INTRODUCCIÓN A LAS ONDAS

(1)

INTRODUCCI ´

ON A LAS ONDAS

(2)

1. Ondas en una dimensi´on. 3

1.1. Definici´on, ecuaci´on general y algunas propiedades generales. . . 4

1.2. Ondas peri´odicas y ondas arm´onicas. . . 5

1.3. Expresi´on compleja de las ondas arm´onicas. . . 5

2. Ondas transversales en una cuerda. 7 2.1. Ecuaci´on de ondas en una cuerda . . . 8

2.2. Densidades de energ´ıa cin´etica, potencial, energ´ıa mec´anica y potencia transmitida por la onda en un punto de una cuerda y en un instante dado . . . 9

2.3. Ondas estacionarias en una cuerda de longitud finita . . . 9

2.3.1. Nodos y vientres . . . 10

2.3.2. Energ´ıa cin´etica, potencial, mec´anica en una onda y potencia transmitida por un punto en el caso de una onda estacionaria . . . 11

2.4. Ondas arm´onicas que se propagan en una cuerda . . . 12

2.4.1. Energ´ıa cin´etica, potencial y mec´anica en una onda que se propaga . . . 13

2.4.2. Potencia transmitida por un punto de una onda que se propaga . . . 13

2.5. Impedancia de una cuerda . . . 14

2.6. Cambio de medio: reflexi´on y transmisi´on de ondas en el contorno de una cuerda . . . 14

2.6.1. Coeficientes de transmisi´on y reflexi´on para la energ´ıa . . . 15

3. Ondas longitudinales en gases: ondas sonoras 16 3.1. Ondas longitudinales en un tubo cil´ındrico lleno de un gas ideal . . . 17

3.1.1. Demostraci´on de la ecuaci´on de ondas longitudinales en un gas . . . 17

3.2. Ecuaciones de las ondas ac´usticas para las dem´as magnitudes del gas . . . 18

3.3. Relaciones de fase y amplitud entre las diversas perturbaciones en una onda de presi´on . . . 19

3.4. Potencia transportada por una onda sonora. Intensidad y sensaci´on sonora . . . 19

3.4.1. Intensidad. . . 20

3.4.2. Sensaci´on sonora, nivel de intensidad sonora . . . 20

3.5. Impedancia de una onda ac´ustica . . . 20

3.6. Densidades de energ´ıa cin´etica, potencial y mec´anica . . . 20

3.7. Ondas esf´ericas . . . 20

3.8. Condiciones de contorno en tubos sonoros . . . 22

3.8.1. Coeficientes de transmisión y reflexión para la velocidad de oscilación y la presión . . . . 22

3.8.2. Coeficientes de transmisi´on y reflexi´on para la energ´ıa . . . 23

A. Apéndice 24 A.1. Integración de funciones trigonométricas . . . 25

A.1.1. Formas directas . . . 25

A.1.2. Expresiones usadas en ondas estacionarias . . . 25

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Cap´ıtulo 1

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1.1. Definici´

on, ecuaci´

on general y algunas propiedades generales.

Definición: Una onda es una perturbación local del estado de equilibrio que se propaga en un medio. En el caso de las ondas electromagnéticas, esa perturbación se puede propagar en el vacio.

De momento se van a considerar solamente ondas que se propagan en una direcci´on espacial o casos que se pueden reducir a este, p.ej. ondas esf´ericas.

La función real, que describe estas ondas, depende de una sola variable espacial, x, y el tiempo t. Si esta función se describe como f (x, t), debe ser solución de la ecuación general:

∂2_f

∂t2(x, t) = c 2∂2f

∂x2(x, t)

donde c es la velocidad de propagación de la onda, es decir, la velocidad con que se propaga la perturbación en el medio. También se conoce con el nombre de velocidad de fase.

Generalmente, el cálculo de la expresión de c es laborioso y acompaña a la deducción de la ecuación de ondas, para el caso concreto que se trate. Un caso particularmente simple para obtener la expresión de c es el de las ondas electromagnéticas.

De ahora en adelante toda soluci´on de una ecuaci´on de este tipo es una onda.

Principio de superposición: Las derivadas segundas son operadores lineales. Es decir, la derivada segunda de una combinación lineal, a coeficientes reales y constantes, de solucionnes de la ecuación de ondas es solución de esta ecuación. Por tanto, toda combinación lineal a coeficientes constantes de ondas es una onda. As´ı se explican fenómenos f´ısicos como la interferencia y difracción. As´ı se explica también la posibilidad de descomponer los sonidos en notas y la luz blanca en el arco iris.

Soluci´on general de la ecuaci´on de ondas:

Una solución es f (x, t) = ϕ(x − ct), siendo ϕ una función derivable dos veces con continuidad, como es sencillo verificar. As´ı mismo, f (x, t) = ψ(x+ ct), siendo ψ una función derivable dos veces con continuidad, también es una solución de la ecuación de ondas. De acuerdo con el principio de superposición la solución general de la ecuación de ondas en una dimensión es:

f (x, t) = ϕ(x − ct) + ψ(x + ct)

Significado f´ısico de f (x, t) = ϕ(x − ct) y f (x, t) = ψ(x + ct) . Si se conoce la forma inicial de la onda, f (x, 0) = ϕ(x), y que se propaga hacia la derecha con una velocidad c, la forma de la onda, en el instante t > 0 y en el punto x, es la misma que ten´ıa inicialmente en el punto x − ct. Es decir se cumple:

f (x, 0) = ϕ(x) =⇒ f (x, t) = f (x − ct, 0) = ϕ(x − ct)

c t

X

x − ct

x

t = 0s

x’ − ct

t > 0s

x’

Fig. 1-Onda que se propaga hacia la derecha.

(5)

Ondas ₅

1.2. Ondas peri´

odicas y ondas arm´

onicas.

Una onda es peri´odica en el tiempo y su periodo es T , si en todo punto y en todo instante se verifica: ϕ(x, t) = ϕ(x, t + T )

Una onda es peri´odica espacialmente y su periodo espacial es λ, longitud de onda, si en todo punto y en todo instante se verifica: ϕ(x, t) = ϕ(x + λ, t)

La longitud de onda y el periodo est´an relacionados entre s´ı.

ϕ(x, t) = ϕ(x + λ, t) = ϕ(x + λ − ct) = ϕ(x, t − T ) = ϕ(x − ct + cT ) ⇒x + λ − ct = x − ct + cT =⇒ λ = cT

Se llama frecuencia, ν, a la inversa del periodo. En general sus unidades son las de tiempo a la potencia menos uno. Cuando el periodo se mide en segundos, la frecuencia se mide en hercios, Hz. Al producto 2πν = ω se le denomina frecuencia angular y se mide en rad/s.

Se denomina n´umero de ondas a k = 2π/λ y se mide en rad/m, cuando λ se mide en m. Se verifica:

λ = cT ⇒ c = λν = ω k

Las ondas armónicas son las que se pueden expresar como una función sinusoidal. Por ejemplo: ϕ(x, t) = A cos(kx − ωt + α). La forma de expresar esta onda armónica es equivalente a expresarla como: ϕ(x, t) = A sin(kx − ωt + β). En efecto:

A cos(kx − ωt + α) = A sin(kx − ωt + β) ⇒ cos(kx − ωt + α) = sin(kx − ωt + β) ⇒ cos(kx − ωt) cos α − sin(kx − ωt) sin α = cos(kx − ωt) sin β + sin(kx − ωt) cos α ⇒ sin β = cos α y

cos β = − sin α ⇒ β = α +π 2 . Como se puede ver ambas formas son equivalentes.

Las ondas armónicas son siempre periódicas, pero existen ondas periódicas que no son armónicas, p.ej. las olas.

Una onda que se propaga transporta siempre cantidad de movimiento, momento angular y energ´ıa, pero nunca materia. En ocasiones las aproximaciones, hechas para obtener la ecuaci´on de ondas, impiden calcular la cantidad de movimiento transportada por la onda. Es el precio a pagar para tener una ecuaci´on de ondas de manejo sencillo.

Las ondas pueden ser: transversales, si su velocidad de propagación es perpendicular a la perturbación del medio, y longitudinales, si su velocidad de propagación y la perturbación tienen la misma dirección. Las ondas electromagnéticas y las ondas transversales en una cuerda son ondas transversales. Las ondas sonoras son longitudinales.

1.3. Expresi´

on compleja de las ondas arm´

onicas.

Las ondas arm´onicas se pueden expresar indistintamente como:

ϕ(x, t) = A cos(kx − ωt + α) y ϕ(x, t) = A sin(kx − ωt + β)

Teniendo en cuenta la relaci´on entre α y β, ambas formas corresponden a la parte real de las exponenciales complejas: Aei(kx−ωt+α) y Aei(kx−ωt+β).

Demostraci´on:

ℜAei(kx−ωt+α)= ℜ (A cos(kx − ωt + α) + iA sin(kx − ωt + α)) = A cos(kx − ωt + α)

ℜ−iAei(kx−ωt+β)= ℜ (A sin(kx − ωt + β) − iA cos(kx − ωt + β)) = A sin(kx − ωt + β) Para calcular, se usa todo el complejo pero al final s´olo cuenta la parte real como soluci´on.

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1. Ejemplo: Superposici´on de dos ondas de la misma amplitud y fase pero que se propagan en sentido contrario.

Sean ϕ1(x, t) = Aei(kx−ωt+α) y ϕ2(x, t) = Ae−i(kx+ωt+α), la onda resultante es:

ϕ(x, t) = ℜAe−iωthei(kx+α)+ e−i(kx+α)i= 2A cos(kx + α) sin ωt.

La onda resultante es una onda que no se propaga y que, por esta razón se llama onda estacionaria. Más adelante se varán las ondas estacionarias con más detalle.

2. Ejemplo: Superposici´on de dos ondas de la misma amplitud, cuyas fases difieren en un t´ermino constante.

Sean las dos ondas: ϕ1(x, t) = Aei(kx−ωt)y ϕ2(x, t) = Aei(kx−ωt+α). Con α constante y que cumple:

0 ≤ α ≤ 2π.

La onda resultante de la superposici´on de ambas es:

ϕ(x, t) = ϕ1(x, t) + ϕ2(x, t) = Aei(kx−ωt)(1 + eiα) = Aei(kx−ωt+

α 2) e−i α 2 + ei α 2 ⇒ ϕ(x, t) = 2A cosα 2e i(kx−ωt−α 2) .

Como puede verse la amplitud de la onda depende de α y la fase de ϕ(x, t) es la bisectriz de ambas fases. Cuando α = 0, ϕ(x, t) = 2Aei(kx−ωt _{y se dice que la superposici´}_{on de estas dos ondas es una}

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Cap´ıtulo 2

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2.1. Ecuaci´

on de ondas en una cuerda

Se va a considerar una cuerda de densidad de masa constante, µ, pero cuyo peso puede despreciarse frente a las tensiones aplicadas en sus extremos.

1. En principio, su posición de equilibrio es horizontal y se toma como eje x, la ecuación de esta posición es y = 0. El desplazamiento de la posición de equilibrio es y(x, t) porque depende del punto considerado y del instante en él que se considera.

2. La perturbación de la posición de equilibrio se transmite a lo largo de la cuerda, su velocidad de propagación es horizontal.

3. Se va a considerar la cuerda muy poco extensible, su longitud se puede considerar constante a primer orden y los deplazamientos de la posición de equilibrio se pueden considerar verticales. Esta aproximación hace que el cálculo de la cantidad de movimiento, transportada por la onda, dé cero como resultado. 4. Todas las deformaciones y sus derivadas serán pequeñas, para que la aproximación sea válida en todo

punto y en todo instante. Considerando esta hip´otesis, se cumple:

∆l(x, t) = ∆x s 1 + ∂y ∂x 2 ≈∆x

Para todo ´angulo θ se verifica: sin θ ≈ θ ≈ tan θ y cos θ ≈ 1.

T2

T1

α +∆ α

α

x

_x

+ ∆

_x

+ ∆

y

Las ecuaciones de movimiento son:

(µ∆x)¨x = T2cos(α + ∆α) − T1cos α = 0

µ∆x∂

2_y

∂t2(x, t) = T2sin(α + ∆α) − T1sin α

teniendo en cuenta las relaciones de ´angulos peque˜nos, se tiene:

T1−T2= 0 ⇒ T1= T2= T ∆xµ∂ 2_y ∂t2(x, t) = T sin(α + ∆α) − T sin α ≈ ∆xT ∂2_y ∂x2 ⇒ µ ∂2_y ∂t2(x, t) = T ∂2_y ∂x2(x, t)

Dado que T > 0 y µ > 0, existe un cuadrado real c2=T

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Ondas ₉

∂2_y

∂t2(x, t) = c 2∂2y

∂x2(x, t)

la velocidad de propagaci´on de las ondas transversales en la cuerda es: c = s

T

µ . Es trivial comprobar que c tiene las dimensiones de una velocidad. T es una fuerza y µ una densidad lineal de masa. Las dimensiones de c

son: [c] = MLT

−2

ML−1 12

= L

T, que son las dimensiones de la velocidad.

La soluci´on general ser´a de la forma: y(x, t) = ϕ(x − ct) + ψ(x + ct), como se ha visto antes.

Una onda arm´onica, que se propaga hacia la derecha, es de la forma: y(x, t) = A cos(kx − ωt + α). Una, que se propaga hacia la izquierda, es: y(x, t) = A cos(kx + ωt + α).

2.2. Densidades de energ´ıa cin´

etica, potencial, energ´ıa mec´

anica y

potencia transmitida por la onda en un punto de una cuerda y

en un instante dado

1. Densidad de energ´ıa cinética: Para un trozo pequeño de la cuerda, de longitud ∆x, la energ´ıa cinética es: ∆Ec(x, t) = µ∆x 2 ∂y ∂t(x, t) 2 .

La densidad de energ´ıa cin´etica por unidad de longitud vale: ηc(x, t) = ∆Ec

∆x (x, t) = µ 2 ∂y ∂t(x, t) 2 .

Como se puede ver, la ecuaci´on de ondas procede de aproximaciones a orden uno y la energ´ıa es una aproximaci´on de orden dos.

2. Densidad de energ´ıa potencial: Para un trozo peque˜no de cuerda, la energ´ıa potencial se define como la diferencia de energ´ıa entre la cuerda deformada y la cuerda sin deformar. Teniendo en cuenta las expresiones dadas al principio, queda:

∆U (x, t) = T   s 1 + ∂y ∂x(x, t) 2 −1  ∆x ⇒ ∆U (x, t) ≈ T ∆x 2 ∂y ∂x(x, t) 2

La densidad de energ´ıa potencial por unidad de longitud vale: ηP(x, t) =

∆U ∆x(x, t) = T 2 ∂y ∂x(x, t) 2

3. Densidad de energ´ıa mecánica:Es la suma de las densidades de energ´ıa potencial y de energ´ıa cinética. 4. Potencia transmitida por un punto de la cuerda: Se calcula a partir de la expresión: P = ˙W = ~F ·~v, que da la potencia suministrada por la fuerza resultante a una part´ıcula en movimiento. En este caso la fuerza es la ejercida por el punto sobre la cuerda, que es igual y de signo contrario a la que hace la cuerda sobre el punto. En este caso ~v es la velocidad vertical de oscilación∂y

∂t(x, t)~j. La expresi´on para la potencia transmitida es:

P = ˙W = ~F · ~v = −T∂y ∂x(x, t)

∂y ∂t(x, t)

2.3. Ondas estacionarias en una cuerda de longitud finita

En una cuerda de longitud finita se forman unas ondas que no se propagan llamadas ondas estacionarias. La forma de estas ondas depende de las condiciones de contorno, es decir, de como est´an los extremos de la cuerda.

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Un extremo de una cuerda puede estar fijo. En este caso su deformación y todas las derivadas temporales de ésta serán nulas en él, en todo instante porque no se mueve. Si xF representa el extremo fijo e y(x, t) representa

la deformaci´on de la cuerda, esta condici´on se expresa mediante las ecuaciones:

y(xF, t) = 0 and ∂ n_y

∂tn(xF, t) = 0, ∀t ≥ 0, ∀n ≥ 1

Un extremo puede también estar libre, es decir, su movimiento no está sujeto a ninguna restricción. Si xL

representa el extremo libre e y(x, t) representa la deformaci´on de la cuerda, la condici´on, que se debe cumplir en este punto, se expresa mediante las ecuaciones:

∂y

∂x(xL, t) = 0 ∀t ≥ 0

Para usar ambas posibilidades, se va a considerar una cuerda, cuyo inicio, xF = 0, est´a fijo y cuyo extremo

xL = L est´a libre. Por comodidad, se va a trabajar en complejos.

La soluci´on general es de la forma:

y(x, t) = A1ei(kx−ωt)+ A2e−i(kx+ωt)

A1 y A2 son constantes, en general complejas.

Se usa ahora y(0, t) = 0.

A1e−iωt)+ A2e−iωt= 0; ∀t ≥ 0 ⇒ A1+ A2= 0 ⇒ y(x, t) = A1e−iωt eikx−e−ikx ⇒

y(x, t) = 2A1ie−iωtsin(kx)

Si se hace 2A1= Ae−iβ, con A m´odulo del complejo y β su fase, se tiene:

y(x, t) = Aie−i(ωt+β)sin(kx) ⇒ y(x, t) = A sin(ωt + β) sin kx

Quedan por determinar k, β, A y ω. Cuando se conozca k, ω quedar´a determinada por ω = kc, dado que c viene dada por las propiedades de la cuerda T y µ.

Para determinar k, se usa la otra condici´on de contormo: ∂y

∂x(L, t) = 0. ∂y

∂x(L, t) = 0 ⇒ Ak sin(ωt + β) cos kL = 0 ⇒ cos kL = 0

Esta última ecuación tiene infinitas soluciones, a cada una de las cuales corresponden un número de ondas kn

y una frecuencia ωn diferentes, que son:

knL = (2n − 1)

π

2; con n = 1, . . . , N, . . . ⇒ kn=

(2n − 1)π

2L ; con n = 1, . . . , N, . . .

Cada solución yn(x, t) asociada a un valor de n se denomina un armónicoo un modo normal. El armónico con

y1(x, t) se llama armónico fundamentalporque todos los demás números de onda son múltiplos enteros del suyo

y todas las dem´as frecuencias son m´ultiplos enteros de la suya. La forma general de un modo normal es:

yn(x, t) = Ansin (2n − 1)πct 2L + βn sin(2n − 1)πx 2L ; con n = 1, . . . , N, . . .

El conjunto de costantes (An, βn)n=1,...,N,...) no se han determinado. Para hacerlo es necesario conocer los

valores iniciales de la onda y(x, 0); x ∈ [0, L] y la velocidad de oscilaci´on ∂y

∂x(x, 0); x ∈ [0, L], ya que la ecuación de ondas contiene una derivada segunda respecto al tiempo. Conocidas estas dos funciones, los armónicos se determinan completamente mediante la transformación de Fourier, que queda totalmente fuera del alcance de este curso. Desde ahora se centrará la atención en problemas relacionados con las propiedades de los armónicos.

2.3.1. Nodos y vientres

Nodo:Un nodo es un punto de la cuerda que est´a siempre en reposo. Si xN es su abscisa, y(xN, t) = 0; ∀t.

Vientre: Un vientre es un punto de la cuerda cuya energ´ıa potencial es nula en todo instante o también, cuya deformación siempre alcanza el valor máximo.

(11)

Ondas ₁₁

1. Ejemplo: Calcular los nodos del modo n de la cuerda vista anteriormante. Para que en un punto xj haya un nodo de yn(x, t), se debe cumplir:

yn(xj, t) = 0; ∀t ⇒ sin

(2n − 1)πxj

2L = 0 ⇒ xj = 2L

2n − 1j; con j = 0, . . . , n − 1

El arm´onico fundamental s´olo tiene un nodo: el origen de la cuerda. Para un modo n la distancia entre dos nodos consecutivos vale:

xj+1−xj = 2L

2n − 1

2. Ejemplo: Calcular los vientres del modo n de la cuerda vista anteriormante. Para que en un punto xl haya un vientre de yn(x, t), se debe cumplir:

sin(2n − 1)πxl 2L = 1 =⇒ xl= (2l − 1)L (2n − 1) con l = 1, . . . , n

El arm´onico fundamental tiene un solo vientre en el extremo libre x = L. Para un modo n la distancia entre dos vientres consecutivos vale:

xl+1−xl=

2L 2n − 1

Como se puede ver es el mismo valor que ´el de la distancia entre dos nodos consecutivos. Esto induce a pensar que ambas distancias est´an relacionadas con alguna propiedad intr´ınseca de la onda.

3. Ejemplo: Longitud de onda de la onda estacionaria del Ejemplo 1. Antes se ha visto que:

kn = (2n − 1)π 2L adem´as kn= 2π λn ⇒ L = (2n − 1)λn 4 ⇐⇒ λn= 4L 2n − 1

Por tanto, para una cuerda de longitud L, con un extremo fijo y otro libre, La longitud debe ser un m´ultiplo impar de la cuarta parte de la longitud de onda. As´ı para n = 1 la longitud de onda es cuatro veces la longitud de la cuerda.

Tambi´en la distancia entre dos vientres consecutivos o entre dos nodos consecutivos es la mitad de la longitud de onda. Esta propiedad se cumple para todas las ondas estacionarias, independientemente de las condiciones de contorno e iniciales.

2.3.2. Energ´ıa cin´

etica, potencial, mec´

anica en una onda y potencia transmitida

por un punto en el caso de una onda estacionaria

1. Energ´ıa cin´etica:Como se ha visto antes la densidad de energ´ıa cin´etica es:

ηc(x, t) = µ 2 ∂y ∂t(x, t) 2

La funci´on de onda de una onda estacionaria es de la forma: yn(x, t) = Ansin(ωnt + βn) sin knx. La

densidad de energ´ıa cin´etica ser´a:

ηc(x, t) =

µ 2A

2

nωn2cos2(ωnt + βn) sin2knx

En las magnitudes periódicas interesa más su valor medio en un periodo que su valor instantáneo. Para calcular su densidad de energ´ıa cinética media en un periodo, se integra ηc(x, t) con respecto a t y se

divide por el valor del periodo T . El valor final es:

¯ ηc(x) = µ 4A 2 nωn2sin2knx

Como se puede ver, la densidad de energ´ıa cinética media en un periodo depende del punto considerado. Será nula en un nodo y máxima en un vientre. La energ´ıa cinética se calcula integrando la densidad media entre 0 y L. Su valor es:

(12)

Ecin= µL 8 A 2 nωn2 = mA2 nωn2 8

2. Energ´ıa potencial: Como se ha visto antes la densidad de energ´ıa potencial es:

ηP(x, t) = T

2 ∂y

∂x(x, t) 2

La funci´on de onda de una onda estacionaria es de la forma: yn(x, t) = Ansin(ωnt + βn) sin knx. La

densidad de energ´ıa potencial ser´a:

ηP(x, t) =

T 2A

2

nkn2sin2(ωnt + βn) cos2knx

Para calcular su densidad de energ´ıa potencial media en un periodo, se integra ηP(x, t) con respecto a t

y se divide por el valor del periodo T . El valor final es:

¯ ηP(x) = T 4A 2 nkn2cos2knx T = c2µ y ωn = knc =⇒ ¯ηP(x) = µA 2 nωn2 4 cos 2_k nx

La densidad media de energ´ıa potencial en un periodo depende tambi´en del punto, es m´axima en los nodos y nula en los vientres. Le energ´ıa potencial total vale:

EP ot=µL 8 A 2 nω2n= mA2nωn2 8 es decir, coincide con la cin´etica.

3. Energ´ıa mecánica: Como se ha visto antes la densidad de energ´ıa mecánica es la suma de densidad de energ´ıa potencial y de la de energ´ıa cinética. Pasando por alto sus valores instantáneos en un punto, se van a considerar sus valores medios en un periodo. Por los dos apartados anteriores, se tiene:

¯ ηE(x) = ¯ηc(x) + ¯ηP(x) = µA2 nωn2 4 sin 2_k nx + cos2knx ⇒ η¯E(x) = µA2 nω2n 4

La densidad media temporal de energ´ıa mec´anica es la misma en todos los puntos de la cuerda.La energ´ıa total vale:

E = mA

2 nω2n

4 y no var´ıa con el tiempo. Se trata de un sistema conservativo.

4. Potencia transmitida por un punto: Aplicando la expresi´on obtenida antes a la onda estacionaria yn(x, t) = Ansin(ωnt + βn) sin knx, se obtiene la expresi´on:

P = ˙W = −T A2nωnkncos(ωnt + βn) sin(ωnt + βn) cos knx sin knx

Este valor instant´aneo es cero en los nodos, se anula ∂y

∂t, y en los vientres, se anula ∂y

∂x. En los demás puntos es distinto de cero en salvo cuando la cuerda está en posición horizontal. Si dado un punto fijo se calcula la potencia media transmitida en un periodo, el resultado es cero. La potencia va en uno y otro sentido de forma que al cabo de un periodo, no se ha transmitido nada. Este es un argumento más que prueba que las ondas estacionarias no se propagan.

2.4. Ondas arm´

onicas que se propagan en una cuerda

Una vez vistas las ondas estacionarias, se van a ver las ondas que se propagan en una cuerda. Se supone, por comodidad, que avanzan hacia la derecha. Su funci´on de onda es:

(13)

Ondas ₁₃

2.4.1. Energ´ıa cin´

etica, potencial y mec´

anica en una onda que se propaga

1. Energ´ıa cin´etica:Como se ha visto antes la densidad de energ´ıa cin´etica es:

ηc(x, t) = µ 2 ∂y ∂t(x, t) 2 = µA 2_ω2 2 sin 2_{(kx − ωt + α)}

Su valor medio en un periodo es:

¯ ηc(x) =

µA2_ω2

4 ; ∀x ∈ [0, L]

Este valor medio coincide con el valor medio por unidad de longitud. Para verlo basta integrar respecto a x entre 0 y λ y dividir por λ. La energ´ıa cin´etica ser´a por tanto:

Ec=

mA2_ω2

4 siendo m la masa de la cuerda.

2. Energ´ıa potencial: Como se ha visto antes la densidad de energ´ıa potencial es:

ηP(x, t) = T 2 ∂y ∂x(x, t) 2 = T A 2_k2 2 sin 2_{(kx − ωt + α)}

Teniendo en cuenta que T = µc2y ω = ck, queda:

ηP(x, t) = µA 2_ω2

2 sin

2_{(kx − ωt + α)}

que coincide con la densidad de energ´ıa cinética. Las densidades de energ´ıa cinética y potencial son iguales para toda onda armónica que se propaga en una cuerda. Este resutado se puede generalizar a cualquier onda transversal que se propaga en una cuerda.

El valor de la energ´ıa potencial transportada por la onda es igual al de la energ´ıa cin´etica.

3. Energ´ıa mecánica: El valor de la densidad de energ´ıa mecánica es el doble de la de energ´ıa cinética y por tanto la energ´ıa de la onda es:

E =mA

2_ω2

2 siendo m la masa de la cuerda.

2.4.2. Potencia transmitida por un punto de una onda que se propaga

La expresi´on es la misma que la usada anteriormente. Si se considera un onda que se propaga hacia la derecha su funci´on de onda es de la forma ϕ(x−ct). La componente vertical de la fuerza, que ejerce el punto x sobre la cuerda, es −T∂y

∂x(x, t) = −T dϕ du

∂u

∂x donde u = x − ct y la velocidad de oscilaci´on es ∂y ∂t(x, t) = dϕ du ∂u ∂t = −c. La potencia transmitida es:

˙

W = T c dϕ du

2

Como puede verse la transmisi´on es positiva, es decir, va en el mismo sentido que la propagaci´on.

Si ahora se considera una onda que se propaga en sentido negativo Ψ(x + ct), haciendo v = x + ct, se tiene para la potencia transmitida la expresi´on:

˙

W = −T c dΨ dv

2

Como puede verse la transmisión es negativa, es decir, va en el mismo sentido que la propagación. En general: la propagación de la onda y la transmisión de potencia van en el mismo sentido.

(14)

En el caso de una onda armónica, se tiene: y(x, t) = A cos(kx ∓ ωt + α). El signo − corresponde a propagación hacia la derecha y el + hacia la izquierda. La potencia instantánea, en el punto x y el instante t, es:

P (x, t) = ˙W (x, t) = ± T k ω A2 sin2(kx ∓ ωt + α)

Para calcular la potencia media transmitida en un periodo, se integra la potencia entre 0 y T y se divide la integral por T , el resultados es:

¯ P = ¯˙W = ±T kωA 2 2 = ± µc2_kωA2 2 =⇒ P = ¯˙¯ W = ± µA2_ω2 2 c El signo + corresponde a propagaci´on hacia la derecha y el − hacia la izquierda.

2.5. Impedancia de una cuerda

La impedancia de una cuerda a las ondas transversales, cuando no hay disipación de energ´ıa, está determinada por dos parámetros relacionados con el almacenamiento de energ´ıa, inercia y elasticidad y además será real. Este es el caso de las ondas trnsversales vistas aqu´ı.

La impedancia de una cuerda viene dada por:

Z = Fuerza transversal velocidad transversal = T∂y_∂x ∂y ∂t Si la onda es del tipo y(x, t) = Aei(kx±ωt), su impedancia es:

Z = T k ω =

µc2_k

ω = µc

Las dimensiones de esta impedancia son masa

tiempo. Por esta raz´on en el sistema internacional se mide en Kg

s .

2.6. Cambio de medio: reflexi´

on y transmisi´

on de ondas en el

con-torno de una cuerda

Una cuerda, en rojo en la figura, está formada por dos materiales diferentes y sus dos partes se unen en x = 0. A la izquierda está el medio 1, la cuerda está formada por un material y al derecha el 2. La frecuencia es igual a ambos lados, ya que no se crean ni se destruyen ondas, sin embargo la densidad es diferente a ambos lados del eje y y por lo tanto, también lo son los números de ondas y las velocidades de propagación. La deformación de la cuerda en x = 0 es la misma a ambos lados en todo instante, la cuerda no se rompe. La tensión tiene la misma componente horizontal, pero de signo contrario, a ambos lados y la componente vertical debe ser la misma, en caso contrario la cuerda acabar´ıa por romperse.

1 2 X Y Incidente Reflejada Transmitida

(15)

Ondas ₁₅

En el medio 1 est´an superpuestas las ondas incidente y reflejada, que constituyen y1(x, t) = yi(x, t) + yR(x, t),

y en el medio 2 est´a la onda y2(x, t) que se transmite.

Las condiciones en x = 0 son

y1(0, t) = y2(0, t)

T∂y1

∂x(0, t) = T ∂y2

∂x(0, t)

Haciendo: yi(x, t) = A1ei(k1x−ωt), yR(x, t) = B1e−i(k1x+ωt)y y2(x, t) = A2ei(k2x−ωt), se tiene:

A1 + B1 = A2

k1(A1 − B1) = k2A2

Si ahora se expresan las k en funci´on de las impedancias kj = ω

cj y se tiene en cuenta que Zj =

T

cj, se obtiene:

kj=

Zjω

T , que se sustituye en las ecuaciones de las amplitudes y se obtienen los siguientes coeficientes:

Coeficiente de reflexi´on de amplitudes = RA=

B1

A1

=Z1−Z2 Z1+ Z2

Coeficiente de transmisi´on de amplitudes = TA=

A2

A1 =

2Z1

Z1+ Z2

Casos posibles

Z2< Z1 ⇒ B1y A1 mismo signo, A2> A1, hay reflexi´on sin cambio de fase.

Z2= Z1 ⇒ B1= 0, A2= A1 la cuerda es igual a ambos lados, no hay reflexi´on y la onda no se altera.

Z2> Z1 ⇒ B1y A1 distinto signo, A2< A1, hay reflexi´on con cambio de fase.

Z2→ ∞ ⇒ A2→0, B1→ −A1, reflexi´on total con cambio de signo.

2.6.1. Coeficientes de transmisi´

on y reflexi´

on para la energ´ıa

Al punto en el que tiene lugar el cambio de medio, llega una potencia: ¯˙Wi =

µ1ω2A21c1 2 = Z1A21ω2 2 , la onda reflejada transporta: ¯˙WR= µ1ω2B12c1 2 = Z1B21ω2

2 y la onda transmitida al medio 2 transporta: ¯˙ WT = µ2ω2A22c2 2 = Z2A22ω2 2

Coeficiente de transmisi´on de energ´ıa = TE=

¯˙ WT ¯˙ Wi = 4Z1Z2 (Z1+ Z2)2 .

Coeficiente de reflexi´on de energ´ıa = RE =

¯˙ WR ¯˙ Wi = (Z1−Z2) 2 (Z1+ Z2)2 .

(16)

Ondas longitudinales en gases: ondas

sonoras

(17)

Ondas ₁₇

3.1. Ondas longitudinales en un tubo cil´ındrico lleno de un gas

ideal

Se tiene un tubo cil´ındrico de sección circular uniforme, S, que está lleno de un gas ideal (p. ej. aire), que está en equilibrio a una presión P0, cuya densidad es ρ0y cuya temperatura es T0. Se considera el gas, que en equilibrio

ocupa un volumen ∆V = S∆x.

P0 _ρ0 P0

T0

∆x

Se hace vibrar un diapasón en uno de los extremos del tubo. As´ı se provocan compresiones y dilataciones a lo largo del tubo.El gas, que ocupaba antes ∆x, ahora ocupa ∆x + ∆φ (si ∆φ > 0, hay una dilatación y si ∆φ < 0, una compresión). La densidad, ρ(x, t), ahora no es constante, depende del punto y el instante. La perturbación φ(x, t), desplazamiento de una “sección” de gas de su posición de equilibrio, también depende de x y t.

∆ P _ρ T P + x + ∆φ ∆P

La ecuaci´on, que cumple el desplazamiento en un punto x y en un instante t, es:

∂2_φ

∂t2(x, t) = c 2∂2φ

∂x2(x, t)

siendo: c = r γRT0

M . Aqu´ı γ es la constante adiabática del gas, T0la temperatura del equilibrio, R la constante de los gases y M la masa molecular del gas. La intervención de gamma se debe a que las ondas longitudinales se consideran procesos adiabáticos porque, dada su frecuencia, el gas no tiene tiempo para intercambiar calor con su entorno. Las ondas son longitudinales porque la perturbación φ es paralela a la velocidad de propagación de las ondas. Las compresiones y dilataciones tienen lugar en la dirección en la que avanza la onda.

3.1.1. Demostraci´

on de la ecuaci´

on de ondas longitudinales en un gas

Para demostrar la ecuación de las ondas longitudinales son necesarias dos ecuaciones básicas: la de conservación de la masa del gas y la de la segunda ley de Newton.

1. Conservaci´on de la masa: ρ0S∆x = ρS(∆x + ∆φ) ⇒ ρ0≈ρ 1 + ∆φ ∆x ≈ρ 1 + ∂φ ∂x

Como se ha visto en la introducción general de ondas tanto las perturbaciones como todas sus deriva-das son pequeñas. Aplicando Taylor a orden uno, se obtiene la expresión de la densidad en función del desplazamiento: ρ = ρ0 1 + ∂φ ∂x −1 ⇒ ρ ≈ ρ0 1 −∂φ ∂x

2. Segunda ley de Newton: La masa de gas es: ρ0∆xS. La velocidad de desplazamiento de este gas es:

∆φ ∆t ≈

∂φ ∂t ⇒

∂2_φ

∂t2 es su aceleraci´on. La segunda ley de Newton es:

ρ0S∆x ∂2_φ ∂t2 = −S∆p ≈ −S∆x ∂p ∂x ⇒ ρ0 ∂2_φ ∂t2 = − ∂p ∂x

(18)

El problema ahora es calcular ∂p

∂x. La variable relacionada con x es el desplazamiento φ(x, t), que a su vez está relacionado con ρ(x, t). La densidad y la presión están relacionadas a través de la ecuación del proceso, que tiene lugar en la formación y propagación de las ondas de presión. Si la relación entre p y ρ en este proceso se designa como p = p(ρ)proceso, se cumple:

−∂p ∂x = − dP dρ proceso ∂ρ ∂x = ρ0 dP dρ proceso ∂2_φ ∂x2(x, t).

S´olo se van a considerar procesos en los que: dP dρ

proceso

> 0.

Para estos procesos se verifica:

∂2_φ ∂t2(x, t) = c 2∂2φ ∂x2(x, t) c = s dp dρ proceso

Para un proceso adiab´atico se cumple:

pVγ _{= C ⇒ p =} C Vγ; como ρ = m V ⇒ p = Cργ mγ ⇒ p = ˜Cρ γ _=⇒ dp dρ = γ ˜Cργ ρ = γP0 ρ0 =⇒ dp dρ = γRT0 M =⇒ c = r γRT0 M

El m´odulo de compresibilidad y la velocidad de las ondas de presi´on.

Se ha visto que c = s dp dρ proceso

, ahora se va a calcular c de una forma diferente, muy frecuente en los libros de texto y de problemas. dp dρ ad = dp dV ad dV dρ = − V ρ dp dV ad

Esta expresión se ha obtenido teniendo en cuenta la relación entre V y ρ y operando. Se define el módulo de compresibilidad adiabática como:

Ba= −V

dp dV

ad

Con esta definici´on la velocidad de propagaci´on es: c = s

Ba

ρ0 . El c´alculo de Ba da γP0 y la velocidad c

coincide con la anterior.

3.2. Ecuaciones de las ondas ac´

usticas para las dem´

as magnitudes

del gas

Las perturbaci´on de cualquier magnitud, respecto a su valor de equilibrio, cumple, a primer orden, la ecuaci´on de ondas

1. Velocidad de oscilaci´on v(x, t) =∂φ ∂t(x, t) ∂2_v ∂t2(x, t) = c 2∂2v ∂x2(x, t)

(19)

Ondas ₁₉ ∂2_ρ ∂t2(x, t) = c 2∂2ρ ∂x2(x, t) 3. Presi´onp(x, t) ∂2_p ∂t2(x, t) = c 2∂2p ∂x2(x, t) 4. Temperatura T (x, t) ∂2_T ∂t2(x, t) = c 2∂2T ∂x2(x, t)

En todas estas ecuaciones la velocidad de propagaci´on es: r γRT0 M

3.3. Relaciones de fase y amplitud entre las diversas perturbaciones

en una onda de presi´

on

Las perturbaciones de todas las magnitudes, excepto el desplazamiento, est´an en fase entre s´ı y retrasadas en π

2 respecto al desplazamiento. 1. Velocidad de oscilaci´on y desplazamiento.

φ(x, t) = φmei(kx−ωt) y v(x, t) = ∂φ

∂t(x, t) =⇒ v(x, t) = −iωφme

i(kx−ωt) _=⇒

v(x, t) = vmei(kx−ωt−π/2) y vm= φmω

2. Velocidad de oscilaci´on y presi´on.

v = vmei(kx−ωt−π/2) y ρ0∂v ∂t(x, t) = − ∂p ∂x(x, t) =⇒ ∂p ∂x(x, t) = iωρ0vme i(kx−ωt−π/2) _=⇒ p(x, t) = ρ0ωvm k e i(kx−ωt−π/2) _{=⇒ p(x, t) = p} mei(kx−ωt−π/2) y pm= ρ0vmc

3. Velocidad de oscilaci´on y densidad.

ρ = ρ0 1 −∂φ ∂x ⇒ ∂ρ ∂t = −ρ0 ∂v ∂x y v(x, t) = vme i(kx−ωt−π/2) _=⇒ ∂ρ ∂t(x, t) = −iρ0vmke i(kx−ωt−π/2) _{=⇒ ρ(x, t) =} ρ0vmk ω e i(kx−ωt−π/2) _=⇒ ρ(x, t) = ρmei(kx−ωt−π/2) y ρm= ρ0vm c 4. Temperatura y densidad.

TT otal= T0+ T (x, t), ρT otal= ρ0+ ρ(x, t) y TT otal = ˜Cργ−1_{T otal} =⇒

T0+ T (x, t) = ˜C ρ0+ ρmei(kx−ωt−π/2) γ−1 ⇒ T (x, t) ≈ ˜C(γ − 1)ρm ρ0 ργ−10 ei(kx−ωt−π/2)⇒ T (x, t) = T0(γ − 1)ρm ρ0 ei(kx−ωt−π/2) =⇒ T (x, t) = Tmei(kx−ωt−π/2) y Tm= T0(γ − 1)ρm ρ0

3.4. Potencia transportada por una onda sonora. Intensidad y

sen-saci´

on sonora

Como ya se ha visto la potencia transportada por una onda, dejando de lado su signo, es: ˙ W (x, t) = F · ~v~ osc ; si p(x, t) = pmcos(kx − ωt) y v(x, t) = vmcos(kx − ωt) ⇒ ˙ W (x, t) = Spmvmcos2(kx − ωt) =⇒ ¯˙W = Spmvm 2

(20)

Como pm= ρ0vmc la potencia media transportada por una onda sonora es: ¯˙ W = Sρ0v 2 mc 2

3.4.1. Intensidad.

M´as interesante que la potencia transportada por una onda sonora es la:

Intensidad :La intensidad de una onda, en un puntox y un instante t, es la potencia transportada por la onda por unidad de superficie en ese punto y ese instante.

I(x, t) =W˙ S (x, t) = ρ0v 2 mc cos2(kx − ωt) =⇒ I =¯ ρ0vm2c 2 = pmvm 2

3.4.2. Sensaci´

on sonora, nivel de intensidad sonora

La sensación fisiológica de fuerza de un sonido var´ıa logar´ıtmicamente con la intensidad de este. Como en toda sensación hay un valor umbral de intensidad, I0 = 10−12w/m2, por debajo del cual el oido medio no oye. Hay

tambi´en un valor m´aximo de intensidad Imax = 1w/m2, por encima del cual no se oye, se siente dolor. La

sensaci´on sonora,β entre estos valores se mide en decibelios dB y su escala viene dada por la expresi´on:

β = 10 log10

I I0

dB

El nivel de intensidad sonora es el valor de la intensidad para la que se oye y est´a comprendido entre = 10−12w/m2 y 1w/m2. estos valores de intensidad sonora correponden a unos valores de los niveles de intensidad sonora entre 0dB y 120dB.

3.5. Impedancia de una onda ac´

ustica

Por definici´on:

Z = p ∂φ ∂t −1 = pm vm como pm= ρ0vmc =⇒ Z = ρ0c La impedancia se mide en Kg

m2_s, cuando se mide en el sistema internacional de unidades.

3.6. Densidades de energ´ıa cin´

etica, potencial y mec´

anica

La densidad de energ´ıa cin´etica, energ´ıa cin´etica por unidad de volumen, es:

ρcin=ρ0 2 ∂φ ∂t 2 = ρ0v 2 m 2 sin

2_{(kx − ωt),} _{su valor medio en un periodo es:} _ρ_¯

cin= ρ0v 2 m

4

La densidad de energ´ıa potencial, energ´ıa potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor que la de energ´ıa cin´etica para una onda que se propaga.

La densidad de energ´ıa mecánica, energ´ıa mecánica por unidad de volumen, su valor es dos veces él de la densidad de energ´ıa cinética, para una onda que se propaga.

3.7. Ondas esf´

ericas

Se va a calcular la ecuación de una onda esférica de dos maneras. Una mediante razonamiento basado en la conservación de la energ´ıa y la otra obteniendo la ecuación de una onda esférica.

(21)

Ondas ₂₁

R2

R1

O

1. Conservación de la energ´ıa:Se considera un emisor puntual, O, en un espacio homogéneo e isótropo. Las ondas que emite son superficies esféricas, que van alejándose del punto. Como no hay absorción de energ´ıa, a todas las superficies esféricas llega la misma potencia. Si se consideran las superficies de radios R1y R2, se verifica:

˙

W1= ˙W2= ˙W =⇒ ˙W (x, t) = Sρ0cvm2 cos2(kx − ωt) es independiente del radio =⇒

ρ0cvm12 4πR21= ρ0cv2m24πR22 =⇒ vm12 R21= vm22 R22; ∀vm y ∀r =⇒ vm=

Av

r

En este caso la amplitud de la velocidad debe ser una constante, propia de la velocidad, dividida por la distancia al foco emisor. Lo mismo debe ocurria con todas las magnitudes de esta onda sonora, que cumplan la ecuaci´on de ondas. As´ı las ecuaciones de onda son de la forma:

a) Desplazamiento: φ(r, t) = Aφ

r f (r−ct) y para una onda arm´onica φ(r, t) = Aφ

r cos(kr − ωt + α + π 2) .

b) Velocidad de oscilaci´on:v(r, t) = Av

r f (r − ct) y para una onda arm´onica: v(r, t) = Av

r cos(kr − ωt + α) .

c) Perturbaci´on de la presi´on de equilibrio:p(r, t) = Ap

r f (r − ct) y para una onda arm´onica: p(r, t) = Ap

d) Perturbaci´on de la densidad de equilibrio:ρ(r, t) = Aρ

r f (r − ct) y para una onda arm´onica: ρ(r, t) = Aρ

e) Perturbaci´on de la temperatura de equilibrio:T (r, t) =AT

r f (r−ct) y para una onda arm´onica: T (r, t) = AT

2. Ecuación para las ondas esféricas: Un onda esférica viene caracterizada por una función de onda f (r, t), que sólo depende de la distancia al foco emisor, r, y del tiempo, t. Siendo r =px2_{+ y}2_{+ z}2_{. Su}

(22)

∂2f ∂x2(r, t) + ∂2f ∂y2(r, t) + ∂2f ∂z2(r, t) = 1 c2 ∂2f ∂t2(r, t)

Ahora se cambia de variables la ecuaci´on, se pasa de (x, y, z) → (r, t). Para ello se empieza por ∂f ∂x. ∂f ∂x(r, t) = ∂f ∂r(r, t) ∂r ∂x = x r ∂f ∂r(r, t) ⇒ ∂2_f ∂x2(r, t) = x2 r2 ∂2_f ∂r2(r, t) + ∂f ∂r(r, t) 1 r − x2 r3 ∂f ∂y(r, t) = ∂f ∂r(r, t) ∂r ∂y = y r ∂f ∂r(r, t) ⇒ ∂2_f ∂y2(r, t) = y2 r2 ∂2_f ∂r2(r, t) + ∂f ∂r(r, t) 1 r − y2 r3 ∂f ∂z(r, t) = ∂f ∂r(r, t) ∂r ∂z = z r ∂f ∂r(r, t) ⇒ ∂2_f ∂z2(r, t) = z2 r2 ∂2_f ∂r2(r, t) + ∂f ∂r(r, t) 1 r− z2 r3

Si se suman ahora las derivadas segundas y se tiene en cuenta la ecuaci´on de la onda sonora esf´erica, queda:

∂2_f ∂r2(r, t) + 2 r ∂f ∂r(r, t) = 1 c2 ∂2_f ∂t2(r, t) =⇒ c 2∂2(rf ) ∂r2 (r, t) = ∂2_{(rf )} ∂t2 (r, t)

Esta es una ecuaci´on de ondas para el producto rf (r, t) cuya soluci´on es de la forma:

f (r, t) = 1

rϕ(r − ct) y f (r, t) = 1

rAfcos(kr − ωt + α) si es una onda arm´onica.

3.8. Condiciones de contorno en tubos sonoros

En un extremo abierto de un tubo, la perturbación de la presión es nula, este extremo es un nodo de la presión. En un extremo cerrado la sobrepresión alcanza un máximo en valor absoluto. As´ı la perturbación de la presión tiene un nodo en un extremo abierto y un vientre en uno cerrado.

El desplazamiento es m´aximo en valor absoluto en un extremo abierto y nulo en un extremo cerrado. Tiene un vientre en un extremo abierto y un nodo en uno cerrado.

3.8.1. Coeficientes de transmisi´

on y reflexi´

on para la velocidad de oscilaci´

on y la

presi´

on

Cuando una onda sonora llega a una superficie que separa dos medios de impedancias acústicas distintas, hay que tener en cuenta dos condiciones de contorno, al considerar la reflexión y transmisión de la onda. Estas son:

1. -La velocidad de oscilaci´on: ˙φi+ ˙φr= ˙φt.

2. -La perturbaci´on de la presi´on: pi+ pr= pt.

Donde el sub´ındice i indica incidente, r reflejada y t transmitida. ˙

φi+ ˙φr= ˙φt ⇒ vmi+ vmr= vmt.

pi+ pr= pt ⇒ Zivmi−Zivmr= ZDvmt

Aqu´ı se obtiene para la velocidad de desplazamiento:

RAv = Zi−ZD Zi+ ZD y TAv = 2Zi Zi+ ZD .

y para las amplitudes de la presi´on:

pr= −Zivmr y las ecuaciones anteriores RAp= −RAv y TAp= TAv

ZD

(23)

Ondas ₂₃ RAp= Zi−ZD Zi+ ZD y TAp= 2ZD Zi+ ZD

3.8.2. Coeficientes de transmisi´

on y reflexi´

on para la energ´ıa

La relación entre la energ´ıa transmitida y la incidente es la mima que la relación entre la intensidad transmitida y la incidente. El coeficiente de transmisión para le energ´ıa es:

TE= It Ii = ρDcDv 2 mD ρicivmi2 = ZD Zi _2Z i Zi+ ZD 2 =⇒ TE= 4ZiZD (Zi+ ZD)2

Análogamente la relación entre la energ´ıa reflejada y la incidente es la misma que entre la intensidad reflejada y la incidente. El coeficiente de reflexión para le energ´ıa es:

RE = Ir Ii = v 2 mr v2 mi =⇒ RE= Zi−ZD Zi+ ZD 2

(24)

(25)

Ondas ₂₅

A.1.

Integraci´

on de funciones trigonom´

etricas

En las partes siguientes del curso se usarán integrales definidas, entre 0 y su periodo, de funciones trigonométricas y sus cuadrados. Por esta razón se va a dar aqu´ı un resumen de como calcularlas.

A.1.1.

Formas directas

Las formas directas son: Z 2π 0 sin ϕdϕ, Z 2π 0 cos ϕdϕ, Z 2π 0 sin2ϕdϕ, Z 2π 0 cos2_ϕdϕ, Z 2π 0 cos ϕ sin ϕdϕ Z 2π 0 cos ϕ cos αdϕ 1. Z 2π 0

sin ϕdϕ = [−cosϕ]2π₀ = cos 0 − cos 2π = 0

2. Z 2π 0 cos ϕdϕ = [sinϕ]2π₀ = 0 3. Z 2π 0 sin2_{ϕdϕ .}

Para resolver esta integral hay que usar dos igualdades trigonom´etricas.

cos2ϕ + sin2ϕ = 1 cos2_{ϕ − sin}2_{ϕ =} _{cos 2ϕ}

De este sistema se deduce:

sin2ϕ = 1 2 − 1 2cos 2ϕ ⇒ Z 2π 0 sin2ϕdϕ = 1 2 Z 2π 0 (1 − cos 2ϕ) dϕ =⇒ Z 2π 0 sin2ϕdϕ = π 1 2π Z 2π 0 sin2ϕdϕ = 1 2 4. Z 2π 0

cos2ϕdϕ . Del sistema de ecuaciones del apartado anterior, se deduce tambi´en:

cos2ϕ =1 2 + 1 2cos 2ϕ ⇒ Z 2π 0 cos2ϕdϕ = 1 2 Z 2π 0 (1 + cos 2ϕ) dϕ =⇒ Z 2π 0 cos2ϕdϕ = π 1 2π Z 2π 0 cos2ϕdϕ = 1 2 5. Z 2π 0 cos ϕ sin ϕdϕ = 1 2 Z 2π 0 sin 2ϕdϕ = 0 . 6. Z 2π 0

cos ϕ cos αdϕ = cos α Z 2π

0

cos ϕdϕ = 0

A.1.2.

Expresiones usadas en ondas estacionarias

Sea la onda estacionaria yn(x, t) = Ansin(ωnt + βn) sin knx . Se quiere calcular su densidad de energ´ıa cin´etica

media en un periodo, su densidad de energ´ıa potencial media en un periodo y su densidad media de energ´ıa mec´anica en un periodo y tambi´en la potencia media transmitida por un punto en un periodo.

1. Densidad media de energ´ıa cin´etica en un periodo: La densidad de energ´ıa cin´etica en un punto x y un instante t vale: ηc(x, t) = µA 2 nω2n 2 cos 2_(ω nt + αn) sin2knx

(26)

Para hacer la integral Z Tn

0

cos2(ωnt + αn)dt, se hace el cambio: ωnt + αn= φn.

ωnt + αn = φn ⇒ dt = dφn

ωn

Cuando t = 0, φn= βn y cuando t = Tn, φn = βn2π. Se va a calcular:

1 Tn Z 2π 0 cos2_(ω nt + αn)dt. 1 Tn Z 2π 0 cos2(ωnt + αn)dt = 1 2π Z βn+2π βn cos2φndφn= 1 2 As´ı se cumple: ¯ ηc(x) = µA2 nω2n 4 sin 2_k nx

2. Densidad media de energ´ıa potencial en un periodo: La densidad de energ´ıa potencial en un punto x y un instante t vale: ηP(x, t) = T A2 nk2n 2 sin 2_(ω nt + αn) cos2knx

Queda por resolver la integral: Z Tn

0

sin2(ωnt + αn)dt. Para ello se hace el cambio del apartado anterior

y se tiene: 1 Tn Z 2π 0 sin2(ωnt + αn)dt = 1 2π Z βn+2π βn sin2φndφn= 1 2 As´ı se cumple: ¯ ηP(x) = T A 2 nk2n 4 cos 2_k nx

teniendo en cuenta que T = µc2_{y ω}

n= ckn queda: ¯ ηP(x) = µA 2 nω2n 4 cos 2_k nx

3. Densidad media de energ´ıa mec´anica en un periodo: La densidad media de energ´ıa mec´anica en un periodo es: ¯ ηE(x) = ¯ηc(x) + ¯ηP(x) = µA 2 nωn2 4 sin 2_k nx + cos2knx ⇒ η¯E(x) = µA 2 nω2n 4 4. Potencia media transmitida por un punto en un periodo:

P (x, t) = ˙W (x, t) = −T∂y ∂x(x, t)

∂y

∂t(x, y) = T knωncos knx sin knx cos(ωnt + αn) sin(ωnt + αn) ⇒ ¯ P (x) = ¯˙W (x) = T knωncos knx sin knx 1 Tn Z Tn 0 cos(ωnt + αn) sin(ωnt + αn) dt =⇒ P (x) = ¯˙¯ W (x) = 0 .

A.1.3.

Expresiones usadas en ondas arm´

onicas que se propagan

Para la onda arm´onica que se propaga:

y(x, t) = A cos(kx ∓ ωt + alpha)

se van a calcular su densidad de energ´ıa cinética media en un periodo, su densidad de energ´ıa potencial media en un periodo y su densidad media de energ´ıa mecánica en un periodo y también la potencia media transmitida por un punto en un periodo.

1. Densidad media de energ´ıa cin´etica en un periodo: La densidad de energ´ıa cin´etica en un punto x y un instante t vale:

(27)

Ondas ₂₇ ηc(x, t) = µA2 nω2n 2 sin 2_{(kx ∓ ωt + alpha) ⇒ ¯}_{η(x) =} µA2nωn2 2T Z T 0 sin2(kx ∓ ωt + α)dt. Se hace: kx ∓ ωt + α = φ ⇒ dt = ∓dφ

ω . Cuando φ = kx + ωt + α los l´ımites de integraci´on son φ = 2π + kx + α y φ = kx + α y la densidad es: ¯ ηc(x) = µA2 nωn2 2 1 2π Z 2π+kx+α kx+α sin2φ dφ =⇒ ¯ηc(x) = µA2 nωn2 4 Cuando φ = kx − ωt + α, dt = −dφ

ω y los l´ımites de integraci´on son φ = −2π + kx + α y φ = kx + α. La densidad es: ¯ ηc(x) = − µA2_ω2 2 1 2π Z −2π+kx+α kx+α sin2φ dφ =⇒ ¯ηc(x) = µA2_ω2 4

La densidad media en un periodo de energ´ıa cin´etica es constante en todos los puntos y vale: η¯c(x) =

µA2_ω2

4 2. Densidad media de energ´ıa potencial en un periodo: La densidad de energ´ıa potencial en un punto

x y un instante t vale: ¯ ηP(x) = T A 2_k2 2 1 T Z T 0 sin2(kx ∓ ωt + α) dt =⇒ ¯ηP(x) = T A 2_k2 4 = µA2_ω2 4 ; ∀x

La densidad media en un periodo de energ´ıa potencial es constante en todos los puntos e igual a la densidad media de enrg´ıa cin´etica en un periodo, su valor es: η¯P(x) = µA

2_ω2

4

3. Densidad media de energ´ıa en un periodo: De acuerdo a lo calculado previamente la densidad media de energ´ıa en un periodo vale:

¯

η = ¯ηc+ ¯ηP = µA 2_ω2

2 4. Potencia media transmitida por un punto en un periodo:

P (x, t) = ˙W (x, t) = −T∂y ∂x(x, t) ∂y ∂t(x, y) = T kωA 2_sin2_{(kx ∓ ωt + α) =⇒} _{P = ¯˙}_¯ _{W =} T kωA2 2 = µA2_ω2 2 c