Campo magnético y fuerzas magnéticas-Física III

(1)

Capitulo 27 Campo magnético y fuerzas

magnéticas

Preguntas para análisis

P27.1

P27.1 ¿Puede una partícula con carga trasladarse a través de ¿Puede una partícula con carga trasladarse a través de un campo magnético sinun campo magnético sin experimentar ninguna fuerza? De ser así, ¿cómo? En caso

experimentar ninguna fuerza? De ser así, ¿cómo? En caso contrario, ¿por qué?contrario, ¿por qué? Solución. Solución. No ha fuerza cuando No ha fuerza cuando → → vv yy → → B

B son paralelos, si las cargas remueven a lo largo de lasson paralelos, si las cargas remueven a lo largo de las líneas de campo no habrá f

líneas de campo no habrá fuerza sobre la carga.uerza sobre la carga. P27.4

P27.4 La fuerza magnética sobre una partícula con La fuerza magnética sobre una partícula con carga en movimiento siempre escarga en movimiento siempre es perpendicular al campo magnético

perpendicular al campo magnético B B. ¿Es la trayectoria de una partícula con carga en. ¿Es la trayectoria de una partícula con carga en movimiento siempre perpendicular a las líneas de

movimiento siempre perpendicular a las líneas de campo magnético? Explique sucampo magnético? Explique su razonamiento.

razonamiento. Solución. Solución.

No. Por ejemplo, si las líneas del campo magnético son líneas rectas una partícula No. Por ejemplo, si las líneas del campo magnético son líneas rectas una partícula cargada moviéndose inicialmente a lo largo de

cargada moviéndose inicialmente a lo largo de las líneas del campo no las líneas del campo no experimentaráexperimentará fuerzas magnéticas y co

fuerzas magnéticas y continuará moviéndose pantinuará moviéndose paralela a las líneas del ralela a las líneas del campo.campo. P27.5

P27.5 Se dispara una partícula con Se dispara una partícula con carga hacia una región cúbica del espacio donde haycarga hacia una región cúbica del espacio donde hay un campo magnético uniforme. Afuera de esta

un campo magnético uniforme. Afuera de esta región no hay campo magnético alguno.región no hay campo magnético alguno. ¿Es posible que la partícula

¿Es posible que la partícula permanezca dentro de la región cúbica? ¿Por qué?permanezca dentro de la región cúbica? ¿Por qué? Solución.

Solución.

No. Si la velocidad inicial es perpendicular a las líneas del campo magnético la partícula No. Si la velocidad inicial es perpendicular a las líneas del campo magnético la partícula viajará en un semicírculo pero l

viajará en un semicírculo pero luego dejará el campo.uego dejará el campo. P27.7

P27.7 Una partícula con carga se Una partícula con carga se traslada a través de una rtraslada a través de una región del espacio conegión del espacio con velocidad (magnitud y dirección) constante. Si el campo magnético externo

velocidad (magnitud y dirección) constante. Si el campo magnético externo es cero enes cero en esta región, ¿se puede concluir que campo eléctrico externo

esta región, ¿se puede concluir que campo eléctrico externo en la región también esen la región también es cero? Explique su respuesta. (El adjetivo externo se refiere a campos distintos a los cero? Explique su respuesta. (El adjetivo externo se refiere a campos distintos a los producidos por la partícula con carga). Si el campo eléctrico externo es cero en la producidos por la partícula con carga). Si el campo eléctrico externo es cero en la región, ¿se puede concluir que el campo

región, ¿se puede concluir que el campo magnético externo en la región también esmagnético externo en la región también es cero?

cero? Solución. Solución.

Si la espira de corriente debe ser cero. Un campo eléctrico produciría una fuerza neta no Si la espira de corriente debe ser cero. Un campo eléctrico produciría una fuerza neta no balanceada.

balanceada.

No. La fuerza neta debe ser cero tal que no debe haber fuerza magnética sobre la No. La fuerza neta debe ser cero tal que no debe haber fuerza magnética sobre la partícula. Pero podría aun haber un campo magnético paralelo a la velocidad de la partícula. Pero podría aun haber un campo magnético paralelo a la velocidad de la partícula.

partícula. P27.9

P27.9 ¿Cómo se podría hallar l¿Cómo se podría hallar la dirección de un campo magnético efectuando sóloa dirección de un campo magnético efectuando sólo observaciones cualitativas de la fuerza magnética sobre un alambre recto

observaciones cualitativas de la fuerza magnética sobre un alambre recto que transportaque transporta una corriente?

una corriente? Solución. Solución.

Encontrando la orientación d

Encontrando la orientación del alambre para la cual no hay fuerza; el alambre para la cual no hay fuerza; el campo magnéticoel campo magnético es paralelo a esta dirección. Entonces el alambre rota 90º tal que es perpendicular al es paralelo a esta dirección. Entonces el alambre rota 90º tal que es perpendicular al

(2)

campo. Las dos posibles direcciones de campo. Las dos posibles direcciones de

→ →

B

B dan fuerzas en direcciones opuestas tal quedan fuerzas en direcciones opuestas tal que la observación de la dirección de

la observación de la dirección de estas fuerzas determina la dirección deestas fuerzas determina la dirección de

→ →

B B ..

P2713

P2713 Una estudiante intentó hacer Una estudiante intentó hacer una brújula electromagnética suspendiendo unauna brújula electromagnética suspendiendo una bobina de alambre de un cordel (con el plano de la bobina en posición vertical) bobina de alambre de un cordel (con el plano de la bobina en posición vertical) haciéndole pasar una corriente. La estudiante esperaba que la bobina se

haciéndole pasar una corriente. La estudiante esperaba que la bobina se alineasealinease perpendicularmente a las componentes horizontales del

perpendicularmente a las componentes horizontales del campo magnético terrestre: encampo magnético terrestre: en cambio, la botina adquirió lo

cambio, la botina adquirió lo que parecía ser un movimiento armónico simple que parecía ser un movimiento armónico simple angular,angular, oscilando hacia atrás y hacia adelante en

oscilando hacia atrás y hacia adelante en tomo a la dirección esperada. ¿Qué estabatomo a la dirección esperada. ¿Qué estaba ocurriendo? ¿Era el

ocurriendo? ¿Era el movimiento verdaderamente armónico simple?movimiento verdaderamente armónico simple? Solución.

Solución.

Si el torque magnético de la bobina inicialmente hace un ángulo

Si el torque magnético de la bobina inicialmente hace un ángulo φ φ con la dirección del₀₀ con la dirección del campo magnético habrás un torque restaurador sobre la bobina

campo magnético habrás un torque restaurador sobre la bobina dirigida a alinear eldirigida a alinear el torque magnético con el campo. La bobina gir

torque magnético con el campo. La bobina gira pasa su posición y a pasa su posición y nuevamente hay unnuevamente hay un torque restaurador que lo devuelve. La magnitud del

torque restaurador que lo devuelve. La magnitud del torque restaurador estorque restaurador es τ τ

=

IBA IBAsensenφ φ .. Para

Para φ φ pequeño,pequeño, sseen n φ φ

≈

φ φ yy τ τ

=

IBAIBAφ φ . Luego el torque es proporcional al. Luego el torque es proporcional al desplazamiento y el movimiento es movimiento armónico simple angular. Tal

desplazamiento y el movimiento es movimiento armónico simple angular. Tal que, si laque, si la amplitud angular del moviendo es pequeña, el

amplitud angular del moviendo es pequeña, el movimiento es una buena aproximaciónmovimiento es una buena aproximación al armónico simple.

al armónico simple. P27.14

P27.14 Se acelera un protón en un ciclotrón. Si se duplica la energía del protón, ¿porSe acelera un protón en un ciclotrón. Si se duplica la energía del protón, ¿por qué factor cambia el radio de la trayectoria circular? ¿Qué ocurre con el periodo orbital, qué factor cambia el radio de la trayectoria circular? ¿Qué ocurre con el periodo orbital, esto es, el tiempo que toma una revolución de la partícula, cuando se duplica la energía? esto es, el tiempo que toma una revolución de la partícula, cuando se duplica la energía? Solución. Solución. Aplicando Aplicando → → → →

=

∑

F F mmaa al movimiento circular del protón daal movimiento circular del protón da qq B B

=

mvmv / / R R.. B B q q mv mv R R

=

.. m m K K

vv

=

22 , si la energía cinética K , si la energía cinética K se duplica la rapidezse duplica la rapidez vv incrementa por unincrementa por un

factor

factor de de 2 2 y y el el radio radio R R de de la la trayectoria trayectoria circular circular se se incrementa incrementa por por un un factor factor de de 22 .. El periodo orbital es El periodo orbital es B B q q m m vv R R T

T

=

22π π

=

22π π . El periodo no cambia cuado v y B incrementan.. El periodo no cambia cuado v y B incrementan.

La rapidez incrementa pero lo mismo ocurre con la circunferencia de la trayectoria La rapidez incrementa pero lo mismo ocurre con la circunferencia de la trayectoria circular de modo que el

circular de modo que el período que permanece constante. Esto es un comportamientoperíodo que permanece constante. Esto es un comportamiento importante del movimiento.

importante del movimiento. ..

Ejercicios

Sección 27.2 Campo magnético

27.1

27.1 Una partícula con una carga de -1,24 x l0Una partícula con una carga de -1,24 x l0-4-4C se desplaza con una velocidadC se desplaza con una velocidad instantánea

instantánea

→ →

vv = (4,19 x 10 m/s)= (4,19 x 10 m/s) iiˆˆ + (-3,85 x 10+ (-3,85 x 1044 m/s)m/s) jjˆˆ . ¿Qué fuerza ejerce sobre esta. ¿Qué fuerza ejerce sobre esta partícula un campo magnético:

partícula un campo magnético: a) a) B B

=

( (

11,,44TT

))

iiˆˆ → → , , b)b) B B

=

( (

11,,44TT

))

k k ˆˆ → → ?? Solución. Solución. a) a) → → → → → →

×

=

qqvv BB F F == ((

−

11,,2424

×

1010−−88)()(

−

3,853,85

×

101044)(1,40))(1,40)

( ( ))

j j ˆˆˆˆ

×

ii

(3)

⇒

₍₍₆₆_,,₆₈₆₈ ₁₀₁₀ 44 _N)_N)ˆˆ_.. k k F F −− → →

×

−

=

b) b) → → → → → →

×

=

qqvv BB F F = == = ((

−

11,,2424

×

1010−−88)(1,40))(1,40)

[[

((

−

3,853,85

×

101044))

( ( ))

j jˆˆ

×

k k ˆˆ ++

( (

44,,1919

×

1010−−88

))

( ( ))

iiˆˆ

×

k k ˆˆ

⇒

F F

(

66,,6868 1010−−44(( 3,853,85 101044)()( 3,853,85 101044N)N)

)

iiˆˆ

(

77,,2727 1010−−

))

44NN j jˆˆ → →

×

+

×

−

×

−

×

=

_.. 27.5

27.5 Cada uno de los puntos con letras de los vértices del cubo de la figura rCada uno de los puntos con letras de los vértices del cubo de la figura r epresentaepresenta una carga positiva

una carga positiva qq que se desplaza con una velocidad de magnitud u que se desplaza con una velocidad de magnitud u en la direcciónen la dirección que se indica. La región de la figura se halla en

que se indica. La región de la figura se halla en un campo magnéticoun campo magnético BB, paralelo al eje, paralelo al eje de las

de las x x y dirigido hacia la derecha. Copie la figura, encuentre la magnitud y direccióny dirigido hacia la derecha. Copie la figura, encuentre la magnitud y dirección de la fuerza sobre cada carga y muestre la fuerza en su diagrama.

de la fuerza sobre cada carga y muestre la fuerza en su diagrama.

Solución. Solución. 27.5: 27.5:

En

En la la figura. figura. Sea Sea F F ₀₀

=

qvBqvB,, luego:luego:

0 0 F F F F _a_a

=

en la direcciónen la dirección

−

k kˆˆ 0 0 F F F F _b_b

=

+

j jˆˆ ,, 0 0

=

cc F

F porqueporque B B y la velocidad son paralelasy la velocidad son paralelas

o o 45 45 sen sen 0 0 F F F F _d_d

=

−

j jˆˆ 0 0 F F F F _ee

=

en en la la dirección dirección

−

(( j jˆˆ

+

kkˆˆ))

(4)

27.6

27.6 Un electrón se traslada a 2,50 x 10Un electrón se traslada a 2,50 x 1066m/s a través de una región en la que hay unm/s a través de una región en la que hay un campo magnético de dirección no especificada y cuya magnitud es

campo magnético de dirección no especificada y cuya magnitud es de 7,40 x l0de 7,40 x l0-2-2T.T. a) ¿Cuáles son las

a) ¿Cuáles son las magnitudes máxima y mínima posibles de la magnitudes máxima y mínima posibles de la aceleración del electrónaceleración del electrón debida al campo

debida al campo magnético?magnético?

b) Si la aceleración real del electrón es de de l

b) Si la aceleración real del electrón es de de la magnitud máxima del inciso (a), ¿cuála magnitud máxima del inciso (a), ¿cuál es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético?

es el ángulo entre la velocidad del electrón y el campo magnético? Solución.

Solución. a)

a) La aceleración La aceleración más pequmás pequeña posible eña posible es cero, es cero, cuando el cuando el movimiento es movimiento es paralelo alparalelo al campo magnético. La aceleración es mayor cuando la velocidad y el

campo magnético. La aceleración es mayor cuando la velocidad y el campo magnéticocampo magnético se encuentran en ángulo recto:

se encuentran en ángulo recto: m m qvB qvB a a

=

== )) 10 10 (9,11 (9,11 )) 10 10 )(7,4 )(7,4 10 10 )(2,50 )(2,50 10 10 6 6 ,, 1 1 (( 31 31 2 2 6 6 19 19 − − − − − −

×

= = 33,,2525

×

10101616mm ss22.. b) b) Si Si ((33,,2525 1010 )) 4 4 1 1

_×

₁₆₁₆

=

a a == m m qvB qvBsensenφ φ

_⇒

25 25 ,, 0 0 sen senφ φ

=

⇒

φ φ

=

1414,,55oo..

Sección 27.3 Líneas de

Sección 27.3 Líneas de campo magnético y flujo magnético

campo magnético y flujo magnético

27.12

27.12 El campo magnéticoEl campo magnético B B en cierta región es de 0,128 T, y su dirección es la del en cierta región es de 0,128 T, y su dirección es la del ejeeje de las + z en la figura .

de las + z en la figura .

a) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la

a) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficiesuperficie abcd abcd de la figura?de la figura? b) ¿Cuál es el flujo

b) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficiemagnético a través de la superficie befcbefc?? c) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la

c) ¿Cuál es el flujo magnético a través de la superficiesuperficie aefd aefd ?? d) ¿Cuál es el flujo neto a

d) ¿Cuál es el flujo neto a través de las cinco superficies que encierran el volumentravés de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado? sombreado? Solución. Solución. a) a)

Φ

_B_B((abcd abcd ))

=

B B

⋅⋅

AA

=

00.. b) b)

Φ

_B_B((befcbefc))

=

BB

⋅⋅

AA

=

−

((00,,128128)()(00,,300300))((00,,300300)) = - 0,0115 Wb.= - 0,0115 Wb. c)

c)

Φ

_B_B((aefd aefd ))

=

BB

⋅⋅

AA

=

BABAcoscosφ φ = = ((00,,128128)(0,500)(0)(0,500)(0,300),300) 5 5 3 3 = = + + 0,115 Wb.0,115 Wb. d)

d) El flujo neto en el resto El flujo neto en el resto de la superficie ede la superficie es cero ya que s cero ya que son paralelas a son paralelas a las de ejelas de eje x x dede manera que el total del flujo es la

(5)

27.13

27.13 Una estudiante de física afirma que ha acomodado imanes de modo tal que elUna estudiante de física afirma que ha acomodado imanes de modo tal que el campo magnético dentro del volumen sombreado de la figura

campo magnético dentro del volumen sombreado de la figura 27.4 1 es27.4 1 es B B

=

( (

β β

−

γ γ y y22

))

j jˆˆ

→ →

,, donde

donde β β = 0,300 T y= 0,300 T y γ γ = 2,00 T/m= 2,00 T/m22.. a) Halle el flujo neto

a) Halle el flujo neto de B a través de las cinco superficies que encierran el volumende B a través de las cinco superficies que encierran el volumen sombreado de la figura 27.41.

sombreado de la figura 27.41.

b) ¿Es plausible la afirmación de la estudiante? ¿Por qué? b) ¿Es plausible la afirmación de la estudiante? ¿Por qué?

Solución. Solución. a) a) B B

=

( (

β β

−

γ γ y y22

))

j jˆˆ → →

y podemos calcular el flujo a través de cada superficie. Tenga en y podemos calcular el flujo a través de cada superficie. Tenga en cuenta que no hay flujo a través de cualquier superficie paralela al eje

cuenta que no hay flujo a través de cualquier superficie paralela al eje y y. Así, el total del. Así, el total del flujo a través de la superficie cerrada es:

flujo a través de la superficie cerrada es: A A B B

⋅⋅

=

Φ

_B_B_((abeabe₎₎ ==

[ [

−

( (

00,,300300

−

00

))

]]

+

00,,300300

−

(

( )

22,,0000

) (

22

(

00,,300300

))

22

(

00,,400400

))(

(

00,,300300

))

2 2 1 1

×

= - 0,0108 Wb. = - 0,0108 Wb. b)

b) La afirmación deLa afirmación del estudiante l estudiante no es plano es plausible, ya usible, ya que se reqque se requiere la exisuiere la existencia de tencia de unun monopolo magnético a consecuencia de un flujo neto distinto

monopolo magnético a consecuencia de un flujo neto distinto de cero a través de cero a través de lade la superficie cerrada.

superficie cerrada.

Sección 27.4 Movimiento de partículas con carga en un campo

magnético

27.19

27.19 Se deja caer una esfera de 150 g con 4,00 x 10Se deja caer una esfera de 150 g con 4,00 x 1088electrones en exceso por un pozoelectrones en exceso por un pozo vertical de 125 m. En el fondo del

vertical de 125 m. En el fondo del pozo, la esfera entra de improviso en un campopozo, la esfera entra de improviso en un campo magnético horizontal uniforme con una magnitud de 0,250 T

magnético horizontal uniforme con una magnitud de 0,250 T y una dirección de este ay una dirección de este a oeste. Si la resistencia del aire es tan pequeña que resulta insignificante, halle la

oeste. Si la resistencia del aire es tan pequeña que resulta insignificante, halle la magnitud y dirección de la

magnitud y dirección de la fuerza que este campo magnético ejerce sobre la fuerza que este campo magnético ejerce sobre la esfera en elesfera en el momento en que entra en el campo.

momento en que entra en el campo. Solución. Solución. C) C) 10 10 602 602 ,, 1 1 )( )( 10 10 00 00 ,, 4 4 ((

×

88

−

×

−−1919

=

q q = 6,408 x 10= 6,408 x 10-11-11 C.C. La velocidad en el fondo del pozo:

(6)

→ →

vv es hacia abajo yes hacia abajo y

← ←

B

B hacia el oeste, Luegohacia el oeste, Luego

→ → → →

×

_B_B

vv es hacia el norte. Como q < 0,es hacia el norte. Como q < 0,

→ → F F eses hacia el sur. hacia el sur. θ θ qvB qvB F

F

=

sensen == ((66,,408408

×

1010−−1111)(49,5)(0.)(49,5)(0.250)250)sensen9090

°°

= 7,93 x 10= 7,93 x 10-10-10 NN

27.20

27.20 En un experimento con rayos cósmicos, un haz En un experimento con rayos cósmicos, un haz vertical de partículas con unavertical de partículas con una carga de magnitud 3

carga de magnitud 3ee y una masa 12 veces la del protón entra en un campo magnéticoy una masa 12 veces la del protón entra en un campo magnético horizontal uniforme de 0,250 T y se dobla formando un semicírculo de 95,0 cm de horizontal uniforme de 0,250 T y se dobla formando un semicírculo de 95,0 cm de diámetro, como se muestra en la figura.

diámetro, como se muestra en la figura.

a) Encuentre la rapidez de las partículas y el signo de su carga. a) Encuentre la rapidez de las partículas y el signo de su carga. b) ¿Es razonable pasar por alto

b) ¿Es razonable pasar por alto la fuerza de gravedad sobre las la fuerza de gravedad sobre las partículas?partículas? c) ¿Cómo es la rapidez de las partículas en el momento de entrar en el

c) ¿Cómo es la rapidez de las partículas en el momento de entrar en el campo encampo en comparación con su rapidez al salir

comparación con su rapidez al salir del campo?del campo?

Solución. Solución. a) a) qB qB mv mv R R

=

m m qBR qBR vv

=

== )) 10 10 67 67 ,, 1 1 (( 12 12 2 2 0,950 0,950 )(0,250) )(0,250) 10 10 60 60 ,, 1 1 (( 3 3 27 27 19 19 − − − −

×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

×

vv = 2,84 x 10= 2,84 x 1066m/sm/s Como Como → → → →

×

_B_B

vv es a la izquierda y las cargas van a la es a la izquierda y las cargas van a la derecha, tienen que ser negativasderecha, tienen que ser negativas b) b) F F _grav_grav

=

mg mg

=

1212((11,,6767

×

1010−−2727)(9,80)(9,80))=1,96 x 10=1,96 x 10-25-25 NN qvB qvB F F _B_B

=

= = 33((11,,66

×

1010−−1919)(2,84)(2,84

×

101066)(0,250))(0,250)= 3,41 x 10= 3,41 x 10-13-13 NN Como

Como F F _B_B

≈

10101212

×

F F _grav,_grav, Podemos no tomar en cuenta la Podemos no tomar en cuenta la gravedad.gravedad.

c)

c) La velocidad La velocidad no cambia no cambia ya que la ya que la fuerza magnéfuerza magnética es perpetica es perpendicular a la ndicular a la velocidadvelocidad y, por tanto, no hace trabajo sobre las partículas.

y, por tanto, no hace trabajo sobre las partículas.

27.27

27.27 Un electrón del haz Un electrón del haz de un cinescopio de televisor es acelerado por de un cinescopio de televisor es acelerado por una diferenciauna diferencia de potencial de 2,00 kV,

de potencial de 2,00 kV, a continuación atraviesa una región donde hay un campoa continuación atraviesa una región donde hay un campo magnético transversal y describe un arco circular de 0,180 m de radio. ¿Cuál es la magnético transversal y describe un arco circular de 0,180 m de radio. ¿Cuál es la magnitud del campo?

magnitud del campo? Solución. Solución. m m V V q q vv V V q q mv mv

=

Δ

⇒

=

22

Δ

2 2 1 1 22 ₌₌ )) 10 10 (9,11 (9,11 )) 10 10 (2,0 (2,0 )) 10 10 6 6 ,, 1 1 (( 2 2 31 31 3 3 19 19 − − − −

×

= 2,65 x 10 = 2,65 x 1077 m/s.m/s.

(7)

⇒

R R q q mv mv B B

=

== )(0,180) )(0,180) 10 10 (1,60 (1,60 )) 10 10 )(2,65 )(2,65 10 10 11 11 ,, 9 9 (( 19 19 7 7 31 31 − − − −

×

= 8,38 x 10 = 8,38 x 10-4-4T.T.

Sección 27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas con

Sección 27.5 Aplicaciones del movimiento de partículas con carga

carga

27.29

27.29 Selector de velocidad. Un selector de Selector de velocidad. Un selector de velocidad se compone de un campovelocidad se compone de un campo eléctrico y uno magnético, como se muestra en la figura.

eléctrico y uno magnético, como se muestra en la figura.

a) ¿Cuál debe ser la intensidad del campo magnético para que sólo los iones con una a) ¿Cuál debe ser la intensidad del campo magnético para que sólo los iones con una rapidez de 2000 km/s emerjan sin desviación, si el campo eléctrico es de 2,0 x l0 N/C? rapidez de 2000 km/s emerjan sin desviación, si el campo eléctrico es de 2,0 x l0 N/C? ¿Se separarán los iones positivos de los

¿Se separarán los iones positivos de los iones negativos?iones negativos? b) En cierto

b) En cierto selector de velocidad, el campo eléctrico se selector de velocidad, el campo eléctrico se produce mediante una bateríaproduce mediante una batería de voltaje variable conectada a dos

de voltaje variable conectada a dos placas metálicas paralelas grandes separadas 3,25placas metálicas paralelas grandes separadas 3,25 cm, y el

cm, y el campo magnético proviene de un electroimán de intensidad de campo campo magnético proviene de un electroimán de intensidad de campo variable.variable. Si el voltaje de la batería puede fluctuar entre 120 V

Si el voltaje de la batería puede fluctuar entre 120 V y 560 y el campo magnético, entrey 560 y el campo magnético, entre 0,054 T y 0,180 T,

0,054 T y 0,180 T, ¿cuál es el intervalo de ¿cuál es el intervalo de velocidades de iones que puede producir estevelocidades de iones que puede producir este selector con los

selector con los ajustes correspondientes?ajustes correspondientes?

Solución. Solución. a)

a) F F _B_B

=

F F _E_E así así qqvBvB

=

qq E E ;;

vv E E B

B

=

= 0,10 T.= 0,10 T. Equilibrio de fuerzas, para cualquier signo de Equilibrio de fuerzas, para cualquier signo de qq.. b)

b) E E

=

V V d d así así

B B d d V V B B E E vv

=

menor menor vv:: menor ,

menor ,V V mmaayyoorr ,, B B

)) 180 180 ,, 0 0 (( )) 0325 0325 ,, 0 0 (( 120 120 min min

=

vv = 2,1 x 10= 2,1 x 1044m/sm/s

(8)

mayor mayor vv:: mayor

mayor V V menor,,menor B B,,

,054) ,054) (0,0325)(0 (0,0325)(0 560 560 min min

=

vv = 3,2 x 10= 3,2 x 1055m/sm/s 27.31

27.31 Cómo determinar la masa de un isótopo. El campo eléctrico entre las placas delCómo determinar la masa de un isótopo. El campo eléctrico entre las placas del selector de velocidad de u

selector de velocidad de un espectrómetro de masan espectrómetro de masas de Bainbridge s de Bainbridge es de 1,12 x l0es de 1,12 x l055 V/m, y el campo magnético en ambas regiones es de 0,540 T. Un torrente de iones V/m, y el campo magnético en ambas regiones es de 0,540 T. Un torrente de iones selenio con una sola carga cada uno describe una

selenio con una sola carga cada uno describe una trayectoria circular de 31,0 cm trayectoria circular de 31,0 cm dede radio en el campo magnético. Determine la masa de un ion selenio y el número de masa radio en el campo magnético. Determine la masa de un ion selenio y el número de masa de este isótopo de selenio. (El número de masa es igual a la masa del isótopo en

de este isótopo de selenio. (El número de masa es igual a la masa del isótopo en unidades de masa atómica, redondeado a enteros. Una unidad de masa atómica = unidades de masa atómica, redondeado a enteros. Una unidad de masa atómica = 1 u =1 u = 1,66 x l0 1,66 x l02727 kg).kg). Solución. Solución. 2 2 qB qB mE mE qB qB mv mv R R

=

⇒

E E RqB RqB m m 2 2

=

₌₌ )) 10 10 12 12 ,, 1 1 (( )) 540 540 ,, 0 0 )( )( 10 10 60 60 ,, 1 1 )( )( 310 310 ,, 0 0 (( 5 5 2 2 19 19

×

−− = 1,29 x 10 = 1,29 x 10-25-25 kgkg

⇒

27 27 25 25 10 10 66 66 ,, 1 1 10 10 29 29 ,, 1 1 )) amu amu (( ₋₋ − −

×

=

m

m = 78 unidades de masa atómica.= 78 unidades de masa atómica.

27.32

27.32 En un espectrómetro de masas de Bainbridge, lEn un espectrómetro de masas de Bainbridge, la magnitud del campo magnéticoa magnitud del campo magnético del selector de velocidad es de 0,650 T, y los iones cuya rapidez es de 1,82 x 10

del selector de velocidad es de 0,650 T, y los iones cuya rapidez es de 1,82 x 1066m/s lom/s lo atraviesan sin desviarse.

atraviesan sin desviarse.

a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico del selector de velocidad? a) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico del selector de velocidad? b) Si la separación de las placas es de 5,20 mm, ¿cuál es la

b) Si la separación de las placas es de 5,20 mm, ¿cuál es la diferencia de potencial entrediferencia de potencial entre las placas P y P’?

(9)

a) E E

=

vBvB

=

((11,,8282

×

101066)()(00..650650))= 1,18 x 10= 1,18 x 1066V/m.V/m. b)

b) E E

=

V V d d

⇒

V V

=

Ed Ed

=

((11,,1818

×

101066)()(55,,2020

×

1010−−33))= 6,14 kV.= 6,14 kV.

Sección 27.6 Fuerza magnética sobre un

Sección 27.6 Fuerza magnética sobre un conductor qué transporta corrienteconductor qué transporta corriente

27.37

27.37 Un alambre situado a lo largo del ejes conduce una corriente de 3.50 A en laUn alambre situado a lo largo del ejes conduce una corriente de 3.50 A en la dirección negativa. Calcule la fuerza (expresada en términos de

dirección negativa. Calcule la fuerza (expresada en términos de vectores unitarios) quevectores unitarios) que los campos magnéticos siguientes ejercen sobre un segmento de 1,00 cm de

los campos magnéticos siguientes ejercen sobre un segmento de 1,00 cm de alambre:alambre: a) a) → → B B = - (0,65T)= - (0,65T) jjˆˆ ; ; b)b) → → B B + (0,56T)+ (0,56T) k k ˆˆ ;; c) c) → → B B = = - - (0,31 (0,31 T)T) iiˆˆ d)d) → → B B = + (0,33 T)= + (0,33 T) iiˆˆ - - (0,28 (0,28 T)T) k k ˆˆ ;; e) e) → → B B = + (0,74T)= + (0,74T) j jˆˆ - (0,36T)- (0,36T) k k ˆˆ Solución. Solución.

El alambre está en el eje

El alambre está en el eje x x y la fuerza sobre 1 cm esy la fuerza sobre 1 cm es a) a) → → → → → →

×

=

I I BB F

F ll ₌₌ ₍₍

−

_3,50_3,50 _A)(0,010)(_A)(0,010)(

−

₀₀_,65)_,65)

( ( ))

_iiˆˆ

×

_k_kˆˆ _{= + (0,023 N)}_{= + (0,023 N) k}_kˆˆ ..

b) b) → → → → → →

×

=

_I_I _B_B F F ll ₌₌ ₍₍

−

_3,50)(0,01_3,50)(0,01₀₎₍₀₎₍

+

_0,56)_0,56)

( ( ))

_iiˆˆ

×

_k_kˆˆ _{= + (0,020 N)}_{= + (0,020 N) j}_jˆˆ c) c) → → → → → →

×

=

_I_I _B_B F F ll ₌₌ ₍₍

−

_3,50)(0,01_3,50)(0,01₀₎₍₀₎₍

−

_0,31)_0,31)

( ( ))

_iiˆˆ

×

_iiˆˆ ₌₀₌₀ d) d) → → → → → →

×

=

I I BB F F ll ₌₌ ₍₍

−

_3,50)(0,01_3,50)(0,01₀₎₍₀₎₍

−

_0,28)_0,28)

( ( ))

_iiˆˆ

×

_k_kˆˆ _{= - (9,8 x 10}_{= - (9,8 x 10}-3-3_N)_{N) j}_{jˆˆ ..} e) e) → → → → → →

×

=

I I BB F F ll ₌₌

=

₍₍

−

_3,50)(0,01_3,50)(0,01₀₎₀₎_0,74_0,74

( ( ))

_iiˆˆ

×

_j_jˆˆ

−

_0,36_0,36

( ( ))

_iiˆˆ

×

_k_kˆˆ ₌₌ j j k k ˆˆ (0,013(0,013N)N)~~ N) N) (0,026 (0,026

−

27.40 Balanza magnética.

27.40 Balanza magnética. El circuito que se muestra en la figura sirve El circuito que se muestra en la figura sirve para construirpara construir una balanza magnética para pesar objetos. La masa m, que

una balanza magnética para pesar objetos. La masa m, que se van medir, se cuelga se van medir, se cuelga deldel centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1,50 T dirigido hacia el centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1,50 T dirigido hacia el

(10)

plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la

plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería para modificar la corriente enbatería para modificar la corriente en el circuito. La barra horizontal mide 60,0cm de largo y es de un

el circuito. La barra horizontal mide 60,0cm de largo y es de un material sumamentematerial sumamente ligero. Está conectada a la

ligero. Está conectada a la batería mediante unos alambres verticales finos incapaces debatería mediante unos alambres verticales finos incapaces de soportar una tensión apreciable; todo el

soportar una tensión apreciable; todo el peso de la masa suspendida m está peso de la masa suspendida m está sostenidosostenido por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistencia

por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistencia R R = 5,00= 5,00

Ω

_en_{en serie con la barra la resistencia del resto del circuito es}_{serie con la barra la resistencia del resto del circuito es mucho menor que ésta.}_{mucho menor que ésta.}

a) ¿Cuál punto

a) ¿Cuál punto aa oo bb, debe ser el borne positivo de la batería?, debe ser el borne positivo de la batería? b) Si el voltaje máximo de bornes de l

b) Si el voltaje máximo de bornes de la batería es de 175 V, es la a batería es de 175 V, es la masa más grande quemasa más grande que el instrumento puede medir?

el instrumento puede medir?

a) La fuerza mLa fuerza magnética de agnética de la barra debla barra debe ser hae ser hacia arriba de cia arriba de tal manera tal manera la corriente ala corriente a través de ella de

través de ella debe ser be ser hacia la derechahacia la derecha. Por lo tanto,. Por lo tanto, aa debe ser el terminal positivo.debe ser el terminal positivo. b)

b) Para Para el el equilibrio,equilibrio, F F _B_B

=

mg mg mg

mg ILB

ILBsensenθ θ

=

⇒

g g ILB ILB mg mg

=

sensenθ θ 00 00 ,, 5 5 175 175

=

R R I I ε ε = 35,0 A= 35,0 A 9,80 9,80 )(1,50) )(1,50) 00 00 (35,0)(0,6 (35,0)(0,6

=

m m = 3,21 kg.= 3,21 kg. 27.43

27.43 Una bobina circular de alambre de 8,6 cm de diámetro tiene 15 espiras y conduceUna bobina circular de alambre de 8,6 cm de diámetro tiene 15 espiras y conduce una corriente de 2,7 A. La bobina está en una región donde el campo magnético es de una corriente de 2,7 A. La bobina está en una región donde el campo magnético es de 0,56 T.

0,56 T.

a) ¿Qué orientación de la bobina proporciona el momento de torsión máximo en la a) ¿Qué orientación de la bobina proporciona el momento de torsión máximo en la bobina, y cuál es este

bobina, y cuál es este momento de torsión máximo?momento de torsión máximo?

b) ¿Con qué orientación de la bobina es la magnitud del momento de torsión el b) ¿Con qué orientación de la bobina es la magnitud del momento de torsión el 71% del hallado en el inciso (a)?

71% del hallado en el inciso (a)? Solución.

Solución. a)

a) El torque es El torque es máximo cuandmáximo cuando el plano o el plano de la esde la espira es paralepira es paralelo alo a B B.. φ

φ τ

τ

=

NIBA NIBAsensen

⇒

_τ_τ_max_max

=

(15)(2,7)((15)(2,7)(0,56)0,56)π π (0,08866)(0,08866)22 sensen9090

°°

_{= 0,132 Nm.}_{= 0,132 Nm.} b)

b) El torque sobre la eEl torque sobre la espira es 71% del mspira es 71% del máximo cuandoáximo cuando sensenφ φ

=

0,710,71

⇒

φ φ

=

4545

°°

27.44

27.44 Una bobina rectangular de alambre, de Una bobina rectangular de alambre, de 22,0 cm por 35,0 cm 22,0 cm por 35,0 cm y que conduce unay que conduce una corriente de 1,40 A,

corriente de 1,40 A, está orientada con el plano de está orientada con el plano de su espira perpendicular a un camposu espira perpendicular a un campo magnético uniforme de 1,50 T, como se muestra en la figura.

(11)

a) Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el

a) Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el campo magnético ejerce sobcampo magnético ejerce sobrere la bobina.

la bobina.

b) Se hace girar la bobina un ángulo de 30,0° en torno al

b) Se hace girar la bobina un ángulo de 30,0° en torno al eje que se muestra, de modoeje que se muestra, de modo que el lado izquierdo salga del plano de la figura y el

que el lado izquierdo salga del plano de la figura y el lado derecho entre en el plano.lado derecho entre en el plano. Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el

Calcule la fuerza neta y el momento de torsión que el campo magnético ejerce ahoracampo magnético ejerce ahora sobre la bobina. (Sugerencia: Para facilitar

sobre la bobina. (Sugerencia: Para facilitar la visualización de este problemala visualización de este problema tridimensional, haga un dibujo minucioso de la bobina vista a lo largo del eje de tridimensional, haga un dibujo minucioso de la bobina vista a lo largo del eje de rotación)

rotación)

a) La fuerza La fuerza sobre casobre cada segmda segmento de ento de la bobina la bobina es hacia es hacia el centro el centro de la de la bobina, abobina, así sí lala fuerza y el torque netos son cero.

fuerza y el torque netos son cero. b)

b) Como se Como se ve a ve a continuación:continuación:

Las fuerzas en (a),

Las fuerzas en (a), se cancelan.se cancelan.

θ θ IlBL IlBL θ θ L L F

F sensen sensen 2 2 2 2 _B_B

=

∑

_τ_τ ₌₌ _(1,40)(0,2_(1,40)(0,2_20)(1,50)(_20)(1,50)(_0,350)_0,350)_sen_sen ₃₀₃₀

°°

= 8,09 x 10

= 8,09 x 10-2-2Nm sentido antihorario.Nm sentido antihorario.

Problemas

27.53

27.53 Cuando una partícula con una cargaCuando una partícula con una carga qq > 0 se tr> 0 se traslada con una velocidadaslada con una velocidad

→ →

1 1

vv orientada a 45,0º con respecto al eje +

orientada a 45,0º con respecto al eje + x x en el planoen el plano xy xy, un campo magnético uniforme, un campo magnético uniforme ejerce una fuerza

ejerce una fuerza

→ →

1 1

F

F a lo largo del eje -a lo largo del eje - z z . Cuando la misma partícula se traslada con. Cuando la misma partícula se traslada con una velocidad una velocidad → → 2 2

vv de la misma magnitud que pero a lo largo del de la misma magnitud que pero a lo largo del eje +eje + z z , se ejerce sobre, se ejerce sobre ella una fuerza

ella una fuerza

→ →

2 2

F

F de magnitudde magnitud F F 22a lo largo del eje +a lo largo del eje + x x..

a) ¿Cuáles son la magnitud (en términos de

a) ¿Cuáles son la magnitud (en términos de qq11,, vv11yy F F 22) y la dirección del campo) y la dirección del campo

magnético? magnético?

(12)

b) ¿Cuál es la magnitud de

b) ¿Cuál es la magnitud de F F 11en términos deen términos de F F 22??

a) Por inspPor inspección, ección, usandousando F F

=

qqvv

×

B B

=

−

B B j jˆˆ

→ → → → → →

obtendremos la dirección correcta para obtendremos la dirección correcta para cada fuerza. Usando cualquiera de las fuerzas, digamos

cada fuerza. Usando cualquiera de las fuerzas, digamos F F 22, , ..

2 2 2 2 vv q q F F B B

=

b) b) 2 2 2 2 45 45 sen sen 22 22 1 1 1 1 F F B B vv q q B B vv q q F F

=

°°

=

(porque(porque vv₁₁

=

vv₂₂ ).). 27.56

27.56 En el cañón de En el cañón de electrones de un cinescopio de televisor los electrones (carga: -electrones de un cinescopio de televisor los electrones (carga: - ee;; masa:

masa: mm) son acelerados por un voltaje) son acelerados por un voltaje V V . Después de salir del . Después de salir del cañón de electrones, elcañón de electrones, el haz de electrones recorre una distancia

haz de electrones recorre una distancia D D hasta la pantalla; en esta región hay un campohasta la pantalla; en esta región hay un campo magnético transversal de magnitud

magnético transversal de magnitud B B y ningún campo eléctrico,y ningún campo eléctrico, a) Demuestre que la desviación aproximada del haz debida

a) Demuestre que la desviación aproximada del haz debida a este campo magnético esa este campo magnético es mV mV ee BD BD d d 2 2 2 2 2 2

=

b) Evalúe esta expresión con

b) Evalúe esta expresión con V V = 750 V,= 750 V, D D = 50 cm y= 50 cm y B B = 5,0 x l0= 5,0 x l0-5-5T (comparable alT (comparable al campo de la Tierra).

campo de la Tierra). ¿Es significativa esta desviación?¿Es significativa esta desviación? Solución.

Solución. a)

a) El movEl movimiento eimiento es circus circular:lar: 2 2 2 2 2 2 R R y y x

x

+

=

⇒

x x

=

D D

⇒

y y₁₁

=

R R22

−

DD22 (trayectoria de la partícula deflectada)(trayectoria de la partícula deflectada) R

R y

y₂₂

=

(ecuación para la (ecuación para la tangente al círculo, trayectoria de la patangente al círculo, trayectoria de la partícula no deflectada)rtícula no deflectada) 2 2 2 2 1 1 2 2 y y R R R R DD y y d d

=

−

=

−

==

⎥⎥

⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢

⎣⎣

⎡⎡

−

=

−

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 R R D D R R R R D D R R R R Sí Sí R R

>>

D D

⇒

R R D D R R D D R R d d 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

=

⎥⎥

⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢

⎣⎣

⎡⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

≈

.. Para

Para una una particular particular moviéndose moviéndose en en un un campo campo magnético, magnético, .. qB qB mv mv R R

=

Como Como mvmv22

=

qV qV 2 2 1 1 , luego , luego q q mV mV B B R R

=

11 22 .. La deflexión es La deflexión es .. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 mV mV ee B B D D mV mV q q B B D D d d

≈

=

(13)

b) b) )(750) )(750) 10 10 2(9,11 2(9,11 )) 10 10 (1,6 (1,6 2 2 )) 10 10 (5,0 (5,0 (0,50) (0,50) 31 31 19 19 5 5 2 2 − − − − − −

×

=

d d = 0,067 m = 6,7 cm.= 0,067 m = 6,7 cm. % % 13 13

≈

d

d dede D D, cual es bastante significativa., cual es bastante significativa. 27.58

27.58 Una partícula con cargaUna partícula con carga qq > 0 se > 0 se desplaza con rapidezdesplaza con rapidez vv en la dirección +en la dirección + z z aa través de una región de

través de una región de campo magnético uniformecampo magnético uniforme B B. La fuerza magnética sobre la. La fuerza magnética sobre la partícula es

partícula es F F

=

F F ₀₀

( (

33iiˆˆ

+

44 j jˆˆ

))

→ →

, donde

, donde F F 00es una constante positiva.es una constante positiva.

a) Halle las

a) Halle las componentescomponentes B B x x,, B B y yyy B B z z , o al menos tantas de las tr, o al menos tantas de las tres componentes comoes componentes como

sea posible a partir de la información dada. sea posible a partir de la información dada.

b) Si además se sabe que la magnitud del campo magnético es 6

b) Si además se sabe que la magnitud del campo magnético es 6 F F 00 / / qvqv, averigüe todo lo, averigüe todo lo

que pueda acerca de las componentes restantes de que pueda acerca de las componentes restantes de

→ → B B .. a) a) → → → → → →

×

=

_q_q_vv _B_B F F == z z y y x x z z y y x x z z y y x x B B B B B B vv k k j j ii q q B B B B B B vv vv vv k k j j ii q q 00 00 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ

=

₌₌

−

_qvB_qvB_y_y_iiˆˆ

+

_qvB_qvB_x_x_j_jˆˆ Pero Pero F F

=

33 F F ₀₀iiˆˆ

+

44 F F ₀₀ j jˆˆ → → , luego

, luego 3 3 F F ₀₀

=

−

qvBqvB_y_y yy 44 F F ₀₀

=

qvBqvB_x_x

⇒

qv qv F F B B_y_y

=

−

33 00 ,, qv qv F F B B_x_x

=

44 00 ,, B B z z es arbitrario.es arbitrario. b) b) qv qv F F B B

=

66 00 ₌₌ 22 22 22 z z y y x x B B BB B B

+

== 00 ₉₉ ₁₆₁₆ 22 z z B B qv qv F F

₊

= = 00 ₂₅₂₅ 22 z z B B qv qv F F

₊

⇒

=

±

⋅⋅

qv qv F F B B_z_z 1111 00 27.61

27.61 Una partícula con carga negativaUna partícula con carga negativa qq y masay masa mm = 2,58 x 10= 2,58 x 10-15-15 kg viaja a través dekg viaja a través de una región que contiene un campo magnético uniforme

una región que contiene un campo magnético uniforme

→ →

B

B = - (0,120 T)= - (0,120 T) k k ˆˆ . En un. En un instante determinado la velocidad de la partícula es i

instante determinado la velocidad de la partícula es i

→ →

vv = (1,05 x l0= (1,05 x l066 m/s)

m/s)

( (

−

33iiˆˆ

+

44 j jˆˆ

+

1212k k &&&&

))

y la magnitud de la fuerza sobre la partícula es de y la magnitud de la fuerza sobre la partícula es de 1,25 N.1,25 N. a) Halle la carga a) Halle la carga qq.. b) Determine la aceleración b) Determine la aceleración → → a a de la partícula.de la partícula.

c) Explique por qué la trayectoria de la partícula es una hélice, y proporcione el radio de c) Explique por qué la trayectoria de la partícula es una hélice, y proporcione el radio de curvatura

curvatura R R de la componente circular de la de la componente circular de la trayectoria helicoidal.trayectoria helicoidal. d) Obtenga la frecuencia de ciclotrón de la partícula.

d) Obtenga la frecuencia de ciclotrón de la partícula.

e) Aunque el movimiento helicoidal no es periódico en el sentido estricto de la palabra, e) Aunque el movimiento helicoidal no es periódico en el sentido estricto de la palabra, las coordenadas

las coordenadas x x ee y y varían de manera periódica. Si las varían de manera periódica. Si las coordenadas de la partícula encoordenadas de la partícula en t t = 0 son (

= 0 son ( x x,, y y,, z z ) = () = ( R R, 0, 0), , 0, 0), encuentre sus coordenadas en el tiempoencuentre sus coordenadas en el tiempo t t = 2= 2 T T , donde, donde T T eses el periodo del movimiento en el plano

el periodo del movimiento en el plano xy xy.. Solución. Solución. a) a) → → → → → →

×

=

qqvv BB F

(14)

⇒

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 )) (( )) (( 1 1 x x y y z z vv vv B B F F q q

+

=

⇒

[

66

]

22

[

66

]]

22 )) 10 10 05 05 ,, 1 1 (( 3 3 )) 10 10 05 05 ,, 1 1 (( 4 4 1 1 T T 0,120 0,120 N N 25 25 ,, 1 1

×

−

+

×

−

=

q q = - 1,98= - 1,98 x 10 x 10-6-6C.C. b) b) m m B B vv q q m m F F a a → → → → → → → →

_×

=

₌₌

[ [

vv B B ii vv B B j j

]]

m m q q z z x x z z y y ))ˆˆ (( ))ˆˆ ((

−

⇒

aa

=

9,679,67

×

10101313 m/sm/s22

( (

44iiˆˆ

+

33 j jˆˆ

))

→ →

⇒

aa ((11,,0505 1010 ))(( 00,,120120))

( (

44iiˆˆ 33 j jˆˆ

))

10 10 58 58 ,, 2 2 10 10 98 98 ,, 1 1 ₆₆ 15 15 6 6

+

−

×

−

=

₋₋ − − → → c)

c) El movimiento El movimiento es helicoidaes helicoidal ya ql ya que la ue la fuerza está fuerza está en el en el planoplano xy xy pero la velocidadpero la velocidad tiene una componente

tiene una componente z z . El radio de la . El radio de la parte circular del movimiento es:parte circular del movimiento es: qB qB mv mv R R

=

== )) 120 120 ,, 0 0 (( )) 10 10 98 98 ,, 1 1 (( )) 10 10 05 05 ,, 1 1 (( )) 5 5 (( )) 10 10 58 58 ,, 2 2 (( 6 6 6 6 15 15 − − − −

×

= 0,057 m. = 0,057 m. d) d) π π _m_m qB qB π π ω ω f f 2 2 2 2

=

₌₌ )) 10 10 58 58 ,, 2 2 (( 2 2 )) 120 120 ,, 0 0 (( )) C C 10 10 98 98 ,, 1 1 (( 15 15 6 6 − − − −

×

π π = 14,7 MHz.= 14,7 MHz. e)

e) Después Después de dode dos ciclos s ciclos completos, completos, los valorelos valores des de x x ee y y vuelven a sus valoresvuelven a sus valores originales,

originales, x x == RR ee y y = 0, pero= 0, pero z z ha cambiado.ha cambiado. f f vv Tv Tv z z z z z z 2 2 2 2

=

₌₌ 7 7 6 6 10 10 47 47 ,, 1 1 )) 10 10 05 05 ,, 1 1 (( )) 12 12 (( 2 2

×

+

= 1,71 m. = 1,71 m. 27.65

27.65 El cubo de la figura, de 75,0 cm por El cubo de la figura, de 75,0 cm por lado, está en un campo magnético uniformelado, está en un campo magnético uniforme de 0,860 T paralelo al eje de las

de 0,860 T paralelo al eje de las x x. El alambre. El alambre abcdef abcdef conduce una corriente de 6,58 Aconduce una corriente de 6,58 A en la dirección que se indica. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que actúa en la dirección que se indica. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza que actúa sobre cada uno de los

sobre cada uno de los segmentossegmentos abab,, bcbc,, cd,cd, dede yy ef ef ..

b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total que actúa sobre el

b) ¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza total que actúa sobre el alambre?alambre?

a) ll_ab_ab_:: _F_F _I_I _B_B _I_I

( (

_B_B

))

_j_j _ii

ab ab ab ab

×

=

ˆˆ

×

ˆˆ

=

→→ →→ → → l l l l ₌₌

−

₍₍₆₆_,,₅₈₅₈₎₎_(0,750_(0,750₎₎₍₍₀₀_,,₈₆₀₈₆₀₎₎_k_kˆˆ ₌₌ ₍₍

−

₄₄_,,₂₄₂₄ _N_N₎₎_k_kˆˆ bc bc l

l _::_F_F _I_I _B_B _I_I

( (

_B_B

))

( ( ))

ii j j _ii

bc bc bc bc ˆˆ 2 2 ˆˆ ˆˆ

×

⎥⎥

⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢

⎣⎣

⎡⎡ −−

=

×

=

→→ →→ → → l l l l ₌₌

−

₍₍₆₅₈₆₅₈₎₎_(0,750_(0,750₎₎₍₍₀₀_,,₈₆₀₈₆₀₎₎_jˆˆ_j ₌₌ ₍₍

−

₄₄_,,₂₄₂₄_N_N₎₎_j_jˆˆ_.. cd cd l

l _::_F_F _I_I _B_B _I_I

( (

_B_B

))

( ( ))

k k j j _ii

cd cd cd cd ˆˆ 2 2 ˆˆ ˆˆ

×

⎥⎥

⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢

⎣⎣

⎡⎡ −−

=

×

=

→→ →→ → → l l l l ₌₌ ₍₍₄₄_,,₂₄₂₄ _N_N₎₎ _j_jˆˆ

+

_k_kˆˆ _..

(15)

de de

l

l _::_F_F _I_I _B_B _I_I

( (

_B_B

))

[ [

_k_k _ii

]]

de de de de

×

=

−

ˆˆ

×

ˆˆ

=

→→ →→ → → l l l l ₌₌

−

₍₍₆₆_,,₅₈₅₈₎₎_(0,750_(0,750₎₎₍₍₀₀_,,₈₆₀₈₆₀₎₎_j_jˆˆ ₌₌ ₍₍

−

₄₂₄₄₂₄ _N_N₎₎_j_jˆˆ_.. ef ef l

l _::_F_F _I_I _B_B _I_I

( (

_B_B

))

[ [

_ii _ii

]]

ef ef ef ef

×

=

−

ˆˆ

×

ˆˆ

=

→→ →→ → → l l l l _{= 0.}_{= 0.} b)

b) Sumando Sumando todas las todas las fuerzas dfuerzas de la e la parte (a) parte (a) tenemos:tenemos: j j F F total total

=

((

−

44,,2424 NN))ˆˆ → → .. 27.66

27.66 Cañón electromagnético de rieles. Una barra conductora de masaCañón electromagnético de rieles. Una barra conductora de masa mm y longitudy longitud L L se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de

se desliza sobre rieles horizontales conectados a una fuente de voltaje. La fuente devoltaje. La fuente de voltaje mantiene una corriente constante

voltaje mantiene una corriente constante I I en los rieles y en la barra, y en los rieles y en la barra, y un campoun campo magnético vertical uniforme y constante

magnético vertical uniforme y constante B B llena la región comprendida entre los llena la región comprendida entre los rieles.rieles. a) Proporcione la magnitud y dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra

a) Proporcione la magnitud y dirección de la fuerza neta que actúa sobre la barra conductora. No tenga en cuenta ni la fricción, ni la resistencia del aire ni la

conductora. No tenga en cuenta ni la fricción, ni la resistencia del aire ni la resistenciaresistencia eléctrica.

eléctrica.

b) Si la barra ti

b) Si la barra tiene una masa m, baile la distanciaene una masa m, baile la distancia d d que la barra debe recorrer a lo largoque la barra debe recorrer a lo largo de los rieles a partir de

de los rieles a partir de una posición de reposo para alcanzar una rapidez u.una posición de reposo para alcanzar una rapidez u. c) Se ha

c) Se ha sugerido que cañones de rieles basados en este principio podrían sugerido que cañones de rieles basados en este principio podrían aceleraracelerar cargas hasta una órbita terrestre o más lejos aún. Halle la distancia que la barra debe cargas hasta una órbita terrestre o más lejos aún. Halle la distancia que la barra debe recorrer a lo largo de los rieles

recorrer a lo largo de los rieles para alcanzar la rapidez de escape de la Tierra (11,2para alcanzar la rapidez de escape de la Tierra (11,2 km/s).

km/s). Sean

Sean B B = 0,50T,= 0,50T, I I = 2.0 x l0= 2.0 x l033A,A, mm = = 25 25 kg kg yy L L = 50cm.= 50cm.

a) F = ILB, F = ILB, a la derecha.a la derecha. b) b) vv22

=

22ad ad

⇒

ILB ILB m m vv a a vv d d 2 2 2 2 2 2 2 2

=

_.. c) c) (0,50) (0,50) (0,50) (0,50) 2(2000) 2(2000) (25) (25) )) 10 10 (1,12 (1,12

×

44 22

=

d d =3,14 x 106 m = 3140 km.=3,14 x 106 m = 3140 km. 27.70

27.70 Espectrógrafo de masas. El espectrógrafo de masas se utiliEspectrógrafo de masas. El espectrógrafo de masas se utiliza para medir masas deza para medir masas de iones, o para separar iones de diferente masa. En cierto diseño de un instrumento de este iones, o para separar iones de diferente masa. En cierto diseño de un instrumento de este tipo, se aceleran iones de

tipo, se aceleran iones de masamasa mm y cargay carga qq a través de una diferencia de a través de una diferencia de potencialpotencial V V , los, los cuales entran después en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad, y cuales entran después en un campo magnético uniforme perpendicular a su velocidad, y son desviados en una trayectoria circular de radio

son desviados en una trayectoria circular de radio R R. Un detector mide el punto donde. Un detector mide el punto donde los iones completan el semicírculo, y a partir de esto es fácil

los iones completan el semicírculo, y a partir de esto es fácil calcularcalcular R R..

a) Deduzca una ecuación para calcular la masa del ion a partir de mediciones de

a) Deduzca una ecuación para calcular la masa del ion a partir de mediciones de B B,, V,V, R R y

y qq..

b) ¿Qué diferencia de potencial se

b) ¿Qué diferencia de potencial se necesita para que los átomos de ‘necesita para que los átomos de ‘2C monoionizados2C monoionizados tengan un R = 50,0 cm en un campo magnético de 0.150 T?

tengan un R = 50,0 cm en un campo magnético de 0.150 T? c) Suponga que el

c) Suponga que el haz se compone de una mezcla de ioneshaz se compone de una mezcla de iones 1212C yC y 1414C. SiC. Si V V yy B B tienen lostienen los mismos valores que en el inciso (b), calcule la separación de estos dos isótopos en el mismos valores que en el inciso (b), calcule la separación de estos dos isótopos en el

(16)

detector. ¿Considera usted que esta separación entre los haces basta para distinguir detector. ¿Considera usted que esta separación entre los haces basta para distinguir loslos dos iones?

dos iones?

a) Durante Durante la ala aceleración celeración de de los los iones:iones:

m m qV qV vv mv mv qV qV 2 2 2 2 1 1 ₂₂

=

En el campo magnético: En el campo magnético: V V R R qB qB m m qB qB m m qB qB mv mv R R mm qV qV 2 2 2 2 2 2 2 2

=

b) b) )) 10 10 66 66 ,, 1 1 (( )) 12 12 (( 2 2 )) 500 500 ,, 0 0 (( )) 150 150 ,, 0 0 (( )) 10 10 60 60 ,, 1 1 (( 2 2 2727 2 2 2 2 19 19 2 2 2 2 − − − −

×

=

m m R R qB qB V V V V 10 10 26 26 ,, 2 2

×

44

=

V V c)

c) Los iones son separaLos iones son separados por las diferencias en sus diádos por las diferencias en sus diámetros.metros. 2 2 2 2 2 2 2 2 qB qB Vm Vm R R D D

=

12 12 2 2 14 14 2 2 12 12 14 14 2 2 2 2 2 2 2 2 qB qB Vm Vm qB qB Vm Vm D D D D D D

=

−

=

−

Δ

₌₌ ₂₂ 22 ((11amuamu))

( (

₁₄₁₄ ₁₂₁₂

))

2 2

−

qB qB V V = =

( (

1414 1212

))

)) 150 150 ,, 0 0 (( )) 10 10 6 6 ,, 1 1 (( )) 10 10 66 66 ,, 1 1 )( )( 10 10 26 26 ,, 2 2 (( 2 2 2 2 ₁₉₁₉ ₂₂ 27 27 4 4

−

×

− − − − = = 88,,0101

×

1010−−22 mm

≈

88cmcm Fácilmente distinguible. Fácilmente distinguible.

(17)

27.72

27.72 La espira triangular de alambre que se mLa espira triangular de alambre que se muestra en la figura uestra en la figura conduce una corrienteconduce una corriente I

I = 5,00 A en el sentido que se indica.= 5,00 A en el sentido que se indica. La espira se encuentra en un

La espira se encuentra en un campo magnético uniforme de magnitudcampo magnético uniforme de magnitud B B = 3,00 T.= 3,00 T. orientado en la misma dirección que la corriente en el lado PQ de la

orientado en la misma dirección que la corriente en el lado PQ de la espira.espira.

a) Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado diferente de cero, a) Halle la fuerza que el campo magnético ejerce sobre cada lado diferente de cero, especifique su dirección.

especifique su dirección.

b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la espira? b) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la espira?

c) La espira gira alrededor de un eje situado a lo

c) La espira gira alrededor de un eje situado a lo largo del lado PR. Con base en laslargo del lado PR. Con base en las fuerzas calculadas en el inciso (a), calcule el momento de torsión sobre cada lado de la fuerzas calculadas en el inciso (a), calcule el momento de torsión sobre cada lado de la espira.

espira.

d) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión neto sobre la espira? Calcule el d) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión neto sobre la espira? Calcule el

momento de torsión neto a partir de los momentos de torsión calculados en el inciso (c). momento de torsión neto a partir de los momentos de torsión calculados en el inciso (c). ¿Coinciden estos resultados?

¿Coinciden estos resultados?

e) ¿Está dirigido el momento de torsión de modo que hace girar el

e) ¿Está dirigido el momento de torsión de modo que hace girar el punto Q hacia elpunto Q hacia el plano de la figura o hacia afuera de este plano?

plano de la figura o hacia afuera de este plano?

Solución. Solución. a) a) → → → → → →

×

=

I I BB F F ll

⇒

_F_F

=

₍₍₅₅_,,₀₀₀₀₎₎₍₍₀₀_,,₆₀₀₆₀₀₎₎₍₍₃₃_,,₀₀₀₀₎₎ _sen_sen₍₍₀₀

°°

₎₎ PQ PQ = 0 N,= 0 N, )) 90 90 (( sen sen )) (3,00 (3,00 (0,800) (0,800) )) 00 00 ,, 5 5 ((

°°

=

RP RP F

F = 12,0 N (entrando a la página),= 12,0 N (entrando a la página),

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

00 00 ,, 1 1 800 800 ,, 0 0 )) (300 (300 (1,00) (1,00) )) 00 00 ,, 5 5 (( QR QR F

F = 12,0 N (saliendo de la página).= 12,0 N (saliendo de la página). b)

b) La fuerza neta soLa fuerza neta sobre la espira triangulabre la espira triangular de alambre es r de alambre es cero.cero. c)

c) Para calcular Para calcular el torque soel torque sobre un alambre un alambre uniforme bre uniforme cabe suponcabe suponer que la er que la fuerza sobrefuerza sobre el alambre se aplica en

el alambre se aplica en su centro. Además, tenga en cuenta que nos su centro. Además, tenga en cuenta que nos encontramos con elencontramos con el torque con respecto a al eje PR (no alrededor de un punto), y, en consecuencia, el brazo torque con respecto a al eje PR (no alrededor de un punto), y, en consecuencia, el brazo de palanca será la distancia desde el centro del alambre al eje

de palanca será la distancia desde el centro del alambre al eje x x.. )) (( sen sen θ θ rF rF F F r r

×

=

→→ →→ → → τ τ

⇒

τ τ

=

r r ((00 N)N)

=

00 PQ PQ ,, τ τ RP RP

=

((00mm)) F F sensenθ θ

=

00,, )) 90 90 (( sen sen )) 0 0 ,, 12 12 (( )) 300 300 ,, 0 0 ((

°°

=

QR QR τ

τ _{= 3,60 Nm ( hacia la derecha y paralela a PR).}_{= 3,60 Nm ( hacia la derecha y paralela a PR).}

d)

d) τ τ

=

NIAB NIABsensenφ φ ₌₌ _(0,600)(0,_(0,600)(0,_800)(3,00)_800)(3,00)_sseen_n9₉₀_0ºº 2 2 1 1 )) 00 00 ,, 5 5 )( )( 1 1 ((

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

= 3,60 Nm, que

= 3,60 Nm, que concuerdaconcuerda con la parte (c).

con la parte (c). e)

e) El El puntopunto QQ será rotado será rotado fuera del fuera del plano de la plano de la figura.figura.

27.75

27.75 La espira rectangular de alambre quLa espira rectangular de alambre que se muestra en la figura e se muestra en la figura tiene una masa detiene una masa de 0,15 g por centímetro de longitud y gira en torno al

0,15 g por centímetro de longitud y gira en torno al ladolado abab sobre un eje sin fricción. Lasobre un eje sin fricción. La corriente en el alambre es de 8,2 A, en el