MATRICES SELECTIVIDAD

(1)

MATRICES SELECTIVIDAD

1.- Sea K un número natural y sean las matrices

1 1 1 A 0 1 0 0 0 1            0 B 1 1        _   





C 1 1 2 a) Calcular Ak.

b) Hallar la matriz X que verifica que AK X = B C.

Solución: K 1 K K A 0 1 0 0 0 1            ; 0 0 0 X 1 1 2 1 1 2        _ _ _    2.- Dada la matriz 0 3 4 A 1 4 5 1 3 4     _   _ _    Se pide: a) Comprobar que se verifica la igualdad A3+I = 0. b) Justificar que A tiene inversa y calcularla. c) Calcular A100. Solución: b) 1 1 0 1 A 1 4 4 1 3 3        _   _     ; c) A100 = -A

3.- Calcular el rango de la matriz A según los diferentes valores del parámetro a

2 0 a 2 A 1 0 1 3 5 a 4 4 3      _  _  _ _ _   

Solución: si a≠-4,2 el Rng (A) = 3; Si a = -4 el Rng(A) = 2; si a = 2 el Rng(A) = 3

4.- Sea A una matriz real cuadrada de orden n que verifica la igualdad A2 = I, se pide: a) Expresar A-1 en términos de A.

b) Expresar An en términos de A e I.

c) Calcular a para que A2 = I, siendo A la matriz, A 1 1 0 a

 

  

 

Solución: a) A2 = I; b) An = I (para n par), An = A (para n impar); c) A 1 1

0 1

 

  _ 

 

5.- Comprobar, aplicando las propiedades de los determinantes la identidad:

(2)

6.- Encontrar un número real λ≠0 y todas las matrices B de dimensiones 2x2 (distintas de la matriz nula) tal que B λ 0 B 3 0

3 1 9 3              Solución:B x 0 , x,z R , λ=3 z 0   _ _     .

7.- a) Sean A y B dos matrices invertibles que verifican la identidad A + B = A·B. Comprobar que entonces se tiene la fórmula:

 

_{I B}_ 1__{B A}1 _.

b) Dada la matriz A 1 1

2 1



 

  _ 

 , hallar la matriz B que verifique que A+B = AB.

Solución:_B 0 12 1 0  _    _ _   

8.- Dadas las matrices

1 0 0 A 3 1 1 5 1 2      _  _  _    , 1 0 0 B 0 1 0 0 0 0     _  _    

a) Hallar la matriz inversa de A.

b) Hallar la matriz X, tal que: AXAT = B.

Solución: a) 1 1 0 0 A 1 2 1 2 1 1         _    ; b) 1 1 2 X 1 3 4 2 4 3      _   _ _ _   

1 2 0 A 0 1 2 0 2 3            , 1 1 2 B 1 1 1 0 1 3     _  _    

a) Determinar la matriz inversa de B. b) Determinar una matriz X tal que A = BX.

Solución: a) 1 4 1 3 1 B 3 3 3 3 1 1 0         _ _  _    b) 4 1 11 1 X 3 3 15 3 1 1 2       _ _  _   

10.- a) S i A es una matriz tal que _A2 0 0

0 0

 

  

  a) ¿Cuál es el valor del determinante de A? b) Calcular un número K tal que

2 3 4 1 0 0 0 K 1 1 0 1 0 0           _              Solución: a) det(A) = 0; b) K = 1.

11.- Hallar una matriz X tal que A-1XA = B, siendo A 3 1

(3)

Solución: X 9 11 6 7    _ _    12.- Sea la matriz 2 2 2 A 2 2 2 2 2 2      _  _  _    a) Comprobar que: A3 – 2A2 =0 . b) Hallar An. Solución: An = 2n-1ª.

13.- Dadas las matrices A 1 2

0 1       , 1 0 I 0 1       

a) Hallar dos constantes α y β tales que A2 = αA + Βi.

b) Calcular A5 utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior.

Solución: a) α = 2, β = -1; b) A5 = 5ª – 4I

0 K t A 0 0 K 0 0 0            ; 1 K t B 0 1 K 0 0 1            a) Hallar A10.

b) Hallar la matriz inversa de B.

Solución: a) A10 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0           ; 2 1 1 k k t B 0 1 k 0 0 1        _  _     15.- Dada la matriz A 1 2 0 1     

  encontrar todas las matrices

a b p c d        tales que AP = PA Solución:p a b 0 a        16.- Dada la matriz 2 1 a M 2a 1 1 2 a 1      _  _    

a) Determinar el rango de M según los valores del parámetro a.

(4)

17.- Se consideran las matrices 2 2 1 A 1 1 1 1 2 2       _  _ _ _    ; 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1            Se pide a) Hallar (A – I)2.

b) Calcular A4 haciendo uso del apartado anterior.

Solución: a) 2 0 0 0 (A I) 0 0 0 0 0 0             ; b) 4 5 8 4 A 4 7 4 4 8 5       _  _ _ _   

18.- Dada las matrices A 3 1

8 3    _ _   , 1 0 I 0 1       

a) Comprobar que det(A2) = (det(A))2 y que det(A + I) = det(A) + det(I).

b) Sea M una matriz cuadrada de orden 2 ¿Se puede asegurar que: det(M2)=(det(M))2?

c) Encontrar todas las matrices cuadradas M, de orden 2, tales que: det (M + I) = det(M) + det(I).

Solución: a)si; b)si; c) M a b

c a

 

  _ 

 

19.- a) Hallar todas las matrices A a a

0 b

 

  

 distintas de la matriz nula, tales que A

2

= A. b) Para cualquiera de las matrices A obtenidas en el apartado anterior, calcular:

M = A + A2 + A3 + ……. + A10 Solución: a) A 0 0 0 1       ; b) 10 10 M 0 0       

20.- Estudiar el rango de la matriz

m m 1 m(m 1) A m 1 m m 1 m 1           _   

según los valores del parámetro m.

Solución: m≠0 y 2 (Rng 3); m = 0 (Rng 2); m = 2 (Rng 2)

21.- Sean las matrices A 2 0

0 1     _    y 8 9 B 6 7     _ 

  Hallar una matriz X tal que XAX

-1_{= B.} Solución: _X 3z2 t z t         

5 2 0 A 2 5 0 0 0 1            a b 0 B c c 0 0 0 1           

(5)

b) Para a = b = c = 1; calcular B10. Solución: a) a = b = c; b) 9 9 10 9 9 2 2 0 B 2 2 0 0 0 1           

23.- Calcular una matriz cuadrada X, sabiendo que verifica XA2 + BA = A2.

Solución: 1 0 0 X 0 1 0 0 0 1      _  _  _   

24.- Dada la siguiente matriz de orden n

1 1 1 ... 1 1 9 1 ... 1 1 1 9 ... 1 ... ... ... ... ... 1 1 1 ... 9   _           _ _ _    a) Calcular el determinante de A2. b) Calcular el determinante de A3. c) Calcular el determinante de A5. Solución: a) A2 = 10; b) A3 = 100; A5 = 10.000

25.- Sean las matrices A 1 1

0 1        Y 7 3 B 8 3      _   

a) Hallar una matriz X tal que AXA-1 = B. b) Calcular A10.

c) Hallar todas las matrices M que satisfacen (A – M)(A + M) = A2 – M2.

Solución: a) X 1 1 8 5         ; b) 10 1 10 A 0 1       ; c) x y M 0 x        26.- Dada la matriz 2 a 1 1 A 2a 0 1 2 0 a 1          _   

a) Determinar el rango de A según los valores del parámetro a.

b) Decir cuando la matriz A es invertible; Calcular la inversa para a = 1.

(6)

27.- Dada la matriz a 1 1 A 1 a 1 1 1 a           

a) Estudiar el rango de la matriz según los valores del parámetro a. b) Obtener la matriz inversa de A para a = -1.

Solución: a) a ≠ -2 y 1 (Rng 3), a = -2 (Rng 2), a = 1 (Rng 1); b) 1 0 2 2 1 A 2 0 2 4 2 2 0             28.- Resolver la ecuación: 2 2 2 2 2(x 1) x 1 (x 1) x 1 x 1 x 1 0 (x 1) x 1 x 1           Solución:

29.- Si A =(C1,C2,C3) es un matriz cuadrada de orden 3 con columnas C1, C2, C3 y se sabe que

det(A)=4. Se pide:

a) Calcular el det(A3) y det (3A).

b) Calcular det(B) y det(B-1), sabiendo que B =(2C3,C1–C2,5C1) .

Solución: a) det(A3) = 64, det (3A) = 108; b) det(B) = 40, det(B-1) = 1/40

30.- Dada la matriz m 1 2m M m 1 2 0 1 1           

a) Determinar los valores del parámetro m para los cuales la matriz M es invertible. b) Determinar los valores del parámetro M, para los cuales la matriz M25 es invertible. c) Para m = -1, calcular, si es posible, la matriz inversa de M.

Solución: a) m ≠1, 0; b) m ≠1, 0; c) 1 1 3 4 1 A 1 1 4 4 1 1 0         _  _ _   

31.- Dadas las matrices A 4 2

1 1        , 4 2 B 3 1     _ 

 , obtener una matriz cuadrada X de orden 2, que verifique la ecuación matricial: AXB = A + B.

(7)

a) Hallar las constantes a, b tales que A2 = Aa + Bi.

b) Sin calcular explícitamente A3 y A4, y utilizando la expresión anterior, obtener la matriz A5.

Solución: a = -1, b = 3; b) _A5 2 19 19 59      _    33.- Sabiendo que 1 2 3 6 0 3 3 α β γ

 y utilizando las propiedades de los determinantes, calcular:

a) El determinante de la matriz 4 2 4 6 6 0 3 α β γ           b) 10 20 30 2 0 1 3α 3β 3γ c) 3α 2 3β 4 3γ 6 2α 2β 2γ α 6 β γ 3      Solución: a) 1296; b) 30; c) -12 34.- Dada la matriz 1 a 1 A 0 1 0 0 1 a           

Estudiar para que valores de a tiene inversa y calcularla siempre que sea posible.

Solución: a ≠ 0; 2 1 a 1 a 1 A 0 a 0 0 1 1            _   

35.- Obtener para todo número natural n, el valor de

n n 1 1 1 1 1 1 1 1         _      Solución: An + Bn = 2n-1 I 36.- Dada la matriz m 1 1 m 1 A 1 m 1 m 1 1 1 2 m 1      _  _  _    a) Estudiar el rango en función del parámetro m.

b) En el caso de m = 0 resolver el sistema x 0 y A 0 z 0 t                        Solución: a) m ≠2 (Rng 3), m = 2 (Rng 1), m = -1( Rng 2); b) (-λ, -λ, λ, 0) 37.- Dada la matriz a 0 a A a a 1 0 0 a a 2      _  _  _   

a) Estudiar el rango de A según los valores del parámetro a.

(8)

Solución: a) a ≠0, 2 (Rng 3), a = 2 (Rng 2), a = 0 (Rng 2); b) 1 0 1 0 A 3 3 1 1 1 0       _  _     38.- Dada la matriz 2 2a 2 a A 1 a 1 2 1 a       _  _    

a) Calcular el rango en función de los valores de a. b) Para a = 2, discutir el sistema

x 2 A y 1 z b        _            

en función de los valores de b y resolverlo cuando sea posible.

c) Para a = -1, resolver el sistema

x 1 A y 2 z 2        _             

Solución: a) a≠±2 (Rng 3), a=± 2 (Rng 2); b) b≠3 (S.I.), b=3 (S.C.I.), resultado (1 – λ,1, λ); c)(2,1,-3)

39.- a).Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones AX = B, donde:

0 1 m 1 A 0 m 1 1 m 2 0 0      _  _  _   _, x X y z           _, m B m m 2         _    b) Resolverlo para m = 0 y m = 1.

Solución: a) m ≠ 2, 0 (S.C.D.), m = 2 (S.I.), m = 0 (S.C.I.); b) m = 0 (-1, λ, λ), m = 1 (1, 1, -3)

2 1 1 A 1 0 1 2 2 3       _  _ _    , 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1            a) Calcular A2 – 4ª + 3I.

b) Demostrar que la matriz A-1 de A es 1/3(4I – A). c) Hallar la matriz inversa de A – 2I.

Solución: a) la matriz 0, c)





1 0 1 1 A 21 1 2 1 2 2 1         _   _ _   

41.- Calcula el rango de la matriz

(9)

42.- Dada la matriz senx cosx 0 M cosx senx 0 0 0 1     _  _    

a) Calcular el determinante de dicha matriz. b) Hallar la matriz M2.

c) Hallar la matriz M25.

Solución: a) det(M) = -1; b) M2 = I; c) M25 = M

0 1 2 A 2 1 0 1 a 1      _  _     , 4 1 1 2 B 2 3 7 8 3 2 a 3 a 3        _    _  _ _   

a) Estudiar el rango de la matriz B en función del parámetro a. b) Para a = 0, calcular la matriz X que verifique AX = B.

Solución: a ≠1 (Rng 3), a = 1 (Rng 2); b) 1 2 3 4 X 0 1 1 0 1 2 0 0 ₄          _     

44.- Calcular el valor del determinante

x 1 1 1 1 y 1 1 1 1 z 1 1 1 1 1

Solución: (x – 1)(y – 1)(z – 1)

45.- Sean a, b, c, d R , vectores columnas. Si det(a, b, d) 1; det(a, c, d) 3 ; det(b, c, d) 2 Calcular razonadamente el determinante de las siguientes matrices

a) det(a, 3d, b) b) det( a b, c, d)  c) det( d b, 2a, b 3a d)  

Solución: a) 3; b) -5; c) 0

1 λ 0 A 1 1 2 0 1 1         _ _    , 0 1 1 B 1 0 1 2 1 0     _  _    

a) Hallar el valor de λ para el cual la ecuación matricial XA = B tiene solución única. b) Calcular la matriz X para λ = 4.

(10)

Solución: λ = -1; b) 0 0 5 1 X 2 3 11 5 3 7 14             ; c) det(A2B) = - (1+λ)2 47.- a) Dada la matriz A 1 2 2 1       , x y X z t     

  obtener las relaciones que deben de cumplir x, y, z, t para que la matriz X verifique AX = XA.

b) Dar un ejemplo de la matriz X distinta de la matriz nula y de la matriz identidad que cumpla la igualdad anterior.

c) Calcular la inversa de la matriz A.

Solución:

48.- Dadas las matrices cuadradas A y B se sabe que:

2 1 0 A B 2 0 0 1 0 2         _    , 2 2 2 0 0 A AB BA B 0 2 0 2 1 0        _{  } _  _    a) Calcular la matriz A – B b) Calcular las matrices A y B

Solución: a)





0 1 0 A B 2 2 0 1 0 0       _  _     ,b) 1 1 0 A 0 1 0 0 0 1     _  _     , 1 0 0 B 2 1 0 1 0 1        _   

1 1 a a a 1 1 a A a a 1 1 a a a 1              , x y X z w              , 0 0 O 0 0             

a) Calcular el determinante de A y determinar el rango de A según los valores del parámetro a. b) Resolver el sistema homogéneo AX = 0 en el caso de a = 1.

c) Resolver el sistema homogéneo AX = 0 en el caso de a = -1.

Solución: a) a ≠±1 (Rng 4), a = 1 /Rng 1), a = -1 (Rng 3), det = (1 – a)2(1 – a2); b) (-α -λ-β, α, λ, β); c)(0, 0, 0, μ) 50.- Dada la matriz 1 1 a A 3 2 a 0 a 1        _ _  _   

a) Hallar el valor o valores de a para que la matriz A tenga inversa b) Calcular la matriz inversa de A para el caso a = 2

(11)

51.- Dada las matrices 1 1 1 A 1 1 2 4 3 k            , 0 0 1 B 0 1 0 1 0 0           

a) Hallar los valores de k para los cuales existe la matriz inversa de A. b) para k = 6, hallar A-1.

c) Resolver la ecuación matricial AX – A = B, para K = 6.

Solución: a)   _{k R, A}1_{; b)} 1 0 3 1 A 2 2 1 1 1 0       _  _ _    ; c) 2 3 0 X 1 3 2 0 1 0       _ _    

52.- Sabiendo que el valor del determinante

x y z

1 0 1 1

2 4 6

 , calcular el valor de los determinantes:

a) 3 0 1 3x 2y z 6 8 6 b) 2 x 4 y 6 z 3x 1 3y 3z 1 3 4 7      Solución: a) -6; b) 2.

1 a a A 1 a 1 a 1 a 2         _    , x X y z            , 0 0 0 0           

a) Determinar el valor o valores de a para los cuales no existe la matriz inversa de A. b) Para a = -2, hallar A-1.

c) Para a = 1, calcular todas las soluciones del sistema AX = 0.

Solución: a) a=0, 1, 2; b) 1 2 8 6 1 A 5 4 3 8 8 8 0         _   _ _ _    ; c) (λ, -2λ, λ)

54.- Dada la ecuación matricial a 22 B 1 1

2 7 1 1

   

 

   

    Donde B es una matriz cuadrada: a) Calcular el valor o valores de a para los que esta ecuación tiene solución.

b) Calcular B en el caso a = 1. Solución: a) a = 6/7; b) B 5 5 2 2    _ _   

55.- Estudiar el rango de la matriz

2 1 3 5 2 2 1 a A 1 1 1 6 3 1 4 a      _           

según los valores del parámetros a.