GEOMETRIA DESCRIPTIVA EUGENIA GARCIA.pdf

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

Facultad de

CIENCIAS F1SICO-MECANICAS

Geometria

~

CS@llilJJCS~[1~W

Por:

Eugenia Garcia Arenas.

f>ro!esora del Dpto

.

de

DISENO Y ANALlSIS GRAFICO

11111

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ESTE LIBRO LA MATERIA CURSAR LOS

PROLOGO

HA SIDO PREPARADO COMO TEXTO PARA GEOHETRIA DESCRIPTIVA 1 QUE DEBO~

ESTUDIANTES DE DISDW INDUSTRIAL Y DE INGD~IER!A EN LA UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER.

LA FH..JAUDAD DE ESTE TEXTO ES PROPORCIONAR EN FORMA SO~CILLA Y BREVE LA TEORIA APROPIADA PARA RESOLVER PROBLEl'1AS DE GEOHETRIA DESCRIPTIVA.

EL LIBRO CONST,A. DE OCHO CAPITULOS Y AL FINAL DE CADA UNO DE ELLOS HA Y UNA SERIE DE PROBLEHAS SELEéCIONADOS POR ORDEN DE DIFICIJL T AD QUE PUEDEN RESOLVERSE DIRECTAMENTE D~ EL LIBRO PARA MAYOR FACILIDAD Y ECONOHIA DE TlEHPO.

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:DNTEt\J IDO

caciitulo

1

proveccion ortooonal

definiciones -

planos cie

o~oyeccion

dimen=:.ioí1es

en

el espacio -

sistem2s

Ce

e:-¡

cu

ad

r211 te

tercer cwacirante

-pr·=·y·eccion E·n el

vistas: principales

2.dyacentes.

linea

oe

referencia

~asos

Gbtener vistas auxiliares.

el punto

reglas

para

la

proyeccion

situacion de un punto en

el

de

puntos

e=:.p.?.cio.

oroblemas

1 21 11

la

linea

longitud real de una linea

punto

espacio

-r-umbo

porcen t2.j

e

posicion

de

una

linea

en

rumbo -

reglas

para

medir

pendiente

pendiente

puntos sobre lineas.

problemas

capitulo

4

pares de lineas

lineas que se

cort2.n

angulo

real

el

el

en

lineas paralel2s lineas perpendiculares

~inea

mas corta de punto a linea -

lineas

que

se

cru:::c.n

lineas

q:_1e

se cru;:ar-,

prob: em2.s. 2.i

al

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34

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plano

representacion de planos -

puntos

sobre

¡:.:arios

posi.°{:ior.es

de

un olano

en

el

eso¿cio -

lineas contenid¿s en

pianos

oblicuo cerno filo -

tamano real de

planos -

rumbo -

oendiente

linea

mas

corta

de

~unto

a plano -

linea mas corta

con oendiente determinada de ur

punto

2

u:-1

pla:-.o.

e 2. ~· i

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rne~or~s

distanci?s entre

o

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se e r u :: a

:-1

dist2nci¿ ho-i::ontal mas corta

metodo

del

plano -

m~nor distanc~a

con

~endiente

dada entre lineas que se cruzan.

problemas

55 al 57

C: ¿; D i tl.,l l O 7 irs te

rsecc

icr1E

s

interseccion entre linea

y

plano:

metodo

de:

plano

como

filo -

metodo del plano

cortante

visibilidad

interseccion

entre

dos

planos:

metodo

del

plano

cortante -

metodo del plano

de

filo.

problemas

58

al

71

c2.pitulo

8

angulos.

angulo

entre

diedro.

problem¿;s

plano

al 77

y

linea

angulo

44

a

e::-.

.... •....:. ~,3

a

63

66

a

68

69

a 73

74

a

79

80 a 81

1. PROYECCION ORTOGONAL

PRO'r'ECCION

/ ¡

_-r

OBSERVADOR / ( IHFIHITO J /

/ /

PLANO DE PROYECCION

/ .

RAYO VISUAL

1.1

PROYECCION

ORTOGONAL.

SISTEMA DE REPRESENTAC!ON QUE UTILIZA RAYOS VISUALES PERPENDICULARES A LOS PLANOS DE PROYECCION.

DEFINICIONES

PUNTO

DE

VISTA:

SITUACION DEL OBSERVADOR RESPE.CTO AL OB.JETO.

PLANO

DE

PROYECCION:

PLANO IMAGINARIO SITUADO ENTRE EL OBSERVADOR Y EL OBJETO.

RAYO VISUAL:

ES LA LINEA TRAYECTORIA DEL RAYO VISUAL OBSERVADOR SITUADO EN EL INFINITO

QUE REPRESENTA QUE VA DESDE

AL OBJETO.

LA EL

PROYEC(:IQN:

IMAGEN DEL OBJETO SOBRE EL PLANO DE PROYECCION.

1.2

PLANOS

DE

PROYECCION

PLANO

HORIZONTAL.

E .. _;::, c

AQUEL DONDE TODOS LOS PUNTOS ESTAN A LA MISMA AL TURA (RESPECTO AL PLANO DE COMPARACION

DETERMINADO POR EL

NIVEL DEL MAR).

PLANO

FRONTAL.

PLANO DE PROYECCION SITUADO AL FRENTE DEL OBJETO Y PERPENDICULAR AL PLANO

HORIZONTAL. D E

PROYECCION.

PLANO

DE

PERFIL.

PLANO

TAHBIEN VERTICAL Y

PERPENDICULAR A LA VEZ A LOS PLAi'WS HORIZmn AL Y FRONTAL.

1.3

DIMENSIONES

EN

EL

ESPACIO

TODO OBJETO DEL ESPACIO DESDE EL MAS PEOUENO HASTA EL MAS GRANDE SE DEFINE Y SE MIDE POR TRES DIMENSIONES:

AL TURA.ANCHURA.PROFUNDIDAD.

AL TURA.

DIFERENCIA DE ELEYACIO~~ O~TRE DOS PUNTOS

Y

SE MIDE POR LA DISTANCIA Y E RT lC AL OHRE U~~ PAR DE PLANOS HORIZONTALES CONTENGAN PUNTOS. QUE DICHOS

ANCHURA.

E

S LA DISTANCIA DE IZQUIERDA A DERECHA DE LA

SITUACION DE DOS PUNTOS ENTRE UN PAR DE PLANOS DE PERFIL QUE LOS CONTENGA.

PROFUNDIDAD.

ES LA DISTANCIA DESDE EL FRENTE HASTA LA PARTE

POSTERIOR DE LA

SITUACION DE DOS PUNTOS ENTRE UN PAR DE PLANOS FRONTALES.

ANCHURA

1.4

SISTEMAS

DE

PROYECCION

PROYECCION DE VISTAS MUL TIPLES ES UN ARREGLO SISTEHATICO DE VISTAS ORTOGONALES SOBRE UN SOLO PLANO.

LA RELACION DE LAS VISTAS SE BASA EN EL PRINCIPIO DE QUE DOS VISTAS ADYACENTES SE APOYAN EN PLANOS DE PROYECCION PERPENDICULARES.

LOS SISTEMAS DE PROYECCION DE USO GENERAL SON: PROYECCION EN EL PRIMER CUADRMHE. SISTEMA EUROPEO PROYECCION EN EL TERCER CUADRANTE. SISTEMA AHERICANO

SISTEMA EUROPEO

ISOE

/ / . / SISTEMA AMEF~ICANO

ISOA

1.4.2.

PROYECCION

TERCER

CUADRANTE

LA PROYECCION EN EL TERCER CUADRANTE SE RIGE POR NORMAS AMERICANAS (1$0 A), SE SUPONE QUE EL OBSERVADOR VE A TRAVEZ DEL PLANO DE PROYECCION HACIA EL OBJETO.

EN EL SISTEMA DE TERCER CUADRANTE (AMERICANO) SE CONSIDERA EL OBJETO DENTRO DE UNA .. CAJA DE PROYECCION" ENVOLVENTE Y LAS VISTAS SE OBTIENEN PROYECTANDO DEL OBJETO AL PLANO DE PROYECCION.

EN ESTA SISTEMA EL PLANO DE PROYECCION ESTA ENTRE EL OBSERVADOR Y EL 08...JETO

SEIS

PROYECCIONES

EN

EL

SISTEMA

AMERICANO

P

LI

.-1.4.1.

PROYECCION

EN

EL

PRIMER

CUADRANTE

LA PROYECCION EN EL PRIMER CUADRANTE SE RIGE POR LAS NORMAS EUROPEAS

(ISO

El.

LA YIST A SUPERIOR DEL OBJETO SE OBTIENE PROYECTANDO EL OBJETO HACIA ABAJO, AL PLANO HORIZONTAL: Y LA YIST A FRONTAL SE OBTIENE PROYECTANDO EL OBJETO HACIA A TRAS, AL PLANO FRONTAL.

EN ESTE SISTEMA EL PLANO DE PROYECCION SIEMPRE ESTA DESPUES DEL OBJETO.

SEIS

PROYECCIONES

EN

SISTEMA

EUROPEO

LO

/ /

s

LI

p

7

1.5.

VISTAS

PRINCIPALES

SIENDO EL PROPOSITO DEL DIBUJO DE VISTAS DESCRIBIR CLARA Y COHPLETA LA FORMA

Y DIMENSIONES DE UN

OBJETO, EL NUMERO DE

VISTAS DEBE SER EL MINIHO. VISTAS SOBRE CADA UNO DE LOS PLANOS DE PROYECCION. LAS VISTAS PRINCIPALES so~~

SUPERIOR FRONTAL Y

LATERAL.

1.5.

VISTAS

AOYAc&Es:

VISTAS SEGUIDAS UNA DE OTRA, SEPARADAS POR UNA LINEA DE REFERENCIA.

1.7.

VISTAS

RE

LACIONDAS:

ANEXAS

o

VlST AS QUE HUESTRAN UNA

DIHENSlON COHUN. ENTRE

VISTAS ANEXAS HAY UNA

VISTA l N TER HE D t A (ADYACENTE COHUN).

í.8.

LINEAS

DE

REFERENCIA

REPRESENTA LA lNTERSECClON ENTRE SI DE LOS PLANOS DE PROYECClON.

SE DlBU..JA

UNA LINEA LARGA Y DOS CORTAS.

LA LINEA DE REFERENCIA DEBE LLEVAR NOMENCLATURA

EN LETRA HAYUSCULA

CORRESPONDIENTE A LA

INICIAL DEL PLANO QUE

REPRESENTA. ! - - A - 1

T

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l

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F

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1

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FILO

FILO

1 1

LO

-ANEXAS p ¡

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p_I __

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1.9.

PRO YE

CCIONE

S

AUXILIARES

ADEMAS DE PROYECCIONES SOBRE LOS SEIS PLANOS DE PROYECCION, EXISTEN OTRAS PROYECCIONES QUE SE HACEN ~JECESARIOS PARA DESCRIBIR CON ABSOLUTA CLARIDAD DETALLES DE LOS OBJETOS: ESTAS SON LAS PROYECCIONES AUXILIARES. LAS PROYECCIONES AUXILIARES A LAS VISTAS PRiNCIPALES Y ENTRE SI PUEDEN SER INFINITAS Y EN CADENA, SEGUN LAS NECESIDADES.

1.9.1.

PRIMERA AUXILIAR PRINCIPALES EN VISTAS AUXILIARES A LA VISTA SUPERIOR NO SE PIERDE AL TURA. EN YIST AS AUXILIARES A LA VISTA FRONTAL NO SE PIERDE PROFUNDIDAD. EN VISTA AUXILIARES A LA VISTA LATERAL NO SE PIERDE ANCHURA.

A CADA UNA DE LAS VISTAS

1.10.

PASOS

PARA

OBTENER

VISTAS

AUXILIARES

ESTABLECER LA DIRECCION VISUAL: QUE NOS DARA LA INFORMACION DESEADA.

DIBUJAR LA LINEA DE REFERENCIA: PERPENDICULAR A LA DIRECCION VISUAL. TRANSLADO TRANSLADAN ADYACENTE 1-3 1-4 3-6 DE DISTANCIAS PAR A DE LA VISTA ANEXA COHUN. LA CON NUEVA RELACION VISTA: SE AL PLANO ANEXAS

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L--____:::::..---¡

2 2-5

s

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CD/

ANEXAS DIBUJO ISOr.IETRICO

11

2. EL PUNTO

UN PUNTO ES UNA SIMPLE POSICION EN EL ESPACIO, TEORICAMENTE CARECE DE DIHENSIONES.

CON EXACTITUD UN PUNTO SE DEFINE EN DIBUJO CON EL CRUCE DE

DOS LINEAS FORHANDO UN ANGULO RECTO.

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ADYACENTE

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COMUN - - i - - -

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2.1. REGLAS PARA

LA PROYECCION DE

PUNTOS

1

1

F/LD

DOS PROYECCIONES ADYACENTES (SEPARADAS POR UNA LINEA DE REFERENCIA) DEBEN ESTAR UNIDAS POR UNA RECTA PERPENDICULAR A UNA LINEA DE REFERENCIA DE LOS PLANOS OUE LA· CONTIENE.

LA DISTANCIA QUE DEBE EXISTIR ENTRt: LA LINEA DE

REFERENCIA Y UNA DE LAS PROYECCIONES ADYACENTES ES IGUAL A AQUELLA QUE FIJA LA POStCION DEL PUNTO EN EL ESPACIO CON RESPECTO AL PLANO ADYACENTE COHUN.

-w

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---1

¡

ARRIBA 1 ARRIBA 1 DERECHA

lo

IZCUIERDA 1

ATR~

f

O ADELANTE ABAJO

1

ABAJO

t

t

1

2.2.

SITUACION

DE

UN

PUNTO

EN

EL

ESPACIO

PARA LOCALIZAR LA PUNTO ~JUME RICA RELACIO~JARSE CON CONOCIDA. POSICION DE Ul'J DETERMINADO O GRAFICAMENTE DEBE OTRO CUY A SITUACIO~J SEA EL PUNTO DE ORIGEN VIOJE A SER COMO EL PUNTO DE REFERENCIA PARA CUALQUIER SISTEMA DE MEDICIONES. 1 1

¡

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ATRAS 'ZOUIERDA

f

O DERECHA ~

-ADELANTE

l

ARRIBA IZQUIERDA O DERECHA ABAJO

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ADELANTE ,zou,.RDA

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A TRAS

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ARRIBA ADELANTE

'º

A TRAS ABAJO

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PROBLEMA 2

PROBLEMAS 1 A .3 \. \.

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PROBLEMA 1

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PROBLEMA 3

Loccllzor el punto dado

"n

!es vistas indicados.

F

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PROBLEMA 6

+I

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"

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~e

8 '

Locofizar l01J puntos 1 y 2 en la• vista• do~:

2. - 2 cms lzquk9rdo, 2 cm atroe, 1.5 arribo de 1.

A'{

o

.J.. 1

a+

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a

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_'

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*PROBLEMA 7

8

-=

1 cm adalonte c!e A .@.~.,•> .. ~_... ... _,,~~··

~

a

+

'

_'

~

ª+

_'

"

~

+

b

*PROBLEMA 8

B "" 2 cms obojo de ~. 8

=

3 crns o lo derecha de A

• Poro resolver en las dos vistes dodo.s.

'~(' .~

ª+

PROBLEMA 4

Lccalizor lo1t puntos A-8-C en los viata?r inciicodo.:r:

s

r:::- - -

-1

Li

1 F

F LO

1 . l 1 1 1 r 1

L

FI

- - - - - __ __:___i _._

·a

B 1 .5 cm# otros, 1 cm 'arriba, 1 .5 cm• · izqulordo ~ punto A

C '"' 2.5 cnu o<l~nte da 8, 1 cm o la derecha de

A.

2 cm oi>ojo de B.

a

-1'

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16

F/

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b

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PROBLEMA 5

U:Y--afrzcr A en todoll lcJs YÍ~G3 dadas, l!l¡ se -..ocuentro 1 cm odeicnle & 8.

PROBLEMA 1

Q

B en loa untos A Y

Lo-calizar los P A.. vistas dadas: la izquierda de

B - 2 cma o 1 s r " ':r-,_ ·\. ' e 1 ' Jt.--r o~

ª+

BLEMA 11

ª''º'

de i.

PRO

1 y 2 e, n las vistas dal ~ o a

d~s~n!!cho,

1 cm Locali.zar abcjo, 1 .:::.> cms 2 = 2 cms

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+a-+

3. LA LINEA

LA UNEA RECTA SE DEFl~~E COHO EL PASO O HOVlMIENTO DE UN PUNTO EN UN SOLO SENTIDO, CONFORMADA POR UN INFINITO NUHERO DE PUNTOS.

TEORICAMENTE LA LINEA TIENE LONGITUD INDEFINIDA, PERO DE ACUERDO A LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA SE LIMITA A UN SEGM[t,jTQ DE LINEA DEFINIDO.

AL SE GHE~HO DE Llt..JEA DEFINIDO SE LE DA ~WHENCLA TURA EN SUS EXTREMOS ( Ll~~EA

A

8,

LINEA

1

2

ETC.)

EL ORIGDJ DE LA LINEA S!EHPRE SERA LA PRIMERA LETRA O NUMERO QUE SE NOMBRE.

LINEA PARALEL1~ A LA LINEA DE REFERENCIA / / 1 / 2

+--r---1

1 1

¡'

LONGITUD//

.~

1

---t--~

2 RE~

LONcrn.JO

RfAL

3.1

LONGITUD

REAL

DE

UNA

LINEA

ES LA DISTANCIA REAL QUE EXISTE ENTRE SUS DOS PUNTOS EXTREHOS.

CUALQUIER LINEA EN EL ESPACiO PARALELA A UN PLANO DE PROYECCION APARECERA SOBRE ESE PLANO EN SU VERDADERA LONGITUD.

EN VISTAS UNA LINEA PA.RALELA A LA LINEA DE REFERENCIA APARECERA EN SU VERDADERA LONGITUD EN LA VISTA ADYACENTE.

3.2

LINEA

COMO

PUNTO

UNA Ll~~e'.'"- SE VERA COMO PUNTO, CUANDO SE PROYECTA SOBRE UN PLANO DE PROYECCIONES PERPENDICULAR A LA LINEA DE ESPACIO.

LA LINEA EN PROYECCION DEBE APARECER PRIHERO EN LONGITUD REAL PARA LUEGO TENER LA PROYECCION DE LA LINEA COMO PUNTO.

TODAS LAS PROYECCIONES ADYACENTES A UNA LINEA COMO PUNTO, MUESTRAN LA VERDADERA LONGITUD DE LA LINEA.

/ PLANO l •. ---:-··- PERPENOICVLAR A LA LINEA .;.,_ .• o b

1--+

--1

1-0 1 LR 1 b : 1 ___,I ~ bo 1

-~

___ _J_ ___

s

F o b

LINEA 081.JCUA COl.10 PUNTO

3.3 POSICION DE LA Ll~~EA EN El ESPACIO _J <t

1-z

o

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1 1 2

V-Fj[?

TODOS LOS PUNTOS A LA MISMA ALTURA LONGITUD REAL EN SUPERIOR Y FRONTAL

TODOS LOS PUNTOS A LA MISMA ALTURA LONGITUD REAL EN SUPERIOR Y

LATERAL

TODOS LOS PUNTOS A LA

MISMA ALTURA .. LONGITUD REAL EN SUPERIOR.

LOS DOS PUNTOS TIENEN IGU/1L DIMENSION DE ANCHO E !GU.A.l_

PROFUNDIDAD. LONGITUD REAL EN FRONTAL Y

LATERAL

LOS DOS PUNTOS TIENEM

IGUAL PROFUNOIDil.D.

LONGITUD RE.Al. EN FRONTAL

LOS DOS PUNTOS TIENEN

IGUAL ANCHO. LONGrTUD

REAL EN LATERAL

EN iODAS LAS PROYECCIO-NES APARECE CON

INCLINACION RESPECTO A LOS PLANOS DE

PRO-YECCION. LONGITUD REAL EN NINGUNA DE LAS

3.4

RUMBO

RUHBO ES EL TERMINO UTILIZADO PARA DESCRIBIR LA DIRECCION O CURSO DE UNA LINEA SOBRE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA.

EL RUMBO DE UNA LINEA, ES LA RELACION ANGULAR DE LA LINEA CON RESPECTO AL NORTE O AL SUR EXPRESADA EN GRADOS.

EL NORTE ESTA DIRIGIDO HACIA LA PARTE SUPERIOR DEL DIBUJO (ORIENT ACION DE LOS MAPAS) A MENOS QUE SE ESPECIFIQUE.

EL ANGULO QUE HARCA EL RUMBO. SIEMPRE ES HENOR DE

goo.

N

w

E

ORIGEN A a RUMBO 60°SE

L

-3.4.1

REGLAS

PARA

MEDIR

EL

RUMBO

N b

s

_s

- -

-- - - --

-b

s

F

ORIGC:N B RUMBO 60° NW

EL RUMBO SOLO PUEDE MARCARSE EN UNA PROYECCION HORIZONTAL (SUPERIOR).

DE

go•

EL ANGULO DEL RUMBO SIEMPRE E5 HDWR

HA Y QUE DEFINIR EL ORIGEN DE LA LINEA y A OUE TIENE DOS SENTIDO:)

LA LINEA TIENE LONGITUD INDEFINIDA.

21

3.5

PENDIENTE

LA PENDIENTE DE UNA LINEA.. ES LA TANGENTE AL ANGULO, FORMADO ENTRE LA LINEA Y UN PLANO HORIZONTAL.

LA PENDIENTE REAL DE UNA LINEA DEBE MEDIRSE EN VISTAS DE ELEVACION (VISTAS ADYACENTES A LA. SUPERIOR) QUE MUESTRE LA LINEA EN VERDADERA LONGITUD.

LA PENDIENTE PUEDE SER ASCENDENTE o DEScnmENTE.

LA PENDIOHE ES ASCENDENTE CUANDO LA LINEA SUBE Y SE ACERCA AL PLANO SUPERIOR (+).

LA PENDIENTE ES DESCENDENTE CUANDO LA LINEA BAJA Y SE ALEJA DEL PLANO SUPERIOR (-).

8

ANGULO DE PENDIENTE

~.PLANO

HORIZONTAL

PENDIENTE DE UNA UNV.. INv'"'UNADA

FRONTN.

o,.---~ b

s

-F

PLANO HOO IZONTAL.-=r:==ll!==-:::i;:===-=

~

~ ~

z

~

ti

(lJ (/"/ ~ o Af.lGULO DE PENDIENTE

PENDIENTE DE LA LINEA

A-8

DESCENDIENTE O NEGATIVA PENDIENTE DE LA Ll~~EA 8-A ASCENDIENTE O POSITIVA

3.5.2

PENDIENTE

EN

PORCENTAJE

EL ANGULO DE PENDIENTE GENERALMENTE SE EXPRESA n~

GRADOS.

SIN EMBARGO EN INGENIERIA CIVIL LA PENDIENTE SE EXPRESA COMO UN PORCENTAJE DE DECLIVE O COMO UNA INCLINACION. DADA POR LA EXPRESION:

l.

DE DECLIVE : SLJBIDA VERTICAL X 100 RECORRIDO HORIZONTAL

PARA ENCONTRAR EL PORCENTAJE DE DECLIVE DE CUALQUIER LINEA, LA LINEA DEBE APARECER PRIMERO EN LONGITUD REAL EN UNA VISTA DE ELEVACION.

EL CALCULO DEL DECLIVE SE HACE DIBUJANDO POR EL PUNTO DE ORIGEN DE LA LINEA EL PLANO HORIZONTAL VISTO COMO FILO (LINEA PARALELA A LA LINEA DE REFERENCIA

S/ Al

Y MIDlEN"VO A TODO LO LARGO DE ESTA LINEA

100

UNIDADES, LA SUBIDA SE MIDE PERPENDICULAR Al PLANO HORl_ZONT AL ESTABLECIDWO DE ESTA MANERA EL PORCENTAJE DE DECLIVE.

~~

""117

-~

-R~CORRIDO

HORIZONTAL

~

_{s '}

... _{- - PLANO HORIZONTAL} b

I

'(:' 0 - -SUBIDA VERTICAL ... ... o ...__..._

.F

a b

PENDIENTE EN PORCENTAJE

3.5.3

PENDIENTE

EN

PORCENTAJE

DE

UNA

LINEA,

SIN

UTIUZ AR

VISTA

AUXILIAR

PARTIENDO DE CUALQUIERA DE LOS EXTREMOS DE LA LINEA SE HIOEN 100 UNIDADES SOBRE LA LINEA EN VISTA SUPERIOR; SE LOCALIZA EL PUNTO Y LUEGO SE TRAZA ESE PUNTO EN LA VISTA FRONTAL TOMANDO LA DIFERENCIA DE ELEVACION ENTRE EL PUNTO DE ORIGEN Y EL PUNTO HALLADO SE ENCUENTRA LA PENDIENTE DE LA LINEA. SE MIDEN CON LA MISMA ESCALA.

o

s

-F

b Visfo de Alruro - - - P d . 1 40° 1₀ --- en 1en e 1c ~O unid.

3.6

PUNTOS

SOBRE

LINEAS

SI

UN

P-UNTO PERTENECE

A

UNA LINEA, EN TODAS LAS PROYECCIONES EL PUNTO APARECE CONTENIDO EN LA LINEA. ES POSIBLE CONOCER SI UN PUNTO PERTENECE

A

UNA LINEA OBSERVANDO SOLAMENTE DOS PROYECCIONES. ESTO SE CUHPLE PARA TODAS LAS LINEAS

EXCEPCION

HECHA DE LA LINEA INCLINADA LATERAL.

-PARA cmwcER SI UN INCLINADA LATERAL ¡PROY E CCION.

PUNTO ESTA CONTENIDO EN UNA LINEA

ES INDISPENSABLE UNA TERCERA

b

y VISTA PARA CONFIRMAR SI EL PUNTO PERTENECE A LA LINEA. X

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b

PROBLEMA 12

Dibuje lo lineo A-8 e ld.ntifiquela

PROBLEMA 13

Dibuj" Ja fin6{) A-8 en las vistas dadas e fd.,ntmquela.

PROBLEMA 14

Dibuje lo

nneo

horizontal >B.

Rumbo +5

°

NE. loo9ft.ud 5 cms.

+

1

F LO

b

+

+

b

F LO

F LD

1 !

PROBLEMA 15

D1bll}e 1 !<»ntlf~IH !<J li~ 1-2.

Halle rumbo y ion9~ .-.ol.

/

/

/

+

1-2

PROBLEMA 16

Lo liM<i 1 -2 de 5 cms de longitud, el punto 2 o Jo izquierdo de 1. Halle rumbo.

+'

s

- - -

--=----F

a

b

s

-F

a

' b

PROBLEMA '18

Holle lo vista de punta e ldentifi~ue

los lineas AS y MN.

PROBLEMA 17

Dlbuj• 8 ~ lea !iM<J1.1: Rumbo Pv.d L r90l . 1-2 +sºNW

3-0º'-?

+cmi1

3-1 Norte 60

°(

+

3cim l...!+ W +5°~+) 3cma

s

m/

/

-F

n

m

~. f

PROBLEMA 19

D!buj\'I en S/F y halle lonQitud

de la lineo AXB:

Rumbo(30º NE Pendiente 80%( - )

X

punto medio d-e

kl

lin~.

---+o

PROBLEMA 20

Dibuje las lir;s.as :

1-2 incl. frontal, par.d. 30

º(

+ ),

lon<;J. "4-cms 2 a lo~ d<s 1.

1 -3 Rurrybo 45'"SW, p.nd. 50%(

+ ).

lonr,¡ . . 3cms

2--4 Honzootcl, rumbo norte, king. 4cms.

2

+

s

F

@

PARES DE LINEAS

2 b \

s

\

.

_ _ _ J _ _

-F

b _b

PARALEl.AS

_{SE CRUZAN}

4.1

SE

CORTAN

LINEAS

QUE

SE

CORTAN:

LAS LINEAS QUE SE INTERSECAN

(CORTAN), SON AQUELLAS QUE TIDJEN UN PUNTO COHUN. PARA QUE ESTE PUNTO SEA COMUN A LAS DOS Ll~JEAS, LAS PROYECCIONES DE ESE PUNTO DEBEN ESTAR CONTENIDAS EN U~JA

MISMA ALl~JEACION PERENDICUl AfL- A LA Ll~JEA DE REFERENCIA SITUADA ENTRE PROYECCIONES ADYACENTE S.

s

F

a

b

..., PUNTO DE CORTE

COMUN A LAS DOS LINEAS

4.1.1

CASO

ESPECIAL:

CUANDO UNA DE LAS LINEAS ES INCLINADA LATERAL ES INDISPENSABLE UNA TERCER.~ PROYECCION PARA CONFIRMAR QUE EL PUNTO ES COHUN A L.AS DOS Lll'-IEAS. 2 a , . - - - i - - - - . b

-~ -~

- 1

~'

_--_¡.__-_-+-...__,1

F

LO

NO SE CORTAN

s

F

a b 2 1 1

'f5r§v'

0

~

-

₁

~_/)o

2 2

FILO

SE CORTAN

4.1.2

ANGULO

ENTRE

LINEAS

OUE

SE

CORTAN:

EL ANGULO nnRE LINEAS QUE SE CORTAN, SE HALLA EN UNA VISTA DONDE LAS DOS LINEAS ESTEN EN LONGITUD REAL.

PARA LLEGAR A UNA VISTA DONDE 'LAS DOS LINEAS ESTEN EN SU LONGITUD REAL PRIMERO DEBE HALLARSE UNA VISTA DONDE UNA DE LAS LINEAS APAREZCA COMO PUNl'O, Y EN LA ADYACENTE A ESTA VISTA SE ENCONTRARA EN LA LONGITUD REAL DE LAS DOS LINEAS. o

Ys

F

/ / o o ,,.e

--+---.:e

LR

1/

l

ANGULO RE Al

e

i

_____ l ____ .__

1

~

e

ANGULO ENTRE

LINEAS

QUE SE CORTAN

4.2 PARALELAS

LINEAS PARALELAS: SI DOS LINEAS SON PARALELAS EN EL ESPACIO, ELLAS APARECERAN PARALELAS EN TODAS SUS PROPORCIONES, EXCEPCION HECHA C.UANDO LAS DOS LINEAS APARECEN COMO PUNTOS. ESTE ULTIMO HECHO, SIN EMBARGO, REFUERZA EL CONCEPTO DE PARALELISMO, PORQUE SI DOS LINEAS APARECEN COMO PUNTOS EN W~A PROYECCION ELLO INDICA QUE AMBAS SON PERPENDICULARES AL MISMO PLANO DE PROYECCION POR LO TANTO PARALELAS ENTRE SI.

a

LINEAS COMO PUNTO

b

/

\\

o-b

i

•-2

s

1 2

-¡-.

- - b

s

a

F

F

1 2 a b 2

4.2.1 CASO ESPECIAL: CUMWO LAS LINEAS SON INCLINADAS LATERALES, APARENTEMENTE ESTAS LINEAS SON PARALELAS EN EL ESPACIO PORQUE APARECEN PARALELAS EN LAS PROYECCIONES SUPERIOR Y FRONTAL. PARA COMPROBARLO ES ~~ECESARIO CONFIRMAR EL PARALELISMO cm~ UNA TERCERA VISTA.

a

2 b

SON PARALELAS NO SON PARALELAS

o

-~

s

__ __J_ .

-- --

-F

1 / a 1 1/ bl

!

.b

1

(,

1

J

₁

!

1 11

/

2

~',Q.

2

FILO

a

_{F1LD ---}

. /

5~

4.3

PERPENDICULARES

LINEAS

PERPENDICULARES:

SI DOS LINEAS FORMAN

goo

EN EL ESPACIO, SON PERPENDICULARES. EL ANGULO SE PRESOIT ARA EN VERDADERA MAGNITUD CUANDO EN UNA PROYECCION UNA O AHBAS LINEAS APAREZCAN . EN LONGITUD REAL, EXCEPCION, CUANDO EN UNA VISTA,

PUNTO y LA OTRA LINEA REFUERZA EL CONCEPTO 2 <('-

1

V 3

s

F

UNA EN DE

DE LAS UNE AS APARECE COHO LONGITUD REAL. SIN EMBARGO ESTO

PERPENDICULARIDAD. 2 2 I " ' - - ' - - - . 3

s

LR

-r -:

_LR

_i

~

1-2 3

ILJ3-2

_'~

1 2

F

3 \,,/

//"

~

-

~

'·,

. " \

\

2~----\ 1 - 3 EN LR. ~·---

-F

EN LR. 2

4.4 LINEA MAS CORTA DE UN PUNTO A UNA LINEA

LA LINEA MAS CORTA ENTRE UN PUNTO Y UNA LINEA ES LA PERPENDICULAR TRAZADA DEL PUNTO A LA LINEA.

LA LONGITUD REAL DE LA LINEA MAS CORTA APARECERA EN LA PROYECCION DONDE LA LINEA DADA APARECE COMO PUNTO.

~---~ , . 1 ' · , · - , , '~ / , \

'

I ' I <jQ• \

~

/

<

~...___

~\m

\

S ',

1)

/'~

DIS';'ANCIA ./"- / 1. ' MAS CORTA /

'"-

,' '

/

'

/

\

'x· /

.

\/ ><

2 ' \

A

1 /

'-><( \

-.

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, /

/

~

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8

/ y, \ --- \

_L

lj

1 \ ,_.- ".

~---

1

~t-¡- --~-- ~\

'm

l)j

l ¡

~ ~LOOGLTUO

DE LA

, DISTANCIA MAS CORTA

1

i

2-1

m

.r.1

4. 5

S~

CRUZAN

;,..,.

LINEAS

QUE

SE

CRUZAN:

SON LAS LINEAS QUE NO SON PARALELAS Y ~lO SE CORTAN.

2 2 o 1 l

-¡-1 1 i 1

s

F

CRUZAN - - - i 1

J

2

4.5 MENOR

OIST

A1'Ki/1

OHR.E.

DOS l.IN[,!,S QUE SE CRUV.~1

( HE T

o

Do LI i"~ E AL l

LA KO~OR DIS T ANCI; OHRE DOS L!~;EAS GUE PERPOW!CULAR A A .. '1GAS LirJC:AS

ESTA PER::>C::NOICIJL.A:=-t TIENE SOL·1\HErn::: POSIBLE Er;. EL ESP1\CtO.

su LOCAUZACION SE 08T1:r·E:

HAl_:....M:oo

LJt~A

o:::

I_

As

L! rJ E

As A p

AR

f:

z e,, e

o

t-1

o

pu rn

o.

SE CRUZA1'1 ES L.;

UNA LOCALIZ ,:,CIGN

','IST A. DOrlC:E: W~A

SE !RAZA OE DICHO ?UrHO u~; .. , PERP::~mlCULAR A LA OTR1\

UNE A. GUE SERA LA OIS T AN:::1A KAS CORTA BUSCAD·' Y O'.~ ·..)~

3

--- A

PROBLEMA 21

Dibuj~ lo vhto frontal de los !!neas que se cortan AB y CD.

b

+m

s

a

a

PROBLEMA 23

l-l.Aill: Rumbo, p-ondiente

y

longitud

º"

fa5 line<i5 8A y 8C que formen ar.guíe do ~5°.

---

-

---

---s

F

s

d

a

PROBLEMA 22

Di1xlj. lo fine-a ~~N d~ -'r:;mg de longitud

y

rumbo

+s

0 _{NW qu<t} !l<: corta ccn lo i1Mc AS.

+b

~~----

-

-

~~-

-

-

~----~

F

b

e

a

a

_..¡..

2

s

- - - -

-2

1~

PROBLEMA 24

Hol'1 l<J lon9f"..ud d'5 .A.M que se corta con le

fin+~ 1 -2 formando un an9ulo de -45°.

M llOCn 1-2.

PROBLEMA 25

Hallo of cngulo formado por les

llnoa~ 1 -2 y AS.

a

en el punto medio dtl la llnoo 1-2.

F

s

F

1

ª·

.,...

p

-

..

.>

2

m+

PROBLEMA 26

_¡...

·x

X

.

-r-Dibuje en SI F los lin eos que se cortan AB y MN. X e5 AB

=

inclinado fronte 1, lonoi: ud 5 cms, 8 o la derecl'lo di! X punto me dio de AS.

MN

=

Rumbo 45º, longitud 5 cms, M cdelcnte de N. HALLE onoulo rear, pendiente de la lineo MN.

s

F

'

el punto de corte: A, pendiente 30°(-)

s

- - -

-

-·

- -

-

·-

----

-

-

-,X T

PROBLErh\ 28

DcJr Rumbv y Pe,1di.:rnte de

+

_? L...

ic linea 0-2 quo porte de O y es perpendicular o la linea MN con lo que se corto.

F

PROBLEMA 27

Dibu}11 la.: line-as pcrp-ondicula~

1-2 )' 2-.3:

1-2 - nJmbo .30° NE. lon¡;¡itud Scmii el pi.;n~o X p<!ti.eM~ a la linoo 1-2. 2-.3 - horiz~ntal, lon9H.ud 3cms, 3 o le durtX:ha d<!i 2.

...

m

s

---

e-l

PROBLEMA 29

Dibuje lo lineo horizontal MN de

~ cm.s de longitud que se. corta con lo lineo A8 formando un on9ulo de 90°.

PROBLEMA

30

Dibuje los lineas paralelos 1-2 y MN: 1-2

-=

pendiente 60:t(

+ ),

lon~rtud ·~ cms.

J..AN

=

longitud "4- cms, locafizodo

adelante y por debajo de lo lineo 1 -2.

Lo mo::inor distancio entre las das

Hne(ls es 3 cms. M esto o 1 cm o bojo de 1.

s

b

a /

- - - _ _ _ ....::S::...

F

a

b

2

- - -

-F

_•..

+2

e

e

..l..

'

o

s

F

º+

le

!

,e

PROBLEMA 31

Lo linee OS de 5 cms de longitud, es paralele o le lineo CE. El punto S otros

y

abajo de O.

Cual es le menor distancia entre los dos lineo~?

___

,

__

,

___ _

PROBLEMA 32

..J..

'm

.m

T

Dibuje los linees pcralelas MN y OS:

MN - rumbo 45°NW, ~ndfonte so,;(-), !on9itud 5 cms. OS - locclizada adelante y abajo de la linee MN.

La distancia enm, les dos lln.ios

"ª

de 2 cm:r, OS de .o4- cms de longitud. El punto O adelante de S y tiene lguoi profundidad que el punte M.

s

1

+

b

+

S

PROBLEMA 33

---a,

T

PROBLE~.A

3 4

a

a

Dibuje lo visto frontal si la lineo

'/('( ~ lo menor distancio entre

1011 llneas que se cnizan AS y 1-2.

F

Dibuje lo fine.a l.!N moa corta que uno

o la~ lin&a.5 qu~ .._, cruzan: 1-2 "" Indinado frorrt.oL AB - horizontal, rumbo 60ºNf::.

2

/

b

y

s

F

b

41

PROBLEMA 35

Dibuje los lineas que se cruzan A8 y 1-:C

A8 - ~ndient.e 3Q;ir;( - ).

1-2 -

'r cms de lon9itud. Si lo menor distando ent:ni

las d~ llnea.a es de 2.5 cmJJ

2

s

-F

a-1

...

2

1-2

+

+ª

PROBLEMA 36

s

F

Dibuje las líneos que se cruzan

A8 y CD. 1 -2 ~ lo lineo moa

corto que lom une.

1 s:s el punto medio de AS . 2 ea el punto medio de CD.

1 -2 5 cms de: longitud. A8 horizontal.

o

º+

'

e

l

PROBLEMA 37

/

m

+

m

+

b

Dibujo en S/F los linoas quo so cruzan AB 'j CD do igual longitud: XY = e.5 lo linoo mas corto ontre los lineas quo so cruzan, horizonte!,

do J.cms do longitud, pasa pvr el punto m. CD = 5 cms do longitud roal.

s

F

r

t.·

1

1

5. EL PLANO

es

U~IA SUPERP'ICIE FORHAOA - POR El PASO

o

HOVl~!::NTO Dé:

L.:~I LiHC:A RECTA E~l UN DETERHl."iAOO SENT:oo.

CL

PLANO TIC:H[ UNA (XTENSlm~ INOEFlt-;IDA A NO SE.~ OUE SE: (SP[CIF'IOUS UN LIHITE.

s

---

---

----1~4

\~2

3

F

---~

F

s

- -

-

-

- -

-

-

'

-F

'2

s

----

---•V'

F

2

S.\. REPRESENT AClON DE

.P.LAN03

UNA SUPERFICIE PLMlÁ PUEDE REPRESEl'IT AP.SE EN VíST AS DE LA SIGUtEl'-iTE FOR~A

12::s PUNTOS ou:: NO ESTE.N EN u~:EA R:.:CT A. DOS LINEAS ?A.~ALELAS.

Dos l.INEAS QUE SE: CORTAN.·

5.2. PUNTOS SOBRE PLANOS

LA GEOHETRIA ELEMDH AL DICE: "POR UN PU~HO SITUADO SOBRE UN PLANO PASAN INFINITO NUMERO DE LINEAS QUE PERTENECEN AL PLANO".

EN VISTAS, PARA LOCALIZAR UN PUNTO QUE PERTENECE A UN PLANO, BASTA DIBUJAR UNA LINEA QUE PASE POR ESTE Y QUE PARTA DE UN EXTREMO CONOCIDO DEL PLANO.

EL OTRO EXTREMO DE LA LINEA SE HALLA POR PUNTOS DE CORTE. b

o

s

- - -

-+----+ -

-F

_b

5.2.1.

CASO

ESPECIAL:

CUANDO LAS LINEAS PLANO SON LINEAS INCLl~~ADAS LATERALES Y DE LA LINEA QUE PASE POR EL PUNTO NO DIRECT AME~HE POR PUNTOS DE CORTE.

EXTERIORES DEL LA LOCALIZACIQ~.¡ SE PUEDE HALLAR PUEDEN UTILIZARSE LOS SIGUIENTES METODos:

UTILIZAR UNA LINEA AUXILIAR QUE PERTENEZCA AL PLANO QUE CORTE LA LINEA QUE PASA POR ~LE PUNTO PARA DE ESTA FORHA PODER LOCALIZAR POR PUNTOS DE CORTE LA LINEA QUE CONTIENE EL PUNTO. LOCALIZAR LA LINEA QUE CONTIENE EL PUNTO EN LA VISTA LATERAL Y LUEGO EN SUPERIOR Y FRONTAL.

b LINEA AUXlUAR

o

e / e , Lü b

,,.--/

---+,-

_X a / ,_';

5.3. POSICIONES DE UN PLANO EN El ESPACIO ....J

~

z

o

N

o:

o

:r:

....J ~ u

l-a:

w

>

lg

....J

~g

....1

o

u

a:

z

l.J....

tlt-

1 F ILD ₁

~

1

.

1 1 .F L

_ _

s

J _

__i_ F

t¡o

2

TODOS LOS PUNTOS A LA MISMA ALTURA PLANO PARA LELO AL PLANO HORIZONTAL DE PROYECCJON.

PERPENDICULAR AL PLANO HORIZONT1'\L DE PRO-YECCION. ASUME TRES POSICIONES DIFERENTES QUE SON: 1. PP.MLELO Al Pl.Nfü FRONTAL 2. PARALELO AL PWlO DE PERFlL 3. CUALQUIER POSICION RESPECTO A LOS PLANOS FRONTAL Y DE PERFIL PERPENDICULAR

AL

PLANO FRONTAL PERPENDICULAR

AL

PLANO DE PERFlL

INCLINADO CON RELACION A

LOS

TRES PUJ~OS DE

PRO-YECCION. NO SE VE COMO FlLO EN ~-HNGUNA DE LAS PROYECCIONES PRINCIPALES.

5.4.

LINEAS

CONTENIDAS

EN

PLANOS

MUCHOS PROBLEMAS EXIGEN LA ADICION DE LINEAS A PLMWS Y QUE APAREZ.CAN EN LONGITUD REAL. EN LAS VISTAS PRINCIPALES, YA QUE NINGUNA DE LAS LINEAS EXTERIORES AL PLANO CUMPLEN CON ESTA CONDICION.

LAS LINEAS OUE APARECEN EN LONGITUD REAL TRES),

EN YIST AS PRINCIPALES SON:

HORIZONTALES

(LAS

INCLINADA

FRONTAL.

INCLINADA

LATERAL.

b

b

LINEA HORIZONTAL

(Lo5 dos puntos iqu:il olturol

b

a

s

-F

o b e b e

.

s

--~---T--F·

a

1 e

LINEA INCLINADA FRONTAL

U..Os dos ¡:>1.mlos i9J0i pronmióodl

e

e

b

LINEA INQINADA LATERAL

5.5. PLANO OBLICUO COMO FILO

UN PLANO OBLICUO APARECERA COMO FILO O PROYECCION oo~mE W~A LINEA CONTENIDA APAREZCA COMO PUNTO.

b

LINEA COMO PUNTO/

PLANO COMO FILO

/

LINEA EN UNA EL EL PLANO e

/..

s

----~-

-o

/

LINEA COMO P U N T O / PLANO COMO FILO

'

a

s

-F

a

b b

'

'

_'

X

_A

e

e

~

e

F

a

5.5. T

AMA~O

REAL DE

UN PLANO

UN PLANO APARE CERA EN SU VERDADERO TAMAÑO Y FORMA CUANDO SE PROYECTA SOBRE UN PLANO DE PROYECCION PARALELO AL PLANO.

5.6.1.

REAL VISTA

LAS

TAMAÑO REAL DEL PLANO

-EN

VISTAS:

PARA QUE EL PLANO APAREZCA EN TAHA

O

f'RIMERO DEBE APARECER COMO FILO PARA QUE EN LA ADYACENTE EL PLANO ESTE SU T

AMAl~O

REAL.

\\

VIST A'9

FUNDAMENTALES

SON:

1. LONGITUD . REAL DE UNA Llr~EA CONTENIDA EN EL PLANO.

2.

LINEA COMO PUrHO. PLANO COMO UN FILO.

3.

PLANO EN T AMA'-~O REAL.

e b TAMANO REAL DE UN PW'-10 e

s

F

5. 7. RUMBO DE

UN PLANO

ES EL ANGULO DE DIRECCION QUE TENGA UNA LINEA HORIZONTAL CONTENIDA EN EL PLANO, HEDIDO cm~ RELAClm~ A LA UNEA

NORTE

SUR.

SE EXPRESA EN GRADOS SIEMPRE HENORES DE goo.

N

a

w

---+-5.8.

PENDIENTE

DE

UN

PLANO

e

e

s

F

ES LA TANGENTE AL ANGULO FORMADO ENTRE UN PLANO CUALQUIERA y UN PLANO HORIZmn Al_ DE REFERENCIA.

¡SE PUEDE MEDIR: EN GRADOS, Y EN PORCENTAJE

LA PENDIENTE EN GRADOS O PORCDH AJE SOLO PUEDE MEDIRSE EN VISTAS DE AL TURA DONDE EL PLANO APAREZCA COMO Fil-O.

2~---3 ---~4

s

-F- - -

=1=-__r:_==_

:::::;:::==:::::;t::::=::::::;:¡.__

~

ANGLLO DE PENDIENTE

62

4-3 PLANO HORIZONTAL OE REFEREN!:;IA

5.9. LINEA MAS CORTA DE

UN PUNTO A UN PLANO

LA DISTANCIA MAS CORTA DE UN PUNTO A UN PANO ES LA PERPENDICULAR TRAZADA DESDE EL PUNTO AL PLMm.

PARA DETERHINAR LA DISTANCIA MAS CORTA OHRE UN PUNTO Y UN PLANO SE DEBE LLEVAR EL PLANO A UNA VISTA DONDE APAREZCA COMO FILO. EN ESTA VISTA LA LINEA QUE VA DEL PUNTO AL PLMW Y LLEGUE PERPENDICULAR AL PLANO ES LA DISTANCIA MAS CORTA ENTRE EL PUNTO Y EL PLANO. LA LINEA MAS .CORTA APARECE EN ESTA VISTA EN LONGITUD REAL.

s'\

b m m 1

\

_s

__ -- --- ,.:_ -

-+---F

e

a

5.10.

LINEA

MAS

CORTA

CON

PENDIENTE

DETERMINADA

DE

UN

PUNTO A UN PLANO

ES LA LINEA TRAZADA DESDE EL PUNTO AL PLANO CUMPLIENDO UNA CONDICION; QUE LA LINEA TENGA UNA PENDIENTE DETERMINADA (DE

0

A QQO).

EL PLANO DEBE APARECER COHO FILO EN UNA VISTA DE AL TURA, PARA MOSTRAR EL ANGULO DE PENDIENTE DE ,LA LINEA.

EN ESTA VISTA LAS LINEAS TRAZADAS CON PENDIENTE DETERMINADA DESDE EL PUNTO AL PLANO ESTAN EN LONGITUD REAL. b

a

s

-- - - - -· - - -

-+-+---+-F

b

-e

~ª?

\..5-~c

PH

e

s

-a

PROBLEMA 39

4

2

3

1

s

F

PROBLEMA 38

PRO BLEMAS 38 -

3d~.

te v ta mono . bo rv.n 1en , Halle rum. '

r--rooi d.el plano.

- - - -

-PROBLEMA

40

Dibu~ \<J vista 'frontal:

Halle rumbo, pen<f~nte y tamono retal.

b

a .___ _ _ _ _ _ _

_

- - - - e

a

e

b

a

s

F

d

PROBLEMA 41

,e

-,

Por el punto 1.4 contenido en el plano pose las llneos: 1-2 inclinada frontal 3-4 oblicua.

PROBLEMA

42

Dibujar la vista frontal dt!I pklno ABCD. Loa lineas paralelos AS y CD aan los lados del plano, que tierwi 4-5 ó df! pendiente, lo:s puntos 8 y e tie~ 19ual oH:uro y ~an

abajo del punto A.

\

_\ \

\

+4-3

PROBLEMA 43

J.. 1

1-2

\ \

s

F

~A

b

e

a

d

+d

Los líneas qu<J se cortan 12 y 34 definen el plano 1234.

Punto de corte, punto medio de codo linea. Longitud de 12es 5 cm:s, longftud de 34 es 6 cm:s. Halle Rumbo, pendiente y poslcion en el espacio.

s

1 1 1 1 1

1

1

2

A

3

EOUILATERO

LADO= 4 cms.

-PROBLEMA 44

Dib11jor en S/F e( trion9ulo &quilatero 1-2-3.

R1Jmbo 45° NE (3obre 1-A) ~ndicnt~ 30° . El punto

3 arriba de 2.

PROBLEMA 45

Dibujar en S/F ol triangulo isosceles rocto en A

Rumbo 45

°

NE. Pendiente 60%, el punto

e

abajo de A. 1

+

s

F

a~

b

s

---F

a+

SB

X

-b

e

b

a

-- - _s__

F

a

a

s

PROBLEMA

46

Dibuja lo vista eupe:i:;r.

Pendiente del plano 45

°,

8 otros de X, La limio AX pertenece ol plano.

- - - -

-sq

F

PROBLEMA

47

Diouje o!'1 S/F e! plo!'1o ABC triangulo

eouila:arc. Rumbo 30° S'n', p-endie:ite 45

o. e:

punto

e

arribe y cdclont~ de A.

1

s

---

·-

-

-··--F

1

-J._ ;

PROBLEMA 48

Dibuje el triangulo lsosc-eles 1 -2-3 recio l!ln 1. Catetos de 4.5 cm::i. Rumbo del plano 30° NE. El punto 1 ambo de 2. El vartice 3 arriba de 1.

~m 1

-,-e

---

-

-

---

-

-

-PROBLEMA 49

Dibuje el triangulo equilatero ASC, Rumbo

45 °

NW, pen::!iente 70/:. El punto A abajo

y

adelant1:i de 8. M punto medio de lo lineo 8-C.

6r

o

s

F

a

a-PROBLEMA 51

Dibuje lo visto frontal si lo linea 1-2

es lo distancio mas corta de 1 al plano. Lo linea 1-2 tiene: Rumbo 45

°

NE,

~ndiente 45

° (-),

longítud .3 cms.

a

Ó2

b

s

F

6

PROBLEMA

50

Dibuje lo lineo mas corto del punto O ol plano.

e

s

PROBLEMA 52

a). Dibujar en S/F el plano cuodrodo 1-2-J-4.

Lo diagonal 1-J " horlzontol~bo 451) N€:_

longitud 6 cms. Lo distancia mas corta MX

ea

de-2.5

cm•

de longitud, pendiente (-).

El punto X 1obrw la diagonal. El punto 2

a la der.cho de 4.

b). Halle la1 siguientes menores distancias:

MR con pendiente de -4-5

°

MS vertical.

m

+

ó3

s

F

+

X

PROBLEMA 53

+

N

(f) LL.

a~.

Dibujar en S/F el plano cuadrado 1234 con rumbo 600 NE. el punto 3 arriba de 2.

b . La linea 1 -2, tiene rumbo Norte, pendiente +5° (-), longitud real + cms.

+

_N

c • Encuentre las siguientes menores distancias de X ol plano. El punto X tiene Igual

otturo que 1.

6. MENORES DISTANCIAS ENTRE

LINEAS QUE SE CRUZAN

6.1.

DISTANCIA

HORIZONTAL

MAS

CORTA

ENTRA

DOS

LINEAS

QUE

SE CRUZAN

CONSISTE EN UNIR DOS LINEAS QUE SE CRUZAN CON OTRA LINEA QUE SE A HORIZONTAL.

PARA HALLAR LA MENOR DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS LINEAS QUE SE CRUZAN DEBE UTILIZARSE EL HETODO DEL PLANO.

6.1.1.

METODO

DEL

PLANO.

CONSTRUIR UN PLANO PARTIENDO DE UNA DE LAS LINEAS DADAS Y COMPROBAR QUE EL PLANO CONSH?UIDO ES PARALELO A LA LINEA EXTERIOR DADA.

POR W4 PUNTO CUALQUIERA DE U~~A DE LAS LINEAS SE TRAZA UNA PARALELA A LA OTRA Ll~~EA DADA.

LA DISTANCIA HORIZONTAL MAS CORTA ENTf?E DOS LINEAS QUE SE CRUZAN APARECE EN LONGITUD REAL EN LA VISTA AL TURA DONDE LE PLANO APARECE COMO FILO PARALELO A LA OTRA Ll~4EA DADA.

AU~~QUE SU LONGITUD REAL ES CONOCIDA EN ESTA VISTA SU LOCALIZACION EXACTA SOLO PUEDE APRECIAR EN LA VISTA DONDE LA MENOR HORIZONTAL APAREZCA COMO PUNTO.

a

o

PLANO COMO FILO

s\

\,

j

a .V

~

~

_{1 b \}

\

_...

-

8

\~

\y--\.

2 \ 1 \ \ \ ,\ y-x 2' -LINEA HORIZONTAL MAS CCf!TA a

6.2.

DISTANCIA

MAS

CORTA

CON

PENDIENTE

DADA

OUE

UNE

DOS

LINEAS OUE

SE

CRUZAN

PARA DETERMINAR LA DISTANCIA HAS CORTA CON PENDIENTE DETERHl~~ADA QUE WJA DOS LINEAS QUE SE CRUZMJ, LO MISMO QUE EN LA MENOR DISTANCIA HORIZONTAL DEBE UTILIZARCE EL HETODO DEL PLANO.

LA DISTANCIA MAS CORTA co~~ PENDIENTE DETERMINADA SE HALLA EN UNA VISTA DE AL TURA DONDE EL PLANO APARECE COMO FILO PARALELO A LA OTRA LINEA. l_A LINEA PEDIDA SE PUEDE TRAZAR CON LA PENDIENTE DETERMINADA, EN ESTA VISTA, DmmE SE CONOCE su LONGITUD REAL PERO NO su LOCALIZACION EXACTA. LA PROYECCION DE WJA NUEVA VISTA DONDE LA Ll~JEA PEDIDA APAREZCA COMO PUNTO, SITUADA EN LA INTERSECCION DE LAS DOS LINEAS QUE SE CRUZAN, NOS DA LA LOC."-.LIZACION EXACTA DE LA LINEA PEDIDA CON PENDIENTE DETERHl~~ADA.

a MN b a 2 o LA LINEA A.8 b o

a

b

2

s

b

F

a

PROBLEMA 55

Halle:

o). Longítud del eje vertical mas corta qua una los lineas AS y 1-2.

b). Longitud y rumba de le lineo mas carta can pendiente de 45

°

que une las lineas AS y 1-2. Utilice me todo del plano.

PROBLEMA 56

Halle lo longitud reol al eje mas corto con ~ndiente de 45

°

que une 1011

lineas A8 y CD. Utilice el metodo del plano.

a

_e

_d

b

e

a

b

d

s

F

a

e

b/

d

s

---

--

---F

a

_d

e

PROBLEMA 57

o). Halle las siguientes menores distancias: Horizon~al y con ~ndiente

de 60° (por el metodo del plano).

b). Determine Rumbo y longitud real de los menores distando3.

7. INTERSECCIONES

7.1 INTERSECCION ENTRE

UNA

LINEA

Y UN

PLANO

SI UNA LINEA NO PERTENECE A UN PLANO, y _{NO ES PARALELA} AL PLANO, SE INTERSEPT AN EN UN PUNTO COMUN

LA LINEA.

EL PUNTO DE INTERSECCION ENTRE EL PLANO y HALLARSE POR LOS SIGUIDHES ME TODOS.

METODO DEL PLANO DE FILO. HE TODO DEL PLANO CORTANTE.

7.\.1.

METODO

DEL

PLANO

COMO

FILO

AL PLANO y A

LA LINEA PUEDE

CONSISTE EN LLEVAR EL PLMW A UNA VISTA oormE ESTA APAREZCA COMO FILO, D~ ESTA VISTA SE LOCALIZA EXACT AHENT A EL PUNTO DONDE LA LINEA A TRAVIESA EL PLANO.

,

-\

\ \ b

s\A

- - - , - -

- -

- -

-

- - - '

F

e b

"71

' b

,; ·.·'

7.1.2.

HETODO

DEL

PLANO

CORTANTE

UTILIZAR UN PLANO CORTANTE QUE CONTENGA LA Ll~JEA DADA. LA LINEA DE INTERSECCION DEL PLANO CORTANTE CON EL PLANO OBLICUO Y LA LINEA DADA DEBEN CORTARSE O SER PARALELAS PUESTO QUE AMBOS ESTAN EN EL HISHO PLMJO CORTANTE.

EN LA VISTA ADYACENTE. LA LINEA QUE REPRESENTA LA INTERSECCION ENTRE EL PLANO CORTANTE Y EL PLANO DADO Y LA LINEA DADA SE CORTAN EN UN PUNTO, QUE SERA EL PU~HO DE INTERSECCION COMUN AL f>LANO Y A LA LINEA.

L

o

Pe

1

---. 8---.

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. . 1. 1 . l ... 1 ·X b .._ o

...

.... ....

. . 2 .. .

_,,..

/ .

.

_,.

/ .

M

e

N PLANO CC:fffANTE L - M - N - O CONTIENE A LA UNEA 1-2

s

-F

e

7 .1. 3.

VISIBILIDAD

REGLA: WJA Lll'JE A CAMBIA SU VISIBILIDAD EN EL PUNTO DE INTERSECCION. AL INTERSE{5T ARSE UNA LlrJE A Y UN PLMJO, EL PLANO OCULTA PARTE DE LA LINEA SIENDO ESTE SEGMENTO DE LA Lll'JE A ll'JVISIBLE.

PARA ESTUDIAR LA VISIBILIDAD, SE TOMA UN CRUCE ENTRE EL SEGMENTO DE LA LINEA QUE SE INTERSEPTA Y UNA DE LAS LINEAS DEL PLANO Y SE TRANSLADA A UNA VISTA ADYACOHE Y LA PRIMERA DE LAS Lll'JEAS QUE SE ENCUENTRE ES LA VISIBLE. LA OTRA SERA LA ll'NISIBLE. ESTA ES LA VISIBILIDAD QUE SE DEBE DIBUJAR EN LA VISTA DE DONDE SE FORMA EL CRUCE DE LINEAS.

ESTE PROCEDIMIENTO SE DEBE REPETIR PARA EL ESTUDIO DE LA VISIBILIDAD EN CADA UNA DE LAS RECTAS

7 .2.

INTERSECCION

DE

DOS

PLM,05

LA INTERSECCION ENTRE DOS PLANOS ES UNA LINEA RECTA COMUrJ A LOS DOS PLAtWS. POR LO TANTO DOS PUNTOS CUALESQUIERA COMUNES A AHBOS PLANOS DETERMINAN LA POSICION DE LA LINEA DE INTERSECCION.

PARA HALLAR LA INTERSECCION ENTRE DOS PLANOS PUEDEN UTILIZARSE LOS SIGUIENTES METODOS.

- HETODO DEL PLANO DE FILO. - HE TODO DEL PLANO CORTANTE.

7.2.1.

METODO

DEL

PLANO

DE

FILO

CONSISTE EN LLEVAR UNO DE LOS PLMWS A UNA VISTA AUXILIAR DONDE EL PLANO APAREZCA COMO FILO.

ESTA VISTA MOSTRARA DOS PUNTOS COMUNES A AMBOS PLANOS OUE DETERMINAN LA LINEA DE INTERSECCION

\

\

\ 1

\

\ \

\A

s\

b

m

· · - - - + - -

-F

e

Q b

7.2.2.

METODO

DEL

PLANO

CORTANTE

POR ESTE METODO, LA INTERSECClm4 ENTRE LOS PLANOS SE HALLA Si~~ UTILIZAR VISTAS AUXILIARES.

EL ME TODO CONSISTE EN HACER PASAR POR CADA UNA DE LAS PROYECCI0~4ES W4 PLANO CORTANTE, PERPENDICULAR AL PLMW DE PROYECCION RESPECTIVO. ASI EL PLANO CORTANTE APARE CERA EN LA PROYECCION COMO FILO.

TRANSLADANDO A LA VISTA ADY ACOHE LOS PUNTOS DE CORTE ENTRE EL PLANO CORTANTE Y CADA UNO DE LOS PLANOS DADOS, ENCONTRAMOS DOS LINEAS QUE SE CORTAN QUE DETERMINAN U~~ PUNTO QUE ES COMUN A LOS TRES PLANOS Y ADEMAS PERTENECE A LA LINEA DE INTERSECCION.

LOS PLANOS CORTMJTES DEBEN TRAZARSE EN DIFERENTES PROYECCIO~~ES Y COMO M1~41MO DOS PLANOS CORTANTES

b PC-1 a

s

m

- -

..

---~----F

b

7.2.3.

VISIBILIDAD

D~ LA INTERSECCIO~~ DE PLMJOS LA Ll~ffA DE INTERSECCIO~~

SIEHPRE ES VISIBLE.

PARA LA V!SIBILIDAD DE LOS PLANOS UTILIZAMOS EL HISMO HETODO QUE PARA LA VISIBILIDAD DE PLANO Y LINEA

a

PROBLEMA 58 A 61

Halle la intereeccion entre el plano y la linea. Utudie vi~ibllidad (no utilice vista aux!liar).

s

F

e

PROBLEMA 58

a

s

b

·

-F

b

2

a

PROBLEMA

59

e

b

a

a

s

e

s

a

...---~

b F

a

F

e

2

PROBLEMA

60

PROBLEMA

61

2

a-IJ

PROBLEMA 64

b

a

e

s

F

d-c

s

F

77

PROBLEMA 62

a

b

2

1

¿'>

_7-2

b

a

PROBLEMA 63

PROBLEMA 62 A 64

Hclle le lni:erseccion y estudie lo visibilidad (utilice vi~ta ouxilior).

'/5

s

PROBLEMA 65

Halle el anc¡¡ulo. Estudie visibllidad de 1 -2.

a

+

1

b

1

d

e

1

2

F LD

PROBLEMA 66

b-a

2

Holle el angulo y estudie visibllldod de lo linoa 1-2.

76

c-d

2

e

1

F

r .-, 1 ' - ' - '

1

2

t

PROBLEMA 67

Halle el angulo entre. el plano ABC (triangulo e-quilatero) y lo linf!IO 1-2. Un&a 1-2 - 4 eme de longitud, rumbo .30° NW, pendiente 45• (-). Plano ABC - Rumbo +5

°

NE, pendiente 60X. A abajo cki 8.

El punto 1 pertenece al plano.

2

+

-b

a

s

F

''· • I

/

\

///

\

PROBLEMA 69

Halle lo lnter-5ecclon entre los planos, e~udie lo visibilidad (metodo del plano cortante).

/ / /

s

F

a

e

3

go

PROBLEMA 68

Halle lo lnt•rw~clon •ntre loa plano•. Eatudie vialbflldod (por plonoo cortantes).

s

F

b

2

PROBLEMA 70 y 71

Halle lo intenecc10n entre los Clos planos y

estudie visib1l1Cloel (rnetodo de lo visto ouxil1orl.

PROBLEMA 70

e

a

PROBLEMA 71

2

b

_a

F LD

e

b

s

F

3

2

8. ANGULOS

8.1.

ANGULO

ENTRE

PLANO

Y LINEA

SE HALLA EN UNA VISTA DmJDE EL PLANO APARECE COMO FILO Y LA LlrJEA EN LmJGITUD REAL.

PARA PODER LLEGAR A ESTA VISTA ES rJECESARIO PRIMERO LLEVAR EL PLANO A UNA VISTA APAREZCA EN TAHA O REAL Y EN LA VISTA ADYACENTE SE TDmRA EL PLMJO COMO FILO Y LA LINEA El'J

LOrJGITUD RE AL.

b

ANGULO REAL

8.2. ;\NGULO DIEDRO

ES EL ANGULO rORMADO POR DOS PLANOS OUE SE CORTAN.

EL ANGULO DIEDRO SE HALLA SOBRE UN PLANO DE

PROYECClm~

PERPENDICULAR A LA LINEA DE INTERSECCION.

UNA VISTA OUE MUESTRE LA LINEA Dt INTERSECCION COMO PUNTO, HOSTRARA LOS PLMWS COMO FILO.

E

o

\-f

c-d

~

'

A { ' LINEA DE 11-HERSECClON _ COMO PUNTO

e

ANGULO O IEORO

e

s

- - - --

--,

---

-o!

F

d

e

a.,,. __

_

----

- - ---

-

-e

a

PROBLEMA 72

Halle el oni;¡ulo diedro entra los planos ABC y 1-2-3 y utudie la visibilidad

en todos los vrstas. XY ~ lo

inter-3

seccion

s

F

a

_b

PROBLEMA 73

PROBLDvi1\ 74

2

e

d

S

PROBLEMA 73 Y 74 Halle el onculo diedro.

- - - -

-

-s

F

F

2

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1

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k _ ..

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1

4

a

b

e

s

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a

e

b

_{PHOBLEMA 75}

Conirtruya el bien

q

u lo tY.¡ ufl<rlc<o ACO qU4 formo Lln Of1'9Uk> d-oll 60" coo ~ plano ,A,C8.

d

b

a

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- - -

- -

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- -

_,

__ _

F

d

b

Pf~OBLEMA

76

a

Hall~ el angulo di«:lro

s

F

b

a

2

e

a

e

b

PROBLEMA 77

Dado el plano ABC, hollar un plano quo forme con ol anterior un angulo do 30,0

cuya lntorsecclon 08 la linoa 1-2. Respuesta on las vistos Su~rior y frontal. Y1síbllldad.

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