Soluci´ on: Sea (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ∈ U × V Como (x 0 , y 0 ) ∈ U y U , es abierto

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(1)

Examen parcial 2 - Resuelto C´ alculo 3, Semestre 2017-I

1. Sean U y V abiertos de R 2 . Prueba que

U × V = {(x, y, z, w) : (x, y) ∈ U, (z, w) ∈ V } es un abierto de R 4 .

Soluci´ on: Sea (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ∈ U × V Como (x 0 , y 0 ) ∈ U y U , es abierto

∃δ 1 |B δ

1

(x 0 , y 0 ) ⊂ U .

Por lo mismo, como (z 0 , w 0 ) ∈ V y V es abierto ∃δ 2 |B δ

2

(z 0 , w 0 ) ⊂ V Ahora, consideramos δ = min{δ 1 , δ 2 }

P.d. B δ (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ⊂ U × V

Sea (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) ∈ B δ (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) Queremos ver que (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) ∈ U × V

Notemos que ||(x 1 , y 1 )−(x 0 , y 0 )|| R

2

= ||(x 1 −x 0 , y 1 −y 0 )|| R

2

= p(x 1 − x 0 ) 2 + (y 1 − y 0 ) 2 ≤ p(x 1 − x 0 ) 2 + (y 1 − y 0 ) 2 + (z 1 − z 0 ) 2 + (w 1 − w 0 ) 2 =

||(x 1 −x 0 , y 1 −y 0 , z 1 −z 0 , w 1 −w 0 )|| R

4

= ||(x 1 , y 1 , z 1 , w 1 )−(x 0 , y 0 , z 0 , w 0 )|| R

4

< δ ≤ δ 1 Por lo cual(x 1 , y 1 ) ∈ B δ

1

(x 0 , y 0 ) luego, (x 1 , y 1 ) ∈ U .

Es an´ alogo ver que (z 1 , w 1 ) ∈ V

Veamos que ||(z 1 , w 1 )−(z 0 , w 0 )|| R

2

= ||(z 1 −z 0 , w 1 −w 0 )|| R

2

p(z 1 − z 0 ) 2 + (w 1 − w 0 ) 2 ≤ p((x 1 − x 0 ) 2 + (y 1 − y 0 ) 2 + (z 1 − z 0 ) 2 + (w 1 − w 0 ) 2 =

||(x 1 −x 0 , y 1 −y 0 , z 1 −z 0 , w 1 −w 0 )|| R

4

= ||(x 1 , y 1 , z 1 , w 1 )−(x 0 , y 0 , z 0 , w 0 )|| R

4

< δ ≤ δ 2 Por lo cual(z 1 , w 1 ) ∈ B δ

2

(z 0 , w 0 ) luego, (z 1 , w 1 ) ∈ V

⇒ (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) ∈ U × V

Como (x 1 , y 1 , z 1 , w 1 ) era cualquier punto en B δ (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) concluimos que B δ (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) ⊂ U × V .

Pero (x 0 , y 0 , z 0 , w 0 ) era cualquier punto en U × V .

∴ ∀(x, y, z, w) ∈ U × V

∃δ > 0|B δ (x, y, z, w) ⊆ U × V

∴ U × V es abierto en R 4 .

2. Cosidera la funci´ on f (x, y) = e 2x+3y .

(a) Encuentra la ecuaci´ on del plano tangente que pasa por el punto (0, 0, f (0, 0)).

(b) Usa la ecuaci´ on del plano tangente para aproximar f ( 10 1 , 0).

Soluci´ on:

(a) Recordemos que la ecuaci´ on del plano tangente est´ a dada por lo siguiente:

z − z 0 = ∂f

∂x | (x

0

,y

0

) (x − x 0 ) + ∂f

∂y | (x

0

,y

0

) (y − y 0 ) Traduciendola a este caso particular

z − f (0, 0) = ∂f

∂x | (0,0) (x) + ∂f

∂y | (0,0) (y)

(2)

Ahora calculemos las parciales

∂f

∂x | (x,y) = 2e 2x+3y

∂f

∂y | (x,y) = 3e 2x+3y Evaluando en el punto:

∂f

∂x | (0,0) = 2

∂f

∂y | (0,0) = 3

Tambi´ en, evaluando f (0, 0) = 1 Sustituyendo en la ecuaci´ on que nos daba el plano, obtenemos :

z − 1 = 2x + 3y Luego la ecuaci´ on del plano es:

2x + 3y − z + 1 = 0

(b) Para esta parte usaremos la ecuaci´ on del plano que ya obtuvimos:

z = 2x + 3y + 1 = 0 despejaremos z y sustituiremos los valores (x,y) con los del punto que nos dan :

f (0, 0) ≈ 2(0.1) + 3(0) + 1 = 1.2 Recordemos adem´ as que f (0.1, 0) = e 2/10 ≈ 1.22.

3. Encuentra un n´ umero espec´ıfico δ > 0, para el cual, si x 2 + y 2 < δ 2 entonces

|x 2 + y 2 − 6xy − 5x 2 y 3 + x| < 10 −3 . Soluci´ on:

Hay muchisimas maneras de encontrar la δ, esta es s´ olo una de ellas. Observemos lo siguiente: Por la desigualdad del tri´ angulo,aplicada varias veces:

|x 2 + y 2 − 6xy − 5x 2 y 3 + x| ≤ |x 2 + y 2 | + | − 6xy − 5x 2 y 3 + x|

≤ |x 2 + y 2 | + | − 6xy| + |5x 2 y 3 | + |x|

Pero dado que | − x| = |x| y que |xy| = |x||y|tenemos que:

|x 2 + y 2 | + | − 6xy| + | − 5x 2 y 3 | + |x| = |x 2 + y 2 | + |6xy| + |5x 2 y 3 | + |x| =

|x 2 + y 2 | + 6|x||y| + 5|x 2 |y 3 | + |x| Por otro lado, no es mal momento para notar que si:

0 < x 2 + y 2 < δ 2 ⇒ x 2 < δ 2 ⇒ |x| < δ (1) Analogamente |y| < δ. Retomando la ecuaci´ on en la que nos habiamos quedado y usando la observaci´ on anterior: |x 2 + y 2 | + 6|x||y| + 5|x 2 |y 3 | + |x| < δ 2 + 6δ + 5δ 5 + δ Como la δ que queremos ser´ a chica, podemos suponer que δ < 1 siendo as´ı 0 <

δ 2 + 6δ 2 + 5δ 5 + δ < 13δ

Como queremos que 13δ sea menor o igual que 10 −3 nos basta tomar δ = 10 −3 /13

para lograr lo que nos piden.

(3)

4. Considera la funci´ on f (x, y) = x

4

x +6y

2

y

48

si (x, y) 6= 0 y f (x, y) = 0 si (x, y) = 0.

(a) Prueba que las parciales ∂ x f (0, 0) y ∂ x f (0, 0) existen y da su valor.

(b) Prueba que f no es continua en (0, 0).

Soluci´ on:

(a) Vamos a hacerlo directo de la definici´ on:

x f (0, 0) = lim

(h→0

f (0 + h, 0) − f (0, 0)

h = 0 − 0

h = 0 Por lo cual ∂ x f (0, 0) existe y adem´ as ∂ x f (0, 0) = 0

Tambi´ en:

y f (0, 0) = lim

(k→0

f (0, 0 + k) − f (0, 0)

k = 0 − 0

k = 0 Por lo cual ∂ y f (0, 0) existe y adem´ as ∂ y f (0, 0) = 0

(b) Ahora veamos que f no es continua en (0, 0)

De nuevo lo haremos por definici´ on(viendo que no la cumple) Es decir queremos ver que: lim (x,y)→(0,0) x

2

y

4

x

4

+6y

8

6= 0

De hecho, probaremos que dicho l´ımite ni siquiera existe.

Voy a tratar de aproximarme por dos maneras al (0,0), si el l´ımite existiera, cualqier aproximacin al (0,0) me llevar´ıa a el.

La primera forma es sobre los puntos en la par´ abola x = y 2 , es decir los pun- tos de la forma(y 2 , y), c´ alculo el l´ımite cuando me acerco al (0,0) solamente por este tipo de puntos (Una forma analoga de hacerlo es usando el lema de sucesiones)

lim

(x,y)→(0,0)

x 2 y 4

x 4 + 6y 8 = lim

(y

2

,y)→(0,0)

y 4 y 4

y 8 + 6y 8 = lim

(y

2

,y)→(0,0)

y 8

7y 8 = lim

(y

2

,y)→(0,0)

1

7 = 1/7 Pero por otra parte si me aproximo por el eje x, es decir por los puntos de la forma (x, 0), calculando el l´ımite de la funci´ on cuando me acerco al (0,0) solamente por este tipo de puntos obtengo lo siguiente:

lim

(x,y)→(0,0)

x 2 y 4

x 4 + 6y 8 = lim

(x,0)→(0,0)

0

x 4 = lim

(x,0)→(0,0)

y 8 7y 8 = 0

Si el l´ımite existiera, como ambos conjuntos los (y 2 , y) y los (x, 0) quedan incluidos dentro de los posibles (x, y)que tienden a cero, los l´ımites sobre ambos conjuntos deber´ıan coincidir. Por lo cual el l´ımite no existe.

OJO: Si exhibimos conjuntos donde los l´ımites coinciden, eso no basta para

probar que este existe y tiene cierto valor, pues en ese caso deber´ıamos

probarlo para toda (x, y) en R 2 .

(4)

5. Una funci´ on f : R n → R se llama abierta si imagen directa de abiertos es abierta.

Es decir, si U es un conjunto abierto de R n (arbitrario) entonces el conjunto f (U ) := {f (p) : p ∈ U }

es un abierto de R. Prueba que la proyeccion P : R 2 → R, dada por P (x, y) = x es una funci´ on abierta.

Soluci´ on: Usaremos la definici´ on: Sea x 0 ∈ f (U ) ⇒ ∃y 0 ∈ R|(x 0 , y 0 ) ∈ U Como U es abierto; para ese (x 0 , y 0 ) ∈ U , ∃r > 0|B r (x 0 , y 0 ) ⊆ U

Ahora con esa misma r consideremos B r (x 0 ).

Si x ∈ B r (x 0 ) ⇒ |x − x 0 | < r. Luego si nos fijamos en el punto (x, y 0 ), sucede lo siguiente: ||(x, y 0 ) − (x 0 , y 0 )|| = ||(x − x 0 , 0)|| = |x − x 0 | < r

Por lo cual (x, y 0 ) ∈ B r (x 0 , y 0 , pero B r (x 0 , y 0 ) ⊆ U , de donde(x, y 0 ) ∈ U ,

con lo que podemos afirmar que x ∈ f (U ) .

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