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Texto completo

(1)

LÓGICA PROPOSICIONAL

(2)

AGENDA

• Proposiciones Simples

• Conectivos y proposiciones compuestas.

• Tablas de verdad

• Construcción de tablas de verdad para proposiciones compuestas

• Formas derivadas del condicional

(3)

• Es un enunciado al cual se le puede

asociar el concepto de verdadero o falso, pero no ambos.

Ejemplos:

• La luna es cuadrada

• 7 es un número primo

• Las arañas son mamíferos

¿Son proposiciones? • ¿Qué hora es?

• Por favor, cierre la puerta

• El 6 de abril de 1876 fue sábado

• Dice el Presidente:

“Todos en este país son unos mentirosos y esto es verdad”

(4)

PROPOSICIONES COMPUESTAS

CONECTIVOS

• Conocido el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas.

(5)

• Si p es una proposición, entonces “no p” es la negación de p y se denota por:

~ p Ejemplo:

p: Hoy es martes ~ p: Hoy no es martes

• ¿Qué sucede con la negación de p, siendo p verdadero?

• ¿Qué sucede con la negación de p, siendo p falso?

(6)

NEGACIÓN

Esto lo podemos

escribir de una manera

“compacta”, utilizando

una tabla

A esta tabla se le llama

“tabla de certeza de la

negación”

p

~ p

V

F

F

V

(7)

NEGACIÓN

Como sinónimos de no, se utilizan las siguientes expresiones:

No es cierto que ……..

No es el caso que………

Es falso que…………

(8)

• Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por:

p  q

• Ejemplos: p: Hoy es martes

q: La luna es cuadrada r: mañana es miércoles

p  q :Hoy es martes y la luna es cuadrada p  r :Hoy es martes y mañana es miércoles

(9)

CONJUNCIÓN

Para construir la tabla

de p

q, debemos

considerar las diferentes

alternativas de valores

de verdad para p y para

q:

¿Cuáles son ?

Ambas verdaderas

una V y la otra F

ambas falsas

p

q

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

(10)

También

Aún

A la vez

No obstante

Además

Pero

Sin embargo

Aunque

CONJUNCIÓN

(11)

Luís estudia ,

además

de trabajar

Luís estudió

pero

no aprobó

Luís canta,

sin embargo

no baila

Luís jugó futbol

aunque

estaba lesionado

Luís juega futbol ,

también

José

Luís salió,

aún

no llega

Luís cocina

a la vez

que canta

Luís viajará

no obstante

esté sin visa

Luís canta

,

no baila.

(12)

No siempre “y” denota una conjunción ………

Ejemplo:

Silvia y Nelly son hermanas

Esta es una proposición (simple), en donde el “y” permite

establecer la relación

entre los sujetos.

(13)

DISYUNCIÓN

Si p y q son

proposiciones, se

llama disyunción

de p y q a la

proposición

compuesta “p o

q” y se denota

por:

p  q

p

q

p

q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

(14)

DISYUNCIÓN

Ser

é

cantante o futbolista

p: Ser

é

cantante

q: Ser

é

futbolista

Simbolización:

p  q

p

q

p

q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

(15)

• Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposición

compuesta “si p, entonces q” y se denota por:

p  q

• Ejemplos:

• Si no llueve (entonces) iremos a la playa

• Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje

• Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica

(16)

p

q

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

• Veamos la tabla del condicional: p  q

CONDICIONAL

(17)

CONDICIONAL

El condicional es falso, sólo

cuando el antecedente es

verdadero y el consecuente

es falso; es decir, cuando la

“promesa” no se cumple.

p

q

p

q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

(18)

CONDICIONAL

El condicional es muy

importante en matemáticas,

porque los Teoremas se

expresan en forma

condicional.

Un Teorema será un

condicional verdadero con

hipótesis verdadera

p

q

p

q

(19)

CONDICIONAL

Algunas expresiones del lenguaje que indican la presencia de

un condicional (p

q), son las siguientes:

p

es condición suficiente para

q

Si

p

,

q

q

si

p

Que

p

supone que

q

Cuando

p

,

q

q

es condición necesaria para

p

En caso de que

p

entonces

q

(20)

• En los Teoremas, al antecedente del condicional (p) se le llama Hipótesis y al consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusión

• Los Teoremas requieren de una demostración; es decir, partiendo de una hipótesis verdadera, hay que demostrar que la Conclusión es verdadera.

(21)

TABLAS DE VERDAD

• Recordemos que el valor de certeza de una proposición compuesta depende de los valores de certeza de las proposiciones simples que la componen

(22)

EJEMPLO CON 2 PROPOSICIONES SIMPLES

• Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposición :(pq)(p~q)

• 4 filas de posibilidades

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

p

q

p

~q

V

F

F

V

F

V

F

V

~q

F

V

F

V

(p

q)

(p

~q)

F

F

F

(23)

EJEMPLO CON 3 PROPOSICIONES SIMPLES

• ¿Cuántas posibilidades tendremos?

p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

(24)

EJEMPLO CON 3 PROPOSICIONES SIMPLES

p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

r

p

q

p

~(q

p)

V

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

(r

p)

~(q

p)

F

F

F

F

F

F

V

F

(25)

• Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen:

• 1 proposición simple… tendrá 2 filas

• 2 proposiciones simples

• 3 proposiciones simples

• 4 proposiciones simples

……razonando inductivamente……..

• n proposiciones simples

EN RESUMEN

4 =

2

2

filas

8 = 2

3

filas

16= 2

4

filas

(26)

FORMAS DE EXPRESAR UN CONDICIONAL…….

Si

es Cachanilla

,

es Mexicalense

(

p

q

)

Es

Mexicalense

, siempre que sea

Cachanilla

Es

Mexicalense

si es

Cachanilla

Es suficiente que sea

Cachanilla

para que sea

Mexicalense

Siempre y cuando sea

Cachanilla

, será

Mexicalense

.

Es necesario que sea

Mexicalense

para ser Cachanilla

TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN COMO:

(27)

PARTES DE UN CONDICIONAL

p

q

antecedente

Condición

suficiente

consecuente

(28)

FORMAS DERIVADAS DEL CONDICIONAL

Dado el condicional directo: p

q, el condicional ~ p

 ~q se llama

contrario

y lo expresaríamos: “ si no p,

entonces no q”

Directo: p q

Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante

Contrario: ~ p  ~q

(29)

FORMAS DERIVADAS DEL CONDICIONAL

Dado el condicional directo: p

q, el condicional q 

p se llama

recíproco

y lo expresaríamos:

“ si q, entonces p”

Directo: p q

Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante

Recíproco: q  p

(30)

FORMAS DERIVADAS DEL CONDICIONAL

Dado el condicional directo: p

q, el condicional ~ q

 ~p se llama

contrarrecíproco

y lo expresaríamos:

“ si no q, entonces no p”

Directo: p q

Si repruebo el examen, entonces me enojaré bastante

Contrarrecíproco: ~ q  ~p

(31)

FORMAS DERIVADAS

p q

q p

~ p ~ q

~ q ~ p

Directo

Recíproco

Contrario

Contrarrecíproco

recíprocos

contrarios

(32)

EJEMPLO

• Hallar las formas derivadas del siguiente condicional:

• Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. ………. ¿V o F? Falso (contraejemplo: 2)

Recíproco:

(33)

EJEMPLO

• Directo: p q

Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. Contrario: ~ p ~ q

(34)

EJEMPLO

• Directo: p q

Si un número es par, entonces es múltiplo de 4. Contrarrecíproco: ~ q ~ p

• Si un número no es múltiplo de 4, entonces no es par

• Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es par (

antecedente verdadero,

(35)

EJERCICIOS

1. Escribir las formas derivadas para: a) (r  ~q)  p. b)Si yo digo sí, ella dice no.

(36)

EJERCICIOS

Escribe el recíproco, el inverso y el contrarrecíproco de cada una de las proposiciones siguientes:

Si q, entonces r

~ p (~ q )

~p~ (r q )

El sol brilla si estás feliz.

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