7. El momento angular. Potenciales centrales Átomo de hidrógeno

7. El momento angular. Potenciales centrales Átomo de hidrógeno g

1) Cuantificación del momento angular clásico: el momento angular orbital

angular orbital

2) Generalización: el momento angular cuántico general.

Definición y propiedades de J y

₊

y J y

_-

.

3) Autovalores y autovectores de los operadores J

²

y J

_z

. 4) Bases standard

5) M t i d J

²

J J J 5) Matrices de J

²

, J

_z

, J

₊

y J

_-

.

6) Momento angular orbital. Funciones propias 7) Partícula en un potencial central

7) Partícula en un potencial central

8) Átomo de hidrógeno

1. El momento angular orbital (análogo al clásico)

En Mecánica Clásica el momento angular de UNA partícula respecto de un punto

z y

x u u

u

En Mecánica Clásica el momento angular de UNA partícula respecto de un punto (que elegimos como origen de coordenadas) es

z y

x

y

p p

p

z y

x p

r  L 

Según las reglas de cuantificación, definimos los tres operadores que corresponden a las componentes cartesianas de L como:

L YP ZP



























x y

z

z x

y

x z

x

z y

x

z y

x

YP XP

L

XP ZP

L

ZP YP

L

P P

P

Z Y

X ;

u u

u P R L

 ^{z y x}

z y

x

Relaciones de conmutación:

De los cuatro términos son nulos el 3º y el 4º:



Lx,Ly

 

 YPz ZPy,ZPx  XPz





^

YPz,ZPx

^





ZPy,ZPx





^

YPz, XPz

^





ZPy,ZPx



En efecto:



^YP_z^,XP_z



^{ YP}_z^XP_z ^{ XP}_z^YP_z ^YXP_z^{2  XYP}_z^{2 }



^X,Y



^P_z^{2  0}



ZPy^,ZPx



^ ZPyZPx ^ ZPxZPy ^ Z²PyPx ^ Z²PxPy ^ Z²



Px^,Py



^{ 0}

El 1º:



^YP_z^,ZP_x



^YP_z^ZP_x ^{ ZP}_x^YP_z ^YP_x^P_z^{Z YP}_x^ZP_z ^YP_x



^P_z^,Z



^{ i}_^YP_x

El 2º, análogamente (hacerlo) resulta:



ZPy,XPx



 iXPy

Finalmente:



^L_x^,L_y



^{ i}_



^XP_y ^YP_x



^{ i}_^L_z

Análogamente con las demás componentes:

 

 ^L

^x

^{, L}

^y

 ^{ i  L}

^z

 

 ^{L L}

_z^y

^{, , L L}

_x^z

 ^{  i i} _ ^{ L L}

_y^x



_{z x}



_y

2. Generalización

Llamamos “momento angular “ J a un conjunto de tres observables, J_x, J_y, J_z que cumplen las mismas reglas de conmutación anteriores, es decir:

 ^{J J}  ⁱ _ ^J

 

 



^{y z}



^x

z y

x

J i J

J

J i J

J







 ,

,

 ^J

_z

^{, J}

_x

 ^{ i} _ ^J

_y

Justificación: El momento angular clásico puede definirse según el comportamiento Justificación: El momento angular clásico puede definirse según el comportamiento del hamiltoniano bajo rotaciones. Ahora también y da lugar a la definición anterior en casos con y sin analogía clásica.

El cuadrado del módulo se define como :

J

²

 J

_x²

 J

_y²

 J

_z²

iJ

J

J  

Operadores escalera:

y x

y x

iJ J

J

iJ J

J













Tienen cierta analogía con a y a⁺ del oscilador armónico Obviamente J_-⁺ = J₊

Propiedades de los operadores escalera (demostrar, o ver CT cap VI, B 2):

 ^J

_z

^{, J}

_

 ^{ J} _

_

 ^J

_z

^{, J}

_

 ^{ } _ ^J

_

 ^J

_

^{, J}

_

 ^{ 2} _ ^J

_z

 J

²

^, J

_x

  ^ J

²

^, J

_y

  ^ J

²

^, J

_z

  ^ J

²

^, J



  ^ J

²

^, J



 ^{ 0}

z y

x

J J

J J

J

_{ }



²



²

 

y

x

J J

J J

J J

_

 J

_x²

 J

_y²

  J

_z

J

_{ }

 

Sumando las dos últimas igualdades se obtienen las importantes propiedades (que hay que memorizar) siguientes:



_{ }

^

_{ }





 J J J J J

J

_{x y}

2

2

1

2

 

²

2

2 1

J

z

J J J

J  



_{   }

J

3. Valores y vectores propios de J

²

y J

_z

J² y J_z no forman un CSCO. Hay varios vectores que corresponden a los mismos autovalores. Representamos los kets como:

m j k j m k , ,

Principales propiedades, que hay que saber DE MEMORIA:

  ^{1 3 5}

Autovalores de J² :

 

) (semiimpar

"

semientero

"

o entero ,

0

,...

3 2 , 5 , 2 2 , 3 , 1 2 , , 1 0

; 1

²





 j

j j

j 

) (semiimpar semientero

o entero ,

 0 j

i t t

1 1

j j

j j

) (j j

m







Autovalores de J_z :

j m

j   entero o semientero :

1 ,

..

. , 1 ,

- j -(j- ) j ,j -j m j m

m    

Autovectores de J² :

^J

²

^{k,j,m  j}   ^{j  1} _

²

^k,j,m

j m -j  

k,j,m m

k,j,m

J

_z

 

   ^{ 1   1}  ^{ 1}



k,j,m  j j m m k,j,m J

_

^,j,  ^j    ^j  ^,j,

   ^{ 1   1}  ^{ 1}



k,j,m  j j m m k,j,m

J 

Demostraciones

LEMA 0: Los autovalores de J² son reales no negativos Sea |  un autovector de J² :

2 0

2     J     

J

Por conveniencia escribimos ya para siempre

2 0

2     J     

J

  ^{j  1} _

²

j

en lugar de 

Consideremos las expresiones

^J

²

^{k,j,m  j}   ^{j  1} _

²

^k,j,m

k,j,m m

k,j,m

J

_z

 

que no expresan más que la definición de autovalores y autovectores y donde j, m pueden ser números reales cualesquiera

LEMA I:

 j  m  j

En efecto:

0 ,

,

0 ,

,

2 2

















k,j,m J

J m j k k,j,m

J

k,j,m J

J m j k k,j,m

J

Por otra parte hemos visto (props de J₊ y J_-)



^{( 1) 2 )}



²

2 2 2



J k j j j J

j k k j

J J j k k j

J J

,

,

_{ }



,j, j ,j,

 

 



^{( 1) )}



0 )

1 ( ) 1 (

) )

1 ( ,

, ,

,

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2













































 _{ }













m m j

j k j m J

J m

j k k j m J

J m j k k j m

J

m m j

j

m m j

j k,j,m J

J m

j k k,j,m J

J m j k k,j,m

J _{z z}

J J

 



^{( 1) ( 1)}



⁰

) )

1 ( ,

, ,

,

2 













 









 m

m j

j

m m j

j k,j,m J

J m

j k k,j,m J

J m j k k,j,m

J J _{z z}

Es decir ^{j(j1) ( 1)} ^j ^{j 1}^0

Es decir   

 ¹  ⁰

) 1 ( ) 1 (

0 1 )

1 ( ) 1 (

































m j m

j m

m j

j

m j m j m

m j

j

En cada desigualdad los dos factores no pueden ser de distinto signo (y tampoco g p g (y p pueden ser los dos negativos pues daría lugar a m  j y m+1  -j) o sea:

j m j j

j

j m

j    



















1 )

1 (

j m

j    

 1

LEMA II (propiedades de J_-):

S |k j  t t d J² J t l j(j+1)ħ² ħ

Sea |k,j,m un autovector de J² y J_z con autovalores j(j+1)ħ² y mħ:

i) Si m = -j _{J k, j,j 0}

ii) Si m > -j ^{J k j m} Es un autovector de J² y J con autovalores j(j+1)ħ² y (m-1)ħ ii) Si m > -j ^J ^{k, j,m} Es un autovector de J y J_z con autovalores j(j+1)ħ y (m-1)ħ

Demostración:

i) Hemos visto que ^J_ ^{k,j, j 2 }



^{j(j1)m(m1)}



_^{2 0}

La norma es cero si m =-j . La norma es cero si y sólo si es el ket nulo 0

2 0









 j J k,j, j

k,j, J ii) Si m > -j

0 0 _

 k,j, j J k,j, j

J 0

,

, 

 k j m

J iia) Veamos que es vector propio de J²



^{J2 J}



^{k j m 0}

J² conmuta con J luego



J ^,J



k,j,m ⁰ J conmuta con J_- luego

1

^{2 2}

2J k,j,m J J k,j,m j(j ) J k,j,m

J _  _    _ Por tanto es vector propio de J² iib) Veamos que es vector propio de J_z



J_z,J_



k,j,m   J_ k,j,m

O sea: ^Jz^J ^k,j,m  ^J^Jz ^k,j,m ^J ^k,j,m ^m^J ^k,j,m ^J ^k,j,m ^(m¹⁾^J ^k,j,m

Eso es decir que J_-|k,j,m es autovector de J_z con autovalor (m-1)ħ

LEMA III (propiedades de J₊):

S |k j  t t d J² J t l j(j+1)ħ² ħ

Sea |k,j,m un autovector de J² y J_z con autovalores j(j+1)ħ² y mħ:

i) Si m = j J k^, j^, j ^0

ii) Si m < j ^{J k j m} Es un autovector de J² y J con autovalores j(j+1)ħ² y (m+1)ħ ii) Si m < j ^J ^{k, j,m} Es un autovector de J y J_z con autovalores j(j+1)ħ y (m+1)ħ

Demostración:

Ejercicio: es similar a la del lema II. Escribir la norma y

2

k,j,j

J_ ²

luego los conmutadores de J₊ con J² y J_z TEOREMA ( t d J² J ) TEOREMA (espectro de J² y J_z):

j y m sólo pueden ser enteros o semiimpares (se suele decir “semienteros”)

(se suele decir semienteros )

Es decir combinando todos los resultados:

Es decir, combinando todos los resultados:

*) j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,….

**) m = -j, -(j-1), (-j-2),…,j-2, j-1, j (2j+1 valores para cada j)

***)) mm es entero sies entero si jj es entero, y semientero si lo eses entero, y semientero si lo es jj

Demostración del teorema

Sea |k,j,m un autovector de J² y J_z con valores propios j(j+1)ħ² y mħ, donde en principio j y m podrían ser reales, pero –j m j (Lema I).

Con toda seguridad existe un entero no negativo p tal que:  j m pj1 Con toda seguridad existe un entero no negativo p tal que:

(p = parte entera de m+j)

1



m p j j

C id l ió d k t  ²  

Consideremos la sucesión de kets: k,j,m ,J_ k,j,m , J_ ² k,j,m ,..., J_ ^p k,j,m Todos ellos son vectores propios de J² y J_z con valores propios j(j+1)ħ²

y (m n)ħ n= 0 1 p y (m-n)ħ, n= 0,1,,…p

C id h l k t J  J ^p k j Supongamos que _m _p_{j (noigual)}

Consideremos ahora el ket: J_ J_ ^p k,j,m

que debe ser autovector de J_z con valor propio m-p-1 (Lema II) Pero resulta que m-p-1 < -j lo que contradice el lema I: todos los q p j q valores propios de J_z son mayores o iguales que -j

Por tanto m p j

También se demuestra que existe un (único) entero qq ( ) q (= parte ( p entera de j-m) no negativo tal que tal que: mq  j

Lo cual se hace análogamente actuando qg q veces con J₊₊ sobre el ket |k,j,m. No se | ,j,  puede obtener un autovector con autovalor mayor que j, por lo que se debe

obtener uno igual, de modo que las subsiguientes aplicaciones de J₊ den el vector nulo.

Restando las dos igualdades queda: pq 2j2j esentero

También hemos visto antes que j0 luego j es entero o semiimpar y positivo o cero.

De cualquiera de las dos igualdades anteriores se deduce que m es entero si j es entero y semiimpar si j lo es.

q. e. d.

4. Bases “standard” |k,j,m

* J² y J_z no forman un CSCO.

* Se necesita al menos otro operador A que conmute con ellos para formar un CSCO

* E (j,m) (con diferentes k’s, que corresponden a diferentes autovalores de A) forma un subespacio de dimensión g(j) (no depende de m, ver CT cap VI C, 3)

* Por otro lado los E (k,j) (con diferentes m’s) forman otros subespacios de dimensión 2j+1

* | “

* Una base |k,j,m se llama “standard” si al aplicar J₊ o J_- a un vector cualquiera del subespacio E (k,j) obtiene otro del mismo subespacio VER ESQUEMA EN PÁGINA SIGUIENTE

VER ESQUEMA EN PÁGINA SIGUIENTE

Esquema de una Base “standard” |k,j,m

5. Matrices que representan J

²

, J

_z

, J

₊

y J

_-

en E(k,j)

E d l l t d t i

Esquema de los elementos de matriz:

Elementos de matriz:

 

²

2

 

  

^{' '}



^'

' ' ' 2 2

' ' '

1 '

' '







mm jj kk z

mm jj kk

m m

j k J k,j,m

j j m

j k k,j,m















 J

 

^{1 '}



^{' 1}



_{' ' ' 1}

' '

' _

 k j m  j j m m _{kk jj mm}

J

k,j,m _   

Matrices para casos simples

i) j 0 T d l t i 1 1 d l ú 0

i) j = 0: Todas las matrices son 1x1 y se reducen al número 0

ii) j = ½ vectores base |k,j=1/2,m=1/2, simplificando, base : {|+, |-}

 

^{ } _



 





 

1 0

0 1 2

2 /

1 

Jz

 

^{ }

 

^{ } _



 



 



 



  _

 1 0

0 0

; 0 0

1

0 _1/2

2 /

1  J 

J







 

^{ }

  

^{ }

 

^{ }





 

^{ }

 ^{ }

^{ }

^{ }

^{ }



_



 



 





 



 



 



 _{   }

0 0 2

1

; 0 1

1 0 2

1 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

2 / 1

i J i

i J J

J J

J_x  _y 

iii) j 1 t b |k j 1  i lifi d b {|1 |0 | 1}

iii) j = 1, vectores base |k,j=1,m, simplificando, base : {|1, |0, |-1}

 

^J_z ^{ 1 }_^{01 00 00} _^

 

^{  }

 

^{  } _^ _^







 2 0 0

0 0 0

; 2 0

0

0 2 0

1

1  J 

 

J



 



0 0 1

z

   



 











 





 _



0 2 0

0 0 2

; 0 0

0

2 0

0 

 J

J











 

^{ } 

 

^{ }

 

^{ }

















 



















 

















1 0 0

0 1 0

0 0 1 2

; 0 0

0 0 0

2

; 0 1 0

1 0 1

0 1 0 2

1 2 1 2

1   J 

i

i i

i J

J_{x y}











0 1 0 0 i 0 0 0 1

6. Momento angular orbital

L tifi ió d l t l lá i ll t l

La cuantificación del momento angular clásico se llama momento angular orbital y se representa universalmente como el vector, en representación |r



  





 



   





 







 



 













 L z x

z y y z

L i

z y

x _y

x z

y

x 





 u u u

r P

R L



 







 



 



  







y x x y

L i

z x

y i i

i

z y z

y

x 



 y

Es más simple trabajar en coordenadas esféricas (r,,)



cos sin

r

x El elemto de volumen y de ángulo







 cos

sin sin

r z

r y

















d d d

drd r d

drd r

r d

sin

sin ²

2 3











y g

sólido:







  _



 







 



  i tg

L_x  cos

 sin



d d d sin

Cambiando las variables en la definición de L







 







 







 



 





 i tg L

g

y



 sin

cos





  L_z i



     



 ₂ ² 1 1 ²

2 

De ahí se obtiene: L



 







 



 



  

 

 



  













 cotg

sin^{2 2}

2

i e

L

tg

 i

 L



 







 



 





 

   







 icotg

e L  ⁱ

Para una partícula, las funciones propias deben ser autovectores de L² y L_z luego:

) (

) 1 ( ) 1 (

1 ²

2  r   l l  r  

     

) , , ( )

, , (

) , , ( ) 1 ( ) , , sin^{2 2} (

2























 









r m r

i

r l

l tg r

 

 



 

 

  

 

 





Dado que r no aparece en los operadores, podemos considerarlo como un parámetro constante.

Además veremos que las ecuaciones tienen solución única salvo un factor multiplicativo, que es lo único que

d d d d

 

puede depender de r.

^ ( r , ^ , ^ )  f ( r ) Y

_l^m

  ^ , ^

Es decir, la solución más general ^{, g}

^{ ( r   ) f ( r ) Y}

^m

  ^{ }

posible de las ecuaciones, para cada valor de l y m permitidos es:

  ^{ }





 ( r , , )  f ( r ) Y

_l

,

N li ió l MQ i ól

Normalización: la MQ exige sólo que:

 

, 1 sin

) ( )

, , (

2

0 0

2

0 2 2

3 2 

  





^{d r r   r f r dr d Ylm   d}

0 0

0

Pero por conveniencia (y porque nos lo

podemos permitir) vamos a hacer que: ^{( ) 1 2 sin}

 

^{, 1}

0 0

2

0

2 2 

 





  









 Y d

d dr

r f

r _l^m

0 0

0

Valores de l, y m: sólo pueden ser enteros En efecto, tomando la ec. de valores

propios de L_z 

p p _z

 

^{ }

 

^{ }

 

^{ }

 

^{ }

^{Ylm mYlm Ylm Flm eim}

i   



  , , ,

Como la función de onda debe ser continua

(y de derivadas continuas) en 0 y 2 Y_l^m

 

,0 Y_l^m



,2



e⁰ e^im2 1mentero