Teoremas del punto fijo en espacios de Banach ordenados y aplicaciones

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(1)Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Facultad de Ciencias Fı́sico Matemáticas Posgrado en Matemáticas. Teoremas del Punto Fijo en Espacios de Banach Ordenados y Aplicaciones. Tesis Que para obtener el grado académico de: Maestra en Ciencias (Matemáticas) Presenta: Lic. Anel Vázquez Martı́nez. Directores de Tesis: Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna Dr. José Jacobo Oliveros Oliveros. Puebla, Pue., Enero de 2018.

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(5) A mis padres.

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(7) AGRADECIMIENTOS. Agradezco a mis padres, quienes fueron mi gran ejemplo de fortaleza y aunque están lejos de mi, siempre están presentes en mi corazón, a mi abue quien siempre me ha apoyado en todas las decisiones que he tomado, ası́ como a toda mi familia por el apoyo recibido, aunque no escribo en estos momentos sus nombres. Ustedes saben quiénes son. A mis tutores, Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna por sus importante aportes, quien además, desde mis inicios en la licenciatura me dio su ayuda incondicional, enseñanzas, consejos y por la paciencia que me ha tenido desde entonces, al Dr. José Jacobo Oliveros Oliveros por su participación en el desarrollo de esta tesis, ası́ como por la ayuda económica que me otorgó en estos últimos meses, gracias a ambos por dedicar parte de su tiempo para la mejora de este trabajo, fue un gran placer haber trabajado con ustedes. Además quiero agradecer a mi comité tutorial, quien a lo largo de este camino me han acompañado, al Dr Javier Mendoza Torres por el apoyo económico que me brindo, ası́ como también a los miembros del jurado, Dra. Ma. Monserrat Morı́n Castillo, Dr. Carlos Guillen Galvan, Dr. Gabriel Kantún Montiel por tomarse el tiempo para la revisión de ésta tesis y ası́ hacer un mejor trabajo. También quiero a gradecer al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnologı́a (CONACYT) por la beca económica otorgada para la realización de mis estudios de Maestrı́a. En resumen, a todas las personas que de alguna forma u otra estuvieron conmigo no solo durante la realización de éste trabajo sino desde antes, ası́ como personas que fui conociendo en el camino y con los cuales he formado una linda amistad, en especial a ti Rafa por esas clases de análisis y medida en las cuales me tenias mucha paciencia y por compartir tu tiempo conmigo..

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(9) Introducción Algunas preguntas fundamentales que se abordan en la Teorı́a del Punto Fijo son: ¿qué condiciones debe cumplir un conjunto no vacı́o y una función f : X → X para que exista un elemento x ∈ X tal que f (x) = x? A tal punto le llamamos punto fijo. ¿Es único? en el caso de que existan varios puntos fijos ¿qué propiedades tiene el conjunto de puntos fijos? ¿existen algoritmos que permitan calcular un punto fijo?... Desde el punto de vista histórico, los primeros Teoremas del Punto Fijo surgieron en el contexto de demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales, ecuaciones integrales, etc. Poincaré, Birkhoff, Picard, Brouwer, Banach, entre otros matemáticos, publicaron artı́culos en referencia al tema. Desde entonces, la Teorı́a del Punto Fijo continúa desarrollándose tanto teóricamente como desde el punto de vista de las aplicaciones. Consideramos que, esquemáticamente, la Teorı́a del Punto Fijo tiene tres grandes ramas de estudio: Métrico, Topólogico y Conjuntista. En cada una de estas ramas se tienen teoremas muy importantes; desde el punto de vista métrico se tienen el Teorema del Punto fijo de Banach, Caristi, Kannan [15], etc; desde el punto de vista topólogico: el Teorema de Brouwer [6], Teorema de Schauder [6], Teorema de Kakutani, Teorema de Schaeffer [6], etc, y desde el punto de vista conjuntista: el Teorema de Knaster-Tarski [25], Teorema de Tarski [25], etc. Nuestro trabajo está enmarcado en la rama métrica, más especı́ficamente en los espacios normados ordenados, donde además de trabajar con la métrica generada por la norma, se introduce un orden parcial compatible con la estructura algebraica y con la estructura métrica. El objetivo de este trabajo es estudiar algunos teoremas de punto fijo para espacios normados y algunas de sus aplicaciones. A continuación presentaremos una breve descripción de los capı́tulos que forman esta tesis. Capı́tulo 1: Presentamos una recopilación de algunos conceptos básicos, ası́ como de ciertos teoremas sobre espacios métricos y sobre espacios normados. Estos conceptos nos sirven como contexto para los demás capı́tulos, además i.

(10) 0. Introducción facilitan al lector la lectura del trabajo. La mayorı́a de los teoremas son conocidos y no presentaremos sus demostraciones. El lector interesado en profundizar en estos temas, puede recurrir a [10], [11], [18], [19], [21]. ii. Capı́tulo 2: Es un marco de referencia para los siguientes capı́tulos, se presentan Teoremas del Punto Fijo en espacios métricos y normados. Comenzamos con los teoremas clásicos: el Teorema del Punto Fijo de Banach, el Teorema de Brouwer [6] y continuamos con algunos no tan conocidos, como por ejemplo, el Teorema del Punto Fijo de Kannan [15], el Teorema del Punto Fijo de Chatterjea [7], el Teorema del Punto Fijo de Schauder [6], el Teorema del Punto Fijo de Schafeer [6], entre otros. Capı́tulo 3: Presentamos dos Teoremas del Punto Fijo para conjuntos parcialmente ordenados: Teorema del Punto Fijo de Knaster- Tarski [25] y el Teorema del Punto Fijo de Tarski [25] y los conceptos que nos permitan entender y demostrar dichos teoremas. Estos dos teoremas tienen demostraciones relativamente breves y son muy útiles en matemáticas y en otras áreas de la ciencia. Estos teoremas los agregamos no sólo por su importancia sino que nos permiten realizar algunas simplificaciones en las demostraciones de algunos teoremas, como por ejemplo en el Teorema 4.13 del capı́tulo 4. Capı́tulo 4: Introducimos los conceptos básicos de espacios normados ordenados, presentamos aquellos conceptos que nos permiten entender y demostrar algunos Teoremas del Punto Fijo para espacios normados. Capı́tulo 5: Exhibimos algunas aplicaciones de los Teoremas del Punto Fijo estudiados a las ecuaciones diferenciales e integrales. El trabajo no pretende ser original, nuestra contribución es la manera en que lo organizamos, detallamos más algunas demostraciones y comentarios sobre algunos de los temas tratados. Esperamos que sea útil para aquellos que traten de iniciarse en la Teorı́a del Punto Fijo y principalmente la relacionada con los espacios normados ordenados..

(11) Índice general Introducción. I. 1. Preliminares 1.1. Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 1 5. 2. Teoremas del Punto Fijo 2.1. En Espacios Métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. En Espacios Normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11 11 31. 3. Espacios Vectoriales Ordenados 3.1. Teoremas del punto fijo en conjuntos parcialmente ordenados . . 3.2. Conos Ordenados en Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Teorema del punto fijo en espacios vectoriales ordenados .. 33 51 57 61. 4. Espacios de Banach Ordenados 4.1. Conos Normales, Regulares y Completamente Regulares . . . . .. 63 65. 5. Aplicaciones a las Ecuaciones Diferenciales e Integrales. 81. Bibliografı́a. 89. iii.

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(13) Capı́tulo 1. Preliminares 1.1.. Espacios Métricos. Para facilitar la lectura de este trabajo, en este capı́tulo, presentamos algunos conceptos y teoremas sobre espacios métricos y espacios normados que usamos a lo largo de nuestro estudio. Los conceptos y teoremas mencionados son bastante conocidos y no daremos la demostraciones de los teoremas. Para mayor información sobre esto se pueden consultar [10], [11], [19], [21]. Definición 1.1. Sean X un conjunto diferente del vacı́o y dX : X × X → R una función. Diremos que dX es una métrica o una distancia en X, si para cada x, y, z ∈ X, dX cumple con las siguientes propiedades: a) dX (x, y) ≥ 0, b) dX (x, y) = 0, si y sólo si, x = y, c) dX (x, y) = dX (y, x), d) dX (x, z) = dX (x, y) + dX (y, z). A la pareja ordenada (X, dX ) le llamaremos espacio métrico. Cuando no haya confusión, le llamaremos simplemente espacio métrico X, sin hacer referencia a la función distancia dX . Recordemos que la bola abierta es denotada como B(xo , ε) mientras que la bola cerrada por B[xo , ε].. 1.

(14) 2. 1.1. Espacios Métricos. Definición 1.2. Sean X un espacio métrico, x ∈ X y A ⊂ X. Diremos que x es un punto interior de A, si existe ε = εx > 0 tal que B(x, ε) ⊂ A. El ◦. interior de A, denotado por int(A) ó A, es el conjunto de los puntos interiores de A. Es un punto adherente de A, si para cada ε > 0, B(x, ε) ∩ A 6= ∅. La cerradura del conjunto A, denotada por A, es el conjunto formado por todos los puntos adherentes de A. Es un punto frontera de A es el conjunto formado por todos los puntos frontera de A y se denota fr(A) ó ∂A.. Definición 1.3. Sean X un espacio métrico y A ⊂ X. Definimos la distancia del punto xo al subconjunto A como dist(xo , A) = ı́nf{d(xo , x) | x ∈ A}.. Definición 1.4. Sean X un espacio métrico, {xn } una sucesión en X y x ∈ X. Diremos que x es un lı́mite de la sucesión {xn } cuando n tiende a infinito, si se satisface la siguiente propiedad: para cada ε > 0, existe k = k(ε) ∈ N tal que d(xn , x) < ε, para toda n ≥ k. En este caso diremos que {xn } converge a x, y lo denotaremos por xn −→ x n→∞. ó simplemente xn → x. Si ningún elemento de X es un lı́mite de la sucesión {xn } diremos que la sucesión es divergente. Teorema 1.1. Sea X un espacio métrico. Una sucesión {xn } de elementos de X puede tener a lo más un lı́mite.. Definición 1.5. Sea X un espacio métrico. La sucesión {xn } de elementos de X es acotada si existe M > 0 tal que d(xn , xm ) ≤ M , para todo n, m ∈ N.. Teorema 1.2. Sean X un espacio métrico y una sucesión {xn } de elementos de X. Si {xn } es una sucesión convergente en X, entonces la sucesión {xn } es acotada en X..

(15) 1.1. Espacios Métricos. 3. Observación 1.1. El recı́proco del Teorema 1.2 es falso, ya que la sucesión {{−1}n } está acotada pero no es convergente en R con la métrica usual.. Teorema 1.3. Sean X un espacio métrico y A ⊂ X. Entonces, x ∈ Ā, si y sólo si, existe una sucesión {xn } ∈ A, tal que xn −→ x.. Definición 1.6. Sean X un espacio métrico, {xn } una sucesión en X y {nk } una sucesión de números naturales estrictamente creciente. A la sucesión {xnk } se le llama subsucesión de la sucesión {xn }.. Definición 1.7. Sean X un espacio métrico y {xn } una sucesión en X. Si {xn } converge a x ∈ X, entonces toda subsucesión {xnk } de {xn } converge a x.. Definición 1.8. Sean X un espacio métrico y {xn } una sucesión en X. La sucesión {xn } es una sucesión de Cauchy en X, si se cumple que para cada ε > 0, existe k = k(ε) ∈ N, tal que d(xn , xm ) < ε si n, m ≥ k.. Teorema 1.4. Sean X un espacio métrico y {xn } una sucesión en X. Si {xn } es una sucesión convergente en X, entonces {xn } es una sucesión de Cauchy en X. Observación 1.2. El recı́proco no siempre es verdadero; es decir existen espacios métricos en los cuales hay sucesiones que son de Cauchy pero no son convergentes, como veremos en el Ejemplo 1.1.. Ejemplo 1.1. X = (0, 1), con la métrica usual en X, y la suce Consideremos 1 . Obsérvese que la sucesión {xn } es de Cauchy, sin embargo sión {xn } = n no converge en (0, 1).. Teorema 1.5. Sean X un espacio métrico y {xn } una sucesión en X. Si {xn } es una sucesión de Cauchy en X, entonces {xn } es una sucesión acotada..

(16) 4. 1.1. Espacios Métricos. Teorema 1.6. Sean X un espacio métrico y {xn } una sucesión de Cauchy en X. Supongamos que existe una subsucesión {xnk } que converge a x ∈ X. Entonces, la sucesión {xn } es convergente y xn → x. Definición 1.9. Sea X un espacio métrico. Diremos que X es un espacio métrico completo, si toda sucesión de Cauchy es convergente a un elemento de X.. Definición 1.10. Sean X un espacio métrico y A ⊂ X. Si A ⊂. [. Uα , con. α∈I. Uα conjunto abierto en X; a la familia {Uα }α∈I se le llama cubierta abierta [ 0 de A. Si I ⊂ I es tal que A ⊂ Uα , entonces la subfamilia {Uα }α∈I 0 es α∈I 0 0. una subcubierta de A. Si además I es un conjunto finito, la subfamilia es una subcubierta finita de A. Definición 1.11. Sea X un espacio métrico. Decimos que A ⊂ X es compacto, si toda cubierta abierta de A tiene una subcubierta finita.. Definición 1.12. Sea X un espacio métrico. Decimos que A es relativamente compacto si la A es compacta. Teorema 1.7. Sean X un espacio métrico y A ⊂ X. Las siguientes propiedades son equivalentes a) A es compacto. b) De cada sucesión en A se pueda extraer una subsucesión que converge hacia un punto de A. Definición 1.13. Sean X, Y dos espacios métricos, f : X → Y una función y xo ∈ X. Diremos que f es continua en el punto xo , si se cumple la siguiente condición: para cada ε > 0 existe δ = δ(ε, xo ) > 0 tal que para cada x ∈ X si dX (x, xo ) < δ, entonces dY (f (x), f (xo )) < ε..

(17) 1.2. Espacios Normados. 5. Cuando no haya duda hablaremos simplemente de la métrica dX ó dY como d, sin hacer referencia al espacio métrico que le corresponde. Definición 1.14. Sean X, Y dos espacios métricos y f : X → Y una función. Decimos que f es continua en X si lo es en todo punto de X.. Definición 1.15. Sean X, Y dos espacios métricos y f : X → Y una función. Diremos f es uniformemente continua en X, si se cumple la siguiente condición: para cada ε > 0 existe δ = δ(ε) > 0 tal que para cada x1 , x2 ∈ X si d(x1 , x2 ) < δ, entonces d(f (x1 ), f (x2 )) < ε.. 1.2.. Espacios Normados. Un espacio espacio vectorial equipado con una norma es llamado espacio normado, cuando el espacio normado es completo se le llama espacio de Banach. En este capı́tulo se pretende establecer algunos resultados generales relacionados con el concepto de norma en un espacio vectorial y espacios de Banach, no se harán las demostraciones de los teoremas y proposiciones mencionados. El lector interesado en profundizar sobre estos temas puede consultar [11], [18] y [21]. Definición 1.16. Sea X un espacio vectorial sobre R. Una norma en X es una función k · kX : X → R que cumple las siguientes condiciones: a) k x kX ≥ 0 para toda x ∈ X, b) k x kX = 0, si y sólo si, x = 0, c) k λx kX = |λ| k x kX para toda x ∈ X y toda λ ∈ R, d) k x + y kX ≤k x kX + k y kX para toda x, y ∈ X (desigualdad del triángulo).. Observación 1.3. A la pareja ordenada (X, k · kX ) se le llama espacio normado. En general, diremos simplemente espacio normado X.. Ejemplo 1.2 (Espacios normados)..

(18) 6. 1.2. Espacios Normados. a) (Rn , k · k∞ ), donde k x k∞ = máx | xi |, 1≤i≤n. es un espacio normado. b) (Rn , k · kp ), donde k x kp =. X n. p1. p. | xi |. para 1 ≤ p < ∞,. i=1. es un espacio normado. c) (l p , k · kp ), donde k x kp =. X. p. p1. | x(n) |. para 1 ≤ p < ∞,. n≥1. es un espacio normado. d) (l ∞ , k · k∞ ), donde k x k∞ = sup | x(n) |< ∞, n∈N. es un espacio normado. e) (C ([a, b], R), k · k), donde k x k= máx | f (x) |, x∈[a,b]. es un espacio normado. f ) (Lp [a, b], k · kp ), donde. Z k · kp =. b. 1 p | f (x) |p }. a. es un espacio normado.. Observación 1.4. Todo espacio normado es un espacio métrico, dado (X, k · kX ), basta definir d(x, y) =k x − y kX ..

(19) 1.2. Espacios Normados. 7. Definición 1.17. Sean X un espacio vectorial y A ⊂ X. Diremos que A es convexo, si dados x, y ∈ A y α ∈ [0, 1], se cumple (1 − α)x + αy ∈ A.. Algunas propiedades de los conjuntos convexos Sean X un espacio vectorial y A ⊂ X no vacı́o. a) El conjunto ∅ es un conjunto convexo. b) Los conjuntos singulares {x} son conjuntos convexos. c) Si X es un espacio normado y A es un conjunto convexo, entonces A es convexo. d) La intersección de conjuntos convexos es convexo.. Definición 1.18. Sean X un espacio vectorial y x ∈ X. Decimos que x es combinación convexa de los puntos x1 , x2 , · · · , xn ∈ X si existen números reales λ1 , λ2 , · · · , λn ∈ R no negativos tal que n X i=1. λi = 1. y. n X λi xi = x. i=1. Definición 1.19. Sea X un espacio vectorial y A ⊂ X. Definimos la envoltura convexa (envolvente convexa) de A, y se denota por conv(A) ó co(A), como la intersección de todos los subconjuntos convexos de X que contienen a A, es decir, Conv(A) = ∩{C | C es convexo y contiene a A}.. Proposición 1.1. Sean X un espacio vectorial y A ⊂ X no vacı́o. a) La envoltura convexa de A es el conjunto convexo más pequeño que contiene a A. b) La envoltura convexa de A es el conjunto de todas las combinaciones convexas de elementos de A..

(20) 8. 1.2. Espacios Normados. c) Si X es un espacio normado y A es convexo, entonces A = Conv(A). d) Si X es un espacio normado y A es un conjunto abierto, entonces Conv(A) es abierta. e) Si X es un espacio normado y A es un conjunto acotado, entonces Conv(A) es acotada. f ) Si X es un espacio normado y A es un conjunto compacto, entonces Conv(A) es compacto.. Definición 1.20. Sea X un espacio normado. Si X es un espacio completo, entonces X es un espacio de Banach.. Ejemplo 1.3 (Espacios de Banach). a) R con la norma dada por el valor absoluto es un espacio de Banach. b) l p (n) = (R, k · kp ) es un espacio de Banach, donde la noma es p1 X n p | x1 | k (x1 , · · · , xn ) kp = . i=1. c) l∞ (n) = (Rn , k · k∞ ), donde k (x1 , · · · , xn ) k∞ = máx{| x1 |, · · · , | xn |}, es un espacio de Banach. d) Sea p ≥ 1. (l p , k · kp ) Para 1 ≤ p < ∞, donde. k x kp =. X ∞. | xi |. p. p1 ,. i=1. es un espacio de Banach. e) (Lp [a, b], k · kp ), donde. Z k · kp = a. b. 1 p | f (x) | } p.

(21) 1.2. Espacios Normados. 9. Definición 1.21. Sean X, Y dos espacios normados y F : X → Y un operador lineal. El operador lineal F es acotado en norma, si existe una constante M ≥ 0 tal que k F (x) kY ≤ M k x kX , para toda x ∈ X. Cuando no se tenga confusión alguna, utilizaremos el sı́mbolo k · k para denotar la norma en X y la norma en Y , respectivamente. Definición 1.22. Sean X un espacio normado y {xn } una sucesión en X. La sucesión {xn } converge débilmente a x ∈ X, y se escribe xn * x, si para todo F ∈ X ∗ , F (xn ) −→ F (x).. Definición 1.23. Sean X, Y dos espacios normados. Un operador F : X → Y continuo es llamado operador compacto si la imagen F (X) es relativamente compacta.. Definición 1.24. Sean X, Y dos espacios normados. Un operador F : X → Y es llamado operador completamente continuo si para cualquier subconjunto acotado M de X, F (M ) es relativamente compacta..

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(23) Capı́tulo 2. Teoremas del Punto Fijo El objetivo de este capı́tulo es presentar algunos de teoremas del punto fijo que nos sirvan de referencia para el estudio de los teoremas del punto fijo en espacios normados ordenados. Iniciamos con los teoremas conocidos: Teorema de Punto Fijo de Banach, el Teorema de Brouwer. Después presentamos algunas generalizaciones de Teorema del Punto Fijo de Banach y del Teorema de Brouwer.. 2.1.. En Espacios Métricos. Definición 2.1. Sean X un espacio métrico, α ∈ (0, 1) y f : X → X una función. Decimos que f es α−contractiva en X, si d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y) para toda x, y ∈ X. También la llamaremos α−contractante o simplemente contracción. Teorema 2.1. Sean X un espacio métrico, α ∈ (0, 1) y f : X → X una función α−contractiva en X. Entonces f es uniformemente continua en X.. Definición 2.2. Sean X un conjunto no vacı́o, x ∈ X y f : X → X una función. Decimos que x es un punto fijo de f si y sólo si f (x) = x.. 11.

(24) 12. 2.1. En Espacios Métricos. Observación 2.1. Para cada x ∈ X y n ∈ {0, 1, 2, · · · } definimos inductivamente f n (x) como f o (x) = x y f n+1 (x) = f (f n (x)). A la sucesión {f n (x)} se le llama sucesión de iteradas de Picard, sucesión de iteradas o sucesión de aproximaciones sucesivas.. Teorema 2.2. (Principio de aproximaciones sucesivas) Sean X un espacio métrico, f : X → X una función continua, x0 ∈ X y x ∈ X. Si lı́m f n (x0 ) = x, entonces f (x) = x, es decir x es un punto fijo de f .. n→∞. Demostración. f (x) = f ( lı́m f n (x0 )) = lı́m f n+1 (x0 ) = x. n→∞. n→∞. Teorema 2.3. Sean X un espacio métrico completo, α ∈ (0, 1) y f : X → X una función α−contractiva. Entonces f tiene a lo más un punto fijo x ∈ X. Demostración. Supongamos que x y y son dos puntos fijos de f . Entonces d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ αd(x, y). Como α < 1, entonces x = y.. Teorema 2.4. (Teorema del Punto Fijo de Banach) Sean X un espacio métrico completo, α ∈ (0, 1) y f : X → X una función α−contractiva. Entonces, f tiene un único punto fijo x ∈ X. Además, dado x0 ∈ X, se tiene a) lı́m f n (x0 ) = x. n→∞. n. b) Estimación del error: d(f (x0 ), x) ≤. . αn d(x0 , f (x0 )). 1−α.

(25) 2.1. En Espacios Métricos. 13. Demostración. Por el Teorema 2.3 f tiene a lo más un punto fijo. Ahora demostraremos que la sucesión {f n (x0 )} es de Cauchy. Notemos que para cada n ∈ {1, 2, · · · } tenemos d(f n (x0 ), f n+1 (x0 )) ≤ αd(f n−1 (x0 ), f n (x0 )) ≤ · · · ≤ αn d(x0 , f (x0 )). Entonces, para m > n se tiene d(f n (x0 ), f m (x0 )) ≤ +. d(f n (x0 ), f n+1 (x0 )) + d(f n+1 (x0 ), f n+2 (x0 )) · · · + d(f m−1 (x0 ), f m (x0 )). ≤ αn d(x0 , f (x0 )) + · · · + αm−1 d(x0 , f (x0 )) ≤ αn d(x0 , f (x0 ))(1 + α + α2 + · · · ) n α ≤ d(x0 , f (x0 )). 1−α Por lo tanto, para m > n se tiene d(f n (x0 ), f m (x0 )) ≤. . αn d(x0 , f (x0 ). 1−α. (2.1). De α ∈ (0, 1) y (2.1) se concluye que {f n (x0 )} es una sucesión de Cauchy y como X es completo, existe x ∈ X tal que la sucesión {f n (x0 )} converge a x. Por Teorema 2.2 x es un punto fijo de f , ya que f es continua. En (2.1), tomamos el lı́mite cuando m → ∞ y obtenemos n α d(f n (x0 ), x) ≤ d(x0 , f (x0 )). 1−α. El Teorema del Punto Fijo de Banach tiene al menos tres caracterı́sticas importantes tanto desde el punto de vista teórico como práctico: a) Existencia y unicidad de un punto fijo. b) Algoritmo (método de aproximaciones sucesivas) para calcular el punto fijo. c) Una estimación del error. Por diversos motivos ha habido necesidad de obtener generalizaciones del Teorema del punto Fijo de Banach o teoremas tipo Teoremas del Punto Fijo de.

(26) 14. 2.1. En Espacios Métricos. Banach que mantengan estas tres caracterı́sticas o al menos las dos primeras. En [22] y [23] se presentan un buen número de definiciones de funciones con alguna propiedad de contracción. A continuación presentaremos y en determinados casos demostraremos algunos teoremas del punto fijo que mantienen las tres o al menos dos de las caracterı́sticas mencionadas. En [15], Kannan introduce una variante del concepto de función α -contractiva, actualmente se le conoce como función de Kannan o como función α-contractiva en el sentido de Kannan, y prueba un teorema de punto fijo para este tipo de funciones, llamado el Teorema del Punto Fijo de Kannan. A partir de este trabajo se han escrito varios artı́culos que tratan sobre estas funciones y algunas generalizaciones de este concepto. Definición 2.3. ([15]) Sean X un espacio métrico, α ∈ (0, 21 ) y f : X → X una función. Decimos que f es α−contractiva en el sentido de Kannan, si d(f (x), f (y)) ≤ α(d(x, f (x)) + d(y, f (y))), para toda x, y ∈ X. A α la llamaremos constante de contracción de Kannan. También la llamaremos función α−contractante en el sentido de Kannan o simplemente función Kannan cuando esté claro quien es α. El concepto de función α−contractiva es independiente del de función α−contractiva en el sentido de Kannan. Ejemplo 2.1. Sea X = [0, 1] con la métrica usual. Definamos f : [0, 1] → [0, 1] como f (x) = x3 . Es claro que f es 31 -contractiva, pero no es α- contractiva para ningún α ∈ (0, 21 ). Supongamos que existe α ∈ (0, 21 ) tal que d(f (x), f (y)) ≤ α d(x, f (x)) + d(y, f (y)) , para toda x, y ∈ X. Tomemos x =. 1 y y = 0, entonces 3. 1 |f (x) − f (y)| = y α 9. . | x − f (x) | + | y − f (y) |. entonces. 1 ≤α 9. . 1 1 − +0 3 9. =α. 2 , 9. =α. 1 1 − +0 , 3 9.

(27) 2.1. En Espacios Métricos. 15. lo cual es una contradicción ya que α ∈ (0, 21 ). por lo tanto f no es αcontractiva.. Ejemplo 2.2. Sea X = [0, 1] con la métrica usual. Definamos f : [0, 1] → [0, 1] por. f (x) =.   1 x, 4. si x ∈ [0, 12 ),.  1 x,. si x ∈ [ 12 , 1].. 5. 1 2,. Como f no es continua en que f es. 5 12 -contractiva. entonces f no es contracción. Ahora probaremos. en el sentido de Kannan.. Caso 1) Sean x, y ∈ [0, 12 ). Entonces 5 12. . 1 1 x− x + y− y 4 4. =. 5 3 (x + y). 12 4. 1 1 1 5 3 x − y ≤ (x + y) ≤ (x + y). 4 4 4 12 4. (2.2). (2.3). De 2.2 y 2.3 se tiene 1 5 1 1 1 x− y ≤ ( x − x + y − y) . 4 4 12 4 4 Caso 2) Sean x, y ∈ [ 12 , 1). 5 12. . 1 1 x− x + y− y 5 5. =. 5 4 (x + y). 12 5. 1 1 1 5 4 x − y ≤ (x + y) ≤ (x + y). 5 5 5 12 5 De 2.4 y 2.5 se tiene 1 1 5 x− y ≤ 5 5 12. . 1 1 x− x + y− y 5 5. Los otros casos se hacen de manera similar.. .. (2.4) (2.5).

(28) 16. 2.1. En Espacios Métricos. Teorema 2.5. Sean X un espacio métrico completo, α ∈ (0, 21 ) y f : X → X una función α−contractiva en el sentido de Kannan. Entonces f tiene a lo más un punto fijo x ∈ X. Demostración. Supongamos que x y y son dos puntos fijos de f . Entonces d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ α(d(x, f (x)) + d(y, f (y)) = 0. Entonces x = y. Teorema 2.6. Sean X un espacio métrico completo y f : X → X una función contractiva en el sentido de Kannan con constante de contracción de Kannan α. Entonces, para cada x, y ∈ X tenemos α 2α a) d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) + d(x, f (x)). 1−α 1−α α 2α b) d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) + d(y, f (y)). 1−α 1−α. Demostración. Basta demostrar el inciso a), ya que para el inciso b) se demuestra intercambiando en a) el papel de x y y. a) Sean x, y ∈ X, entonces d(f (x), f (y)) ≤ α d(x, f (x)) + d(y, f (y)) ≤ α d(x, f (x)) + d(x, y) + d(x, f (y)) ≤ α d(x, f (x)) + d(x, y) + d(x, f (x)) + d(f (x), f (y)) .. Entonces, (1 − α)d(f (x), f (y)). ≤ αd(x, y) + 2αd(x, f (x)),. esto es d(f (x), f (y)) ≤. α 2α d(x, y) + d(x, f (x)). 1−α 1−α.

(29) 2.1. En Espacios Métricos. 17. Teorema 2.7. (Principio de aproximaciones sucesivas) Sean X un espacio métrico, f : X → X una función contractante en el sentido de Kannan con constante de contracción de Kannan α, x0 ∈ X y x ∈ X. Si lı́m f n (x0 ) = x, n→∞. entonces f (x) = x, es decir x es un punto fijo de f . Demostración. Por inciso a) del Teorema 2.6 tenemos que. 0 ≤ d(f n (x0 ), f (x)) ≤. . α 2α d(f n−1 (x0 ), x) + d(f n−1 (x0 ), f n (x0 )). 1−α 1−α. De esta última desigualdad y del hecho que lı́m f n (x0 ) = x tenemos que n→∞. lı́m f n (x0 ) = f (x). Como el lı́mite es único se tiene f (x) = x.. n→∞. Teorema 2.8. (Teorema del Punto Fijo de Kannan) Sean X un espacio métrico completo y f : X → X una función contractante en el sentido de Kannan con constante de contracción de Kannan α. Entonces, f tiene un único punto fijo x ∈ X. Además, dado xo ∈ X, se tiene a) lı́m f n (x0 ) = x. n→∞. n. b) Estimación del error: d(f (x0 ), x) ≤. . α 1−α. n . 1−α d(x0 , f (x0 )). α. Demostración. Por el Teorema 2.5 f tiene a lo más un punto fijo. Ahora demostraremos que la sucesión {f n (x0 )} es de Cauchy. Notemos que para cada n ∈ {1, 2, · · · } tenemos n. d(f (x0 ), f. n+1. (x0 )) ≤. n α α n−1 n d(f (x0 ), f (x0 )) ≤ · · · ≤ d(x0 , f (x0 )). 1−α 1−α (2.6).

(30) 18. 2.1. En Espacios Métricos. Entonces, para m > n se tiene d(f n (x0 ), f m (x0 )) ≤ d(f n (x0 ), f n+1 (x0 )) + d(f n+1 (x0 ), f n+2 (x0 )) + · · · + d(f m−1 (x0 ), f m (x0 )) n m−1 α α d(x0 , f (x0 )) + · · · + d(x0 , f (x0 )) ≤ 1−α 1−α n 2 α α α d(x0 , f (x0 )) 1 + + ... ≤ + 1−α 1−α 1−α n 1−α α d(x0 , f (x0 )). ≤ 1−α α Por lo tanto, para m > n se tiene n. . m. d(f (x0 ), f (x0 )) ≤. α 1−α. n . 1−α d(x0 , f (x0 )) α. (2.7). De α ∈ (0, 21 ) y (2.7) se concluye que {f n (x0 )} es una sucesión de Cauchy y como X es completo, existe x ∈ X tal que la sucesión {f n (x0 )} converge a x. Por Teorema 2.11, x es un punto fijo de f . En (2.7), tomamos el lı́mite cuando m → ∞ y obtenemos d(f n (x0 ), x) ≤. . α 1−α. n . 1−α d(x0 , f (x0 )). α. En [7] Chatterjea introdujo la Definición 2.4 para otro tipo de función contracción, ası́ como un Teorema del Punto Fijo que lleva su nombre, la demostración de los teoremas relacionados con las funcions α−contractiva en el sentido de Kannan no se realizaran ya que son análogas a los Teoremas 2.5, 2.6, 2.11. Definición 2.4. ([7]) Sean X un espacio métrico y f : X → X una función. Decimos que f es contractante en el sentido de Chatterjea, si existe β ∈ (0, 21 ) tal que d(f (x), f (y)) ≤ β d(x, f (y)) + d(y, f (x)) , para toda x, y ∈ X.. A β la llamaremos constante de contracción de Chatterjea..

(31) 2.1. En Espacios Métricos. 19. Teorema 2.9. Sean X un espacio métrico completo, α ∈ (0, 21 ) y f : X → X una función α−contractiva en el sentido de Chatterjea. Entonces, f tiene a lo más un punto fijo x ∈ X. Teorema 2.10. Sean X un espacio métrico completo y f : X → X una función contractante en el sentido de Chatterjea con constante de contracción de Chatterjea β. Entonces, para cada x, y ∈ X tenemos β 2β a) d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) + d(x, f (x)). 1−β 1−β β 2β b) d(f (x), f (y)) ≤ d(x, y) + d(y, f (y)). 1−β 1−β Teorema 2.11. (Principio de aproximaciones sucesivas) Sean X un espacio métrico, f : X → X una función contractiva en el sentido de Chatterjea con constante de contracción de Chatterjea α, x0 ∈ X y x ∈ X. Si lı́m f n (x0 ) = x, n→∞. entonces f (x) = x, es decir x es un punto fijo de f . Teorema 2.12. (Teorema del Punto Fijo de Chatterjea) Sean X un espacio métrico completo y f : X → X una función contractiva en el sentido de Chatterjea. Entonces, f tiene un único punto fijo. Además, dado xo ∈ X, la sucesión {f n (xo )} converge al punto fijo.. Teorema 2.13. ([1], pág. 4) Sean X un espacio métrico completo y f : X → X una función. Supongamos que para cada ε > 0 existe un δ = δ(ε) > 0 tal que si d(x, f (x)) < δ, entonces f (B(x, ε)) ⊂ B(x, ε).. (2.8). Si para algún u ∈ X se tiene lı́m d(f n (u), f n+1 (u)) = 0,. n→∞. (2.9). entonces la sucesión {f n (u)} converge a un punto fijo de f .. Demostración. Sea un = f n (u). Demostraremos que {un } es una sucesión de Cauchy..

(32) 20. 2.1. En Espacios Métricos. Sean ε > 0 y δ > 0 tal que cumple con (2.8). Entonces, escojamos N tal que para cada n ≥ N, entonces d(un , un+1 ) < δ. En particular tenemos que d(uN , uN +1 ) < δ. Entonces, por (2.8) se tiene f (B(uN , ε)) ⊂ B(uN , ε) y ası́ f (uN ) = uN +1 ∈ B(uN , ε). Por inducción f k (uN ) = uN +k ∈ B(uN , ε) para toda k ∈ {0, 1, 2, · · · }. Por lo tanto, si k, l ≥ N , entonces d(uk , ul ) ≤ d(uk , uN ) + d(uN , ul ) < 2ε. Por lo tanto {un } es una sucesión de Cauchy, lo que implica que existe y ∈ X con un → y. Demostraremos que y es un punto fijo de f , es decir; f (y) = y. Esto lo haremos por contradicción. Supongamos que γ = d(y, f (y)) > 0. Por (2.8) existe δ > 0 tal que si d(x, f (x)) < γ δ, entonces f (B(x, γ3 )) ⊂ B(x, γ3 ). Sea n ∈ N tal que d(un , y) < y d(un , un+1 ) < 3 γ δ, por (2.8) f (B(f n (u), γ3 )) ⊂ B(f n (u), γ3 ). Como d(un , y) < , entonces d(f (y), f n (u)) < 3 γ 2γ n n . Entonces, γ = d(y, f (y)) ≤ d(y, f (u)) + d(f (u), f (y)) ≤ . Lo cual es una 3 3 contradicción. Por lo tanto f (y) = y.. Teorema 2.14. Sean X un espacio métrico completo, α ∈ (0, 21 ) y f : X → X una función α-contraciva en el sentido de Kannan. Entonces f cumple con las condiciones del Teorema 2.13. 1 − 2α > 0. Sea x ∈ X tal que Demostración. Sea ε > 0, tomemos δ = ε 1+α d(x, f (x)) < δ y y1 ∈ f (B(x, ε)). Entonces existe x1 ∈ B(x, ε) tal que f (x1 = y1 ) y d(x, y1 ) ≤ ≤. d(x, f (x)) + d(f (x), f (x1 )) α 2α d(x, f (x)) + d(x, x1 ) + d(x, f (x)). 1−α 1−α. Entonces 2α α d(x, y1 ) ≤ d(x, f (x)) 1 + + d(x, x1 ), 1−α 1−α entonces d(x, y1 ) ≤ ε. 1 − 2α 1+α. 1+. α 1−α. . +. α ε, 1−α.

(33) 2.1. En Espacios Métricos. 21. entonces d(x, y1 ) ≤ ε. 1 − 2α 1+α. . 1+α 1−α. . +. α ε, 1−α. entonces d(x, y1 ) < ε. De la desigualdad (2.6) se concluye que lı́m d(f n (x0 ), f n+1 (x0 )) = 0, para n→∞. cada x0 ∈ X. Observación 2.2. Del Teorema 2.14 se obtiene una demostración distinta del Teorema del Punto Fijo de Kannan.. Teorema 2.15. ([1], pág. 5) Sean X un espacio métrico completo, f : X → X una función y φ : [0, ∞) → [0, ∞) una función creciente con lı́m φn (t) = 0 para n→∞. toda t > 0. Supongamos que d(f (x), f (y)) ≤ φ(d(x, y)), para cada x, y ∈ X. Entonces, f tiene un único punto fijo u ∈ X con lı́m f n (x) = u, para cada x ∈ X.. n→∞. Demostración. Primero demostraremos que φ(t) < t para cada t > 0. Lo haremos por contradicción, supongamos que existe t > 0 tal que φ(t) ≥ t. Entonces, como φ es creciente tenemos que φ(t) ≤ φ(φ(t)) y por lo tanto t ≤ φ2 (t). Por inducción se tiene que t ≤ φn (t). Esto es una contradicción, ya que lı́mn→∞ φn (t) = 0. Además d(f n (x), f n+1 (x)) ≤ φn (d(x, f (x))), para cada x ∈ X, y por lo tanto lı́m d(f n (x), f n+1 (x)) = 0, para cada x ∈ X.. n→∞. Sea ε > 0 y tomemos δ(ε) = ε − φ(ε), observemos que δ > 0. Si d(x, f (x)) <.

(34) 22. 2.1. En Espacios Métricos. δ(ε), entonces para cada z ∈ B(x, ε) tenemos que d(f (z), x) ≤ d(f (z), f (x)) + d(f (x), x) ≤ φ(d(z, x)) + d(f (x), x) <. φ(d(z, x)) + δ(ε). ≤ φ(ε) + (ε − φ(ε)) = ε, y por lo tanto f (z) ∈ B(x, ε). Por Teorema 2.13 se tiene que f tiene un punto fijo u con lı́m f n (x) = u, para cada x ∈ X. Finalmente, es fácil ver que f tiene n→∞. un único punto fijo en X, ya que si x y y son puntos fijos de f distintos, entonces d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ φ(d(f (x), f (y)). Esto contradice que t < φ(t) para cada t > 0.. Observación 2.3. El Teorema del Punto Fijo de Banach 2.4 es un caso especial del Teorema 2.15; basta tomar φ(t) = αt.. Observación 2.4. Si una función cumple con las condiciones del Teorema 2.15, entonces: f (0) = 0 y f es una función uniformemente continua.. Definición 2.5. ([1], pág. 19) Sean X un espacio métrico, U subconjunto abierto no vacı́o de X, F : U → X y G : U → X dos contracciones. Decimos que F y G son contracciones homotópicas si existe H : U × [0, 1] → X tal que : a) H(., 0) = F y H(., 1) = G, b) x 6= H(x, t) para toda x ∈ ∂U y t ∈ [0, 1], c) Existe 0 ≤ α < 1 tal que d(H(x, t), H(y, t)) ≤ αd(x, y) para toda x, y ∈ U y t ∈ [0, 1], d) Existe M ≥ 0 tal que d(H(x, t), H(x, s)) ≤ M |t − s| para toda x ∈ U y t ∈ [0, 1]..

(35) 2.1. En Espacios Métricos. 23. Teorema 2.16. ([1], pág. 19) Sean X un espacio métrico completo y U un subconjunto abierto no vacı́o de X. Supongamos que F : U → X y G : U → X son contracciones homotópicas y que G tiene un punto fijo en U . Entonces, F tiene un punto fijo en U .. Demostración. Sea A = {λ ∈ [0, 1] : x = H(x, λ) para algún x ∈ U }. A es diferente del vacı́o, ya que H(x, 1) = G y por hipótesis G tiene un punto fijo, es decir 1 ∈ A. Vamos a demostrar que A es un subconjunto del intervalo [0, 1], que es abierto y cerrado y como [0, 1] es conexo, entonces A = [0, 1]. Por lo tanto, 0 ∈ A y esto significa, por la definición del conjunto A, que F tiene un punto fijo en U . Primero probaremos que A es cerrado en [0, 1]. Sea λ ∈ A, entonces existe λn ∈ A tal que λn → λ. Como λn ∈ A existe n→∞. xn ∈ U tal que H(xn , λn ) = xn . Sean n, m ∈ N. Entonces,. d(xn , xm ). = d(H(xn , λn ), H(xm , λm )) ≤ d(H(xn , λn ), H(xn , λm )) + d(H(xn , λm ), H(xm , λm )),. luego por ser H una función contractante homotópica, existen 0 < α < 1 y M > 0 tal que d(xn , xm ) ≤ M | λn − λm | +αd(xn , xm ), entonces.

(36) 24. 2.1. En Espacios Métricos. d(xn , xm ) ≤. M 1−α. | λn − λm | .. Y dado que λn → λ, entonces {λn } es una sucesión de Cauchy, luego {xn } n→∞. es también una sucesión de Cauchy y como U es completo existe x ∈ U tal que xn → x. n→∞. Ahora demostraremos que x = H(x, λ),. d(xn , H(x, λ)). = d(H(xn , λn ), H(x, λ)) ≤ d(H(xn , λn ), H(xn , λ)) + d(H(xn , λ), H(x, λ)) ≤ M | λn − λ | +αd(xn , x).. Entonces, lı́m d(xn , H(x, λ)) = 0, entonces H(x, λ) = x. Por lo tanto λ ∈ A, n→∞. y A es cerrado en [0, 1]. Enseguida probaremos que A es abierto en [0, 1]. Sea λo ∈ A, entonces existe xo ∈ U , con xo = H(xo , λo ). Sea ε > 0 tal que (1 − α)r ε≤ , donde 0 < r < dist(xo , ∂U ). M Sea λ ∈ (λo − ε, λo + ε). Entonces, para cada x ∈ B[xo , r]. d(xo , H(x, λ)) ≤. d(H(xo , λo ), H(x, λo )) + d(H(x, λo ), H(x, λ)). ≤. αd(xo , x) + M | λ − λo |. ≤. αr + (1 − α)r = r.. Esto es para cada λ ∈ (λo − ε, λo + ε), H(x, λ) : B[xo , r] → B[xo , r],.

(37) 2.1. En Espacios Métricos. 25. entonces, por el Teorema 2.4, H(x, λ) tiene un punto fijo en U , es decir λ ∈ A para cada λ ∈ (λo − ε, λo + ε). Por lo tanto A es Abierto en [0, 1].. Teorema 2.17. ([1], pág 21) Sea X un espacio de Banach y supongamos que U es un subconjunto abierto no vacı́o de X , 0 ∈ U y F : U → X una contracción con F (U ) acotado. Entonces, a) F tiene un punto fijo en U ,. ó b) Existe λ ∈ (0, 1) y u ∈ f r(U ) con u = λF (u). Demostración. Supongamos que la condición b) no se cumple y que F no tiene puntos fijos en ∂U . Entonces, u 6= λF (u) para cada u ∈ ∂U y λ ∈ [0, 1]. Sea H : U × [0, 1] → X definida por H(x, t) = tF (x). H es una homotopı́a contractiva entre la función 0 y la función F y como la función 0 tiene un punto fijo en U . Por el Teorema 2.16 la función F tiene un punto fijo en U .. A continuación definiremos un concepto análogo al de funciones contractantes homotópicas pero para funciones contractantes en el sentido de Kannan y de Chatterjea. Definición 2.6. Sean X un espacio métrico, U subconjunto abierto no vacı́o de X, F : U → X y G : U → X dos contracciones. Decimos que F y G son contracciones homotópicas en el sentido de Kannan si existe H : U × [0, 1] → X tal que : a) H(., 0) = F y H(., 1) = G,.

(38) 26. 2.1. En Espacios Métricos. b) x 6= H(x, t) para toda x ∈ ∂U y t ∈ [0, 1], 1 tal que d(H(x, t), H(y, t)) ≤ α d(x, H(x, t))+d(y, H(y, t)) 2 para toda x, y ∈ U y t ∈ [0, 1],. c) Existe 0 ≤ α <. d) Existe M ≥ 0 tal que d(H(x, t), H(x, s)) ≤ M |t − s| para toda x ∈ U y t ∈ [0, 1].. Definición 2.7. Sean X un espacio métrico, U subconjunto abierto no vacı́o de X, F : U → X y G : U → X dos contracciones. Decimos que F y G son contracciones homotópicas en el sentido de Chatterjea si existe H : U × [0, 1] → X tal que : a) H(., 0) = f y H(., 1) = g, b) x 6= H(x, t) para toda x ∈ ∂U y t ∈ [0, 1], 1 c) Existe 0 ≤ β < tal que d(H(x, t), H(y, t)) ≤ α d(x, H(y, t))+d(y, H(x, t)) 2 para toda x, y ∈ U y t ∈ [0, 1], d) Existe M ≥ 0 tal que d(H(x, t), H(x, s)) ≤ M |t − s| para toda x ∈ U y t ∈ [0, 1].. Teorema 2.18. Sean X espacio métrico completo y U subconjunto abierto no vacı́o de X. Supongamos que F : U → X y G : U → X son contracciones homotópicas en el sentido de Kannan y que G tiene un punto fijo en U . Entonces, F tiene un punto fijo en U . Demostración. Sea A = {λ ∈ [0, 1] : x = H(x, λ) para algún x ∈ U }. A es diferente del vacı́o, ya que H(x, 1) = G y por hipótesis G tiene un punto fijo, es decir 1 ∈ A. Vamos a demostrar que A es un subconjunto del intervalo [0, 1], que es abierto.

(39) 2.1. En Espacios Métricos. 27. y cerrado y como [0, 1] es conexo,entonces A = [0, 1]. Por lo tanto, 0 ∈ A y esto significa, por la definición del conjunto A, que F tiene un punto fijo en U . Primero probaremos que A es cerrado en [0, 1]. Sea λ ∈ A, entonces existe λn ∈ A tal que λn → λ. Como λn ∈ A existe n→∞. xn ∈ U tal que H(xn , λn ) = xn . Sean n, m ∈ N. Entonces,. d(xn , xm ). = d(H(xn , λn ), H(xm , λm )) ≤ d(H(xn , λn ), H(xn , λm )) + d(H(xn , λm ), H(xm , λm )),. luego por ser H una función contractante homotópica en el sentido de Kannan, existen 0 < α <. 1 2. y M > 0 tal que. d(xn , xm ) ≤ M | λn − λm | +α(d(H(xn , λn ), H(xn , λm )), d(xm , H(xm , λm ))). Entonces, d(xn , xm ) ≤ M | λn − λm | +α | λn − λm | . Como λn es una sucesión de Cauchy, entonces {xn } es también una sucesión de Cauchy y como U es completo existe x ∈ U tal que xn → x. n→∞. Ahora probaremos que x = H(x, λ).. d(xn , H(x, λ)). = d(H(xn , λn ), H(x, λ)) ≤ d(H(xn , λn ), H(x, λn )) + d(H(x, λn ), H(x, λ)).. Entonces,.

(40) 28. 2.1. En Espacios Métricos. d(xn , H(x, λ)) ≤. α 2α d(xn , x) + d(xn , xn ) + M | λn − λ |, 1−α 1−α. luego . α d(xn , H(x, λ)) ≤ d(xn , x) + M | λn − λ |, 1−α entonces, tomando el lı́mite cuando n → ∞, se tiene d(xn , H(x, λ)) → 0 cuando n → ∞. Como también d(xn , H(x, λ)) → d(x, H(x, λ)) cuando n → ∞. Ası́ x = H(x, λ). Por lo tanto λ ∈ A, y A es cerrado en [0, 1].. A continuación probaremos que A es abierto en [0, 1]. Sea existe xo ∈ U , con xo = H(xo , λo ). Sea ε > 0 tal que λo ∈ A, entonces 1 − 2α ε ≤ r, donde 0 < r < dist(xo , ∂U ), r se puede tomar con esta (1 − α)M propiedad ya que por la Definición 2.6 inciso b), xo ∈ / ∂U , y xo = H(xo , λo ) y ∂U es cerrado. Sea λ ∈ (λo − ε, λo + ε). Entonces, para cada x ∈ B[xo , r] se tiene que. d(xo , H(x, λ)). = d(H(xo , λo ), H(x, λ)) ≤. d(H(xo , λo ), H(x, λo )) + d(H(x, λo ), H(x, λ)). Entonces, 2α α d(x, xo ) + d(xo , H(xo , λo )) + M | λ − λo | 1−α 1−α α d(x, xo ) + M | λ − λo | 1−α α 1 − 2α r+ r 1−α 1−α r. . d(xo , H(x, λ)) ≤ = ≤ =.

(41) 2.1. En Espacios Métricos. 29. Esto es para cada λ ∈ (λo − ε, λo + ε), H(x, λ) : B[xo , r] → B[xo , r], entonces, por el Teorema 2.8, H(x, λ) tiene un punto fijo en U , es decir λ ∈ A. Por lo tanto A es Abierto en [0, 1].. Teorema 2.19. Sean X espacio métrico completo y U subconjunto abierto no vacı́o de X. Supongamos que F : U → X y G : U → X son contracciones homotópicas en el sentido de Chatterjea y que G tiene un punto fijo en U . Entonces, F tiene un punto fijo en U . Demostración. Sea A = {λ ∈ [0, 1] : x = H(x, λ) para algún x ∈ U }. A es diferente del vacı́o, ya que H(x, 1) = G y por hipótesis G tiene un punto fijo, es decir 1 ∈ A. Vamos a demostrar que A es un subconjunto del intervalo [0, 1], que es abierto y cerrado y como [0, 1] es conexo se tiene que A = [0, 1]. Por lo tanto, 0 ∈ A y esto significa, por la definición del conjunto A, que F tiene un punto fijo en U . Primero probaremos que A es cerrado en [0, 1]. Sea λ ∈ A, entonces existe λn ∈ A tal que λn → λ. Como λn ∈ A existe n→∞. xn ∈ U tal que H(xn , λn ) = xn . Sean n, m ∈ N. Entonces,. d(xn , xm ). = d(H(xn , λn ), H(xm , λm )) ≤ d(H(xn , λn ), H(xn , λm )) + d(H(xn , λm ), H(xm , λm )),.

(42) 30. 2.1. En Espacios Métricos luego por ser H una función contractante homotópica en el sentido de Chat-. terjea, existe M > 0 y β ∈ (0, 12 ) tal que . d(xn , xm ) ≤ M | λn − λm = M | λn − λm. α 2α |+ d(xn , xm ) + d(xm , H(xm , λm )) 1−α 1−α α 2α |+ d(xn , xm ) + d(xm , xm ), 1−α 1−α. entonces   d(xn , xm ) ≤ .  M 1−. α 1−α.   | λn − λm | para α ∈. 1 0, . 2. Y dado que λn → λ, entonces λn es una sucesión de Cauchy, luego {xn } n→∞. es también una sucesión de Cauchy y como U es completo existe x ∈ U tal que xn → x. n→∞. Ahora queremos probar que x = H(x, λ).. d(xn , H(x, λ)). = d(H(xn , λn ), H(x, λ)) ≤ d(H(xn , λn ), H(x, λn )) + d(H(x, λn ), H(x, λ)),. d(xn , H(x, λ)) ≤. 2α α d(xn , x) + d(xn , xn ) + M | λn − λ |, 1−α 1−α. luego d(xn , H(x, λ)) ≤. α d(xn , x) + M | λn − λ |, 1−α. entonces, tomando el lı́mite cuando n → ∞, se tiene d(xn , H(x, λ)) → 0 cuando n → ∞. Como también d(xn , H(x, λ)) → d(x, H(x, λ)) cuando n → ∞. Ası́ x = H(x, λ). Por lo tanto λ ∈ A, y A es cerrado en [0, 1]..

(43) 2.2. En Espacios Normados. 31. Ahora probaremos que A es abierto en [0, 1]. Sea entonces existe xo ∈ U , con xo = H(xo , λo ). Sea ε > 0 tal que λo ∈ A, 1 − 2α r, donde 0 < r < dist(xo , ∂U ), esta r se puede tomar con esa ε≤ (1 − α)M propiedad ya que por la Definición 2.7 inciso b) xo ∈ / ∂U , y xo = H(xo , λo ) y ∂U es cerrado. Sea λ ∈ (λo − ε, λo + ε). Entonces, para cada x ∈ B[xo , r] se tiene que. d(xo , H(x, λ)). = d(H(xo , λo ), H(x, λ)) ≤ d(H(xo , λo ), H(x, λo )) + d(H(x, λo ), H(x, λ)) α 2α ≤ d(x, xo ) + d(xo , H(xo , λo )) + M | λ − λo | 1−α 1−α α d(x, xo ) + M | λ − λo | = 1−α α 1 − 2α ≤ r+ r 1−α 1−α = r.. Esto es para cada λ ∈ (λo − ε, λo + ε), H(x, λ) : B[xo , r] → B[xo , r], entonces, por el Teorema 2.12, H(x, λ) tiene un punto fijo en U , es decir λ ∈ A. Por lo tanto A es Abierto en [0, 1].. 2.2.. En Espacios Normados. Con el sı́mbolo B n representamos la bola unitaria cerrada en Rn . Teorema 2.20. (Teorema de punto fijo de Brouwer)([6], Pág 18) Sea f : B n → B n una función continua. Entonces, existe x ∈ B n tal que f (x) = x..

(44) 32. 2.2. En Espacios Normados. Teorema 2.21. (Teorema Generalizado de Punto Fijo de Brouwer) ([6], Pág 19) Sean Q un subconjunto de Rn no vacı́o, compacto, convexo, f : Q → Q una función continua. Entonces, existe x ∈ Q tal que f (x) = x.. El Teorema Generalizado del Punto Fijo de Brouwer no es válido para espacios normados de dimensión infinita. Un ejemplo se puede ver en ([6], Pág 24) Teorema 2.22. (Teorema de punto fijo de Schauder)([6], Pág 28) Sean X un espacio normado, C ⊂ X convexo, cerrado no vacı́o y f : C → C un operador compacto. Entonces, f tiene un punto fijo.. Para aplicar el Teorema del Punto Fijo de Schauder necesitamos encontrar un conjunto convexo cerrado no vacı́o y un operador compacto que mande este conjunto en si mismo; desde el punto de vista de las aplicaciones esto puede ser extremadamente difı́cil. El siguiente teorema no requiere esta condición. Definición 2.8. Sean X un espacio normado y F : X → X un operador lineal. Decimos que F satisface la condición de frontera de Leray-Schauder, si existe r > 0 tal que si k x k= r, entonces F (x) 6= λx para toda λ > 1.. En particular, si F satisface la condición de frontera de Leray-Schauder y si k x k= r, entonces k F (x) k≤ r, y ası́ es la forma con la que mayor frecuencia aparece esta condición. Notemos que esta condición no restringe qué tan grande es λ. Muchas funciones que aparecen en algunos problemas analı́ticos interesantes satisfacen condiciones de crecimiento del tipo: si ||x|| es suficientemente grande, entonces ||f (x)|| tiene la misma razón de crecimiento que x y ası́, k x k≥k F (x) k, con lo cual se satisface la condición de frontera de Leray-Schauder. Teorema 2.23. (Teorema de Punto Fijo de Schaeffer)([6], Pág 27]) Sean X un espacio normado y F : X → X un operador completamente continuo que satisface la condición de frontera de Leray-Schauder. Entonces, F tiene un punto fijo..

(45) Capı́tulo 3. Espacios Vectoriales Ordenados El objetivo de este capı́tulo es presentar dos Teoremas del Punto Fijo para conjuntos Parcialmente Ordenados; El Teorema de Knaster-Tarski y el Teorema de Tarski. Ambos teoremas tienen importantes aplicaciones en diversas áreas. En nuestro caso únicamente los vamos a usar para simplificar algunas demostraciones de algunos teoremas del punto fijo que presentaremos en el capı́tulo siguiente. Iniciamos presentando los conceptos relacionados con un orden parcial y que nos permiten entender y demostrar dichos teoremas. Los diagramas que mostramos solo los utilizamos para tener una representación geométrica de algunos ejemplos. Definición 3.1. Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacı́o. Una relación binaria entre los conjuntos A y B es un conjunto R tal que R ⊂ A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}. Si A = B, diremos que R es una relación binaria definida en A.. Definición 3.2. Sean X un conjunto diferente del vacı́o y “ ≤ ” una relación binaria sobre X. Diremos que “ ≤ ” es una relación de orden ó relación de orden parcial sobre X si satisface las siguientes tres propiedades: a) x ≤ x para toda x ∈ X. 33.

(46) 34. 3. Espacios Vectoriales Ordenados. b) Si x ≤ y y y ≤ x, entonces x = y. c) Si x ≤ y y y ≤ z, entonces x ≤ z. Estas condiciones son conocidas como reflexiva, antisimétrica y transitiva, respectivamente. Un conjunto X equipado con una relación de orden “ ≤ ”, es decir (X, ≤), es llamado un conjunto parcialmente ordenado ó conjunto ordenado, algunos autores utilizan la abreviatura Poset. Nosotros utilizaremos la palabra conjunto parcialmente ordenado para referirnos a (X, ≤). Para nosotros el conjunto X siempre será un conjunto diferente del vacı́o. La notación x < y significa que x ≤ y y x 6= y, a veces utilizaremos y ≥ x para denotar x ≤ y.. Ejemplo 3.1 (Conjuntos parcialmente ordenados). a) Sea X un conjunto distinto del vacı́o, con P(X) denotamos al conjunto potencia de X, es decir el conjunto formado por todos los subconjunto de X. Definimos un orden en el conjunto potencia de la siguiente manera, para cada A, B ∈ P(X), A ≤ B si A ⊆ B. (P (X), ⊆) es un conjunto parcialmente ordenado. b) Sea N el conjunto de los número naturales, (N, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado, donde ≤ denota el orden usual de N. c) Sean N el mismo conjunto como en b), recordemos que para a, b ∈ N, a divide a b si existe n ∈ N tal que b = n · a, y lo representamos como a | b. Definimos un orden en el conjunto N de la siguiente manera, para cada x, y ∈ N, x ≤ y si x | y. (N, |) es un conjunto parcialmente ordenado. d) Sea R el conjunto de los número reales, (R, ≤) es un conjunto parcialmente ordenado, donde ≤ denota el orden usual de R. e) Sean A un conjunto distinto del vacı́o y RA = {f : A → R : f es una función}, definimos el orden en RA de la siguiente manera f ≤ g si para todo x ∈ A, f (x) ≤ g(x). (RA , ≤) es un conjunto parcialmente ordenado..

(47) 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 35. f ) Sea Z el conjunto de los números enteros, (Z, |) no es un conjunto parcialmente ordenado, donde | es análogo al orden que se dio en c), ya que | no cumple con la propiedad antisimétrica, es decir, −9 | 9 y 9 | −9, pero −9 6= 9.. Observación 3.1. Cuando tenemos (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, A 6= ∅ y A ⊂ X, definimos un orden parcial en A, que denotamos ≤A , de la siguiente manera: dados x, y ∈ A decimos que x ≤A y, si x ≤ y. (A, ≤A ) es un conjunto parcialmente ordenado. Por comodidad este orden parcial se denota también como ≤. Dados x, y ∈ X no necesariamente ocurre, como en R, que x ≤ y o y ≤ x cuando esto ocurre se dice que x e y son comparables. La siguiente definición involucra esta relación. Definición 3.3. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. El conjunto parcialmente ordenado (X, ≤) es una cadena si para toda x, y ∈ X, se tiene que x ≤ y ó y ≤ x. A la cadena también se le conoce como conjunto totalmente ordenado ó conjunto linealmente ordenado.. Ejemplo 3.2 (Cadenas). a) (N, ≤), (R, ≤), (Z, ≤) y (Q, ≤), donde ≤ representa el orden usual, son cadenas. b) (P (X), ⊆), (N, |) y (RA , ≤), con la relación de orden correspondiente del Ejemplo 3.1 incisos a), c) y e) respectivamente, no son cadenas. c) Sin embargo existen subconjuntos de N que son cadenas. Sea X = {2, 4, 8}, (X, |) es una cadena.. Anteriormente dimos algunos ejemplos de conjuntos parcialmente ordenados. Aunque no es difı́cil entender estos ejemplos, no siempre son tan claros como.

(48) 36. 3. Espacios Vectoriales Ordenados. podrı́an ser, ya que sus representaciones no son visuales. Puede ser útil representar estos conjuntos parcialmente ordenados de forma geométrica, un método posible de representar a los conjuntos parcialmente ordenados es mediante un diagrama de Hasse. Para hacer la construcción del diagrama de Hasse de un conjunto parcialmente ordenado (X, ≤), a los elementos de X los representaremos como puntos de tal manera que si x ≤ y entonces el punto asociado con el elemento y estará arriba del punto relacionado con el elemento x, y si x < y y no existe z tal que x < z < y entonces existe una arista de x a y. Por otra parte, si x < y, conectamos a los puntos asociados con una lı́nea vertical, cuando un par de elementos no están conectados no se traza una recta entre los dos. Ejemplo 3.3. Sea X = {a, b, c} y consideramos el conjunto parcialmente ordenado (P (X), ⊆). La representación geométrica del diagrama de Hasse de (P (X), ⊆ ) es la siguiente.. {a,b,c}. {a,c}. {a}. {b,c}. {a,b}. {c}. {b}. Ø. Ası́ como en los números reales se definen los conceptos de cota superior, acotado superiormente, etc; en conjuntos parcialmente ordenados también se pueden definir estos conceptos de manera similar a como se definen en los reales. Definición 3.4. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y A ⊂ X. 1) x0 ∈ X es una cota superior de A en X si para toda a ∈ A tenemos que a ≤ x0 ..

(49) 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 37. 2) A está acotado superiormente en X si existe una cota superior de A en X. 3) Decimos que xo es el supremo de A en X, y se escribe supX A, si se cumple: a) xo es cota superior de A en X. b) Si y ∈ X es cota superior de A en X, entonces xo ≤ y. Análogamente se definen los conceptos de cota inferior, acotado inferiormente, e ı́nfimo de un conjunto en X. Como en el caso de los números reales, cuando existe xo en A tal que xo es el supremo de A, en lugar de decir xo es el supremo de A diremos xo es el máximo de A y lo denotamos como máx A, de manera similar se define el mı́nimo de un conjunto A. Observación 3.2. El supremo en X de un conjunto A es único, ya que si x1 = sup A en X y x2 = sup A en X, entonces ambos son cota superior de A en X. Como x1 es la menor de las cotas superiores, entonces x1 ≤ x2 , de igual manera x2 ≤ x1 , puesto que x2 es la menor de las cotas superiores, entonces por la propiedad antisimétrica, tenemos x1 = x2 . Análogamente el ı́nfimo en X de un conjunto A es único. Algunas veces se tiene la siguiente situación, A ⊂ B ⊂ X y es necesario estudiar los conceptos de cota superior, cota inferior, supremo e ı́nfimo, con respecto al conjunto B y con respecto al conjunto X, cuando hablemos del supremo del conjunto A como subconjunto de B lo denotamos por supB A y cuando hablemos del supremo con respecto a X se denota como supX A. Vamos a reiterar la definición de cota superior, acotado superiormente y supremo de un conjunto A en B, cuando A ⊂ B ⊂ X. Definición 3.5. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y A ⊂ B ⊂ X. 1) xo ∈ B es una cota superior de A en B si para toda a ∈ A tenemos que a ≤ xo ..

(50) 38. 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 2) A está acotado superiormente en B si existe una cota superior de A en B. 3) Decimos que xo es un supremo de A en B, y se escribe supB A, si se cumple: a) xo es cota superior de A en B. b) Si yo ∈ B es cota superior de A en B, entonces xo ≤ yo . Análogamente se definen los conceptos de cota inferior, acotado inferiormente, e ı́nfimo de un conjunto A en B.. Observación 3.3. a) Si b es cota superior de A en B, entonces b es cota superior de A en X, pero el recı́proco de esto no es verdadero ya que una cota superior de A en X no necesariamente pertenece a B como se verá en el Ejemplo 3.4 inciso a). b) Si xo es el supremos de A en B no necesariamente xo es el supremo de A en X, ya que el conjunto A puede tener cotas superiores en X que no necesariamente pertenecen a B, el recı́proco tampoco es verdadero, pues de igual manera el supremo de A en X no necesariamente pertenece a B como se verán en el Ejemplo 3.4 incisos b) y c).. Ejemplo 3.4. a) Sean X = R, A = (0, 1) y B = [0, 1]. Obsérvece que 8 es cota superior de A en R, pero 8 no es cota superior de A en B.. b) Sean X = {a, b, c, d}, A = {a, b} y B = {a, b, d}. Consideremos (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, la representación geométrica del diagrama de Hasse para (X, ≤) es la siguiente..

(51) 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 39. d. c. a. b. Claramente del diagrama de Hasse observamos que d es el supremo de A en B, pero d no es el supremo de A en X, ya que d no es la mı́nima cota superior.. c) Sean X = {a, b, c, d}, A = {c, b} y B = {a, b, c}. Consideremos (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, la representación geométrica del diagrama de Hasse para (X, ≤) es la siguiente.. d. b. c. a. Claramente del diagrama de Hasse observamos que d es el supremo de A en X, pero d no es el supremo de A en B ya que d ∈ / B. El siguiente teorema nos dice cuando el supremos de A en X es igual al supremo de A en B..

(52) 40. 3. Espacios Vectoriales Ordenados. Teorema 3.1. Sean A ⊂ B ⊂ X, si supX A existe y supX A ∈ B, entonces supB A existe y supX A = supB A. Demostración. Como supX A ∈ B, entonces supX A es cota superior de A en B. Sea b ∈ B cota superior de A en B, entonces b es cota superior de A en X, por lo tanto b ≤ supX A. Por lo tanto supX A = supB A.. Definición 3.6. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y x, y ∈ X. Si el sup{x, y} e ı́nf{x, y} existen en X, entonces se escribirá de la siguiente manera x ∨ y = sup{x, y}, y x ∧ y = ı́nf{x, y}. La siguiente definición es importare ya que a partir de ella podemos mencionar el Lema de Zorn, el cual nos es de gran ayuda para la realización de la demostración del Teorema del Punto fijo de Knaster- Tarski que veremos más adelante. Definición 3.7. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y xo ∈ X. Decimos que xo es a) un elemento maximal de X si para cada x ∈ X es tal que xo ≤ x, entonces xo = x, b) un elemento minimal de X si para cada x ∈ X es tal que x ≤ xo , entonces xo = x.. Observación 3.4. Notemos que supremo (ı́nfimo) y elemento maximal (minimal) de un conjunto son términos diferentes y que el elemento maximal (minimal) de X no necesariamente es único, como se verán en el Ejemplo 3.5.. Ejemplo 3.5. Sean X = {3, 4, 12, 24, 48, 72, 144, 336, 720} y A = {12, 24, 48}. Consideremos (X, |) un conjunto parcialmente ordenado, la representación geométrica del diagrama de Hasse para (X, |) es la siguiente..

(53) 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 41. 720. 144. 336. 72. 48 24. 12. 3. 4. Observemos que el supremo de A en X es 48, pues es la menor de las cotas superiores que tiene A en X y los elementos maximales de X son 336 y 720, ya que a partir de esos números no hay más elementos por arriba. Cuando tenemos la situación A ⊂ X es necesario estudiar los conceptos de elemento maximal y elemento minimal con respecto al conjunto A. Recalcaremos la definición de elemento maximal y elemento minimal de un conjunto A ⊂ X. Definición 3.8. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, A ⊂ X y xo ∈ A. Decimos que xo es a) un elemento maximal de A si para cada x ∈ A es tal que xo ≤ x, entonces xo = x, b) un elemento minimal de A si para cada x ∈ A es tal que x ≤ xo , entonces xo = x.. Observación 3.5. xo es elemento maximal de A, pero no necesariamente xo es elemento maximal de X. Como se verá en el Ejemplo 3.6.. Ejemplo 3.6. Sean X = {a, b, c, d, e} y A = {a, b, c}. Consideremos (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, la representación geométrica del diagrama de Hasse para (X, ≤) es la siguiente..

(54) 42. 3. Espacios Vectoriales Ordenados e. d. c. a. b. Observamos que d es elemento maximal de A, pues no existe otro elemento arriba de él en el conjunto A, pero d no es elemento maximal de X, ya que arriba de d se encuentra e.. Lema 3.1. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y A ⊂ X. Si xo es elemento maximal de X y xo ∈ A, entonces xo es elemento maximal de A. Demostración. Sea x ∈ A, con xo ≤ x. Como xo es elemento maximal de X, y x ∈ X, entonces xo = x.. Lema 3.2. (Lema de Zorn) Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Si toda cadena distinta del vacı́o tiene una cota superior (cota inferior) en X, entonces X contiene al menos un elemento maximal (elemento minimal) en X.. Definición 3.9. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, f : X → X una función y Ff = {x ∈ X : f (x) = x}. Decimos que x es un punto fijo maximal de f si: a) x es un punto fijo de f , b) x es un elemento maximal del conjunto Ff . Análogamente se define punto fijo minimal de f ..

(55) 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 43. Definición 3.10. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado, f : X → X una función y Ff = {x ∈ X : f (x) = x}. Decimos que x es el punto fijo máximo de f si: a) x es un punto fijo de f , b) x es el máximo del conjunto Ff . Análogamente se define punto fijo mı́nimo de f .. Definición 3.11. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y {xn } una sucesión de elementos de X. {xn } es una sucesión a) creciente si para todo n ∈ N, se tiene que xn ≤ xn+1 , b) decreciente si para todo n ∈ N, se tiene que xn ≥ xn+1 . Decimos que una sucesión es monótona, si la sucesión es creciente o decreciente. Análogamente se definen los conceptos de sucesión estrictamente creciente y sucesión estrictamente decreciente. Definición 3.12. Sean (X, ≤X ) y (Y, ≤Y ) dos conjuntos parcialmente ordenados y f : X → Y una función. Decimos que f es una función a) creciente, si para toda x1 , x2 ∈ X, si x1 ≤X x2 , entonces f (x1 ) ≤Y f (x2 ), b) decreciente, para toda x1 , x2 ∈ X, si x1 ≤X x2 , entonces f (x1 ) ≥Y f (x2 ). Decimos que una función es monótona cuando la función es creciente ó decreciente. Análogamente se definen los conceptos de estrictamente creciente y estrictamente decreciente. Cuando no haya lugar a confusión usaremos el sı́mbolo ≤ para denotar el orden en X y el orden en Y respectivamente. Ası́ como en los numero reales se tienen ciertos conjuntos que se les dan nombres especiales, como por ejemplo, intervalo abierto, intervalo cerrado, en conjuntos parcialmente ordenados también tenemos estos conceptos a los cuales le llamaremos intervalos ordenados cerrado e intervalos ordenados abiertos..

(56) 44. 3. Espacios Vectoriales Ordenados. Definición 3.13. Sean (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado y a, b ∈ X, con a ≤ b. Con el sı́mbolo [a, b] denotamos el conjunto {x ∈ X : a ≤ x ≤ b}. El conjunto [a, b] es llamado un intervalo ordenado cerrado de (X, ≤). Análogamente se define el intervalo ordenado abierto. Muchas propiedades importantes de un conjunto parcialmente ordenado son expresadas en términos de existencia de supremos e ı́nfimos de un subconjunto del conjunto parcialmente ordenado, tres de las más importares clases de conjuntos parcialmente ordenados definición de esta manera son Lattice, Lattice completa y Dedekind completo, a continuación presentamos las definiciones de tales conjuntos ası́ como algunos ejemplos. Definición 3.14. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. X se denomina lattice ó retı́culo si para cada par de elementos x, y ∈ X, entonces x ∨ y y x ∧ y existen en X.. Definición 3.15. Sean X una lattice y A ⊂ X. A se denomina sublattice ó subretı́culo si para cada par de elementos x, y ∈ A, entonces x ∨ y ∈ A. y. x ∧ y ∈ A.. Observación 3.6. En la Definición 3.14 el supremo e ı́nfimo siempre existen en X, pero en la Definición 3.15 se le está pidiendo que el supremo e ı́nfimo sean elementos de A. Además una sublattice A de X, no significa que A con el orden heredado de X sea necesariamente una lattice, esto es por la Observación 3.3 inciso b).. Definición 3.16. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. X se denomina lattice completa ó retı́culo completo, si todo subconjunto A 6= ∅ de X tiene supremo e ı́nfimo en X.. Observación 3.7. Una lattice completa es una lattice, el recı́proco no necesariamente es verdadero. En una lattice completa X se denota al ı́nfimo de X como 0 y al supremo de X como 1..

(57) 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 45. Definición 3.17. Sea X una lattice completa, A 6= ∅ y A ⊂ X. A se denomina sublattice completa ó subretı́culo completo, si todo subconjunto no vacı́o de A, entonces supX A e ı́nf X A pertenecen a A.. Definición 3.18. (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que X es Dedekind completo, si todo subconjunto A 6= ∅ de X acotado superiormente tiene supremo en X y todo subconjunto B 6= ∅ acotado inferiormente tiene ı́nfimo en X.. Ejemplo 3.7. (Lattice, sublattice, lattice completa, sublattice completa y Dedekind completo ) a) Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado. Si X es una cadena, entonces X es una lattice, donde x ∨ y = máx{x, y}, y x ∧ y = mı́n{x, y}. Ası́ del Ejemplo 3.2 inciso a), se deduce que (R, ≤), (N, ≤), (Z, ≤) y (Q, ≤), donde ≤ representa el orden usual, son lattices, y además Dedekind completos, pero ninguno de ellos es una lattice completa, ya que cada uno de ellos carece de una cota superior, por lo que no tienen supremo. b) (P (X), ⊆) es una lattice y una lattice completa donde sup{Aα | α ∈ A} =. [. Aα. α∈A. y ı́nf{Aα | α ∈ A} =. \. Aα .. α∈A. c) Recordemos que el mı́nimo común múltiplo de a y b, denotado como mcm{a, b}, es el natural mas pequeño que divide a a y b y el máximo común divisor de a y b cuando al menos uno de ellos no es 0, denotado como mcd{a, b}, es el.

(58) 46. 3. Espacios Vectoriales Ordenados natural más grande que es un divisor de ambos números.. (N, |) es una lattice, donde sup{x, y} = mcm{x, y} y ı́nf{x, y} = mcd{x, y}. d) Sea X un espacio vectorial y consideremos a P(X) con el orden que se definió en el Ejemplo 3.1 inciso a) y β = {A ∈ P(X) | A es convexo}, (β, ⊆) es es una lattice y una lattice completa donde ı́nf{Aα | α ∈ A} =. \. Aα. α∈A. y sup{Aα | α ∈ A} = Conv(. [. Aα ).. α∈A. e) Sea X = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} y consideremos (X, |) un conjunto parcialmente ordenado,. 30. 6. 2. 10. 15. 5. 3. 1. Figura 3.1: Diagrama de Hasse de (X, |).

(59) 3. Espacios Vectoriales Ordenados. 47. (X, |) es una lattice.. Si además consideramos L1 = {3, 6, 15, 30}, L2 = {1, 2, 3, 5, 15}, L3 = {1, 6, 10, 30} y L4 = {1, 2, 3, 6, 30} subconjuntos de la lattice X, observamos que L1 y L4 son sublattices de X, mientras que L2 y L3 no lo son. L2 no es una sublattice porque el 2 ∨ 3 = 6, no pertenece a L2 . L3 no es un sublattice porque el 6 ∧ 10 = 2, no pertenece a L3 , como se verán en las Figuras 3.2, 3.3, 3.4 y 3.5, respectivamente. Nótese que L3 , con el orden que hereda de X es una lattice, pero no es sublattice de L3 .. 30 15. 15. 6. 3 2. 3. Figura 3.2: Diagrama de Hasse de L1. 5. 1. Figura 3.3: Diagrama de Hasse de L2.

(60) 48. 3. Espacios Vectoriales Ordenados 30. 30. 6 10. 6 3. 2. 1. 1. Figura 3.4: Diagrama de Hasse de L3. Figura 3.5: Diagrama de Hasse de L4. f ) Sea X = {1, 2, 3}, (X, |) no es una lattice, pues si consideramos a {2, 3}, observamos que éste conjunto no tiene supremo.. Ejemplo 3.8. (Un conjunto parcialmente ordenado que no es lattice) Sea X = {a, b, c, d, e}, el conjunto parcialmente ordenado (X, ≤) cuya representación geométrica del diagrama de Hasse es la siguiente, e. c. d. a. b. (X, ≤) no es una lattice, ya que observamos que {a, b} tienen como cotas superiores a c, d y e. Luego {a, b} no tiene mı́nima cota superior, pues no se puede saber si c ó d es la mı́nima cota superior..