Traza de una Matriz Cuadrada

Traza de una Matriz Cuadrada

Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 10 de septiembre de 2008

´ Indice

7.1. Definiciones y propiedades b´asicas . . . . 1 7.2. La traza de un producto . . . . 3 7.1. Definiciones y propiedades b´ asicas

A pesar de su aparente sencillez, la traza de una matriz cuadrada es un elemento clave en desarrollos posteriores. Veremos su definici´ on y sus propiedades b´asicas. En la lectura posterior se entender´ a su aplicaci´on.

Definici´ on

Sea A una matriz m × m, la traza de A se define como la suma de los elementos de la diagonal principal:

tr(A) =

m

X

i=1

a ii = a ₁₁ + a ₂₂ + · · · + a mm (1)

En particular:

tr(I n ) = n, y tr(J n ) = n Ejemplo

Determine la traza de la matriz:

A =





1 −1 2

0 −3 −1

−2 −3 8



 Soluci´ on

Directamente de la definici´ on

tr (A) = (1) + (−3) + (8) = 6

Lema 7.1

Sean A y B matrices m × m:

1. tr (k A) = k tr (A)

2. tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

3. tr (A ^′ ) = tr (A)

Demostraci´ on

1. Tomemos C = k A, as´ı c ij = k a ij y por tanto tr (k A) = tr (C) =

m

X

i=1

c ii =

m

X

i=1

(k a ii ) = k

m

X

i=1

a ii = k tr (A)

3. Si C = A ^′ , c ij = a ji y as´ı c ii = a ii :

tr A ^′
= tr (C) =

m

X

i=1

c ii =

m

X

i=1

a ii = tr (A) ⋄

Ejercicio 1

Sean A y B matrices m × m, demuestre que

tr (A + B) = tr (A) + tr (B)

Sugerencia

Tome C = A + B, as´ı c ii = a ii + b ii . Aplique ahora la definici´ on de la traza.

Ejercicio 2

Demuestre que si A y B matrices m × n y n × m respectivamente: entonces tr (AB) = tr B ^′ A ^′

Sugerencia

Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y la propiedad de la transpuesta de un producto.

Ejercicio 3

Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:

tr (AB) = tr B ^′ A ^′

A =

 1 2 3 3 2 1



y B =





−2 1 2 3 4 1





Lema 7.2

Sea A una matriz cuadrada particionada tal que

A =











A ₁₁ A ₁₂ · · · A _1k A ₂₁ A ₂₂ · · · A _2k .. . .. . . .. .. . A _k1 A _k2 · · · A kk









 Entonces

tr (A) = tr (A ₁₁ ) + tr (A ₂₂ ) + · · · + tr (A _kk )

Demostraci´ on

Este resultado se deduce de que la diagonal principal de la matriz A es justo la concatenaci´on de las diagonales principales de las matrices A ii .

7.2. La traza de un producto

Teorema 7.3

Sean A y B matrices m × n y n × m respectivamente.

tr (AB) = tr (BA)

Demostraci´ on

Tomemos C = AB, as´ı

c ij =

n

X

k=1

a _ik b _kj Para j = i la f´ ormula anterior queda:

c _ii =

n

X

k=1

a _ik b _ki As´ı:

tr (C) =

m

X

i=1

c _ii =

m

X

i=1 n

X

k=1

a _ik b _ki =

n

X

k=1 m

X

i=1

a _ik b _ki =

n

X

k=1 m

X

i=1

b _ki a _ik Por otro lado si D = BA, as´ı

d _ij =

m

X

k=1

b _ik a _kj Para j = i la f´ ormula anterior queda:

d _ii =

m

X

k=1

b _ik a _ki As´ı:

tr (D) =

n

X

i=1

d _ii =

n

X

i=1 m

X

k=1

b _ik a _ki Comparando las f´ ormulas:

tr (AB) =

n

X

k=1 m

X

i=1

b _ki a _ik y tr (BA) =

n

X

i=1 m

X

k=1

b _ik a _ki

Concluimos que, intercambiando los nombres de los ´ındices i y k, tr (AB) = tr (BA) ⋄

Ejercicio 4

Encuentre dos matrices A y B, 2 × 2, tal que

tr (AB) 6= tr (A) · tr (B)

Sugerencia

Pi´enselo f´ acil. Tome por ejemplo

A =

 1 0 0 0

 .

Ejercicio 5

Verifique que las matrices siguientes cumplen la propiedad:

tr (AB) = tr (BA)

A =

 1 2 3 3 2 1



y B =





−2 1 2 3 4 1





Ejercicio 6

Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple

tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)

Sugerencia

Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique el teorema 5.3. Para la segunda igualdad tome D = A y E = B C y aplique el mismo teorema.

Ejercicio 7

Demuestre que si A, B y C son matrices n × n se cumple

tr (ABC) = tr B ^′ A ^′ C ^′
= tr A ^′ C ^′ B ^′

Sugerencia

Para la primera igualdad tome D = AB y E = C y aplique como v´ alido el ejercicio 2. Para la segunda igualdad tome D = A y E = BC. y aplique el mismo teorema 5.3.

Ejercicio 8

Demuestre que si A, B y C son matrices n × n sim´ etricas se cumple tr (ABC) = tr (BAC)

Sugerencia

Utilice como v´ alido el ejercicio anterior y que X ^′ = X para las matrices sim´etricas.

Ejercicio 9

Encuentre matrices cuadradas A, B y C 2 × 2 que cumplen tr (ABC) 6= tr (BAC)

Ejercicio 10

Sea A una matriz m × n, demuestre que el elemento (i, i) de A A ^′ es

n

X

j=1

a ² _ij

Ejercicio 11

Sea A una matriz m × n, demuestre que

tr A A ^′
=

m

X

i=1 n

X

j=1

a ² _ij

Sugerencia

Utilice como v´ alido el resultado del ejercicio anterior.

Ejercicio 12

Utilice el resultado anterior para determinar tr (A A ^′ ) Si

A =

 1 2 3 3 2 1



Ejercicio 13

Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y s´olo si tr(A ^′ A) = 0.

Sugerencia

Utilice la propiedad 3 del lema 5.1 y asuma como v´ alido el resultado del ejercicio 11. Y recuerde que la suma de cantidades mayores o iguales a cero es cero si y s´olo si cada cantidad es cero.

Ejercicio 14

Sea A una matriz m × n. Entonces A = 0 si y s´olo si A ^′ A = 0.

Sugerencia

Tome como v´ alido el resultado del ejercicio anterior.

Lema 7.4

Sean A, B, y C matrices, m × n, n × p, y n × p respectivamente.

AB = AC si y s´olo si A ^′ AB = A ^′ AC

Demostraci´ on

Claro que AB = AC implica que A ^′ AB = A ^′ AC. Si suponemos que A ^′ AB = A ^′ AC

Entonces, desarrollando

(AB − AC) ^′ (AB − AC) = (B − C) ^′ A ^′ (AB − AC)

= (B − C) ^′ (A ^′ AB − A ^′ AC)

= 0 Por el ejercicio anterior, AB − AC = 0 ⋄

Ejercicio 15

Sea A una matriz m × m que cumple A ^′ A = A ² . Muestre que 1. tr ((A − A ^′ ) ^′ (A − A ^′ )) = 0.

2. A es sim´etrica.

Sugerencia

Para el primer inciso desarrolle el producto de matrices, utilice la hip´otesis, y tome como v´ alido el resultado del ejercicio 1. Para el segundo inciso, utilice como v´ alido el resultado del ejercicio 13.

Ejercicio 16

La traza y la tecnolog´ıa

Asumiendo que una matriz ya est´a almacenada en memoria. Indique c´omo determinar la traza de tal matriz en

una calculadora cient´ıfica (HP o TI) en Maple

en Matlab