UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN
UNIVERSIDAD PERUANA UNIÓN
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE PSICOLOGÍA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE PSICOLOGÍA
ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA
Mg. ROSA PADILLA CASTRO
PROBABILIDADES
CONTENIDO
Introducción
Técnicas de Conteo
Definiciones básicas de Probabilidad
Axiomas de Probabilidad
Probabilidad Condicional
Probabilidad
Total
Teorema de Bayes
Variable aleatoria
Media o esperanza matemática de una
variable
aleatoria
Varianza y desviación típica de una
variable
aleatoria
INTRODUCCIÓN
La estadística moderna se caracteriza por hacer
uso de la estadística inferencial. Esta incluye un
conjunto de técnicas que tienen el propósito de
inferir o inducir leyes de comportamiento de una
población a partir del estudio de una muestra.
La inducción es posible debido a que suponemos
que los datos muestrales siguen un modelo
teórico
de
comportamiento,
llamado
comúnmente “Modelo matemático”, el cual tiene
como
elemento
básico
al
cálculo
de
probabilidades.
OBJETIVO
Desarrollar
una
comprensión
de
los
conceptos básicos de probabilidad que son
la base necesaria para el estudio de
distribuciones de probabilidad e inferencia
estadística.
TÉCNICAS DE CONTEO
Cada experimento involucra un número de resultados
favorables y un número total de resultados. En muchas
instancias, sin embargo, debido al gran número de
posibilidades, no es factible enumerar cada uno de los
resultados, en este caso se han desarrollado técnicas de
conteo:
1.
Árbol de decisión.
Es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos,
donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser
llevado a cabo.
TÉCNICAS DE CONTEO
Solución: Una representación gráfica de las diferentes formas de embarcar el producto nos ayudará a contarlas, esto es el árbol de decisión.
Existen 12 formas distintas de embarcar el producto
NOTA INTERESANTE:
TÉCNICAS DE CONTEO
2. FACTORIAL (n!)
Producto ordenado de los números enteros positivos, desde el que indica el signo factorial, hasta llegar a 1.
Ejemplo:
* Tres factorial 3! = (3) (2) (1) = 6
* n factorial n! = (n) (n-1) ...(3) (2) (1) = (n-1)!n
Por definición 0! = 1 1! = 1
3. PERMUTACIONES (INTERESA EL ORDEN)
Se entiende como cambio de lugar, esto es si se tienen dos objetos a y b, no es igual que
a
sea primero y b segundo, esto es (ab) ≠ (ba), hay dos permutaciones.Ejemplo
Tres elementos 1, 2, 3, muestras de dos:
• sin repetición sería: (1,2). (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2)
• con repetición sería: (1,2). (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2), (1,1), (2,2), (3,3)
TÉCNICAS DE CONTEO
3. PERMUTACIONES (INTERESA EL ORDEN)
Permutaciones con repetición: n
P
k = n
kPermutaciones sin repetición:
n
P
k =
(
n
n
!
k
)!
Considere el siguiente ejemplo:
Un educador en asuntos sanitarios tiene tres carteles para exhibir uno junto al otro en la pared del vestíbulo de un centro de salud, ¿en cuántas formas diferentes puede colocar los carteles?
Solución:
Por ejemplo A = cartel # 1, B cartel # 2 y C cartel # 3, entonces: A B C # B A C, y sin repetición, aquí importa el orden, son permutaciones con:
n = 3, k = 3
3
!
6
)!
3
3
(
!
3
33
TÉCNICAS DE CONTEO
4. COMBINACIONES (NO INTERESA EL ORDEN)
k)!
-(n
k!
n!
C
n k rn
k!
1)!
-(n
1)!
-k
(n
n(CR)k
Combinaciones sin repetición
Combinaciones con repetición
Ejemplo: De un equipo multidisciplinario, formado por un economista, un ingeniero, un psicólogo ¿Cuántos comités de dos profesionales pueden formarse?
3
2
6
)!
1
)(
1
2
(
1
2
3
)!
2
3
(!
2
!
3
3 32
C
x
x
x
C
Primer comitéSegundo comité : Economista, Ingeniero: Ingeniero, psicólogoEjemplo
Para la comida un paciente de un hospital, puede elegir una de cuatro carnes, dos de cinco vegetales, y uno de tres postres. ¿Cuántas comidas diferentes puede elegir el paciente, si selecciona el número especificado de cada grupo?.Nota el paciente no puede repetir dos platos de la misma comida.
Solución
¿Son combinaciones o permutaciones?; son combinaciones, por que si se toman las muestras (carne, vegetal, postre) son iguales, esto es no importa el orden y es sin repetición.
EXPERIMENTO
Proceso que puede repetirse y obtener un resultado, llamado espacio muestral:
DETERMINÍSTICO
Bajo las mismas condiciones los resultados son los mismos cuantas veces se repita.
DEFINICIONES BÁSICAS DE PROBABILIDAD
ALEATORIO
Los resultados no se pueden predecir a pesar de repetir bajo las
mismas condiciones
* Suma de dos números naturales.
* Lanzar una piedra desde una determinada altura.
* Lanzar un dado * Concebir un hijo * Lanzar una moneda
A = Sexo de un niño al ser concebido = {H, M} n() = 2 B = Observar el número de caras que aparece al lanzar 3 monedas = {sss, ccc, csc, ccs, ssc, css, scc, scs} n() = 8
A = Sexo de un niño al ser concebido = {H, M} n() = 2 B = Observar el número de caras que aparece al lanzar 3 monedas = {sss, ccc, csc, ccs, ssc, css, scc, scs} n() = 8
EVENTO
Puntos muestrales
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
) Ω ( ) ( ) ( n A n AP Nº de resultados favorables
Nº de resultados posibles
Evento o Suceso:
Es un subconjunto del espacio muestral y se denota por letras mayúsculas. B = Obtener 2 caras
n(B) = 3 Y n() = 8
AXIOMAS DE PROBABILIDAD
1. P(A) 0 2. 0 < P(A) < 1
3.P() = 1
4. Probabilidad de la Adición de Eventos
• Si A y B son mutuamente excluyentes P(A U B) = P(A)+P(B)
En general:
P(A1 U A2 U.... U An) = P(A1)+P(A2)+....+P(An)
• Si A y B no son mutuamente excluyentes P(A U B) = P(A)+P(B) - P(A ∩ B)
A B B
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Si A, B y C no son mutuamente excluyentes
P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A ∩ B) - P(B ∩ C) - P(A ∩ C) + P(A ∩ B∩ C)
NOTA.-
P(A U AC) = P(A) U P(AC) = 1
AXIOMAS DE PROBABILIDAD B
A
C
AC A
Ejemplo: Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso} B = {hipertenso} A ∩ B = {hipertenso y obeso} A U B = {obeso o hipertenso}
P(A) = 0,10; P(B) = 0,15; P(A ∩ B) = 0,03 P(A U B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
PROBABILIDAD DE UN EVENTO
Si A, B y C no son mutuamente excluyentes
P(A U B U C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A ∩ B) - P(B ∩ C) - P(A ∩ C) + P(A ∩ B∩ C)
NOTA.-
P(A U AC) = P(A) U P(AC) = 1
AXIOMAS DE PROBABILIDAD B
A
C
AC A
Ejemplo: Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos, un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos. ¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso} B = {hipertenso} A ∩ B = {hipertenso y obeso} A U B = {obeso o hipertenso}
P(A) = 0,10; P(B) = 0,15; P(A ∩ B) = 0,03 P(A U B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
EJEMPLO .-
En una comunidad, se evaluó el estado de nutrición de 100 niños menores de 5 años de edad, obteniéndose los siguientes resultados:
********************************************************* SEXO ESTADO de NUTRICION
Normal Malnutrido TOTAL ********************************************************* Hombres 40 15 55 Mujeres 20 25 45 ******************************************************** TOTAL 60 40 100 ********************************************************
Se elige un niño al azar, cuál es la probabilidad de que sea hombre o su estado de nutrición sea normal ?
SOLUCION
H: Sea hombre
N: Tenga estado nutricional normal
P(HUN) = P(H) + P(N) - P(HN)
EJEMPLO.-Se recolectó información sobre el peso del recién nacido y si la madre fumó o no durante el embarazo. Los datos se presentan a continuación:
FUMA
CIGARRILLOS
PESO R N.
TOTAL
BAJO
NORMAL
SI
30
10
40
NO
20
140
160
TOTAL
50
150
200
¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido tenga bajo peso o sea normal?
SOLUCION
B : Tenga bajo peso al nacer N : Tenga peso normal
P( B N ) = P( B ) + P( N )
• PROBABILIDAD CONDICIONAL P(A/B)
La probabilidad condicional está referida a la posibilidad de que ocurra un
evento (A) dada la condición de que otro evento (B) ya ocurrió. Es decir, en este caso ya no nos referimos al espacio muestral total, sino al subespacio
conformado por el evento condicional. En este caso el nuevo espacio muestra es B y la única posibilidad de que ocurra A es que se den ambos.
Ejemplo: Se sabe que el 50% de la población fuma y que el 10% fuma y es hipertensa. ¿Cuál es la probabilidad de que un fumador sea hipertenso?
A = {ser hipertenso} B = {ser fumador} A ∩ B = {ser hipertenso y fumador} P(A|B) = 0,10/0,50 = 0,20
Ejemplo: La investigación de las quejas de los consumidores referentes a productos realizada por la Federal Trade Comisión (FTC, Comisión
Federal de comercio de Estados Unidos), ha generado gran interés por parte de los fabricantes en la calidad de sus productos. Un fabricante de procesadores de alimentos realizó un análisis de un gran número de quejas de los consumidores y determinó que entraban en las seis categorías que se muestran en la tabla 2. si se recibe una queja de un consumidor, ¿Qué probabilidad hay de que la causa de la queja sea el aspecto del producto, dado que la queja se origino durante el periodo de garantía?
Tabla 2: Distribución de quejas por producto
Solución :
Sea A el evento de que la causa de una queja en particular fue el aspecto del producto, y con B el evento de que la queja se presentó durante el periodo de garantía. Observando la tabla veremos que el (18 + 13 + 32)% = 0.63 % de las quejas se presentaron durante la
vigencia de la garantía; por tanto; por tanto, P(B) = 0.63. El porcentaje de quejas debidas a la apariencia que ocurrieron durante el periodo de garantía (el evento A ∩ B) es el 32%, por tanto, P (A ∩ B) = 0.32. Con base en estos valores de probabilidad, podemos calcular la
probabilidad condicional P(A/B) de que la cusa de una queja sea la causa aspecto, dado que la queja ocurrió durante el periodo de garantía:
PROBABILIDADES
Ejemplo:
*************************************************************** SEXO OCUPACION
Desempleados Empleados TOTAL D D’
*************************************************************** Hombres H 40 460 500
Mujeres H’ 260 140 400
**************************************************************** TOTAL 300 600 900
***************************************************************** Se elige un adulto al azar, cuál es la probabilidad de que:
a. Esté desempleado
b. Esté desempleado dado que es mujer c. Esté desempleado dado que es varón SOLUCION:
n(DH’) 260
a. P (D/M) = --- = --- = 0.65 n(H’) 400
Interpretación:
EJEMPLO
:
Se dispone de 110 historias clínicas,
pertenecientes a pacientes masculinos y femeninos
agrupados por su nivel de hemoglobina.
M F
Estado
(Masculino)
(Femenino
)
Total
A (Anémico)
50
30
80
N
(Normal)
10
20
30
Total
60
50
110
Dado que la historia clínica corresponde a un paciente
anémico, ¿cuál es la probabilidad que sea mujer?
SOLUCION
n(F
A) 30
P(F/A) = --- = --- = 0.375
n(A) 80
Probabilidad Total
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An
que cumplen:
Son incompatibles dos a dos,
La unión de todos ellos es el suceso seguro,
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:
)
/
(
).
(
...
)
/
(
).
(
)
/
(
).
(
)
(
B
P
A
1P
B
A
1P
A
2P
B
A
2P
A
nP
B
A
nP
j i A A E Ai ni1
Ejemplo:
Probabilidad Total
SoluciónEl suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1, L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las
probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
)
/
(
).
(
)
/
(
).
(
)
/
(
).
(
)
(
Av
P
L
1P
Av
L
1P
L
2P
Av
L
2P
L
3P
Av
L
3P
Probabilidad Total
Ejemplo:
Una empresa del ramo de la alimentación
elabora sus productos en cuatro factorías:
F
1, F
2, F
3y F
4. El
porcentaje de producción total que se fabrica en cada
factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%, respectivamente, y
además el porcentaje de envasado incorrecto en cada
factoría es del 1%, 2%, 7% y 4%. Tomamos un producto
de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se
encuentre defectuosamente envasado?
Solución:
Teorema de Bayes
Sea
A
1, A
2, ...,A
nun sistema completo de sucesos, tales que
la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea
B
un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades
condicionales
P(B/A
i)
, entonces la probabilidad
P(A
i/B)
viene
dada por la expresión:
Nota:
En los problemas relacionados con la probabilidad, y en
particular con la probabilidad condicionada, así como con la
probabilidad total y el teorema de Bayes, es aconsejable que,
con la información del problema, se construya una tabla de
contingencia o un diagrama de árbol.
)
/
(
).
(
...
)
/
(
).
(
)
/
(
).
(
)
/
(
).
(
)
/
(
2 2 11 n n
Teorema de Bayes
Ejemplo:
Tres máquinas,
A, B
y
C
, producen el 45%, 30% y 25%,
respectivamente, del total de las piezas producidas en una fábrica.
Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son
del 3%, 4% y 5%.
Seleccionamos una pieza al azar:
•
Calcule la probabilidad de que sea defectuosa.
•
Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcular la
probabilidad de haber sido producida por la máquina
B
.
•
¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la
citada pieza defectuosa?
diagrama de árbol
Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
P(D) = 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
Teorema de Bayes
Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado. Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
316
.
0
38
12
05
.
0
25
.
0
04
.
0
30
.
0
03
.
0
45
.
0
04
.
0
30
.
0
)
/
(
x
x
x
x
D
B
P
355
.
0
380
135
05
.
0
25
.
0
04
.
0
30
.
0
03
.
0
45
.
0
03
.
0
45
.
0
)
/
(
x
x
x
x
D
A
P
329
.
0
380
125
05
.
0
25
.
0
04
.
0
30
.
0
03
.
0
45
.
0
05
.
0
25
.
0
)
/
(
x
x
x
x
D
C
P
Teorema de Bayes
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son
economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
VARIABLE ALEATORIA
Es una variable cuyo valor es un número determinado por el resultado de un experimento aleatorio, se denota por letras mayúsculas: X, Y, Z... y sus valores individuales por su correspondiente letra minúscula, si X (es una variable aleatoria) v.a., entonces sus valores son: X1,X2,..., Xn
Si a cada valor de la variable aleatoria le asociamos su probabilidad obtenemos la distribución de probabilidad de dicha variable.
Ejemplo: Sea un experimento el lanzamiento de una moneda 2 veces y anotamos los resultados obtenidos en la cara superior.
Podemos definir la variable aleatoria Y como el número de caras obtenido en los 2 lanzamientos. Así, los valores que toma la variable pueden ser 0, 1, 2 dependiendo de los resultados del experimento.
VARIABLE ALEATORIA Y
PROBABILIDAD P(Y)
0 1 2
1/4 2/4 1/4
TOTAL 1
Luego la distribución de probabilidad de esta variable será:
PROBABILIDADES
ESPACIO MUESTRAL
VARIABLE ALEATORIA CC
CS SC SS
PROBABILIDADES
Media o esperanza de una variable aleatoria
ni
i i
n
n
P
x
X
P
x
X
x
P
X
x
P
X
1 2
2 1
1
.
(
)
.
(
)
...
.
(
)
(
)
Se llama media o esperanza de una variable aleatoria
x y se representa por:
Ejemplo:
Si lanzamos dos monedas. Si salen dos caras recibimos 3 dólares, si sale
una cara recibimos 1 dólar, y si no sale ninguna cara pagamos 5 dólares
¿Cuál es la ganancia media del juego?
Solución: Hallamos la función de probabilidad de la ganancia X en dólares:
xi 3 1 -5
PROBABILIDADES
ESPACIO MUESTRAL Resultados al lanzar dos monedas CC CS SC SS 2 (caras) 1(cara) 1(cara) 0(cara) VARIABLE ALEATORIA Y PROBABILIDAD P(Y) 0 1 2 1/4 2/4 1/4 TOTAL 1Hallamos la función de probabilidad de la ganancia X en dólares:
xi
3
1
-5
Px(xi)
1/4
1/2
1/4
Solución: Determinamos el espacio muestral del experimento de lanzar dos monedas, luego definimos su variable aleatoria y calculamos la probabilidad para cada variación
n i i i nn
P
x
X
P
x
X
x
P
X
x
P
X
1 2 2 11
.
(
)
.
(
)
...
.
(
)
(
)
PROBABILIDADES
La ganancia media del juego es la media o esperanza de x:
Cuando en un juego la ganancia esperada
se llama juego justo, Si es un juego con
ventaja y si es un juego en desventaja
X
1.
P
(
x
1)
X
2.
P
(
x
2)
X
3.
P
(
x
3)
0
4
/
1
*
5
2
/
1
*
1
4
/
1
*
3
0
0
0
PROBABILIDADES
Varianza y desviación típica de una variable aleatoria
Se llama varianza de una variable aleatoria x y se
representa por al valor
:
A partir de la varianza se define la desviación típica como la
raíz cuadrada de la varianza.
PROBABILIDADES
Ejemplo: Hallar la varianza y la desviación típica de la variable
aleatoria x, dada por la función de probabilidad:
Solución:
Calculamos la media
Varianza:
Desviación típica
x
i0
1
2
3
P(x
i)
0.1
0.2
0.4
0.3
9
.
1
3
.
0
*
3
4
.
0
*
2
2
.
0
*
1
1
.
0
*
0
0
2.
*
0
.
1
1
2.
0
.
2
2
2*
0
.
4
3
2*
0
.
3
1
.
9
20
.
89
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
VARIABLE ALEATORIA Y
PROBABILIDAD P(Y)
0 1 2
1/4 2/4 1/4
TOTAL 1
Variable aleatoria discreta: Distribución Binomial Distribución Poissón
Distribución Hipergeométrica
Variable aleatoria continua: Distribución Normal Distribución T- Student
Distribución chi- cuadrado Distribución F- Snedecor
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Esta distribución considera variables que se obtienen a partir de la repetición de un experimento simple, conocido como experimento Bernoulli. Este experimento tiene únicamente dos resultados posibles llamados “éxito” o “fracaso”.
La distribución binomial, asigna probabilidades a la variable aleatoria definida como el número de éxitos obtenidos en el total de repeticiones del experimento.
La función que asigna dichas probabilidades es:
o acumulativ ino térm x -n x n x n x X) P(X individual término x -n x n x f(X) X) P(X
q
P
C
q
P
C
Donde p es la probabilidad de éxito, q la diferencia de p n = número de ensayos
x = resultados que se desea obtener o éxitos p (X = x) = probabilidad de obtener x éxitos
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Los supuestos de la distribución binomial son:
1. La variable, en cada repetición, sólo toma dos valores 2. Las repeticiones son independientes
3. La probabilidad de éxito es constante 4. Todas las repeticiones son idénticas
Si un experimento cumple con estas cuatro condiciones, podemos utilizar la
Distribución Binomial para asignar probabilidades a sus resultados.
Ejemplo.- Estos experimentos aleatorios Son:
* Lanzamiento de una moneda al aire : Cara o sello
* Nacimiento de un ser humano con respecto al sexo: Hombre o Mujer * Estado de salud de una persona: Sano o enfermo
* Situación ocupacional de una persona: Ocupado o desocupado Debe cumplir que p + q = 1 ( por definición de probabilidad)
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Uso de la tabla Binomial:
Muchas veces la aplicación de la fórmula binomial resulta sumamente larga y tediosa, sobre todo cuando n es muy grande, entonces es muy práctico utilizar la tabla estadística de la distribución Binomial.
Ejemplo
Generalmente el 40 % de los alumnos desaprueban un examen de estadística. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 20, desaprueben:
a) Exactamente 10 alumnos b) 5 o más alumnos
c) Más de 10 alumnos d) Menos de 10 alumnos e) 10 o menos alumnos f) Entre 6 y 10 alumnos.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Solución:
a) Exactamente 10 alumnos desaprueben: x = 10, n = 20 Tablas estadísticas de Pedro Díaz, Pág.19 localizamos:
n x .01 .02 ... .40 .45 .50 x
. .
.
.
10 .
.
.
0+ 0+ ……… .
.
.
098 145 176 .
.
.
10 .
.
.
20 10 ……… 117 159 176 10
P(x = 10) = 0.117 = 11.7% de que desaprueben exactamente 10 alumnos.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Solución
a) 5 o más alumnos desaprueben (términos acumulativos)
En la pág 26 de la tabla estadística localizamos n = 20, x = 5, p = .40
P(X 0.949, la probabilidad de que desaprueben 5 o más alumnos es de 94.9% b) Más de 10 alumnos. P(x > 10) = P (x 11) = 0.128 = 12.8%
c) Menos de 10 alumnos: P (x < 10) = 1 – P (x 10) = 1 – 0.245 = 0.775 = 77.5% d) 10 o menos alumnos: P (x 10) = 1 – P (x 11) = 1 – 0.128 = 0.872 = 87.2%
e) Entre 6 y 10 alumnos. P( 6 x 10) = P(x 6) – P(x 11) = 0.874 – 0.128 = 0.746 La probabilidad de que desaprueben entre 6 y 10 alumnos es de 74.6%
Propiedades de la distribución Binomial
La media aritmética, la desviación estándar y la varianza en una distribución binomial, se obtiene a través de:
MEDIA: = n x p DESVIACIÓN ESTÁNDAR:
VARIANZA: σ2 = n.p.q
q p n
σ . .
DISTRIBUCIÓN POISSON
Otra distribución a considerar debido, a su importancia, es la distribución de Poisson. Proporciona un modelo para la frecuencia relativa de eventos que ocurren en una unidad de tiempo, área, volumen, etc.
Ejemplo. El número de trabajos nuevos presentados a una computadora en un minuto dado.
Al igual que la distribución binomial, esta distribución considera la repetición de un experimento simple. La diferencia, en este caso, es que el número de
repeticiones es muy grande y la probabilidad de éxito es muy pequeña. La función que asigna dichas probabilidades es:
!
)
(
x
λ
e
x
X
P
x λ
Donde x = 0, 1, 2, … y > 0 es una constante. e = 2.718 , constante
= número promedio de ocurrencias en un tiempo t, área o volumen
DISTRIBUCIÓN POISSON
PROBABILIDADES
1. El número promedio de ocurrencias de eventos en una unidad de medida (intervalo de tiempo, una región específica, volumen, etc.) es conocido e igual a
2. La ocurrencia de los eventos continuos son independientes.
3. La media aritmética, la desviación estándar y la varianza en una distribución de Poisson, se obtiene a través de:
MEDIA : =
DESVIACIÓN ESTÁNDAR :
VARIANZA : 2 =
4. Si n es bastante grande : = n . p
PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
DISTRIBUCIÓN POISSON
PROBABILIDADES
98.4%
0.984
!
0
1
.
0
)
0
(
0 1 . 0
e
X
P
Ejemplo 1:
Supóngase que el 2 % de la población en promedio sean zurdos. Hallar la probabilidad que en 100 personas haya:
a) 3 o más zurdos.
P = 2 % = 0.02, n = 100 = (0.02)(100) = 2
P (x 3) = 1 - P ( x 2 ) = 1 - 0.677 = 0.323 = 32.3 % b) exactamente 3 zurdos
c) 3 o menos zurdos
Ejemplo 2:
Suponga que el manuscrito de un texto de ingeniería tiene un total de 50 errores en las 500 páginas del material. Los errores están distribuidos aleatoriamente a lo largo del texto. Cuál es la probabilidad de que:
Una página seleccionada aleatoriamente no tenga errores. Solución
Probabilidad de cometer error 50 / 500 = 0.1
DISTRIBUCIÓN POISSON
PROBABILIDADES
Cuando n es relativamente grande y p pequeña, la probabilidades binomiales y poisson se relacionan.
Donde los términos binomiales individuales se reemplazan por los correspondientes valores de Poisson con λ = np
REGLA PRÁCTICA
i) Si n 20 ; p 0.05
ii) Si n 100, la aproximación es generalmente excelente a condición de que np 10
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
PROBABILIDADES
El experimento consiste en extraer al azar y sin sustitución n elementos de un
conjunto de N elementos, r de los cuales son S (éxitos) y (N – r) de los cuales F (fracasos).
El tamaño de la muestra n es grande en comparación con el número N de elementos de la población , es decir , n/N > .05
La variable aleatoria hipergeométrica “y” es el número de resultados “S” en la muestra de n elementos.
La distribución de probabilidad es:
Donde:
N = Nº total de elementos
r = Nº de resultados de S en los N elementos
n = Nº de elementos extraídos
Y = Nº de resultados S en los n elementos
0, ( )
,..., ,)
( y Máximo n N r
n N y n r N y r y
P
La media y la varianza de una variable aleatoria
hipergeométrica son, respectivamente,
)
1
(
)
(
)
(
;
2 2
N
N
n
N
n
r
N
r
N
nr
Se realiza un experimento para seleccionar un catalizador apropiado para la producción comercial de etilendiamina (EDA), un producto que se utiliza en jabones. Suponga que un ingeniero químico selecciona al azar tres catalizadores para probarlos dentro de un
grupo de 10 catalizadores, seis de los cuales tienen baja acidez y cuatro de los cuales son muy ácidos.
a. Calcule la probabilidad de que no se escogerá un catalizador muy ácido.
b. Calcule la probabilidad de que se escoja exactamente un catalizador muy ácido.
Solución: N = 10, n = 3, r = 4, y=0, entonces:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta distribución.
La importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal:
•Caracteres morfológicos: de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie, .ejm. tallas, pesos, envergaduras, diámetros, perímetros,...
•Caracteres ambientales: Ruido medido en decibeles, monóxido de carbono, etc. •Caracteres fisiológicos: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una misma
cantidad de abono.
•Caracteres sociológicos: consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.
•Caracteres psicológicos: por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un medio,...
•Valores estadísticos muestrales: la media.
•Otras distribuciones como la Binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
2 2 2 ) (2
1
)
(
xe
x
f
FUNCIÓN DE DENSIDAD
ianza típica Desv media var . 2
abscisa x e 7182 . 2 1416 . 3
N(,): para cada valor de y tendremos una función de densidad distinta, por lo tanto la expresión N (,2) representa una familia de distribuciones normales.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
x
dx
e
x
X
P
X
F
x x,
2
1
)
(
)
(
2 2 2 ) (
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
• Puede tomar cualquier valor (-, + )
• Son más probables los valores cercanos a uno central que llamamos media
• La distribución es simétrica.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
TIPIFICACIÓN O ESTANDARIZACIÓN
Característica de la distribución normal tipificada (reducida,
estándar)
•
No depende de ningún parámetro
•
Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación típica es 1.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
MANEJO DE TABLAS. CASOS MÁS FRECUENTES
Por ejemplo:
P(Z 2.75) = 0.99702
Por ejemplo:
P(Z > 1.40) = 1- P(Z 1.40) = 1 – 0.91924 = 0.08076 Otra forma de cálculo: P(Z > 1.40) = P (Z - 1.40) = 0.08076
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
Ejemplo de aplicación
Suponga que un consultor estaba investigando el tiempo que emplearon los obreros de una planta automotriz en montar una parte específica después de su entrenamiento para realizar la tarea usando un enfoque de aprendizaje individual.
El consultor determinó que el tiempo en segundos invertido por los obreros entrenados con este método para montar la parte se distribuirá normalmente con una media de 75 segundos y una desviación estándar de 6 segundos. Cuál es la probabilidad de que un obrero fabril seleccionado aleatoriamente pueda montar la parte en:
a. menos de 62 segundos
b. En menos de 75 segundos o en más de 81 segundos c. Entre 75 y 81 segundos
d. En más de 81 segundos
e. ¿Cuántos segundos debe transcurrir antes de que el 50% de los obreros monten la parte?
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
Aproximación a la normal de la ley binomial
Se puede demostrar (teorema central del límite) que una v.a. discreta con distribución binomial, se puede aproximar mediante una distribución normal si n es suficientemente grande y p no está ni muy próximo a 0 ni a 1. Como el valor esperado y la varianza de X son respectivamente np y npq, El convenio que se suele utilizar para poder realizar esta aproximación es:
Ejemplo
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
a) La v.a. que contabiliza el número de alumnos que padece la gripe es
Realizar los cálculos con la ley binomial es muy engorroso, ya que intervienen números combinatorios de gran tamaño, y potencias muy elevadas. Por ello utilizamos la aproximación normal de X, teniendo en cuenta que se verifican las condiciones necesarias para que el error sea aceptable.
Así aproximando la v.a. discreta binomial X, mediante la v.a. continua normal
DISTRIBUCIÓN NORMAL
PROBABILIDADES
b) También es necesario calcular P(X = 60). Esta probabilidad se calcula exactamente como:
Para calcular la probabilidad buscada. Por ejemplo, podemos aproximar P (X = 60 ) por el valor de la función de densidad de XN en ese punto, la
LA DISTRIBUCIÓN t
