ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 32
ALGUNASREFLEXIONESSOBRERESOLUCIÓNDEPROBLEMASENMATEMÁTICAS EdisonDeFariaCampos
UniversidaddeCostaRica CostaRica [email protected]
Campodeinvestigación: Resolucióndeproblemas Nivel: Medio,superior
Resumen.Elpropósitodeestecursoeseldecompartiralgunasreflexionesrelacionadasconla estrategiametodológicaderesolucióndeproblemasmatemáticos,revisarlasideasdePolya (1990),Schoenfeld(1985),delinformePISA,delaNCTMyespecialmenteelenfoque“OpenͲ Ended”(BeckeryShimada,2005)utilizadoporlosjaponesesenelaula.
Tambiénsedescribenaspectoshistóricosdelautilizacióndetecnologíasdigitalesenel proceso de resolución de problemas, principalmente las estrategias utilizadas por investigadoreseninteligenciaartificial.
Palabrasclave:resolucióndeproblemas
Introducción
Apartirdeladécadadelos60laresolucióndeproblemasharecibidounenormeimpulso,
especialmenteenlaeducaciónmatemática.EneldocumentoAgendaparalaacción
(1980) del Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM), la resolución de
problemasfuecolocadacomoelfocodelaeducaciónmatemáticaparaladécadadelos
80.EnlosdocumentoselaboradosporlaNCTMen1989yenel2000,laresoluciónde
problemasrecibióundestaqueespecial.Enlosestándaresparalamatemáticaescolar,la
resoluciónde problemas es consideradacomoparteintegraldelaprendizaje dela
matemáticayseconsideraquelosestudiantesdetodoslosnivelesdelsistemaeducativo
deberíanserpreparadosparaconstruirnuevosconocimientosmatemáticosmediantela
resolucióndeproblemas;resolverproblemasqueaparecenenmatemáticasyenotros
contextos;aplicaryadaptarvariasestrategiaspararesolverproblemas;monitoreary reflexionarsobreelprocesoderesolverproblemasmatemáticos.
Unimportanteconceptoenresolucióndeproblemaseseldeheurística.Heurísticason métodosexploratoriospararesolverproblemasy,utilizadacomosustantivo,significael
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 33 arteolacienciadeldescubrimiento.Comoadjetivoserefiereacosasmásconcretascomo
estrategiasheurísticas,reglas heurísticas,silogismosheurísticos. Sonestrategiasque guíaneldescubrimiento.
LanocióndeheurísticaseleatribuyeaPappus(300D.C.).Élpropusounaramade
estudiosdenominada“analyomenos”o“eltesorodelanálisis”o“elartederesolver
problemas”.Encienciascomputacionales(ANSI/IEEEEstándar100,1984),heurísticason
métodosoalgoritmosexploratoriosdurantelaresolucióndeproblemasenloscualeslas
solucionessedescubrenporlaevaluacióndelprogresologradoenlabúsquedadeun
resultadofinal(búsquedaheurística).Comoadjetivocaracterizatécnicasporlascuales
mejoraenpromedioelresultadodeunatarearesolutivadeproblemas.Sedicequehay
búsquedaciega,búsquedaheurística(basadaenlaexperiencia)ybúsquedaracional
(usandointeligencia).Lapsicologíahapropuestoqueunaheurísticaesunareglasencillay eficienteparaexplicarcómotomandecisioneslaspersonas,comolleganaunjuicioo
solucionanunproblema.Puedeconsiderarsecomounatajoalosprocesosmentales
activos,ahorrandooconservandorecursosmentalesperoquepuedeconduciraerrores
enlatomadedecisiones.ParaPolya,valelapenautilizartalesrecursosaúnconsiderando
losriesgosmencionados.Suargumentoesquesitomamosunaconclusiónheurística
comouna certezaentoncespodemosequivocarnosy sentirnosengañados,perosi
rechazamoscompletamentelasconclusionesheurísticasentoncesnolograremoshacer
ningúnprogresoenelprocesoderesolucióndelproblema.
Lamentablemente,cuandounresultadomatemáticoespublicadoenrevistascientíficas,
se oculta el razonamiento heurístico llevado a cabo por el matemático antes de
obtenerlo.Pero,desdeelpuntodevistadelaprendizaje,esterazonamientoheurísticoes bastanteimportante.
Polyapresentasuteoríaheurísticaatravésdeunaseriedepreguntaseinstrucciones
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 34 resolverproblemas:comprenderelproblema;crearunplan;ejecutarelplanyfinalmente
examinarlohecho(Polya,1990).Posteriormenteélpublicósuobra“Matemáticasy
RazonamientoPlausible”endostomos:enelprimertomoélpresentavariosejemplosde
problemas resueltos mediante inducción o analogía mientras que el propósito del
segundotomoeraeldedeterminarsiexisteonounalógicadelainducciónouncálculo
de credibilidad para las hipótesis y propone el siguiente silogismo heurístico:
implica y es verdadera entonces es más digna de crédito
A B B A , factible o plausible
(Polya,1966).Así,siABysilogramosprobarqueBesverdadera,entonces,después
deesademostración,laconjeturaAesmáscreíblequeantesdelademostracióndeB,
aunquenopodemosgarantizarqueAseaverdadera.AestepatrónPolyalollamapatrón
fundamentalinductivo.
OtraexcelenteobradePolyaconSzegoconsisteenlosdostomosdeproblemasy
teoremasenanálisis(Problemsandtheoremsinanálisis,1976)conproblemasque
constituyenunverdaderoretoparaloslectores.
Coneldesarrollodelacienciadelacomputaciónaumentaelinterésenelprocesode
resolución de problemas con la ayuda de las computadoras. Entre los primeros
investigadoresqueintentaronconstruirprogramasinteligentespararesolverproblemas
seencuentranNewellySimon(1959,1972).Suprimerprogramaconocido,el“Logic
Theorist”,intentabademostrarafirmacionesutilizandoreglasdelalógicadepredicados.
Eléxitodelprogramafueenormepues,enelcasodeteoremas,lograbaproduciruna
demostracióngeneralmentemásdirecta,máscortaquelasencontradasenlibrosde
lógica.En1957SimonyNewellcrearonunprogramacomputacionalconocidoporsus
siglas como GPS (General Problem Solver), una máquina universal para resolver
problemas.Laideaesquecualquierproblemaquepudieraserescritoenformasimbólica
pudieraserresueltoporlaGPS:demostracionesdeteoremas,problemasgeométricosy
juegosdeajedrezentreotros.Unproblemasedefinecomounasituaciónenlacualun
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 35 quequiere(NewellySimon,1972).Elentusiasmoinicialdebidoaléxitodelaestrategiase
fueapagando,ynodebidoalafaltadecapacidadcomputacionalsinodebidoala
profundidaddelosproblemasteóricos.Ladificultadfundamentalesqueestrategiaspara
resolverproblemasgeneralesson limitadas.Elserhumano utiliza conocimientode
dominioespecíficopararesolverproblemasendiferentescontextosmientrasqueelGPS teníaestrategiasbastantegeneralesperodébiles.Parafortalecerlohabríaqueagregar conocimientosdedominioespecíficopararesolverproblemas,posiblemente,detodaslas
áreas,loqueesunatareaimposible.En1967,10añosdespuésdehaberempezado,
NewellanuncióqueelprogramaGPShabíaterminado.Debidoaladificultaddecrear
máquinas inteligentes de propósito general, una alternativa consiste en intentar
desarrollarmáquinasqueimiteneldesempeñohumanoendominiosrestringidosdel
conocimiento.Elprimerintentoseriodeaplicaresteenfoquealternativoseconocecomo
Micromundos.LateoríadetrásdeMicromundosfueelprimerpasoenelcampodela
inteligenciaartificialparaproducirinteligenciaenunambienterestringido.Otralíneade investigaciónfructíferaeninteligenciaartificialeslaquetratadesistemasexpertosque
jueganalgúntipodejuego,comoporejemploelajedrez.Elcasomásfamosofueelde
DeepBlue,unacomputadoraIBMquevencióalcampeónmundialGaryKasparov.Este
programapuedeprocesar200.000.000demovimientosantesdedecidirlajugadaque
hará.
Enladécadadelosochentadelsiglopasado,Schoenfeld(1985)escribióunaobra
importanteenelcampoderesolucióndeproblemasmatemáticos.Élrealizóexperiencias
con estudiantes y profesores en las que les proponía problemas a resolver. Los
estudiantesteníanlosconocimientospreviosnecesariosparaafrontarsusoluciónylos profesoresteníanlaformaciónpreviaparahacerlo.Schoenfeldobservabacómoactuaban losestudiantesylosprofesoresdurantelaresolucióndeproblemas,losfilmaba,grababay anotabasusobservaciones.Unhallazgodeestosexperimentosfuequelasheurísticas planteadasporPolyanoeransuficientesparateneréxitoalresolverproblemasypropuso
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 36 cuatroestrategiasnecesariasparaunresolutordeproblemasdematemática:losrecursos
(conocimientosprevios);lasheurísticas;control(distribucióndelosrecursosduranteel proceso,laformadeutilizarlainformaciónpararesolverelproblemaqueincluyeel monitoreodelprocesoylatomadedecisiones.Unmonitoreonoefectivopuedellevaral fracasomientrasqueelprocesoopuestomejoralaposibilidaddeéxito)yelsistemade creencias(delprofesor,delosestudiantesylascreenciassociales).Schoenfeldargumenta quelascreenciasacercadelanaturalezadelasmatemáticas,laenseñanza,elaprendizaje,
derivadosdelasexperienciasenelaulaofueradeella,influyendurantelaresoluciónde
problemas.
Algunasiniciativasactuales
ElProgramaInternacionaldeEvaluacióndeEstudiantes(ProgrammeforInternational
StudentAssessment,PISA/OCDE)cuyoobjetivoprimordialeseldedesarrollarindicadores
queexpresenelmodoenquelossistemaseducativosdelospaísesparticipanteshan
preparado a sus estudiantes de 15 años para desempeñar un papel activo como
ciudadanosenlasociedad,contieneundominiodenominadoAlfabetizaciónMatemática
(Mathematical Literacy) relacionado con la formulación y resolución de problemas
matemáticosenunavariedaddedominiosysituaciones(http://www.pisa.oecd.org/).
Paraelloslaresolucióndeproblemasesunapartecentraldelcurrículoexplicitanlas característicasdeunproblemamatemáticoenesteámbito:
x Unasituacióncontextualizada,ubicadaenlarealidad,quepodríaocurrirenlavida
delestudianteobienunasituaciónqueelestudiantepuedaidentificarcomo
importanteparalasociedad.Utilizaryhacermatemáticasenunavariedadde
situacionesycontextosesunaspectoimportantedelaAlfabetizaciónMatemática.
x Unasituaciónquenopuedeserresueltamedianteaplicacionesdeprocedimientos
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37 invitealestudianteamoverseentredistintasrepresentacionesyaexhibircierto
grado de flexibilidad en la forma en que accede, administra y evalúa la
información. Además es importante resolver diferentes tipos de problemas
matemáticosmedianteunadiversidaddevías.
x Requiereconexionesentrecontenidosdediversasáreas.
EnlaevaluaciónutilizadaenPISA2003serequirióquelosestudiantesdemostraran
habilidadparacomprender elproblema, identificar las variables involucradas en el
problemaysusinterrelaciones;representarelproblemamediantedistintosregistrosde
representación(tabular,gráfico,simbólico,verbal);resolverelproblema,loquerequería
tomardecisionesodiseñarunsistemapertinenteobienhacerdiagnósticoyproponeruna
solución;proporcionarsentidoalasoluciónmatemática,entérminosdelasituaciónreal
inicialy,finalmente,comunicarlasolucióndelproblema,seleccionandoparaellolos mediosylasrepresentacionesapropiadas.
Enla décadade1970 seimpulsóenelJapón lainvestigaciónsobre resolución de
problemas.Porlogeneral,losproblemastradicionalesutilizadosenmatemáticasonde respuestacorrectaúnicaysonconocidoscomo“completos”o“cerrados”.Losproblemas quepermitenvariasrespuestascorrectasolosquepermitenelusodevariosmétodos
paraobtenerlaúnicarespuestacorrectasedenominan“abiertos”.Elenfoque“OpenͲ
Ended”utilizadoenlasescuelasjaponesasconsisteen(BeckeryShimada,2005): x Presentarunproblema“abierto”alosestudiantes. x Dareltiempoapropiadoparaqueellostrabajenindividualmenteoengruposenla búsquedadelasrespuestascorrectasalproblema.Lametaesqueelloslogren encontraralgonuevoenelproceso. x Compararlassolucionesobtenidas,argumentar,buscarjustificativasparalas solucionesencontradas,discutir,formularpreguntas.
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Porlogenerallasleccionesenlasinstitucioneseducativasjaponesassondesarrolladas alrededordeunaúnicaideacentralqueescuidadosamentedesarrolladayextendida. Elprofesor,quiénsirvedeguíaysoporteparalosestudiantesenlasetapasanteriores, buscanuevasideasycierralalecciónconlosaspectosteóricos,tomandoencuentatodos losaportesdadosporlosestudiantes.Lasventajasdeesteenfoqueson:losestudiantes participanmásactivamenteenlasleccionesyexpresansuspropiasideas;tienenmás oportunidadesparautilizarsuconocimientoyhabilidadesmatemáticas;seestimulala
creatividadenelaulayeltrabajocolaborativoentrelosestudiantes;cadalecciónpuede
proporcionarricasexperienciascognoscitivasalosestudiantesysubeelautoestima cuandounestudianterecibelaaprobacióndesuscolegas.Laprincipaldesventajadel
enfoqueconsisteenladificultadendiseñarproblemasabiertosqueseaninteresantesy
factiblesdeserdesarrolladosenunalección.
Lasprincipalescaracterísticasenunaleccióndematemáticaenescuelasjaponesasson: relaciónexplícitaentrelostemastratadosenlalecciónoenotraslecciones(mayor
coherencia eintegracióncognoscitivas); mástiempodedicadoatemasmatemáticos
importantes;mayortiempodetrabajoenactividadesnorutinarias,nuevassoluciones, aplicaciones;másconceptosdesarrolladosqueaquellossoloestablecidos.
Conclusiones
Enelcursotratamos con aspectosteóricos e históricosacercadela resolución de
problemasyplanteamosvariostiposdeproblemasmatemáticos,algunosdeellosson
problemas que aparecieron en distintas olimpiadas matemáticas regionales o
internacionales.También ejemplificamos tiposde problemasque siguen el enfoque
“OpenͲEnded”utilizadoenlasescuelasjaponesas.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 39 Referenciasbibliográficas
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