Antes de comenzar a resolver ecuaciones debes tomar en consideración que:
Los ángulos de una función trigonométrica pueden tomar cualquier valor (positivo o negativo). Además, los signos de las funciones trigonométricas pueden tener valores positivos o negativos dependiendo del cuadrante en que se encuentren.
En la tabla 1 se muestran los signos que tienen cada una de las funciones trigonométricas de
acuerdo al cuadrante en que se encuentre el triángulo.
Primer cuadrante 0° a 90°
Funciones trigonométricas y sus signos
+ = + + = = + = + + = = + = + + = = ) ( ) ( ) tan( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ca co A h ca A h co A sen + = + + = = + = + + = = + = + + = = ) ( ) ( ) csc( ) ( ) ( ) sec( ) ( ) ( ) cot( co h A ca h A co ca A Segundo cuadrante
90° a 180° Funciones trigonométricas y sus signos
− = − + = = − = + − = = + = + + = = ) ( ) ( ) tan( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ca co A h ca A h co A sen + = + + = = − = − + = = − = + − = = ) ( ) ( ) csc( ) ( ) ( ) sec( ) ( ) ( ) cot( co h A ca h A co ca A Tercer cuadrante 180° a 270°
Funciones trigonométricas y sus signos
+ = − − = = − = + − = = − = + − = = ) ( ) ( ) tan( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ca co A h ca A h co A sen − = − + = = − = − + = = + = − − = = ) ( ) ( ) csc( ) ( ) ( ) sec( ) ( ) ( ) cot( co h A ca h A co ca A
Cuarto cuadrante 270° a 360°
Funciones trigonométricas y sus signos
− = + − = = + = + + = = − = + − = = ) ( ) ( ) tan( ) ( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ca co A h ca A h co A sen − = − + = = + = + + = = − = − + = = ) ( ) ( ) csc( ) ( ) ( ) sec( ) ( ) ( ) cot( co h A ca h A co ca A
Tabla 1. Signos de las funciones trigonométricas de acuerdo al cuadrante.
A continuación te presento algunos ejemplos.
Ejemplo 1
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica para valores positivos de 0° a 360°.
0
1
)
cos(
2
A
−
=
SoluciónResolver una ecuación trigonométrica implica encontrar el valor que hace verdadera la ecuación. En este caso, el valor desconocido es el de
A
, que representa el ángulo de la función trigonométrica. Sin embargo, es conveniente despejar primero la función trigonométrica utilizando las propiedades de la igualdad.0
1
)
cos(
2
A
−
=
Despejando:cos(
A
)
2
cos(
A
)
=
1
1
)
cos(
A
=
Ahora, el problema es encontrar en qué cuadrantes el coseno es positivo y para qué valores de
A
el coseno es igual a 21 .
Para encontrar el valor del ángulo, puedes utilizar la función inversa del coseno y encontrar el valor en la calculadora científica.
Te recomiendo utilizar la calculadora científica UVEG. Si no sabes cómo acceder a ella, haz clic en
Apoyo 1.Guía sobre el uso de la Calculadora UVEG, localizado en la parte derecha de tu pantalla en
la sección Recursos, en el área de Lecturas.
Así
2
1
)
cos(
A
=
=
−2
1
cos
1A
Por lo tanto, el valor del ánguloA
=
60
°
Sin embargo, la calculadora científica solamente proporciona los resultados del ángulo del primer cuadrante, ya que en éste todas las funciones trigonométricas son positivas.
Si observas la tabla anterior, el coseno es positivo solamente en el primer y cuarto cuadrante.
Figura 1. Representación de ángulos de 60° y 300°.
Por lo tanto, los ángulos que hacen verdadera la ecuación son:
°
=
60
A
que representa el ángulo del primercuadrante y
A
=
360
°
−
60
=
300
°
que representa el ángulo de 60° en el cuarto cuadrante.Recuerda que los ángulos siempre se miden a partir del eje positivo de las ʻequisʼ (X).
Si deseas comprobarlo, puedes hacer las operaciones correspondientes en la calculadora científica.
5
.
0
)
300
cos(
5
.
0
)
60
cos(
=
°
=
°
Ejemplo 2Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica para valores positivos de 0° a 360°
0
)
cos(
2
)
(
2=
−
A
A
sen
SoluciónEn este caso tienes una ecuación con dos variables, por lo que es conveniente utilizar las identidades trigonométricas para dejar la ecuación en función de una sola variable.
De la identidad pitagórica
(
)
cos
(
)
1
2 2
=
+
A
A
sen
despeja elsen
2(
A
)
Así
sen
2(
A
)
=
1
−
cos
2(
A
)
y sustituyendo en la ecuación:(
)
2
cos(
)
0
2=
−
A
A
sen
1
cos
(
)
2
cos(
)
0
2=
−
−
A
A
Obtendrás una ecuación cuadrática de una sola variable. En ella reacomodas las cifras escribiendo primero el término cuadrático, después el lineal y por último el término independiente para aplicar la fórmula de las cuadráticas.
0
1
)
cos(
2
)
(
cos
2=
+
−
−
A
A
Comparando con una ecuación cuadrática de la forma
ax
2+
bx
+
c
=
0
)
cos(
,
1
,
2
,
1
b
c
x
A
a
=
−
=
−
=
=
Aplicando la ecuación cuadrática:
a
ac
b
b
x
2
4
2−
±
−
=
( )
2
8284
.
2
2
2
8
2
2
4
4
2
)
1
(
2
)
1
)(
1
(
4
2
)
2
(
)
cos(
2−
±
=
−
±
=
−
+
±
=
−
−
−
−
±
−
−
=
A
De aquí se desprenden dos respuestas:
4142
.
0
2
8284
.
2
2
)
cos(
4142
.
2
2
8284
.
2
2
)
cos(
=
−
−
=
−
=
−
+
=
A
A
De la primera respuesta, si despejas el valor de
A
comocos
(
2
.
4142
)
1−
=
−A
, la calculadora te marcaráun error, ya que los valores permitidos (rango) de la función coseno son de –1 a 1, por lo que puedes desechar esta respuesta.
De la segunda, al despejar el valor de
A
comoA
=
cos
−1(
0
.
4142
)
, el valor que proporciona la calculadora es deA
=
65
.
53
°
.El coseno es positivo, por ello recuerda que solamente el primer y el cuarto cuadrante son positivos y la calculadora sólo proporciona el ángulo del primer cuadrante. Para obtener el ángulo del cuarto
cuadrante solamente se lo restas a 360°.
Así para calcular el ángulo del cuarto cuadrante, el valor del ángulo será.
°
=
°
−
°
=
360
65
.
53
294
.
47
A
Por lo tanto, los ángulos que satisfacen la ecuación son:
°
=
°
=
47
.
294
53
.
65
A
y
A
Si quieres, puedes comprobarlo calculando el coseno de los ángulos obtenidos:
4142
.
0
)
47
.
294
cos(
4142
.
0
)
53
.
65
cos(
=
°
=
°
Ejemplo 3
Como se dijo al inicio de la lectura, el propósito de una ecuación es representar una situación real en lenguaje matemático. Por tal motivo a continuación te presento el siguiente problema.
La fórmula 1 2 1 2 1 tan m m m m + − =
θ
se usa para calcular el ángulo entre dos líneas que se cruzan, donde
m
1y
m
2 indican la pendiente (inclinación) de cada unade las rectas.
Utilizando esta información determina los ángulos internos de un triángulo formado por 3 rectas cuyas pendientes son
m
a=
0
,
m
b=
−
1
y
m
c=
3
.Figura 2. Triángulo formado por 3 rectas donde se conocen sus pendientes.
Solución
Comienza calculando el ángulo C. Utiliza
m
b=
m
2=
0
,
y
m
a=
m
1=
−
1
y sustituye en la fórmula2 1 1 2
1
tan
m
m
m
m
C
+
−
=
En este caso, como estás buscando los ángulos internos del triángulo, toma como resultado el valor encontrado.
Continúa con el ángulo A. Utiliza
m
b=
m
1=
0
,
y
m
c=
m
2=
3
y sustituye en la fórmula2 1 1 2
1
tan
m
m
m
m
A
+
−
=
1 1 1 ) 1 )( 0 ( 1 ) 1 ( ) 0 ( tan = = − + − − = C°
=
=
tan
−1(
1
)
45
C
3
1
3
)
0
)(
3
(
1
)
0
(
)
3
(
tan
=
=
+
−
=
A
Para encontrar el tercer ángulo, puedes realizar el mismo cálculo o utilizar la propiedad de los triángulos que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.
Así
A
+
B
+
C
=
180
°
, sustituyendo los ángulos conocidos°
=
°
+
+
°
45
180
56
.
71
B
Despejando el valor de B:°
=
°
−
°
−
°
=
180
71
.
56
45
63
.
44
B
Por lo tanto, los valores de los ángulos internos del triángulo son:
°
=
°
=
°
=
71
.
56
,
B
63
.
44
y
C
45
A
Referencia
Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México: McGraw-Hill.
Bibilografía
Ayres, F. Jr. & Moyer, R. E. (1991). Trigonometría (2ª. ed., Ruiz Sánchez, M. C. Trad.). México: McGraw-Hill.
Baley, J. & Sarell, G. (2004). Trigonometría (3ª. ed., González Ruiz, Á. C. Trad.). México: McGraw-Hill.
Hughes-Hallet, D., Gleason, A., Frazer, P., Flath, D., Gordon, S., Lomen, D., Lovelock, D., McCallum, W., Osgood, B., Quinney, D., Pasquale, A., Rhea, K., Tecosky-Feldman, J., Trash, J. & Tucker, T. (2004). Cálculo
aplicado (García Hernández, A. E. Trad.). México: CECSA.
Martínez, M. (1996). Matemática 3 Geometría Analítica. México: McGraw-Hill.
Swokowski, E. & Cole J. (2002). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica (10ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: International Thomson.
Zill, D. & Dejar, J. (1992). Álgebra y Trigonometría. (2ª. ed., Ramírez Mariño, G. Trad.). México: McGraw-Hill.
