Mª Carmen García Llamas
Universidad Nacional de Educación a Distancia
(UNED)
Matemáticas para Economistas
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A Diana, Raúl y Olga. A Irene, Elena, Alejandro y Fernando.
Prólogo
En este libro de Matemáticas para Economistas se abarcan los distintos conceptos y competencias especi cados en el plan de estudios de la asigna-tura Matemáticas para la Economía: Cálculo del grado de Economía de la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED).
El libro arranca con dos capítulos de repaso en el que se revisan todos aquellos conceptos que deben conocerse y que son necesarios para iniciar el estudio de la asignatura. El motivo de incluir estos capitulos es debido a que son numerosos los estudiantes que llegan al grado con diversas lagunas en el área de Matemáticas, bien por no haberlas estudiado con anterioridad o por llevar bastante tiempo sin trabajarlas. Por ello en estos capítulos y en el resto del libro se abordan los distintos temas desde cero, introduciendo los conceptos teóricos y apoyándose en ejemplos para ayudar a entender su signi cado, así como su notación. Así y de forma progresiva se van revisando todos los conceptos necesarios.
A continuación se encuentran cuatro capítulos en los que se desarrollan las funciones reales de variable real, así en el capítulo 3 se estudian los Límites y Continuidad, en el capítulo 4 se estudia la Derivación, en el capítulo 5 se abordan las Aplicaciones de la derivada para en el capítulo 6 estudiar La Integral.
Seguidamente hay 2 capítulos en los que se estudian las funciones reales de varias variables reales, el capítulo 7 que abarca las Funciones de varias variables reales y el capítulo 8 que estudia la Optimización de funciones, extremos condicionados e integrales múltiples.
Finalmente se dedica un capítulo al estudio de las Sucesiones y series.
Cada uno de los temas que se desarrolla en el presente texto es tratado desde varios puntos de vista:
Se comienza con una motivación intuitiva, para conseguir un primer acer-camiento y resaltar la utilidad de los contenidos que se van a tratar. A continuación se presentan los conceptos teóricos formalmente, profun-dizando en sus respectivos matices y en las consecuencias que se derivan de ellos.
En determinados casos se facilitan técnicas para la ejecución sistemática de los diversos métodos presentados, lo que hace más amigable el camino a recorrer para alcanzar el objetivo propuesto de obtención de conocimiento. Finalmente se ilustran los conceptos presentados mediante un buen núme-ro de ejemplos, todo ello con el objetivo de pnúme-roporcionar una visión integral del mismo y por tanto más enriquecedora.
Todas las grá cas del presente libro han sido elaboradas por los autores con el software de libre distribución GeoGebra, disponible en www.geogebra.org, y/o con el software disponible en la web www.wolframalpha.com, de forma que pueden ser reproducidas fácilmente por los alumnos.
Los autores, docentes de la asignatura con amplia experiencia en la ense-ñanza a distancia, consideran que esta forma de presentar los temas facilita de forma relevante el aprendizaje autónomo y la comprensión, así como la adquisición de las capacidades, competencias y habilidades necesarias para superar la asignatura.
Los autores Junio 2018
Índice general
1. Conceptos Básicos 1
1.1. Los números . . . 3
1.1.1. Los números naturales, N . . . 3
1.1.2. Los números enteros, Z . . . 7
1.1.3. Los números racionales, Q . . . 9
1.1.4. Los números reales, R . . . 11
1.1.5. Número factorial y combinatorio . . . 13
1.2. Propiedades de los números . . . 13
1.2.1. Propiedades básicas . . . 13 1.2.2. Desigualdades . . . 16 1.2.3. Propiedades de orden . . . 16 1.2.4. Valor absoluto . . . 17 1.2.5. Intervalos . . . 18 1.3. Potencias y radicales . . . 19 1.3.1. Potencias . . . 19
1.3.2. Propiedades de las potencias . . . 19
1.3.3. Radicales . . . 20
1.4. Polinomios . . . 21
1.4.1. Monomios y binomios . . . 21
1.4.2. Polinomios . . . 23
1.4.3. Operaciones con polinomios . . . 25
1.4.4. Factorización . . . 30
1.4.5. Descomposición en fracciones simples . . . 35
1.5. Palabras clave . . . 42
1.6. Autoevaluación . . . 43
1.7. Problemas . . . 44
2. Funciones 47
2.1. Introducción . . . 49
2.2. Función . . . 49
2.2.1. Dominio de una función . . . 50
2.2.2. Imagen de una función . . . 52
2.2.3. Grá ca de una función . . . 52
2.2.4. Función inyectiva . . . 53
2.2.5. Función a trozos . . . 54
2.3. Operaciones con funciones . . . 55
2.4. Composición de funciones . . . 57
2.5. Función inversa . . . 58
2.5.1. Método para hallar la función inversa . . . 59
2.6. Función monótona . . . 62
2.7. Función acotada . . . 63
2.8. Funciones simétricas . . . 65
2.8.1. Función par e impar . . . 65
2.8.2. Método para estudiar la simetría de una función . . 66
2.9. Función periódica . . . 68
2.10. Funciones polinómicas y racionales . . . 68
2.11. Funciones trigonométricas . . . 69
2.11.1. Razones trigonométricas . . . 69
2.11.2. Igualdades trigonométricas . . . 71
2.11.3. Función seno y coseno . . . 71
2.11.4. Funciones ondulatorias . . . 72
2.11.5. Otras funciones trigonométricas . . . 74
2.11.6. Funciones trigonométricas inversas . . . 77
2.11.7. Coordenadas polares . . . 78
2.12. Función exponencial . . . 79
2.13.1. Propiedades de la función logaritmo . . . 82 2.13.2. Cambio de base . . . 82 2.14. Funciones hiperbólicas . . . 83 2.15. Funciones elementales . . . 85 2.16. Palabras clave . . . 86 2.17. Autoevaluación . . . 87 2.18. Problemas . . . 88 3. Límites y continuidad 91 3.1. Límites . . . 93 3.1.1. Introducción . . . 93 3.1.2. De nición de Límite . . . 95 3.1.3. Cálculo de límites . . . 101 3.2. Infinitésimos . . . 102
3.2.1. Propiedades de los in nitésimos . . . 103
3.2.2. Comparación de in nitésimos . . . 104
3.2.3. In nitésimos equivalentes . . . 104
3.3. Indeterminaciones . . . 105
3.4. Continuidad . . . 110
3.4.1. Continuidad de una función . . . 110
3.4.2. Continuidad lateral . . . 112
3.4.3. Propiedades de las funciones continuas . . . 114
3.4.4. Continuidad por tipo de función . . . 115
3.4.5. Discontinuidad . . . 116
3.5. Asíntotas . . . 122
3.5.1. Asíntotas verticales . . . 123
3.5.2. Asíntotas horizontales . . . 125
3.6. Teorema de Bolzano y otros . . . 131
3.6.1. Teorema de Bolzano . . . 131
3.6.2. Teorema de los Valores Intermedios . . . 132
3.6.3. Método para hallar los valores intermedios . . . 133
3.6.4. Teorema de los Valores Extremos ó de Weierstrass . 135 3.7. Palabras clave . . . 137 3.8. Autoevaluación . . . 138 3.9. Problemas . . . 139 4. Derivación 143 4.1. Concepto de derivada . . . 145 4.1.1. Tasa de variación . . . 145
4.1.2. La tasa de variación instantánea . . . 147
4.1.3. El problema de la recta tangente . . . 148
4.1.4. Derivada en un punto . . . 151
4.1.5. Interpretación geométrica . . . 152
4.1.6. Derivadas laterales . . . 153
4.2. Continuidad y derivabilidad . . . 154
4.3. Función derivada . . . 156
4.3.1. Método de obtención de funciones derivadas . . . 157
4.4. Regla de la cadena . . . 163
4.5. Derivada de la función inversa . . . 165
4.6. Derivación logarítmica . . . 166
4.6.1. Derivada de la función exponencial . . . 168
4.6.2. Derivada de la función exponencial de base a . . . . 168
4.7. Derivación implícita . . . 170
4.8. Derivadas de funciones trigonométricas . . . 171
4.8.1. Derivadas trigonométricas . . . 171 4.8.2. Derivadas de las funciones inversas trigonométricas . 175
4.9. Elasticidad . . . 179 4.9.1. Propiedades de la elasticidad . . . 180 4.10. Tabla de derivadas . . . 182 4.11. Palabras clave . . . 184 4.12. Autoevaluación . . . 185 4.13. Problemas . . . 186 5. Aplicaciones de la derivada 189 5.1. Introducción . . . 191 5.2. Derivadas sucesivas . . . 192 5.3. Análisis de funciones . . . 194
5.3.1. Crecimiento y decrecimiento de funciones . . . 194
5.3.2. Extremos absolutos de una función . . . 198
5.3.3. Máximos y mínimos locales . . . 198
5.3.4. Puntos críticos o estacionarios . . . 200
5.3.5. Algunos teoremas importantes . . . 204
5.3.6. Concavidad y convexidad . . . 207
5.3.7. Puntos de in exión . . . 210
5.4. Problemas de optimización . . . 218
5.4.1. Método para resolver problemas de optimización . . 218
5.5. Cálculo de límites indeterminados . . . 220
5.5.1. Indeterminaciones . . . 220
5.5.2. Regla de L'Hôpital . . . 221
5.6. Análisis y representación gráfica de funciones . . 229
5.6.1. Decálogo para el análisis y la representación grá ca de funciones . . . 229
5.7. Aproximación lineal y diferencial . . . 234
5.7.2. Diferencial de una función . . . 235 5.8. Fórmula de Taylor . . . 236 5.8.1. Polinomio de Taylor . . . 236 5.8.2. Teorema de Taylor . . . 237 5.8.3. Fórmula de McLaurin . . . 239 5.9. Palabras clave . . . 242 5.10. Autoevaluación . . . 243 5.11. Problemas . . . 244 6. La integral 247 6.1. Introducción . . . 249 6.2. Integral indefinida . . . 250 6.2.1. La primitiva . . . 250
6.2.2. Reglas de integración inmediatas . . . 252
6.2.3. Reglas algebraicas de integración . . . 255
6.2.4. Reglas de integración para funciones compuestas . . 255
6.3. Métodos de Integración . . . 259
6.3.1. Integración por sustitución . . . 259
6.3.2. Método para realizar la integración por sustitución . 259 6.3.3. Integración por partes . . . 263
6.3.4. Método para realizar la integración por partes . . . 264
6.3.5. Integración de funciones racionales . . . 267
6.3.6. Integración de funciones racionales trigonométricas . 271 6.3.7. Reducción de los exponentes o fórmulas de reducción 272 6.4. Integral definida . . . 274
6.4.1. El área como suma . . . 274
6.4.2. La integral de nida . . . 277
6.4.3. Teorema Fundamental del Cálculo . . . 277
6.4.6. Promedio integral. Teorema del valor medio para la
integral. . . 284
6.4.7. Derivación bajo el signo integral . . . 285
6.5. Integrales Impropias . . . 287
6.5.1. Integrales impropias de primera especie . . . 287
6.5.2. Integrales impropias de segunda especie . . . 289
6.6. Integrales Eulerianas . . . 291 6.6.1. Funcion Beta . . . 291 6.6.2. Función Gamma . . . 293 6.7. Palabras clave . . . 299 6.8. Autoevaluación . . . 300 6.9. Problemas . . . 302
7. Funciones de varias variables reales 303 7.1. Introducción . . . 305
7.2. Funciones reales de dos variables reales. . . 305
7.2.1. Dominio de una función . . . 306
7.2.2. Álgebra de funciones de varias variables . . . 308
7.3. Límites de funciones de dos variables . . . 312
7.3.1. Nociones previas . . . 312
7.3.2. Concepto de límite doble . . . 314
7.4. Continuidad de funciones de varias variables. . . . 320
7.4.1. Continuidad de una función . . . 320
7.4.2. Propiedades de las funciones continuas . . . 321
7.4.3. Tipos de discontinuidad . . . 321
7.5. Derivación de funciones de varias varibles . . . 324
7.5.1. Derivadas parciales . . . 324
7.5.3. Análisis marginal . . . 327
7.5.4. Derivadas sucesivas . . . 328
7.6. Diferencial de una función . . . 330
7.6.1. Diferenciales sucesivas . . . 331
7.7. Continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad . . . 334
7.8. Funciones compuestas y funciones implícitas . . . . 336
7.8.1. Funciones compuestas . . . 336
7.8.2. Funciones implícitas . . . 338
7.9. Funciones homogéneas y teorema de Euler . . . 340
7.9.1. Teorema de Euler . . . 341
7.10. Palabras clave . . . 343
7.11. Autoevaluación . . . 344
7.12. Problemas . . . 345
8. Optimización de funciones, extremos condicionados e integrales múltiples 347 8.1. Introducción . . . 349
8.2. Fórmula de Taylor . . . 349
8.3. Optimización sin restricciones . . . 352
8.3.1. Funciones de dos variables . . . 352
8.3.2. Funciones de más de dos variables . . . 356
8.4. Extremos condicionados por relaciones de igualdad358 8.4.1. Condición de primer orden . . . 359
8.4.2. Condición de segundo orden . . . 360
8.5. Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange . . . 366
8.6. Integración múltiple . . . 368
8.6.1. Integral iterada . . . 369
8.7. Integral doble . . . 370
8.7.3. Integral doble sobre un rectángulo . . . 371
8.7.4. La integral doble sobre dominios generales . . . 374
8.7.5. Área de una región plana . . . 379
8.8. Cambio de variables . . . 381
8.8.1. Cambio general de variables . . . 381
8.8.2. Cambio de variables a forma polar . . . 384
8.9. Palabras Clave . . . 386 8.10. Autoevaluación . . . 387 8.11. Problemas . . . 388 9. Sucesiones y series 391 9.1. Conceptos Teóricos . . . 393 9.1.1. Concepto de sucesión. . . 393 9.1.2. Sucesiones monótonas . . . 395 9.1.3. Sucesiones acotadas . . . 396
9.2. Límite de una sucesión . . . 396
9.2.1. Concepto de límite . . . 396
9.2.2. Álgebra de límites . . . 398
9.3. Algunos criterios para el cálculo de límites . . . 400
9.3.1. La fórmula de Stirling . . . 400
9.3.2. Teorema de Cauchy . . . 401
9.3.3. Criterio de Stolz . . . 402
9.4. Series. Primeras nociones . . . 403
9.5. Series de términos positivos. Criterios suficientes de convergencia . . . 406
9.5.1. Criterio de Cauchy o de la raíz . . . 408
9.5.2. Criterio de D'Alambert o del cociente . . . 409
9.6. Suma de series de términos positivos . . . 410
9.6.1. Series geométricas . . . 411
9.6.2. Series aritmético-geométricas . . . 411
9.6.3. Series del tipo Stirling . . . 414
9.6.4. Series de factoriales . . . 414
9.7. Palabras Clave . . . 417
9.8. Autoevaluación . . . 418
Índice de guras
1.1. Valor absoluto . . . 17
1.2. Polinomios de grado 0 y grado 1 . . . 24
1.3. Polinomios de grado 2, 3 y 4 . . . 25
2.1. Puntos en el plano y grá ca de la función . . . 53
2.2. Criterio de la recta vertical . . . 53
2.3. Funciones a trozos . . . 55 2.4. Funciones f(x) = x2 y g(y) = ±√x . . . . 58 2.5. Función y su inversa . . . 61 2.6. Función monótona . . . 63 2.7. Funciones acotadas . . . 64 2.8. Simetría de funciones . . . 66 2.9. Función periódica . . . 68 2.10. Triángulo rectángulo . . . 69
2.11. Triángulo rectángulo y círculo de radio 1 . . . 70
2.12. Funciones seno y coseno . . . 72
2.13. Funciones ondulatorias . . . 74
2.14. Funciones tangente y cotangente . . . 75
2.15. Funciones secante y cosecante . . . 77
2.16. Funciones trigonométricas inversas . . . 78
2.17. Coordenadas cartesianas y polares . . . 78
2.18. Función exponencial . . . 80
2.19. Función logaritmo . . . 81
2.20. Funciones hiperbólicas . . . 84
2.21. Funciones hiperbólicas inversas . . . 84 xxi
3.1. Límite por aproximación . . . 94
3.2. Límite de una función en un punto . . . 96
3.3. Límites laterales distintos . . . 98
3.4. Límite no nito . . . 99
3.5. Límite oscilando . . . 100
3.6. Función continua . . . 110
3.7. Función continua . . . 111
3.8. Función no continua . . . 112
3.9. Función continua por la derecha . . . 113
3.10. Discontinuidad evitable . . . 118
3.11. Discontinuidad inevitable . . . 120
3.12. Discontinuidad esencial . . . 122
3.13. Asíntota vertical . . . 123
3.14. Asíntota vertical doble . . . 125
3.15. Asíntota horizontal . . . 126
3.16. Asíntota horizontal doble . . . 127
3.17. Asíntotas vertical y horizontal . . . 128
3.18. Asíntota oblicua . . . 129
3.19. Asíntotas vertical y oblicua . . . 130
3.20. Teorema de Bolzano . . . 132
3.21. Teorema de los valores intermedios . . . 134
3.22. Teorema de los valores extremos . . . 136
4.1. Pendiente de una recta . . . 148
4.2. Ecuación de la recta . . . 149
4.3. Recta tangente . . . 150
4.4. Interpretación geométrica de la derivada . . . 152
4.5. Continuidad y derivabilidad . . . 156
5.2. Tangentes a la función . . . 196
5.3. Crecimiento de la función . . . 197
5.4. Máximos y mínimos locales . . . 199
5.5. Extremos locales y absolutos . . . 199
5.6. Puntos críticos . . . 200
5.7. Extremo en valor absoluto . . . 201
5.8. Teorema de Rolle . . . 205
5.9. Teorema del Valor Medio . . . 206
5.10. Concavidad y convexidad . . . 208
5.11. Función cóncava y convexa . . . 210
5.12. Punto de in exión . . . 213
5.13. Función con 2 puntos de in exión . . . 215
5.14. Criterio de las r − 1 derivadas nulas . . . 217
5.15. Representación grá ca de una función . . . 233
6.1. Familia de primitivas . . . 251
6.2. Área limitada por la curva . . . 275
6.3. Aproximación al área por rectángulos . . . 276
6.4. Área limitada por 2 curvas . . . 280
6.5. Área limitada por 2 curvas que no se cortan . . . 281
6.6. Área limitada por 2 curvas que se cortan . . . 282
6.7. Área limitada por 2 curvas que se cortan en 3 puntos . . . . 283
6.8. Teorema del valor medio para la integral . . . 284
6.9. Integral impropia de primera especie . . . 287
6.10. Campana de Gauss . . . 297
7.1. Dominio de una función de dos variables . . . 307
7.2. Representación en 3D . . . 309
7.4. Proyecciones en el plano . . . 310
7.5. Paraboloide . . . 311
7.6. Entornos . . . 313
7.7. Bola 3D . . . 313
7.8. Coordenadas cartesianas y polares . . . 318
7.9. Interpretación geométrica de la derivada . . . 326
8.1. Punto de silla . . . 356
8.2. Región cuadrada . . . 372
8.3. Regiones verticales y horizontales . . . 375
8.4. Región de integración vertical . . . 376
8.5. Región de integración horizontal . . . 377
8.6. Región triangular . . . 379
8.7. Cambio de variables . . . 382
