C´alculo Num´erico - CO3211 - Ejercicios 2
1. Decida cu´ales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cu´ales son falsas. Si una proposici´on es verdadera, demu´estrela, y si es falsa d´e un contraejemplo:
(a) En los m´etodos iterativos que resuelven Ax = b donde x, b ∈ Rn, A ∈ Rn×n, A = M − N y se genera una sucesi´on mediante la f´ormula iterativa xi+1= M−1N xi+ M−1b, basta con que {xi}∞i=0→ y para asegurar que la sucesi´on converge a la soluci´on del problema.
(b) Un criterio de parada para los algoritmos iterativos estudiados es:
0 <
x0− xi 2< ǫ.
(c) Si λ es un autovalor de la matriz A entonces λ2 es un autovalor de A2. (d) Si B = P AP−1entonces las matrices A y B tienen los mismos autovalores.
(e) Sean U y V matrices ortogonales, entonces T =
U 0 0 V
tambi´en es ortogonal.
(f) El m´etodo de la potencia permite hallar el menor autovalor en valor absoluto de la matriz A, para el caso de que los autovalores de A son diferentes.
(g) Si λ es un autovalor de la matriz A, entonces λ − µ es un autovalor de A − µI.
(h) El m´etodo de la Potencia puede ser aplicado para determinar el m´odulo del mximo valor absoluto de la matriz
T =
−3 −5 2
4 6 −2
2 2 0
.
(i) Si λ es un autovalor de la matriz A, entonces λ − µ es un autovalor de A − µI.
(j) Si P (x) es un polinomio de grado tres y P (xi) = 0 para x1, x2, x3, x4nodos diferentes, entonces P (x) = 0 para todo x ∈ ℜ.
(k) Son id´enticos los polinomios de Lagrange y Newton que interpolan 3 puntos diferentes. Asuma que ambos polinomios existen.
(l) ¿Es el vector (29/21, −2/3)T soluci´on del problema siguiente?,
min (x, y)
3 2 1 2 3 2
− (3, 0, 1)
2
2
.
(m) La recta de ajuste por m´ınimos cuadrados para la tabla de datos
x 0 1 2 3 4
y 4 3 2 1 0
es y + x = 4.
2. Enumere al menos dos criterios de parada para los algoritmo iterativos que resuelven Ax = b.
3. Describa como funciona el m´etodo iterativo de Gauss-Seidel para resolver Ax = b, incluyendo las ecuaciones que se deben utilizar para hallar xi+1 en cada iteraci´on.
4. De un ejemplo de una matriz A que no sea diagonal dominante, pero el m´etodo de Gauss Seidel aplicado al sistema Ax = b converge.
5. Obtenga las dos primeras iteraciones del m´etodo SOR con ω = 1.1 y ω = 1.3 para los siguientes sistemas lineales de ecuaciones usando x(0) = 0 (vector nulo)
(a)
3x1− x2+ x3 = 1 3x1+ 6x2+ 2x3 = 1 3x1+ 3x2+ 7x3 = 4 (b)
10x1− x2 = 9
−x1+ 10x2− 2x3 = 7
−x2+ 10x3 = 6
(c)
10x1+ 5x2 = 6 5x1+ 10x2− 4x3 = 25
−4x2+ 8x3− x4 = −11
−x3+ 5x4 = −11
(d)
4x1+ x2− x3+ x4 = −2 x1+ 4x2− x3− x4 = −1
−x1− x2+ 5x3+ x4 = 0 x1− x2+ x3+ 3x4 = 1
(e)
4x1+ x2+ x3+ x5 = 6
−x1− 3x2+ x3+ x4 = 6 2x1+ x2+ 5x3− x4− x5 = 6
−x1− x2− x3+ 4x4 = 6 2x2− x3+ x4+ 4x5 = 6
(f)
4x1− x2− x4 = 0
−x1+ 4x2− x3− x5 = 5
−x2+ 4x3− x6 = 0
−x1+ 4x4− x5 = 6
−x2− x4+ 4x5− x6 = −2
−x3− x5+ 4x6 = 6
6. Aplique el m´etodo SOR con ω = 1.2 para resolver los sistemas lineales del ejercicio anterior con una tolerancia 10−3en la norma infinito.
7. Determine cu´ales matrices del ejercicio anterior son tridiagonales y definida positivas. Aplique el m´etodo SOR con estas matrices y el ω ´optimo, con una tolerancia 10−3 en la norma infinito.
8. Sea la sucesi´on {xk} definida por
xk+1= T xk+ c para k ≥ 0 y c diferente del vector nulo, con
T =
2 0 −1 −1
0 2 −1 −1
−1 −1 2 0
−1 −1 0 2
.
¿{xk} converge a la soluci´on de x = T x + c?. Justifique la respuesta.
9. Para resolver el sistema lineal Ax = b, donde A =
1 2 2 3
, b =
3 5
, considere el siguiente m´etodo iterativo
xk+1= B(θ)xk+ f (θ)
donde x0 es dado, θ es un par´ametro real y B(θ) = 1
4
2θ2+ 2θ + 1 −2θ2+ 2θ + 1
−2θ2+ 2θ + 1 2θ2+ 2θ + 1
, f (θ) =
1
2− θ
1 2− θ
. (a) Verifique que el m´etodo es consistente (para el sistema dado) para cualquier θ ∈ R.
(b) Determine los valores de θ para los cuales el m´etodo es convergente.
(c) Considere θ = −1/2 y resuelva el sistema lineal.
10. Para una matriz A su espectro es el conjunto de todos sus autovalores. El espectro de una matriz est´a contenido en la uni´on de los discos Di en el plano complejo, donde
Di= {z ∈ C | |z − aii| ≤
n
X
j=1, j6=i
|aij|}.
Probar que los autovalores de la matriz
A =
6 2 1
1 −5 0
2 1 4
.
satisfacen la desigualdad 1 ≤ |λ| ≤ 9, sin calcularlos.
11. Pruebe que el radio espectral de la matriz A, ρ(A), satisface que 7 ≤ ρ(A) ≤ 11, donde
A =
4 1 1
0 2 1
−2 0 9
.
12. Pruebe que el radio espectral de la matriz A, ρ(A), satisface que ρ(A) ⊆ {z ∈ C | |z| < 8} donde
A =
2 −1 1 3
−1 −1 4 1
−3 −2 −1 4
3 1 −2 1
.
13. Dada la matriz
A =
8 2 −1
−2 −10 0
−1 −1 12
determine cotas inferior y superior para su radio espectral (sin calcular los autovalores de A).
Justifique su respuesta.
14. Pruebe que las partes imaginarias de los autovalores de la matriz
A =
3 13 23
1 −4 0
1 2
1
2 −1
est´an en el intervalo [−1, 1].
15. Cuente el n´umero de multiplicaciones y/o divisiones envueltas en llevar a cabo m pasos del m´etodo b´asico de la potencia (el no normalizado).
16. Sean A y B matrices cuadradas. Probar que la matriz I − AB tiene los mismos autovalores que I − BA, si se cumple que A ´o B es no singular.
17. Encontrar las primeras tres iteraciones obtenidas al aplicar los m´etodos de la potencia directo e inverso a las matrices siguientes, con vector inicial (1, 0, 0)t.
(a)
1 −1 0
−2 4 −2
0 −1 1
(b)
1 −1 0
−2 4 −2
0 −1 2
.
18. Aplique el m´etodo de la potencia a la matriz
A =
6 5 −5 2 6 −2 2 5 −1
con vector inicial (1, 2, 3)ty 100 iteraciones. Explique el fen´omeno de la aparente connvergencia al inicio, seguido de una convergencia al final a un valor diferente.
19. Determinar una aproximaci´on al radio espectral de la matriz A , ρ(A), tomando dos iteraciones del m´etodo de la potencia usando la norma infinito para la funcional φ. Usar (1, 1, 1)tcomo vector inicial.
A =
2 0 −1
−2 −10 0
−1 −1 4
20. Use el algoritmo QR para determinar todos los autovalores de las siguientes matrices, con 10−5de precisi´on.
(a)
4 −1 −1 0
−1 4 0 −1
−1 0 4 −1
0 −1 −1 4
(b)
5 −2 −0.5 1.5
−2 5 1.5 0.5
−0.5 1.5 5 −2
1.5 −0.5 −2 5
.
21. Encuentre los polinomios de m´ınimos cuadrados de grado 1, 2, 3 y 4 para los datos que se muestran en la siguiente tabla.
x 0 0.15 0.31 0.5 0.6 0.75
y 1 1.004 1.031 1.117 1.223 1.422
¿Cu´al da la mejor aproximaci´on de m´ınimos cuadrados? Es decir, ¿cu´al tiene el menor error?
22. A continuaci´on se muestran las calificaciones de las tareas y de los examenes finales de 30 estudaintes de c´alculo num´erico. Encuentre la ecuaci´on de la recta de m´ınimos cuadrados para estos datos y
´
usela para determinar la calificaci´on de las tareas necesarias para predecir las calificaciones m´ınimas en el final de 90 y 60.
tarea final tarea final tarea final
302 45 343 83 234 51
325 72 290 74 337 53
285 54 326 76 351 100
339 54 233 57 339 67
334 79 254 45 343 83
322 65 323 83 314 42
331 99 337 99 344 79
279 63 337 70 185 59
316 65 304 62 340 75
347 99 319 66 316 45
23. Demuestre que tan(x) ≤ x para todo x ∈ [−π/4, 0] usando el teorema de Taylor.
24. Sean
Lk(x) =
n
Y
i=0, i6=k
(x − xi)
(xk− xi), para k = 0, . . . , n los polinomios de Lagrange de grado n. Demostrar que
n
X
k=0
Lk(x) = 1 para todo x ∈ [x0, xn].
25. El polinomio p(x) = 2 − (x + 1) + x(x + 1) − 2x(x + 1)(x − 1) interpola los primeros cuatro puntos de la siguiente tabla,
x -1 0 1 2 3
y 2 1 2 -7 10
(a) ¿Qu´e interpolante permite hallar el polinomio que interpola toda la tabla haciendo uso s´olo de p(x)?. Encuentrelo.
(b) Calcular el n´umero de operaciones elementales en la construcci´on de este polinomio.
26. Sea P (x) el ´unico polinomio de grado a lo sumo 2 que interpola a f (x) = sin(x) en los puntos (−1, f(−1)), (0, f(0)) y (1, f(1)). D´e una cota superior del error absoluto cometido al aproximar f (x) mediante P (x) para cualquier x ∈ [−1, 1].
27. Determine el polinomio interpolante de Lagrange para la tabla de datos
x -2 0 1
y 0 1 -1
28. Cada 10 a˜nos se toma un censo de la poblaci´on de una ciudad de Am´erica. A continuaci´on se muestra una tabla con los datos en miles de personas de la poblaci´on de 1930 hasta 1980.
a˜no 1930 1940 1950 1960 1970 1980
poblaci´on 123203 131669 150697 179323 203212 226505 (en miles)
Encuentre el polinomio de Lagarnge de grado 5 que ajusta estos datos y use este polinomio para estimar la poblaci´on en los a˜nos 1920, 1965 y 2000. La poblaci´on en 1920 fue aproximadamente de 105711000. ¿Qu´e tan exactos piensa usted que son sus resultados de 1965 y 2000?
29. Aproxime √
3 usando el m´etodo de Neville en la funci´on f (x) = 3x para los valores x0 = −2, x1= −1, x2= 0, x3= 1 y x4= 2. Calcular el error realtivo asociado a la aproximaci´on.
30. Use el m´etodo de Neville para aproximar f (1.03) con P0,1,2para la funci´on f (x) = 3xex−e2xusando x0 = 1, x1 = 1.05 y x2 = 1.07. Ahora suponga que esta aproximaci´on no es lo suficientemente exacta. Calcule P0,1,2,3 donde x3 = 1.04. Repita el procedimiento usando aritm´etica de cuatro d´ıgitos. ¿Piensa usted que el m´etodo de Neville es sensible a errores de redondeo?
31. Dado el polinomio interpolante
p(x) = c0+ c1(x − x0) + c2(x − x0)(x − x1) + · · · + cn(x − x0) · · · (x − xn−1) con c0 y c1 como las diferencias divididas siguientes
c0= f [x0] y c1= f [x0, x1], usar p(x2) para demostrar que c2= f [x0, x1, x2].
32. Sea
ω(x) =
n
Y
k=0
(x − xk).
Demostrar que el polinomio interpolante de grado n en x0, ..., xn para ω puede escribirse como p(x) = ω(x)
n
X
k=0
ω(xk) (x − xk) ω′(xk).
33. Calcule la tabla de diferencias divididas para la func´on f (x) = 3 sin2(πx/6), tabulada como sigue
k 0 1 2 3 4
x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0
f (xk) 0.00 0.75 2.25 3.00 2.25
Calcular el n´umero de operaciones elementales en la construcci´on de esta tabla.
Construya los polinomios de Newton de grados 1, 2, 3 y 4, y eval´ue cada polinomio en x = 1.5 utilizando el m´etodo de Horner (evaluaci´on anidada).
34. Si se interpola la funci´on f (x) = ex−1mediante un polinomio P (x) de grado ≤ 12, usando 13 puntos en el intervalo [−1, 1], d´e una cota superior para |f(x) − P (x)| para cualquier x ∈ [−1, 1].
35. La siguiente tabla muestra datos de la funci´on descrita por f (x) = e0.1x2. Aproxime f (1.25) usando polinomios de Hermite H5 y H3, donde H5 usa los nodos x0= 1, x1= 2 y x2= 3, y donde H3 usa los nodos x0= 1 y x1= 1.5. Encuentre cotas para los errores en estas aproximaciones.
x f (x) = e0.1x2 f′(x) = e0.2x2 1 1.105170918 0.2210341836 1.5 1.252322716 0.3756968148 2 1.491824698 0.5967298792 3 2.459603111 1.475761867
36. Un autom´ovil viaja por una carretera recta y su recorrido se cronometra en varios puntos. Los datos recabados de las observaciones se incluyen en la tabla. El tiempo se indica en segundos, la distancia en pies y la velocidad en pies por segundo.
tiempo 0 3 5 8 13
distancia 0 225 383 623 993
velocidad 75 77 80 74 72
• Construya el polinomio de interpolaci´on H(x) de Hermite, y ´uselo para predecir la posici´on del autom´ovil y su velocidad cuando t = 10s.
• Use la derivada del polinomio de Hermite para determinar si el autom´ovil supera el l´ımite de velocidad de 80 pies por segundo. De ser as´ı, ¿en qu´e instante la supera por primera vez?
• ¿Cu´al es la velocidad m´axima predecible del autom´ovil?
37. Determine si la siguiente funci´on f es un spline c´ubico (interpolante c´ubico) para una determinada funci´on dada, donde
f (x) =
13 − 31x + 23x2− 5x3 si x ∈ [1, 2]
−35 + 51x − 22x2+ 3x3 si x ∈ [2, 3]
38. Dada la funci´on
S(x) =
2(x + 1) + (x + 1)3, x ∈ [−1, 0]
3 + 5x + 3x2, x ∈ [0, 1]
11 + 11(x − 1) + 3(x − 1)2− (x − 1)3, x ∈ [1, 2]
,
determine si la misma es un spline c´ubico en [−1, 2]. Es natural? Justifique sus respuestas.
