Tema 6. Transformaciones canónicas

(1)

Mec´

anica Te´

orica

Tema 6. Transformaciones can´

onicas

Tema 6B

Universidad de Sevilla - Facultad de F´ısica

[email protected]

(2)

Tema 6.Transformaciones can´

onicas

Contenido

1

Transformaciones can´

onicas (TC): Condiciones

2

_{Condiciones directas y condici´}

_{on simpl´}

_ectica

3

Transformaciones can´

onicas infinitesimales

4

_{Corchetes de Poisson}

5

Ecuaciones de movimiento y teoremas de conservaci´

on

6

Teorema de Liouville

(3)

3. Transformaciones can´

onicas infinitesimales

(4)

(5)

Transformaciones can´

onicas infinitesimales.

Generador de la TCI

(6)

Transformaciones can´

onicas infinitesimales:

el Hamiltoniano

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

Transformaci´

on can´

onica infinitesimal

(12)

(13)

Transformaci´

on can´

onica infinitesimal (NS)

Algebra de Lie

(14)

(15)

(16)

Corchetes de fundamentales de Poisson

(17)

CP fundamentales y TC

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

TCI y corchetes de Poisson

En la ecuaci´

on anterior,

δu = ε[u, G ] +

∂u

∂t

δt

Si tomamos G = H y ε = δt, podemos escribir

du

dt

= [u, H] +

∂u

∂t

(23)

Invariantes can´

onicos. Notaci´

on simpl´

ectica

Matriz Jacobiana

(24)

Invariantes can´

onicos. Notaci´

on simpl´

ectica

(25)

(26)

(27)

Invariancia can´

onica de los CP

Hemos demostrado que,

[η, η]

_η

= [ζ, ζ]

_ζ

es decir, la invariancia de los corchetes

fundamentales de Poisson en una

(28)

5.1. Ecuaciones de movimiento en la

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

Ecuaciones de movimiento:

(36)

Ecuaciones de movimiento:

(37)

Ecuaciones de movimiento:

(38)

Ecuaciones de movimiento:

(39)

Ecuaciones de movimiento:

(40)

(41)

(42)

Ecuaciones de movimiento:

(43)

(44)

Ecuaciones de movimiento: est´

atico o din´

amico

Pasiva o Activa

(45)

5.2. Teoremas de Conservaci´

on.

Constantes de movimiento sin dependencia expl´ıcita

en el tiempo

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

Integraci´

on de una TCI: Caida libre

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

Momento angular

Hemos visto que,

Si L

x

y L

y

son constantes del movimiento, el teorema de Poisson establece

que [L

x

, L

y

] = L

z

tambi´

en es una constante del movimiento. Por tanto, si

dos componentes cualesquiera del momento angular son constantes, el

vector del momento angular total se conserva. Como ejemplo adicional,

supongamos que adem´

as de que L

x

y L

y

se conservan, existe un vector

cartesiano de momento can´

onico p con p

z

una constante del movimiento.

(66)

Momento angular

Se conservan tanto L como p. Tenemos aqu´ı un caso donde el teorema de

Poisson produce nuevas constantes del movimiento. Sin embargo, debemos

tener en cuenta que si p

x

, p

y

y L

z

fueran constantes dadas del

movimiento, entonces sus par´

entesis de Poisson ser´ıan,

(67)

Momento angular

La ecuaci´

on,

dice que L

i

no tiene un corchete de Poisson que se anule con ninguno de

los otros componentes de L. Por lo tanto, aunque hemos descrito L como

el momento angular can´

onico total en virtud de su definici´

on como ~

r

i

× ~

p

i

(sumado sobre todas las part´ıculas), dos componentes de L no pueden ser

simult´

aneamente variables can´

onicas. La ecuaci´

on,

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

(87)

(88)

(89)