solucion de problemas matematicas

P

rograma Focalizado

Geometría de proporción III

Marco Teórico

1. Congruencia de triángulos ( ≅ )

1.1 Definición

Dos triángulos son congruentes si poseen lados y ángulos congruentes.

Al superponer dos triángulos congruentes coincidirán totalmente (esta superposición se hace colocando ángulos congruentes correspondientes uno sobre otro).

1.2 Criterios de congruencia

Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen cuatro criterios:

• Lado, lado, lado (L.L.L.)

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

• Lado, ángulo, lado (L.A.L.)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruentes.

• Ángulo, lado, ángulo (A.L.A.)

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado comprendido entre ellos congruentes.

• Lado, lado, ángulo (L.L.A.)

Si dos triángulos tienen dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos respectivamente congruentes, entonces los triángulos son congruentes.

2. Semejanza de triángulos (~) 2.1 Definición

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes entre sí.

Si dos triángulos son semejantes, entonces sus lados homólogos son proporcionales.

2.2 Teoremas de semejanza

Matemática

• Dos lados proporcionales y el ángulo opuesto al mayor de ellos, igual. • Tres lados proporcionales.

2.3 Elementos homólogos

Los elementos homólogos en triángulos semejantes corresponden a los lados que están opues-tos a los mismos ángulos o elemenopues-tos que cumplen la misma función en cada triángulo (alturas, bisectrices, transversales y simetrales).

• Se tienen: ∆ ABC ~ ∆ DEF

M y N: puntos medios C A B M α ε β F D E N β ε α

En este caso, el segmento AB es homólogo al segmento DE ; el segmento BC es homólogo al segmento EF ; y el segmento AC es homólogo al segmento DF .

a. La razón entre elementos homólogos es constante.

Opuesto a α Opuesto a β Opuesto a ε Alturas Transv ersales Bisectrices En ∆ ABC BC EF = CA FD = AB DE = hc

h_f = tta_d = bbβB_βE = k con k constante de proporcionalidad

En ∆ DEF

b. La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes es igual a la razón entre sus elementos homólogos. P∆ABC P∆DEF = BC EF = CA FD = AB DE = hc h_f = tta_d = bbβB_βE = k

P

rograma Focalizado

c. La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos.

A∆ABC A∆DEF =

(

)

(

)

4. Geometría de proporción en la circunferencia 4.1 Teorema de las cuerdas

A B C D P • Si dos cuerdas se intersectan en un punto interior

de la circunferencia, entonces este punto determina segmentos en las cuerdas, de manera que el producto de las medidas de los segmentos de una de las cuerdas es igual al producto de las medidas de los segmentos de la otra.

Sea P punto interior de la circunferencia.

Sean AB y CD dos cuerdas de la circunferencia (El punto P es la intersección de ambas cuerdas).

Luego, en la figura se cumple que:

Matemática

4.2 Teorema de las secantes

A C D B P

Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes, el producto de una secante por su segmento exterior es igual al producto de la otra secante por su segmento exterior.

Sea P punto exterior a la circunferencia.

Sean PA y PC dos secantes a la circunferencia (El punto P es la intersección de ambas secantes). Luego, en la figura se cumple que:

PA ∙ PB = PC ∙ PD

4.3 Teorema de la tangente y la secante

A B

P

T

Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una tangente y una secante, entonces, el cuadrado de la medida de la distancia desde ese punto al punto de tangencia, es igual al producto de las distancias que hay desde el punto exterior a los puntos de intersección de la secante con la circunferencia.

Sea P un punto exterior a la circunferencia.

Sea PT una tangente a la circunferencia en el punto

T y PB una secante. Luego, en la figura se cumple

que:

P

rograma Focalizado

Ejercicios PSU

1. Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus transversales de gravedad, se forman dos

triángulos

A) equiláteros congruentes. B) acutángulos congruentes.

C) acutángulos escalenos congruentes. D) isósceles rectángulos congruentes. E) escalenos rectángulos congruentes.

2. En la figura, ∆ ABC ≅ ∆ EFG, entonces ¿cuánto mide FG? A) 4 cm B) 5 cm C) 12 cm A B 5 cm 13 cm G F E C D) 13 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores.

3. En la figura, ∆ ABC ≅ ∆ FGE. Si ∠ ACB = 58º, entonces ¿cuánto mide el ángulo GEH? A) 58º B) 61º C) 119º A B C G F E H D) 122º

E) Faltan datos para determinarlo.

4. En la figura, se tiene el rectángulo TQSR y el triángulo PQR equilátero de 30 cm de perímetro.

¿Cuánto mide la región sombreada? A) 25�3 cm2 B) 25 2 �3 cm 2 C) 5�3 cm2 R S Q P T D) 5 2 �5 cm2

Matemática

5. En la figura, ABCD es un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre

verdadera(s)?

I) ∆ AEB ≅ ∆ CEB II) ∆ DEC ≅ ∆ BEC

III) ∆ AED ≅ ∆ CED A) Sólo I B C A D E B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

6. En la figura, ABCD rectángulo, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) ∆ AEB ≅ ∆ CED II) ∠ BAC ≅ ∠ BDC III) ∆ AED ≅ ∆ BEC

A) Sólo I B C D E A B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III

7. En el triángulo PQR de la figura, ∆SQR ≅ ∆TRQ. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) SQ ≅ TR II) ∠ RQS ≅ ∠ QTR III) ∠ RQT ≅ ∠ SRQ A) Sólo I R S T Q P B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

P

rograma Focalizado

A) tienen igual perímetro. B) tienen igual área.

C) sus ángulos son proporcionales en una razón distinta de 1. D) sus lados son proporcionales.

E) sus tres lados respectivos coinciden.

9. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF, AB = 7 cm, AC = 14 cm y BC = 11 cm. Si DE = 21 cm, ¿cuánto

mide EF ? A) 3,6 cm B) 13,3 cm C) 33 cm B C A D F E D) 42 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores.

10. En la figura, ∠ QPR ≅ ∠ TSR, RS = 4 y SP = 9. ¿Cuál es la razón entre las áreas de los trián-gulos RST y RPQ? A) 16 169 B) 16 81 C) 8 26 Q S T P R D) 4 9 E) 8 9

11. En la figura, ∆ ABC ~ ∆ DEF. Si el área del triángulo DEF mide 36 cm2_{, el área del triángulo} ABC mide A) 48 cm2 B) 64 cm2 C) 96 cm2 A B C 32 D E F 24 D) 192 cm2

Matemática

12. ¿En cuál(es) de las siguientes figuras el triángulo M es semejante con el triángulo P?

I) _M P 48º 48º II) M P III) 81º 49º M 49º 50º P A) Sólo en I B) Sólo en III C) Sólo en I y en III D) Sólo en II y en III E) En I, en II y en III

13. En la figura, ABCD es un rectángulo, ¿cuál(es) de los siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) ∆ DCB ∼ ∆ AED II) ∆ EDA ∼ ∆ ADB III) ∆ ABE ∼ ∆ DAE A) Sólo I B) Sólo II D C B A 35º 55º E C) Sólo III D) Sólo I y II E) I, II y III

14. En la figura, PS⊥ QR. ¿Cuál(es) de las siguientes semejanzas es(son) verdadera(s)? I) ∆ MSR ~ ∆ QTR II) ∆ RMS ~ ∆ PQS III) ∆ PQS ~ ∆ PMT A) Sólo III B) Sólo I y II M R S Q T P 30º C) Sólo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

P

rograma Focalizado

15. En la figura, el triángulo ABC está inscrito en la semicircunferencia de centro O. ¿Cuál(es) de

las siguientes semejanzas es(son) FALSA(S)? I) ∆ ABC ~ ∆ ACD II) ∆ ACB ~ ∆ CDB III) ∆ DAC ~ ∆ DCB A) Sólo I D C A O B B) Sólo III C) Sólo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas.

16. Un punto R divide interiormente al trazo PQ en la razón 3 : 7. Si PR = 21 cm, entonces ¿cuánto

mide el segmento PQ? A) 70 cm B) 49 cm C) 30 cm D) 25 cm E) 9 cm

17. En la figura, D divide al segmento AB en la razón 4 : 5. Si DB = 35 cm, ¿cuánto mide AB ?

A) 79 cm B) 63 cm C) 44 cm A D B D) 34 cm E) 28 cm

Matemática

18. ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos PQ está(n) dividido(s) por el punto R en la razón 2 : 5?

I) P 2 R Q 5 II) P 10 R 25 Q III) P 4 R Q 14 A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III

19. En la figura, S es punto medio de PQ y el segmento RS triplica al segmento PR. El segmento PR es al segmento RQ como A) 1 : 8 B) 1 : 7 C) 1 : 6 P R S Q D) 1 : 4 E) 1 : 3

20. Un segmento está dividido interiormente en la razón 2 : 3 : 5 y la medida del segmento mayor

es 85 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento menor? A) 62 cm

B) 51 cm C) 34 cm D) 17 cm

P

rograma Focalizado

21. En la figura, R divide exteriormente al trazo PQ en la razón 8 : 3. Si PQ = 60 cm, entonces

¿cuánto mide PR? A) 96 cm B) 85,7 cm

C) 36 cm P Q R

D) 25,7 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores.

22. En la figura, AB y CD cuerdas, ED = 5, AE = 25 y BE = 8. ¿Cuál es el valor de CD ?

A) 28 B) 33 C) 40 D C A B E D) 45

E) Ninguno de los valores anteriores.

23. En la figura, el diámetro AB de la circunferencia mide 40 cm y la distancia entre el centro O

de la circunferencia y la cuerda CD es de 12 cm. ¿Cuánto mide CD ? A) 36 cm B) 32 cm D C A E O B C) 18 cm D) 16 cm

E) Faltan datos para determinarlo.

24. Una cuerda perpendicular al radio de una circunferencia de radio 13 cm, está a 12 cm del centro,

entonces ¿cuál es la longitud de la cuerda? A) 24 cm

B) 12 cm

C) 10 cm D) 5 cm

Matemática

25. En la figura, AB y AE son secantes, AC = 3 cm, AE = 12 cm y ED = 8 cm. La medida de BC

es A) 16 cm B) 13 cm C) 10 cm D E C A B D) 7 cm

E) ninguna de las medidas anteriores.

26. En la figura, O centro de la circunferencia, AC y DC son secantes, BC = 4 cm, DC = 16 cm y DE = 7 cm. El diámetro de la circunferencia mide

A) 32 cm B) 17 cm C) 16 cm B O A E C D D) 8,5 cm

E) ninguna de las medidas anteriores.

27. En la circunferencia de la figura, DC es tangente a la circunferencia en D, AC es secante, AC = 36 cm y AB = 20 cm. ¿Cuánto mide DC ? A) �26 cm B) 2�13 cm C) 24 cm B A C D D) 12�5 cm

E) Ninguna de las medidas anteriores.

28. Desde un punto situado a 53 cm del centro de una circunferencia de diámetro 56 cm, se traza

una tangente a la circunferencia, entonces ¿cuánto mide dicha tangente?

A) 52 cm B) 45 cm C) 10�14 cm D) �106 cm

P

rograma Focalizado

29. En la figura, ∠ QPR = α, ∠ RQP = β y ∠ PRQ = γ. Se puede determinar la medida del trazo

UT si: (1) ∠ TSU = α y ∠ SUT = γ (2) ∠ UTS = β A) (1) por sí sola. P Q R S T U 5 cm 10 cm B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

30. En la figura, AC y DB cuerdas. Se puede determinar la medida del trazo EA si:

(1) CE = 9 cm y DB = 22 cm. (2) DE = 18 cm. A) (1) por sí sola. A C D B E B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

Matemática

Tabla de corrección

Pregunta Alternativa Nivel

1 Análisis 2 Aplicación 3 Aplicación 4 Análisis 5 Análisis 6 Análisis 7 Análisis 8 Conocimiento 9 Aplicación 10 Aplicación 11 Aplicación 12 Análisis 13 Análisis 14 Análisis 15 Análisis 16 Aplicación 17 Aplicación 18 Análisis 19 Aplicación 20 Aplicación 21 Aplicación 22 Aplicación 23 Análisis 24 Análisis 25 Aplicación 26 Aplicación 27 Aplicación 28 Análisis 29 Evaluación 30 Evaluación

P

rograma Focalizado

Solucionario

1. La alternativa correcta es E.

En un triángulo equilátero la transversales de gravedad, la alturas, las simetrales y las bisectrices coinciden y son congruentes.

Por lo tanto, en el triángulo ABC equilátero, CD es altura, bisectriz, transversal de gravedad y simetral. A _{D B} C 60º 60º 30º 30º

Al trazar la transversal de gravedad se forman dos triángulos escalenos rectángulos congruentes.

2. La alternativa correcta es C. ∆ ABC ≅ ∆ EFG, entonces:

AB = EF = 13 cm, AC = EG = 5 cm, ∠ ACB = ∠ FGE = 90º, BC = FG A B 5 cm 5 cm 13 cm 13 cm G F E C Entonces:

Aplicando Teorema de Pitágoras en el triángulo EFG: FG = 12 cm (Trío pitagórico)

Matemática

Si ∆ ABC ≅ ∆ FGE, entonces: ∠ ACB ≅ ∠ FEG

∠ CBA ≅ ∠ EGF

∠ BAC ≅ ∠ GFE

Por lo tanto, ∠ GEH = 180º – 58º = 122º

4. La alternativa correcta es B.

Si el perímetro del triángulo PQR mide 30 cm, entonces el lado del triángulo PQR mide

10 cm.

R S

Q

P T

TQSR es un rectángulo, entonces Δ TQR ≅ Δ SRQ Área sombreada = Área ∆ PQR₂

Área sombreada = lado2 4 �3 2 (Reemplazando) Área sombreada = 102 4 �3 2 (Desarrollando) Área sombreada = 100 4 �3 _{(Simplificando)}

P

rograma Focalizado

Los lados del rombo son congruentes, sus diagonales son perpendiculares y se dimidian, enton-ces: AE ≅ EC DE ≅ EB AD ≅ DC ≅ CB ≅ BA Por lo tanto: ∆ AEB ≅ ∆ CEB ∆ DEC ≅ ∆ BEC ∆ AED ≅ ∆ CED I) Verdadera. II) Verdadera. III) Verdadera.

Matemática

Las diagonales del rectángulo son congruentes y se dimidian, entonces: I) Verdadera, ya que: AE ≅ CE EB ≅ ED AB ≅ CD Entonces: ∆ AEB ≅ ∆ CED II) Verdadera, ya que:

∠ BAC ≅ ∠ DCA (Alternos internos entre paralelas) por lo tanto: CE ≅ DE , entonces Δ DEC isósceles de base DC , por lo tanto: ∠ DCA ≅ ∠ BDC

Por lo tanto: ∠ BAC ≅ ∠ BDC

III) Verdadera, ya que:

AE ≅ BE AD ≅ BC ED ≅ EC Entonces: ∆ AED ≅ ∆ BEC

P

rograma Focalizado

Por definición de semejanza.

9. La alternativa correcta es C. B C A D F E 7 cm _{14 cm} 11 cm 21 cm

Δ ABC ~ Δ DEF, entonces:

AB DE = BCEF = ACDF = k AB DE = BCEF (Reemplazando) 7 21 = 11EF (Despejando EF ) EF = 21 ∙ 11 7 (Simplificando) EF = 3 ∙ 11 1 (Multiplicando) EF = 33 cm

Matemática

Si ∠ QPR ≅ ∠ TSR, entonces ST // PQ , por lo tanto Δ RST ~ Δ RPQ.

RS

RP = k (Reemplazando)

4

13 = k

La razón entre las áreas es k2_{, entonces:}

Área ∆ RST Área ∆ RPQ = k2 (Reemplazando) Área ∆ RST Área ∆ RPQ =

(

)

Si ∆ ABC ~ ∆ DEF, entonces:

AC

DF = k (Reemplazando) 32 _{= k (Simplificando por 8)}

P

rograma Focalizado

La razón entre las áreas es k2_{, entonces:}

Área ∆ ABC

Área ∆ DEF = k2 (Reemplazando)

Área ∆ ABC

36 =

(

)

2

(Desarrollando) Área ∆ ABC

36 = 169 (Despejando Área ∆ ABC)

Área Δ ABC = 36 ∙ 16 9 (Simplificando) Área Δ ABC = 4 ∙ 16 1 (Multiplicando) Área Δ ABC = 64 cm2 12. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que: M P 48º 48º

Como los ángulos son congruentes, entonces las rectas son paralelas, por lo tanto los triángulos son semejantes.

II) Falsa.

No se puede determinar que los triángulos son semejantes, ya que no podemos establecer si las rectas son paralelas.

M P

Matemática

III) Verdadera, ya que: 81º 81º 49º M 49º 50º P

Ubicando los ángulos que faltan, por criterio AA, los triángulos son semejantes.

13. La alternativa correcta es E. D C B A 35º 55º _35º 35º 55º 55º E Entonces: Δ DCB ∼ Δ AED Δ EDA ∼ Δ ADB Δ ABE ∼ Δ DAE I) Verdadera. II) Verdadera. III) Verdadera. 14. La alternativa correcta es D. M R S Q T P 30º 30º 60º 60º 60º I) Verdadera, ya que: ∠ SMR ≅ ∠ RQT, ∠ MRS ≅ ∠ TRQ, ∠ RSM ≅ ∠ QTR, entonces:

P

rograma Focalizado

II) Verdadera, ya que:

∠ MRS ≅ ∠ QPS, ∠ SMR ≅ ∠ SQP, ∠ RSM ≅ ∠ PSQ, entonces:

Δ RMS ~ Δ PQS.

III) Verdadera, ya que:

∠ QPS ≅ ∠ TPM, ∠ SQP ≅ ∠ PMT, ∠ PSQ ≅ ∠ MTP, entonces:

Δ PQS ~ Δ PMT

15. La alternativa correcta es E.

El triángulo ABC está inscrito en la semicircunferencia, entonces ∆ ABC rectángulo en C.

D C A B β β α α O I) Verdadera, ya que:

∠ CAB ≅ ∠ CAD, ∠ ABC ≅ ∠ DCA, ∠ BCA ≅ ∠ ADC, entonces: Δ ABC ~ Δ ACD

II) Verdadera, ya que:

∠ CAB ≅ ∠ BCD, ∠ BCA ≅ ∠ CDB, ∠ ABC ≅ ∠ DBC, entonces: Δ ACB ~ Δ CDB

III) Verdadera, ya que:

∠ ADC ≅ ∠ CDB, ∠ CAD ≅ ∠ BCD, ∠ DCA ≅ ∠ DBC, entonces:

Δ DAC ~ Δ DCB

Matemática

16. La alternativa correcta es A.

Si R divide al trazo PQ interiormente, en la razón 3 : 7, entonces:

P R Q 21 cm PR RQ = 37 (Reemplazando) 21 RQ = 37 (Despejando RQ ) RQ = 21 ∙ 7 3 (Simplificando y multiplicando) RQ = 49 cm Por lo tanto, PQ = PR + RQ = 21 + 49 = 70 cm. 17. La alternativa correcta es B. A D B 35 cm

Si D divide al trazo AB en la razón 4 : 5, entonces:

AD DB = 45 (Reemplazando) AD 35 = 45 (Despejando AD ) AD = 4 ∙ 35 5 (Simplificando y multiplicando) AD = 28 cm Por lo tanto, AB = AD + DB = 28 + 35 = 63 cm.

P

rograma Focalizado

II) Verdadera, ya que:

P 10 R 25 Q

PR

RQ = 1025 (Simplificando por 5) PR

RQ = 25

III) Verdadera, ya que:

P 4 R Q 14 10 PR RQ = 410 (Simplificando por 2) PR RQ = 25 19. La alternativa correcta es B.

Llevando los datos al dibujo:

P R S Q 4x 3x x PR RQ = x7x (Simplificando)

Matemática

20. La alternativa correcta es C.

Segmento mayor = 85 cm.

Segmento menor : Segmento del medio : Segmento mayor = 2 : 3 : 5, entonces: Segmento mayor = 5k 5k = 85 (Despejando k) k = 85 5 (Dividiendo) k = 17 Entonces:

Segmento Menor = 2k (Reemplazando k) Segmento Menor = 2 ∙ 17 (Multiplicando) Segmento Menor = 34 cm 21. La alternativa correcta es A. P Q R 60 cm PR QR = 83 (Reemplazando) 60 + QR QR = 83 (Desarrollando) 3(60 + QR) = 8QR (Distribuyendo) 180 + 3QR = 8QR 180 = 8QR – 3QR 180 = 5QR (Despejando QR ) 180 5 = QR (Dividiendo) 36 cm = QR Por lo tanto, PR = PQ + QR = 60 + 36 = 96 cm.

P

rograma Focalizado

Aplicando teorema de las cuerdas:

CE ∙ ED = AE ∙ EB (Reemplazando) CE ∙ 5 = 25 ∙ 8 (Despejando CE) CE = 25 ∙ 8₅ (Simplificando y multiplicando) CE = 40 Por lo tanto, CD = 40 + 5 = 45 23. La alternativa correcta es B.

Si el diámetro de la circunferencia mide 40 cm, entonces el radio mide 20 cm.

Como OE es radio de la circunferencia y perpendicular a la cuerda, ésta se dimidia.

D C A E O B 20 12 8 F G x x

Matemática

Como la cuerda CD es perpendicular al radio, la cuerda se dimidia.

D C A E O B 13 12 1 F G x x

Aplicando el teorema de las cuerdas:

EF ∙ FG = CF ∙ FD (Reemplazando) 1 ∙ 25 = x ∙ x (Multiplicando) 25 = x2 _{(Aplicando �26)} 5 = x Por lo tanto, CD = 10 cm

P

rograma Focalizado

Aplicando el teorema de las secantes:

AC ∙ AB = AD ∙ AE (Reemplazando) 3 ∙ AB = 4 ∙ 12 (Despejando AB ) AB = 4 ∙ 12 3 (Simplificando y multiplicando) AB = 16 cm Por lo tanto, BC = 16 – 3 = 13 cm 26. La alternativa correcta es A. B O A E C D 7 9 4 x

Aplicando el teorema de las secantes:

CA ∙ CB = CD ∙ CE (Reemplazando)

(x + 4) ∙ 4 = 16 ∙ 9 (Dividiendo la ecuación por 4)

x + 4 = 4 ∙ 9 (Multiplicando) x + 4 = 36 (Despejando x)

x = 36 – 4 x = 32

Matemática

Aplicando el teorema de la tangente y la secante:

CB ∙ CA = CD2 (Reemplazando) 16 ∙ 36 = CD2 _{(Aplicando �26)} �16 ∙ �36 = CD (Resolviendo) 4 ∙ 6 = CD (Multiplicando) 24 = CD Por lo tanto, CD = 24 cm 28. La alternativa correcta es B. B O A C D 53 25 28 28

Aplicando el teorema de la tangente y la secante:

CB ∙ CA = CD2 (Reemplazando) 25 ∙ 81 = CD2 _{(Aplicando �26)} �25 ∙ �81 = CD (Resolviendo) 5 ∙ 9 = CD (Multiplicando) 45 = CD Por lo tanto, CD = 45 cm

P

rograma Focalizado

(1) ∠ TSU = α y ∠ SUT = γ. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo UT, ya que aunque podemos establecer que los triángulos son semejantes, falta conocer el homólogo de UT .

(2) ∠ UTS = β. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo UT, ya que no podemos establecer si los triángulos son semejantes.

Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.

30. La alternativa correcta es C. A C D B E

(1) CE = 9 cm y DB = 22 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo EA, ya que faltan datos.

(2) DE = 18 cm. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo EA, ya que faltan datos.

Con ambas informaciones, es posible determinar la medida del trazo EA, ya que se puede aplicar el teorema de las cuerdas.