INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CAMPOS CUÁNTICOS

L. L. Salcedo

Departamento de Física Atómica, Molecular y Nuclear, Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain

E-mail: [email protected]

24 de mayo de 2022

Resumen

Apuntes de la asignatura. Versión v3.52, 2010-2022.

http://www.ugr.es/local/salcedo/public/tcc/curso.pdf

Índice general

1 Teoría de campos clásicos 1

1.1 Invariancia Poincaré . . . 1

1.1.1 Notación relativista . . . 1

1.1.2 Álgebras de Lie de Lorentz y Poincaré . . . 5

1.2 Derivada funcional . . . 8

1.3 Formalismo lagrangiano . . . 10

1.4 Formalismo canónico . . . 14

1.5 Simetrías . . . 18 1

1.5.1 Transformaciones de simetría . . . 18

1.5.2 Teorema de Noether . . . 20

1.6 Simetrías cinemáticas . . . 26

1.6.1 Traslaciones espacio-temporales . . . 26

1.6.2 Rotaciones espacio-temporales . . . 27

1.7 Simetrías internas . . . 28

1.8 Corriente y acoplamiento gauge . . . 29

1.9 Generadores . . . 32

2 Campo de radiación 1 2.1 Partículas idénticas . . . 1

2.1.1 Espacio de Fock . . . 1

2.1.2 Operadores campo . . . 7

2.1.3 Operadores de un cuerpo y dos cuerpos . . . 7

2.1.4 Orden normal . . . 8

2.1.5 Teorema de Wick . . . 9

2.1.6 Segunda cuantización . . . 10

2.2 Ecuaciones de Maxwell e invariancia gauge . . . 13

2.3 Cuantización del campo de radiación. Fotones. Espín del fotón . . . 19

2.3.1 Oscilador armónico cuántico . . . 19

2.3.2 Cuantización del campo de radiación . . . 20

2.3.3 Relaciones de conmutación . . . 23

2.3.4 Divergencias infrarroja y ultravioleta . . . 25

2.4 Energía del vacío. Efecto Casimir . . . 27

2.5 Interacción radiación-materia . . . 30

2.5.1 Tratamiento clásico . . . 30

2.5.2 Tratamiento cuántico. Emisión espontánea . . . 32

3 Campo de Klein-Gordon 1 3.1 Campo de Klein-Gordon real . . . 2

3.1.1 Cuantización del campo . . . 2

3.1.2 Invariancia relativista y unicidad del vacío . . . 6

3.2 Campo de Klein-Gordon complejo . . . 9

3.3 Cargas conservadas . . . 11

3.4 Simetrías internas . . . 15

3.5 Simetrías discretas . . . 17

3.5.1 Paridad en φ . . . 18

3.5.2 Paridad o inversión espacial . . . 18

3.5.3 Conjugación de carga . . . 21

3.5.4 Inversión temporal . . . 22

3.5.5 Transformación CPT . . . 25

3.6 Relaciones de conmutación covariantes . . . 26

3.6.1 Propiedades generales . . . 26

3.6.2 Cálculo de ∆(x − y) . . . 28

3.6.3 Microcausalidad . . . 30

3.6.4 Ordenación cronológica . . . 31

3.6.5 Propagador de Feynman . . . 32

3.6.6 Cálculo del propagador . . . 34

3.7 Localizabilidad de partículas . . . 36

3.7.1 Interpretación del propagador de Feynman . . . 36

3.7.2 Localizabilidad de partículas . . . 37

3.7.3 Operador posición para Klein-Gordon . . . 38

3.7.4 Operadores densidad de partículas y densidad de carga . . . 39

3.8 Conexión espín-estadística . . . 40

3.9 Representación de Schrödinger . . . 41

3.9.1 Mecánica cuántica con número finito de grados de libertad . . . 41

3.9.2 Representación de Schrödinger . . . 42

3.9.3 Espacio de Schrödinger . . . 45

3.10 Complementos . . . 47

3.10.1 Expresiones en una base ortonormal arbitraria . . . 47

4 Campo de Dirac 1 4.1 Ecuación de Weyl . . . 1

4.2 Formulación lagrangiana del campo de Weyl . . . 4

4.3 Campo de Majorana . . . 6

4.4 Ecuación de Dirac . . . 7

4.5 Campo de Dirac . . . 9

4.6 Soluciones tipo onda plana . . . 11

4.7 Relaciones de conmutación covariantes . . . 12

4.8 Paridad y conjugación de carga . . . 14

5 Campos con interacción 1 5.1 Diferencias con el caso libre . . . 1

5.2 Funciones de Green o de correlación . . . 3

5.3 Representación de Lehmann . . . 5

5.4 Funcional generador de las funciones de Green . . . 10

5.4.1 Funcional generador . . . 10

5.4.2 Operador de evolución . . . 11

5.4.3 Función de partición . . . 11

5.5 Formulación basada en integración funcional . . . 15

5.5.1 Integral de caminos de Feynman . . . 16

5.5.2 Integral funcional . . . 17

5.6 Funcional generador de la teoría libre. Notación de DeWitt. . . 19

5.7 Teorema de Wick . . . 21

5.8 Campo libre en presencia de una corriente . . . 23

6 Teoría de perturbaciones 1 6.1 Fórmula de Gell-Mann–Low . . . 1

6.2 Diagramas de Feynman . . . 2

6.2.1 Diagramas y reglas de Feynman para Z[J] . . . 2

6.2.2 Reglas de Feynman para G[J] . . . 5

6.2.3 Teorema del linked-cluster . . . 7

6.2.4 Reglas de Feynman para las funciones de Green . . . 8

6.2.5 Algunas relaciones estructurales diagramáticas . . . 8

6.3 Teoría φ⁴ y otras . . . 10

6.3.1 Reglas de Feynman en espacio de posiciones . . . 10

6.3.2 Reglas de Feynman en espacio de momentos . . . 12

6.3.3 Campos cargados . . . 14

6.3.4 Reglas de Feynman para QED . . . 17

6.4 Tipos de diagramas . . . 18

6.4.1 Diagramas de vacío . . . 18

6.4.2 Diagramas conexos . . . 19

6.4.3 Diagramas de autoenergía . . . 20

6.4.4 Vértices irreducibles . . . 22

6.5 Ecuaciones de Schwinger-Dyson . . . 23

6.6 Acción efectiva . . . 25

7 Matriz S 1 7.1 Fórmulas de reducción . . . 1

7.2 Amplitud invariante . . . 4

7.3 Anchura de una partícula . . . 7

7.4 Interacción mediada por un potencial . . . 11

8 Teoría de campos en espaciotiempo euclídeo 1 8.1 Rotación de Wick . . . 1

8.2 Espacio euclídeo . . . 2

8.2.1 Tiempo imaginario . . . 2

8.2.2 Acción euclídea . . . 4

8.2.3 Funciones de correlación euclídeas . . . 6

8.2.4 Formalismo euclídeo en espacio de momentos . . . 7

8.3 Mecánica estadística . . . 8

8.3.1 Relación con mecánica estadística clásica . . . 8

8.3.2 Teoría de campos a temperatura finita . . . 9

9 Renormalización 1 9.1 Parámetros desnudos y renormalizados . . . 1

9.2 Esquemas de regularización . . . 3

9.3 Teoría regulada . . . 6

9.4 Renormalización perturbativa . . . 9

9.5 Renormalizabilidad perturbativa . . . 15

9.6 Renormalización perturbativa a todos los órdenes . . . 18

9.7 Renormalización no perturbativa . . . 21

9.7.1 Teoría regulada en el retículo . . . 21

9.7.2 Límite del continuo . . . 22

9.8 Grupo de renormalización . . . 26

9.8.1 Trivialidad . . . 26

9.8.2 Función beta . . . 27

9.8.3 Running de la constante de acoplamiento . . . 29

1 Teoría de campos clásicos

1.1 Invariancia Poincaré

1.1.1 Notación relativista

Usamos unidades c = 1. El espacio-tiempo (plano) es (isomorfo a) R⁴ en 3 + 1 dimensiones.

x= x^µ= (t, x) = (t, x, y, z) ∈ R⁴. (1.1) La cuatro componentes x^µ, x⁰ = t, x¹ = x, x²= y, x³= z, son la componentes contravariantes del cuadrivector x. Los índices griegos son espacio-temporales, µ = 0, 1, 2, 3. Los índices latinos espaciales, i= 1, 2, 3.

La métrica de Minkowski es gµ ν = diag(+1, −1, −1, −1), es decir,

g_{µ ν}=







+1, µ = ν = 0

−1, µ = ν 6= 0 0, µ 6= ν

. (1.2)

También se usa la métrica con signo opuesto, que tiene varias ventajas, pero la usada aquí está más extendida en física de partículas.

Las componentes contravariantes de la métrica, g^{µ ν}, están formadas por la matriz inversa de las componentes covariantes, g_{µ ν}, es decir, g^{µ α}g_{α ν} = δ_{µ ν}. (Hay suma implícita sobre índices repetidos, en este caso α.) En relatividad especial g^{µ ν} y gµ ν tienen la misma matriz

g^{µ ν}= g_{µ ν} = diag(+1, −1, −1, −1), g^µ_ν= g_µ^ν= δ_{µ ν} = diag(1, 1, 1, 1) (1.3)

Usando la métrica se puede pasar de las componentes covariantes a las contravariantes de un tensor y viceversa:

x_µ= g_{µ ν}x^ν = (t, −x) x₀= x⁰= t, xi= −xⁱ= −x . (1.4) La norma al cuadrado y el producto escalar se definen usando la métrica de Minkowski:^1.1

x· x = x²= gµ νx^µx^ν= x^µx_µ= t²− x²= t²− x²− y²− z²,

x· y = g_{µ ν}x^µy^ν= x^µy_µ= x⁰y⁰− x · y. (1.5)

1.1No debe confundirse x²= x · x con x²= y. Ídem x cuadrivector con x = x¹.

(A menudo el punto del producto escalar es omite.) x² representa el intervalo relativista entre el origen y el punto espacio-temporal x:

x²







> 0 separación tipo tiempo

< 0 separación tipo espacio

= 0 separación tipo luz

. (1.6)

Las transformaciones de Lorentz son las transformaciones lineales en el espacio-tiempo que dejan inva- riante el producto escalar (o equivalentemente la norma al cuadrado):

Λ : R⁴→ R⁴, x7→ x⁰= Λx, x^0µ = Λ^µνx^ν,

xy= x⁰y⁰, g_{µ ν}x^µy^ν= g_{α β}x^0αy^0β= g_{α β}Λ^α_µx^µΛ^β_νy^ν. (1.7) La invariancia requiere

g_{µ ν} = g_{α β}Λ^αµΛ^βν. (1.8)

En notación matricial G = Λ^TGΛ. La ley de transformación de las componentes covariantes es

x⁰_µ= (Λ⁻¹)^νµx_ν = Λµνx_ν, Λµν= gµ αg^{β ν}Λ^α_β= (Λ⁻¹)^νµ. (1.9)

Por su definición el conjunto de transformaciones forman el grupo matricial L = O(1, 3), que es el grupo de Lorentz completo. Es un grupo de Lie de dimensión 6 (en 3 + 1 dimensiones). La ley de composición corresponde al producto de matrices Λ₁₂= Λ₁Λ2.

El grupo completo contiene rotaciones, boosts, reflexión espacial (paridad) e inversión temporal. Te- niendo en cuenta que det(AB) = det A det B y det G = −1, se deduce que las transformaciones de Lorentz se dividen en dos tipos L = L₊∪ L₋ de acuerdo con det Λ = ±1. Los elementos de L− se denominan inversiones. Por otro lado,

1 = g₀₀= g_{α β}Λ^α₀Λ^β₀= (Λ⁰₀)²− (Λ⁰i)², |Λ⁰₀| ≥ 1. (1.10) Por tanto también hay dos tipos de transformaciones L = L^↑∪ L^↓, ortocronas o antiortocronas, de acuerdo con Λ⁰0≷ 0. El grupo de Lorentz completo contiene cuatro componentes conexas

L= L^↑₊∪ L^↑₋∪ L^↓₊∪ L^↓₋. (1.11)

La componente L^↑₊ es un subgrupo, el grupo propio de Lorentz generado por rotaciones y boosts.

Toda Λ ∈ L^↑₊ es de la forma Λ(θ, v) = B(v)R(θ). B(v) es el boost puro de velocidad v que actúa igual que Λ sobre (1, 0):

Λ1 0



= B1 0



=

γ γ v



, γ = (1 − v²)^−1/2. (1.12)

Por otro lado el grupo de las rotaciones está formado las transformaciones de Lorentz que dejan invariante el vector (1, 0). Es decir, R(θ) = B⁻¹(v)Λ(θ, v) (que por construcción deja (1, 0) invariante). θ = ωn, donde n es el eje de rotación (n²= 1) y ω es el ángulo de rotación. Los boosts no forman un grupo en el caso relativista. (Dos boosts puros sucesivos en la misma dirección producen un boost puro en la misma dirección, pero si no están la misma dirección se genera una rotación adicional.)

Las otras componentes de L se obtienen aplicando paridad e inversión temporal. Paridad o inversión espacial es la transformación

 t x



→ P t x



=

 t

−x



, P= diag(1, −1, −1, −1), PL^↑↓_± = L^↑↓_∓. (1.13) Obsérvese que en un espacio de dimensión arbitraria paridad se puede identificar con una reflexión que cambie el signo de un número impar de componentes de x. (Si se cambia un número par se obtiene una rotación.)

Inversión temporal es la transformación que cambia el sentido del tiempo:

 t x



→ T−t x



, T = diag(−1, 1, 1, 1), T L^↑↓_± = L^↓↑_∓. (1.14)

El conjunto de transformaciones que deja invariante el intervalo (x − y)² entre dos sucesos x e y es el grupo inhomogéneo de Lorentz o grupo de Poincaré, P = IO(1, 3). Son transformaciones afines (Λ, a)

x→ Λx + a, Λ ∈ L, a∈ R⁴. (1.15)

El grupo de Poincaré es el producto semidirecto del grupo de traslaciones espacio-temporales, x → x + a, con el grupo de Lorentz. De su definición sobre R⁴se deduce la ley de composición (Λ₁₂, a₁₂) = (Λ₁, a₁)(Λ₂, a₂), con Λ12= Λ1Λ2 y a12= a1+ Λ1a₂.

Los objetos (sin índices) invariantes bajo transformaciones de Lorentz se denominan escalares (Lorentz).

Por ejemplo, la norma al cuadrado, x².

Los objetos que se transforman como x bajo transformaciones de Lorentz son cuadrivectores. A^µ→ A^0µ= Λ^µνA^ν, Aν= gµ νA^ν, (A⁰)²= A². Por ejemplo, el cuadrimomento p^µ = (E, p), donde E es la energía y p el momento. De modo que p²= p^µp_µ= E²− p²= m² es un escalar Lorentz.

Igualmente ∂_µ= ∂

∂ x^µ es un cuadrivector:

∂_µ⁰ = ∂

∂ x^0µ = ∂ x^ν

∂ x^0µ∂_ν = (Λ⁻¹)^ν_µ∂_ν = Λ_µ^ν∂_ν. (1.16)

Correspondientemente el d’alambertiano 2 = ∂µ∂^µ= ∂_t²− ∇² es un escalar Lorentz.

Estas leyes de transformación son consistentes con las reglas de cuantización E → i∂₀, p = −i∇, que se pueden escribir en forma conjunta como p_µ→ i∂_µ o (p^µ → i∂^µ). Nótese que para x y p lo natural son las componentes contravariantes (xⁱ son las componentes de x y pⁱ son las de p), en cambio para la derivada lo natural son las componentes covariantes, ∂i son las componentes de ∇, mientras que ∂ⁱ= −∇.

Por definición un tensor (respecto del grupo L^↑₊) con m índices contravariantes y n covariantes T^µ1···µm_ν1···νn (los índices pueden estar ordenados de forma distinta) se transforma según^1.2

T^{0µ10···µm0}_ν⁰

1···ν_n⁰ = Λ^µ10_µ1· · · Λ^µ0m_µmΛ_ν⁰

1

ν1· · · Λ_νn^0νnT^µ1···µm_ν1···νn, Λ ∈ L^↑₊. (1.17)

La suma de tensores del mismo tipo produce otro tensor, A^{µ ν}+ B^{µ ν} = C^{µ ν}, y lo mismo el producto, A^{µ ν}B_α^β = C^{µ ν}αβ. Los índices se pueden subir y bajar con la métrica. Contracción de un índice covariante con uno contravariante produce un nuevo tensor: A^{µ α}B_α^ν= C^{µ ν}. La derivada de un campo tensorial produce otro campo tensorial, ∂_µA_ν(x) = B_{µ ν}(x).

La métrica es un tensor invariante (por definición de transformación de Lorentz):

g_{µ ν}→ g⁰_{µ ν}= Λµα

Λνβg_{α β} = gµ ν. (1.18)

Aparte de la métrica, sólo hay otro tensor básico invariante L^↑₊, el tensor de Levi-Civita ε_{µ ν α β} (con D+ 1 índices en D + 1 dimensiones). Básico se refiere a que cualquier otro tensor invariante está construido combinando gµ ν y ε_{µ ν α β}. El tensor de Levi-Civita se define por la propiedades: i) ε_{µ ν α β} es completamente antisimétrico bajo permutación de índices. En particular, se anula si dos índices toman el mismo valor.

Y ii) ε₀₁₂₃= +1. Nótese que entonces ε⁰¹²³= −1. Esta elección de signo no es universal. ε_{µ ν α β} es un pseudo-tensor ya que es un tensor (invariante) bajo L^↑₊ pero cambia de signo bajo L−:

ε_µ⁰0ν⁰α⁰β⁰= Λ_µ^0µΛ_ν^0νΛ_α^0αΛ_β^0βε_{µ ν α β} = det(Λ)ε_µ⁰_ν⁰_α⁰_β⁰ = ±ε_µ⁰_ν⁰_α⁰_β⁰. (1.19) El producto de un número par de tensores de Levi-Civita es un tensor invariante y se puede escribir en función de la métrica:^1.3

−ε_µ⁰_ν⁰_α⁰_β⁰ε_{µ ν α β} = g_µ⁰_µg_ν⁰_νg_α⁰_αg_β⁰_β− · · · . (1.20) La suma es sobre 4! permutaciones de (µναβ ), con signo más si la permutación es par y con signo menos si es impar. En general se usa tensor para un objeto con comportamiento tensorial bajo L y pseudo- tensor si en la transformación tiene un factor det(Λ). Así, si F_{µ ν} es un tensor, ˜F_{µ ν} = ¹₂ε_{µ ν α β}F^{α β} es un pseudo-tensor. El potencial vector A es un vector (o auténtico vector, o vector polar) y el campo magnético

1.2Nótese que T_{µ ν}= δ_{µ ν} no es un tensor, y sí lo es T^µ_ν= δ_{µ ν}.

1.3En efecto, el lado derecho es totalmente antisimétrico en µ, ν, α, β y también en µ⁰, ν⁰, α⁰, β⁰, por tanto debe ser un múltiplo del lado izquierdo.

B = ∇ × A (Bi= εi jk∂jA_k) es un pseudo-vector o vector axial. Bajo paridad A(x) → −A(−x), en cambio B(x) → +B(−x).

El cuadrivolumen subtendido por cuatro cuadrivectores A, B, C, D es ε_{µ ν α β}A^µB^νC^αD^β. Por otro lado A, B, C subtienden una hipersuperficie (subespacio tridimensional) Σ con cuadrivector normal σ_β = ε_{µ ν α β}A^µB^νC^α. Por construcción σ_µV^µ = 0 para cualquier cuadrivector V en Σ. Interesa especialmente el caso de cuadrivectores infinitesimales. Con paralelepípedos infinitesimales de dimensión n se puede cubrir una región Ω ⊂ R⁴ (n = 4) o una hipersuperficie (n = 3), etc. En particular, el elemento de cuadrivolu- men d⁴x corresponde a la celdilla con cuadrivectores (dx⁰, 0, 0, 0), (0, dx¹, 0, 0), (0, 0, dx², 0), (0, 0, 0, dx³).

Igualmente, la hipersuperficie t = cte tiene elemento de volumen dσ_µ= (d³x, 0, 0, 0), así Z

R³

d³x A⁰(x) = Z

Σ

dσµA^µ(x). (1.21)

1.1.2 Álgebras de Lie de Lorentz y Poincaré Para Λ ∈ L^↑₊ infinitesimal

Λ^µ_ν= g^µ_ν+ δ ω^µ_ν, Λ^TGΛ = G =⇒ δ ω_{µ ν}= −δ ω_{ν µ}. (1.22) La condición de antisimetría (válida análogamente para cualquier grupo O(n, m)) indica que sólo hay 6 parámetros independientes, correspondientes a 3 + 3 de rotaciones y boosts.

Si D(Λ) es una representación de L^↑₊ en un espacio vectorial V , D(Λ₁Λ₂) = D(Λ₁)D(Λ₂), se tendrá D(Λ) = e^{−2iωµ νJµ ν}, J^{µ ν} = −J^{ν µ}. (1.23) Los 6 operadores (en V ) J^{µ ν} son los generadores del grupo L^↑₊ en V . En el caso infinitesimal D(Λ) = 1 −₂ⁱδ ω_{µ ν}J^{µ ν}. El factor i es convencional de modo que si la representación es unitaria J^{µ ν} son operadores hermíticos.^1.4El factor 1/2 es un factor de simetría, también convencional. Por ejemplo, en la representación D(Λ) = Λ en V = R⁴,

Λ^α_β = g^α_β+ δ ω^α_β= g^α_β+1

2δ ω_{µ ν}(g^{µ α}g^ν_β− g^{ν α}g^µ_β), (J^{µ ν})^α_β = i(g^{µ α}g^ν_β− g^{ν α}g^µ_β). (1.24) En este caso cada uno de los 6 operadores J^{µ ν} son matrices 4 × 4. Esta representación no es unitaria.

Cualquiera que sea la representación, los generadores satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie del grupo (y por tanto el álgebra se puede obtener de cualquier representación fiel):

[J^{µ ν}, J^{α β}] = i(g^{ν α}J^{µ β}− g^{µ α}J^{ν β}− g^{ν β}J^{µ α}+ g^{µ β}J^{ν α}). (1.25)

1.4El grupo de Lorentz propio es simple, conexo y no compacto, en consecuencia todas sus representaciones unitarias son de dimensión infinita (excepto la representación trivial). De ahí que mecánica cuántica relativista requiere teoría de campos.

Extendamos el grupo de Lorentz al de Poincaré, x → Λx + a. Si D(Λ, a) es una representación del grupo de Poincaré debe cumplir

D(Λ₁, a₁)D(Λ₂, a₂) = D(Λ₁Λ2, a₁+ Λ₁a₂). (1.26) Actúa primero Λ y luego a, (Λ, a) = (1, a)(Λ, 0). Entonces es costumbre expresar la representación en términos de generadores como^1.5

D(Λ, a) = e^iaµPµe^{−2iωµ νJµ ν}. (1.27) P^µ, el cuadrimomento, son los generadores infinitesimales del grupo de traslaciones.

El álgebra de Lie de Poincaré se puede obtener también a partir de una representación matricial usando una representación en un espacio de 5 dimensiones:

Λ a 0 1

 x 1



=

Λx + a 1



. (1.28)

En todo caso, se obtiene para el álgebra de Lie

[J^{µ ν}, P^α] = i(g^{ν α}P^µ− g^{µ α}P^ν), [P^µ, P^ν] = 0. (1.29)

En términos de una descripción espacio-temporal H= P⁰, (P )i= Pⁱ, (J )i=1

2εi jkJ^jk, (K)i= J⁰ⁱ. (1.30) K genera los boosts y J , el momento angular, las rotaciones. Usamos simplemente Ji, Ki, εi jk para objetos sin índices temporales. Nótese que con la signatura elegida para la métrica Pi no es (P )i= Pⁱ sino −Pⁱ. Las relaciones de conmutación se pueden reescribir

[Pⁱ, P^j] = [Pⁱ, H] = [Ji, H] = 0,

[Ji, P^j] = iεi jkP^k, [Ji, Kj] = iεi jkK_k, [Ji, Jj] = iεi jkJ_k, [Ki, P^j] = −iδi jH, [Ki, Kj] = −iεi jkJk, [Ki, H] = −iPⁱ.

(1.31)

El recubridor universal del grupo de Lorentz es SL(2, C). Es inmediato que los operadores J±=1

2(J ± iK) := J_L,R (1.32)

cumplen

[J±,i, J±, j] = iεi jkJ_±,k, [J±,i, J∓, j] = 0. (1.33)

1.5ay ω son coordenadas normales del grupo de traslaciones y de Lorentz respectivamente. Como para cualquier grupo de Lie, es posible usar coordenadas normales globales para el grupo de Poincaré completo e^{ia0µPµ−2iωµ νJµ ν}, pero a⁰ no coincidirá con a.

Es decir, la complexificación del álgebra de Lie de Lorentz so(1, 3) se descompone como la complexificación de su(2) ⊕ su(2).^1.6 Esto permite etiquetar las representaciones irreducibles del grupo propio de Lorentz mediante dos índices [ jL, jR] con j_L,R entero o semientero (dimensión (2 jL+ 1)(2 jR+ 1)). Bajo paridad J_±→ J_∓ y por tanto [ jL, jR] → [ jR, jL]. Hay dos representaciones irreducibles básicas (representaciones quirales) con las que se pueden construir las demás representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo de Lorentz:

[1

2, 0] : J =1

2σ, K = −i

2σ left, [0,1

2] : J =1

2σ, K = +i

2σ right.

(1.34)

Siendo σ las matrices de Pauli.

Ejemplo Para una partícula de Dirac, con las gammas de Dirac, γ^µ = (γ⁰, γ), en la representación quiral

γ₅=1 0 0 −1



, γ⁰=0 1 1 0



, γ = 0 −σ

σ 0

 , J^{µ ν}= i

4[γ^µ, γ^ν], J =

₁

2σ 0

0 ¹₂σ



, K =

_i

2σ 0

0 −₂ⁱσ

 .

(1.35)

Por tanto el espacio de Dirac de dimensión 4 no es irreducible Lorentz, se reduce como [¹₂, 0] ⊕ [0,¹₂]. Este espacio es invariante bajo paridad. La representación vector, V^µ, corresponde a [¹₂,¹₂]. ♦

Respecto de las representaciones irreducibles del grupo de Poincaré, hay dos operadores invariantes Poincaré que se pueden utilizar para clasificarlas, a saber, P² y W². Estos dos operadores conmutan con los generadores de Poincaré. P²= P_µP^µ = M² es la masa invariante al cuadrado. El otro invariante está relacionado con el espín:

W_µ =1

2ε_{µ ν α β}P^νJ^{α β}, (1.36)

es el (pseudo) vector de Pauli-Lubanski, W²= WµW^µ.

Hay varios tipos de representaciones irreducibles unitarias de Poincaré propio, pero sólo las siguientes han encontrado aplicación en física:

i) P^µ= J^{µ ν}= 0. Es la representación trivial del grupo y corresponde al estado vacío (estado fundamental de la teoría de campos).

1.6Alternativamente, las soluciones irreducibles de dimensión finita del álgebra de JL,Rse pueden elegir hermíticas (elección de base) y etiquetarlas con [ j_L, j_R]. J = J_R+ J_Lserá hermítica (SU(2) compacto, representaciones de dimensión finita unitarias) y K = i(JR− JL) antihermítica (representaciones de Lorentz de dimensión finita no unitarias).

ii) P²= M²> 0, P⁰> 0, W²= −M²j( j + 1), con j = 0,¹₂, 1, . . . Hay una representación irreducible de este tipo por cada M (M > 0) y j. Se aplica a partículas masivas. En estas representaciones hay un sistema en el que P = 0, el sistema centro de masas. En este sistema W⁰= 0, W = MS, donde S es el espín (J = L + S = S en este caso por P = 0). Los estados son de la forma |M, j; p, λ i con λ = − j, − j + 1, . . . , j. p es el momento lineal y λ la helicidad (momento angular en la dirección del momento lineal). E = +p

M²+ p².

iii) P²= 0, P⁰> 0, λ = 0, ±¹₂, ±1, . . . Hay una representación irreducible de este tipo por cada λ . Re- presenta partículas sin masa. En este caso W^µ = λ P^µ y λ es un invariante Poincaré (pseudo-escalar) que presenta la helicidad. Por este motivo hay un único valor de la helicidad en cada representación irreducible y no 2 j + 1 como ocurre para partículas masivas. La base es |M = 0, λ ; pi. E = |p|.

También hay representaciones taquiónicas, con M²< 0, que violan causalidad, y otras.

1.2 Derivada funcional

Una función es una aplicación f : A → B. Suele usarse el nombre función cuando A es Rⁿ o Cⁿ, o más generalmente cuando A es una variedad de dimensión finita. Por ejemplo f (x) con x ∈ Rⁿ. Se suele usar el nombre funcional cuando A es un conjunto de funciones (en el sentido anterior). Por ejemplo

A= {ϕ : Ω ⊂ Rⁿ→ R

x7→ ϕ(x)}, F: A→ B ϕ 7→ F [ϕ ]

. (1.37)

El dominio Ω es común a todas las funciones ϕ. Se usa a veces [ϕ] en vez de (ϕ) para denotar dependencias funcionales. Usualmente B es R o C.

Ejemplo Si ρ(x) (x ∈ R³) es la densidad de partículas, el número de partículas, N[ρ] =^Rd³x ρ(x), es un funcional de ρ.

Ejemplo H_rad=¹₂^Rd³x(E²(x) + B²(x)), la energía del campo de radiación, es un funcional de E(x) y de A(x).

Ejemplo δx[ϕ] = ϕ(x) es la distribución delta de Dirac. Es un funcional lineal de ϕ, con un parámetro x. También suele escribirse δx[ϕ] =^Rdⁿy δ (y − x)ϕ(y).

El concepto de derivada funcional es una generalización del concepto de derivada parcial para funciones ordinarias. Para una función ordinaria f : Rⁿ→ R y una variación x → x + δ x, δ f (x) =

n

∑

i=1

∂ f (x)

∂ xⁱ δ xⁱ+

O(δ x²). Por definición el coeficiente lineal en δ xⁱ es la derivada parcial, ∂if(x).^1.7

Análogamente, para un funcional, F : ϕ 7→ F[ϕ] consideramos una variación ϕ → ϕ + δ ϕ. La variación es local (se anula fuera de cierto soporte). Esto induce una variación en F: δ F[ϕ] = F[ϕ + δ ϕ] − F[ϕ]. Para F diferenciable (por definición) δ F[ϕ] =^Rdⁿx K(x)δ ϕ(x) + O(δ ϕ(x)²). La función K(x) depende de x y ϕ y es la derivada funcional de F respecto de ϕ en x. Suele denotarse δ F [ϕ ]

δ ϕ (x). Así, para δ ϕ infinitesimal δ F [ϕ ] =

Z

dⁿxδ F [ϕ ]

δ ϕ (x)δ ϕ (x). (1.38)

Por tanto la derivada funcional mide la dependencia de F con respecto a una variación de ϕ(x) en un entorno de x.

Nótese que: i) δ F [ϕ ]

δ ϕ (x) no depende de la variación δ ϕ(x). ii)δ F [ϕ ]

δ ϕ (x) tiene dimensiones de [δ F][δ ϕ]⁻¹[dⁿx]⁻¹ (a diferencia de ∂if(x) que tiene dimensiones [δ f ][dx]⁻¹). iii) δ ϕ(x) es local. Esto quiere decir que se anula fuera de alguna región acotada que no incluye los límites del dominio de las funciones ϕ, en particular el soporte de δ ϕ es interior al dominio Ω de las funciones ϕ, δ ϕ

  ∂Ω

= 0. Esto permite integrar por partes sin guardar términos de superficie.

Ejemplo Sea F[ϕ] =^R_Ωdⁿx f(ϕ(x), ∂iϕ (x), x) para cierta función f . δ F [ϕ ] =

Z

Ω

dⁿx

 ∂ f

∂ ϕ (x)δ ϕ (x) + ∂ f

∂ (∂iϕ (x))δ (∂iϕ (x))



= Z

Ω

dⁿx

 ∂ f

∂ ϕ (x)δ ϕ (x) − ∂i

 ∂ f

∂ (∂iϕ (x))

 δ ϕ (x)

 +

Z

Ω

dⁿx ∂i

 ∂ f

∂ (∂iϕ (x))δ ϕ (x)

 .

(1.39)

Se ha usado que δ (∂iϕ (x)) = ∂i(δ ϕ(x)). El último término puede reescribirse Z

∂Ω

dⁿ⁻¹Si

∂ f

∂ (∂iϕ (x))δ ϕ (x) = 0. (1.40)

Es un término de superficie y se anula por δ ϕ = 0 en ∂ Ω. Por tanto δ F [ϕ ]

δ ϕ (x) = ∂ f

∂ ϕ (x)− ∂i

 ∂ f

∂ (∂iϕ (x))



. (1.41)

(Hay suma implícita sobre i.) La derivada parcial ∂i externa en el segundo término se refiere a toda la dependencia en x, no sólo a la x explícita en f .

1.7Siempre suponemos que las funciones u objetos matemáticos considerados son suficientemente bien comportados, en este caso f es diferenciable.

Otra forma de introducir la derivada funcional es discretizando x [1]. Supongamos ϕ : Ω ⊂ Rⁿ→ R.

Dividimos la región Ω en celdillas δ Ωi, i = 1, 2, . . . (un número finito si Ω es acotado) cada una con volumen δVi, de modo que {δ Ωi} es un partición de Ω. Al final se toma el límite δVi→ 0 (uniformemente).

A cada celdilla se le asocia un valor representativo ¯ϕi definido como (δVi)⁻¹ Z

δΩi

dⁿx ϕ(x) (u otro promedio adecuado). La idea es que se ha sustituido un conjunto continuo de coordenadas ϕ(x) para describir la función (o campo) por un conjunto discreto ¯ϕi. El funcional F[ϕ] se sustituye por una función de las ¯ϕi, F( ¯¯ ϕ ). Se espera recuperar la descripción detallada en el límite del continuo, δVi→ 0.

F[ϕ] → ¯F( ¯ϕi), ϕ (x) → ¯ϕi, δ ¯F=

∑

i

∂ ¯F( ¯ϕ )

∂ ¯ϕi

δ ¯ϕi=

∑

i

δVi

1 δVi

∂ ¯F

∂ ¯ϕi

δ ¯ϕi. (1.42) En el límite del continuo

∑

i

δVi→ Z

Ω

dⁿx, δ ¯ϕi→ δ ϕ(x), 1 δVi

∂ ¯F( ¯ϕ )

∂ ¯ϕi

→ δ F [ϕ ]

δ ϕ (x). (1.43)

Algunas propiedades:

δ

δ ϕ (x)(aF + bG) = a δ F

δ ϕ (x)+ b δ G δ ϕ (x), δ (F G)

δ ϕ (x) = δ F

δ ϕ (x)G+ F δ G δ ϕ (x), δ

δ ϕ (x) δ

δ ϕ (y)F= δ δ ϕ (y)

δ δ ϕ (x)F, δ ϕ (x)

δ ϕ (y) = δ (x − y).

(1.44)

1.3 Formalismo lagrangiano

Supongamos un sistema físico en D + 1 dimensiones descrito por campos reales φA(x), A = 1, . . . , N.

Los campos están definidos en cierta región V ⊂ R^D. El conjunto de funciones φA(x) es la configuración (espacial) del campo. Más generalmente los campos pueden ser complejos o tomar valores en espacios de matrices, o directamente en álgebras, grupos de Lie, etc. En su evolución temporal el sistema describirá un camino en el espacio de configuraciones espaciales, φA(x) = φA(x,t), x ∈ R^D+1. φA(x) es la configuración espacio-temporal del campo.

El campo, con infinitos grados de libertad (N grados de libertad en cada punto x) es una idealización, y en todo caso es conveniente tratarlo como un caso límite de un sistema con grados de libertad discretos,

que conocemos mejor. Como se ha descrito antes (al final de la sección ), discretizamos V en celdillas de tamaño δVi y asociamos un promedio de los campos en cada celdilla, ¯φ_A,i. Posteriormente tomaremos el límite del continuo δVi→ 0. Al sistema mecánico descrito por los grados de libertad ¯φ_A,i se le asocia un lagrangiano ¯L(t) = ¯L( ¯φ ,φ , t) (con posible dependencia explícita en t). Aquí˙¯ φ˙¯_A,i=d ¯φ_A,i

dt . La acción del sistema en el intervalo temporal [t₁,t₂]

W¯_2,1( ¯φ ) = Z t₂

t₁

¯L(t) dt, (1.45)

es un funcional del camino ¯φA,i(t) en el espacio de configuración discretizado. Las ecuaciones de movimiento se obtienen aplicando el principio de Hamilton o de mínima acción: la acción debe ser invariante bajo una variación de primer orden δ ¯φA,i(t) que se anule en los extremos temporales:

δ ¯W_2,1( ¯φ ) = 0, δ ¯φ_A,i(t₁) = δ ¯φ_A,i(t₂) = 0. (1.46) Es una condición sobre ¯φ_A,i(t). Para obtener las ecuaciones de movimiento, notemos que debido a que la variación es local (en t), se aplica la definición de derivada funcional

δ ¯W_2,1( ¯φ ) = Z t₂

t₁

dt δ ¯W

δ ¯φ_A,i(t)δ ¯φA,i(t), (1.47) donde la derivada funcional se refiere a ¯φ_A,i(t) como funciones de t y hay suma implícita sobre A, i. Más explícitamente, notando que la forma del lagrangiano es ¯L( ¯φ , ˙φ ) se puede aplicar ec. (1.41) para n = 1 (y extendida a varias variables). Las ecuaciones de movimiento son

0 = δ ¯W

δ ¯φ_A,i(t)= ∂ ¯L

∂ ¯φ_A,i

− d dt

∂ ¯L

∂φ˙¯A,i

∀x, A. (1.48)

Son las ecuaciones de Euler-Lagrange, o de movimiento, para el sistema discretizado.

En el límite del continuo

¯L( ¯φ ,φ , t) → L[φ , ˙˙¯ φ , t], W¯_2,1( ¯φ ) → W2,1[φ ] = Z t₂

t₁

dt L[φ , ˙φ , t]. (1.49) El lagrangiano es un funcional de φA(x) y ˙φA(x), como funciones de x. La acción es un funcional de φA(x) como función de x = (x,t). Para obtener las ecuaciones del movimiento en el continuo, se multiplican las ecuaciones de movimiento discretas ec. (1.48) por 1/δVi y se aplica ec. (1.43):

0 = δ L δ φA(x)− d

dt δ L

δ ˙φA(x). (1.50)

En la aplicación de ec. (1.43) se ha supuesto que las variaciones δ φA(x) y δ ˙φA(x) son locales, en particular, se anulan en ∂V . Esto puede ocurrir porque haya condiciones periódicas de contorno de modo que ∂V es vacío, o V = R^D (todo el espacio) y los campos van a cero en el infinito, o tienen condiciones de contorno tipo caja en ∂V .

Las ecuaciones se pueden derivar directamente del principio de Hamilton extendido a campos. Los campos φA(x) están definidos en una región Ω ⊂ R^D+1, que hasta ahora era V × [t₁,t₂], pero ahora su- ponemos arbitraria. Entonces el principio extendido requiere que bajo una variación infinitesimal de φA(x) (configuración espacio-temporal) que se anule en la frontera de Ω la acción quede invariante

δWΩ[φ ] = 0, δ φA(x)   ∂Ω

= 0. (1.51)

Este requerimiento da lugar a las ecuaciones de movimiento (de nuevo la variación es local y da lugar a la derivada funcional):

0 = δW

δ φA(x). (1.52)

Nótese que esta ecuación no requiere que exista un lagrangiano. Otra observación es que las ecuaciones del caso qi(t) (número finito de grados de libertad) se reobtienen considerándolo como una teoría de campos en 0 + 1 dimensiones, donde el espacio-tiempo es sólo t, y qi(t) son una colección de campos.

Veamos que este principio nos lleva a las mismas ecuaciones ec. (1.50). La condición δ φA(x)   ∂Ω

= 0 se satisfacía ya, dado que Ω = V × [t1,t2] con δ φA(x,t1) = δ φA(x,t2) = 0 y también δ φA(x,t)

∂V= 0. Entonces δW_Ω[φ ] =

Z t₂ t1

dt δ L[φ , ˙φ , t] = Z t₂

t1

dt Z

V

d^dx

 δ L

δ φA(x)δ φA(x) + δ L

δ ˙φA(x)δ ˙φA(x)



= Z t₂

t1

dt Z

V

d^dx

 δ L δ φA(x)− d

dt δ L δ ˙φA(x)



δ φA(x).

(1.53)

Efectivamente δW_Ω[φ ] = 0 implica ec. (1.50).

En la práctica los lagrangianos de campos que se consideran son locales, es decir, de la forma W_Ω[φ ] =

Z

Ω

d^D+1xL (φ(x),∂φ(x),x). (1.54)

L (x) es la densidad lagrangiana. ∂φ(x) se refiere a ∂µφ (x), las derivadas parciales respecto de x. La formulación hasta ahora es válida en general, pero en teoría relativistas ∇φ debe aparecer de forma simétrica con ˙φ = ∂tφ . Incluso en teorías no relativistas, las derivadas espaciales aparecen de forma natural: la aparición de ∂tφ (a través de la energía cinética) indica que cuesta energía deformar φA(x) en sentido temporal. Del mismo modo cuesta energía deformarlo en sentido espacial y eso introduce ∇φA. No se

consideran densidades lagrangianas con derivadas de orden superior del mismo modo que no aparece ¨q_i en el lagrangiano en mecánica. Que la acción sea local indica que si Ω₁∩ Ω₂= /0, W_Ω1∪Ω2 = W_Ω1+ W_Ω2 y no hay acción a distancia (evitar que la haya es precisamente el motivo de introducir teoría de campos).^1.8

Para una teoría local, la derivada funcional en ec. (1.52) puede calcularse en forma más explícita por aplicación de ec. (1.41):^1.9

0 =∂L (x)

∂ φA(x)− ∂_µ

 ∂L (x)

∂ (∂µφA(x))



. (1.55)

Son las ecuaciones de Euler-Lagrange, o de movimiento, de la teoría de campos.^1.10 De nuevo la ∂_µ externa del segundo término actúa sobre toda la dependencia en x no sólo la x explícita enL (en ese sentido la derivada es total y a veces se usa la notaciónDµ).

Ejemplo Consideremos la teoría de Klein-Gordon real, φ (x) ∈ R:

L (x) =1

2∂µφ (x)∂^µφ (x) −1

2m²φ²(x). (1.56)

En este caso^1.11

∂L (x)

∂ φ (x) = −m²φ (x), ∂L (x)

∂ (∂µφ (x))= ∂^µφ (x), (1.57) y las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan

(∂_µ∂^µ+ m²)φ (x) = 0. (1.58)

Ésta es la denominada ecuación de Klein-Gordon. El parámetro m ≥ 0 es la masa del campo. ♦

Debe notarse que las ecuaciones de movimiento no determinan W [φ ] o L (x) de forma unívoca, ya que dos densidades lagrangianasL (x) y L⁰(x) relacionadas mediante:

L⁰(x) =L (x) + ∂µΛ^µ(φ (x), x) (1.59) producen las mismas ecuaciones (de nuevo ∂_µ deriva toda la dependencia en x). Λ^µ es una función arbitraria de φ y x (pero no contiene ∂ φ ). Esto se puede verificar directamente en ec. (1.55). Alternativamente, se ve notando que la nueva contribución a la acción es un término de superficie:

Z

Ω

d^D+1x ∂_µΛ^µ(φ (x), x) = Z

∂Ω

d^dσ_µΛ^µ(φ (x), x). (1.60)

1.8La propia existencia de una lagrangiano, ec. (1.49) indica una localidad en sentido temporal: la acción en un intervalo temporal es la suma de la acciones en los subintervalos. Una ejemplo de un término no local sería ^Rdtd^dx₁d^dx₂V(x₁− x2)φ (x1,t)φ (x2,t).

1.9El mismo resultado se obtiene con ec. (1.50).

1.10Nótese que la métrica de Minkowski no aparece realmente en la fórmula. Las ecuaciones son válidas en cualquier teoría de campos locales, relativistas o no.

1.11 ∂ (∂αφ ∂^αφ )/(∂µφ ) = g^{α β}∂ (∂αφ ∂_βφ )/(∂µφ ) = 2g^{α β}g^µ_αφ ∂_βφ = 2∂^µφ .

Esta acción no tiene derivada funcional y no cambia las ecuaciones de movimiento.

Si se tiene un par de campos reales φ₁(x), φ₂(x), se pueden formar dos campos complejos equivalentes φ (x), φ^∗(x):

φ (x) = 1

√2(φ₁(x) + iφ₂(x)), φ^∗(x) = 1

√2(φ₁(x) − iφ₂(x)), (1.61) de modo que las ecuaciones de movimiento

0 =∂L (x)

∂ φA(x)− ∂_µ

 ∂L (x)

∂ (∂_µφA(x))



, A= 1, 2 (1.62)

se pueden cambiar por las dos ecuaciones 0 =∂L (x)

∂ φ (x) − ∂µ

 ∂L (x)

∂ (∂_µφ (x))



, 0 =∂L (x)

∂ φ^∗(x)− ∂µ

 ∂L (x)

∂ (∂_µφ^∗(x))



. (1.63)

Aquí φ (x) y φ^∗(x) se tratan como campos independientes (a efectos de derivadas parciales o funcionales).

El factor 1/√

2 es convencional.^1.12 Dado que L (x) es real las dos ecuaciones son conjugadas una de otra.^1.13 En la práctica esta construcción sólo tiene interés si los campos tienen la misma naturaleza, por ejemplo el mismo espín y la misma masa.

Ejemplo Campo de Klein-Gordon complejo. Se tienen dos campos de Klein-Gordon reales de igual masa m y desacoplados

L (x) =1

2(∂µφ1)²−1

2m²φ₁²+1

2(∂µφ2)²−1

2m²φ₂², (1.64)

en términos del campo complejo

L (x) = ∂µφ^∗(x)∂^µφ (x) − m²φ^∗(x)φ (x). (1.65) φ (x) y φ^∗(x) y satisfacen la ecuación de Klein-Gordon ec. (1.58).

1.4 Formalismo canónico

Volvemos momentáneamente a la versión discretizada. El momento canónico conjugado de la coorde- nada ¯φA,i es

¯

π_A,i= ∂ ¯L

∂φ˙¯A,i

, (1.66)

1.12En variable compleja z = x + iy se definen las derivadas de Wirtinger ∂_z= (∂_x− i∂y)/2 y ∂_z^∗= (∂_x+ i∂_y)/2, tales que δ x ∂x+ δ y ∂y= δ z ∂z+ δ z^∗∂z^∗. Aquí se ve que es equivalente imponer nulidad de la variación respecto de (δ x, δ y) o respecto de (δ z, δ z^∗).

1.13Para cualquier teoría, la acción debe ser real para que la condición de estacionaridad tenga solución dentro del campo de φA(x) reales. SiL (x) fuera complejo la solución de las ecuaciones ec. (1.63) produciría un “φ^∗(x)” que no sería el conjugado de φ (x). Por otra parte, si se cambia la ecuación de φ^∗(x) para que sea la conjugada de la de φ (x) resulta que no hay una acción común de la cual deriven el par de ecuaciones modificadas.

y el hamiltoniano es

H( ¯¯ φ , ¯π , t) =

∑

A,i

¯

π_A,iφ˙¯_A,i− ¯L. (1.67)

Para que tenga buen límite al continuo, hay que escalar ¯π_A,i con 1/δVi

¯ π_A,i δVi

→ πA(x) = δ L

δ ˙φA(x). (1.68)

Entonces ¯H también tiene buen límite

∑

π¯A,iφ˙¯A,i− ¯L → H[φ , π,t] =

∑

A

Z

V

d^dx πA(x) ˙φA(x) − L, (1.69) y lo mismo las ecuaciones de Hamilton

φ˙¯_A,i(t) = ∂ ¯H

∂ ¯πA,i

→ ˙φA(x) = δ H δ πA(x), π˙¯A,i(t) = − ∂ ¯H

∂ ¯φ_A,i → ˙πA(x) = − δ H δ φA(x).

(1.70)

Nótese que en el formalismo canónico hay que eliminar las velocidades en función de los momentos canónicos (invirtiendo ec. (1.68) en el caso de campos). Las derivadas funcionales de H o L son respecto de φA(x) y πA(x) como funciones de x (no x).

En el caso de una teoría local H=

Z

V

d^dxH (φ(x),∇φ(x),π(x),x), H (x) =

∑

A

πA(x) ˙φA(x) −L (x), πA(x) = ∂L

∂ ˙φA(x). (1.71) H (x) es la densidad hamiltoniana. Obsérvese que H (x) no contiene derivadas de π(x), y por tanto las ecuaciones de Hamilton se pueden escribir en la forma

φ˙A(x) = ∂H (x)

∂ πA(x), π˙A(x) = −∂H (x)

∂ φA(x) + ∇

 ∂H (x)

∂ (∇φA(x))



. (1.72)

De nuevo, todas estas fórmulas valen para un sistema de campos cualesquiera. En el caso de un sistema con covariancia relativista, el formalismo lagrangiano mantiene esa simetría explícita (W es invariante Lorentz yL (x) es un escalar Lorentz). En cambio el formalismo canónico no es manifiestamente covariante.

En realidad H no un invariante Lorentz sino la componente temporal de un cuadrivector.

Ejemplo Para el campo de Klein-Gordon real ec. (1.56), el momento canónico y la densidad hamilto- niana son

π (x) = ∂L

∂ ˙φ (x)

= ˙φ (x), H (x) = 1

2 π²(x) + (∇φ (x))²+ m²φ²(x)
. (1.73)

Las ecuaciones de Hamilton son

φ (x) = π (x),˙ π (x) = ∇˙ ²φ (x) − m²φ (x). (1.74) Estas dos ecuaciones son equivalentes a la ecuación de Klein-Gordon (∂_µ+ m²)φ (x) = 0. ♦

Para campos complejos φ (x), φ^∗(x)^1.14 π (x) =∂L (x)

∂ ˙φ^∗(x) = 1

√

2(π₁(x) + iπ₂(x)), π^∗(x) = ∂L (x)

∂ ˙φ (x) = 1

√

2(π₁(x) − iπ₂(x)), H (x) = π1(x) ˙φ₁(x) + π₂(x) ˙φ₂(x) −L (x) = π^∗(x) ˙φ (x) + π (x) ˙φ^∗(x) −L (x).

(1.75)

Ejemplo Para el campo complejo de Klein-Gordon, ec. (1.65), π (x) = ˙φ (x), π^∗(x) = ˙φ^∗(x),

H (x) = π^∗(x)π(x) + ∇φ^∗(x) · ∇φ (x) + m²φ^∗(x)φ (x). (1.76)

♦

Para construir el paréntesis de Poisson empezamos en el sistema discretizado. Dados dos funcionales F[φ , π] y G[φ , π] (que también pueden depender del tiempo) expresados en las variables canónicas, y sus versiones discretizadas,

{ ¯F, ¯G} =

∑

A,i

 ∂ ¯F

∂ ¯φ_A,i

∂ ¯G

∂ ¯πA,i

− ∂ ¯F

∂ ¯πA,i

∂ ¯G

∂ ¯φ_A,i



. (1.77)

Añadiendo los factores δVi y tomando el límite del continuo, se obtiene la versión para campos:

{F, G} =

∑

A

Z

V

d^dx

 δ F δ φA(x)

δ G

δ πA(x)− δ F δ πA(x)

δ G δ φA(x)



. (1.78)

Usando las identidades δ φA(x)

δ φB(y)= δABδ (x − y), δ πA(x)

δ πB(y) = δABδ (x − y), δ φA(x)

δ πB(y) =δ πA(x)

δ φB(y) = 0, (1.79) se comprueba que

1.14En la literatura también se utiliza el convenio alternativo π = ∂L /∂ ˙φ, π^∗= ∂L /∂ ˙φ^∗.

i) La ecuaciones de Hamilton se pueden reescribir

φ˙A(x) = {φA(x), H}, π˙A(x) = {πA(x), H}. (1.80) Más generalmente, para un observable cualquiera F[φ , π,t]

dF

dt = {F, H} +∂ F

∂ t . (1.81)

ii) Se satisfacen las relaciones canónicas

{φA(x), φB(y)} = {πA(x), πB(y)} = 0, {φA(x), πB(y)} = δABδ (x − y). (1.82)

Para un campo complejo {F, G} =

Z

V

d^dx

 δ F δ φ (x)

δ G

δ π^∗(x)− δ F δ π^∗(x)

δ G

δ φ (x)+ δ F δ φ^∗(x)

δ G

δ π (x)− δ F δ π (x)

δ G δ φ^∗(x)

 {φ (x), π^∗(y)} = {φ^∗(x), π(y)} = δ (x − y).

(1.83)

Los restantes paréntesis de Poisson canónicos se anulan.

Ejemplo La función de onda de una partícula no relativista se puede ver como un campo complejo con ecuación de Schrödinger como ecuación de movimiento. La ecuación (usamos unidades ¯h = 1)

i∂tψ (x) = − 1

2m∇²ψ (x) + V (x)ψ (x) (1.84)

y su conjugada, con campos ψ(x) y ψ^∗(x), derivan del lagrangiano L (x) = ψ^∗(x)

 i∂t+ 1

2m∇²−V (x)



ψ (x). (1.85)

Integrando por partes se ve que la acción correspondiente es real si V (x) lo es. Por tanto esta densidad lagrangiana difiere de una real por un término de superficie, a saber, i

2∂t(ψ^∗(x)ψ(x)) + 1

2m∇(ψ^∗(x)∇ψ(x)):

L⁰(x) = i

2(ψ^∗(x) ˙ψ (x) − ˙ψ^∗(x)ψ(x)) − 1

2m∇ψ^∗(x) · ∇ψ(x) −V (x)ψ^∗(x)ψ(x). (1.86) Ambas formas son equivalentes. Usamos la primera por simplicidad.

El formalismo lagrangiano, y en particular las ecuaciones de Euler-Lagrange, no presenta problemas.

No es el caso para el formalismo hamiltoniano o canónico. Para los momentos canónicos se encuentra π^∗(x) = ∂L (x)

∂ ˙ψ⁽x) = iψ^∗(x), π (x) = ∂L (x)

∂ ˙ψ^∗(x) = 0. (1.87)