Cap´ıtulo 5
Teor´ıa del potencial
Objetivos
Campos conservativos y solenoidales. Campos arm´onicos.
Representaci´on integral de funciones. Teorema de Helmholtz. Ecuaci´on de Poisson.
5.1.
Introducci´
on
La teor´ıa del potencial se ocupa del estudio de los campos estacionarios, es decir, de aquellos que no evolucionan en el tiempo, lo cual viene a ser una buena aproximaci´on para configuraciones de campos f´ısicos en situaciones pr´oximas al equilibrio. El nombre proviene de que, en estas circunstancias, muchos campos vectoriales pertenecen a una de las siguientes familias:
Unos, los llamados campos conservativos, tienen circulaci´on nula a lo largo de curvas cerradas. En el lenguaje de la Mec´anica, estos campos no realizan trabajo a lo largo de estas curvas o, lo que es lo mismo, el trabajo no depende de la trayectoria seguida en el caso de curvas abiertas. Son campos conservativos el campo gravitatorio, el campo electrost´atico o el campo de velocidades de un fluido en el r´egimen potencial. Se caracterizan, como veremos, por el hecho de ser gradiente de un campo escalar, llamado potencial. Suelen estar asociados a la existencia de alg´un tipo de carga conservada (masa, carga el´ectrica,. . . )
Otros campos, llamados solenoidales, tienen flujo nulo a trav´es de superfi-cies cerradas, es decir, sus l´ıneas de campo son cerradas, no tienen fuentes ni sumideros de campo y, por eso, sale “tanto campo” como entra a trav´es de cual-quier superficie cerrada. Son campos como el magnetost´atico o la vorticidad de un fluido. Se caracterizan por ser el rotacional de un campo vectorial, llamado potencial. Suelen estar asociados a corrientes (el´ectricas, de fluido,. . . ...)
Habr´a muchos campos que no entren en ninguna de las categor´ıas anterio-res, pero el Teorema de Helmholtz afirma que todo campo vectorial se puede descomponer en suma de un campo conservativo m´as un campo solenoidal. En
lenguaje f´ısico dir´ıamos que todo campo se genera por una combinaci´on de car-gas y corrientes.
5.2.
Campos conservativos e irrotacionales
Seavun campo vectorial definido en un abiertoU deRn. Siv= gradf, de-cimos queves uncampo conservativoenU. El campo escalarV se denomina
potencial escalardev. Si rotv= 0, decimos que el campovesirrotacional. Por tanto, todo campo conservativo es irrotacional, pero no a la inversa. Por la regla de Barrow, la circulaci´on de un campo conservativoventre dos puntos,A,B, deU no depende de la curva recorrida, tan s´olo de los valores de
V en los extremos,
Cv,Γ=V(B)−V(A). (5.1)
Γ
Γ
Figura 5.1: La circulaci´on de un campo conservativo depende s´olo de AyB
Esta propiedad permite caracterizar los campos conservativos:
Teorema 5.2.1 Sea v un campo vectorial continuo definido en un abierto U
de Rn. Son equivalentes:
1. El campov es conservativo.
2. La circulaci´on de v a lo largo de cualquier curva cerrada contenida enU
es nula.
3. La circulaci´on entre dos puntos deU no depende de la curva contenida en
U que los une.
1⇒2 : Si ves conservativo en un abiertoU y Γ⊂U es una curva cerrada parametrizada en un intervalo [a, b], por la regla de Barrow,
Cv,Γ =V(A)−V(A) = 0, (5.2)
si parametrizamos la curva con origen y final enA.
2⇒3 : Sean dos curvas orientadas Γ1, Γ2 con origen en A y final en B.
con origen en B y final en A. Entonces la curva Γ = Γ1−Γ2 es una curva
cerrada. Por tanto,
0 =Cv,Γ=Cv,Γ1− Cv,Γ2⇒ Cv,Γ1=Cv,Γ2 .2
3⇒1 : Fijemos un puntox0∈U. Podremos definir una funci´onV,
V(x) :=Cv,Γ,
siendo Γ cualquier curva parametrizada orientada contenida enU que una x0
conx∈U. Esta funci´on no depende de la curva Γ escogida, s´olo de sus extremos, por la hip´otesis 3. Figura 5.2: Construcci´on deV
Adem´as, si escogemos como origen de las curvas otro punto ˆx0, podremos
definir otra funci´on ˆV,
ˆ
V(x) =Cv,Γ˜1 ,
siendo ˆΓ cualquier curva parametrizada orientada contenida en U que una ˆx0
conx∈U. En particular, si ∆ es una curva que une ˆx0 conx0y Γ es una curva
que unex0 conx, resulta que,
ˆ
V(x) =Cv,∆+Γ=Cv,∆+Cv,Γ= ˆV(x0) +V(x),
es decir,V, ˆV difieren en una constante.
¿EsV el potencial escalar dev? Calculemos su diferencial en un entorno de
x ∈U suficientemente peque˜no. Como la diferencia entre escoger un punto de origen u otro para las curvas es a˜nadir una constante, sin p´erdida de generalidad, podemos tomar el origen en x. Uniremos x con cada punto y de su entorno mediante rectas,Ry, parametrizadas por,
ry : (0,1) → U
t 7→ (1−t)x+ty ,
de modo que la expresi´on de la circulaci´on se reduce a,
V(y) =Cv,Ry = Z 1 0 n X j=1 vj ry(t) drj y(t) dt dt=
n X j=1 (yj−xj) Z 1 0 vj (1−t)x+ty dt , v= n X i=1 viuxi . Si tomamos y1=x1,. . . , yi−1 =xi−1,yi+1 =xi+1,. . . ,yn=xn, es deciry,
x s´olo difieren en la coordenadai-´esima,
∂V(x) ∂xi = l´ım yi→xi V(y)−V(x) yi−xi = l´ım yi→xi Z 1 0 vi (1−t)x+ty dt = vi(x) Z 1 0 dt=vi(x),
sives un campo continuo, para poder calcular el l´ımite. Por tanto, realmenteV es un potencial parav, ya que
gradV = n X i=1 ∂V ∂xi uxi = n X i=1 viuxi =v. 2
Del teorema de Stokes en R2 y R3 se desprende que si el rotacional de v
se anula en una superficie con borde Γ, la circulaci´on de v a lo largo de Γ se anula. Por tanto, empleando la caracterizaci´on de los campos conservativos por su circulaci´on a lo largo de curvas cerradas, obtenemos:
Corolario 5.2.1 Sea v un campo irrotacional en un abierto U de R2 o R3. Si toda curva cerrada simple Γ ⊂ U es borde orientado de alguna superficie compacta contenida enU, v ser´a conservativo.
A dichos subconjuntos los denominaremossimplemente conexos. Las curvas no simples, con autointersecciones, se pueden descomponer co-mo uni´on de curvas simples y, por tanto, se les puede aplicar el razonamiento anterior.
Figura 5.3: R2\{P}no es simplemente conexo, peroR3\{P}s´ı
Ejemplo 5.2.1 El abiertoRn\{P1, . . . , Pm}, donde{P1, . . . , Pm}es una
En R3, dada una curva cerrada Γ, siempre podemos vadear los puntos Pi para construir una superficie cuyo borde sea Γ. En cambio, enR2, si una curva rodea un puntoPi, no puede ser borde de una superficie incluida en el abierto, ya que necesariamente deber´ıa incluir el punto excluidoPi.
As´ı, todo campo irrotacional es conservativo en R3\{P1, . . . , Pm}, pero no necesariamente enR2\{P1, . . . , Pm}.
Por ejemplo, el campo ves irrotacional y conservativo en el plano salvo el origen, pero el campow es irrotacional y no conservativo,
v(x) = xux+yuy x2+y2 = gradV(x), V(x) = 1 2ln(x 2+y2), w(x) = xuy−yux x2+y2 6= gradU(x),
pues tal como vimos en el ejemplo 4.1.4, este campo tiene circulaci´on no nula a lo largo de curvas cerradas, las circunferencias con centro en el origen.2
Γ
−Γ
Figura 5.4: La circulaci´on de un campo irrotacional a lo largo de Γ = Γ1−Γ2
es nula
Esta dificultad no es tan grave, como veremos a continuaci´on. Seavun cam-po irrotacional definido enR2\{P1, . . . , Pm}. Consideremos dos curvas cerradas simples con la misma orientaci´on, Γ1, Γ2, que no se cortan entre s´ı y que rodean
solamente aP1. Entonces podemos aplicar la f´ormula de Stokes a la regi´on V
comprendida entre las curvas. Supongamos que Γ1es la curva exterior y que la
orientaci´on de ambas curvas es positiva,
0 = Φrotv,V =Cv,∂V =Cv,Γ1− Cv,Γ2,
de donde se deduce que la circulaci´on deva lo largo de cualquier curva cerrada simple orientada positiva que rodee s´olo aP1 tiene un valor fijo k1. Repitiendo
el argumento para el resto de puntos, tendremos que la circulaci´on de v a lo largo de una curva Γ contenida enR2\{P1, . . . , Pm}es,
Cv,Γ =
m
X
i=1
niki,
dondeki es el valor de la circulaci´on deva lo largo de cualquier curva cerrada orientada positiva simple que rodee s´olo a Pi y ni es el n´umero de vueltas,
contando las positivas (negativas) con signo positivo (negativo), que da la curva alrededor dePi.
Este resultado se puede generalizar aRn y a abiertos m´as complicados:
Γ
Γ
Figura 5.5: La circulaci´on de un campo irrotacional a lo largo de Γ eskC+kP y a lo largo de ˆΓ eskC−kP
Corolario 5.2.2 Sea v un campo irrotacional definido en un abierto U ⊂Rn
que se obtiene eliminando regiones cerradas disjuntas,C1,. . . ,Cmde un abierto
simplemente conexo deRn. Entonces la circulaci´on deva lo largo de una curva
Γ⊂U es, Cv,Γ= m X i=1 niki ,
donde ki es el valor de la circulaci´on de va lo largo de cualquier curva
cerra-da orientacerra-da positiva simple que rodee s´olo a Ci y ni es el n´umero de vueltas
(´ındice de anudamiento), contando las positivas (negativas) con signo positivo (negativo), que da la curva alrededor deCi.
Obviamente, si todas las constanteski son nulas, el campovser´a conserva-tivo.
Ejemplo 5.2.2 Sea vun campo definido en U =R3\{eje Z},
v(x, y, z) =− y
x2+y2ux+
x x2+y2uy.
Calcular la circulaci´on de va lo largo de cualquier curva cerrada contenida en
U.
El campo v es claramente irrotacional y U no es simplemente conexo, ya que cualquier curva que rodee al eje Z no es borde de ninguna superficie, ya que esta deber´ıa cortar en alg´un punto al ejeZ. Por tanto, la circulaci´on deva lo largo de una curva cerrada con ´ındice de anudamientonalrededor del ejeZ
esCv,Γ =nksiendok la circulaci´on a lo largo de una curva cerrada simple que
rodee al eje y que tomaremos como referencia para la orientaci´on de las dem´as, por ejemplo, una circunferencia de radioRy centro el origen en el planoZ = 0,
γ: (0,2π) → R3
Γ
Figura 5.6:R3\{ejeZ}no es simplemente conexo
k=Cv,Γ= Z 2π 0 dφhτ,viγ(φ)= Z 2π 0 dφ= 2π ,
luego la circulaci´on a lo largo de una curva que rodee m veces al eje Z en el sentido de la circunferencia anterior ypveces en el sentido contrario ser´a 2π(m− p).
5.3.
Campos solenoidales y adivergentes
Sea v un campo vectorial. Si v= rotA en un abierto U de R3 (v= rotV
en un abierto de U de R2, V campo escalar en U), el campo v se denomina
solenoidal. El campo A(V) se denomina potencial vectorial(funci´on de corriente) dev.
Si divv ≡ 0, diremos trivialmente que el campo v es un campo adiver-gente.
Obviamente, si el campo v es solenoidal, es un campo adivergente, aunque no a la inversa.
Al igual que los campos conservativos, que pod´ıan caracterizarse a partir de su circulaci´on, los campos solenoidales pueden caracterizarse por su flujo:
Teorema 5.3.1 Seavun campo vectorial definido en un abiertoU deR3 (R2). Son equivalentes:
1. El campov es solenoidal.
2. El flujo de va trav´es de una superficie (curva) compacta contenida enU
s´olo depende de una integral sobre su borde (de los extremos de la curva) orientado.
3. El flujo deva trav´es de cualquier superficie (curva) cerrada contenida en
U es nulo.
1⇒2: Sives solenoidal, por la f´ormula de Stokes, Φv,S=CA,∂S,
enR3, para cualquier superficieS contenida enU. Φv,Γ=V(B)−V(A),
Γ
Figura 5.7: El flujo a trav´es de la superficie S1∪S2 de un campo solenoidalv
es nulo: Φv,S1=−Φv,S2=CA,Γ
enR2, para cualquier curva orientada deAaB.
2⇒3: Si el flujo a trav´es de la superficie (curva) cerrada toma un valork, al cambiar la orientaci´on tomar´a un valor −k. Pero en ambos casos el borde, vac´ıo, es el mismo, luegok=−k y, por tanto, el flujo es nulo.2
3⇒1: La demostraci´on de que el campo ves solenoidal si su flujo a trav´es de cualquier cualquier superficie cerrada es nulo es considerablemente m´as com-plicada que su equivalente para campos conservativos. De hecho es un caso particular del c´elebre teorema de de Rham. Para campos enR2 es m´as sencillo demostrar que el campo es solenoidal si su flujo a trav´es de cualquier cualquier curva cerrada es nulo, ya que en este caso la f´ormula de Stokes es consecuencia directa de la regla de Barrow y se puede seguir paso por paso la demostraci´on vista para campos conservativos.2.
Aunque no sea preciso para la demostraci´on del teorema, es f´acil ver que 3 implica 2, pues si dos superficies, S1, S2, tienen el mismo borde orientado, la
uni´on de las dos, invirtiendo la orientaci´on de una de ellas, es una superficie cerrada,S =S1∪S˜2. Como el flujo de va trav´es de S es nulo por hip´otesis,
tenemos que 0 = Φv,S1+ Φv,S˜
2, es decir, Φv,S1 =−Φv,S˜2 = Φv,S2, es decir, si el borde es el mismo para ambas superficies, el flujo es el mismo.2
Por la f´ormula de Gauß, si en un abiertoU la divergencia de un campo es nula, el flujo de este a trav´es de cualquier superficie (curva plana) cerrada que sea borde de un abierto contenido enU es nulo. Este resultado, unido al teorema anterior, proporciona:
Corolario 5.3.1 Un campov adivergente en un abiertoU deR3 (R2)es sole-noidal si toda superficie (curva) cerrada orientada contenida en U es borde de un abierto de R3 (R2)contenido enU.
Este corolario no es de gran ayuda en el plano, ya que es dif´ıcil imaginarse un abierto no trivial que encaje dentro de sus premisas. Sin embargo, enR3 es f´acil encontrar ejemplos.
Ejemplo 5.3.1 El abierto U =R3\{recta}.
Cualquier superficie cerrada contenida en ´el es borde de un volumen. Por tanto, en U todo campo adivergente es solenoidal.
Ejemplo 5.3.2 El campo del ejemplo 4.2.11 tiene divergencia nula en el espacio salvo el origen y, sin embargo, no es solenoidal en dicho abierto.
Pues tiene flujo no nulo a trav´es de las esferas de centro en el origen. El corolario anterior no se aplica a este caso, ya que dichas esferas no son borde de un abierto deR3, ya que falta precisamente el origen.
Figura 5.8: Un campo adivergente enR3\{P, Q}tiene el mismo flujo a trav´es deS que deS1∪S2
En general, en Rn\{P1, . . . , Pm} no podemos decidir a priori si un campo adivergenteves solenoidal, por culpa de las superficies que rodean a los puntos. Sin embargo, tal como sucediera para los campos irrotacionales, esto no complica en exceso la situaci´on: consideremos dos superficies cerradas,S1, S2, disjuntas
con orientaci´on positiva, que rodean tan s´olo al puntoP1. Supongamos queS1
es la exterior. Aplicando el teorema de la divergencia a la regi´onV comprendida entre ambas superficies,
0 =
Z
V
divv= Φv,∂V = Φv,S1−Φv,S2,
de donde se deduce que el flujo a trav´es de cualquier superficie cerrada con orien-taci´on positiva que rodee tan s´olo aP1adquiere el mismo valorl1. Repitiendo el
proceso para el resto de puntos, llegamos a la conclusi´on de que el flujo a trav´es de una superficie cerrada,S, que rodee, teniendo en cuenta la orientaci´on,ni veces a cada puntoPi es,
Φv,S= m
X
i=1
nili.
Este resultado se generaliza a abiertos m´as complicados de manera sencilla,
Corolario 5.3.2 Seav un campo adivergente definido en un abierto U ⊂Rn,
n= 2,3, que se obtiene eliminando regiones cerradas disjuntas,C1,. . . ,Cm de
un abierto en el que toda superficie es borde. Entonces el flujo de va trav´es de una superficieS ⊂U es,
Φv,S= m
X
i=1
nili,
dondelies el valor del flujo deva trav´es de cualquier superficie cerrada
orienta-da positiva que rodee s´olo aCi ynies el n´umero de veces, contando las positivas
Obviamente, si todos losli son nulos, el campo es solenoidal.
Ejemplo 5.3.3 Flujo del campo coulombiano.
El campo coulombiano enR3(R2) tiene divergencia nula, pero no es solenoi-dal, como vimos en el ejemplo 4.2.11 (4.2.12). Est´a definido en todo el espacio (plano) salvo el origen, luego la ´unica contribuci´on al flujo a trav´es de una su-perficieS(curva Γ) cerrada, proviene del flujol a trav´es de cualquier superficie (curva) cerrada positiva que rodee al origen. Pero estos valores ya han sido cal-culados para un esfera (circunferencia). Si nes el n´umero de veces, con signo, queS (Γ) rodea al origen, tenemos que,
Φv,S= 4πn , Φv,Γ= 2πn .
Referencias
1. R. Aris, Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Dover, New York (1989)
2. R. Courant, D. Hilbert,Methods of Mathematical Physics, Uiley and Sons, New York (1989)
3. D.A. Danielson,Vectors and Tensors in Engineering and Physics, Addi-son-Uesley, Redwood City (1992)
4. F. John, Partial Differential Equations, 4 edici´on, Springer Verlag. New York (1982)
5. M. Schwartz, S. Green, U.A. Rutledge,Vector Analysis with Applications to Geometry and Physics, Harper and Brothers, New York (1960)
