Álgebra I Práctica 1 - Conjuntos, Relaciones y Funciones

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Algebra I

Pr´

actica 1 - Conjuntos, Relaciones y Funciones

Conjuntos

SiAes un subconjunto de un conjunto referencialV, denotaremos porA0 al complemento deArespecto deV.

1. Dado el conjunto A={1,2,3}, determinar cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas i) 1∈A ii) {1} ⊆A iii) {2,1} ⊆A iv) {1,3} ∈A v) {2} ∈A 2. Dado el conjunto A={1,2,{3},{1,2}}, determinar cu´ales de las siguientes afirmaciones son

ver-daderas: i) 3∈A ii) {3} ⊆A iii) {3} ∈A iv) {{3}} ⊆A v) {1,2} ∈A vi) {1,2} ⊆A vii) {{1,2}} ⊆A viii) {{1,2},3} ⊆A ix) ∅ ∈A x) ∅ ⊆A xi) A∈A xii) A⊆A 3. Determinar si A⊆B en cada uno de los siguientes casos

i) A={1,2,3}, B={5,4,3,2,1}

ii) A={1,2,3}, B={1,2,{3},−3}

iii) A={x∈R/2<|x|<3}, B={x∈R/ x2<3}

iv) A={∅}, B=∅

4. i) Describir a los siguientes subconjuntos deRpor comprensi´on medianteuna solaecuaci´on:

{−3,1,5} , (−∞,2]∪[7,+∞)

ii) Describir a los siguientes subconjuntos de R2 por comprensi´on mediante una solaecuaci´on:

2 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1

i)

ii)

iii)

iv)

v)

vi)

1 1 −1 1 2 −2 (*) vii) viii)

(2)

5. Dados A={1,3,5,7,8,11}yB={−1,3,−5,7,−8,11}, hallarA∩B,A∪B,B−A yA4B. 6. Dados los subconjuntos A ={1,−2,7,3}, B = {1,{3},10} y C = {−2,{1,2,3},3} del conjunto

referencialV ={1,{3},−2,7,10,{1,2,3},3}, hallar

i) A∩(B4C) ii) (A∩B)4(A∩C) iii) A0∩B0∩C0

7. Dados subconjuntos A, B, C de un conjunto referencialV, describir (A∪B∪C)0 en t´erminos de intersecciones y complementos, y (A∩B∩C)0 en t´erminos de uniones y complementos.

8. Sean A,B yC conjuntos. Representar en un diagrama de Venn

i) (A∪B0)∩C ii) A4(B∪C) iii) A∪(B4C)

9. Encontrar f´ormulas que describan las partes rayadas de los siguientes diagramas de Venn, utilizando ´

unicamente intersecciones, uniones y complementos.

i) ii) iii) A B C A B C A B C

10. Hallar el conjunto P(A) de partes deAen los casos i) A={1} ii) A={a, b} iii) A={1,{1,2}} iv) A={a, b, c} v) A={1, a,{−1}} vi) A=∅

11. Sean AyB conjuntos. Probar que P(A)⊆ P(B) ⇔ A⊆B.

12. Sean p, qproposiciones Verdaderas o Falsas. Comparar las tablas de verdad de p ⇒ q, ∼q ⇒ ∼p, ∼p∨ q, ∼(p∧ ∼q)

(Cuando para probar p ⇒ q se prueba en su lugar∼ q ⇒ ∼ pse dice que es una demostraci´on por contrarrec´ıproco, mientras que cuando se prueba en su lugar quep∧ ∼qes falso (lleva a una contradicci´on), se dice que es una demostraci´on por el absurdo).

13. Asumamos que las siguientes dos afirmaciones son verdaderas:

• No todos los estudiantes de matem´atica de la facultad son argentinos.

• Todos los hinchas de River que no son argentinos, no son estudiantes de matem´atica de la facultad.

Decidir si esto implica:

• No todos los estudiantes de matem´aticas de la facultad son hinchas de River.

14. Determinar cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas cualesquiera sean los subconjun-tos A, B y C de un conjunto referencial V y cu´ales no. Para las que sean verdaderas, dar una demostraci´on, para las otras dar un contraejemplo.

i) (A4B)−C= (A−C)4(B−C) ii) A4B ⊆ (A4C)∪(B4C)

iii) C⊆A ⇒ B∩C⊆(A4B)0 iv) A4B =∅ ⇔ A=B 15. Sean A,B yC subconjuntos de un conjunto referencialV. Probar que

(3)

i) A∩(B4C) = (A∩B)4(A∩C) ii) A−(B−C) = (A−B)∪(A∩C) iii) A−(A4B) =A∩B iv) (A∩C)−B = (A−B)∩C v) A⊆B ⇒ A4B=B∩A0 vi) A⊆B ⇔ B0⊆A0 vii) C⊆A ⇒ (A∪B)∩C0= (B−C)∪(A4C) viii) A∩C=∅ ⇒ A∩(B4C) =A∩B

∗ 16. Un emisor eenv´ıa se˜nales de diferentes frecuencias a un receptorra trav´es de un cable conductor. Se dipone de filtros que dejan pasar a unas se˜nales s´ı y a otras no, dependiendo de sus frecuencias.

filtro A

e r

Cada uno de estos filtros tiene una llave que al accionarla invierte el espectro de frecuencias que el filtro deja pasar.

filtro A e r filtro invertido A’ e r

Los filtros pueden conectarse en serie o en paralelo para formar nuevos filtros.

A A B B conexión serie conexión paralela e r e r

Se considera ahora en el conjunto de todas las frecuencias y se identifica a cada filtro con el sub-conjunto formado por aquellas fecuencias que ´este deja pasar. Observar que con la identificaci´on reci´en establecida, se tienen las siguientes correspondencias:

Filtro invertido↔Complemento , Conexi´on serie↔Intersecci´on , Conexi´on paralela↔Uni´on i) Dise˜nar circuitos para la construcci´on de los siguientes filtros a partir de los filtrosA, B yC

(a) (A∪B)0 (b) (A∩B)0 (c) A∪(B∩C) (d) (A∪B)∩(A∪C) (e) (A∩B)∪(A∩C) (f) A4B

∗ 17. Dise˜nar circuitos para la construcci´on de los siguientes filtros a partir de los filtrosA, B, C, D (a) D4(A∩B)−C

(b) (D∩A)4(D∩B0)

∪ A∩B0∩(C−D) (c) (A0∩B∩C)4(D0∩C)

ii) Redise˜nar el siguiente circuito construyendo otro equivalente pero que utilice ´unicamente dos filtros. ¿A qu´e conjunto corresponde el filtro resultante?

(4)

e r A A B B’ B’

iii) ¿Son los siguientes circuitos equivalentes? En caso afirmativo escribir la identidad de conjuntos que resulta y demostrarla.

A B B C C A e r A C A B B C r e 18. Sean A={1,2,3},B={1,3,5,7}. Hallar A×A,A×B, (A∩B)×(A∪B). 19. Sean A,B yC conjuntos. Probar que

i) (A∪B)×C= (A×C)∪(B×C) ii) (A∩B)×C= (A×C)∩(B×C)

iii) (A−B)×C= (A×C)−(B×C) iv) (A4B)×C= (A×C)4(B×C)

Relaciones

19. Sean A={1,2,3} yB ={1,3,5,7}. Verificar si las siguientes son relaciones deA enB y en caso afirmativo graficarlas por medio de un diagrama con flechas deA enB, y por medio de puntos en el producto cartesianoA×B. i) R={(1,1),(1,3),(1,7),(3,1),(3,5)} ii) R={(1,1),(1,3),(2,7),(3,2),(3,5)} iii) R={(1,1),(1,3),(2,7),(3,3),(3,5)} iv) R={(1,1),(1,3),(1,7),(3,1),(3,3),(3,7)} v) R={(1,1),(2,7),(3,7)} vi) R={(1,3),(2,1),(3,7)} vii) R=∅ viii) R=A×B

20. Sean A={1,2,3} yB ={1,3,5,7}. Describir por extensi´on cada una de las relaciones siguientes deAenB:

i) (a, b)∈ R ⇐⇒ a≤b ii) (a, b)∈ R ⇐⇒ a > b

iii) (a, b)∈ R ⇐⇒ a·b es par iv) (a, b)∈ R ⇐⇒ a+b >6

21. Sea A = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Para cada uno de los siguientes gr´aficos describir por extensi´on la relaci´on enAque representa y determinar si es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica o transitiva.

(5)

i) ii) a b c d f e g h a b c d f e g h iii) iv) a b c d f e g h a b c d f e g h

22. Sea A={1,2,3,4,5,6}. Graficar la relaci´on

R={(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(6,4),(4,6),(4,4),(6,6)}

como est´a hecho en el ejercicio anterior.

23. Sea A={a, b, c, d, e, f}y seaRla relaci´on enArepresentada por el gr´afico

a

b

c

d f

e

Hallar la m´ınima cantidad de pares que se deben agregar a R de manera que la nueva relaci´on obtenida sea

i) reflexiva, ii) sim´etrica, iii) transitiva,

iv) reflexiva y sim´etrica, v) sim´etrica y transitiva, vi) reflexiva y transitiva

vii) de equivalencia.

24. En cada uno de los siguientes casos determinar si la relaci´onR enA es reflexiva, sim´etrica, anti-sim´etrica, transitiva, de equivalencia o de orden.

i) A={1,2,3,4,5},R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

ii) A={1,2,3,4,5,6},R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)}

iii) A={1,2,3,4,5},R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(1,3),(2,5),(1,5)}

iv) A=N,R={(a, b)∈N×N/ a+b es par}

v) A=Z,R={(a, b)∈Z×Z/|a| ≤ |b|}

vi) A=N,Rdefinida por aRb ⇔ bes m´ultiplo de a

vii) A=P(R),Rdefinida por XRY ⇔ X∩ {1,2,3} ⊆Y ∩ {1,2,3}

25. Sea Aun conjunto. Describir todas las relaciones enA que son a la vez i) sim´etricas y antisim´etricas

ii) de equivalencia y de orden

(6)

26. Sea A={a, b, c, d, e, f}. Dada la relaci´on de equivalencia en A:

R={(a, a),(b, b),(c, c),(d, d),(e, e),(f, f),(a, b),(b, a),(a, f),(f, a),(b, f),(f, b),(c, e),(e, c)}

hallar la claseadea, la claseb deb, la clasec dec, la clasedded, y la partici´on asociada a R. 27. ¿Cu´antas relaciones de equivalenciaRhay en Nque verifican las siguientes propiedades:

• Si dos elementos terminan en el mismo d´ıgito entonces est´an relacionados.

• {(1,2),(101,25),(4,4),(234,20166),(22,7),(153,158),(8,100),(17,27)} ⊆ R • (1,14),(32,8),(19,10),(309,666)6∈ R?

28. En el conjunto Z de n´umeros enteros, sea la relaci´on de equivalencia dada por la paridad: dos n´umeros est´an relacionados si y solo si tienen la misma paridad (son ambos pares o ambos impares). ¿Cu´antas clases de equivalencia distintas tiene? Hallar el representante m´as simple posible para cada clase.

29. En el conjunto de todos los subconjuntos finitos de N, sea la relaci´on de equivalencia dada por

el cardinal (es decir, la cantidad de elementos): dos subconjuntos est´an relacionados si y solo si tienen la misma cantidad de elementos. ¿Cu´antas clases de equivalencia distintas tiene? Hallar el representante m´as simple posible para cada clase.

Funciones

30. Determinar qu´e relaciones del ejercicio 19 son funciones deA en B, y qu´e relaciones del ejercicio 24 son funciones deAenA.

31. Determinar si Res una funci´on deAenB en los casos

i) A={1,2,3,4,5},B={a, b, c, d},R={(1, a),(2, a),(3, a),(4, b),(5, c),(3, d)}

ii) A={1,2,3,4,5},B={a, b, c, d},R={(1, a),(2, a),(3, d),(4, b)}

iii) A=R,B=N,R={(a, b)∈R×N/ a= 2b−3}

iv) A=Z,B=Z,R={(a, b)∈Z×Z/ a+bes divisible por 5}

32. Determinar si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas o biyectivas. Para las que sean biyectivas hallar la inversa y para las que no sean sobreyectivas hallar la imagen.

i) f :R−→R, f(x) = 12x25 ii) f :R−→R, f(x) = 12x3−5 iii) f :R2−→R, f(x, y) =x+y iv) f :R−→R3, f(x) = (2x, x2, x−7) v) f :N−→N, f(n) = n 2 sines par n+ 1 sines impar vi) f :N−→N, f(n) = n−1 sines par 2n sines impar vii) f :Z×Z−→Z, f(a, b) = 3a−2b viii) f :Z−→N, f(a) = 2a sia >0 1−2a sia≤0 33. i) Dadas las funciones

f :N→N, f(n) =

n2

2 si nes divisible por 6

3n+ 1 en los otros casos y g:N×N→N, g(n, m) =n(m+1), calcular (f ◦g)(3,4), (f◦g)(2,5) y (f◦g)(3,2).

(7)

ii) Dadas las funciones f :R→R, f(x) = x2 six≤7 2x−1 six >7 y g:N→R, g(n) = √ n, hallar todos losn∈Ntales que (f◦g)(n) = 13 y tales que (f◦g)(n) = 15.

34. Hallarf ◦g en los casos

i) f :R→R, f(x) = 2x2−18 y g:R→R, g(x) =x+ 3 ii) f :R→R, f(x) =x+ 3 y g:R→R, g(x) = 2x2−18 iii) f :NN, f(n) = n−2 sines divisible por 4 n+ 1 sinno es divisible por 4 y g:N→N, g(n) = 4n iv) f :R→R×R, f(x) = (x+ 5,3x) y g:N→R, g(n) = √ n

35. Hallar dos funciones f : N −→ N y g : N −→ N tales que f ◦g = idN y g◦f 6= idN, donde

idN:N−→Ndenota la funci´on identidad del conjuntoN.

36. Sean A,B yC conjuntos. Probar que sif :B −→Cyg:A−→B son funciones entonces valen i) sif◦g es inyectiva entoncesges inyectiva.

ii) sif◦g es sobreyectiva entoncesf es sobreyectiva iii) sif ygson inyectivas entonces f◦ges inyectiva iv) sif ygson sobreyectivas entonces f◦ges sobreyectiva

v) sif ygson biyectivas entoncesf◦g es biyectiva

37. Sea B el conjunto de todos losbytes, es decir de todas las expresiones de la forma b7b6b5b4b3b2b1b0,

dondebi = 0 o 1, 0≤i≤7, es lo que se llama unbit. Por ejemplo 10100110 y 00000001 son bytes.

Se consideran las siguientes funciones de B enB:

i) R(porright): desplaza cada bit un lugar hacia la derecha, pone un 0 en el bit 7 y descarta el bit 0. Por ejemploR(10100110) = 01010011 yR(00000001) = 00000000.

ii) L(porleft): desplaza cada bit un lugar hacia la izquierda, pone un 0 en el bit 0 y descarta el bit 7. Por ejemploL(10100110) = 01001100 yL(00000001) = 00000010.

iii) Ab (porand) efect´ua un ‘y’ l´ogico (∧) bit a bit con un byteb∈B dado (0∧0 = 0, 0∧1 = 0,

1∧0 = 0, 1∧1 = 1). Por ejemplo sib= 11110001,Ab(10100110) = 10100000 yAb(00000001) =

00000001.

iv) Ob (por orefect´ua un ‘o l´ogico’(∨) bit a bit con un byte b∈ B dado (0∨0 = 0, 0∨1 = 1,

1∨0 = 1, 1∨1 = 1). Por ejemplo sib= 11110001,Ob(10100110) = 11110111 yOb(00000001) =

11110001.

v) Xb (porxor) efect´ua un ‘o l´ogico exclusivo’ (Y) bit a bit con un byte b∈B dado (0Y0 = 0,

0Y1 = 1, 1Y0 = 1, 1Y1 = 0). Por ejemplo si b = 11110001, Xb(10100110) = 01010111 y

Xb(00000001) = 11110000.

CalcularR◦L,L◦R, y dadob∈B,Ab◦Ab,Ab◦Ob,Ob◦Ab,Xb◦Xb. Una sola de estas funciones

es biyectiva: descubrir cu´al y encontrar su inversa.

Combinatoria de conjuntos, relaciones y funciones.

38. Si hay 3 rutas distintas para ir de Buenos Aires a Rosario, 4 rutas distintas para ir de Rosario a Santa Fe, y 2 para ir de Santa Fe a Reconquista ¿cu´antos formas distintas hay para ir de Buenos Aires a Reconquista pasando por las dos ciudades intermedias?

(8)

39. ¿Cu´antos n´umeros de exactamente 4 cifras hay que contienen al d´ıgito 5? ¿Cu´antos hay que no contienen al d´ıgito 3?

40. Si Aes un conjunto connelementos, ¿cu´al es el cardinal del conjuntoP(A)?

41. Un estudiante tiene que cursar al menos 2 de las 6 materias que se dictan este cuatrimestre. ¿De cu´antas maneras puede hacerlo?

42. i) ¿Cu´antos n´umeros de 4 cifras se pueden formar con los d´ıgitos del 1 al 7?

ii) Ana tiene 7 libros distintos y tiene que elegir 4 libros para llev´arselos de viaje. ¿De cu´antas maneras puede hacerlo?

iii) Beto tiene que decidir los resultados de un concurso, en el que participan 7 personas y hay premios del primer al cuarto puesto. ¿De cu´antas maneras puede hacerlo?

¿Cu´ales son las diferencias entre los 3 enunciados? ¿Se animan a generalizarlos?

43. SeaAun conjunto connelementos. ¿Cu´antos subconjuntos dekelementos hay?. Explicar por qu´e hay la misma cantidad de subconjuntos dek elementos que den−kelementos.

44. Si Aes un conjunto connelementos yB es un conjunto conmelementos, ¿Cu´antas relaciones de AenB hay? ¿Y deB enA?

45. SiAes un conjunto connelementos ¿Cu´antas relaciones enAhay? ¿Cu´antas de ellas son reflexivas? ¿Cu´antas de ellas son sim´etricas? ¿Cu´antas de ellas son reflexivas y sim´etricas?

46. Definimos la relaci´onRenN×Nde la forma

(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a−d=c−b.

Probar que es una relaci´on de equivalencia. Para cada (a, b)∈N×N, hallar la cantidad de elementos

en su clase de equivalencia.

47. Sea X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Se define la relaci´onRenP(X) en la forma ARB ⇐⇒ A∩ {1,2,3}=B∩ {1,2,3}.

i) Probar queRes una relaci´on de equivalencia y describir por comprensi´on la claseAde A=

{1,3,5}.

ii) ¿Cu´antos elementos tiene la claseAdeA={1,3,5}?

48. Sea X={1,2, . . . ,20}. Se define la siguiente relaci´onRenP(X): ARB ⇐⇒ A−B=∅

i) Probar queRes una relaci´on de orden.

ii) ¿Cu´antos conjuntosB∈ P(X) cumplen que {1,2,3,4,5,6} RB? 49. Sea X={n∈N:n≤2016}. Definimos la relaci´onRenP(X) dada por

ARB⇔#(A4B)≤4.

Decidir si la relaci´on es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica, o transitiva. ParaA={4,8,15,16,23,42}

hallar la cantidad deB∈ P(X) tales queARB.

50. Sea A el conjunto formado por las 2016-tuplas x= (x1, x2,· · ·, x2016) de ceros y unos cuyos

ele-mentos suman 17. Definimos la relaci´onRenAdada por

xRy⇔

2016

X

i=1

xiyi= 0.

Decidir si la relacionRes reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica o transitiva. Para cada elementox∈A hallar la cantidad de elementosy∈Atales quexRy.

(9)

51. i) Hallar todas las particiones de los conjuntos A = {1}, B = {1,2}, C = {1,2,3}. ¿Cu´antas relaciones de equivalencia distintas hay enA,B yC?

ii) Sea B(n) la cantidad de particiones que tiene un conjunto de nelementos. ExpresarB(4) en funci´on deB(1),B(2) yB(3), y calcularB(4). (B(n) se llama eln-´esimo n´umero de Bell, por Eric Temple Bell, 1883–1960, matem´atico y autor de ciencia ficci´on escoc´es.)

52. Sean A = {1,2,3,4,5} y B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Sea F el conjunto de todas las funcionesf :A→B.

i) ¿Cu´antos elementos tiene el conjuntoF?

ii) ¿Cu´antos elementos tiene el conjunto{f ∈ F: 10∈/Im(f)}? iii) ¿Cu´antos elementos tiene el conjunto{f ∈ F: 10∈Im(f)}? iv) ¿Cu´antos elementos tiene el conjunto{f ∈ F: f(1)∈ {2,4,6} }? 53. Sean A={1,2,3,4,5,6,7}yB={8,9,10,11,12,13,14}.

i) ¿Cu´antas funciones biyectivasf :A→B hay?

ii) ¿Cu´antas funciones biyectivasf :A→B hay tales quef({1,2,3}) ={12,13,14}? 54. Sean A={1,2,3,4,5,6,7}yB={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

i) ¿Cu´antas funciones inyectivasf :A→B hay? ii) ¿Cu´antas de ellas son tales quef(1) es par?

iii) ¿Cu´antas de ellas son tales quef(1) yf(2) son pares?

55. ¿Cu´antas funciones biyectivas f : {1,2,3,4,5,6,7} → {1,2,3,4,5,6,7} tales que f({1,2,3}) ⊆ {3,4,5,6,7}hay?

56. Sea A={f :{1,2,3,4} → {1,2,3,4,5,6,7,8} tal que f es una funci´on inyectiva}. Sea Rla relaci´on enA definida por:

fRg ⇐⇒ f(1) +f(2) =g(1) +g(2) i) Probar queRes una relaci´on de equivalencia.

ii) Seaf ∈Ala funci´on definida por f(n) =n+ 2. ¿Cu´antos elementos tiene su clase de equivalencia?

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